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Coherent Transport through Interacting Quantum Dots

Hiltscher, Bastian

Die vorliegende Dissertation setzt sich aus vier unterschiedlichen Arbeiten zusammen. Jede beschäftigt sich mit kohärentem Transport durch wechselwirkende Quantenpunkte, die über Tunnelbarrieren an externe Zuleitungen gekoppelt sind. Es gibt zwei Hauptmotivationen, Quantenpunkte zu untersuchen. Erstens eignen sie sich hervorragend um den Einfluss starker Coulomb-Abstoßung zu studieren, und zweitens können ihre diskreten Energielevel leicht durch externe Gate-Elektroden kontrolliert werden, so dass verschiedene Transportregime entstehen. Der Begriff Kohärenz beinhaltet ein sehr breites Spektrum an physikalischen Korrelationen, wodurch die vier Arbeiten im Wesentlichen unabhängig voneinander sind. Bevor die einzelnen Arbeiten im Detail motiviert und vorgestellt werden, merken wir an, dass in allen Arbeiten eine diagrammatische Real-Zeit-Störungstheorie benutzt wird. Die fermionischen Freiheitsgrade der Zuleitungen werden ausgespurt und die Elemente der resultierenden reduzierten Dichtematrix können explizit mit Hilfe einer generalisierten Mastergleichung behandelt werden. Wie diese Gleichung gelöst wird, hängt von den Details des jeweiligen Problems ab. In der ersten der vier Arbeiten wird adiabatisches Pumpen durch ein Aharonov-Bohm-Interferometer untersucht, in dessen zwei Arme jeweils ein Quantenpunkt eingebettet wird. Beim adiabatischen Pumpen wird Transport generiert, indem zwei Systemparameter periodisch in der Zeit variiert werden. Als diese Pumpparameter wählen wir die Energielevel der beiden Quantenpunkte. Da sie sich in unterschiedlichen Armen des Interferometers befinden, ist Pumpen dabei ein quantenmechanischer Effekt, der ausschließlich auf kohärenten überlagerungen der Quantenpunkt-Zustände beruht. Es ist äußerst schwierig Quantenpumpen experimentell nachzuweisen, weil eine kapazitive Kopplung der Gate-Elektroden an die Zuleitungen eine ungewünschte AC Transportspannung hervorrufen kann, die durch eine zeitabhängige Leitfähigkeit gleichgerichtet wird. Daher werden Unterscheidungsmerkmale der beiden Transportmechanismen benötigt. Dabei, so stellt sich heraus, ist die Abhängigkeit vom Magnetfeld entscheidend. Während die gepumpte Ladung durch eine ungerade Funktion des magnetischen Flusses beschrieben wird, ist der gleichgerichtete Strom zumindest im linearen Leitwert gerade. Die zweite Arbeit beschäftigt sich mit dem Anteil kohärenter Prozesse beim Transport durch Quantenpunkte. Zu diesem Zweck wird ein Quantenpunkt in einen der Arme eines Aharonov-Bohm-Interferometers eingebettet. In früheren theoretischen sowie experimentellen Arbeiten wurde beobachtet, dass Cotunnel-Prozesse, welche den Spin des Quantenpunkts umdrehen, eine wichtige Quelle für Dekohärenz sind. Um die Rolle des Spins im Detail zu beleuchten, betrachten wir eine ferromagnetische und eine normalleitende Zuleitung. Hauptsächlich interessieren uns in dieser Arbeit zwei Fragen: (1) Welcher Anteil am gesamten Strom durch einen Einzellevel-Quantenpunkt, der schwach an Elektroden gekoppelt wird, ist kohärent? (2) Wie und unter welchen Umständen lässt sich dieser Anteil von einer Strommessung in einem Aharonov-Bohm-Ring extratrahieren? Die messbare Größe in einem solchen Experiment ist der vom magnetischen Fluss abhängige