Ausgehend von den grundlegenden Erhaltungssätzen für Fluide, der Kontinuitätsgleichung, der Impulsgleichung und der Energiegleichung, untersuchen wir Vereinfachungen für die Modellie- rung von stationären Gasflüssen in Gasnetzen. Anschließend betrachten wir ein auf diesen Ap- proximationen beruhendes Verfahren zur Bestimmung von zulässigen Flüssen und Drücken im Rahmen physikalischer, technischer und vertraglicher Restriktionen. Betrachtet man ein Gas- netz, welches aus Rohren (Kanten) und Punkten (Knoten) besteht, gelten analog zu Strom- und Wassernetzen auch beim stationären Gasfluss die Kirchhoffschen Gesetze. Das erste Ge- setz besagt, dass die Summe der aus einem Knoten herausfließenden Volumenströme identisch zur Summe der hineinfließenden Volumenströme sein muss. Ist der Knoten weder eine Senke (Ausspeisepunkt) noch eine Quelle (Einspeisepunkt) handelt es sich hierbei lediglich um die Volumenströme, welche über inzidente Kanten fließen. Ist der Knoten eine Senke, so kann über ihn Gas aus dem Netz ausgespeist werden. Ist der Knoten eine Quelle, so kann Gas in das Netz eingespeist werden. Diese zusätzlichen Volumenströme müssen für die Einhaltung des ersten Kirchhoffschen Gesetzes berücksichtigt werden. Das zweite Gesetz beschreibt den Druckabfall des Gases in Kreisen. Es sagt aus, dass sich die Druckveränderung beim Durchlaufen eines Kreises zu Null addiert. Der Druckabfall resultiert aus der Reibung, die der Gasstrom an den Innenwänden der Rohre erfährt. Im stationären Fall ergibt sich zunächst aus Vereinfachungen der Erhaltungssätze ein nicht- lineares Gleichungssystem mit Druckvariablen für Knoten und Flussvariablen für Kanten des Netzes. Aus diesem System lassen sich anschließend bei Fixierung des Druckes an einem Knoten sämtliche Druckvariablen und gewisse Flussvariablen eliminieren, sodass ein System mit gleich vielen Variablen wie Gleichungen verbleibt. Diese Anzahl entspricht der Zahl der Fundamental- kreise im Netz, d. h., der minimalen Anzahl kreisschließender Kanten. Aus dem resultierenden System von Gleichungen leiten wir mit Hilfe koerziver Operatoren Existenz- und Eindeutig- keitsaussagen für Lösungen her. Mit dem Ziel reale Gasnetze auf die Existenz zulässiger, stationärer Gasflüsse zu untersuchen und solche zu ermitteln, betrachten wir weitere Kantentypen. Ein Gasnetz besteht nicht nur aus Rohren, sondern zusätzlich aus Verdichterstationen, Reglern, Schiebern, Widerständen und Kurzschlüssen. Diese Elemente erfordern nicht nur die Hinzunahme neuer Nebenbedingungen, sondern auch die Einführung von Binärvariablen. Letztere modellieren, ob eine Verdichtersta- tion, ein Regler oder ein Schieber geöffnet oder geschlossen sein soll. Unser Modell für den Druckverlust in Rohren, ebenso wie die Modellierungen von Verdichterstationen und Wider- ständen beinhaltet nichtlineare Komponenten. Um trotz der Binärentscheidungen ein nicht- lineares Modell nutzen zu können, welches den Druckabfall im Rohr sehr gut approximiert, nutzen wir Heuristiken zur Fixierung der Binärentscheidungen. Sind diese fixiert, erhalten wir ein nichtlineares, nichtkonvexes Modell mit Druckvariablen an allen Knoten, welche inzident zu einer Verdichterstation, einem Regler oder einem Widerstand sind sowie einer Druckvariable für den Wurzelknoten. Zusätzlich gibt es pro Fundamentalkreis eine Flussvariable für die kreisschließende Kante. Die Entwicklung dieses Verfahrens zur Feststellung, ob ein zulässiger stationärer Gasfluss in ei- nem gegebenen Netz existiert, ist motiviert durch die Forschungskooperation Netzoptimierung (Forne). Mitglieder dieser Kooperation sind zwei Forschungsinstitute und mehrere mathema- tische Arbeitsgruppen an deutschen Universitäten1 . Initiator der Forschungskooperation ist der Bereich Netzplanung und -Steuerung der OGE [46] (Open Grid Europe GmbH) in Essen. Dieses Unternehmen besitzt