Integrality of Stickelberger elements
To each Galois extension L/K of number fields with group G, one can associate so-called Stickelberger elements in the center Z(C[G]) of the group algebra C[G] that are constructed from values of Artin L-functions. It is conjectured that under certain assumptions these Stickelberger elements lie in the so-called integrality ring I(G) that lies in between the center Z(Z[G]) of the integral group ring and the center Z(Q[G]) of the rational group algebra. In this thesis we show that for a finite group G we have |G'|I(G) ⊂ Z(Z[G]), where G' is the commutator subgroup of G. So a consequence of the integrality conjecture is that the Stickelberger elements lie in |G'|Z(Z[G]). We verify this for nilpotent Galois groups. Assuming the integrality conjecture, we establish a connection between Stickelberger elements and p-adic Artin L-functions that was already known in the abelian case. In particular, we
show that the integrality conjecture implies a special case of a conjecture of Gross.
show that the integrality conjecture implies a special case of a conjecture of Gross.
Zu jeder Galois-Erweiterung L/K von Zahlkörpern mit Gruppe G kann man sogenannte Stickelberger-Elemente im Zentrum Z(C[G]) der Gruppenalgebra C[G] assoziieren, die aus den Werten Artin’scher L-Reihen konstruiert werden. Es wird vermutet, dass sich diese Stickelberger-Elemente unter gewissen Annahmen im sogenannten Integralitätsring I(G) befinden, der zwischen dem Zentrum Z(Z[G]) des ganzzahligen Gruppenringes und dem Zentrum Z(Q[G]) der rationalen Gruppenalgebra liegt. In dieser Arbeit zeigen wir für eine endliche Gruppe G, dass |G'| I(G) ⊂ Z(Z[G]), wobei G' die Kommutatoruntergruppe von G sei. Damit ist eine Konsequenz der Ganzzahligkeitsvermutung, dass die Stickelberger-Elemente in |G'|Z(Z[G]) liegen. Wir verifizieren dies für nilpotente Galois-Gruppen. Unter der Annahme der Ganzzahligkeitsvermutung etablieren wir eine Verbindung zwischen Stickelberger-Elementen und p-adischen Artin’schen L-Reihen, die im Abelschen bekannt ist. Im Besonderen zeigen wir, dass die Ganzzahligkeitsvermutung
einen Spezialfall einer Vermutung von Gross impliziert.
einen Spezialfall einer Vermutung von Gross impliziert.