Least-squares finite element methods with applications in fluid and solid mechanics
Die Least-Squares Finite Element Methode (LSFEM) weckt seit Jahren zunehmendes Interesse als eine alternative Methode zur Lösung partieller Differentialgleichungen (PDG) mechanischer Problemstellungen. Die Methode bietet im Vergleich zur bekannten Galerkin Variationsmethode einige Vorteile: Eine einheitliche mathematische Konstruktion von Systemen erster Ordnung für alle PDG-Arten, positiv-definite und symmetrische Systemmatrizen, sowie einen a posteriori Fehlerschätzer ohne zusätzlichen Rechenaufwand. Diese Vorteile gelten auch für Differentialgleichungen mit nicht selbst- adjungierten Operatoren wie den inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen. In der vorliegenden Arbeit wird die LSFEM zur Lösung der stationären, inkompressiblen Stokes und Navier-Stokes Gleichungen, sowie zur Lösung von Problemen der dynamischen Festkörpermechanik im Bereich kleiner Verzerrungen genutzt. Hierzu werden neben wichtigen Aspekten der Implementierung auch einige numerische Beispiele gezeigt. Ein Feld der Anwendungen ist die Durchströmung dreidimensionaler poröser Strukturen. Darüber hinaus werden adaptive Vernetzungsalgorithmen untersucht. Besonderer Fokus liegt auf Formulierungen in den unabhängigen Größen Spannung und Geschwindigkeit. Diese können für eine auf der LSFEM basierende Fluid-Struktur Interaktion (FSI) Implementierung genutzt werden. Der vorgeschlagene LSFEM-FSI Ansatz beruht auf der Idee einer monolithischen Kopplung, bei der die Interaktionsbedingungen durch eine konforme Diskretisierung in geeigneten Sobolev Räumen inhärent erfüllt sind. In numerischen Beispielen wird die Funktionsweise der Methode unter Berücksichtigung kleiner Verzerrungen gezeigt.
The least-squares finite element method (LSFEM) arouses interest as an alternative method for solving partial differential equations (PDEs) with respect to mechanical problems in recent years. The method offers several advantages compared to the well-known principals of Galerkin variational methods: A unified mathematical procedure in constructing first-order systems to all types of PDEs, it leads to positive definite and symmetric system matrices as well as it offers an a posteriori error estimator without additional costs. These advantages hold for differential equations with not self-adjoint operators like the incompressible Navier-Stokes equations, too. In this work, the LSFEM is applied to the steady incompressible Stokes and Navier-Stokes equations as well as to the equations of small strain elastodynamics. The aim is to investigate the accuracy and performance of different formulations, which were proposed for the fluid and solid problems. Several numerical testings are investigated, besides discussing implementation aspects. The simulation of fluid flow through 3D porous structures is one field of applications considered in this thesis. Furthermore, adaptive meshing strategies are examined. A special focus is on formulations in terms of stresses and velocities as primary fields, which can be used in a least-squares FEM based fluid-structure interaction (FSI) approach. The proposed LSFEM-FSI approach relies on the idea of solving the interaction in a monolithic manner, with an inherent fulfillment of the interaction conditions due to the conforming discretization of the stresses and velocities in suitable Sobolev spaces. Numerical testings of the LSFEM-FSI in the small strain regime are provided.
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