# Semi-analytical methods for the analysis of plate and shell structures

The numerical analysis of plate and shell structures has been a prominent research topic for many decades. Discretizations of plates and shells with standard finite elements often lead to locking effects. Locking effects are associated with an overly stiff behavior of a numerical model. The predominant locking effects in plate and shell analysis can be attributed to constraints introduced by the model reduction from a three-dimensional continuum to a two-dimensional reference surface and corresponding kinematic assumptions. The kinematic assumptions are mainly related to the behavior in the through-thickness direction. Locking effects need to be treated by suitable techniques in the derivation of element formulations. While many suitable techniques to reduce different locking effects exist, element formulations with reduced locking behavior are still a subject of research.

This thesis presents work on element formulations for the analysis of plate and shell structures based on the scaled boundary finite element method (SBFEM). The main focus of this work is on shell structures. In a three-dimensional setting, the SBFEM only requires discretizing the two-dimensional boundary of a domain in a finite element sense while the third dimension is handled analytically. Discretizing only the reference surface of a shell and thus handling the through-thickness direction analytically presents the opportunity of deriving a shell element formulation without kinematic assumptions.

Motivated by this potential advantage, the first part of this thesis discusses an approach to analyze shell structures with the well-known three-dimensional derivation of the SBFEM. This approach uses the classical scaled boundary coordinate transformation, which scales a discretized surface towards the so-called scaling center O, using a radial scaling parameter ξ. Since this method does not require any kinematic assumptions, it can be applied to thick and thin spherical shells. Limitations in the applicability of this method to non-spherical geometries are the motivation for the main part of this thesis, a novel derivation for arbitrarily shaped shells.

The proposed novel scaled boundary finite element (SBFE) formulation for shells incorporates a coordinate transformation that scales each node of the discretization of the reference surface in a direction which is perpendicular to this surface. The resulting differential equations in local scaled boundary coordinates are significantly more complex than those obtained by the classical three-dimensional derivation of the SBFEM. Using collocation for the inverse of the determinant of the Jacobian matrix facilitates the derivation of a second-order differential equation with variable coefficients. The differential equation is solved using a power series. Contrarily to the formulation based on the classical three-dimensional SBFEM, the SBFE formulation for shells is also applicable to plate structures.

Established benchmark problems of shell analysis are analyzed using both formulations presented in this thesis. Both formulations show very good agreement with the reference solutions of these benchmark problems. Further numerical examples are designed to investigate and highlight key aspects of both formulations. The numerical examples include plates, thin and thick shells, as well as structures with orthotropic material behavior. The numerical results show that the proposed formulations significantly contribute to reducing locking effects. The employment of p-refinement highlights the potential of the proposed methods.

The last part of this thesis is concerned with a concept that can potentially reduce the numerical effort of the proposed methods. This concept employs Lagrange multipliers to couple local stiffness matrices resulting from scaled boundary shape functions. The concept is derived in the context of two-dimensional plate structures. First numerical examples demonstrate the potential of this concept to facilitate the evaluation of stiffness matrices on a local level. The methods presented in this thesis require evaluating the stiffness matrix on a global level. Adapting this concept to the methods presented in this thesis could reduce the numerical effort significantly.

Seit Jahrzehnten ist die numerische Analyse von Platten- und Schalentragwerken ein bedeutendes Forschungsthema. Bei Diskretisierungen von Platten- und Schalentragwerken mit gewöhnlichen finiten Elementen treten häufig Locking-Effekte auf. Dieser Begriff beschreibt künstliche Versteifungseffekte des numerischen Modells, die zu einer Unterschätzung der Verformungen führen. Diejenigen Locking-Effekte, welche üblicherweise die meiste Aufmerksamkeit in der Berechnung von Platten- und Schalentragwerken erhalten, können auf Zwangsbedingungen zurückgeführt werden, welche während der Reduktion eines dreidimensionalen Kontinuums auf eine zweidimensionale Referenzfläche eingeführt werden, sowie auf die damit einhergehenden kinematischen Annahmen. Die kinematischen Annahmen beziehen sich hauptsächlich auf das mechanische Verhalten in der Dickenrichtung. Methoden, die Locking-Effekte reduzieren können, müssen in der Herleitung von Elementformulierungen berücksichtigt werden. Obwohl es eine Vielzahl erprobter Methoden gibt, Locking-Effekte zu reduzieren, sind Elementformulierungen mit reduziertem Locking-Verhalten bis heute ein wichtiges Forschungsthema.

