Differentialgleichungsrelative von Klassen linearer und nichtlinearer Kontrollsysteme

Sauerland, Axel

In der Arbeit werden relationen-algebraische Strukturmerkmale derjenigen Regel-Relative analysiert, die durch Differentialgleichungen von Beispielklassen linearer, bilinearer und multilinearer Systeme der ingenieurwissenschaftlichen Regelungstheorie definiert werden. Bei Vorlage einer inhomogenen, linearen Differentialgleichung 1. Ordnung wird gezeigt, daß das zugehörige Differentialgleichungsrelativ bis auf einen Ausnahmefall im Kommutativgesetz und zwei Ausnahmen in der Homogenitätsregel allen Eigenschaften eines affinen Richtungsrelativs genügt. Zusätzlich werden erstmals Relative definiert, bei denen im Kommutativgesetz echte Enthaltenseinsbeziehungen bei den Produkten zweier Relationen auftreten. In der Erweiterung auf 2 Dimensionen erweisen sich die Differentialgleichungsrelative von zweigliedrigen Systemen inhomogener linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten als schwach affin, sofern die Koeffizientenmatrix nicht nur rein imaginäre Eigenwerte besitzt. Schließlich werden in der Arbeit Sonderformen von eingliedrigen Differentialgleichungen analytischer Systeme mit linearer Steuerung (ALS), nämlich die bilinearen (BLS) und multilinearen Systeme (MLS) betrachtet. Die zugehörigen Differentialgleichungsrelative der allgemeinen MLS und BLS sind erwartungsgemäß nicht mehr scharf einfach transitiv - immerhin aber noch produkttransitiv - und es können keine Aussagen über Kommutativität oder Homogenität getroffen werden. Überraschend wird in der Arbeit aber dann bewiesen, daß die Relative der so genannten zustandshomogenen und eingangshomogenen zBLS / eBLS isomorph zu dem affinen Relativ der reellen euklidischen Ebene, also selbst affin, sind. Oder anders gesprochen: Der Lösungsraum der zBLS und eBLS ist - unerwarteterweise, da affine Strukturen aufgrund der Mächtigkeit ihrer Eigenschaften sehr wenige Beispielklassen haben - eine affine und sogar desarguessche Geometrie!

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Sauerland, Axel: Differentialgleichungsrelative von Klassen linearer und nichtlinearer Kontrollsysteme. 2014.

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