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Modelle, Strukturen und Algorithmen für stationäre Flüsse in Gasnetzen

Stangl, Claudia LSF

Ausgehend von den grundlegenden Erhaltungssätzen für Fluide, der Kontinuitätsgleichung, der Impulsgleichung und der Energiegleichung, untersuchen wir Vereinfachungen für die Modellie- rung von stationären Gasflüssen in Gasnetzen. Anschließend betrachten wir ein auf diesen Ap- proximationen beruhendes Verfahren zur Bestimmung von zulässigen Flüssen und Drücken im Rahmen physikalischer, technischer und vertraglicher Restriktionen. Betrachtet man ein Gas- netz, welches aus Rohren (Kanten) und Punkten (Knoten) besteht, gelten analog zu Strom- und Wassernetzen auch beim stationären Gasfluss die Kirchhoffschen Gesetze. Das erste Ge- setz besagt, dass die Summe der aus einem Knoten herausfließenden Volumenströme identisch zur Summe der hineinfließenden Volumenströme sein muss. Ist der Knoten weder eine Senke (Ausspeisepunkt) noch eine Quelle (Einspeisepunkt) handelt es sich hierbei lediglich um die Volumenströme, welche über inzidente Kanten fließen. Ist der Knoten eine Senke, so kann über ihn Gas aus dem Netz ausgespeist werden. Ist der Knoten eine Quelle, so kann Gas in das Netz eingespeist werden. Diese zusätzlichen Volumenströme müssen für die Einhaltung des ersten Kirchhoffschen Gesetzes berücksichtigt werden. Das zweite Gesetz beschreibt den Druckabfall des Gases in Kreisen. Es sagt aus, dass sich die Druckveränderung beim Durchlaufen eines Kreises zu Null addiert. Der Druckabfall resultiert aus der Reibung, die der Gasstrom an den Innenwänden der Rohre erfährt. Im stationären Fall ergibt sich zunächst aus Vereinfachungen der Erhaltungssätze ein nicht- lineares Gleichungssystem mit Druckvariablen für Knoten und Flussvariablen für Kanten des Netzes. Aus diesem System lassen sich anschließend bei Fixierung des Druckes an einem Knoten sämtliche Druckvariablen und gewisse Flussvariablen eliminieren, sodass ein System mit gleich vielen Variablen wie Gleichungen verbleibt. Diese Anzahl entspricht der Zahl der Fundamental- kreise im Netz, d. h., der minimalen Anzahl kreisschließender Kanten. Aus dem resultierenden System von Gleichungen leiten wir mit Hilfe koerziver Operatoren Existenz- und Eindeutig- keitsaussagen für Lösungen her. Mit dem Ziel reale Gasnetze auf die Existenz zulässiger, stationärer Gasflüsse zu untersuchen und solche zu ermitteln, betrachten wir weitere Kantentypen. Ein Gasnetz besteht nicht nur aus Rohren, sondern zusätzlich aus Verdichterstationen, Reglern, Schiebern, Widerständen und Kurzschlüssen. Diese Elemente erfordern nicht nur die Hinzunahme neuer Nebenbedingungen, sondern auch die Einführung von Binärvariablen. Letztere modellieren, ob eine Verdichtersta- tion, ein Regler oder ein Schieber geöffnet oder geschlossen sein soll. Unser Modell für den Druckverlust in Rohren, ebenso wie die Modellierungen von Verdichterstationen und Wider- ständen beinhaltet nichtlineare Komponenten. Um trotz der Binärentscheidungen ein nicht- lineares Modell nutzen zu können, welches den Druckabfall im Rohr sehr gut approximiert, nutzen wir Heuristiken zur Fixierung der Binärentscheidungen. Sind diese fixiert, erhalten wir ein nichtlineares, nichtkonvexes Modell mit Druckvariablen an allen Knoten, welche inzident zu einer Verdichterstation, einem Regler oder einem Widerstand sind sowie einer Druckvariable für den Wurzelknoten. Zusätzlich gibt es pro Fundamentalkreis eine Flussvariable für die kreisschließende Kante. Die Entwicklung dieses Verfahrens zur Feststellung, ob ein zulässiger stationärer Gasfluss in ei- nem gegebenen Netz existiert, ist motiviert durch die Forschungskooperation Netzoptimierung (Forne). Mitglieder dieser Kooperation sind zwei Forschungsinstitute und mehrere mathema- tische Arbeitsgruppen an deutschen Universitäten1 . Initiator der Forschungskooperation ist der Bereich Netzplanung und -Steuerung