Solving optimal stopping problems for convex risk measures via a Monte Carlo based algorithm and dual optimisation
In dieser Dissertation entwickeln wir ein Lösungsverfahren, das es erlaubt die
Lösung eines optimalen Stoppproblems zu approximieren. Dabei kann das optimale Stoppproblem nicht nur durch ein risikoneutrales Maß gegeben sein, sondern auch konvexe Risikomaße sind zulässig. Durch die Erweiterung auf konvexe Risikomaße sind die Verfahren, die auf der Eigenschaft der "Zeitkonsistenz" beruhen, nicht mehr zu verwenden, weil konvexe Risikomaße nicht notwendigerweise diese Eigenschaft besitzen. Um die Lösung zu approximieren, verwenden wir eine Dualitätsmethode, die von Rogers (2002) entwickelt wurde und auf konvexe Risikomaße durch Belomestny und Krätschmer (2016) erweitert wurde. Bei dieser Methode optimiert man über eine bestimmte Klasse von Martingalen und erhält obere Schranken.
Wir erweitern dieses Verfahren um einen Strafterm,
der nicht nur zur Varianzminimierung beiträgt, sondern auch wichtige Eigenschaften für das Optimierungsproblem liefert. Ein solcher Strafterm fand bereits Anwendung für risikoneutrale Maße durch Belomestny (2013). Wir zeigen,
dass unter bestimmten Bedingungen das Lösungsverfahren gegen die optimale
Lösung konvergiert. Zusätzlich können wir unter Annahmen recht allgemeiner
Räume, wie Sobolev Räume, das Konvergenzverhalten bestimmen. Dazu benutzen wir Resultate der Topologie, sowie der Funktionalanalysis, die es erlauben Entropiezahlen analytisch darzustellen. Wir zeigen, dass die Optimierung, abhängig vom Strafterm, ein konvexes Optimierungsproblem ist. Am Ende geben wir numerische Ergebnisse für eine Bewertung von Finanzderivaten unter dem Average Value at Risk.
approximates the solution of optimal stopping problems with respect to convex risk
measures. Due to the extension to convex risk measures, well known concepts like
the dynamic programming principle cannot be used any more to solve the problem.
This is, because in general, convex risk measure do not fulfil the property of
time-consistency. The algorithm, proposed in this thesis, uses a duality method,
which was first published by Rogers (2002) and extended to convex risk measures
by Belomestny and Krätschmer (2016). Crucial is, that we optimise over a class of
martingales and receive upper bounds. We add a penalty term to the optimisation
problem, which leads to a variance reduction effect and adds important properties
to the optimisation problem. Such a penalisation was once applied by Belomestny
(2013) for the risk-neutral case.
We will prove that the proposed algorithm converges to the optimal solution. In
addition, we can determine the convergence behaviour, by imposing quite general
spaces, like Sobolev spaces. For this we will draw on results of topology and functional analysis, which provide an analytical representation for entropy numbers.
We show that, depending on the penalisation, the optimisation problem in convex.
In the end we present some numerical results for financial derivatives with respect
to the Average Value at Risk.