Wir untersuchen Minimierer des Funktionals \begin{align*} \mathcal{F}^{\ast}(u) := \int_{\Omega} u^{\alpha} \sqrt{1 + |Du|^{2}} + \frac{1}{1 + \alpha}\int_{\partial \Omega} |u^{1+\alpha} - \phi^{1 + \alpha}| d\mathcal{H}^{n - 1}, \end{align*} für ein offenes Gebiet $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ mit Lipschitz-Rand, eine Funktion $u \in BV_{+}^{1 + \alpha} = \{ u \in L^{1}(\Omega, \mathbb{R}_{+}) : u^{1 + \alpha} \in BV(\Omega) \}$ und Randwerte $\phi \in L^{\infty}(\partial \Omega)$, welches in dieser Form auf \textsc{Bemelmanns} und \textsc{Dierkes} \cite{BD} zurückgeht und dessen Untersuchung seitdem bereits ausgiebig, hauptsächlich durch U. Dierkes sowie G. Huisken, vorangetrieben wurde. Die Hauptergebnisse dieser Arbeit sind unter anderem die Endlichkeit des Perimeters der Koinzidenzmenge $\{ u = 0 \}$ und die Nichtnegativität ihrer inneren mittleren Krümmung, die $\frac{1}{2}$-Hölderstetigkeit bereits als stetig vorausgesetzter Lösungen $u$, sowie die Regularität von Lösungen eines zugehörigen parametrischen Hindernisproblems.