Full Counting Statistics of Transport through Quantum Dot Aharonov-Bohm Interferometers

Urban, Daniel

This thesis is concerned with the study of transport through multiply connected geometries including quantum dots. The fact that electrons can pass the system along distinct paths gives rise to interference effects. These can be tuned through the Aharonov-Bohm effect by means of a magnetic field. The quantum dots introduce Coulomb interaction, such that at most a single electron can occupy each dot at any given time. Both Coulomb interaction and interference introduce time correlations in the electronic current. These correlations are studied in full counting statistics, which aims at the calculation of the cumulant generating function of the underlying stochastic process. The time evolution of the system is described by a generalized master equation that takes into account the full density matrix, describing spin, interaction and the delocalized nature of the electron wave function in systems with several dots. The kernel of the master equation is calculated within a real-time diagrammatic approach on the Keldysh contour. This techique allows a systematic expansion in the tunnel coupling while treating Coulomb interaction exactly. Two minimal models are discussed: a two-path interferometer with a quantum dot in one arm and an interferometer with one quantum dot in each arm. In both systems, depending on the parameter set, both sub- and super-Poissonian statistics are found. For the single dot interferometer it is known that in absence of Coulomb interaction Onsager relations require the statistics to be an even function of the magnetic flux and the statistics are found to be Poissonian. The effect of charge interaction is twofold: Firstly it introduces correlations that suppress the statistics below the Poissonian value. Secondly, Onsager relations do not hold and new transport processes with an odd flux dependence appear. They exhibit strongly super-Poissonian statistics in a regime in which all other transport processes are uncorrelated. To date there is only one truly successful technique for the measurement of counting statistics: real-time detection of electrons as they pass the quantum dot. It is shown that such a detection scheme gives different statistics, since it is insensitive to processes conserving the dot state. As a second system an interferometer with quantum dots in both arms is studied. Its statistics depend crucially on the inclusion of spin in the system description: For a very specific parameter set (vanishing flux, degenerate electronic levels) the system's Hilbert space decomposes into two uncoupled subspaces. Transport is possible within either of the subspaces, albeit with different statistics. In such a situation it is impossible to define the counting statistics in the stationary limit, since they would depend on the initial condition. However, this situation is unrealistic since any small deviation of the system parameters (e.g., by experimental imperfections such as spin relaxation) results in coupling of the subspaces. If this coupling is weak the system exhibits strongly super-Poissonian statistics, similar to a random telegraph signal, with the cumulants diverging in the limit of complete decoupling.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Statistik des elektronischen Transports durch mesoskopische Interferometer mit eingebetteten Quantenpunkten. Die Möglichkeit der Ladungsträger, das System auf verschiedenen Pfaden zu passieren, führt zu Interferenz. Aufgrund des Aharonov-Bohm Effekts kann mittels eines externen Magnetfeldes zwischen konstruktiver und destruktiver Interferenz umgeschaltet werden. Interferenz und starke Wechselwirkung auf dem Quantenpunkt induzieren Korrelationen im Elektronenstrom. Die Methode der vollen Zählstatistik studiert solche Korrelationen durch Bestimmen der kumulantenerzeugenden Funktion des zugrundeliegenden stochastischen Prozesses. Die hierfür erforderliche Information über die zeitliche Entwicklung des Systems ist in einer verallgemeinerten Mastergleichung kodiert. Diese berücksichtigt Wechselwirkung, Spin und räumliche Ausdehnung der Wellenfunktion in Systemen mit mehr als einem Quantenpunkt. Die Übergangsraten werden mit Hilfe eines diagrammatischen Realzeit-Zugangs auf der Keldysh-Kontur systematisch in der Tunnelkopplung entwickelt, wobei Wechselwirkungseffekte exakt behandelt werden. Als minimale Modelle, die die beschriebenen Effekte zeigen, werden ein Interferometer mit Quantenpunkten in einem oder beiden Armen behandelt. In beiden Fällen tritt sowohl sub- als auch super-Poissonsches Verhalten auf. Ohne Wechselwirkung sind alle Transportgrößen des Einzelpunkt-Interferometers aufgrund der Onsager-Relationen eine gerade Funktion des magnetischen Flusses und die Transportstatistik ist Poissonsch. Wechselwirkung ändert dies in zweierlei Hinsicht: Zum einen induziert sie Korrelationen, die die Statistik der bestehenden Prozesse sub-Poissonsch werden lassen. Zum anderen verursacht sie neue Prozesse mit einer ungeraden Flussabhängigkeit. Diese zeigen stark super-Poissonsches Verhalten in einem Parameterbereich, in dem alle anderen Prozesse Poissonsch werden. Die Messung der Zählstatistik erfolgt typischerweise über Echtzeit-Detektion einzelner Elektronen während sie den Quantenpunkt passieren. Es wird gezeigt, dass ein solches Messverfahren eine andere Statistik ergibt, da Prozesse, die den Ladungszustand des Quantenpunktes erhalten, nicht detektiert werden. Die Statistik des zweiten untersuchten Systems, eines Interferometers mit einem Quantenpunkt in jedem Arm, hängt wesentlich davon ab, dass bei der Beschreibung des Systems der Spin-Freiheitsgrad berücksichtigt wird: Für einen speziellen Parametersatz (verschwindender Fluss, entartete Ein-Elektronenzustände) zerfällt der Hilbertraum des Systems in zwei entkoppelte Unterräume. In beiden ist Transport möglich, allerdings mit unterschiedlichen Statistiken. In einer solchen Situation ist es nicht möglich, die Zählstatistik im stationären Grenzfall zu definieren, da sie von den Anfangswerten abhängen würde. In realistischen Systemen führt allerdings jede kleine Störung, z.B. durch Spin-Relaxation, zu einer Kopplung der Unteräume. Im Falle einer schwachen Kopplung zeigt das System stark super-Poissonsches Verhalten, ähnlich dem Telegraphenrauschen, mit Kumulanten die für vollständige Entkopplung divergieren.

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Urban, Daniel: Full Counting Statistics of Transport through Quantum Dot Aharonov-Bohm Interferometers. 2009.

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