A Novel Continuous and Efficient Approach for In-Plane Thick-Muscle Wrapping on a Surface
In the context of biomechanical research, the simulation of the human musculoskeletal system plays a central role in understanding human motion or physical stress during specific movements. The correct representation of the muscles is important in this context, whereby a balance between high accuracy and computational efficiency has to be found. A common approach within muscle-actuated simulations is, therefore, to model the muscles as thin, massless lines and define their path by wrapping them over defined obstacle surfaces. These methods reach their limits in cases where the muscle thickness is not negligible and may even vary during contraction. Here, a laborious placement and displacement of the wrapping surfaces becomes necessary.
This problem is addressed in this thesis: The objective is to develop a novel, continuous approach for placing thick, convex muscles, with the radius defined along their centerline, frictionlessly over smooth and convex surfaces and having the location of the centerline automatically determined. The endpoints of the muscle are supposed to move freely and stretching as well as associated lateral contraction of the muscle and change in its outer appearance are also to be taken into account.
For this purpose, starting from a discretization of the thick muscle as a string of spherical beads, the continuous computation of the position of the wrapped centerline is derived as limit for an infinite number of beads. Not considering the elongation at first, the muscle sliding along a surface is regarded and the velocity transmission from one end to the other is derived. Then the condition of constant centerline length is omitted and the effects of longitudinal elongation and lateral contraction of the muscle are examined using perturbation theory, with one of the muscle's free ends initially held fixed. The combination of these approaches through superposition finally allows the desired wrapping, sliding and stretching of a thick muscle on a smooth surface. This leads to an algorithm consisting of two nested integrations: The outer integration concerns the satisfaction of the constraint equations at the segment transitions between wrapped segment and undeformed free end straight line segments, while the inner integration provides the required quantities along the wrapped segment, i.e., the centerline length, the velocity transmission, and the influence of strain.
The method is validated against an implementation of a bead chain discretization as well as position-level iterations. It proves to be highly efficient in terms of computation with high accuracy. Finally, it is successfully applied to the musculus deltoideus in the biomechanical example of a shoulder joint projected onto the coronal plane.
Im Rahmen der biomechanischen Forschung spielt die Simulation des menschlichen Bewegungsapparates eine zentrale Rolle für das Verständnis der menschlichen Bewegung oder der Belastungen bei spezifischen Tätigkeiten.
Wichtig ist hierfür die korrekte Darstellung der Muskeln, wobei eine Balance zwischen hoher Genauigkeit und Recheneffizienz gefunden werden muss.
Ein gängiger Ansatz ist daher das Darstellen der Muskeln als dünne, masselose Linien und die Festlegung ihres Pfades durch das Wickeln über definierte Flächen.
In Fällen, in denen die Muskeldicke nicht zu vernachlässigen ist und während der Kontraktion sogar noch variiert, geraten diese Methoden an ihre Grenzen, da ein aufwändiges Platzieren und Verschieben der Wickeloberflächen notwendig wird.
Hier setzt diese Arbeit an: Ziel ist, eine neue, kontinuierliche Methode zu entwickeln, um dicke, konvexe Muskeln, deren Radius entlang ihrer Mittellinie definiert ist, reibungsfrei über glatte und konvexe Oberflächen zu legen und dabei die Lage der Mittellinie automatisch zu bestimmen. Die Endpunkte des Muskels sollen dabei frei beweglich sein und Dehnung sowie damit verbundene Querkontraktion des Muskels und Änderung seiner äußeren Erscheinungsform ebenfalls berücksichtigt werden.
Ausgehend von einer Diskretisierung des dicken Muskels als Perlenschnur wird die kontinuierliche Berechnung der gewickelten Mittellinie als Grenzwert für eine unendliche Anzahl von Perlen abgeleitet. Zunächst ohne Längsdehnung wird das Verschieben des Muskels entlang der Oberfläche untersucht und die Geschwindigkeitsübertragung von einem zum anderen Ende hergeleitet. Anschließend werden die Bedingung der konstanten Länge aufgehoben und die Auswirkungen der Längsdehnung und Querkontraktion mit Hilfe der Störungsrechnung untersucht, wobei eins der freien Muskelenden vorerst fixiert wird. Die Kombination dieser Ansätze ermöglicht schließlich das gewünschte Wickeln, Verschieben und Dehnen eines dicken Muskels auf einer glatten Oberfläche. So entsteht ein aus zwei verschachtelten Integrationen bestehender Algorithmus: Die äußere bezieht sich auf die Erfüllung der Bindungsgleichungen an den Übergängen vom gewickelten Segment zu den unverformten freien Enden; die innere sorgt für die dafür benötigten, entlang des gewickelten Segments übertragenen Größen, nämlich der Länge der Mittellinie, der Geschwindigkeitsübertragung und des Einflusses der Dehnung.
Die Methode wird im Vergleich zu einer Perlenketten-Diskretisierung sowie zu Iterationen auf Positionsebene validiert. Dabei erweist sie sich als äußerst recheneffizient und genau. Zuletzt wird das Verfahren erfolgreich auf den musculus deltoideus als biomechanisches Beispiel des in die Frontalebene projizierten Schultergelenks angewendet.