Boundary control of a chemotaxis system
Chemotaxis describes the directed movement of cells along the gradient of a chemical substance. Mathematically, this can be described by a quasilinear parabolic system of partial differential equations. In the work at hand we analyze an optimal control problem for the chemotaxis equations where the control is located at the boundary. Using the concept of maximal parabolic regularity, we show that for controls $g\in L_r(0,T;L_p(\Gamma))$, where $r\geq 2$ and $p>N$ such that $\frac 2r +\frac Np<1$, the state system has a unique solution $(u,v) \in \left[ L_r(0,T;W^1_p(\Omega))\cap W^1_r(0,T;W^{-1}_p(\Omega))\right]^2$. Under the additional assumption that $r>2p$, the adjoint system, which is needed to derive optimality conditions, has the same regularity. After that, we show that the control problem possesses an optimal solution. We derive necessary optimality conditions of first order for the control problem, which serve as a basis for many numerical methods for finding a solution, as well as sufficient optimality conditions of second order for the control problem. These second order conditions allow us to prove quadratic convergence of an SQP method. This is illustrated in a numerical example.
Chemotaxis beschreibt die gerichtete Bewegung von Zellen entlang des Konzentrationsgradienten eines Lock- oder Schreckstoffs. Mathematisch lässt sich dieses Phänomen durch ein quasilineares System parabolischer Differentialgleichungen beschreiben. In dieser Arbeit betrachten wir ein Optimalsteuerproblem für diese Gleichungen mit Steuerung am Rand des Gebiets. Mit Hilfe des Konzepts der maximalen parabolischen Regularität zeigen wir, dass das Zustandssystem für Steuerungen $g\in L_r(0,T;L_p(\Gamma))$ mit $r\geq 2$ und $p>N$ so, dass $\frac 2r +\frac Np<1$ gilt, eindeutig lösbar ist und seine Lösungen im Raum $\left[ L_r(0,T;W^1_p(\Omega))\cap W^1_r(0,T;W^{-1}_p(\Omega)) \right]^2$ liegen. Unter der zusätzlichen Bedingung $r>2p$ besitzt auch das adjungierte System, welches wir für die Formulierung von Optimalitätsbedingungen brauchen, eine eindeutige Lösung im gleichen Raum. Danach zeigen wir, dass auch das Steuerproblem selbst eine Lösung besitzt. Wir leiten sowohl notwendige Optimalitätsbedingungen her, die als Basis für viele numerische Verfahren dienen, als auch hinreichende Bedingungen zweiter Ordnung. Letztere erlauben uns zu zeigen, dass ein SQP-Verfahren für das Steuerproblem quadratisch konvergiert. Dies veranschaulichen wir anhand eines Beispiels.
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