Regularität der Lösungen von Systeme (2m)-ter Ordnung vom polyharmonischen Typ in kritischer Dimension
Für eine Riemann’sche Mannigfaltigkeit N ` Rn und ein Gebiet U ` Rd sind polyharmonische
Abbildungen u > Wm,2(U,N) die kritischen Punkte der m-Poly-Energie
Em(u) =
1
2 S
U
SDmuS2
dx.
Jede dieser Abbildungen ist eine schwache Lösung des Systems
mu =
m−1
Q
k=0
k `Vk , due +
m−2
Q
k=0
k(!kdu)
mit den passenden Koeffizientenfunktionen Vk und !k, die von u und seinen Ableitungen
abhängen.
Wir betrachten nun eben jenes System, aber mit beliebigen Koeffizientenfunktionen,
welche die gleichen Regularitätsbedingungen erfüllen wie die Vk und !k im polyharmonischen
Fall. Wir werden zeigen, dass schwache Lösungen dieses verallgemeinerten Systems in
der kritischen Dimension d = 2m immer noch stetig sind.
Um dies zu erreichen, werden wir einen Erhaltungssatz formulieren, welcher für schwache
Lösungen u erfüllt ist. In diesem Erhaltungssatz kommen Funktionen A und B vor,
welche die Gleichung
m−1dA+
m−1
Q
k=0
(kA)Vk −
m−2
Q
k=0
(kdA)!k = B
erfüllen. Um die Existenz dieser Funktionen nachzuweisen, werden wir, wie schon Lamm
und Rivière im biharmonischen Fall, eine Uhlenbeck-Eichung für den unregulärsten
Koeffizienten V0 (in einer auf unsere Bedürfnisse angepassten Version) anwenden.
Im letzten Abschnitt können wir dann nachweisen, dass u nicht nur im Sobolev-Raum
Wm,2, sondern auch im etwas besseren Lorentz-Sobolev-Raum Wm,2,1 liegt, welcher in
den Raum der stetigen Funktionen einbettet.
Schlüsselwörter:
polyharmonische Abbildungen, Uhlenbeck-Eichung, Lorentz-Räume, Lorentz-Sobolev-
Räume, kritische Dimension, negative Differenzierbarkeit
For a Riemannian manifold N ` Rn and a domain U ` Rd polyharmonic maps u >
Wm,2(U,N) are the critical points of the m-poly-energy
Em(u) =
1
2 S
U
SDmuS2
dx.
Each of these maps is a weak solution of
mu =
m−1
Q
k=0
k `Vk , due +
m−2
Q
k=0
k(!kdu)
with coefficients Vk and !k depending on x, u and its derivatives.
We will study this equation with general coefficients Vk and !k which are not required
to be the ones from the polyharmonc equation, as long as they fulfill the same regularity
conditions. We will prove that weak solutions of these generalized systems are still
continous in the critical dimension d = 2m.
In order to achieve that we will show that weak solutions u fulfill a conservation
law. For this conservation law we will need functions A and B that solve the equation
m−1dA+
m−1
Q
k=0
(kA)Vk −
m−2
Q
k=0
(kdA)!k = B.
The existense of A and B is not obvious, but as Lamm and Rivière already did for
the biharmonic case, we will use some kind of Uhlenbeck gauge for the most irregular
coefficient V0 to show this result.
In the last part we will finally show that the weak solution u lies not only in Wm,2 but
in the slightly better Lorentz-Sobolev-space Wm,2,1, which imbeds into the space of
continous functions.
Key words:
polyharmonic maps, Uhlenbeck-gauge, Lorentz spaces, Lorentz-Sobolev spaces, critical
dimension, negative differentiability