Anteil des Gesamtstroms. Es stellt sich heraus, dass die Antworten auf die beiden Fragen stark von der Position des Energielevels vom Quantenpunkt, von der Polarisierung des Ferromagneten sowie von der Transportrichtung abhängen. Insbesondere sind der flussabhängige und der kohärente Anteil nicht notwendigerweise identisch. Die Hauptmotivation für die dritte Arbeit ist es, Signaturen für nichtlokale Andreev-Reflexion in Quantenpunkten zu finden. Bei einem solchen Prozess teilt sich ein Cooper-Paar in zwei Einzelelektronen auf, welche in einem kohärenten Prozess in unterschiedliche Quantenpunkte transportiert werden. Wir betrachten einen Aufbau, bei dem zwei Quantenpunkte an denselben Supraleiter und jeder Quantenpunkt zusätzlich an einen Normalleiter gekoppelt werden. In vorherigen Arbeiten wurde eine Transportspannung zwischen dem Supraleiter und den Normalleitern angelegt. Drei verschiedene Prozesse sind dann am Transport beteiligt. Neben den nichtlokalen Andreev-Reflexionen treten auch lokale Andreev-Reflexion, wo beide Elektronen eines Cooper-Paars auf den gleichen Quantenpunkt tunneln, und Einzelelektronen-Tunneln auf. Dies verkompliziert die Identifikation nichtlokaler Andreev-Reflexionen. Daher schlagen wir adiabatisches Pumpen als Transportmechanismus vor. Die beiden Pumpparameter sind die Energielevel der beiden Quantenpunkte. Da diese räumlich voneinander getrennt sind und ein endliches Pumpsignal zwei Pumpparameter erfordert, beruht ein Netto-Transport auf Nichtlokalität. Somit tragen lokale Andreev-Reflexionen nicht zum gepumpten Strom bei. Um letztlich nichtlokale Andreev-Reflexionen ausfindig zu machen, müssen sie vom Einzelelektronen-Tunneln unterschieden werden, welches durch überlagerungen von Zuständen der beiden Quantenpunkte entsteht. Wir finden heraus, dass durch die Abhängigkeit des Stroms zum einen vom mittleren Energielevel und zum anderen von der Symmetrie der Kopplungsstärken zwischen den Quantenpunkten und den Normalleitern die beiden Prozesse eindeutig voneinander unterschieden werden können. Dies ist ein wichtiger Vorteil des Pumpens, beispielsweise im Vergleich zur linearen Leitfähigkeit. Schließlich untersuchen wir den AC-Josephson-Transport durch stark wechselwir-kende Quantenpunkte. Zu diesem Zweck erweitern wir eine diagrammatische Theorie für den DC-Transport auf den zeitabhängigen Fall, wobei die Coulomb-Wechselwirkung nicht-störungstheoretisch behandelt wird. Dieser allgemeine Formalismus wird für die Beschreibung eines Systems benutzt, bei dem ein Quantenpunkt an einen Normalleiter und zwei Supraleiter mit unendlicher Energielücke gekoppelt wird. Da der AC-Josephson-Effekt zwei Supraleiter erfordert, beruht in der niedrigsten Ordnung der Störungsentwicklung ein endliches AC-Signal zwischen dem Quantenpunkt und dem Supraleiter S1 auf der Induzierung supraleitender Korrelationen auf den Quantenpunkt ausschließlich durch Supraleiter S2. Der größte Vorteil den Normalleiter einzusetzen besteht darin, dass die mittlere Quantenpunkt-Besetzung leicht durch das chemische Potential des Normalleiters geregelt werden kann. Somit lässt sich im betrachteten System im Gegensatz zu konventionellen Josephson-Kontakten nicht nur die Frequenz, sondern auch die Amplitude des AC-Signals mit einer DC-Transportspannung kontrollieren, die zwischen dem Normalleiter und den Supraleitern angelegt wird.

