Abstract

Die Konstruktion guter langer algebraisch-geometrischer Codes auf einem asymptotisch optimalen Turm (F_{n})_{n≥0} algebraischer Funktionenkörper ist von grundlegendem Interesse. Viele Beispiele asymptotisch optimaler Türme algebraischer Funktionenkörper haben eine gemeinsame Struktur. Man betrachtet F_{0} = 𝔽_{q}(x), wobei x transzendent über 𝔽_{q} ist, und für n ≥ 1 Funktionenkörpererweiterungen F_{n}/𝔽_{q}(x), wobei der einzige Pol P_{∞} von x in 𝔽_{q}(x) voll verzweigt in F_{n}/𝔽_{q}(x) ist. Will man auf so einem Funktionenkörper F_{n}/𝔽_{q} einen algebraisch-geometrischen Code bezüglich des zweiten Divisors rP_{∞}^{(n)} konstruieren, wobei P_{∞}^{(n)}|P_{∞}, so benötigt man eine Basis des Vektorraums L(rP_{∞}^{(n)}). Die Berechnung dieser Basis kann mit Hilfe von Ganzheitsbasen für F_{n}/𝔽_{q}(x) durchgeführt werden. In dieser Arbeit wurde ein Algorithmus zur Berechnung von Ganzheitsbasen für F_{n}/𝔽_{q}(x) und damit von Basen für die Vektorräume L (rP_{∞}^{(n)}), r ≥ 0 für n ≥ 1 entwickelt. Dieser Algorithmus ist in der Programmiersprache von Maple 7 für den folgenden Turm algebraischer Funktionenkörper (F_{n})_{n≥0} implementiert: F_{0} = 𝔽_{p^{2}}(x_{0}), p ≠ 2, und F_{n} = F_{n−1}(x_{n}),

wobei x_{n}^{2} = \frac{x_{n−1}^{2}+1}{2x_{n−1}}. Seine Komplexität ist mit O (N(F_{n})^{19} · log^{5}N(F_{n}) + r) abgeschätzt, wobei N(F_{n}) die Anzahl der rationalen Stellen von F_{n}/𝔽_{p^{2}} ist. Zusätzlich sind ein paar neue Kummersche Funktionenkörpererweiterungen für Charakteristik gleich 2 mit vielen rationalen Stellen angegeben worden, von denen zwei eine bessere als bislang bekannte Anzahl der rationalen Stellen liefern.