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Der thermodynamische Casimir-Effekt mit symmetrieerhaltenden und symmetriebrechenden Randbedingungen

Schmidt, Felix M. LSF

Wenn makroskopische Körper sich in einem fluktuierenden Medium befinden und dieses in seiner räumlichen Ausdehnung begrenzen, so können daraus langreichweitige Kräfte zwischen diesen Körpern folgen. Das Spektrum der Fluktuationen wird modifiziert und die Energie des Systems ist dann abhängig von den Abständen zwischen den Körpern, woraus die Existenz einer Kraft zwischen diesen folgt. Die vorliegende Arbeit ist der Untersuchung des Einflusses der Randbedingungen auf den thermodynamischen Casimir-Effekt gewidmet. Hier sind thermische Fluktuationen in der Nähe eines kritischen Punktes ursächlich für diese Kräfte. Es werden $O(n)$-symmetrische $\phi^4$-Theorien in $d$-dimensionalen Filmen der Filmdicke $L$ untersucht. Berücksichtigt man zudem externe symmetriebrechende Felder, so lauten die generischen Randbedingungen für diese Theorien $\partial_{n}\phi-c_j\,\phi=-h_j$. Dabei sind die Parameter $c_j$ Oberflächenkopplungen, welche im Rahmen der Landau-Theorie die Rolle linear extrapolierter Eindringtiefen in die Oberflächen spielen, und $h_j$ Oberflächenfelder. Der Einfluss der Variablen $c_j$ auf die Casimir-Kraft wird im Rahmen der renormierungsgruppenverbesserten Störungstheorie in $d=4-\epsilon$ Dimensionen in Zweischleifennäherung am \emph{Bulk}-kritischen Punkt untersucht. Besondere Aufmerksamkeit kommt dabei dem Fall kritischer Verstärkung der Oberflächenkopplungen zu, da hier die gewöhnliche Schleifenentwicklung aufgrund einer Nullmode im Spektrum zusammenbricht und in der $\epsilon$-Entwicklung daher nicht-ganzzahlige Potenzen von $\epsilon$ auftreten. Diese störungstheoretischen Rechnungen sind auf die ungeordnete Phase mit $T\geq T_{\mathrm{c},\infty}$, $c_j\geq c_\mathrm{sp}$ und $h_j=0$ beschränkt. Um die Analyse für alle Temperaturen zu ermöglichen, wird der exakt handhabbare Limes $n\to\infty$ des dreidimensionalen $\phi^4$-Modells untersucht. Dazu werden selbstkonsistente Gleichungen für die freie Energie hergeleitet, welche numerisch exakt gelöst werden können. Für Dirichlet-Randbedingungen wird hier bei $h_j=0$ eine Temperaturabhängigkeit der Casimir-Kraft gefunden, welche qualitativ mit den Messungen in der Nähe des Lambda-Übergangs in suprafluidem Helium übereinstimmt. Insbesondere hat sie ein ausgeprägtes Extremum unterhalb der \emph{Bulk}-kritischen Temperatur. Zudem wird im \emph{Large}-$n$-Modell der Einfluss der Oberflächenfelder $h_j\in\mathbb{R}$ untersucht. Setzt man die Parameter $c_j$ und $h_j$ auf ihre Fixpunktwerte, so ergeben sich Kräfte, die bei $T_{\mathrm{c},\infty}$ mit einem Potenzgesetz abfallen und entweder attraktiv oder repulsiv sind. Ist das System samt seiner Randbedingungen spiegelsymmetrisch bezüglich einer Ebene, so wirken immer anziehende Kräfte. Brechen die Randbedingungen jedoch diese Spiegelsymmetrie, so können die Kräfte auch abstoßend sein. Es wird explizit gezeigt, dass Abweichungen von den Fixpunktwerten der Parameter zu Übergängen zwischen attraktivem und repulsivem Verhalten bei Variation der Filmdicke $L$ führen können.

When macroscopic bodies are immersed in fluctuating media, long-range forces between these bodies may occur. The fluctuation's spectrum is modified resulting in a dependence of the system's energy on the separation between the objects, straightforwardly leading to the existence of a force between the bodies. This work is dedicated to the analysis of how boundary conditions affect the thermodynamic Casimir effect where thermal fluctuations near a critical point induce these forces. $O(n)$ symmetric $\phi^4$ theories in $d$-dimensional slab geometries of thickness $L$ are considered. When symmetry breaking external fields are present as well, the generic boundary conditions of these theories read $\partial_{n}\phi-c_j\,\phi=-h_j$ where the coefficients $c_j$ are surface couplings, serving as linearly extrapolated penetration depths into the surfaces in Landau theory, and $h_j$ are surface fields. The influence of the surface couplings $c_j$ on the Casimir force is investigated by means of the renormalization-group-improved perturbation theory in $d=4-\epsilon$ dimensions to two-loop order at the bulk critical point. Special attention is paid to the case of critical enhancement of the surface interactions which results in the existence of a zero mode leading to a breakdown of the usual loop expansion of the free energy and implicating the emergence of non-integer powers of $\epsilon$ in the $\epsilon$ expansion. These perturbative methods are restricted to the disordered phase with $T\geq T_{\mathrm{c},\infty}$, $c_j\geq c_\mathrm{sp}$, and $h_j=0$. In order to extend the analysis to the whole temperature axis, the exactly treatable limit $n\to\infty$ of the three-dimensional $\phi^4$ model is investigated. A set of self-consistent equations for the free energy is derived that can be solved numerically exact. Considering Dirichlet boundary conditions and vanishing external fields, one finds a temperature dependence of the Casimir force that exhibits the qualitative features of the experimentally measured force near the lambda transition in superfluid helium. In particular the existence of an extremum below the bulk critical point is reproduced. Additionally, the influence of the surface fields $h_j\in\mathbb{R}$ is investigated in the large-$n$ limit. If one fixes the coefficients $c_j$ and $h_j$ to their respective fixed-point values, the Casimir forces decay algebraically at $T_{\mathrm{c},\infty}$ being either attractive or repulsive. When the system --- including the boundary conditions --- is mirror symmetric with respect to a plane, these interactions are guaranteed to be attractive. This does not hold when boundary conditions break mirror symmetry. In this case repulsive forces may occur. It is explicitly shown that deviations of the coefficients from their fixed-points may lead to crossovers between attractive and repulsive Casimir forces when varying the film thickness $L$.

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Schmidt, Felix M.: Der thermodynamische Casimir-Effekt mit symmetrieerhaltenden und symmetriebrechenden Randbedingungen. 2014.

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