The present thesis is composed of four different works. All deal with coherent transport through interacting quantum dots, which are tunnel-coupled to external leads. There a two main motivations for the use of quantum dots. First, they are an ideal device to study the influence of strong Coulomb repulsion, and second, their discrete energy levels can easily be tuned by external gate electrodes to create different transport regimes. The expression of coherence includes a very wide range of physical correlations and, therefore, the four works are basically independent of each other. Before motivating and introducing the different works in more detail, we remark that in all works a diagrammatic real-time perturbation theory is used. The fermionic degrees of freedom of the leads are traced out and the elements of the resulting reduced density matrix can be treated explicitly by means of a generalized master equation. How this equation is solved, depends on the details of the problem under consideration. In the first of the four works adiabatic pumping through an Aharonov-Bohm interferometer with a quantum dot embedded in each of the two arms is studied. In adiabatic pumping transport is generated by varying two system parameters periodically in time. We consider the two dot levels to be these two pumping parameters. Since they are located in different arms of the interferometer, pumping is a quantum mechanical effect purely relying on coherent superpositions of the dot states. It is very challenging to identify a quantum pumping mechanism in experiments, because a capacitive coupling of the gate electrodes to the leads may yield an undesired AC bias voltage, which is rectified by a time dependent conductance. Therefore, distinguishing features of these two transport mechanisms are required. We find that the dependence on the magnetic field is the key feature. While the pumped charge is an odd function of the magnetic flux, the rectified current is even, at least in the linear-conductance regime. The second work deals with the ratio of coherent processes in transport through quantum dots. To this end, a quantum dot is embedded in one of the arms of an Aharonov-Bohm interferometer. In former theoretical as well as experimental works it has been observed that an important source of decoherence are cotunneling processes that flip the dot's spin. In order to elucidate the role of spin in more detail, we assume one of the leads to be ferromagnetic and the other one to be normal. The main motivations of our work are the two questions: (1) What fraction of the total current through a single-level quantum dot weakly coupled to the electrodes is coherent? (2) How and under which circumstances can this fraction be extracted from a current measurement in an Aharonov-Bohm setup? The measurable quantity in such an experiment is the magnetic-flux dependent ratio of the total current. It turns out that the answers of the two questions strongly depend on the dot level position, the polarization of the ferromagnet, and the transport direction. Especially the flux-dependent and the coherent ratios are not necessarily the same. The main motivation of the third work is to identify crossed Andreev reflection in quantum dots, that is, a Cooper pair splits into two single electrons, which are transferred into different quantum dots in one coherent process. We consider a setup, where two quantum dots are tunnel coupled to the same superconductor and each dot is additionally coupled to a normal conductor. In previous works a bias voltage has been applied between the superconductor and the normal conductors. Then, three processes sustain transport. Beside crossed Andreev reflection also local Andreev reflection, where both electrons of the Cooper pair tunnel into the same dot, and single-particle tunneling occur. This complicates the identification of crossed Andreev reflection. Therefore, we propose the transport mechanism of adiabatic pumping in the absence of any bias voltage. The two pumping parameters are the energy levels of the two dots. Since they are spatially separated and a finite pumping signal requires two pumping parameters, a net transport relies on nonlocality. As a consequence local Andreev reflection does not contribute to the pumping current. In order to clearly identify crossed Andreev reflection it has to be distinguished from single-particle tunneling arising due to superpositions of the states of the two dots. We find that the dependence of the current on the average dot level position as well as the symmetry of the coupling strengths between dots and normal conductors clearly distinguishes the two processes from each other. This is an important advantage of the pumping current, for example, in comparison to the linear conductance. Finally, we focus on the AC Josephson transport through a strongly interacting quantum dot. To this end, we extent a diagrammatic theory on the DC Josephson transport to the time dependent case taking into account the Coulomb repulsion nonperturbatively. This general formalism is applied to a three-terminal device, where a quantum dot is tunnel coupled to a normal conductor and two superconductors with an infinite superconducting gap. Since the AC Josephson effect requires the presence of two superconductors, in lowest order of the perturbation expansion a finite AC signal between dot and superconductor S1 relies on the induction of superconducting correlations on the dot exclusively by superconductor S2. The main advantage of employing a normal conductor is that the average dot occupation can easily be tuned by the chemical potential of the normal conductor. Therefore, in the considered three-terminal device, in contrast to conventional Josephson junctions, not only the frequency but also the amplitude of the AC signal can be controlled by a DC bias voltage applied between the normal conductor and the two superconductors.

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Hiltscher, Bastian: Coherent Transport through Interacting Quantum Dots. 2012.

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