In dieser Arbeit werden Prozesse untersucht, die durch die Faltung eines deterministischen symmetrischen Kerns mit einem zweiseitigen Lévy-Prozess als Integrator entstehen. Die Klasse von Prozessen dieser Art, die sogenannten zeitkontinuierlichen Lévy-driven Moving Average Prozesse, ist von speziellem Interesse. In der vorliegenden Arbeit wird die Tatsache genutzt, dass unter einer speziellen Wahl der Kernfunktion eine direkte Beziehung zwischen dem charakteristischen Exponenten des Lévy-Prozesses und der charakteristischen Funktion des zeitkontinuierlichen Lévy-driven Moving Average Prozesses besteht. Daher kann der charakteristische Exponent des Lévy-Prozesses aus den Beobachtungen des zeitkontinuierlichen Lévy-driven Moving Average Prozesses geschätzt werden. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf dem fourier-basierten Schätzer für zeitkontinuierliche Lévy-driven Moving Average Prozesse und der Konstruktion des Konfidenzintervalls für die Lévy-Dichte. In der vorliegenden Arbeit werden sowohl der parametrische Schätzer für Lévy-Tripel basierend auf niederfrequenten Beobachtungen als auch ein nichtparametrischer Schätzer der transformierten Lévy-Dichte vorgeschlagen. Ferner wurden die Konvergenzraten für den parametrischen Schätzer des Lévy-Tripels dargestellt und die Optimalität im Minimax-Sinn bewiesen. In dem Teil, der dem nichtparametrischen Schätzer der transformierten Lévy-Dichte gewidmet ist, wurde neben dem Schätzer auch ein zentrales Konfidenzintervall unter der Verwendung der Bootstrap-Methode konstruiert, das auf hochfrequenten Beobachtungen basiert. Es soll betont werden, dass die Gültigkeit des vorgeschlagenen Bootstrap-Konfidenzintervalls unter den speziellen Bedingungen gilt, die in der vorliegenden Arbeit formuliert wurden. Außerdem wurde die Konvergenzgeschwindigkeit der Gaußchen Approximation bei der Konstruktion des Konfidenzintervalls geschätzt. Als nächstes wurde das Supremum der Breite des Kofidenzintervalls für die transformierte Lévy-Dichte geschätzt.
In this thesis processes are investigated that arise from the convolution of a deterministic symmetric kernel with a two-sided Lévy process as an integrator. The class of processes of this kind, the so-called continuous-time Lévy-driven moving average processes, is of special interest. In the present paper the fact is used that under a special choice of the kernel function exists a direct relationship between the characteristic exponent of the Lévy process Lt and the characteristic function of the time-continuous Lévy-driven moving average process. Therefore, the characteristic exponent of the Lévy process can be estimated from the observations of the continuous-time Lévy-driven moving average process. The main focus of this thesis is on the Fourier-based estimator for time-continuous Lévy-driven moving average processes and the construction of the confidence interval for the Lévy density. Both the parametric estimator for Lévy triples based on low-frequency observations and a non-parametric estimator of the transformed Lévy density are proposed in this paper. Furthermore, the convergence rates for the parametric estimator of the Lévy triple were presented.
In the part devoted to the non-parametric estimator of the transformed Lévy density, in addition to the estimator, a central confidence interval based on high-frequency observations was constructed using the bootstrap method. It should be emphasized that the validity of the proposed bootstrap confidence interval holds under the specific conditions formulated in the present thesis. In addition, the convergence speed of the Gaussian approximation is estimated in the construction of the confidence interval. Next, the supremum of the width of the confidence interval for the transformed Lévy density was estimated.