und steuert als Erdgastransporteur das größte Ferngasleitungs- netz in Deutschland. Innerhalb der Forschungskooperation gibt es grundlegende Aufgaben, an denen alle gemeinsam arbeiten und spezielle Teilaufgaben, welche von einzelnen Kooperati- onspartnern vertieft bearbeitet werden. So wird zum Beispiel am Zuse-Zentrum an Modellen zur Netzausbauplanung geforscht. Die Arbeitsgruppe von Werner Römisch entwickelt in Zu- sammenarbeit mit der Gruppe von Rene Henrion Prognose- und Reduktionsverfahren für das Ausspeiseverhalten der Gaskunden. Dank des Initiators OGE werden uns reale Netzdaten zur Verfügung gestellt. Die Ergebnisse der Forschungskooperation wurden in [21] zusammengefasst und zur Veröffentlichung akzeptiert. Des Weiteren wurde eine Veröffentlichung mit dem Titel „Validation of Nominations in Gas Network Optimization: Models, Methods, and Solutions“ [48] bei Optimization Methods and Software eingereicht und publiziert. Ein Buch mit dem Titel „Evaluating Gas Network Capacities“ [32] stellt detailliert die Methoden und Modelle dar und wird bei SIAM2 erscheinen . Wir nennen die Vorgabe von zu transportierenden Gasflüssen an Quellen und Senken eine „Nominierung“. Eine grundlegende Frage für die Forschungskooperation ist, ob zu einer ge- gebenen Nominierung ein zulässiger stationärer Gasfluss auf dem zu Grunde liegenden Netz gefunden werden kann. Um diese Frage beantworten zu können, muss ein Problem gelöst wer- den, welches sowohl Binärentscheidungen als auch nichtlineare Nebenbedingungen in großer Zahl enthält. Die Zustandsgleichung realer Gase, die verwendeten approximierten Lösungen der Kontinuitäts- und der Impulsgleichung, welche den Druckabfall in Rohren bestimmen, sowie Bedingungen für Verdichterstationen und Widerstände sind nichtlinear. Für unseren Ko- operationspartner OGE sind alle Eigenschaften wie Gastemperatur, Gasbeschaffenheit und Fließgeschwindigkeit, welche weitere nichtlineare Bedingungen erzeugen, von Bedeutung. In der Forschungskooperation wird daher ein mehrstufiger Ansatz verfolgt. Es gibt ein detaillier- tes nichtlineares Modell, welches bei fixierten Binärentscheidungen und guten Startwerten alle Eigenschaften im Gasfluss unter Verwendung diskretisierter Differentialgleichungen berücksich- tigt. Dieses Modell wird an der Leibniz Universität entwickelt ([57, 58]). In der vorliegenden Arbeit wird ein Verfahren beschrieben und untersucht, welches Startwerte und vielversprechen- de Binärentscheidungen für dieses detaillierte Modell liefern kann. Dabei verwenden wir ein Dekompositionsverfahren, bei dem spezielle Teilgebiete des Netzes separat berechnet und aus dem Originalnetz geschnitten werden. Dadurch verringert sich die Dimension des verbleibenden Netzes, sodass Nominierungen auf großen Gasnetzen erfolgreicher berechnet werden können. Die Beantwortung obiger Frage, ob zu einer gegebenen Nominierung ein zulässiger stationärer Gasfluss auf dem zu Grunde liegenden Netz gefunden werden kann, ist grundlegend für weitere Aufgaben innerhalb der Forschungskooperation. Sie wird als Teilaufgabe sehr oft gestellt, wes- halb die schnelle Beantwortung der Frage ein weiteres Ziel des in dieser Arbeit vorgestellten Verfahrens ist. Motiviert durch die Kooperation befassen wir uns in dieser Dissertationsschrift sowohl mit der Entwicklung mathematisch korrekter, reduzierter Modelle als auch mit deren Anwendung auf reale Gasnetze. Diese führen durch ihre Größe in der Regel zu hochdimensionalen Proble- men, welche zum aktuellen Entwicklungsstand von keinem Standardlöser erfolgreich behandelt werden können. Im Vergleich zu den in dieser Dissertationsschrift vorgelegten Ergebnissen sind aus der ver- öffentlichten mathematischen, wie ingenieurwissenschaftlichen Fachliteratur keine Resultate zu Strukturen und Algorithmik für Gasnetze vergleichbarer Größe, Vielfalt und Komplexität bekannt.