Domain Decomposition Methods for Elastic Materials with Compressible and Almost Incompressible Components
Domain decomposition methods are iterative methods to solve large systems of equations, obtained, e.g., from finite element discretization. Here, the domain is decomposed into smaller subproblems, which can be solved in parallel. In the first part of this work, new condition number bounds are proven for a FETI-DP type (Finite Element Tearing and Interconnecting Dual-Primal) domain decomposition method for compressible linear elasticity in 3D. Each subdomain may contain an inclusion having different material properties. The condition number bound only depends on the subdomain diameter, the finite element diameter, and the thickness of the compressible hull. It is independent of the material parameters in the inclusions, thus almost incompressible inclusions are also possible. In the second part of this thesis a new coarse space for FETI-DP methods for almost incompressible linear elasticity on the whole domain is presented. This coarse space is much smaller than the standard coarse space for FETI-DP or BDDC methods for almost incompressible linear elasticity.
Gebietszerlegungsalgorithmen sind iterative Verfahren zum Lösen großer Gleichungssysteme, die z. B. durch den Finite-Elemente-Ansatz entstehen. Dabei wird das Ausgangsproblem in kleinere Teilprobleme zerlegt, die dann parallel gelöst werden können. Im ersten Teil der Arbeit werden neue Konditionszahlabschätzungen für Gebietszerlegungsverfahren vom FETI-DP- Typ (Finite Element Tearing and Interconnecting Dual-Primal) für kompressible lineare Elastizitätsprobleme in 3D bewiesen, wobei in jedem Gebiet Einschlüsse mit anderen Materialparametern eingebettet sein können. Die Abschätzungen hängen dabei nur von dem typischen Teilgebietsdurchmesser, dem Finite-Elemente-Durchmesser und der Breite einer kompressiblen Hülle ab. Sie ist unabhängig von den Materialparametern in den Einschlüssen. Auch fast-inkompressible Einschlüsse sind möglich. Im zweiten Teil der Arbeit wird ein neuer Grobgitterraum für FETI-DP-Verfahren für fast-inkompressible Elastizität vorgestellt. Dieser Grobgitterraum ist erheblich kleiner als bisher bekannte Grobgitterräume für FETI-DP oder BDDC-Verfahren für fast-inkompressible lineare Elastizität.
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