\documentclass[a4paper,twoside]{article}
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\newtheorem{aufgabe1}{Aufgabe1}[subsubsection]
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\newcommand{\PP} {\mathbb P}
\newcommand{\hoch}{{\bf \^{}}}
\newtheorem{prop}[aufgabe]{Proposition}
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\newtheorem{theo}[aufgabe]{Theorem}
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\newcommand{\bh}{{\sc Behauptung.}\ }
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\newcommand{\proof}{{\bf Beweis.}\ }
\newcommand{\beweis}{{\sc Beweis.}\ }
\newcommand{\qed}{\hspace*{118mm}$\Box$}
\newcommand{\vs}{\vspace{5 mm}}
\newtheorem{bei}[aufgabe]{Beispiel}
\begin{document}

\setcounter{page}{2}
\pagestyle{empty}
$$\mbox{{\bf \LARGE Ein Algorithmus zur Berechnung}}$$
$$\mbox{{\bf \LARGE von Ganzheitsbasen}}$$
$$\mbox{{\bf \LARGE in algebraischen Funktionenk"orpern}}$$
\vspace{43mm}
$$\mbox{\large Dissertation}$$
$$\mbox{\large zur Erlangung des Grades}$$
$$\mbox{\large Doktor der Naturwissenschaften}$$
$$\mbox{{\bf \large - Dr. rer. nat. -}}$$
\vspace{17mm}
$$\mbox{\large vorgelegt beim}$$
$$\mbox{\large Fachbereich Mathematik und Informatik}$$
$$\mbox{\large der Universit"at Duisburg-Essen}$$
\vspace{17mm}
$$\mbox{\large von Diplom-Mathematikerin}$$
$$\mbox{{\bf \large Elena Mattig}}$$
$$\mbox{\large aus Bikin (Ru"sland)}$$
\vspace{10mm}
$$\mbox{{\bf \large 2003}}$$

\newpage
\normalsize

Vorsitzender: \hspace{37mm} Prof. Dr. Karl-Josef Witsch, \\
\hspace*{65mm}Universit"at Essen\\

Erster Gutachter: \hspace{30mm} Prof. Dr. Henning Stichtenoth,\\
\hspace*{65mm}Universit"at Essen

Zweiter Gutachter: \hspace{28mm} Prof. Dr. Tom H\o holdt, \\
\hspace*{65mm}Technical University of Denmark\\

Tag der m"undlichen Pr"ufung: \hspace{12mm} 25.07.2003

\newpage
\normalsize

\Large
{\em Danksagung}
\\
\normalsize
\\

Zu allererst m"ochte ich mich ganz herzlich bei meinem Betreuer Henning Stichtenoth bedanken f"ur seine st"andige Bereitschaft zur Hilfe und zur Beratung, f"ur seine gro"se Geduld und Unterst"utzung w"ahrend meiner gesamten Promotionszeit. 

Des weiteren m"ochte ich mich bei Professor Peter Roquette und seiner Frau Erika daf"ur bedanken, dass es durch ihre Anstrengungen und M"uhe f"ur mich m"oglich geworden ist, in diesem Land meine Doktorarbeit zu schreiben.

Ich bedanke mich bei S. I. Aleschnikov, der mein Interesse an dieser Wissenschaft entstehen lie"s und mich in ihr unterrichtet hat.

Ich danke meinen Eltern und meiner Freundin Steffi, die mich in schwierigen  Zeiten stets aufgemuntert und gef"ordert haben. 

Inbesondere danke ich  meinem geliebten Ehemann Dirk, der die ganze Zeit und in jeder Hinsicht zu mir gestanden hat.


 \newpage
\setcounter{page}{1}
\pagestyle{myheadings}
\Large
{\bf Inhaltsverzeichnis}
\\
\small
\begin{tabbing}
xx\=xxxx\=xxxxxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\=xxx\kill
\pushtabs
{\bf \ref{einleitung}} \>  {\bf Einleitung }\> \>  \>  \ {\bf \pageref{einleitung1}}\\
\> \> \> \> \\
{\bf \ref{grundlagen}} \> {\bf Grundlagen }\> \> \> \ {\bf  \pageref{af1}}\\
\> \ref{af} \> Algebraische Funktionenk"orper \>  \> \ \pageref{af1} \\
\> \ref{eaf} \> Erweiterungen algebraischer Funktionenk"orper \>  \> \ \pageref{eaf1} \\
\> \ref{taf} \> T"urme algebraischer Funktionenk"orper \>  \> \pageref{taf1} \\
\> \> \> \> \\
{\bf  \ref{bdvl}} \> {\bf  Basen f"ur die Vektorr"aume {\boldmath ${\cal L}(rP'_\infty)$}} \> \>  \> {\bf \pageref{vorber1}}\\
\> \ref{vorber} \> Vorbereitungen \>  \> \pageref{vorber1}\\
\> \ref{gbfeesf} \> Ganzheitsbasen f"ur Holomorphieringe in einer endlichen separablen  \>  \>  \\
\> \> Funktionenk"orpererweiterung \>  \> \pageref{gbfeesf1}\\
\> \ref{gakr} \> Ein Ganzheitskriterium \>  \> \pageref{gakr1} \\
\> \ref{gb1} \> Ganzheitsbasen f"ur $F'/\F_q(x)$ \>  \> \pageref{gb11}\\
\> \ref{verpol} \> Ganzheitsbasen f"ur $F'/\F_q(x)$ mit modulo $m$ paarweise inkongruenten  \> \> \\
\> \> Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$ \>  \> \pageref{verpolzu}\\
\> \ref{basl} \> Basis des Vektorraums ${\cal L}(rP'_\infty)$ \>  \> \pageref{basl1} \\
\> \ref{tmengen} \> $T$-Mengen \>  \> \pageref{tmengen1} \\
\> \ref{uberp} \> Ablauf der Algorithmen \ref{alg} und \ref{alg0} "uber $\F_p$ \>  \> \pageref{uberp1}\\
\> \ref{endal} \> Ein Algorithmus zur Berechnung einer Basis von ${\cal L}(rP'_\infty)$ \>  \> \pageref{endal1}\\
\> \> \> \> \\
{\bf  \ref{gbfet}} \> {\bf Ganzheitsbasen in einem Turm {\boldmath $(F_n)_{n\geq0}$} algebraischer Funktionen- }\>  \> \> \\
\> {\bf k"orper und Basen f"ur die Vektorr"aume {\boldmath ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ } } \> \>  \> {\bf  \pageref{turm11}} \\
\> \ref{turm1} \> Vorbereitungen \>  \> \pageref{turm11}\\
\> \ref{bwww} \> Eine Basis f"ur $F_n/F_0$ nach Punkt (2) in Abschnitt \ref{vorber} \>  \> \pageref{bwww1}\\
\> \ref{qzq} \> Die Zahl $Q$ nach Punkt (4) in Abschnitt \ref{vorber} \>  \> \pageref{qzq1}\\
\> \ref{programm} \> Anwendung von Algorithmus \ref{algor}, seine Komplexit"at und Implemen- \>  \> \\
\> \> tierung in der Programmiersprache von Maple 7 \>  \>  \pageref{ergcomp1}\\
\>  \>  \ref{ergcomp}\> Grundlegende Komplexit"atsabsch"atzungen \> \pageref{ergcomp1}\\
\>  \> \ref{zuturm} \> Vorbereitungen zum Programm  \> \pageref{zuturm1}\\
\>  \> \ref{schritt1} \> Berechnung der Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ f"ur $F_n/F_0$ \> \pageref{schritt11}\\
\>  \> \ref{schritt2} \> Berechnung der Zahl $Q = p^a$  \> \pageref{schritt21}\\
\>  \> \ref{schritt3} \> Berechnung der Basisdarstellungen von $w_1^Q, \ldots, w_m^Q$ \> \pageref{schritt31}\\
\>  \> \ref{schritt4} \> Berechnung der Polynome $D_1, \ldots, D_m$ \> \pageref{schritt41}\\
\>  \> \ref{schritt5} \> Berechnung der Mengen $T_1, \ldots, T_{\bar{m}}$ und ein Disjunktionstest \> \\
\> \> \>  f"ur die Indexmengen $J_1, \ldots, J_{\bar{m}}$ \> \pageref{schritt51}\\
\>  \> \ref{schritt6} \> Berechnung einer Ganzheitsbasis f"ur $F_n/F_0$  \> \pageref{schritt61}\\
\>  \> \ref{schritt7} \> Berechnung einer Ganzheitsbasis f"ur $F_n/F_0$ mit modulo $m$ \> \\
\> \> \> paarweise inkongruenten Polordnungen an der Stelle $P^{(n)}_\infty$ \> \pageref{schritt71}\\
\>  \> \ref{schritt8} \> Berechnung einer Basis von ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ \> \pageref{schritt81}\\
\>  \> \ref{endschritt} \> Die Komplexit"at des Algorithmus \ref{algor} in Abh"angigkeit von \> \\
\> \> \> der Anzahl der rationalen Stellen von $F_n/\F_{p^2}$\> \pageref{endschritt1}\\
\>  \> \ref{beispiele} \> Ein Beispiel \> \pageref{beispiele1}\\
\> \> \> \> \\
{\bf \ref{kumerw}} \> {\bf Kummersche Erweiterungen {\boldmath $\F_q(x,y)/ \F_q(x)$} mit vielen rationalen }   \> \> \> \\
\> {\bf Stellen f"ur {\boldmath $Char \ \F_q=2$}} \> \> \> {\bf \pageref{kumerw1}}\\
\> \> \> \> \\
{\bf Literatur }\> \> \> \> {\bf \pageref{lit}}\\
\poptabs
\end{tabbing}

\normalsize
\newpage
\section{Einleitung}
\label{einleitung}
\markboth{}{ \sc Einleitung}

Aus \label{einleitung1} der Kodierungstheorie ist bekannt, dass die Gilbert-Varshamov Schranke (GV-Schranke) die Existenz langer Codes garantiert, deren G"ute mindestens diese Schranke erreicht. Man wei\ss \ zwar von der Existenz von langen alternanten Codes, die die GV-Schranke erreichen, aber man kennt keine explizite Beschreibung dieser Codes. Im Jahr 1980 hat Goppa \cite{gop} mit Hilfe der Theorie der algebraischen Kurven eine neue Familie von Codes konstruiert, die heutzutage als algebraisch-geometrische Codes (AG-Codes) bekannt sind. Die G"ute eines AG-Codes h"angt ab von dem Quotienten $N/g$ der zwei Parameter, die zu einer algebraischen Kurve $C$ "uber $\F_q$, bzw. zu einem Funktionenk"orper $F/\F_q$ geh"oren. $N = N(C)$ ist die Anzahl der rationalen Punkte auf der Kurve $C$, bzw. der rationalen Stellen des Funktionenk"orpers $F/\F_q$, und $g$ ist das Geschlecht der Kurve $C$, bzw. des Funktionenk"orpers $F/\F_q$. Gute lange AG-Codes bekommt man, wenn $N/g$ gro\ss \ ist. Die Drinfeld-Vl\u{a}dut Schranke (DV-Schranke) gibt allerdings eine obere Absch"atzung f"ur diesen Quotienten: sei $N_q(g) := max \{ \ N(C) \ | \ C \mbox{ ist eine Kurve "uber } \F_q \mbox{ vom Geschlecht } g\}$, dann gilt
$$lim \ sup_{g \to \infty} \frac{N_q(g)}{g} \leq \sqrt{q} - 1.$$
Im Jahr 1982 haben Tsfasman, Vl\u{a}dut und Zink \cite{tvz} die Existenz von Kurven bewiesen, die als modulare Kurven bekannt sind, und deren Quotienten $N/g$ die DV-Schranke asymptotisch erreichen, falls $q$ ein Quadrat ist. Konstruiert man auf solchen Kurven AG-Codes, so haben diese eine gro\ss e L"ange und eine G"ute, die in einem gewissen Bereich die GV-Schranke "ubersteigt. Dies war ein Ergebnis, das man bis zum damaligen Zeitpunkt in der Kodierungstheorie f"ur unerreichbar gehalten hatte. Da Tsfasman, Vl\u{a}dut und Zink nur die Existenz von solchen Kurven bewiesen hatten, aber keine explizite Darstellung von ihnen angegeben hatten, entstand die Herausforderung, nach expliziten Darstellungen von Kurven zu suchen, auf denen solche Codes konstruiert werden k"onnen.  

