Eine spektrale Least-Squares Kollokationsmethode auf Dreieckselementen und ihre Anwendung zur Lösung elliptischer und Navier-Stokes-Gleichungen
In dieser Arbeit haben wir eine spektrale Least-Squares Kollokationsmethode auf Dreieckslementen entwickelt.
Als Kollokationspunkte wurden die Feketepunkte für die Polynomgrade N = 3, 6, 9, 12 verwendet. Für die Approximation der gesuchten Lösung wurden die orthonormalen Dubinerpolynome als Ansatzfunktionen ausgewählt. Um die höhere Regularitätsbedingung der gesuchten Lösung, die für die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate benötigt wird, herabzusetzen, wurden Hilfsfunktionen eingeführt. Die Anwendung der Kollokationsbedingungen zusammen mit Rand- und Interfacebedingungen führte zu einem überbestimmten Gleichungssystem, welches mit der Methode der kleinsten Quadrate effizient gelöst werden konnte.
Durch die Anwendung der hier vorgestellten Methode auf Stokes- und Navier-Stokes-Probleme wird die LBB-Bedingung umgangen. Somit konnten wir für die Approximation der Geschwindigkeitskomponenten und des Druckes Polynome gleichen Grades verwenden.
Die Anwendung unserer Methode auf das Poisson-Problem und die Konvektions-Diffusions-Gleichung lieferte exponentielle Konvergenz für glatte Lösungen. Für die in den letzten beiden Kapiteln betrachteten Stokes- und Navier-Stokes-Probleme konnten wir dieses Verhalten ebenfalls nachweisen. Zur Zeitdiskretisierung des instationären Problems wurde ein BDF-Verfahren der Ordnung zwei benutzt. Unsere numerischen Ergebnisse bestätigen, dass hier ein Verfahren zweiter Ordnung vorliegt und unsere Methode auch für zeitabhängige Probleme sehr gute Ergebnisse liefert.
Für das im letzten Beispiel betrachtete Driven-Cavity-Problem erhalten wir sehr gute Lösungen für unterschiedliche Reynolds-Zahlen. In diesem Beispiel konnten wir zeigen, dass unsere Methode die Bedingung zur Massenerhaltung sehr gut erfüllt.
In this thesis we developed a Least Squares Collocation method using triangular elements to solve elliptic and Navier-Stokes equations.
The Fekete points of the triangle were used as collocation nodes for polynomial degrees N = 3, 6, 9, 12. We used the orthonormal Dubinerpolynomials as trial functions to approximate the unknown exact solution. To reduce the higher regularity requirements of the Least Squares method, the governing equations are transformed to an equivalent first-order system.
The collocation conditions, the boundary conditions and the interface conditions lead to an overdetermined system. This System can be solved efficiently by Least Squares methods.
The application of our scheme to Stokes- and Navier-Stokes equations circumvents the Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi condition (inf-sup stability condition). Therefore we are able to employ polynomials of the same degree for the velocity components and for the pressure.
Our numerical simulations in Chapter 3 and 4 verify the spectral convergence property for smooth solutions of elliptic equations. In Chapter 5 and 6 we demonstrate spectral convergence for smooth solutions to the Stokes- and Navier-Stokes problems.
For the time integration of the unsteady problems we used the second order BDF scheme.
It can be observed that our scheme performs very good and our numerical results confirm that it is of second order in time.
In Chapter 6 we succesfully applied our scheme to the driven cavity flow problems for various Reynolds numbers. For this example we confirmed exellent conservation of mass.