The Simulation of Contact Acoustic Non-linearity from a Semi-analytical Perspective
One of the most common methods for non-destructive testing is ultrasonic inspection. The basic idea of this technique is to excite ultrasonic wave pulses inside the inspected structure. While propagating, the traveling wave packages interact with the flaws inside the material, and the analysis of reflected or transmitted signals reveals information about possible damage. The state-of-the-art evaluation methods to detect cracks and other types of damage are based on linear models for the wave-flaw-interaction. Detecting small and closed cracks is challenging because the ultrasonic waves lead to low reflected amplitudes. This thesis incorporates non-linear crack behavior due to contacting crack sides into the modeling of ultrasonic wave propagation to improve the detectability of small and closed cracks. A non-linearity index is obtained and utilized to evaluate the damage. Shell-like structures which act as a waveguide and can be simplified to a cross-sectional model are the focus of methods and applications described in this work.
Knowing the relationship between damage size and non-linearity index is required to assess the size of the so-called breathing cracks with contacting crack sides. A numerical model is needed to compute this relationship. The numerical model must take care of the crack tip singularity. In this thesis, the dependency of the crack tip singularity and the crack's contacting side is analyzed with the Scaled Boundary Finite Element Method (SBFEM). The crack tips are the only points with singular stress in the considered cases. This analysis is presented in a general manner such that many different material configurations can be investigated using the same method.
As the main contribution, two approaches for the simulation of breathing cracks are proposed. The first approach enriches the Finite Element Method on a triangulation with singular modes from the SBFEM. It is shown that this enrichment significantly reduces the approximation error in singular problems. The approach is straightforwardly automatable because only information contained in a standard triangulation is utilized. The enrichment with the singular modes is further extended through two contact models based on the Penalty Method and Lagrange Multiplier Method. In the presented implementation, the numerical experiments show that the Penalty Method leads to more precise results than the Lagrange Multiplier Method. The reference solution for the comparison is based on locally refined finite element meshes.
The second approach is based on the SBFEM-formulation for shape functions on polygonal meshes. A new formulation for a crack tip element is proposed. This element incorporates polynomial tractions and polynomial body loads and is shown to pass a patch-test. Also, it reaches higher-order convergence in non-singular problems. Additionally, the crack tip element significantly reduces the approximation error in dynamic simulations with singularities. Furthermore, this thesis shows that different polygonal meshes can be tied together with Lagrange multipliers. The mesh-tying serves as a preliminary study for the contact conditions with breathing cracks. Finally, the polygonal meshes with the presented shape functions are shown to be appropriate for parametric studies in the context of waveguides, including breathing cracks.
The parametric studies extend the evaluation of breathing cracks in waveguides: The non-linearity index mentioned above is examined depending on different damage parameters like crack length and crack angle, resulting in contour plots for different testing constellations varying excitation-mode, evaluation in reflection and transmission, as well as frequency dependency and defect parameter.
Ultraschalluntersuchungen gehören zu den gängigsten Methoden in der Zerstörungsfreien Prüfung. Das Grundprinzip ist die Anregung von Ultraschallwellen in einem Bauteil. Während sich der Wellenpuls durch das Bauteil bewegt, interagiert er mit Fehlern innerhalb des Materials. Die Analyse der reflektierten und transmittierten Signale erlaubt Rückschlüsse auf mögliche Schäden im Bauteil. Die etablierten Auswertungsmethoden für die Detektion von Rissen und anderen Schäden basieren auf linearen Modellen, die die Interaktion von Riss und Ultraschallwelle beschreiben. Dabei stellen kurze, geschlossene Risse eine besondere Herausforderung dar, da die Ultraschallwellen an diesen zu sehr kleinen Amplituden der Reflektion führen. Diese Arbeit bezieht für eine bessere Detektion von kurzen, geschlossenen Rissen nichtlineare Risseffekte, die durch kontaktierende Rissflanken entstehen, mit ein. Ein Nichtlinearitätsindex ermöglicht die Bewertung der Schäden. Ein besonderes Interesse dieser Arbeit liegt dabei auf plattenartigen Bauteilen, die als Wellenleiter fungieren und sich zu zweidimensionalen Querschnittsmodellen vereinfachen lassen.
Um die Größe von klappernden Rissen bewerten zu können, muss der Zusammenhang zwischen der Rissgröße und dem Nichtlinearitätsindex bekannt sein. Um diesen Zusammenhang zu erhalten, sind numerische Simulationen notwendig. Risse sollten bei vielen numerischen Simulationen durch ein gesondertes Verfahren für die Rissspitze behandelt werden, da diese eine Spannungssingularität aufweist. Mithilfe der "Scaled Boundary Finite Element Methode" (SBFEM) klärt diese Arbeit, wie die Spannungssingularität von den sich kontaktierenden Rissflanken abhängt. Es wird eine Argumentationskette vorgestellt, wonach die Rissspitzen die einzigen Punkte mit singulären Spannungen sind und wie diese Aussage für verschiedenste Materialkonstellationen bestätigt werden kann.
Als Hauptbeitrag, werden zwei verschiedene Verfahren für die Simulation von Rissen unter dynamischen Kontaktbedingungen präsentiert. Das erste Verfahren erweitert die Finite Elemente Methode auf dreieckigen Elementen um eine Anreicherung mit singulären Moden aus der SBFEM. Es wird gezeigt, dass die Anreicherung den Fehler in singulären Problemen signifikant senkt. Das Verfahren zeichnet sich durch seine hohe Automatisierbarkeit aus, da es nur Informationen verwendet, die in einer Standardtriangulation vorhanden sind. Die Anreicherung mit singulären Moden wird um zwei Kontaktalgorithmen basierend auf der "Penalty Method" und der "Lagrange Multiplier Method" erweitert. Numerische Versuche zu dem Verfahren zeigen, dass die "Penalty Method" genauere Ergebnisse liefert. Dabei dienen Approximationen auf lokal verfeinerten Gittern als Referenzlösungen.
Das zweite Verfahren basiert auf der SBFEM-Formulierung für Formfunktionen auf polygonalen Gittern. Hier wird eine neue Formulierung für ein Rissspitzenelement vorgestellt, das sowohl polynomiale Randkräfte als auch polynomiale Körperkräfte abbilden kann. Dieses Element wird untersucht und gezeigt, dass es sowohl Patch-Tests besteht als auch in analytischen, nicht-singulären Beispielen höhergradige Konvergenz erreicht. Es werden numerische Versuche zu dynamischen Simulationen mit Spannungssingularitäten vorgestellt und gezeigt, dass auch dieses Verfahren den Fehler signifikant reduziert. Weitere Untersuchungen präsentieren, dass man mehrere verschiedene polygonale Gitter mit Lagrange Multiplikatoren zusammenfügen kann. Dies wird als Vorstudie für die Kontaktbedingungen an klappernden Rissen durchgeführt. Es wird gezeigt, dass sich polygonale Gitter mit den präsentierten Formfunktionen zum Durchführen von parametrischen Studien an Wellenleitern mit klappernden Rissen eignen.
Die parametrischen Studien erweitern die Erkenntnisse zu klappernden Rissen in Wellenleitern. Der oben angesprochene Nichtlinearitätsindex wird in Abhängigkeit von verschiedenen Defektparametern wie Risslänge und Winkel untersucht. Das Ergebnis sind Höhenkarten für mehrere Testkonstellationen. Variiert werden die Anregungsmode, Auswertung in Reflektion und Transmission, sowie Frequenzabhängigkeit und Defektparameter.
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