In den Jahren 1995 und 1996 haben Garcia und Stichtenoth \cite{gs1}, \cite{gs2} einen wesentlichen Schritt geleistet, indem sie eine explizite Beschreibung zweier Sequenzen von algebraischen Kurven (bzw. T"urmen algebraischer Funktionenk"orper) angegeben haben, die die DV-Schranke erreichen. Da man f"ur eine explizite Beschreibung eines auf einer dieser Kurven konstruierten AG-Codes eine Basis des Vektorraums ${\cal L}(rP_\infty)$ braucht, der s"amtliche Funktionen mit genau einem Pol im unendlichen Punkt $P_\infty$ und mit Polordnungen nicht gr"o\ss er als $r$ enth"alt, entstand die Frage, wie man nun diesen Vektorraum ${\cal L}(rP_\infty)$ beschreibt. 

Zu diesem Thema sind folgende Arbeiten ver"offentlicht worden.  
F"ur den in \cite{gs1} konstruierten Turm von Funktionenk"orpern $(F_n)_{n \geq 0}$ (dieser wird auch erster Garcia-Stichtenoth Turm (GS-Turm) genannt) wurden explizit die Vektorr"aume ${\cal L}\left(rP^{(n)}\right)$, wobei $P^{(n)}$ eine geeignete rationale Stelle von $F_n/\F_{q^2}$ ist, f"ur $F_0, F_1, F_2$ in \cite{vh} und f"ur $F_3$ "uber $\F_{16}$ in \cite{hac} gefunden. In \cite{pst} haben Pellikaan, Stichtenoth und Torres die Dimension des Vektorraums ${\cal L}(rQ)$ bei einer gewissen Wahl der Stelle $Q$ f"ur den in \cite{gs2} beschriebenen Turm von Funktionenk"orpern (dieser wird auch zweiter GS-Turm genannt) gefunden. 
Shany und Be'ery \cite{sb} und Aleshnikov, Deolalikar, Kumar und Stichtenoth \cite{adks} haben nicht zu gro\ss e Oberr"aume $V \supseteq {\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$, $P^{(n)}_\infty \in \PP_{F_n},$ jeweils f"ur den ersten GS-Turm $(F_n)_{n\geq 0}$ und f"ur den zweiten GS-Turm $(F_n)_{n\geq 0}$ konstruiert. Daf"ur wurden "ahnliche Methoden wie in der algebraischen Zahlentheorie und Eigenschaften von Ganzheitsbasen verwendet.  In \cite{saksd} ist ein Algorithmus zur Berechnung einer Basis des Vektorraums $\bigcup_{r=0}^{q^{n+1}- q^{\lfloor n/2 \rfloor + 1}+q^n} {\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ f"ur den zweiten GS-Turm $(F_n)_{n\geq 0}$ ("uber $\F_{q^2}$)  mit der Komplexit"at $O\left(\left(N log_qN\right)^3\right)$, wobei $N$ die L"ange des Codes ist, angegeben worden. 
Leonard \cite{leo} pr"asentiert einen iterativen Algorithmus zur Berechnung einer Basis des Rings aller Funktionen aus $F_n$ mit genau einem Pol an der unendlichen Stelle $P^{(n)}_\infty$ f"ur beide GS-T"urme $(F_n)_{n\geq 0}$. 
In \cite{al} ist zwar keine Basis f"ur ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ f"ur den zweiten GS-Turm explizit berechnet worden, aber es ist eine Methode zu ihrer Berechnung angegeben worden, die Eigenschaften von Basen gewisser Holomorphieringe aus $F_n$ anwendet. 


Die Suche nach expliziten Darstellungen von Kurven, bzw. von Funktionenk"orpern, deren Quotienten $N/g$ die DV-Schranke erreichen, ging weiter.
Im Jahr 1997 haben Garcia, Stichtenoth und Thomas \cite{gst} andere Beispiele von asymptotisch guten T"urmen von Funktionenk"orpern ver"offentlicht. Explizit konstruierte asymptotisch optimale T"urme von modularen Kurven hat Elkies im Jahr 1997 in \cite{el} pr"asentiert. Im Jahr 2001 haben Garcia, Stichtenoth und R"uck \cite{hs1} noch einen asymptotisch optimalen Turm von Funktionenk"orpern konstruiert. Genau so wie f"ur \cite{gs1}, \cite{gs2} braucht man f"ur eine explizite Beschreibung eines auf einem der T"urme \cite{hs1} oder \cite{gst} konstruierten AG-Codes eine Basis des Vektorraums ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty \right)$. 

In meiner Arbeit betrachte ich spezielle F"alle von Funktionenk"orpererweiterungen, f"ur die ich ein Verfahren entwickle, mit dem eine Basis des Vektorraums ${\cal L}\left(rP\right)$, der s"amtliche Funktionen mit Polen nur an der Stelle $P$ und Polordnungen nicht gr"o"ser als $r$ enth"alt, berechnet werden kann.   

Sei $F'/F$ eine endliche separable Funktionenk"orpererweiterung mit dem gleichen Konstantenk"orper $K$.  Sei ${\cal S} \subseteq \PP_F$ eine Menge von Stellen des Funktionenk"orpers $F/K$. Wir definieren die folgenden {\bf Holomorphieringe} bez"uglich dieser Menge ${\cal S}$: 
$${\cal O}:= \{ z \in F \  |  \ v_P(z) \geq 0 \mbox{ f"ur alle } P \in {\cal S} \},$$ 
$${\cal O}' := \{ z \in F' \  |  \ v_{P'}(z) \geq 0 \mbox{ f"ur alle } P' \in {\cal S}' \},$$ 
wobei ${\cal S}':= \{ P' \in \PP_{F'} \  |  \ P'|P,  \ P \in {\cal S} \}.$ Dann ist der Ring ${\cal O}'$ der ganze Abschluss des Ringes ${\cal O}$ in $F'$. Falls ${\cal O}$ ein Hauptidealring ist, existiert eine Basis f"ur ${\cal O}'$ "uber ${\cal O}$, die eine {\bf Ganzheitsbasis} f"ur ${\cal O}'/{\cal O}$ genannt wird. Eines der wichtigsten Hilfsmittel meiner Arbeit ist ein neues Kriterium f"ur die Eigenschaft ``ein Element aus $F'$ liegt in ${\cal O}'$``.  Damit kann man alle Elemente aus ${\cal O}'$ beschreiben und eine Basis f"ur ${\cal O}'/{\cal O}$ finden. 

Ich habe einen Algorithmus zur Berechnung von Ganzheitsbasen f"ur ${\cal O}'/{\cal O}$ im folgenden Fall entwickelt. Zuerst setze ich voraus, dass $F = \F_q(x)$ ist f"ur ein $x \in F$, welches transzendent "uber $\F_q$ ist. Dann besitzt $x$ genau einen Pol, der mit $P_\infty$ bezeichnet wird. Daher kann ich ${\cal S}= \PP_F \setminus \{P_\infty\}$ betrachten. Dann ist ${\cal O} = \F_q[x]$ und damit ein Hauptidealring. Jede Ganzheitsbasis f"ur ${\cal O}'/{\cal O}$ wird in diesem Fall auch eine {\bf {\boldmath Ganzheitsbasis f"ur $F'/F$}} genannt. Falls $P_\infty$ voll verzweigt in $F'/F$ ist, l"auft der Algorithmus auf zwei lineare Gleichungssysteme hinaus, deren L"osungen explizit eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/F$ bestimmen. Da in diesem Fall 
$${\cal O}' = \bigcup_{r\geq 0}^{\infty} {\cal L}\left(r P'_\infty\right)$$
gilt, wobei mit $P'_\infty \in \PP_{F'}$ die einzige Stelle "uber $P_\infty$ bezeichnet wird, k"onnen Basen f"ur die Vektorr"aume ${\cal L}\left(rP'_\infty\right)$ mit Hilfe von Ganzheitsbasen f"ur $F'/F$ bestimmt werden. 

Diesen Algorithmus habe ich in der Programmiersprache von Maple 7 f"ur den in \cite{hs1} konstruierten Turm algebraischer Funktionenk"orper $(F_n)_{n \geq 0}$ implementiert. Mittels dieses Programms k"onnen Basen f"ur die Vektorr"aume ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ berechnet werden. Die Komplexit"at dieses Algorithmus ist mit \\$O\left(N(F_n)^{19} \cdot log^5 N(F_n)  + r \right)$ abgesch"atzt, wobei $N(F_n)$ die Anzahl der rationalen Stellen von $F_n/\F_{p^2}$ ist.

Zus"atzlich gebe ich ein paar Kummersche Funktionenk"orpererweiterungen f"ur Charakteristik gleich $2$ mit vielen rationalen Stellen an, von denen zwei eine bessere als bislang bekannte Anzahl der rationalen Stellen liefern.\\



\newpage
\section{Grundlagen}
\label{grundlagen}

Einige \label{grundlagen1} Definitionen und Ergebnisse aus \cite{hs} werden in dieser Arbeit h"aufig benutzt. Wir geben die wichtigsten hier an, um das Lesen der Arbeit zu erleichtern.

\subsection{Algebraische Funktionenk"orper}
\label{af}

\markboth{\small \sc Algebraische Funktionenk"orper}{ }

In \label{af1} diesem Abschnitt f"uhren wir grundlegende Begriffe und Ergebnisse aus der Funktionenk"orpertheorie ein.\\

Sei $K$ ein K"orper und $\bar{K}$ sein algebraischer Abschlu\ss .

\begin{defin}
Ein {\bf algebraischer Funktionenk"orper {\boldmath $F/K$} einer Variablen "uber {\boldmath $K$}} (oder einfach algebraischer Funktionenk"orper) ist eine Erweiterung $F\supseteq K$, so dass $[F:K(x)] < \infty$ f"ur ein $x \in F$, welches transzendent "uber $K$ ist. Die Menge $\tilde{K}:= \{ z \in F \ | \ z \mbox{ ist algebraisch "uber } K\}$ ist ein Unterk"orper von $F$ und hei\ss t {\bf Konstantenk"orper} von $F/K.$ Falls $\tilde{K} = K$, hei\ss t $K$ {\bf voller Konstantenk"orper} von $F/K.$ Falls $F=K(x)$, hei\ss t $F/K$ {\bf rationaler Funktionenk"orper}.
\end{defin}

Sei $F/K$ ein algebraischer Funktionenk"orper. Wir werden von nun an der Einfachheit halber stets annehmen, dass $K$ der volle Konstantenk"orper von $F/K$ ist.

\begin{defin}
Ein {\bf Bewertungsring} des Funktionenk"orpers $F/K$ ist ein Ring ${\cal O} \subseteq F$, so dass\\
(1) $K \subsetneqq {\cal O} \subsetneqq F,$ und \\
(2) $z \in {\cal O}$ oder $z^{-1} \in {\cal O}$ f"ur alle $z \in F.$\\
Die Menge ${\cal O}^*:=\{z \in {\cal O} \ | \mbox{ es existiert } w \in {\cal O} \mbox{ mit } zw=1 \}$ hei\ss t die {\bf Einheitengruppe} von ${\cal O}$.
\end{defin}

\begin{prop}
Sei ${\cal O}$ ein Bewertungsring des Funktionenk"orpers $F/K$. \\ Dann gilt:\\
(1) ${\cal O}$ ist ein lokaler Ring, d.h. ${\cal O}$ besitzt genau ein maximales Ideal $P = {\cal O} \setminus {\cal O}^*.$
(2) ${\cal O}$ ist ein Hauptidealring.
\end{prop}

\begin{defin}
Das maximale Ideal eines Bewertungsringes ${\cal O} \subset F$ hei\ss t {\bf Stelle} des Funktionenk"orpers $F/K$. Die Menge 
$$\PP_F := \{P \ | \ P \mbox{ ist eine Stelle von } F/K\}$$ 
ist die Menge aller Stellen von $F/K$.  Wir bezeichnen mit ${\cal O}_P$ den eindeutig bestimmten Bewertungsring von $F/K$, dessen maximales Ideal $P$ ist. 
\end{defin}

Sei $P \in \PP_F$ eine Stelle von $F/K$.

\begin{defin}
Ein Element $t \in P$ mit $P=t{\cal O}_P$ hei\ss t ein {\bf Primelement} von $P$.
$F_P := {\cal O}_P/P$ hei\ss t der {\bf Restklassenk"orper} von $P$. Wir schreiben:
\[\begin{array}{ll}
x(P):= x+P \in F_P, & \mbox{ falls } x \in {\cal O}_P,\\
x(P):= \infty, & \mbox{ falls } x \in F \setminus {\cal O}_P.
\end{array} \]
Der {\bf Grad der Stelle} $P$ ist definiert als $deg \ P := [F_P : K]$. Die Stelle $P$ hei\ss t {\bf rationale Stelle}, falls $deg \ P=1$.
\end{defin}

\begin{bem}
\label{xgleicha}
Falls $P \in \PP_F$ eine rationale Stelle ist, folgt $F_P = K.$ Insbesondere, falls $K$ algebraisch abgeschlossen ist, sind alle Stellen von $F/K$ rational. 
\end{bem}

