Adaptive least squares pseudospectral element methods for the two dimensional Euler equations
The present dissertation deals with the application of an adaptive mesh hp-refinement method to the time-dependent compressible Euler equations describing the flow of an inviscid fluid. The physical simulation space is a two-dimensional channel with bump through which an ideal gas flows. A big advantage of the Euler equations is the applicability to different Mach regimes. Thus, smooth solutions and those containing discontinuities can be simulated.
As the underlying numerical technique, a pseudo-spectral element method using least squares is used. The grid consists of rectangles that have to be transformed into curved deformed elements in the area of the bump. The h-refinement is realized by means of a quadtree and the p-refinement by means of a stepwise increase of the polynomial degree by 2, whereby hanging nodes can arise.
Compared to previous research, the Euler equations are examined with respect to four different refinement criteria in combination with the hp-adaptive pseudo-spectral element method. The refinement criteria are the gradient criterion, two spectral criteria and an edge detection method.
For a first determination of the suitability of the criteria for the h-refinement and for a validation of the pseudo-spectral element method, these are used for the solution of three steady state convection equations for which the exact solutions are known.
Finally, the full method is applied to three test problems for the Euler equations. The flow through the channel is realized by a smooth subsonic flow, a transonic flow with a shock, and a supersonic flow that contains reflective shocks. Since no analytical solution is known, we compare our results to other works that consider stationary grids for these test cases.
It turns out that the applied adaptive method refines the grid in the regions of the stagnation points and those that have discontinuities. Thus prior knowledge about the location of the problem areas is not necessary. A smaller number of elements and locally higher polynomial degrees reduce the sizes of the systems of equations to be solved.
Die vorliegende Dissertation befasst sich mit der Anwendung von adaptiver hp-Gitterverfeinerung
auf die zeitabhängingen kompressiblen Euler-Gleichungen, welche die Strömung
eines reibungsfreien Fluides beschreiben. Als physikalischer Simulationsraum dient ein
zweidimensionaler Kanal, der eine Erhebung aufweist, durch welchen ein ideales Gas strömt.
Ein großer Vorteil der Euler Gleichungen ist die Anwendbarkeit auf verschiedene Strömungsbereiche.
Somit können glatte Lösungen und solche, die Diskontinuitäten enthalten,
simuliert werden.
Als zugrunde liegendes numerisches Verfahren wird eine pseudospektrale Elemente-
Methode unter Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate eingesetzt. Das Gitter
besteht dabei aus Rechtecken, die im Bereich der Erhebung auf kurvig verformte Elemente
transformiert werden müssen. Die h-Verfeinerung wird mittels eines Quaternärbaumes und
die p-Verfeinerung mittels der stufenweisen Erhöhung des Polynomgrades um 2 realisiert,
wodurch hängende Knoten entstehen können.
Im Vergleich zu anderen Arbeiten werden die Euler-Gleichungen hinsichtlich vier verschiedener
Verfeinerungskriterien in Kombination mit der hp-adaptiven pseudospektralen
Elementen Methode untersucht. Als Verfeinerungskriterien dienen das Gradientenkriterium,
zwei spektrale Kriterien sowie eine Kantendetektionsmethode.
Für eine Verifikation der Eignung der Kriterien bezüglich der h-Verfeinerung und für
eine Validierung der pseudospektralen Elemente Methode werden diese für die Lösung von
drei Konvektionsgleichungen mit einem stabilen Zustand eingesetzt, wobei die exakten
Lösungen bekannt sind.
Abschließend wird die vollumfängliche Methode auf drei Testprobleme für die Euler-
Gleichungen angewendet. Die Strömung durch den Kanal wird anhand eines glatten
subsonischen Flusses, eines transonischen Flusses, der einen Schock aufweist und eines
supersonischen Flusses, der reflektierende Schocks beinhaltet, realisiert. Da keine analytische
Lösung bekannt ist, werden die Ergebnisse mit denen anderer Arbeiten, welche diese
Testfälle für stationäre Gitter betrachten, verglichen.
Es stellt sich heraus, dass die angewendete adaptive Methode das Gitter in den Regionen
der Staupunkte und jenen, die Diskontinuitäten aufweisen, verfeinert und somit eine
vorherige Kenntnis über die Lage der Problemgebiete nicht notwendig ist. Durch eine
geringere Elementanzahl und lokal höhere Polynomgrade verringern sich die Größen der zu
lösenden Gleichungssysteme.