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Regularization in fractional order Sobolev spaces for a parameter identification problem

Dima, Ute

In this work we aim the identification of an unknown parameter function in the main part of an elliptic partial differential equation. It is a well known fact, that identification problems are in general ill-posed. Our idea is to apply a Tichonov-type regularization in fractional order Sobolev spaces. For such a problem, we derive existence of solutions and first order necessary conditions. Under a size condition for the regularization parameters, corresponding to the fractional order of differentiation, we are able to derive a second order sufficient condition as well. Fractional order Sobolev norm are challenging to implement. We therefore prove their equivalence to a multilevel based operator norm, for s ∈ [0,3/2), which we can implement. This operator norm and the second order sufficient condition enable us to show superlinear convergence of an SQP-method. In the end we present a numerical example.

In dieser Arbeit beabsichtigen wir unbekannte Parameterfunktionen im Hauptteil von elliptischen partiellen Differentialgleichungen zu identifizieren. Es ist eine allgemein bekannte Tatsache, dass solche Identifikationsprobleme im Allgemeinen schlecht gestellte Probleme darstellen. Daher ist unsere Idee, das Problem mit einem Tichonovterm in Sobolevräumen von reellwertiger Ordnung zu regularisieren. Für dieses Problem leiten wir Existenz von Lösungen und notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung her. Setzen wir eine Bedingung an den Regularisierungsparameter s, der der Ordnung des Sobolevraums entspricht, voraus, können wir auch hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung herleiten. Normen zu Sobolevräumen reellwertiger Ordnung sind sehr schwierig zu implementieren. Daher führen wir eine Multilevel basierte Operatornorm ein, deren Äquivalenz zu Sobolevnormen wir für s∈[0,3/2) beweisen. Diese sind einfacher zu implementieren. Die Operatornorm und die hinreichende Optimalitätsbedingung sind Zutaten mit deren Hilfe wir superlineare Konvergenz eines SQP-Verfahrens zeigen. Am Ende stellen wir ein numerisches Beispiel vor.

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Dima, Ute: Regularization in fractional order Sobolev spaces for a parameter identification problem. 2017.

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