F"ur die weiteren Beschreibungen von Bewertungsringen und Stellen von Funktionenk"orpern brauchen wir den Begriff der diskreten Bewertung.

\begin{defin}
\label{disbew}
Eine {\bf diskrete Bewertung} von $F/K$ ist eine Funktion \\
$v : F \to \Z \cup \{ \infty\}$ mit den folgenden Eigenschaften:\\
(1) $v(x) = \infty \Longleftrightarrow x=0,$\\
(2) $v(xy) = v(x) + v(y)$ f"ur alle $x, y \in F,$\\
(3) $v(x+y) \geq min\{ v(x), v(y)\}$ f"ur alle $x, y \in F,$\\
(4) $v(a) = 0$ f"ur alle $0 \ne a \in K, $\\
(5) Es existiert ein $z \in F$ mit $v(z) = 1.$
\end{defin}

\begin{lem}
\label{dreieck}
Sei $v$ eine diskrete Bewertung von $F/K$ und $x, y \in F$ mit \\
$v(x) \ne v(y).$ Dann gilt $v(x+y) = min\{v(x), v(y) \}.$
\end{lem}

\begin{defin}
F"ur $P \in \PP_F$ bezeichnen wir mit $v_P$ die wie folgt definierte Funktion: wir w"ahlen ein Primelement $t \in P$. Dann hat jedes $0 \ne z \in F$ eine eindeutige Darstellung $z = t^nu$ mit $u \in {\cal O}_P^*$ und $n \in \Z$. Wir definieren 
$$v_P(z) := n \mbox{ und } v_P(0) := \infty.$$
\end{defin}

\begin{theo}
Sei $F/K$ ein Funktionenk"orper. F"ur jede Stelle $P \in \PP_F$ ist die Funktion $v_P$ eine diskrete Bewertung von $F/K$. Au\ss erdem gilt:
$${\cal O}_P = \{z \in F \ | \ v_P(z) \geq 0 \},$$
$${\cal O}^*_P = \{z \in F \ | \ v_P(z) = 0 \},$$
$$P = \{z \in F \ | \ v_P(z) > 0 \}.$$
Ein Element $t \in F$ ist ein Primelement von $P$ dann und nur dann, wenn \\
$v_P(t)=1$.
\end{theo}

\begin{defin}
Sei $z \in F$. $P$ ist eine {\bf Nullstelle} von $z$ dann und nur dann, wenn $v_P(z) > 0$. $P$ ist ein {\bf Pol} von $z$ dann und nur dann, wenn $v_P(z) < 0$. Falls $P$ ein Pol von $z$ ist, dann hei\ss t die Zahl $n = -v_P(z)$ {\bf Polordnung} von $z$ an der Stelle $P.$
\end{defin}

\begin{lem}
\label{nullpol}
Sei $z \in F$ transzendent "uber $K$. Dann besitzt $z$  mindestens eine Nullstelle und mindestens einen Pol. Daher gilt insbesondere $\PP_F \ne \emptyset.$
\end{lem}

Wir werden h"aufig mit einem rationalen Funktionenk"orper arbeiten, deshalb geben wir hierf"ur einige Begriffe und Definitionen an. 

\begin{defin}
\label{pstelle}
Sei $K(x)/K$ ein rationaler Funktionenk"orper. Ist ein beliebiges normiertes irreduzibles Polynom $p(x) \in K[x]$ gegeben, so betrachten wir den Bewertungsring
$${\cal O}_{p(x)} := \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \ | \ f(x),  g(x) \in K[x], \ p(x)  \nmid g(x) \right\}$$
von $K(x)/K$ mit seinem maximalen Ideal
$$P_{p(x)} = \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \ | \ f(x),  g(x) \in K[x], \ p(x) \ | \ f(x), \ p(x) \nmid g(x) \right\}.$$
Es existiert ein weiterer Bewertungsring von $K(x)/K$, n"amlich
$${\cal O}_\infty := \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \ | \ f(x),  g(x) \in K[x], \ deg \ f(x) \leq deg \ g(x) \right\}$$
mit seinem maximalen Ideal
$$P_\infty = \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \ | \ f(x),  g(x) \in K[x], \ deg \ f(x) < deg \ g(x) \right\}.$$
$P_\infty$ hei\ss t die {\bf unendliche Stelle} von $K(x)/K$. 
\end{defin}

\markboth{\small \sc Algebraische Funktionenk"orper}{ \sc Grundlagen}

\begin{theo}
\label{11cor}
Es existieren keine anderen Stellen von $K(x)/K$ au\ss er den Stellen $P_{p(x)}$ und $P_\infty$, die per Definition \ref{pstelle} definiert sind.
\end{theo}

Im folgenden f"uhren wir einige weitere Begriffe ein.

\begin{defin}
Die von allen Stellen des Funktionenk"orpers $F/K$ erzeugte frei abelsche Gruppe {\boldmath ${\cal D}_F$} hei\ss t die {\bf Divisorengruppe} von $F/K$. Ein {\bf Divisor} ist also eine formale Summe 
$$D = \sum_{P \in \PP_F} n_P P \mbox{ mit } n_P \in \Z, \mbox{ fast alle } n_P=0.$$ 
F"ur $Q \in \PP_F$ definieren wir $v_Q(D):= n_Q.$ \\
Der {\bf Tr"ager} des Divisors $D$ ist definiert als
$$supp \ D := \{ P \in \PP_F \ | \ v_P(D) \ne 0 \}.$$
Der {\bf Grad des Divisors} $D$ ist definiert als
$$ deg \ D := \sum_{P \in supp \ D} v_P(D) deg \ P.$$
Eine partielle Ordnung auf ${\cal D}_F$ ist definiert durch
$$D_1 \leq D_2 : \Longleftrightarrow v_P(D_1) \leq v_P(D_2) \mbox{ f"ur alle } P \in \PP_F.$$
\end{defin}

\begin{defin}
Sei $0 \ne x \in F.$ Sei $Z_1$ die Menge aller Pole und $Z_2$ die Menge aller Nullstellen von $x$ in $\PP_F$. Dann definieren wir 
$$(x)_\infty:= \sum_{P \in Z_1}(- v_P(x)) P \mbox{ als {\bf Poldivisor} von }x,$$ 
$$(x)_0:= \sum_{P \in Z_2} v_P(x) P \mbox{ als {\bf Nulldivisor} von }x,$$
$$(x) := (x)_0 - (x)_\infty \mbox{ als {\bf Hauptdivisor} von }x.$$  
\end{defin}

\begin{defin}
\label{raumL}
F"ur einen Divisor $A \in {\cal D}_F$ sind der mit ihm assoziierte K-Vektorraum {\boldmath ${\cal L}(A)$} und seine {\bf Dimension} wie folgt definiert:
$${\cal L}(A) := \{ x \in F \ | \ (x) \geq -A\} \cup \{0\},$$
$$dim \ A := dim_K \ {\cal L}(A).$$
\end{defin}
Nach Definition von ${\cal L}(A)$ gilt also:

\begin{lem}
\label{lraum2}
Sei $A \in {\cal D}_F$. Dann gilt:
$$x \in {\cal L}(A) \Longleftrightarrow v_P(x) \geq -v_P(A) \mbox{ f"ur alle } P \in \PP_F.$$
\end{lem}

\begin{defin}
Das {\bf Geschlecht} von $F/K$ ist definiert als
$$g := max\{deg \ A - dim \ A +1 \ | \ A \in {\cal D}_F\}.$$ 
\end{defin}

\begin{defin}
\label{pz}
Eine Zahl $n\in \N \cup \{0\}$ hei\ss t {\bf Polzahl} von $P$ dann und nur dann, falls ein $x \in F$ mit $(x)_\infty=nP$ existiert. Falls $n \in \N$ keine Polzahl von $P$ ist, hei\ss t sie {\bf Fehlzahl} von $P$.
\end{defin}

\begin{theo}
\label{2g}
Sei $F/K$ vom Geschlecht $g>0$ und $P$ eine rationale Stelle. Dann existieren genau $g$ Fehlzahlen $i_1 < \ldots < i_g$ von P, und es gilt
$$i_1 = 1 \mbox{ und } i_g \leq 2g - 1.$$
\end{theo}

Der Hauptteil dieser Arbeit basiert auf dem sogenannten Ganzheitskriterium (Proposition \ref{krit}), f"ur das folgende Definitionen und Ergebnisse eine wichtige Rolle spielen.

\begin{defin}
F"ur $\emptyset \ne {\cal S} \subsetneqq \PP_F$ sei 
$${\cal O}_{\cal S} := \{ z \in F \ | \ v_P(z) \geq 0 \mbox{ f"ur alle } P \in {\cal S}\}$$ 
der Durchschnitt aller Bewertungsringe ${\cal O}_P$ mit $P \in {\cal S}.$
${\cal O}_{\cal S}$ hei\ss t ein {\bf Holomorphiering} von $F/K$. 
\end{defin}

\begin{defin}
Sei $R \subset F$ ein Ring. Ein Element $z \in F$ hei\ss t {\bf ganz "uber} $R$, falls ein normiertes Polynom $f(X) \in R[X]$ mit $f(z)=0$ existiert. Die Menge 
$$ic_F(R) := \{ z \in F \ | \ z \mbox{ ist ganz "uber } R \}$$ 
hei\ss t der {\bf ganze Abschlu\ss} von $R$ in $F$. Falls $F$ der Quotientenk"orper von $R$ ist und $ic_F(R) = R$ gilt, hei\ss t $R$ {\bf ganz abgeschlossen}.
\end{defin}

\begin{prop}
Sei ${\cal O}_{\cal S}$ ein Holomorphiering von $F/K$. Dann gilt:\\
(1) $F$ ist der Quotientenk"orper von ${\cal O}_{\cal S}.$\\
(2) ${\cal O}_{\cal S}$ ist ganz abgeschlossen.
\end{prop}

\begin{prop}
Falls $\emptyset \ne {\cal S} \subsetneqq \PP_F$ endlich ist, ist ${\cal O}_{\cal S}$ ein Hauptidealring. Sei  $P \in \PP_F$ und ${\cal S} = \PP_F \setminus \{P\}$, dann gilt ${\cal O}_{\cal S} = \bigcup_{r\geq 0}^{\infty} {\cal L}(rP)$. 
\end{prop}




\subsection{Erweiterungen algebraischer Funktionenk"orper}
\label{eaf}
\markboth{\small  \sc Erweiterungen algebraischer Funktionenk"orper}{ \sc Grundlagen}

In \label{eaf1} diesem Abschnitt werden grundlegende Begriffe und Ergebnisse "uber K"orpererweiterungen von Funktionenk"orpern eingef"uhrt.\\ 

Sei $F/K$ ein Funktionenk"orper, wobei $K$ der volle Konstantenk"orper von $F/K$ ist. Sei $K' \supseteq K$ eine algebraische Erweiterung. 
 
\begin{defin}
Ein algebraischer Funktionenk"orper $F'/K'$ hei\ss t eine {\bf algebraische Funktionenk"orpererweiterung} von  $F/K$, falls $F' \supseteq F$ eine algebraische K"orpererweiterung ist mit $K' \supseteq K$. Wir bezeichnen sie im folgenden mit {\boldmath $F'/F$}. Die algebraische Funktionenk"orpererweiterung $F'/F$ hei\ss t {\bf endlich}, falls $[F' : F] < \infty.$
\end{defin}

\begin{defin}
Eine algebraische Funktionenk"orpererweiterung  $F'/F$ hei\ss t  eine {\bf Konstantenk"orpererweiterung}, wenn $F' = FK'$, das Kompositum von $F$ und $K'$ ist. 
\end{defin}

 
Sei $F'/F$ eine algebraische Funktionenk"orpererweiterung. Sei $P' \in \PP_{F'}$ und $P \in \PP_{F}$.

\begin{defin}
\label{vindex}
Die Stelle $P'$ {\bf liegt "uber} $P$, falls $P' \supseteq P$. Mit anderen Worten, $P'$ ist eine {\bf Fortsetzung} von $P$, und wir schreiben $P' | P$. 
\end{defin}

\begin{prop}
\label{fort}
F"ur jede Stelle $P' \in \PP_{F'}$ existiert genau eine Stelle $P \in \PP_F$, so dass $P'|P.$ Umgekehrt besitzt jede Stelle $P \in \PP_F$ mindestens eine, aber nur endlich viele Fortsetzungen $P' \in \PP_{F'}.$
\end{prop}

\begin{prop}
\label{eine}
Die drei folgenden Aussagen sind "aquivalent:\\
(1) $P'|P$.\\
(2) ${\cal O}_P \subseteq {\cal O}_{P'}.$\\
(3) Es existiert ein $e \in \N$ mit $e \geq 1$, so dass $v_{P'}(x) = e \cdot v_P(x)$
f"ur alle $0 \ne x \in F$.\\
Insbesondere gilt f"ur $P'|P$: 
$$P = P' \cap F \mbox{ und } {\cal O}_P = {\cal O}_{P'} \cap F.$$
\end{prop}

\begin{defin}
Sei $e$ wie in Proposition \ref{eine}. Die Zahl $e(P'|P) := e$ mit
$$v_{P'}(x) = e(P'|P) \cdot v_P(x)$$ 
f"ur alle $0 \ne x \in F$ hei\ss t der {\bf Verzweigungsindex} von $P'$ "uber $P$.
Die Zahl $f(P'|P):= [F'_{P'} : F_P]$ hei\ss t der {\bf relative Grad} von $P'$ "uber $P.$
\end{defin}

\begin{defin}Die Fortsetzung $P'|P$ hei\ss t\\ 
(1) {\bf verzweigt}, falls $e(P'|P) > 1$ ist.\\
(2) {\bf unverzweigt}, falls $e(P'|P) = 1$ ist.

