Modular representation theory and sheaves on the Bruhat--Tits building
Let $G$ denote the group of rational points of a split connected reductive group over a nonarchimedean local field. Furthermore, let $R$ denote a quasi-Frobenius ring and let $H$ denote the pro-$p$ Iwahori-Hecke algebra of $G$ over $R$. Inspired by the work of Schneider and Stuhler, Schneider, and Kohlhaase we construct a fully faithful functor from the category of $H$-modules into that of $G$-equivariant sheaves of $R$-modules on the Bruhat-Tits building $\mathscr{X}$ of $G$. We study the cohomology (with compact support) of our sheaves in terms of the homology of $G$-equivariant coefficient systems, using Verdier duality on the building.
Sei G die Gruppe der rationalen Punkte einer zerfallenden, zusammenhängenden, reduk-tiven Gruppe über einem nicharchimedischen lokalen Körper. Sei außerdem R ein Quasi-Frobenius-Ring und H die pro-p Iwahori-Hecke-Algebra von G über R. Aufbauend auf den Arbeiten von Schneider und Stuhler [SS97], Schneider [Sch98b] und Kohlhaase [Koh22] kon-struieren wir einen volltreuen Funktor von der Kategorie der H-Moduln in die Kategorie der G-äquivarianten Garben von R-Moduln auf dem Bruhat-Tits-Gebäude X von G. Wir studieren die Kohomologie (mit kompaktem Träger) unserer Garben mit Hilfe der Homologie G-äquivarianter Koeffizientensysteme und der Verdier-Dualität des Gebäudes.