Die vorliegende Arbeit präsentiert Elementformulierengen auf Grundlage der "Scaled Boundary Finite Element Method" (SBFEM) für die Berechnung von Platten- und Schalentragwerken. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf Schalentragwerken. Bei Strukturen im dreidimensionalen Raum wird bei der Verwendung der SBFEM nur der zweidimensionale Rand des Gebietes diskretisiert, während die dritte räumliche Dimension analytisch behandelt wird. Im Hinblick auf Schalentragwerke ergibt sich durch die Diskretisierung der Referenzfläche und die analytische Behandlung der Dickenrichtung die Möglichkeit einer Schalenformulierung ohne die Notwendigkeit kinematischer Annahmen.

Der Verzicht auf kinematische Annahmen motiviert den ersten Teil dieser Arbeit, welcher eine Herleitung zur Simulation von Schalentragwerken basierend auf der klassischen dreidimensionalen SBFEM präsentiert. Diese Herleitung verwendet die klassische Koordinatentransformation der SBFEM, bei welcher der diskretisierte Rand mit Hilfe eines radial gerichteten Skalierungsparameters ξ in Richtung des sogenannten Skalierungszentrums O skaliert wird. Da dieses Vorgehen keine kinematischen Annahmen erfordert, kann diese Formulierung sowohl für dicke als auch dünne Kugelschalen angewendet werden. Durch Einschränkungen in der Anwendbarkeit für nicht kugelförmige Schalentragwerke wird der Hauptteil dieser Arbeit motiviert, die Herleitung einer neuartigen Formulierung für beliebig geformte Schalentragwerke.

Diese neuartige Formulierung für Schalentragwerke basiert auf einer Koordinatentransformation, bei welcher die einzelnen Knoten einer Diskretisierung senkrecht zur Schalenfläche skaliert werden. Die in lokalen Koordinaten ausgedrückten resultierenden Differentialgleichungen sind wesentlich komplexer als die der Herleitung mit klassischer SBFEM. Die Einführung von Kollokation der Inversen der Determinanten der Jacobi-Matrix ermöglicht die Herleitung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten. Diese Differentialgleichung wird durch einen Reihenansatz gelöst. Anders als bei der Behandlung mit klassischer dreidimensionaler SBFEM können auch Plattentragwerke mit dieser Formulierung modelliert werden.

Beide in dieser Arbeit präsentierten Formulierungen werden zur Untersuchung von Benchmark-Problemen verwendet. Hierbei zeigt sich bei beiden Formulierungen eine sehr gute Übereinstimmung mit den Referenzlösungen dieser Benchmark-Probleme. Weitere numerische Beispiele umfassen Platten sowie dünne und dicke Schalen und Tragwerke mit orthotropem Materialverhalten. Für beide Formulierungen zeigen die Ergebnisse der numerischen Beispiele einen wesentlichen Beitrag zur Reduzierung von Locking-Effekten. Die Verwendung von p-Verfeinerung unterstreicht das Potential beider Formulierungen.

Abschließend beschäftigt sich diese Arbeit mit einem Konzept, welches maßgeblich zur Reduzierung des Rechenaufwandes beitragen könnte. Vorgestellt wird die Möglichkeit, inkompatible lokale Steifigkeitsmatrizen einzelner Gebiete, welche mit Hilfe von SBFEM-basierten Ansatzfunktionen berechnet wurden, mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren zu koppeln. Die Herleitung wird am Beispiel zweidimensionaler Plattentragwerke präsentiert. Erste numerische Beispiele zeigen, dass dieses Konzept die Berechnung von Steifigkeitsmatrizen auf lokaler Ebene ermöglicht. Die Formulierungen, welche in den vorherigen Teilen dieser Arbeit präsentiert wurden, erfordern es, die Steifigkeitsmatrix auf globaler Ebene zu berechnen. Die Erweiterung dieses Konzeptes auf die in dieser Arbeit präsentierten Formulierungen birgt das Potential, den numerischen Rechenaufwand entscheidend zu reduzieren.

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