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Supersymmetry in Random Matrix Theory

Kieburg, Mario

I study the applications of supersymmetry in random matrix theory. I generalize the supersymmetry method and develop three new approaches to calculate eigenvalue correlation functions. These correlation functions are averages over ratios of characteristic polynomials. In the first part of this thesis, I derive a relation between integrals over anti-commuting variables (Grassmann variables) and differential operators with respect to commuting variables. With this relation I rederive Cauchy– like integral theorems. As a new application I trace the supermatrix Bessel function back to a product of two ordinary matrix Bessel functions. In the second part, I apply the generalized Hubbard–Stratonovich transformation to arbitrary rotation invariant ensembles of real symmetric and Hermitian self-dual matrices. This extends the approach for unitarily rotation invariant matrix ensembles. For the k–point correlation functions I derive supersymmetric integral expressions in a unifying way. I prove the equivalence between the generalized Hubbard–Stratonovich transformation and the superbosonization formula. Moreover, I develop an alternative mapping from ordinary space to superspace. After comparing the results of this approach with the other two supersymmetry methods, I obtain explicit functional expressions for the probability densities in superspace. If the probability density of the matrix ensemble factorizes, then the generating functions exhibit determinantal and Pfaffian structures. For some matrix ensembles this was already shown with help of other approaches. I show that these structures appear by a purely algebraic manipulation. In this new approach I use structures naturally appearing in superspace. I derive determinantal and Pfaffian structures for three types of integrals without actually mapping onto superspace. These three types of integrals are quite general and, thus, they are applicable to a broad class of matrix ensembles.

Die Untersuchung des Verhältnisses zwischen der Supersymmetrie und der Zufallsmatrixtheorie steht im Mittelpunkt dieser Arbeit. Es wird die Supersymmetriemethode verallgemeinert. Weiterhin werden drei neue Berechnungsmethoden von Eigenwertkorrelationsfunktionen entwickelt. Diese Korrelationsfunktionen sind Mittelwerte von Quotienten, welche aus charakteristischen Polynomen aufgebaut sind. Im ersten Teil dieser Arbeit wird ein Zusammenhang zwischen Integralen über antikommutierenden Variablen (Grassmann–Variablen) und Differentialoperatoren hergeleitet. Die Differentialoperatoren wirken nur auf den kommutierenden Anteil der Variablen. Mittels dieses Zusammenhangs werden Cauchy–ähnliche Integraltheoreme verifiziert. Außerdem werden die Supermatrix–Bessel–Funktionen auf ein Produkt von zwei gewöhnlichen Matrix– Bessel–Funktionen zurückgeführt. Im zweiten Teil wird die verallgemeinerte Hubbard–Stratonovich–Transformation auf beliebige rotationsinvariante Ensembles über den reell symmetrischen und hermitesch selbstdualen Matrizen angewandt. Somit wird ein Ansatz für die unitär rotationsinvarianten Matrixensembles erweitert. Es werden für die k–Punktkorrelationsfunktionen dieser Ensembles supersymmetrische Integralausdrücke in vereinheitlichter Form hergeleitet. Weiterhin wird gezeigt, dass die verallgemeinerte Hubbard–Stratonovich–Transformation mit der Superbosonisationsformel übereinstimmt. Ebenfalls wird eine alternative Abbildung von Integralen über gewöhnlichen Matrizen zu Integralen über Supermatrizen angegeben. Dabei werden explizite funktionale Ausdrücke für die Wahrscheinlichkeitsdichten über den Superräumen hergeleitet, welche man durch den Vergleich der Integralausdrücke mit den anderen beiden Supersymmetriemethoden erhält. Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte über die Zufallsmatrizen faktorisiert, dann ergeben sich für die erzeugenden Funktionen Determinantenstrukturen oder Pfaff’sche Strukturen. Für einzelne Matrixensembles ist dies mit Hilfe von verschiedenen Berechnungsmethoden schon gezeigt worden. Hier wird gezeigt, dass diese Strukturen auf rein algebraische Weise enstehen. Die neue Methode nutzt Strukturen, die man ursprünglich in Superräumen findet. Für drei Arten von Integralen werden Determinantenausdrücke und Pfaff’sche Ausdrücke hergeleitet, ohne diese in einem Superraum abzubilden. Diese drei Integraltypen sind so allgemein, dass sie auf einer sehr grossen Klasse von Matrixensembles anwendbar sind.

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Zitierform:

Kieburg, Mario: Supersymmetry in Random Matrix Theory. 2010.

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