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Sufficient optimality conditions for nonlinear optimization problems

Naß, Martin

In dieser Arbeit betrachten wir abstrakte nichtlineare Optimalsteuerpro- bleme in Banach- bzw. Hilberträumen. Wir nehmen an, dass eine diskrete Version des Problems vorliegt, die gewisse Approximationseigenschaften bezüglich des Zielfunktionals und des Steuerungs-Zustands-Operators erfüllt und von der wir eine lokale Lösung bestimmen können. Nachdem wir die nötigen mathematischen Grundlagen vorgestellt haben leiten wir, ausgehend von solch einer lokalen Lösung, hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung her. Die von uns hergeleiteten Bedingungen haben den Vorteil, dass sie mittels berechenbarer Größen und der bereits vorliegenden diskreten Lösung auf ihre Gültigkeit hin uberprüft werden können. Wir demonstrieren alle benötigten Berechnungen anhand einer eindimensionalen Problemklasse und befassen uns anschließend mit den numerischen Aspekten. Wir führen die Finite Element Methode zur Diskretisierung unendlichdimensionaler Funktionenräume ein und präsentieren die Lagrange- Newton-SQP Methode zum Lösen nichtlinearer Probleme. Danach betrachten wir ein konkretes Beispiel zu dem wir die numerischen Ergebnisse vorstellen und sie im Hinblick auf Konvergenz und Gültigkeit der hinreichenden Bedingungen analysieren.

We study an abstract nonlinear optimal control problem in Banach and Hilbert spaces, respectively. We assume the existence of a discrete counterpart to this problem, which fulfills certain approximation properties regarding the cost functional and the control to state operator. We also assume that we can compute a local solution uh for this discrete problem. After introducing the mathemical background to this type of problems we develop sufficient optimality conditions of second order. These conditions depend only on the known discrete solution uh and other computable quantities, which allows us to check if they are satisfied. We demonstrate the necessary computations for a one-dimensional problem class up to the point were they can be applied to a concrete example. Then we introduce the numerical methods we want to put to use throughout our numerical experiments, namely the Finite Element Method for the discretization of infinite dimensional function spaces and the Lagrange-Newton SQP method to solve nonlinear problems. We present the numerical results and analyse them with respect to the order of convergence of the occuring errors and the sufficient conditions.

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Naß, Martin: Sufficient optimality conditions for nonlinear optimization problems. 2014.

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