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Localizations and completions in motivic homotopy theory

Mantovani, Lorenzo

In dieser Arbeit behandeln wir den Vergleich von zwei verschiedenen Konstruktionen in der Morel-Voevodsky stabilen Homotopie Kategorie SH(K) von glatten K-Varietäten, wobei K ein perfekter Körper ist. Wenn E ein homotopie-kommutatives Ringspektrum ist konstruieren wir, den Ideen von Adams und Bousfield folgend, zwei Endofunktoren von SH(K), bezeichnet mit (−)E und mit (−)^E. Wir benennen sie E-Lokalisierung bzw. E-nilpotente Vervollständigung. Die Definitionen von (−)E und (−)^E sind nicht ähnlich und ziemlich abstrakt, und im Allgemeinen fehlt uns ein konkretes Verständnis ihres Verhaltens. Der Hauptpunkt von dieser Arbeit ist es, für die oben genannten Funktoren, eine explizite Formel zu beweisen, um sie zumindest in einem speziellen Fall zu beschreiben. Nämlich wann E ein (−1)-zusammenhängendes Spektrum für die Homotopie-t-Struktur von Morel ist, ⇡0(E)⇤ ' KMW ⇤ /I als kommutative Monoide im Herzen der t-Struktur, und I ein Ideal ist, das durch eine endliche Menge von globalen Schnitten erzeugt wird, dann Beweisen wir dass die Einschränkung von (−)E und von (−)^E zu der Unterkategorie der zusammenhängenden Spektren kanonisch identifiziert sind. Außerdem, wenn {f1, . . . , fr} eine Menge globaler Schnitten ist die I erzeugen, dann sind die beiden obigen Funktoren, wenn auf zusammenhängende Spektren beschränkt, kanonisch mit (−)^f1,...,fr identifiziert, d. h. mit dem (derivierten) formale-Vervollständigung Funktor. v

In this thesis we address the comparison of two different constructions in theMorel-Voevodsky Stable Homotopy Category SH(K) of smooth K-varieties, where K is a perfect field. Given a homotopy commutative ring spectrum E, and following ideas of Adams and Bousfield, we construct two endofunctors of SH(K), denoted by (−)E and (−)^E. We call themthe E-localization and E-nilpotent completion respectively. The functors (−)E and (−)^E are of a very different nature, their definitions are rather abstract, and in general we lack of a concrete understanding of their behaviour. The main point of this work is to prove an explicit formula for describing the above functors, at least in some special case. Namely, when E is (−1)-connective for Morel’s homotopy tstructure, ⇡0(E) ' KMW ⇤ /I as commutative monoids in the heart of such t-structure, and I is an ideal generated by a finite set of global sections, we prove that the restriction of (−)E and of (−)^E to the subcategory of connective spectra are canonically identified. Moreover, if f1, . . . , fr is a collection of global sections which generate I, then the two functors above, when restricted to connective spectra, are both canonically identified with (−)^f1,...,fr , i.e. with the (derived) formal-completion functor

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Mantovani, Lorenzo: Localizations and completions in motivic homotopy theory. 2018.

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