der OGE [46] (Open Grid Europe GmbH) in Essen. Dieses Unternehmen besitzt und steuert als Erdgastransporteur das größte Ferngasleitungs- netz in Deutschland. Innerhalb der Forschungskooperation gibt es grundlegende Aufgaben, an denen alle gemeinsam arbeiten und spezielle Teilaufgaben, welche von einzelnen Kooperati- onspartnern vertieft bearbeitet werden. So wird zum Beispiel am Zuse-Zentrum an Modellen zur Netzausbauplanung geforscht. Die Arbeitsgruppe von Werner Römisch entwickelt in Zu- sammenarbeit mit der Gruppe von Rene Henrion Prognose- und Reduktionsverfahren für das Ausspeiseverhalten der Gaskunden. Dank des Initiators OGE werden uns reale Netzdaten zur Verfügung gestellt. Die Ergebnisse der Forschungskooperation wurden in [21] zusammengefasst und zur Veröffentlichung akzeptiert. Des Weiteren wurde eine Veröffentlichung mit dem Titel „Validation of Nominations in Gas Network Optimization: Models, Methods, and Solutions“ [48] bei Optimization Methods and Software eingereicht und publiziert. Ein Buch mit dem Titel „Evaluating Gas Network Capacities“ [32] stellt detailliert die Methoden und Modelle dar und wird bei SIAM2 erscheinen . Wir nennen die Vorgabe von zu transportierenden Gasflüssen an Quellen und Senken eine „Nominierung“. Eine grundlegende Frage für die Forschungskooperation ist, ob zu einer ge- gebenen Nominierung ein zulässiger stationärer Gasfluss auf dem zu Grunde liegenden Netz gefunden werden kann. Um diese Frage beantworten zu können, muss ein Problem gelöst wer- den, welches sowohl Binärentscheidungen als auch nichtlineare Nebenbedingungen in großer Zahl enthält. Die Zustandsgleichung realer Gase, die verwendeten approximierten Lösungen der Kontinuitäts- und der Impulsgleichung, welche den Druckabfall in Rohren bestimmen, sowie Bedingungen für Verdichterstationen und Widerstände sind nichtlinear. Für unseren Ko- operationspartner OGE sind alle Eigenschaften wie Gastemperatur, Gasbeschaffenheit und Fließgeschwindigkeit, welche weitere nichtlineare Bedingungen erzeugen, von Bedeutung. In der Forschungskooperation wird daher ein mehrstufiger Ansatz verfolgt. Es gibt ein detaillier- tes nichtlineares Modell, welches bei fixierten Binärentscheidungen und guten Startwerten alle Eigenschaften im Gasfluss unter Verwendung diskretisierter Differentialgleichungen berücksich- tigt. Dieses Modell wird an der Leibniz Universität entwickelt ([57, 58]). In der vorliegenden Arbeit wird ein Verfahren beschrieben und untersucht, welches Startwerte und vielversprechen- de Binärentscheidungen für dieses detaillierte Modell liefern kann. Dabei verwenden wir ein Dekompositionsverfahren, bei dem spezielle Teilgebiete des Netzes separat berechnet und aus dem Originalnetz geschnitten werden. Dadurch verringert sich die Dimension des verbleibenden Netzes, sodass Nominierungen auf großen Gasnetzen erfolgreicher berechnet werden können. Die Beantwortung obiger Frage, ob zu einer gegebenen Nominierung ein zulässiger stationärer Gasfluss auf dem zu Grunde liegenden Netz gefunden werden kann, ist grundlegend für weitere Aufgaben innerhalb der Forschungskooperation. Sie wird als Teilaufgabe sehr oft gestellt, wes- halb die schnelle Beantwortung der Frage ein weiteres Ziel des in dieser Arbeit vorgestellten Verfahrens ist. Motiviert durch die Kooperation befassen wir uns in dieser Dissertationsschrift sowohl mit der Entwicklung mathematisch korrekter, reduzierter Modelle als auch mit deren Anwendung auf reale Gasnetze. Diese führen durch ihre Größe in der Regel zu hochdimensionalen Proble- men, welche zum aktuellen Entwicklungsstand von keinem Standardlöser erfolgreich behandelt werden können. Im Vergleich zu den in dieser Dissertationsschrift vorgelegten Ergebnissen sind aus der ver- öffentlichten mathematischen, wie ingenieurwissenschaftlichen Fachliteratur keine Resultate zu Strukturen und Algorithmik für Gasnetze vergleichbarer Größe, Vielfalt und Komplexität bekannt.

