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Metric two-level measure spaces : a state space for modeling evolving genealogies in host-parasite systems

Meizis, Roland GND

We extend the notion of metric measure spaces to so-called metric two-level measure spaces (m2m spaces for short). An m2m space is an isomorphism class of a triple (X, r, ν), where (X, r) is a Polish metric space and where ν is a finite measure on the set of finite measures on X. We define a point separating class of test functions on the set of m2m spaces based on the idea of sampling finite subspaces of (X, r) by means of ν (we use ν to sample finite measures and then sample a finite subset of X with the sampled measures). We then study the topology which is induced by these test functions and show that this topology is Polish by providing a complete metric. The framework introduced in this thesis is motivated by possible applications in mathematical biology. It is designed for modeling the random evolution of the genealogy of a population in a hierarchical system with two levels, for example, a host-parasite system or a population which is divided into colonies. As an example we apply our theory to construct a random m2m space which is modeling the genealogy of a nested Kingman coalescent.

Wir verallgemeinern den Begriff der metrischen Maßräume zu sogenannten metrischen zwei-Level Maßräumen (abgekürzt als m2m-Räume). Dabei definieren wir einen m2m-Raum als die Isomorphieklasse eines Tripels (X, r, ν), wobei (X, r) ein polnischer metrischer Raum und ν ein endliches Maß auf der Menge der endlichen Maße auf X ist. Wir betrachten die Menge aller m2m-Räume und führen eine separierende Klasse von Testfunktionen auf dieser Menge ein. Die Definition der Testfunktionen basiert dabei auf der Idee endliche Teilräume von (X, r) mit Hilfe von ν zu samplen, d.h. wir samplen endlich Maße mittels ν und benutzen diese Maße, um endliche viele Punkte aus X zu samplen. Wir untersuchen die von diesen Testfunktionen erzeugte Topologie (auf der Menge der m2m-Räume) und zeigen unter anderem, dass diese Topologie polnisch ist, indem wir eine vollständige Metrik für diese Topologie angeben. Die Definition der m2m-Räume und der obigen Topologie ist motiviert durch Anwendungen in der mathematische Biologie. Die Menge der m2m-Räume ist geeignet als Zustandsraum für stochastische Prozesse, welche die Genealogie einer Population in einem hierarchischen System mit zwei Leveln modelliert, wie z.B. in einem Wirt-Parasit System. Beispielhaft wenden wir unsere Resultate an, um einen zufälligen m2m-Raum zu konstruieren, welcher die Genealogie in einem zwei-Level Kingman Koaleszenten modelliert.

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Meizis, Roland: Metric two-level measure spaces. a state space for modeling evolving genealogies in host-parasite systems. 2019.

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