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Analysis und Numerik von Minimalflächen mit freien Rändern

Jenschke, Tristan

In dieser Arbeit entwickeln wir eine Strafmethode zur Approximation von Lösungen des freien Randwertproblems für Minimalflächen. Wir untersuchen das Problem, Minimierer eines Funktionals F zu finden, welches als Summe aus dem Dirichletintegral und einem geeigneten, durch einen Parameter gewichteten Strafterm definiert ist. In einem ersten, analytischen Teil beweisen wir Existenz einer Lösung ebenso wie Konvergenz gegen eine Lösung des freien Randwertproblems. Außerdem beweisen wir Regularität der Randwerte dieser Lösungen, was essentiell für weitere numerische Berechnungen ist. Da wir zeigen können, dass Lösungen harmonische Funktionen sind, können wir unsere Untersuchungen auf den Rand beschränken, indem wir die harmonische Erweiterung verwenden. In einem zweiten, numerischen Teil entwickeln wir ein vollständig diskretes Finite-Elemente-Verfahren zur Approximation von Lösungen dieses eindimensionalen Problems und beweisen eine Fehlerabschätzung, die eine Konvergenzordnung bezüglich der Gitterweite enthält.

In this thesis we develop a penalty method to appoximate solutions of the free boundary problem for minimal surfaces. We study the problem of finding minimizers of a functional which is defined as the sum of the Dirichlet integral and an appropriate penalty term weighted by a parameter. In a first, analytical part we prove existence of a solution as well as convergence to a solution of the free boundary problem. Additionally we prove regularity of the boundary of these solutions, which is crucial for following numerical calculations. As we can show that solutions are harmonic functions, we are able to restrict our investigations to the boundary by using the harmonic extension. In a second, numerical part we develop a fully discrete finite element procedure for approximating solutions to this one-dimensional problem and prove an error estimate which includes an order of convergence wih respect to the grid size.

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Jenschke, Tristan: Analysis und Numerik von Minimalflächen mit freien Rändern. 2017.

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