Die Stelle $P$ hei\ss t\\
(3) {\bf verzweigt} in $F'/F$, falls eine Stelle $P' \in \PP_{F'}$ existiert, die "uber $P$ liegt, so 

dass $P'|P$ verzweigt ist. \\
(4) {\bf voll verzweigt} in $F'/F$, falls genau eine Stelle $P' \in \PP_{F'}$ existiert, die "uber 

$P$ liegt, und $e(P'|P) = [F' : F]$. \\
(5) {\bf voll zerlegt} in $F'/F$, falls die Anzahl der Fortsetzungen von $P$ gleich 

$[F':F]$ ist.
\end{defin}

Im Allgemeinen h"angen der Verzweigungsindex und der relative Grad von $P'|P$ nicht nur von $P$ ab, sondern auch von der Wahl der Fortsetzung $P'$ von $P$ in $F'$. Allerdings hat man im Fall einer galoisschen Erweiterung folgendes:


\begin{theo}
Sei $F'/F$ galoissch. Seien $P_1, \ldots, P_n \in \PP_{F'}$ alle Stellen, die "uber $P \in \PP_F$ liegen. Dann gilt:\\
(1) $e(P_i|P) = e(P_j|P)$ und $f(P_i|P) = f(P_j|P)$ f"ur $i, j =1, \ldots, n.$ Wir setzen
$$e(P) := e(P_i|P) \mbox{ und } f(P):= f(P_i|P)$$

und nennen $e(P)$ den {\bf Verzweigungsindex} und $f(P)$ den {\bf relativen Grad} 

von $P$ in $F'/F.$\\
(2) $e(P) \cdot f(P) \cdot n = [F':F].$ 
\end{theo}

\begin{prop}
Sei $F''/K''$ eine algebraische Erweiterung von $F'/K'$, und liege $P'' \in \PP_{F''}$ "uber $P'$. Dann gilt:
$$e(P''|P) = e(P''|P') \cdot e(P'|P),$$
$$f(P''|P) = f(P''|P') \cdot f(P'|P).$$
\end{prop}

\begin{prop}
\label{konster}
Sei $K$ vollkommen und $F' = FK'$ eine algebraische Konstantenk"orpererweiterung von $F/K$. Dann gilt:
\\
(1) $[F : K(x)] = [F' : K'(x)]$ f"ur alle $x \in F\setminus K.$
\\
(2) $K'$ ist der volle Konstantenk"orper von $F'$.
\\
(3) $P'|P$ ist unverzweigt in $F'/F$ f"ur alle $P \in \PP_F$ und f"ur alle $P' \in \PP_{F'}$ mit 

$P'|P.$
\\
(4) $F'/K'$ hat das gleiche Geschlecht wie $F/K$.
\end{prop}

\begin{prop}
\label{ablem}
{\bf (Abhyankar`s Lemma)} Sei $F'/F$ eine endliche separable Funktionenk"orpererweiterung und $F' = F_1 F_2$ das Kompositum zweier Zwischenk"orper $F \subseteq F_1, F_2 \subseteq F'.$ Sei $P' \in \PP_{F'}$ eine Fortsetzung von $P \in \PP_F$, und wir setzen $P_i := P' \cap F_i$ f"ur $i=1, 2.$ Falls mindestens einer der Verzweigungsindizes $e(P_1|P)$ oder $e(P_2|P)$ teilerfremd zur Charakteristik von $F$ ist, gilt
$$e(P'|P) = kgV(e(P_1|P), e(P_2|P)).$$
\end{prop}

Die n"achsten Propositionen und das folgende Theorem bilden den Ausgangspunkt f"ur eine Methode, um Ganzheitsbasen zu finden, die als Fundament f"ur diese Arbeit dient.

\begin{prop}
Sei $M/L$ eine endliche separable K"orpererweiterung und $\{z_1, \ldots, z_n\}$ eine Basis von $M/L.$ Dann existieren eindeutig bestimmte Elemente $z_1^*, \ldots, z_n^* \in M$, so dass 
$$Tr_{M/L}(z_i z_j^*) = \delta_{ij}$$
gilt, wobei $Tr_{M/L}: M \to L$ die Spurabbildung und $\delta_{ij}$ das Kroneckersymbol sind. Die Menge $\{z_1^*, \ldots, z_n^*\}$ ist eine Basis von $M/L$ und hei\ss t die {\bf duale Basis} von $\{z_1, \ldots, z_n\}$ (bez"uglich der Spurabbildung).
\end{prop}

\begin{theo}
\label{stbasen}
Sei $R \subset F$ ein ganz abgeschlossener Ring mit dem Quotientenk"orper $F$ und $F'/F$ eine endliche separable Funktionenk"orpererweiterung vom Grad $n$. Sei $R' := ic_{F'}(R)$. Dann gelten folgende Aussagen:\\
(1) F"ur jede Basis $\{x_1, \ldots, x_n\}$ f"ur $F'/F$ existieren Elemente $a_i \in R \setminus \{0\}$ f"ur 

$i=1, \ldots, n$, so dass $a_1 x_1, \ldots, a_n x_n \in R'$. Daher existieren Basen f"ur $F'/F$ 

mit Elementen aus $R'.$\\
(2) Falls $\{z_1, \ldots, z_n\} \subseteq R'$ eine Basis f"ur $F'/F$ und $\{z_1^*, \ldots, z_n^*\}$ ihre duale 

Basis ist, gilt: 
$$\sum_{i=1}^n R z_i \subseteq R' \subseteq \sum_{i=1}^n R z_i^*.$$
(3) Sei $R$ ein Hauptidealring. Dann existiert eine Basis $\{u_1, \ldots, u_n\}$ f"ur $F'/F$, 

so dass $R' = \sum_{i=1}^n R u_i$ gilt. 
\end{theo}

\markboth{\small  \sc T"urme algebraischer Funktionenk"orper}{ \sc Grundlagen}

\begin{prop}
\label{ganzab}
Sei $F'/F$ eine endliche separable Funktionenk"orpererweiterung vom Grad $n$ und $P \in \PP_F$. Dann ist der ganze Abschlu\ss \ von ${\cal O}_P$ in $F'$ 
$$ic_{F'}({\cal O}_P) = \bigcap_{P'|P} {\cal O}_{P'},$$ 
und es existiert eine Basis $\{u_1, \ldots, u_n\}$ f"ur $F'/F$, so dass 
$$ic_{F'}({\cal O}_P)  = \sum_{i=1}^n {\cal O}_P u_i.$$ 
\end{prop}

\begin{defin}
Die in Proposition \ref{ganzab} beschriebene Basis hei\ss t eine \\ {\bf Ganzheitsbasis} f"ur  $ic_{F'}({\cal O}_P)$ "uber ${\cal O}_P$ und hei\ss t eine {\bf lokale Ganzheitsbasis} f"ur $F'/F$ an der Stelle $P$.
\end{defin}

\begin{lem}
Sei $F'/F$ eine endliche separable Funktionenk"orpererweiterung vom Grad $n$ und $\emptyset \ne {\cal S} \subsetneqq \PP_F$. Dann ist $\{u_1, \ldots, u_n\}$ eine Ganzheitsbasis f"ur $ic_{F'}\left(\bigcap_{P \in {\cal S}} {\cal O}_P\right)$ "uber $\bigcap_{P \in {\cal S}} {\cal O}_P$ genau dann, wenn sie eine Ganzheitsbasis f"ur $ic_{F'}({\cal O}_P)$ "uber ${\cal O}_P$ f"ur alle $P \in {\cal S}$ ist.
\end{lem}

Im Kapitel \ref{kumerw} werden Funktionenk"orpererweiterungen mit vielen rationalen Stellen angegeben, deren Struktur in der n"achsten Proposition beschrieben wird.

\begin{prop}
Sei $F/K$ ein algebraischer Funktionenk"orper, wobei $K$ \\eine primitive $n$-te Einheitswurzel enth"alt (mit $n>1$ und $ggT(n, Char \ K) =1$). Sei $u \in F$ mit 
$$u \ne w^d \mbox{ f"ur alle } w \in F \mbox{ und alle } d \ | \ n, d>1.$$ 
Weiterhin sei 
$$F' := F(y) \mbox{ mit } y^n = u.$$ 
Die Funktionenk"orpererweiterung $F'/F$  hei\ss t {\bf Kummersche Erweiterung} von $F$. Es gilt: \\
(1) Das Polynom $X^n-u$ ist das Minimalpolynom von $y$ "uber $F$, und die 

Erweiterung $F'/F$ ist galoissch vom Grad $n$.
\\
(2) Sei $P \in \PP_F$ und $P' \in \PP_{F'}$ mit $P'|P.$ Dann gilt:\\
$$e(P'|P) = \frac{n}{r_P} \mbox{ mit } r_P: = ggT(n, v_P(u)) > 0.$$
(3) Sei $K'$ der Konstantenk"orper von $F'$ und $g$ (bzw. $g'$) das Geschlecht von

$F/K$ (bzw. von $F'/K'$). Dann gilt:
$$g' = 1 + \frac{n}{[K':K]} \left( g-1 + \frac{1}{2} \sum_{P \in \PP_F} \left( 1 - \frac{r_P}{n}\right) deg \ P \right).$$
\end{prop}

\begin{fol}
\label{kerw}
Sei $F/K$ ein Funktionenk"orper und sei $F' = F(y)$ mit \\$y^n = u \in F$, wobei $n \not \equiv 0 \ mod \ Char \ K$, und $K$ enth"alt eine primitive $n$-te Einheitswurzel. Existiert eine Stelle $Q \in \PP_F$ mit $ggT(v_Q(u), n) =1$, dann ist $K$ der volle Konstantenk"orper von $F'$, und es gilt:
$$g' = 1 + n( g-1) + \frac{1}{2} \sum_{P \in \PP_F} (n - r_P)deg \ P.$$
\end{fol}

\subsection{T"urme algebraischer Funktionenk"orper}
\label{taf}

Eine \label{taf1} andere Art von Funktionenk"orpererweiterungen ist ein Turm. Die folgenden Definitionen, sowie einige Beispiele f"ur T"urme kann man in \cite{gs1}, \cite{gs2}, \cite{hs1}, \cite{gst} und \cite{mt} finden.\\

Sei $K$ ein K"orper.

\begin{defin}
Eine Folge ${\cal F} =(F_0, F_1, \ldots)$ von Funktionenk"orpern $F_i/ K$ hei\ss t ein {\bf Funktionenk"orperturm} "uber $K$, falls\\
(1) $F_0 \subseteq F_1 \subseteq \ldots \subseteq F_n \subseteq \ldots$\\
(2) $F_n/ F_{n-1}$ ist separabel vom Grad $[F_n : F_{n-1}] > 1$ f"ur alle $n>0.$\\
(3) $g(F_n) >1$ f"ur ein $n \geq 0.$
\end{defin}

Sei $\cal F$ ein Funktionenk"orperturm "uber $K$ und $P \in \PP_{F_0}.$

\begin{defin}Die Stelle $P$ hei\ss t \\
(1) {\bf unverzweigt  in {\boldmath $\cal F$}}, falls $P$ in keiner Erweiterung $F_n/F_0$ verzweigt ist. \\
(2) {\bf verzweigt in {\boldmath $\cal F$}}, falls ein $n \in \N$ exisitert, so dass $P$ in $F_n/F_0$ verzweigt 

ist. \\
(3) {\bf voll verzweigt in {\boldmath $\cal F$}}, falls $P$ in jeder Erweiterung $F_n/F_0$ voll verzweigt

 ist.
\end{defin}

\begin{defin}
Der {\bf Verzweigungsort} von $\cal F$ ist die Menge 
$$V(\cal F): = \{ \mbox{$P \in \PP_{F_0} \ | \ P$ ist verzweigt in } \cal F\}.$$
\end{defin}



\newpage
\section{Basen f"ur die Vektorr"aume {\boldmath ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$}}
\label{bdvl}
\markboth{\small \sc Ganzheitsbasen in endlichen separablen Funktionenk"orpererweiterungen \ \ }{ }

In \label{bdvl1} diesem Kapitel wird ein Algorithmus entwickelt, mittels dessen Ganzheitsbasen f"ur endliche separable Funktionenk"orpererweiterungen $F'/\F_q(x)$ vom Grad $m$, wobei die unendliche Stelle $P_\infty \in \PP_{\F_q(x)}$ voll verzweigt in $F'/\F_q(x)$ ist, explizit berechnet werden k"onnen. Hat eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ modulo $m$ paarweise inkongruente Polordnungen an der Stelle $P'_\infty \in \PP_{F'}$ mit $P'_\infty|P_\infty$, so ist der Vektorraum ${\cal L}\left(rP'_\infty\right)$ leicht zu beschreiben.

