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Asymptotic and hyperasymptotic expansions of solutions of linear differential equations near irregular singular points of higher rank

Hoeppner, Reinhard

In der Theorie der Differentialgleichungen im Komplexen spielt das Studium der Lösungen in der Nähe irregulär singulärer Punkte - für ein System linearer Differentialgleichungen hat die Koeffizientenmatrix dort einen Pol mindestens zweiter Ordnung - eine wichtige Rolle. Die (divergenten) formalen Potenzreihenlösungen gestatten nur begrenzte Approximation der holomorphen Lösungen. Durch optimale Wahl der Anzahl der zu berücksichtigenden Terme ist es möglich, den Abbruchrest exponentiell klein zu machen ("exponential improvement"). Diese Entwicklung läßt sich zu eine hyperasymptotischen Reihe verallgemeinern und die Ordnung des Abbruchrestes sukzessive verkleinern. Sektoren der Gültigkeit dieser Entwicklungen und Methoden der numerischen Berechnung der Stokesschen Multiplikatoren werden für den Fall beliebigen Ranges und beliebiger Ordnung diskutiert. In the theory of differential equations in the complex domain, the study of solutions near irregular singular points - for a system of linear differential equations the coefficient matrix has a pole of order at least two there - plays an important role. The (divergent) formal power series solutions permit only limited approximation of analytic solutions. By taking an optimal number of terms of the series, it is possible to make the truncation remainder become exponentially small ("exponential improvement"). This expansion can be generalized to a hyperasymptotic series, and the order of the remainder can be decreased successively. Sectors of validity of these expansions as well as ways of numerical computation of Stokes' multipliers are discussed in the case of general rank and order.

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Hoeppner, Reinhard: Asymptotic and hyperasymptotic expansions of solutions of linear differential equations near irregular singular points of higher rank.

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