Adaptive spectral least-squares techniques for reaction-diffusion equations

Marquardt, Pascal GND

In this thesis we are proposing a new numerical method for solving systems of reactiondiffusion equations. In particular we are focussing on Turing mechanisms, which are a special form of reaction-diffusion equations introduced by Alan Turing in 1952. The speciality of these equations is that diffusion is considered destabilising. Thus starting with a fully stable steady state so-called Turing patterns are established in the solution of the system of partial differential equations. Our approach is based on the triangular spectral element methods. To enhance the performance of the triangular spectral element methods, we are extending them with algorithms for spatial adaptation of the considered domain. We have seen in past studies that this provides excellent improvements to spectral methods. For a good comparison of different refinement criteria we are taking account of one heuristic criterion and two spectral criteria closely related to our method. In difference to recent research we are now considering time-dependent problems with triangular spectral element methods. For the temporal discretisation of the Turing mechanisms we are applying a generic theta-integration scheme with different values for theta. To deal with problems arising from a static time step size, we are additionally introducing an algorithm for an adaptive time step control. Finally we are going to validate our method in two ways. First we are considering three different time-independent model problems for which we already know the exact solution. This will be done to generally verify the correctness of the method and the implementation. Second we are applying our approach to the Turing mechanisms. For these equations we do not know the solution, therefore we compare our results to theoretical assumptions. When validating the method we are also comparing different configurations of our approach. We will see in chapter 7 that our method combined with a spectral refinement criterion and using adaptive time step size with the Crank-Nicolson method for temporal discretisation provides good results for any Turing mechanism.

In dieser Doktorarbeit schlagen wir eine neue numerische Methode zur Lösung von Systemen von Reaktion-Diffusionsgleichungen vor. Dabei konzentrieren wir uns im Speziellen auf Turing-Mechanismen, die einen Sonderfall der Reaktion-Diffusionsgleichungen darstellen, vorgestellt 1952 von Alan Turing. Die Besonderheit dieser Gleichung ist, dass sie Diffusion als destabilisierend betrachten. Ausgehend von einem vollkommen stabilen Gleichgewichtszustand entwickeln sich sogenannte Turing-Muster in der Lösung des Systems von partiellen Differenzialgleichungen. Unser Ansatz beruht auf der dreiecksbasierten Spektrale-Elemente-Methode. Zur Verbesserung der Performanz erweitern wir die dreiecksbasierte Spektrale-Elemente-Methode durch Algorithmen zur adaptiven Gitterverfeinerung. Aus vorherigen Untersuchungen wissen wir, dass die spektralen Methoden dadurch stark verbessert werden können. Für einen guten Vergleich verschiedener Verfeinerungskriterien betrachten wir ein heuristisches Kriterium sowie zwei spektrale Kriterien, die einen direkten Bezug zu unserer Methode aufweisen. Im Unterschied zu anderen Untersuchungen betrachten wir zeitabhängige Probleme mit der dreiecksbasierten Spektrale-Elemente-Methode. Für die zeitliche Diskretisierung der Turing-Mechanismen verwenden wir die allgemeine Theta-Integrationsmethode mit verschiedenen Werten für Theta. Um Probleme, die sich durch eine statische Zeitschrittweite ergeben, zu umgehen, stellen wir außerdem eine adaptive Zeitschrittweitensteuerung vor. Abschließend validieren wir unsere Methode auf zwei Arten. Zum einen betrachten wir drei verschiedene zeitunabhängige Modellprobleme, deren exakte Lösung bereits bekannt ist. Dies dient der allgemeinen Bestätigung, dass sowohl Methode als auch Implementierung korrekt sind. Zum anderen wenden wir unseren Ansatz auf die Turing-Mechanismen an. Für diese Gleichung ist uns keine Lösung bekannt, daher vergleichen wir unsere Ergebnisse mit theoretischen Annahmen. In Kapitel 7 werden wir feststellen, dass unsere Methode in Kombination mit einem spektralen Verfeinerungskriterium, einer adaptive Zeitschrittweite und zeitlicher Diskretisierung mittels Crank-Nicolson-Methode sehr gute Ergebnisse für beliebige Turing-Mechanismen liefert.

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Marquardt, P., 2020. Adaptive spectral least-squares techniques for reaction-diffusion equations. https://doi.org/10.17185/duepublico/71918
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