Based on the fundamental conservation laws for fluids, namely the continuity equation, the momentum equation and the energy equation, in this dissertation, we research simplifications for modelling stationary gas flow in gas networks. Thereafter, we use these approximations to develop a procedure that determines whether flows and pressures are feasible within physical, technical and contractual restrictions. Regarding a gas network consisting of pipes (edges) and points (nodes), Kirchhoff‘s laws analogically hold for stationary gas flow as they do for electricity and water networks. The first law ensures that the sum of flows going out of a node equals the sum of flows going into the node. If the node neither is an exit nor an entry, we’re dealing with a sum of flows simply streaming over incident edges. If the node is an exit, it is possible to let gas stream out of the network. If the node is an entry, it is possible to let gas stream into the network. These additional flows must be taken into consideration when Kirchhoff‘s first law is observed. The second law describes the pressure loss of the gas flow within cycles. It declares that the pressure changes on the edges of the cycle must sum up to zero. The pressure loss results from the friction between the gas and the inside walls of the pipe. In the stationary case, from simplifications of the conservation laws, initially there results a nonlinear equation system with pressure variables for nodes and with flow variables for edges of the network. By fixing the pressure on one node, it is possible to eliminate all pressure variables and certain flow variables to attain a system with as many variables as equations. This number of variables/equations coincides with the number of fundamental cycles within the network, meaning the minimum number of edges closing a cycle. We provide existence and uniqueness of solutions on the remaining equation system with the help of coercive operators. Aiming at analysing real world gas networks for the existence of feasible, stationary gas flows we have to take into consideration more types of edges. A gas network does not only consist of pipes, but also of compressor stations, control valves, valves, resistors and shortcuts. These elements do not only require the use of special constraints, but also the use of binary variables. These variables model if a compressor station, a control valve or a valve is closed or opened. Our model for the pressure loss in pipes includes nonlinearities as do the modelling of compressor stations and resistors. In order to be able to use a nonlinear model that approximates the pressure loss well in spite of binary decisions, we apply a heuristic for the fixation of those binary decisions. After the fixation, a nonlinear non-convex model remains with pressure variables on all nodes that are incident to a compressor station, a control valve or a resistor and one pressure variable for the root node. Additionally, there exists a flow variable for each fundamental cycle. The development of a procedure to determine whether a feasible stationary gas flow exists for a given network is motivated by the cooperation “Forschungskooperation Netzoptimierung” (Forne). This cooperation consists of members of two research institutes and some mathemat- ical work groups at German universities3 . The initiator of the cooperation is the division “Netzplanung und -Steuerung” from OGE [46] (Open Grid Europe GmbH) situated in Essen, Germany. The company owns the biggest long- distance gas network within Germany. There are basic problems which all members of the cooperation try to solve jointly. Furthermore, there are special sub tasks only some members of the cooperation are occupied more deeply with. For instance, the sub task “network ex- tension” is tackled by the working group from Zuse-Zentrum. The team of Werner Römisch in collaboration with the working group of Rene Henrion develops techniques for forecasting the characteristics of the use of exit flows. Thanks to the initiator OGE, data of real world gas networks is provided to us. The results of the cooperation have been summarised in [21] and accepted for publication. In addition to that, a paper titled “Validation of Nominations in Gas Network Optimization:Models, Methods, and Solutions” [48] is accepted and published by Optimization Methods and Software. Furthermore, the book “Evaluating Gas Network Ca- pacities” containing detailed explanations of methods and models will be launched by SIAM4 . We name the specification for gas flows to be transported from entries to exits a “nomination”. An elementary question for the cooperation is whether a feasible stationary gas flow can be found for a given nomination on a real world gas network. In order to answer this question, a problem with binary decisions and many nonlinear constraints has to be solved. The state equation for real gas, the approximated solutions for the continuity and the momentum equa- tion as well as constraints for compressor stations and resistors are nonlinear. Our partner OGE is interested in the quality of the gas. This includes the temperature, the composition and the current velocity and induces further nonlinear constraints. Therefore, the cooperation uses a multistage approach. There is a detailed nonlinear model which is able to consider all qualities within gas flow by using discretised differential equations when fixed binary decisions and good initial values are given. This model is developed at Leibniz Universität ([57, 58]). The aim of this dissertation is the development and research of a procedure that is able to produce initial values and fixed binary decisions for the detailed model. We apply a decompo- sition method to separately compute special regions of the network and remove them from the original network. Thereby, the dimension of the remaining network is reduced and nominations can even be solved on big gas networks. The answer to the above question if it is possible to find a feasible stationary gas flow for a given nomination on a real world gas network is basic for further questions. It is asked very frequently as a sub task and, therefore, it is important to provide the answers quickly. Accordingly, this is an additional intention of the presented procedure in this paper. Motivated by the cooperation, this paper focuses on both the development of mathematically correct and reduced models and on applying them to real world gas networks. Due to their size, these mostly lead to high dimensional problems which can not be solved in total by any state-of-the-art-solver. There are no results known in printed mathematical or engineering specialist literature with structures and algorithms for gas networks of contrastable size, complexity and diversity in comparison with the outcomes of this dissertation.

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Stangl, Claudia: Modelle, Strukturen und Algorithmen für stationäre Flüsse in Gasnetzen. 2014.

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