Regularität der Lösungen von Systeme (2m)-ter Ordnung vom polyharmonischen Typ in kritischer Dimension

de Longueville, Frédéric GND

Für eine Riemann’sche Mannigfaltigkeit N ` Rn und ein Gebiet U ` Rd sind polyharmonische Abbildungen u > Wm,2(U,N) die kritischen Punkte der m-Poly-Energie Em(u) = 1 2 S U SDmuS2 dx. Jede dieser Abbildungen ist eine schwache Lösung des Systems mu = m−1 Q k=0 k `Vk , due + m−2 Q k=0 k(!kdu) mit den passenden Koeffizientenfunktionen Vk und !k, die von u und seinen Ableitungen abhängen. Wir betrachten nun eben jenes System, aber mit beliebigen Koeffizientenfunktionen, welche die gleichen Regularitätsbedingungen erfüllen wie die Vk und !k im polyharmonischen Fall. Wir werden zeigen, dass schwache Lösungen dieses verallgemeinerten Systems in der kritischen Dimension d = 2m immer noch stetig sind. Um dies zu erreichen, werden wir einen Erhaltungssatz formulieren, welcher für schwache Lösungen u erfüllt ist. In diesem Erhaltungssatz kommen Funktionen A und B vor, welche die Gleichung m−1dA+ m−1 Q k=0 (kA)Vk − m−2 Q k=0 (kdA)!k = B erfüllen. Um die Existenz dieser Funktionen nachzuweisen, werden wir, wie schon Lamm und Rivière im biharmonischen Fall, eine Uhlenbeck-Eichung für den unregulärsten Koeffizienten V0 (in einer auf unsere Bedürfnisse angepassten Version) anwenden. Im letzten Abschnitt können wir dann nachweisen, dass u nicht nur im Sobolev-Raum Wm,2, sondern auch im etwas besseren Lorentz-Sobolev-Raum Wm,2,1 liegt, welcher in den Raum der stetigen Funktionen einbettet. Schlüsselwörter: polyharmonische Abbildungen, Uhlenbeck-Eichung, Lorentz-Räume, Lorentz-Sobolev- Räume, kritische Dimension, negative Differenzierbarkeit

For a Riemannian manifold N ` Rn and a domain U ` Rd polyharmonic maps u > Wm,2(U,N) are the critical points of the m-poly-energy Em(u) = 1 2 S U SDmuS2 dx. Each of these maps is a weak solution of mu = m−1 Q k=0 k `Vk , due + m−2 Q k=0 k(!kdu) with coefficients Vk and !k depending on x, u and its derivatives. We will study this equation with general coefficients Vk and !k which are not required to be the ones from the polyharmonc equation, as long as they fulfill the same regularity conditions. We will prove that weak solutions of these generalized systems are still continous in the critical dimension d = 2m. In order to achieve that we will show that weak solutions u fulfill a conservation law. For this conservation law we will need functions A and B that solve the equation m−1dA+ m−1 Q k=0 (kA)Vk − m−2 Q k=0 (kdA)!k = B. The existense of A and B is not obvious, but as Lamm and Rivière already did for the biharmonic case, we will use some kind of Uhlenbeck gauge for the most irregular coefficient V0 to show this result. In the last part we will finally show that the weak solution u lies not only in Wm,2 but in the slightly better Lorentz-Sobolev-space Wm,2,1, which imbeds into the space of continous functions. Key words: polyharmonic maps, Uhlenbeck-gauge, Lorentz spaces, Lorentz-Sobolev spaces, critical dimension, negative differentiability

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de Longueville, Frédéric: Regularität der Lösungen von Systeme (2m)-ter Ordnung vom polyharmonischen Typ in kritischer Dimension. 2019.

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