Spectral Statistics of Interacting Quantum Many-Body Systems

We give a modern review of the logic of semiclassics serving as a method of approximating quantum systems by means of a classical Hamiltonian system.
While the theory is historically founded on investigations of single particle systems, the mathematical formalism presented does not exclude increasing the particle number.
In this thesis the semiclassical behavior of spin systems is approached from three distinct directions.
First we investigate the semiclassics of a spin chain in the large particle limit by computing the action spectrum and interpreting the structures showcased in it.
Secondly for a system of two coupled spins its quantum mechanical dependence on classical quantifiers of classical stability is tested by computing the Out-of-Time-Ordered-Correlator (OTOC) for systems in the semiclassical limit of large spin representations.
Finally these numerical studies are supplemented by an analytical treatment aiming to shed light on the integrability of quantum spin systems by means of spin-fermion mappings.
Here we develop a general algorithm for mapping arbitrary half integer spin representations to systems of sufficiently high dimensional algebras of fermion operators that fulfil the canonical anticommutation relations.
The appendix of the thesis includes several short reviews of topics of modern differential geometry in an attempt to bridge the gap between the mathematics in the main part and coordinate-based formulations of theoretical physics.

Wir präsentieren eine moderne Zusammenstellung zur logischen Struktur semiklassischer Näherungen der Quanten Mechanik durch klassische Hamiltonsche Systeme.
Obwohl die Theorie historisch primär anhand von Ein-Teilchen-Systemen entwickelt wurde, verbietet es der zugrundeliegende mathematische Formalismus nicht, sie auf Viel-Teilchen-Systeme auszudehnen.
In dieser Arbeit wird das semiklassische Verhalten von Spin-Systemen untersucht, wobei drei unterschiedliche Ansätze benutzt werden.
Zunächst wird anhand des Wirkungs-Spektrums die Semiklassik einer Spin-Kette im Limes großer Teilchenzahlen betrachtet.
Anschließend wird das System auf zwei wechselwirkende Spins eingeschränkt und sein Verhalten anhand vom Out-of-Time-Ordered-Correlator (OTOC) auf seine Abhängigkeit von unterschiedlichen Kenngrößen von Stabilität in der klassischen Mechanik untersucht, wozu der semiklassische Limes großer Spin-Darstellungen vorgenommen wird.
Abschließend werden diese primär numerischen Untersuchungen durch die Herleitung einer analytischen Abbildung zwischen Spin-Algebren und fermionischer Algebren ergänzt.
Dazu entwickeln wir einen Algorithmus, welcher Spin-Operatoren in beliebigen Darstellungen mit geradzahliger Dimension in geeignete Algebren von Fermionen-Operatoren übersetzt, welche die kanonischen Antikommutations-Relationen erfüllen.
In der Appendix werden einige Übersichten zu Themen der modernen Differentialgeometrie angefügt, mit dem Ziel die mathematischen Formulierungen im Hauptteil näher mit den Formalismen der koordinatenbehaftet formulierten theoretischen Physik zu kombinieren.

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