\subsection{Vorbereitungen}
\label{vorber}

{\em Sei $F'/F$ \label{vorber1} eine endliche separable Funktionenk"orpererweiterung vom Grad $m$ mit gleichem perfektem Konstantenk"orper $K$. Sei $\emptyset \ne {\cal S} \subsetneqq \PP_F$ eine Menge von Stellen des Funktionenk"orpers $F/K.$}\\
\\
(1) Wir fixieren die folgenden Holomorphieringe bez"uglich der Menge ${\cal S}$: 
$${\cal O}:= \{ z \in F \  |  \ v_P(z) \geq 0 \mbox{ f"ur alle } P \in {\cal S} \}= \bigcap_{P \in {\cal S}} {\cal O}_P \subseteq F,$$
$${\cal O}' := \{ z \in F' \  |  \ v_{P'}(z) \geq 0 \mbox{ f"ur alle } P' \in {\cal S}' \} = \bigcap_{P' \in {\cal S}'} {\cal O}_{P'} \subseteq F',$$

wobei ${\cal S}' := \{ P' \in \PP_{F'} \  |  \ P'|P, \ P \in {\cal S} \}.$ Nach \ref{ganzab} gilt ${\cal O}' = ic_{F'}({\cal O}).$
\\
(2) Wir w"ahlen eine Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ f"ur $F'/F$ mit der Eigenschaft 
$${\cal O}' \subseteq \sum_{i=1}^m {\cal O} w_i.$$ 

Solche Basen existieren tats"achlich, dies folgt aus Theorem \ref{stbasen}(2). Wir 

nehmen an, dass  
$$v_{P'}(w_i) < 0$$

f"ur mindestens ein $i \in \{1, \ldots, m\}$ und f"ur eine Stelle $P' \in {\cal S}'$ gilt.\footnote{Sonst w"are $w_i \in {\cal O}'$ f"ur $i=1, \ldots, m$, und damit w"urde dann $\sum_{i=1}^m {\cal O} w_i \subseteq {\cal O}'$ folgen. Dies w"urde bedeuten ${\cal O}' = \sum_{i=1}^m {\cal O} w_i,$ und damit h"atten wir gleich eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/F$ als Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ gefunden.}\\
(3) Wir definieren die Menge $M$:
$$M:= \sum_{i=1}^m {\cal O} w_i \supseteq {\cal O}'.$$ 

Nach Konstruktion ist $M$ ein endlich erzeugter ${\cal O}$-Modul.
\\
(4) Wir w"ahlen eine Zahl $Q \in \N$ mit $v_{P'}(w_i)>-Q$ f"ur $i=1, \ldots, m$ und f"ur 

alle $P' \in {\cal S}'$. Da alle $w_i \ne 0$, gibt es nur endlich viele Stellen $P' \in {\cal S}'$, die Pol 

eines der Elemente $w_1, \ldots, w_m$ sind. W"ahlen wir $Q$ gr"o\ss er als alle diese Pol-

ordnungen, so hat $Q$ offenbar die gew"unschte Eigenschaft.


\subsection{Ganzheitsbasen f"ur Holomorphieringe in einer endlichen separablen Funktionenk"orpererweiterung}
\label{gbfeesf}

Als \label{gbfeesf1} ein Hilfsmittel f"ur den oben erw"ahnten Algorithmus zur Berechnung von Ganzheitsbasen f"ur $F'/\F_q(x)$ ben"otigen wir den Beweis von Theorem \ref{stbasen}(3). Daher geben wir diesen hier nochmal an.
\\

{\bf {\boldmath Seien $w_1, \ldots, w_m$ und $M$ wie in Abschnitt \ref{vorber} gegeben.}}

\begin{theo} 
\label{thmethod}
Sei ${\cal O}$ ein Hauptidealring. Dann existiert eine Basis $\{u_1, \ldots, u_m\}$ f"ur $F'/F$ mit der Eigenschaft
$${\cal O}' = \sum_{i=1}^m {\cal O} u_i.$$
\end{theo}
\proof
F"ur $1\leq k \leq m$ definieren wir:
\begin{equation}
\label{rk}
R_k:={\cal O}' \cap \sum_{i=1}^k {\cal O} w_i.
\end{equation}

Wir werden $u_1, \ldots, u_m \in {\cal O}'$ finden, so dass  $R_k=\sum_{i=1}^k {\cal O} u_i$ f"ur $k=1, \ldots, m$ gilt. Daraus folgt dann  
$$\sum_{i=1}^m {\cal O} u_i  = R_m = {\cal O}' \cap M = {\cal O}'.$$

Wir zeigen dies durch Induktion nach $k$.

F"ur $k=1$ gilt $R_1= {\cal O}' \cap {\cal O} w_1$. Sei $I_1 := \{ a \in F \  |  \  a w_1 \in {\cal O}'\}.$ Es ist klar, dass $I_1$ ein Ideal in ${\cal O}$ ist, und da ${\cal O}$ ein Hauptidealring ist, existiert ein $c_{(1, 1)} \in {\cal O}$  mit $< c_{(1, 1)}> = I_1$. Wir setzen $u_1:= c_{(1, 1)} w_1$, und damit ist $R_1 = {\cal O} u_1.$

Mit der Induktionsannahme f"ur $k-1$ gilt  f"ur $k \geq 2$: $u_1, \ldots, u_{k-1}$ sind schon gefunden worden, und $R_{k-1} = \sum_{i=1}^{k-1} {\cal O} u_i.$

Wir zeigen den Schritt $k-1 \to k$. Sei 
$$I_k:=\{ a_k \in F \  |  \mbox{ es existieren } a_1, \ldots,  a_{k-1} \in {\cal O}, \mbox{ so dass } \sum_{i=1}^{k} a_i w_i \in {\cal O}'\}.$$ 
Dann ist $I_k$ auch ein Ideal in ${\cal O}$, und damit ist $I_k = < c_{(k, k)}>$ f"ur ein $c_{(k, k)} \in {\cal O}.$ Wir w"ahlen ein $u_k \in {\cal O}'$, so dass 
$$u_k= \sum_{i=1}^k c_{(i, k)} w_i $$ 
f"ur gewisse $c_{(i, k)} \in {\cal O}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$. Wegen (\ref{rk}) folgt $\sum_{i=1}^k {\cal O} u_i \subseteq R_k$. 

Nun zeigen wir die inverse Inklusion. Sei $w \in R_k.$ Dann gilt $w = \sum_{i=1}^k d_i w_i$ mit $d_i \in {\cal O}.$ Damit ist $d_k \in I_k$ und $d_k = d c_{(k, k)}$ mit $d \in {\cal O}.$ Daraus folgt aber:
$$w - d u_k \in {\cal O}' \cap \sum_{i=1}^{k-1} {\cal O} w_i = R_{k-1} = \sum_{i=1}^{k-1}{\cal O} u_i.$$
Damit haben wir $w \in \sum_{i=1}^k {\cal O} u_i.$

Wir haben gezeigt, dass ${\cal O}' = \sum_{i=1}^m {\cal O} u_i.$ Da ${\cal O}'$ nach Theorem \ref{stbasen}(1) eine Basis f"ur $F'/F$ enth"alt, sind die Elemente $u_1, \ldots, u_m$ linear unabh"angig "uber $F$ und bilden daher eine Basis f"ur $F'/F.$ \\
\qed 


\subsection{ Ein Ganzheitskriterium}
\label{gakr}

Nach \label{gakr1} dem Beweis von Theorem \ref{thmethod} wissen wir: beschreiben wir die Ideale $I_k \lhd {\cal O}$ f"ur $k=1, \ldots, m$, und finden wir ihre Erzeuger $c_{(k,k)}$, so bestimmen wir Ganzheitsbasiselemente $u_1$ und $u_k$ f"ur $k=2, \ldots, m$ bei einer gewissen Wahl von $c_{(i,k)}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$. Nach Konstruktion von $I_k$ gilt: 
$$ \sum_{i=1}^{k} a_i w_i \in {\cal O}'$$
f"ur jedes $a_k \in I_k$ und f"ur gewisse $a_i \in {\cal O}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$, falls $k \geq 2$ ist.
Daher stellt sich die Frage, wann "uberhaupt ein Element aus dem Funktionenk"orper $F'$ in ${\cal O}'$ liegt.
\\

{\bf {\boldmath Seien $w_1, \ldots, w_m$, $M$ und $Q$ wie in Abschnitt \ref{vorber} gegeben.}}

\begin{prop}
\label{krit}
Sei $z \in F'$. Dann gilt:
$z \in {\cal O}' \Longleftrightarrow z\in M$ und $z^Q \in M.$
\end{prop}
\proof\\
$\Longrightarrow$ $z \in {\cal O}'$ $\Rightarrow$ $z^Q \in {\cal O}',$ da ${\cal O}'$ ein Ring ist, und es gilt $z \in M$ und $z^Q \in M,$ da ${\cal O}' \subseteq M$ ist.\\
$\Longleftarrow$ Nach Konstruktion von $M$ hat $z^Q$ die Gestalt 
$$z^Q = \sum_{i=1}^m r_i w_i$$ 
mit $r_i \in {\cal O}$ f"ur $i=1, \ldots, m.$ Dann gilt f"ur alle $P' \in {\cal S}':$ 
$$v_{P'}\left(z^Q\right) = v_{P'}\left(  \sum_{i=1}^m r_i w_i\right) \geq min_i\{v_{P'}(r_i w_i)\}\geq min_i\{v_{P'}(w_i)\}> -Q.$$
Andererseits gilt 
$$v_{P'}\left(z^Q\right) = Qv_{P'}(z).$$ 
Daraus folgt $Q v_{P'}(z) > -Q \Longrightarrow v_{P'}(z)\geq 0$ f"ur alle $P' \in {\cal S}'$. Damit ist $z \in {\cal O}'.$\\
\qed


\subsection{Ganzheitsbasen f"ur {\boldmath $F'/\F_q(x)$}}
\label{gb1}

{\em Gelten \label{gb11} die Voraussetzungen aus Abschnitt \ref{vorber}. Sei $F=\F_q(x),$ wobei $\F_q$ der endliche K"orper mit $q = p^n$ Elementen und $Char \  \F_q= p$ ist. Dann besitzt $x$ genau einen Pol in $\F_q(x)$, den wir mit  $P_\infty$ bezeichnen. Sei $P_\infty$ voll verzweigt in $F'/\F_q(x)$. Sei $P'_\infty \in \PP_{F'}$ mit $P'_\infty|P_\infty$. Sei ${\cal S} = \PP_ {\F_q(x)} \setminus \{P_\infty\},$ und damit ist ${\cal S}' = \PP_{F'} \setminus \{P'_\infty\}.$ Eine Ganzheitsbasis f"ur ${\cal O}'/{\cal O}$ wird in diesem Fall eine {\bf (globale) Ganzheitsbasis} f"ur $F'/\F_q(x)$ genannt.}\\

\markboth{\small \sc Ganzheitsbasen f"ur $F'/\F_q(x)$}{ \sc Basen f"ur die Vektorr"aume ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$}
\newpage
Da wir jetzt mit einem rationalen Funktionenk"orper arbeiten, wird jedes maximale Ideal in einem Bewertungsring (au\ss er ${\cal O}_\infty$) von $\F_q(x)$ erzeugt durch ein normiertes, irreduzibles Polynom aus $\F_q[x]$. Daher hat  jede Stelle (au\ss er $P_\infty$) von $\F_q(x)/\F_q$ diese Gestalt, d.h. $P = (p(x))$ f"ur ein normiertes, irreduzibles Polynom $p(x) \in \F_q[x]$. Nach Theorem \ref{11cor} existiert eine 1:1 Beziehung zwischen den Stellen in ${\cal S}$ und den normierten, irreduziblen Polynomen aus $\F_q[x]$.

