Motivic stable homotopy groups via framed correspondences
Let k be a perfect field. Using the technique of framed correspondences, we obtain an expression for mapping spaces from suspension spectra to Thom spectra in the motivic stable homotopy ∞-category SH(k). This result allows us to express some stable homotopy groups of Thom spectra in terms of geometric generators and relations, and we apply this approach to study the unit map of the algebraic special linear cobordism spectrum MSL. We introduce SL-oriented framed correspondences and identify non-positive Gm-homotopy groups of MSL with stabilizations of free abelian groups generated by these correspondences, modulo A^1-homotopy. When k has characteristic 0, we show that the unit map 1_k → MSL induces an isomorphism of homotopy modules, by a direct comparison of these abelian groups. As a straightforward corollary, we deduce over a base field of characteristic 0 the known fact that the Chow-Witt groups and the MW-motivic cohomology groups are SL-oriented cohomology theories.
Sei k ein perfekter Körper. Durch Verwendung gerahmter Korrespondenzen
erhalten wir eine Beschreibung der Abbildungsräume von Einhängungsspektren
nach Thom-Spektren in der motivischen stabilen Homotopie-1-Kategorie
SH(k). Dadurch wird es möglich, diverse stabile Homotopiegruppen von
Thom-Spektren durch geometrische Erzeuger und Relationen auszudrücken,
und wir nutzen dies um die Eins-Abbildung des algebraischen spezielllinearen
Kobordismusspektrums MSL zu untersuchen. Wir führen SL-orientierte
gerahmte Korrespondenzen ein und identifizieren nicht-positive Gm-Homotopiegruppen von MSL mit Stabilisierungen der von solchen Korrespondenzen erzeugten freien abelschen Gruppen modulo A1-Homotopie. Für k von Charakteristik 0 zeigen wir durch direkten Vergleich dieser abelscher Gruppen, dass die Eins-Abbildung 1k ! MSL einen Isomorphismus von Homotopiemoduln induziert. Als unmittelbare Konsequenz erhalten wir daraus die bekannte Aussage, dass über Körpern der Charakteristik 0 die Chow-Witt-Gruppen sowie die MW-motivischen Kohomologiegruppen SL-orientierte Kohomologietheorien sind.