Strahlungsprobleme der Maxwell-Gleichungen für gemischte Randbedingungen im Außengebiet: das Verhalten für kleine Frequenzen

Osterbrink, Frank

doi:10.17185/duepublico/72202

DissertationAll rights reservedWed Aug 5 2020Published

Strahlungsprobleme der Maxwell-Gleichungen für gemischte Randbedingungen im Außengebiet : das Verhalten für kleine Frequenzen

Osterbrink, Frank

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In dieser Arbeit behandeln wir für $ω \in ℂ$ die zeitharmonischen Maxwellgleichungen

- rot H + i ω ϵ E = F, rot E + i ω μ H = G, {n \times E}_{∣_{Γ_{1}}} = 0, {n \times H}_{∣_{Γ_{2}}} = 0 .

in Außengebieten

Ω \subset ℝ^{3}

, deren Gebietsrand

Γ ≔ \partial Ω

aus zwei relativ offenen Teilmengen

Γ_{1}

und

Γ_{2} ≔ Γ ∖ {\overline{Γ}}_{1}

besteht. Ziel ist die Untersuchung des Verhaltens von Lösungen dieses Systems für

ω \to 0 .

Dabei arbeiten wir auf schwach-Lipschitz Gebieten und können inhomogene anisotrope Koeffizienten

ϵ, μ

zulassen, die im Unendlichen asymptotisch gegen ein Vielfaches der Identität abklingen.

Wir beginnen mit der Konstruktion von Lösungen im zeitharmonischen Fall $ω \neq 0 .$ Dabei ist die Lösungstheorie für nichtreelle Frequenzen eine einfache Konsequenz aus der Selbstadjungiertheit des Maxwelloperators $M : R_{Γ1} (Ω) \times R_{Γ2} (Ω) \subset L_{Λ}^{2} (Ω) ⟶ L_{Λ}^{2} (Ω), (E, H) ⟼ i Λ- 1 M, L_{Λ}^{2} (Ω) ≔ L_{ϵ}^{2} (Ω) \times L_{μ}^{2} (Ω)$ mit $Λ ≔ (\begin{matrix} ϵ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix}), M ≔ (\begin{matrix} 0 & - rot \\ rot & 0 \end{matrix}), L_{γ}^{2} (Ω) ≔ (L^{2} (Ω), {< γ \cdot, \cdot >}_{L^{2} (Ω)})$

Für $ω \in ℝ ∖ {0}$ liefert dann die Methode der Grenzabsorption eine Fredholm-Theorie, die es uns erlaubt, Daten aus polynomial gewichteten $L^{2} -$ Räumen zu behandeln. Im Kern approximieren wir dazu Lösungen zu reellen Frequenzen $ω \neq 0$ durch Lösungen zu $ω \in ℂ+ ∖ {0} .$ Die dafür benötigte a-priori-Abschätzung, ebenso wie das polynomiale Abklingen von Eigenlösungen, gewinnen wir durch Rückführung auf entsprechende Ergebnisse der Helmholtzgleichung. Ein geeignetes Kompaktheitsresultat, der sogenannte Wecksche Auswahlsatz (auch Maxwellsche Kompaktheitseigenschaft genannt), liefert dann die Konvergenz der approximativen Folge. Wir müssen endlichdimensionale Eigenräume für gewisse Eigenwerte einräumen, wobei sich diese Eigenwerte in $ℝ ∖ {0}$ nicht häufen können.

Anschließend präsentieren wir eine Lösungstheorie für das statische Problem $ω = 0 .$ Dieser vermeintlich einfachere Fall, bietet de facto eigene Schwierigkeiten, da zum einen die Gleichungen in diesem Fall völlig entkoppeln und außerdem zu

- rot H = F, rot E = G, {n \times E}_{∣_{Γ_{1}}} = 0, {n \times H}_{∣_{Γ_{2}}} = 0,

zusätzliche (im zeitharmonischen Fall implizit gegebene) Bedingungen der Art

$div μ H = g, div ϵ E = f,$

sowie geeignete Randbedingungen auf dem jeweils anderen Teil des Randes hinzutreten. Das entstehende Randwertproblem besitzt einen nichttrivialen Kern, so dass wir für eindeutige Lösungen geeignete Orthogonalitätsbedingungen einführen müssen. Diese Bedingungen realisieren wir durch die Konstruktion spezieller rotationsfreier Felder, die im Äußeren einer hinreichend großen Kugel verschwinden. Wir gewinnen Lösungen $(E, H) \in L_{- 1}^{2} (Ω) \times \in L_{- 1}^{2} (Ω)$ für Daten $(F, G) \in L^{2} (Ω) \times \in L^{2} (Ω),$ müssen aber die Vorraussetzungen an die Koeffizienten dahingehend erweitern, dass $ϵ$ und $μ$ außerhalb einer beliebig großen Kugel differenzierbar sind und auch ihre Ableitungen bei Unendlich asymptotisch gegen ein Vielfaches der Identität abklingen.

