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Ergodizitätseigenschaften Iterierter Funktionensysteme unter Kontraktions- und Driftbedingungen nur am Rande.

Kowol, Joachim

Zeitreihenmodelle sind in den letzten Jahrzehnten vielfach zur Modellierung von Finanzmarkt- Zeitreihen, z.B. Aktienkursverläufen, eingesetzt worden (siehe z.B. McNeil und Frey [8], Basrak [2], Tsay [31]). Insbesondere erfreut sich das sogenannte AR(1)-ARCH(1)-Modell (autoregressiv von 1. Ordnung mit ARCH(1)-Störterm) einer intensiven Behandlung in der Literatur (siehe z.B. Borkovec und Klüppelberg [19], Cline [5], Würtz und Chalabi und Luksan [22]). Zur Si- cherung der (asymptotischen) Stabilität bzw. Stationarität eines so erzeugten Prozesses suchen die Theoretiker nach dafür hinreichenden Parameterkonstellationen an die Übergangsfunktion. Die oben genannten Zeitreihenmodelle lassen sich auffassen als spezielle Iterierte Funktionen- systeme (abgekürzt IFS). Daher ist die für solche Systeme bereits entwickelte Theorie auf die interessierenden Zeitreihenmodelle anwendbar. Wünschenswerte Ergodizitätseigenschaften von Iterierten Funktionensystemen mit unabhängi- gen, identisch verteilten Innovationen lassen sich, ganz generell gesagt, unter gewissen Kontrak- tionsbedingungen an die Übergangsfunktion gewinnen. Einige generelle Kontraktionsbedingun- gen, die im Laufe der Zeit für IFS entwickelt wurden, werden vorgestellt und zueinander in Beziehung gesetzt. Je nach Art der Kontraktionsbedingung, z.B. verwendeter Norm oder Me- trik, lassen sich bestimmte Konvergenzeigenschaften der bei IFS interessierenden Markov-Kette nachweisen, damit verknüpft die Existenz einer eindeutigen stationären Verteilung. Solche Kontraktionsbedingungen stellen natürlich eine manchmal unwillkommene Einschrän- kung an den Entwurf einer Übergangsfunktion eines IFS dar. Ein Beispiel dafür bieten etwa AR(1)-Zeitreihen mit ARCH(1)-Innovationen (vgl. z.B. BuK [19]). Traditionellerweise werden derartige Modelle bzw. Übergangsfunktionen „im Ganzen“ definiert, d.h. über dem ganzen Zustandsraum des Systems. Da die Kontraktionsbedingungen aber in die- sem Fall als einschränkend angesehen werden, gibt es Ansätze, diese mit gehörigem Aufwand abzuschwächen. In diesem Zusammenhang schlägt Herkenrath [13] eine Modifizierung des AR(1)-ARCH(1)- Prozesses vor, die „unrealistisch hohe“ Schwankungen ausschließen und damit extrem hohe und extrem niedrige Werte vermeiden soll. Die Modifikation geschieht durch eine „Glättung“ der Übergangsfunktion außerhalb des „normalen“ Wertebereichs, einem Kompaktum. Wünschens- werte Eigenschaften des Prozesses, eben (asymptotische) Stabilität bzw. Stationarität, können dank eines Satzes von Feigin und Tweedie [32] durch geeignete Kontraktions- und Driftbedin- gungen nur außerhalb des normalen Wertebereichs gesichert werden, während innerhalb dieses Bereichs nur Stetigkeitsannahmen nötig sind. Diese Kontraktions- bzw. Driftbedingungen wie- derum werden durch die Aufeinanderschaltung von geeigneten Glättungsfunktionen auf die Übergangsfunktion außerhalb des normalen Wertebereichs erzielt. Diesen Ansatz werden wir in der vorliegenden Arbeit ausweiten und verschiedene Ausformun- gen von Glättungsfunktionen unter theoretischen wie auch empirischen Aspekten untersuchen. Die Arbeit ist wie folgt gegliedert: 6 • In Kapitel 1 werden zunächst die notwendigen Grundlagen geschaffen und Rahmenbedin- gungen umrissen, um Eigenschaften und Effekte von Glättungsfunktionen zu untersuchen. Anschließend werden in den Abschnitten 1.2 - 1.5 anhand von konkreten Beispielen, jeweils unterschiedliche Erscheinungsformen für das zentrale Konzept der Kontraktionsbedingung vorgestellt und damit die Betrachtung von IFS motiviert. • Mit dem gewonnenen Rüstzeug, werden in Kapitel 2 unterschiedliche Glättungsfunktionen untersucht und (minimale) Bedingungen zur Sicherung der gewünschten Ergodizitätsei- genschaften herausgearbeitet (vgl. 2.1.1). Es werden die Beziehung bzw. Wechselwirkung der Glättungsfunktionen zu Kontraktionsbedingungen (2.1), aber auch zu Driftbedingun- gen und somit geometrischer Ergodizität (2.2) untersucht. Dieser Zusammenhang bietet die Möglichkeit, die unterschiedlichen Glättungskonzepte untereinander vergleichbar zu machen und so werden in Abschnitt 2.3 positive Effekte im Sinne von Parameterberei- cherweiterungen für geometrische Ergodizität betrachtet. Abschließend wird ein starker Bezug zu anderen Anwendungsgebieten herausgestellt, da sich das gleiche Instrumentari- um dafür eignet und so einen Anknüpfungspunkt zu vorangegangenen Ergebnissen ergibt. • In Kapitel 3 wird das empirische Fundament für die Nutzung von Glättungsfunktionen bereitet. So werden zunächst die Simulationsalgorithmen (3.1 - 3.3) für die unterschied- lichen Glättungsansätze erörtert und aufbauend darauf, die Parameterschätzung (3.4) in den unterschiedlichen Konstellationen des Glättens durchgeführt. Den Abschluss dieser computerunterstützten Untersuchung, bilden dann die Beurteilung der Parameterschät- zungen und die Fusion der Teilergebnisse in einer Predict-Funktion. • Auch wenn Kapitel 4 auf den ersten Blick vielleicht den Eindruck einer Sammlung von weniger wichtigen Randbemerkungen erwecken dürfte, vervollständigt es die Arbeit in ganz zentralen Punkten. Die ausführlichen Erläuterungen (z.B. 4.3) oder grundlegende bzw. ergänzende Beispiele (z.B. 4.5) wurden nur ausgelagert, um den Lesefluss nicht zu sehr zu stören und den ersten Blick auf das Gesamtgebilde nicht unnötig zu verdecken. Rückblickend bzw. fürs tiefere Verständnis sind sie jedoch von zentraler Bedeutung, was beim ersten Lesen durch die vielen Verweise auf den Anhang auch klar werden dürfte. Ein Einblick und gleichermassen Ausblick in die veränderte Ausgangssituation eines streng stationären Innovationsprozesses, bildet den Abschluss der Arbeit.