Damit sieht der Holomorphiering ${\cal O}$ in diesem Fall wie folgt aus:
$${\cal O} = \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \ | \ f(x), g(x) \in \F_q[x], \ p(x) \nmid g(x) \mbox{ f"ur alle } P = (p(x)) \in {\cal S} \right\}=\F_q[x].$$

{\bf {\boldmath Seien $w_1, \ldots, w_m$, $Q$ und $M$ wie in Abschnitt \ref{vorber} gegeben.}}
\\

Da $\{w_1, \ldots, w_m\}$ eine Basis f"ur $F'/\F_q(x)$ ist, gilt f"ur $i=1, \ldots, m$:
\begin{equation}
\label{baszer}
w_i^Q= \sum_{j=1}^m b_{ij} w_j,
\end{equation}
mit 
\begin{equation}
\label{baszer2}
b_{ij}= \frac{b'_{ij}}{d_{ij}} \in \F_q(x),
\end{equation}
wobei  $b'_{ij}, d_{ij} \in \F_q[x]$ teilerfremd sind. 

\begin{bem} 
Falls f"ur alle $i, j=1, \ldots, m$ $d_{ij}=1$ gilt, folgt, dass die Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ ist. Wegen (\ref{baszer}) gilt n"amlich $w_i^Q \in M$ f"ur $i=1, \ldots, m$, und nach Proposition \ref{krit} ist dann $w_i \in {\cal O}'$ f"ur $i=1, \ldots, m.$ Damit folgt $M \subseteq {\cal O}',$ und nach Konstruktion von $M$ ist ${\cal O}' \subseteq M,$ so dass
$${\cal O}' = M = \sum_{i=1}^m {\cal O}w_i.$$
\end{bem}

F"ur die folgenden Berechnungen nehmen wir daher an, dass ein Tupel \\
$(i,j) \in \{1, \ldots, m\}^2$ existiert mit $d_{ij} \ne 1$.

Wir setzen f"ur $i=1, \ldots, m$ 
$$d_i:=kgV(d_{i1}, \ldots, d_{im}).$$
Das Polynom $d_i$ l"a\ss t sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Potenzen irreduzibler Polynome schreiben. Seien $f_{1i}, \ldots, f_{t_i i}$ f"ur ein $t_i \in \N$ die irreduziblen Polynome aus $\F_q[x]$, so dass
$$d_i= \prod_{s= 1}^{t_i} f_{si}^{g_{si}}$$
f"ur gewisse $g_{si} \in \N$ gilt.
Wir w"ahlen $l_{si} \in \N,$ so dass $(l_{si}-1)Q < g_{si} \leq l_{si}Q$. Dann definieren wir f"ur $i=1, \ldots, m$
\begin{equation}
\label{grossdk}
D_i:= \prod_{s =1}^{t_i} f_{si}^{l_{si}}.
\end{equation}

Wir bemerken, dass  f"ur $i=1, \ldots, m$ das Polynom $D_i$ das normierte Polynom vom kleinsten Grad ist, f"ur das $d_i \ | \ D_i^Q$ gilt.
\\

{\bf {\boldmath Sei weiter f"ur $k=1, \ldots, m$: $I_k \lhd {\cal O}$, $c_{(k, k)} \in {\cal O}$ wie im Beweis von Theorem \ref{thmethod} definiert, insbesondere gilt $<c_{(k, k)}> = I_k.$}}
\\
\begin{lem}
\label{dk} 
$D_k \in I_k$ f"ur $k=1, \ldots, m.$
\end{lem}
\proof 
Nach Konstruktion gilt $D_k \in {\cal O}$ f"ur $k=1, \ldots, m$. F"ur $k=1$ m"ussen wir nur $D_1 w_1 \in {\cal O}'$ zeigen. F"ur $k \geq 2$ m"ussen wir aber nach der Definition von $I_k$ zeigen, dass $h_1, \ldots, h_{k-1} \in {\cal O}$ existieren, so dass 
$$\sum_{i=1}^{k-1}h_i w_i +D_k w_k \in {\cal O}'.$$ 
Es gen"ugt jedoch zu zeigen, dass f"ur $k=1, \ldots, m$
$$D_k w_k \in {\cal O}',$$ 
da wir dann im Fall $k \geq 2$
$$h_1=\ldots=h_{k-1}=0$$ 
w"ahlen k"onnen. \\
Sei $k \in \{1, \ldots, m\}$. Nach Konstruktion ist 
$$D_k w_k  \in M,$$ 
d.h. nach Proposition \ref{krit} gen"ugt es, $(D_k w_k)^Q \in M$ zu beweisen. Wir betrachten also
$$D_k^Q w_k^Q = \sum_{j=1}^m \left(D_k^Q b_{kj}\right) w_j = \sum_{j=1}^m \left(D_k^Q \frac{b'_{kj}}{d_{kj}}\right) w_j  .$$
Da $d_k \ | \ D_k^Q$ und $d_{kj} \ | \ d_k$ f"ur alle $j=1, \ldots ,m$ gilt, folgt $d_{kj} \ | \ D_k^Q$ f"ur $j=1, \ldots, m$. Dann gilt
$$D_k^Q \frac{b'_{kj}}{d_{kj}} \in \F_q[x] = {\cal O},$$
und damit
$$\sum_{j=1}^m \left(D_k^Q \frac{b'_{kj}}{d_{kj}}\right) w_j  \in M.$$
\qed
\\

\begin{fol}
\label{cpolyn}
F"ur $1\leq k \leq m$ gilt $c_{(k, k)}\ | \ D_k$.\\
\end{fol}
\newpage
\begin{lem}
\label{gradab}
F"ur jedes $k \in \{2, \ldots, m\}$ gilt: f"ur \ $0 \ne a \in I_k$ existieren Elemente $a_i \in {\cal O}$ mit \footnote{F"ur $0=f \in \F_q[x]$ ist definiert: $deg \ f = - \infty.$}
$$deg \ a_i < deg \ c_{(i,i)}$$
f"ur $i=1, \ldots, k-1$, so dass
$$\sum_{i=1}^{k-1} a_i w_i + a w_k \in {\cal O}'.$$ 
\end{lem}
\proof
Wir fixieren ein $k \in \{2, \ldots, m\}.$ 
Wir w"ahlen ein $0 \ne a \in I_k.$ Nach Definition von $I_k$ existieren $\tilde{a}_i \in {\cal O}$, so dass   
$$z : = \sum_{i=1}^{k-1}  \tilde{a}_i w_i + a w_k \in {\cal O}'.$$
Gelte $deg \ \tilde{a}_i \geq deg \ c_{(i,i)}$ f"ur ein $i \in \{1, \ldots, k-1\}.$ 

Wir w"ahlen den gr"o\ss ten Index $j \in \{1, \ldots, k-1\}$, f"ur den gilt: 
$$deg \ \tilde{a}_j \geq deg\ c_{(j,j)}.$$ 
Falls $j < k-1$, folgt damit f"ur $i= j+1, \ldots, k-1:$
$$deg \ \tilde{a}_i < deg \ c_{(i,i)}.$$
Wir setzen $a_i:= \tilde{a}_i$ f"ur $i= j+1, \ldots, k-1.$

Nach dem Euklidischen Algorithmus existieren eindeutig bestimmte Polynome $h_1, h_2 \in \F_q[x]$ mit $0 \leq deg \ h_2 < deg \ c_{(j,j)}$, so dass 
$$\tilde{a}_j = h_1 c_{(j,j)} + h_2.$$
Damit schreiben wir $z$ wie folgt:
$$z = \sum_{i=1}^{j-1} \tilde{a}_i w_i + \left(h_1 c_{(j,j)} + h_2\right) w_j + \sum_{i=j+1}^{k-1} a_i w_i + a w_k.$$
Nach Definition von $I_j$ existieren $\bar{a}_{i} \in {\cal O}$ f"ur $i=1, \ldots, j-1$, so dass 
$$ \sum_{i=1}^{j-1} \bar{a}_{i} w_i + c_{(j,j)} w_j \in {\cal O}'.$$
Da $h_1 \in {\cal O}$, gilt
$$z - h_1 \left(\sum_{i=1}^{j-1} \bar{a}_{i} w_i + c_{(j,j)} w_j \right) = \sum_{i=1}^{j-1}( \tilde{a}_{i}- h_1 \bar{a}_{i}) w_i + h_2 w_j + \sum_{i=j+1}^{k-1} a_i w_i + a w_k  \in {\cal O}'.$$
Wir setzen $a_{j}:=h_2.$ Damit gilt $deg \ a_{j} < deg \ c_{(j,j)}.$ 

Falls f"ur ein $\bar{j} \in \{1, \ldots, j-1 \}$ $deg \ (\tilde{a}_{\bar{j}} - h_1 \bar{a}_{\bar{j}}) \geq deg \ c_{(\bar{j}, \bar{j})}$ gilt, f"uhren wir das gleiche Verfahren nochmals durch. So bekommen wir nach h"ochstens $\bar{j}$ Schritten die gesuchten $a_i$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$. \\
\qed

\begin{lem}
\label{eindeutig}
F"ur jedes $k \in \{2, \ldots, m\}$ existieren eindeutig bestimmte (bez"uglich der Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$) Elemente $c_{(i, k)}\in {\cal O}$ mit
$$deg \ c_{(i, k)} < deg \ c_{(i, i)}$$ 
f"ur $i=1,\ldots, k-1,$ so dass 
$$\sum_{i=1}^k c_{(i, k)} w_i \in {\cal O}'.$$ 
\end{lem}
\proof
Wir fixieren ein $k \in \{2, \ldots, m\}.$ Nach Lemma \ref{gradab} existieren f"ur \\ $c_{(k, k)} \in I_k$ Elemente $c_{(i, k)}\in {\cal O}$ mit $deg \ c_{(i, k)} < deg \ c_{(i, i)}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$, so dass 
$$z: = \sum_{i=1}^k c_{(i, k)} w_i \in {\cal O}'.$$ 
Existieren nun $c'_{(i, k)}\in {\cal O}$ mit $deg \ c'_{(i, k)} < deg \ c_{(i, i)}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$, so dass  
$$c'_{(i, k)}\ne c_{(i, k)}$$ 
f"ur ein $i \in \{1, \ldots, k-1\}$, und es gilt 
$$z' := \sum_{i=1}^{k-1} c'_{(i, k)}w_i + c_{(k, k)}w_k \in {\cal O}'.$$ 
Damit folgt:
$$z - z' = \sum_{i=1}^{k-1}\left(c_{(i, k)}-c'_{(i, k)}\right)w_i \in {\cal O}'.$$
Wir w"ahlen den gr"o\ss ten Index $j \in \{1, \ldots, k-1\}$, f"ur den gilt:
$$c'_{(j, k)} \ne c_{(j, k)}.$$
Damit schreiben wir $z - z'$ wie folgt:
$$z - z' = \sum_{i=1}^{j}\left(c_{(i, k)}-c'_{(i, k)}\right)w_i \in {\cal O}'.$$
Dann gilt: f"ur $\left(c_{(j, k)} - c'_{(j, k)}\right) \in {\cal O}$ existieren Elemente $\left(c_{(i, k)}- c'_{(i, k)}\right) \in {\cal O}$ f"ur $i=1, \ldots, j-1$, so dass 
$$\sum_{i=1}^{j-1}\left(c_{(i, k)}-c'_{(i, k)}\right)w_i  + \left(c_{(j, k)} - c'_{(j, k)}\right) w_j \in {\cal O}'.$$
Nach Definition von $I_{j}$ folgt 
$$\left(c_{(j, k)} - c'_{(j, k)}\right) \in I_{j}.$$ 
Dann gilt 
$$c_{(j, j)} \ | \ \left(c_{(j, k)} - c'_{(j, k)}\right).$$ 
Nach der Voraussetzung gilt aber 
$$deg \ (c_{(j, k)} - c'_{(j, k)}) \leq max\left\{deg \ c_{(j, k)}, deg \ c'_{(j, k)}\right\} < deg \ c_{(j, j)},$$
ein Widerspruch. Damit ist $c'_{(i, k)}= c_{(i, k)}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$.\\
\qed
\\
\\
{\bf {\boldmath Sei weiter f"ur $k=1, \ldots, m$: $c_{(i, k)} \in {\cal O}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$ wie in Lemma \ref{eindeutig} definiert.}}
\\
\begin{alg}
\label{alg}
 Berechnung einer Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$. 
\end{alg}
Seien $w_1, \ldots, w_m$ gegeben. Der Algorithmus berechnet f"ur $k=1, \ldots, m$ per Induktion nach $k$ das $k$-te Ganzheitsbasiselement
$$u_k = \sum_{i=1}^k c_{(i, k)}w_i$$
mit $<c_{(k,k)}> = I_k$ und mit $c_{(i,k)} \in {\cal O}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$ ($k\geq 2$).\\
\\
{\bf Schritt 1.} {\bf {\boldmath Berechnung von $u_1$.}}
\\
\\
Sei $k=1$. 
Nach Definition von $c_{(1, 1)}$ gilt
\begin{equation}
\label{degc11}
deg \ c_{(1, 1)} = min\left\{deg \ a \ | \ 0 \ne a \in I_1\right\}.
\end{equation}
Nach Proposition \ref{krit}, (\ref{baszer}) und (\ref{baszer2}) gilt: 
$$c_{(1, 1)} w_1 \in {\cal O}'  \Longleftrightarrow c_{(1, 1)}^Q w_1^Q \in M  \Longleftrightarrow c_{(1, 1)}^Q \frac{b'_{1j}}{d_{1j}} \in {\cal O} \mbox{ f"ur } j=1, \ldots, m \Longleftrightarrow $$
\begin{equation}
\label{aquiv}
d_{1j} \ | \ c_{(1, 1)}^Q \mbox{ f"ur } j=1, \ldots, m \Longleftrightarrow kgV(d_{11}, \ldots, d_{1m}) \ | \ c_{(1, 1)}^Q.
\end{equation}
Da $D_1 \in I_1$ (nach (\ref{grossdk}) f"ur $i=1$ definiert) das normierte Polynom vom kleinsten Grad ist, f"ur das gilt
\begin{equation}
\label{kgvd}
kgV(d_{11}, \ldots, d_{1m}) \ | \ D_1^Q,
\end{equation}
folgt mit (\ref{degc11}), (\ref{aquiv}) und (\ref{kgvd}):
$$c_{(1, 1)} = D_1.$$
Damit ist $u_1= c_{(1, 1)} w_1 \in {\cal O}'$ bestimmt. 
\\
\\
{\bf Schritt 2.} {\bf {\boldmath Berechnung von $u_k$ f"ur ein $k \in \{2, \ldots, m\}$. Nach der Induktionsannahme f"ur $k-1$ sind $c_{(i, i)}$ f"ur $i =1, \ldots, k-1$ bekannt.}}
\\
\\
{\bf Schritt 2.1.} {\bf {\boldmath Definition einer Menge ${\cal M} \subseteq M$ mit $u_k \in {\cal M}$.}}
\\
\\
Wir setzen \label{ldef}
\[ \begin{array}{l}
 l_i: = deg \ c_{(i, i)}-1, \mbox{ f"ur } i=1, \ldots, k-1,\\
\\
l_k: = deg \ D_k.
\end{array}\]
Damit definieren wir die Menge ${\cal M} \subseteq M$ als
$${\cal M} := \left\{ \sum_{i=1}^k a_i w_i \in F' \ | \ a_i \in {\cal O} \mbox{ mit } deg \ a_i \leq l_i \mbox{ f"ur } i=1, \ldots, k\right\}.$$

