Sehr singuläre Lösungen eines geometrisch nichtlinearen Cosserat-Modells für mikropolare Festkörper
Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Regularität kritischer Punkte einer Form der Cosserat-Energie aus der Modellierung mikropolarer elastischer Festkörper. Während für die Minimierer dieses Funktionals bereits lokale Hölder-Stetigkeit in der gesamten offenen Definitionsmenge bekannt ist, stellt sich die Frage, ob ohne Zusatzvoraussetzungen eine allgemeine (partielle) Regularitätsaussage für alle kritischen Punkte des Funktionals gelten kann.
Auf der Suche nach einer Antwort wird zunächst das ursprüngliche Cosserat-Modell erläutert und im Detail aufgezeigt, weshalb die Frage nach der Regularität kritischer Punkte der betrachteten Cosserat-Energie aufkam. Die zentrale Idee hinter allen späteren Ausführungen besteht darin, bekannte Methoden aus der Theorie harmonischer Abbildungen mit Werten in der Einheitssphäre auszunutzen. Der Zusammenhang zwischen letzteren und Cosserat-Körpern wird beleuchtet, während gleichzeitig weitere Konzepte wie der topologische Abbildungsgrad und Dipol-Paare von Punktsingularitäten für Abbildungen in eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit verallgemeinert werden. Danach wird gezeigt, wie in ursprünglich glatte Abbildungen Dipole eingefügt werden können unter Aufwendung einer kontrollierten Menge von Cosserat-Energie.
Ebenso wird eine erste partielle Regularitätsaussage für diejenigen kritischen Punkte getroffen, welche gleichzeitig Minimierer eines auf eine Untermannigfaltigkeit eingeschränkten Problems zu gegebenen stetig differenzierbaren Dirichlet-Randbedingungen sind. Dazu wird nachgewiesen, dass die singuläre Menge solcher Abbildungen diskret ist und ganz im Inneren des Definitionsbereichs liegt. Im Einklang mit bestimmten Situationen für harmonische Abbildungen erhält man bessere Regularität am Rand als im Inneren. Insgesamt sind also für diese Subklasse kritischer Punkte höchstens isolierte Punktsingularitäten zu erwarten.
Schließlich werden Regularitätsaussage und Dipol-Konstruktion kombiniert, um die Existenz kritischer Punkte der Cosserat-Energie mit einer beliebig großen (endlichen) vorgegebenen Zahl von Singularitäten zu zeigen. Der Nachweis dieser „sehr singulären Lösungen“ ist das Hauptziel der Arbeit.
In this thesis, we investigate the regularity of critical points of a certain type of Cosserat energy, stemming from the modelling of micro-polar elastic materials. While minimizers of this type of Cosserat energy are known to be Hölder continuous in all of the open domain, it has been an open question, if (partial) regularity can hold for arbitrary critical points of the given functional, without any further assumptions.
In the beginning, we explain the underlying nonlinear Cosserat model and show in detail how the regularity question for critical points of the investigated Cosserat energy became apparent. The central idea behind all considerations is to exploit well known results about harmonic maps with values in the unit sphere. The connection between the latter ones and Cosserat solids is being looked at next, while we also introduce necessary generalized concepts such as the degree of a map and dipole pairs of point singularities for mappings into non-orientable manifolds. After that, we demonstrate how dipoles can be inserted into formerly smooth mappings while controlling the amount of Cosserat energy needed to do so.
Furthermore, a first partial regularity result is proved for those critical points of the functional, which minimize the Cosserat energy among mappings on a certain submanifold, given continuously differentiable Dirichlet boundary conditions. We demonstrate discreetness of the singular set of these critical points and moreover that their singular set is completely contained in the interior of the domain. Therefore, in some situations boundary regularity is “better” than interior regularity, similar to the behaviour of harmonic maps. In particular, we can expect isolated point singularities at most for this subclass of critical points.
Subsequently, the developed techniques and partial regularity result are combined and used to prove the existence of corresponding critical points of the Cosserat energy, which exhibit an arbitrarily large (finite) prescribed number of singularities. This result about “very singular solutions” is the final aim of this thesis.