Autoregressive time series models have been applied extensively in statistics on financial mar- kets during the last decades (see e.g. McNeil and Frey [8], Basrak [2], Tsay [31]). In particular, the so-called AR(1)-ARCH(1)-model (autoregressive of order 1 with ARCH(1)-noise-term) has attracted much attention in the literature (see e.g. Borkovec and Klüppelberg [19], Cline [5], Würtz and Chalabi and Luksan [22]). In order to ensure (asymptotic) stability respectively stationarity of a corresponding stochastic process sufficient conditions on the parameters of the transition function of the time series-model are searched for. The time series models mentioned above may be conceived as special “iterated function sys- tems” (abbreviated to IFS). Therefore the already existing theory on those IFS may be applied to the time series models under consideration. Desirable ergodicity properties of IFS with independent, identically distributed innovations are derived under certain contraction conditions on the corresponding transition function. Some general contraction conditions on IFS are discussed here. Depending on the kind of the con- dition imposed, different convergence properties of the associated Markov chain of an IFS are proved, in particular the existence of a unique stationary distribution. Such contraction condi- tions sometimes are too restrictive with respect to a desirable transition function. An example is given by AR(1)-time series with ARCH(1)-innovations (see. e.g. BuK [19]). In the past the transition functions of IFS were defined by one term over the whole state space of the system. Since this approach may be too restrictive, there are attempts for modifications. In this context Herkenrath [13] proposes a modification of the AR(1)-ARCH(1)-process, which should avoid “unrealistically high” fluctuations and thereby “extreme” values. The modification is performed by “smoothing” the transition function out of a “normal” compact range. Due to a theorem of Feigin and Tweedie [32] desirable properties of the process are assured by suitable contraction- and drift conditions only outside of the normal range, whereas within that range only continuity assumptions are imposed. Those contraction- and drift conditions in turn are achieved by a composition of appropriate smoothing functions on the transition function out- side the normal range. This approach will be extended in my thesis by studying different types of smoothing functions under theoretical and empirical aspects. The thesis is organized as follows: 4 • In Chapter 1 the necessary fundamentals are presented, in order to study properties and consequences of smoothing functions. In Sections 1.2 - 1.5 furthermore different variants of the central concept of “contraction condition” are discussed. • On the basis of those general results in Chapter 2 various smoothing functions are studied and (minimal) sufficient conditions for the desired ergodicity properties are developed (see 2.1.1). The relations of the smoothing functions to contraction conditions and moreover to drift conditions are examined therefore ensuring geometric ergodicity. This context offers the facility to compare the different variants of smoothing functions. Thus in Sec- tion 2.3 positive effects of smoothing are presented in the sense of an extension of the range of parameters ensuring geometric ergodicity. Finally implications for other fields of applications are explained. • In Chapter 3 the empirical basis for the application of smoothing functions is given. First the algorithms for simulation of the different smoothing variants are discussed, and based on that, the estimation of the corresponding parameters is performed. As conclusion of this empirical, computer-supported study an evaluation of the parameter-estimations is presented. • Although at first glance Chapter 4 may look as a collection of marginal results, it comple- tes the thesis in important subjects. The detailed explanations (e.g. 4.3) or basic respec- tively additional examples (e.g. 4.5) were only transferred from the central chapters, in order not to overburden them and not to cover the central ideas there. Reviewing those central chapters and for their deeper understanding they are important, which may be obvious by the multitude of references to the appendix there. An impression and simul- taneously an outlook on the modified IFS with a strictly stationary innovation process concludes the thesis.

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Kowol, Joachim: Ergodizitätseigenschaften Iterierter Funktionensysteme unter Kontraktions- und Driftbedingungen nur am Rande.. 2014.

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