\begin{picture}(400, 85)
\put(-15,75){Nach Definition von $u_k$, Folgerung \ref{cpolyn}}
\put(-15, 63){und Lemma \ref{eindeutig} folgt $u_k \in {\cal M} \cap {\cal O}'.$ }
\put(255, 50){\oval(120,60)}
\put(255, 50){\oval(90, 40)}
\put(250,50){\circle{30}}
\put(265,50){\circle{25}}
\put(315,75){$F'$}
\put(205,65){$M$}
\put(225,55){${\cal O}'$}
\put(280,55){${\cal M}$}
\put(180,20){$u_k$}
\put(260,50){\line(-3, -1){70}}
\end{picture}
\\
{\bf Schritt 2.2.} {\bf {\boldmath Beschreibung aller Elemente aus ${\cal M} \cap{\cal {\cal O}'}$.}}
\\
\\
Wir setzen 
\[ \begin{array}{l}
l_0:=0,\\
\displaystyle l:= \sum_{i=1}^k\left(l_i +1\right)\\
\end{array}\]
und definieren die folgende Funktion f"ur $i=1, \ldots, k$ und f"ur $s=0, \ldots, l_i$ \label{ege} 
$$\phi(i,s):= \sum_{j=0}^{i-1}(l_{j} + 1)+s.$$
Der Wertebereich von $\phi$ ist gleich $\{1, \ldots, l\}.$
Damit k"onnen wir eine Bijektion zwischen $\F_q^l$ und ${\cal M}$ wie folgt definieren:
\\
1. Jedes $e= (e^*_1, \ldots, e^*_l) \in \F_q^l$ definiert f"ur $i=1, \ldots, k$ Polynome 
$$a_i :=  \sum_{s=0}^{l_i} e^*_{\phi(i,s)} x^s \in \F_q[x],$$ 
so dass 
$$z_{e}: =  \sum_{i=1}^k a_i w_i \in {\cal M}.$$ 
2. F"ur jedes $z \in {\cal M}$ mit der Darstellung 
$$z = \sum_{i=1}^k a_i w_i,$$ 
wobei 
$$a_i= \sum_{s=0}^{l_i} e^\times_{is} x^s \in \F_q[x]$$
mit $e^\times_{is} \in \F_q$ f"ur $i=1, \ldots, k$ und f"ur $s=0, \ldots, deg \ a_i$, und $e^\times_{is}:=0$ f"ur $s > deg \ a_i$, existiert genau ein 
$$e_z =(e^*_1, \ldots, e^*_l) \in \F_q^l,$$ so dass 
$$e^*_{\phi(i,s)} = e^\times_{is} \mbox{ f"ur } i=1, \ldots, k \mbox{ und f"ur } s=0, \ldots, l_i.$$

Wir definieren einen Unterraum $E \subseteq \F_q^l$ wie folgt:
$$E := \left\{ e \in \F_q^l \ | \ z_{e} \in {\cal M} \cap {\cal O}' \right\}.$$
Sei \label{ddef} $d := dim_{\F_q} E$ und $\{v_1, \ldots, v_d\}$ eine Basis von $E$. Dann existiert f"ur jedes $z \in {\cal M} \cap {\cal O}'$ genau eine Folge $\lambda^*_1, \ldots, \lambda^*_d \in \F_q$, so dass
$$e_z = \sum_{t=1}^d \lambda_t^* v_t.$$
Daher folgt: {\bf {\boldmath finden wir eine Basis von $E$, beschreiben wir damit die Menge ${\cal M} \cap{\cal O}'$.}}

Wir starten mit einem Tupel von Unbestimmten $(e_1, \ldots, e_l)$ und setzen
\begin{equation}
\label{aikbesch} 
\begin{array}{l}
a_i(e_1, \ldots, e_l, x) := \displaystyle \sum_{s=0}^{l_i}e_{\phi(i,s)} x^s  \mbox{ \ \ \ f"ur $i=1, \ldots, k,$}\\ 
z(e_1, \ldots, e_l) := \displaystyle \sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x) w_i. 
\end{array}
\end{equation}
Nach Proposition \ref{krit} gilt f"ur jedes $z \in {\cal M}$:
$$z \in {\cal O}' \Longleftrightarrow z \in M \mbox{ und }z^Q \in M.$$ 
Daher betrachten wir $z(e_1, \ldots, e_l)^Q$: 
\begin{eqnarray*}
z(e_1, \ldots, e_l) ^Q & = & \displaystyle \left(\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x) w_i\right)^Q  \\
& = & \displaystyle \left(\sum_{i=1}^k \left( \sum_{s=0}^{l_i} e_{\phi(i,s)} x^s\right)w_i \right)^Q.
\end{eqnarray*}

Wir bemerken, dass wir ein $n_1 \in\N$ so w"ahlen k"onnen, dass $Q \leq q^{n_1}$ ist. Damit erf"ullt auch $q^{n_1}$ den Punkt (4) im Abschnitt \ref{vorber}, und es gilt demnach das Ganzheitskriterium aus Proposition \ref{krit}: $z \in {\cal O}' \Longleftrightarrow z\in M$ und $z^{q^{n_1}} \in M.$ Daher w"ahlen wir f"ur folgende Berechnungen o.E. 
$$Q= q^{n_1}.$$ 
Da $Char \ F' = p$, folgt:
$$z(e_1, \ldots, e_l) ^Q  = \displaystyle \sum_{i=1}^k \left( \sum_{s=0}^{l_i} {e_{\phi(i,s)}}^Q x^{sQ} \right)w_i^Q.$$
Nach (\ref{baszer}) (Seite \pageref{baszer}) gilt:
\begin{eqnarray*}
z(e_1, \ldots, e_l) ^Q  &=& \displaystyle \sum_{i=1}^k \left( \sum_{s=0}^{l_i} {e_{\phi(i,s)}}^Q x^{sQ} \right) \sum_{j=1}^m b_{ij} w_j\\
& = & \sum_{j=1}^m \left(\sum_{i=1}^k  \sum_{s=0}^{l_i} {e_{\phi(i,s)}}^Q x^{sQ} b_{ij}\right)w_j.  
\end{eqnarray*} 
Da es vorausgesetzt ist, dass $e_1, \ldots, e_l$ ihre Werte aus $\F_q$ annehmen werden, folgt ${e_i}^Q = e_i$ f"ur $i=1, \ldots, l.$ Damit gilt: 
\begin{equation}
\label{zhochq}
\begin{array}{lll}
z(e_1, \ldots, e_l) ^Q & = &\displaystyle \sum_{j=1}^m \left(\sum_{i=1}^k  \sum_{s=0}^{l_i} e_{\phi(i,s)} x^{sQ} b_{ij}\right)w_j \\
& = & \displaystyle  \sum_{j=1}^m \left(\frac{\sum_{i=1}^k \sum_{s=0}^{l_i} e_{\phi(i,s)} x^{sQ} b^{''}_{ij}}{kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})} \right) w_j, 
\end{array}
\end{equation}
wobei $b^{''}_{ij} := b_{ij} \cdot kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj}) \in \F_q[x]$ mit $b_{ij}$ f"ur $i, j=1, \ldots, m$ wie in (\ref{baszer2}) (Seite \pageref{baszer2}) definiert.

Sind $e_i = e^*_i \in \F_q$ f"ur $i=1, \ldots, l$ und gilt $(e^*_1, \ldots, e^*_l) \in E,$ folgt 
$$z(e^*_1, \ldots, e^*_l)\in {\cal O}' \Longleftrightarrow z(e^*_1, \ldots, e^*_l)^Q \in M \Longleftrightarrow  $$
$$\displaystyle \left(\frac{\sum_{i=1}^k \sum_{s=0}^{l_i} e^*_{\phi(i,s)} x^{sQ} b^{''}_{ij}}{kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})} \right) \in \F_q[x] \mbox{ f"ur } j=1, \ldots, m.$$
Daher m"ussen wir feststellen, unter welchen Voraussetzungen f"ur $j=1, \ldots, m$ gilt:
\begin{equation}
\label{condit}
\displaystyle \left(\frac{\sum_{i=1}^k \sum_{s=0}^{l_i} e_{\phi(i,s)} x^{sQ} b^{''}_{ij}}{kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})} \right) \in \F_q(e_1, \ldots, e_l)[x]. \footnote{$\F_q(e_1, \ldots, e_l)$ ist der K"orper der rationalen Funktionen in den Unbestimmten $e_1, \ldots, e_l$.}
\end{equation}
Wir setzen f"ur $j=1, \ldots, m$: 
\begin{eqnarray*}
Z_j &: = & \displaystyle \sum_{i=1}^k\sum_{s=0}^{l_i} e_{\phi(i,s)}x^{sQ} b^{''}_{ij} \in \F_q(e_1, \ldots, e_l)[x], \\
N_j &: = & kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj}) \in \F_q[x].
\end{eqnarray*}

Da $\F_q[x] \subset \F_q(e_1, \ldots, e_l)[x]$ und $deg \ Z_j \geq deg \ N_j$,\footnote{Gilt wegen $\{0\} \subsetneqq {\cal M} \cap {\cal O}'$.} existieren nach dem Euklidischen Algorithmus Polynome $Q_j, R_j \in \F_q(e_1, \ldots, e_l)[x]$, so dass gilt:
$Z_j = Q_j N_j + R_j$ und $deg \ R_j < deg \ N_j$. Ist $R_j = 0$ f"ur $j=1, \ldots, m$, folgt (\ref{condit}).
Daher werden wir die \label{divan} Division von $Z_j$ durch $N_j$ f"ur $j=1, \ldots, m$ durchf"uhren und dabei zeigen, dass die Bedingungen $R_j =0$ f"ur $j=1, \ldots, m$ auf ein lineares Gleichungssystem "uber $\F_q$ mit den Unbestimmten $e_1, \ldots, e_l$ hinauslaufen.
 
