Many-demes limit for interacting diffusions with applications in population genetics

Pieper, Daniel GND

We study the behavior of systems of interacting diffusions as the number of diffusions converges to infinity. In contrast to the majority of the available literature, we do not assume that the involved diffusions have the same distribution or that they are of the same size. Instead, we prove that in the sparse regime where only a few diffusions start outside of an attainable absorbing state, the system of interacting diffusions converges in distribution to a forest of excursions. In particular, initial independence propagates in the limit and results in a forest of independent trees. We thereby observe a propagation of chaos phenomenon under nonclassical assumptions. We further establish an upper bound for a C^m-norm, m in {0,1,2}, of the semigroups of diffusions with square-root diffusion coefficients in terms of the C^m-norm of the drift coefficients and of the squared diffusion coefficients. The systems of interacting diffusions considered in this thesis are motivated by applications in mathematical biology. These diffusions model the evolution of frequencies of certain traits in a spatially structured population. We apply our results to two examples. In the first example, the diffusion models the frequency of an altruistic defense trait. The second example is the Wright-Fisher diffusion with selection and rare mutations.

Wir untersuchen das Verhalten von Systemen interagierender Diffusionen in dem Fall, dass die Anzahl der Diffusionen gegen unendlich konvergiert. Im Gegensatz zu dem Großteil der vorhandenen Literatur nehmen wir nicht an, dass die beteiligten Diffusionen die gleiche Verteilung besitzen oder dass sie gleich groß sind. Stattdessen beweisen wir im dünn besetzten Fall, in dem nur wenige Diffusionen außerhalb eines erreichbaren absorbierenden Zustands starten, dass das System interagierender Diffusionen in Verteilung gegen einen Exkursionswald konvergiert. Insbesondere pflanzt sich eine Unabhängigkeit der Startwerte im Grenzwert fort und führt zu einer Unabhängigkeit der Exkursionsbäume im Exkursionswald. Dadurch beobachten wir ein Propagation-of-Chaos-Phänomen unter nichtklassischen Annahmen. Weiterhin berechnen wir eine obere Schranke für eine C^m-Norm, m in {0,1,2}, der Halbgruppen von Diffusionen mit Wurzeltermen als Diffusionskoeffizienten. Diese Schranke ist in Termen der C^m-Norm der Drift- und der quadrierten Diffusionskoeffizienten angegeben. Die in dieser Arbeit betrachteten Systeme interagierender Diffusionen sind durch Anwendungen in der mathematischen Biologie motiviert. Dort modellieren sie die Entwicklung von Häufigkeiten gewisser Merkmale in einer räumlich angeordneten Population. Wir wenden unsere Resultate auf zwei Beispiele an. In dem ersten Beispiel modelliert die Diffusion die Häufigkeit eines altruistischen Verteidigungsmerkmals. Das zweite Beispiel ist die Wright-Fisher-Diffusion mit Selektion und seltenen Mutationen.

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Pieper, D., 2020. Many-demes limit for interacting diffusions with applications in population genetics. https://doi.org/10.17185/duepublico/71899
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