Zuverlässige Simulationstechniken zur Beschreibung von elastischen Verformungsprozessen in der Festkörpermechanik sind heutzutage von großer Bedeutung. Ein sinnvolles Modell sollte nichtlineare Kinematik und ein nichtlineares Materialgesetz berücksichtigen und mit dem Hookeschen Gesetz unter kleinen Belastungen übereinstimmen. Ferner sollte ein numerisches Verfahren sowohl kompressibles als auch (nahezu) inkompressibles Materialverhalten simulieren können. Die Berechnung von guten Spannungs- und Verschiebungsapproximationen ist oftmals von besonderem Interesse. Aus diesen Gründen werden in dieser Arbeit allgemeine gemischte Least-Squares Finite-Element-Methoden im Rahmen der finiten Hyperelastizität betrachtet. Sie basieren auf der Impulserhaltung und inversen Spannungs-Verzerrungs-Relationen und werden zur Simulation homogen isotropen und homogen transversal-isotropen Materialverhaltens benutzt. Für die Minimierung der nichtlinearen Least-Squares Funktionale in endlichdimensionalen Räumen wird ein Gauß-Newton-Verfahren verwendet. Im Falle eines speziellen homogen isotropen Neo-Hooke Modells wird eine Analysis bereitgestellt, welche die Zuverlässigkeit und Effizienz des nichtlinearen Least-Squares Funktionals als a-posteriori Fehlerschätzer beweist. Die Analysis bleibt gleichmäßig gültig im inkompressiblen Grenzfall womit der Poisson-Locking Effekt ausgeschlossen ist. Die analytischen Resultate für das Neo-Hooke Modell werden benutzt um einen Algorithmus zur Modelladaptivität vorzuschlagen, welcher auf dem linearen Elastizitätsmodell und dem Neo-Hooke Modell basiert. Der Algorithmus entscheidet automatisch in welchem Teilgebiet das lineare Modell durch das Neo-Hooke Modell lokal ausgetauscht werden soll. Zwei- und dreidimensionale numerische Beispiele für kompressible und inkompressible Materialien werden betrachtet, um das Potenzial unserer Methode zu verdeutlichen. Hierbei werden Raviart-Thomas Elemente zweitniedrigster Ordnung für die Spannungsapproximationen mit konformen, stückweise quadratischen, Elementen für die Verschiebungsapproximationen kombiniert. Eine signifikante Verbesserung von Spannungsapproximationen im Vergleich zu herkömmlichen Diskretisierungsmethoden wird nachgewiesen. In Beispielen mit Eck- oder Kantensingularitäten werden unter Verwendung adaptiver Verfeinerungsstrategien nahezu optimale Konvergenzraten für das nichtlineare Least-Squares Funktional erreicht.