Existence and uniqueness of viscosity solutions of Kolmogorov equations of SPDEs

In dieser Doktorarbeit beweisen wir, unter geeigneten Voraussetzungen, die Existenz und die Eindeutigkeit von Viskositätslösungen von Kolmogorov Gleichungen für stochastisch partiellen Differenzial Gleichungen (SPDGLn). Außerdem zeigen wir, dass die Lösung die Halbgruppe der dazugehörigen SPDGL ist. Das verallgemeinert die Feynman-Kac-Formel und verknüpft die Lösungen der Kolmogorov Gleichungen mit den Lösungen der dazugehörigen SPDGLn. Im Gegensatz zur Literatur nehmen wir nur an, dass der Drift Lipschitz stetig auf beschränkten Gebieten ist (und nicht global Lipschitz stetig) und wir erlauben degenerierte und nicht konstante Diffusion. Im letzten Abschnitt dieser Arbeit wenden wir unsere Ergebnisse auf die stochastische Burgersgleichungen und auf die 2-D Navier-Stokes-Gleichungen an.

In this thesis we establish under suitable assumptions the uniqueness and existence of viscosity solutions of Kolmogorov equations for stochastic partial differential equations (SPDEs). In addition, we show that this solution is the semigroup of the corresponding SPDE. This generalizes the Feynman-Kac formula to SPDEs and establishes a link between solutions of Kolmogorov equations and solutions of the corresponding SPDEs. In contrast to the literature we only assume that the drift is Lipschitz continuous on bounded sets (and not global Lipschitz continuous) and we allow the diffusion to be degenerate and non constant. In the last part of this thesis we apply our results to stochastic Burgers’ equations and stochastic 2-D Navier-Stokes equations.

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