# Two-Stage Stochastic Semidefinite Programming : Theory, Algorithms, and Application to AC Power Flow under Uncertainty

In real life decision problems, one almost always is confronted with uncertainty and risk. For practical optimization problems this is manifested by unknown parameters within the input data, or, an inexact knowledge about the system description itself. In case the uncertain problem data is governed by a known probability distribution, stochastic programming offers a variety of models hedging against uncertainty and risk. Most widely employed are two-stage models, who admit a recourse structure: The first-stage decisions are taken before the random event occurs. After its outcome, a recourse (second-stage) action is made, often but not always understood as some "compensation''. In the present thesis, the optimization problems that involve parameters which are not known with certainty are semidefinite programming problems. The constraint sets of these optimization problems are given by intersections of the cone of symmetric, positive semidefinite matrices with either affine or more general equations. Objective functions, formally, may be fairly general, although they often are linear as in the present thesis. We consider risk neutral and risk averse two-stage stochastic semidefinite programs with continuous and mixed-integer recourse, respectively. For these stochastic optimization problems we analyze their structure, derive solution methods relying on decomposition, and finally apply our results to unit commitment in alternating current (AC) power systems. Furthermore, deterministic unit commitment in AC power transmission systems is addressed. Beside traditional unit commitment constraints, the physics of power flow are included. To gain globally optimal solutions a recent semidefinite programming (SDP) approach is used which leads to large-scale semidefinite programs with discrete variables on top. As even the SDP relaxation of these programs is too large for being handled in an all-at-once manner by general SDP solvers, it requires an efficient and reliable method to tackle them. To this end, an algorithm based on Benders decomposition is proposed. With power demand (load) and in-feed from renewables serving as sources of uncertainty, two-stage stochastic programs are set up heading for unit commitment schedules which are both cost-effective and robust with respect to data perturbations. The impact of different, risk neutral and risk averse, stochastic criteria on the shapes of the optimal stochastic solutions will be examined. To tackle the resulting two-stage programs, we propose to approximate AC power flow by semidefinite relaxations. This leads to two-stage stochastic mixed-integer semidefinite programs having a special structure. To solve the latter, the L-shaped method and dual decomposition have been applied and compared.

Betrachtet man reale Entscheidungsprobleme, die also der Wirklichkeit entstammen, so ist man fast immer mit Unsicherheiten und Risiken konfrontiert. Für konkrete Optimierungsprobleme äußert sich dies sowohl in Form von ungewissen Parametern in den Eingangsdaten, als auch durch eine unzureichende Kenntnis über die Systembeschreibung selbst. Handelt es sich um zufallsbehaftete Eingangsdaten, dessen Verteilung bekannt ist, so stellt die Stochastische Optimierung eine Vielzahl von Modellen bereit - allesamt mit dem Ziel sich gegen Unsicherheiten und Risiken abzusichern. Die am Häufigsten verwendeten stochastischen Modelle sind zweistufige Modelle. Diese gestatten folgende Kompensationsstrategie: Eine Erststufenentscheidung wird getroffen bevor das Zufallsereignis eintritt. Nach Realisierung des Zufalls können Korrekturmaßnahmen (zweite Stufe) ergriffen werden, welche häufig, aber nicht immer, als "Kompensation" verstanden werden. Die vorliegende Arbeit behandelt Semidefinite Programme, dessen Parameter nicht mit Sicherheit bekannt sind. Der Zulässigkeitsbereich dieser Optimierungsprobleme entsteht aus dem Durchschnitt affiner oder auch allgemeinerer Gleichungen mit dem Kegel der symmetrisch und positiv semidefiniten Matrizen. Die Zielfunktion kann relativ allgemein sein, wird aber häufig, wie es auch in dieser Arbeit der Fall ist, als linear angenommen. Es werden risikoneutrale und risikoaverse zweistufige stochastische semidefinite Optimierungsprobleme mit jeweils stetiger und gemischt-ganzzahliger Kompensation betrachtet. Wir analysieren die Struktur dieser stochastischen Optimierungsprobleme, leiten dekompositionsbasierte Lösungsverfahren her und wenden unsere Resultate auf das Problem der optimalen Kraftwerkseinsatzplanung in Wechselstromnetzen an. Ferner beschäftigt sich diese Arbeit mit der deterministischen Kraftwerkseinsatzplanung in Wechselstromnetzen. Neben den traditionellen technischen Bedingungen an die einzelnen Kraftwerke wird auch die Physik des Wechselstroms berücksichtigt. Um global optimale Lösungen zu erhalten wird eine auf Semidefinite Programmierung (SDP) basierende Lösungsstrategie benutzt. Dieser Ansatz resultiert in einem umfangreichen semidefiniten Programm, welches zusätzlich diskrete Entscheidungsvariablen enthält. Da selbst die SDP Relaxierung dieses Optimierungsproblems zu groß ist um es mittels gängiger SDP Löser auf einmal zu lösen, wird eine effiziente und zuverlässige Methode benötigt. Es wird ein Algorithmus basierend auf dem Dekompositionsprinzip von Benders vorgeschlagen. Ausgehend vom Energiebedarf (Last) und der Einspeisung der erneuerbaren Energien als Unsicherheitsquelle, wird ein zweistufiges stochastisches Optimierungsproblem formuliert. Das Ziel ist es, einen Kraftwerkseinsatzplan zu finden, der wirtschaftlich effektiv und robust gegenüber Veränderungen in den Daten ist. Es werden die Auswirkungen des risikoneutralen und risikoaversen Ansatzes auf die stochastische Lösung untersucht und miteinander verglichen. Um die resultierenden zweistufigen Programme zu lösen wird das Wechselstromnetz mit Hilfe des SDP Ansatzes approximiert. Dies führt zu zweistufigen stochastischen gemischt-ganzzahligen semidefiniten Programmen mit spezieller Struktur. Als Lösungsmethoden wurden die L-shaped Methode und die duale Dekomposition verwendet.

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Wollenberg, T., 2016. Two-Stage Stochastic Semidefinite Programming: Theory, Algorithms, and Application to AC Power Flow under Uncertainty.

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