Schließlich gelingt es über die Darstellung der zeitharmonischen Lösungen im Ganzraum auch Null als Häufungspunkt der Eigenwerte auszuschließen. Damit ist für kleine Frequenzen der zeitharmonische Lösungsoperator $ℒ_{Λ, ω}$ wohldefiniert und eine Untersuchung des Grenzübergangs für $ω \to 0$ möglich. Unter passenden Voraussetzungen an die Koeffizienten $ϵ, μ$ sowie die Daten $(F, G)$ können wir schlussendlich die Konvergenz der zeitharmonischen Lösungen $ℒ_{Λ, ω} (F, G)$ gegen eine spezielle Lösung des statischen Problems $ℒ_{Λ, 0} (F, G)$ nachweisen.

The purpose of this graduation thesis entitled Strahlungsprobleme der Maxwell-Gleichungen für gemischte Randbedingungen im Außengebiet is to examine the low frequency behavior of the time-harmonic Maxwell's equations

- rot H + i ω ϵ E = F, rot E + i ω μ H = G, {n \times E}_{∣_{Γ_{1}}} = 0, {n \times H}_{∣_{Γ_{2}}} = 0 .

in an exterior domain

Ω \subset ℝ^{3},

whose boundary

Γ ≔ \partial Ω

is decomposed into two relatively open subsets

Γ_{1}

and

Γ_{2} ≔ Γ ∖ {\overline{Γ}}_{1} .

We assume

Ω

to be weak-Lipschitz and treat inhomogeneous anisotropic material parameters

ϵ, μ,

which decay at infinity asymptotically to a multiple of the identity.

For nonreal frequencies

ω

the solution is obtained by standard Hilbert space methods as

ω

belongs to the resolvent set of theMaxwell operator

M : R_{Γ1} (Ω) \times R_{Γ2} (Ω) \subset L_{Λ}^{2} (Ω) ⟶ L_{Λ}^{2} (Ω), (E, H) ⟼ i Λ- 1 M, L_{Λ}^{2} (Ω) ≔ L_{ϵ}^{2} (Ω) \times L_{μ}^{2} (Ω)

where

Λ ≔ (\begin{matrix} ϵ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix}), M ≔ (\begin{matrix} 0 & - rot \\ rot & 0 \end{matrix}), L_{γ}^{2} (Ω) ≔ (L^{2} (Ω), {< γ \cdot, \cdot >}_{L^{2} (Ω)})

The case of real frequencies $ω \neq 0$ is much more challenging, since here we want to solve in the continuous spectrum of the Maxwell operator. Nevertheless, restricting to data in polynomial weighted $L^{2} -$ spaces, we are able to obtain solutions by means of thelimiting absorption principle, i.e., as limit of solutions corresponding to frequencies $ω \in ℂ+ ∖ ℝ .$ The a-priori-estimate and the polynomial decay of eigenfunctions needed in the limit process are obtained by transferring well known results for the Helmholtz equation in the whole space. A suitable compactness result, called Weck's selection theorem, yields the convergence of the approximate sequence. Assuming that $ϵ, μ \in L^{∞} (Ω)$ decay with rate $r^{- κ}, κ > 1,$ this will be sufficient to show that a generalized Fredholm alternative holds. We have to admit finite dimensional eigenspaces for certain eigenvalues $ω \neq 0,$ which can not accumulate in $ℝ ∖ {0} .$

Having established the time-harmonic solution theory, we consider the static problem $ω = 0,$ i.e.,

- rot H = F, rot E = G, {n \times E}_{∣_{Γ_{1}}} = 0, {n \times H}_{∣_{Γ_{2}}} = 0,

Although this case seems to be simpler, it posses its own difficulties, as the equations are now fully decoupled and in order to determine

E

and

H

we have to add two more equations

$div μ H = g, div ϵ E = f,$

as well as additional boundary conditions on the respective other part of the boundary. The resulting boundary value problems of electro- resp. magneto-statics have non trivial kernels, forcing us to work with orthogonality constraints on solutions to achieve uniqueness. This specific difficulty is overcome by a construction of special compactly supported rotation free fields acting as certain linear functionals. We obtain solutions $(E, H) \in L_{- 1}^{2} (Ω) \times \in L_{- 1}^{2} (Ω)$ for data $(F, G) \in L^{2} (Ω) \times \in L^{2} (Ω),$ but have to extend the assumptions imposed on $ϵ, μ$ in the sense that they are differentiable outside of an arbitrary large ball and also their derivatives decay asymptotically to a multiple of the identity.

Finally, by proving an estimate for the solutions of the homogeneous and isotropic whole space problem together with an perturbation argument, we show that the possible eigenvalues do not accumulate even at

ω = 0 .

Therefore, for small

ω \neq 0

the time-harmonic solution operator

ℒ_{Λ, ω}

is well defined and a low frequency analysis is reasonable. In fact, we are able to prove the convergence of the time-harmonic solutions

ℒ_{Λ, ω} (F, G)

to a specific static solution

ℒ_{Λ, 0} (F, G)

on a certain subspace, i.e.,

ℒ_{Λ, ω} ⟶ ℒ_{Λ, 0}

ω \to 0 .

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