Metric two-level measure spaces : a state space for modeling evolving genealogies in host-parasite systems
We extend the notion of metric measure spaces to so-called metric
two-level measure spaces (m2m spaces for short). An m2m space is
an isomorphism class of a triple (X, r, ν), where (X, r) is a
Polish metric space and where ν is a finite measure on the set
of finite measures on X. We define a point separating class of
test functions on the set of m2m spaces based on the idea of
sampling finite subspaces of (X, r) by means of ν (we use ν
to sample finite measures and then sample a finite subset of X
with the sampled measures). We then study the topology which is
induced by these test functions and show that this topology is
Polish by providing a complete metric.
The framework introduced in this thesis is motivated by possible
applications in mathematical biology. It is designed for modeling the
random evolution of the genealogy of a population in a hierarchical
system with two levels, for example, a host-parasite system or a
population which is divided into colonies. As an example we apply our
theory to construct a random m2m space which is modeling the genealogy
of a nested Kingman coalescent.
Wir verallgemeinern den Begriff der metrischen Maßräume zu
sogenannten metrischen zwei-Level Maßräumen (abgekürzt als
m2m-Räume). Dabei definieren wir einen m2m-Raum als die
Isomorphieklasse eines Tripels (X, r, ν), wobei (X, r) ein
polnischer metrischer Raum und ν ein endliches Maß auf der
Menge der endlichen Maße auf X ist. Wir betrachten die Menge
aller m2m-Räume und führen eine separierende Klasse von
Testfunktionen auf dieser Menge ein. Die Definition der
Testfunktionen basiert dabei auf der Idee endliche Teilräume von
(X, r) mit Hilfe von ν zu samplen, d.h. wir samplen endlich
Maße mittels ν und benutzen diese Maße, um endliche viele
Punkte aus X zu samplen. Wir untersuchen die von diesen
Testfunktionen erzeugte Topologie (auf der Menge der m2m-Räume)
und zeigen unter anderem, dass diese Topologie polnisch ist,
indem wir eine vollständige Metrik für diese Topologie angeben.
Die Definition der m2m-Räume und der obigen Topologie ist motiviert
durch Anwendungen in der mathematische Biologie. Die Menge der
m2m-Räume ist geeignet als Zustandsraum für stochastische Prozesse,
welche die Genealogie einer Population in einem hierarchischen System
mit zwei Leveln modelliert, wie z.B. in einem Wirt-Parasit System.
Beispielhaft wenden wir unsere Resultate an, um einen zufälligen
m2m-Raum zu konstruieren, welcher die Genealogie in einem zwei-Level
Kingman Koaleszenten modelliert.