Statistical Topology - The Winding Number in One-Dimensional Chiral Systems
Topological insulators and topological superconductors are characterized by edge states that evade disorder-induced localization. The number of these states is determined by a topological invariant. Whether a topologically non-trivial phase is possible depends on the symmetries and the dimension of the system. The topological invariant relevant for one-dimensional systems with chiral symmetry is the winding number.
In this work, we perform a statistical analysis of the winding number in the framework of random matrix theory. Random matrix theory is known to produce universal results for systems with a sufficient degree of complexity in the limit of large matrix dimensions. In the context of solid state physics, this complexity corresponds to disorder, i.e. spatially inhomogeneous perturbations of the system parameters. In order to conduct our study, we first set up a parametric random matrix model with chiral symmetry for the Bloch Hamiltonian. In addition to chiral symmetry, we also classify our model based on the presence or absence of time reversal invariance. Specifically, we calculate the correlations of the winding number density, which yield the statistical moments of the winding number upon integration, as well as the distribution of the winding number.
On a technical level, we trace the topological problem back to a spectral one, which renders the toolbox of random matrix theory applicable. In doing so, we encounter the spherical ensemble of random matrices, which, unlike the classical ensembles of random matrix theory, does not follow a Gaussian matrix probability distribution. We employ different methods of random matrix theory to carry out the ensemble averages. In particular, we work with a technique that is related to the supersymmetry method of random matrix theory. It exploits supersymmetry structures without reformulating the problem in superspace and is therefore also referred to as supersymmetry without supersymmetry.
Topologische Isolatoren und topologische Supraleiter zeichnen sich durch Randzustände aus, die sich der durch Unordnung verursachten Lokalisierung entziehen. Die Anzahl dieser Zustände wird durch eine topologische Invariante bestimmt. Ob eine topologisch nicht-triviale Phase möglich ist, hängt von den Symmetrien und der Dimension des Systems ab. Die für eindimensionale Systeme mit chiraler Symmetrie relevante topologische Invariante ist die Windungszahl.
In dieser Arbeit führen wir eine statistische Analyse der Windungszahl im Rahmen der Zufallsmatrixtheorie durch. Zufallsmatrixtheorie ist in der Lage universelle Ergebnisse für Systeme mit einem ausreichenden Grad an Komplexität im Limes großer Matrixdimensionen zu liefern. Im Falle der Festkörperphysik entspricht diese Komplexität der Unordnung, d.h. räumlich inhomogenen Störungen der Systemparameter. Zur Durchführung unserer Analyse stellen wir zunächst ein parametrisches Zufallsmatrixmodell mit chiraler Symmetrie für den Bloch-Hamiltonian auf. Neben der chiralen Symmetrie klassifizieren wir unser Modell auch anhand der Zeitumkehrinvarianz bzw. der Abwesenheit dieser. Wir berechnen die Korrelationen der Windungszahldichte, deren Integrale die statistischen Momente der Windungszahl ergeben, sowie die Verteilung der Windungszahl.
Auf technischer Ebene führen wir das topologische Problem auf ein spektrales Problem zurück, so dass die Methoden der Zufallsmatrixtheorie anwendbar werden. Dabei stoßen wir auf das sphärische Ensemble von Zufallsmatrizen, welches anders als die klassischen Ensembles der Zufallsmatrixtheorie keiner Gaußschen Matrixwahrscheinlichkeitsverteilung folgt. Wir verwenden verschiedene Methoden der Zufallsmatrixtheorie um die Ensemblemittelwerte zu berechnen. Insbesondere arbeiten wir mit einer Methode, die mit der Supersymmetriemethode der Zufallsmatrixtheorie verwandt ist. Diese Methode nutzt Strukturen der Supersymmetrie aus, ohne das Problem auf den Superraum abzubilden, und wird daher auch als Supersymmetrie ohne Supersymmetrie bezeichnet.
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