Sei $j \in \{1, \ldots, m\}$. Wir bezeichnen die Menge aller $\F_q$-linearen Ausdr"ucke in den Unbestimmten $e_1, \ldots, e_l$ mit
$$\bar{E} := \left \{ \sum_{i=1}^l \gamma_{i} e_i \ | \ \gamma_{i} \in \F_q, \mbox{ f"ur } i=1, \ldots, l \right \}.$$
Sei $h_j^{(0)} := max\{ Q\cdot l_i + deg \ b^{''}_{ij} \ | \ i=1, \ldots, k\}$. Dann gilt:
$$Z_j = \sum_{t=0}^{h_j^{(0)}} \alpha_{jt}^{(0)}x^t$$
f"ur gewisse $\alpha_{jt}^{(0)} \in \bar{E}$ f"ur $t=0, \ldots, h_j^{(0)}.$

Sei $s_j^{(0)}:= h_j^{(0)} - deg \ N_j.$ Dann definieren wir 
$$Z_j^{(1)} := Z_j - \alpha_{jh_j^{(0)}}^{(0)} x^{s_j^{(0)}}N_j,$$
und es gilt 
$$Z_j^{(1)} :=  \sum_{t=0}^{h_j^{(1)}} \alpha_{jt}^{(1)}x^t$$
f"ur ein $h_j^{(1)} < h_j^{(0)}$ ($N_j$ ist normiert),  f"ur ein $\alpha_{jh_j^{(1)}}^{(1)} \ne 0$ und f"ur gewisse $\alpha_{jt}^{(1)} \in \bar{E}$ f"ur $t=0, \ldots, h_j^{(1)}$.

Ist $h_j^{(1)} \geq deg \ N_j$, sei $s_j^{(1)}:= h_j^{(1)} - deg(N_j)$. Dann definieren wir
$$Z_j^{(2)} := Z_j^{(1)} - \alpha_{jh_j^{(1)}}^{(1)} x^{s_j^{(1)}}N_j,$$
und es gilt
$$Z_j^{(2)} :=  \sum_{t=0}^{h_j^{(2)}} \alpha_{jt}^{(2)}x^t$$
f"ur ein $h_j^{(2)} < h_j^{(1)}$ ($N_j$ ist normiert), f"ur ein $\alpha_{jh_j^{(2)}}^{(2)} \ne 0$ und f"ur gewisse $\alpha_{jt}^{(2)} \in \bar{E}$ f"ur $t=0, \ldots, h_j^{(2)}$. 

Ist wieder $h_j^{(2)} \geq deg \ N_j$, so fahren wir analog weiter fort. Dann existiert ein \label{rjj} $r_j \leq h_j^{(0)} - deg \ N_j +1$, so dass gilt:
$$Z_j = N_j \sum_{t=0}^{r_j-1} \alpha_{jh_j^{(t)}}^{(t)} x^{s_j^{(t)}} + \sum_{t=0}^{h_j^{\left(r_j\right)}} \alpha_{jt}^{(r_j)}x^t$$
mit $h_j^{(r_j)} < deg \ N_j$ und f"ur gewisse $\alpha_{jt}^{(r_j)} \in \bar{E}$ f"ur $t=0, \ldots, h_j^{(r_j)}$ und  $\alpha_{jh_j^{(r_j)}}^{(r_j)} \ne 0$. 

Wir setzen
$$R_j:=  \sum_{t=0}^{h_j^{\left(r_j\right)}} \alpha_{jt}^{(r_j)}x^t.$$
Dann gilt:
\begin{equation}
\label{rest}
\mbox{(\ref{condit}) ist erf"ullt} \Longleftrightarrow R_j = 0 \mbox{ f"ur } j=1, \ldots, m.
\end{equation}
Da $\alpha_{jt}^{(r_j)} \in \bar{E}$ f"ur $j=1, \ldots, m$ und f"ur $t=0, \ldots,  h_j^{(r_j)}$, gilt 
$$ \alpha_{jt}^{(r_j)}= \sum_{i=1}^l \gamma_{jti} e_i$$
f"ur gewisse \label{diven} $\gamma_{jti} \in \F_q$ f"ur $j=1, \ldots, m$, f"ur $t=0, \ldots,  h_j^{(r_j)}$ und f"ur $i=1, \ldots, l$.
Nach (\ref{rest}) folgt 
$$\mbox{(\ref{condit})  ist erf"ullt} \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^l \gamma_{jti} e_i = 0 \mbox{ f"ur $j=1, \ldots, m$ und f"ur $t=0, \ldots h_j^{(r_j)}$.}$$

Wir betrachten diese Bedingungen als Gleichungen "uber $\F_q$ mit den Unbestimmten $e_1, \ldots, e_l$:
\begin{equation}
\label{lgserst}
\begin{array}{c}
\displaystyle \sum_{i=1}^l \gamma_{10i} e_i = 0\\
\vdots \\
\displaystyle \sum_{i=1}^l \gamma_{1h_1^{(r_1)}i} e_i = 0\\
\vdots \\
\displaystyle \sum_{i=1}^l \gamma_{m0i} e_i = 0\\
\vdots \\
\displaystyle \sum_{i=1}^l \gamma_{mh_m^{(r_m)}i} e_i = 0
\end{array}
\end{equation}
Zusammen bilden diese Gleichungen ein homogenes lineares Gleichungssystem "uber $\F_q$ mit den Unbestimmten $e_1, \ldots, e_l$.  
Hat das Gleichungssystem nur die triviale L"osung, so folgt $E = \{(0, \ldots, 0)\}$, und damit gilt ${\cal M} \cap {\cal O}' = \{0\},$ was $0 \ne u_k \in {\cal M} \cap {\cal O}'$ widerspricht. Daher besitzt das System mehrere L"osungen. 

Mit dem Gau\ss schen Algorithmus k"onnen wir eine $\F_q$-Basis $\{v_1, \ldots, v_d\}$ von $E$ bestimmen, wobei $v_t = (v_{1t}, \ldots, v_{lt})$ f"ur $t=1, \ldots, d$ sind. Dann ist der Vektorraum $E$ gleich
$$E = \left\{(e_1, \ldots, e_l) \in \F_q^l \ \mbox{ \Large $ | $}  \ \begin{array}{l} \mbox{es existieren }  \lambda^*_1, \ldots, \lambda^*_d \in \F_q, \mbox{ so dass} \\  e_i =  \sum_{t=1}^{d}\lambda^*_t v_{it} \mbox{ f"ur }  i=1, \ldots, l \end{array} \right\},$$ 
und wir k"onnen die Menge ${\cal M} \cap {\cal O}'$ wie folgt beschreiben:
\begin{equation}
\label{oel}
{\cal M} \cap {\cal O}' =  \left\{ \ z \in F' \  \mbox{ \Large $ | $} \  \begin{array}{l}\mbox{es existiert ein } (e^*_1, \ldots, e^*_l) \in E, \mbox{ so } \\ \mbox{dass } z = \sum_{i=1}^k \left( \sum_{s=0}^{l_i} e^*_{\phi(i,s)} x^s\right) w_i  \end{array} \right\}.
\end{equation} 
\\
{\bf Schritt 2.3.} {\bf  {\boldmath Berechnung von $c_{(k, k)} \in \F_q[x]$ mit $<c_{(k, k)}> = I_k$.}}
\\

Sei $\F_q(\lambda_1, \ldots, \lambda_d)$ der K"orper der rationalen Funktionen in den Unbestimmten $\lambda_1, \ldots, \lambda_d$. Dann definieren wir f"ur $i=1, \ldots, k$
\begin{equation}
\label{aikdar}
a_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x)  := \sum_{s=0}^{l_i} \left(  \sum_{t=1}^{d}\lambda_t v_{\phi(i,s)t} \right) x^s \in \F_q(\lambda_1, \ldots, \lambda_d)[x]. 
\end{equation} 

Seien $\lambda_1^*, \ldots, \lambda_d^* \in \F_q$ und $\lambda_t = \lambda_t^*$ f"ur $t =1, \ldots, d$. Dann gilt nach (\ref{aikdar}) 
$a_i(\lambda_1^*, \ldots, \lambda_d^*, x) \in \F_q[x],$
und nach (\ref{oel}) und Definition von $I_k$ (Theorem \ref{thmethod}) f"ur $k=1, \ldots, m$
\begin{equation}
\label{akinik}
a_k(\lambda_1^*, \ldots, \lambda_d^*, x) \in I_k.
\end{equation}
\bh Es gilt 
$$c_{(k, k)} \ | \ a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x),\footnote{Die Teilbarkeit wird hier in $\F_q(\lambda_1, \ldots, \lambda_d)[x]$ betrachtet.}$$
wobei $c_{(k,k)}$ das normierte Polynom vom gr"o"sten Grad aus $\F_q[x]$ mit dieser Eigenschaft ist.\\
\beweis Da $deg \ a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) \geq deg \ c_{(k,k)}$ gilt, kann die Division von $a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x)$ durch $c_{(k,k)}$ durchgef"uhrt werden. Sei der Rest dieser Division ungleich 0. Dann folgt analog zur Division\footnote{Diese Division ist ausf"uhrlich auf den Seiten \pageref{divan} - \pageref{diven} beschrieben.} in (\ref{condit}), dass dieser Rest ein Polynom in $\F_q(\lambda_1, \ldots, \lambda_d)[x]$ ist, dessen Koeffizienten lineare Ausdr"ucke "uber $\F_q$ in den Unbestimmten $\lambda_1, \ldots, \lambda_d$ sind. Wir bezeichnen daher diesen Rest mit $r(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x)$. Dann existieren $\lambda_1^*, \ldots, \lambda_d^* \in \F_q$, so dass bei $\lambda_t = \lambda_t^*$ f"ur $t =1, \ldots, d$  gilt: $r(\lambda_1^*, \ldots, \lambda_d^*, x) \ne 0$. Damit folgt $c_{(k, k)} \ \nmid \ a_k(\lambda^*_1, \ldots, \lambda^*_d, x),$
was ein Widerspruch zu (\ref{akinik}) ist. 

Existiert ein normiertes Polynom $h \in \F_q[x]$ mit $deg \ h > deg \ c_{(k, k)}$ und gilt dabei $h \ | \ a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x),$ so folgt bei jeder Wahl $\lambda_t = \lambda_t^*  \in \F_q$ f"ur $t =1, \ldots, d$: $h \ | \ a_k(\lambda_1^*, \ldots, \lambda_d^*, x)$. Da aber durch $a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x)$ alle Polynome mit den Graden kleiner oder gleich $l_k = deg \ D_k$ aus $I_k \lhd \F_q[x]$ beschrieben sind, folgt ein Widerspruch zu $<c_{(k, k)}> \ = I_k.$ $\lhd$  

Daher kann das Polynom $c_{(k,k)}$ wie folgt berechnet werden:
\begin{equation}
\label{ckkbest}
c_{(k, k)} = ggT_{\F_q(\lambda_1, \ldots, \lambda_d)[x]}( a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x), D_k).
\end{equation}
\\
{\bf Schritt 2.4.} {\bf  {\boldmath Berechnung von $c_{(i, k)} \in \F_q[x]$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$.}}
\\

Da $c_{(i, k)}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$ nach Lemma \ref{eindeutig} eindeutig bestimmt sind, existieren eindeutig bestimmte $\lambda_1^\times, \ldots, \lambda_d^\times \in \F_q,$ 
so dass 
$$c_{(i, k)} = a_i(\lambda_1^\times, \ldots, \lambda_d^\times, x)$$
f"ur $i=1, \ldots, k$. 
So m"ussen wir diese $\lambda^\times_1, \ldots, \lambda^\times_d \in \F_q$ finden. 

Wir schreiben $c_{(k, k)}$ als 
$$c_{(k, k)} = \sum_{s=0}^{deg \ c_{(k, k)}} \gamma_{ks} x^s$$ 
f"ur gewisse $\gamma_{ks} \in \F_q$ f"ur $s=0, \ldots, deg \ c_{(k, k)}.$ Wir setzen koeffizientenweise nach (\ref{aikdar}) f"ur $i = k$:
$$a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) = c_{(k, k)},\footnote{W"urden nicht alle Unbestimmten $\lambda_1, \ldots, \lambda_d$ in $a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x)$ in (\ref{aikdar}) vorkommen, w"aren die zu $c_{(k,k)}$ zugeh"origen $c_{(i,k)}$ wegen der nichtvorkommenden Unbestimmten nicht eindeutig bestimmt, was Lemma \ref{eindeutig} widersprechen w"urde.}$$ 
d.h. 
\[ \begin{array}{ll}
\displaystyle \sum_{t=1}^d \lambda_t v_{\phi(k,s)t}= \gamma_{ks}  & \mbox{ f"ur } s=0, \ldots, deg \ c_{(k, k)},\\
\displaystyle \sum_{t=1}^d \lambda_t v_{\phi(k,s)t}=   0  & \mbox{ f"ur }s= deg \ c_{(k, k)} + 1, \ldots, l_k.
\end{array} \]
Die obigen Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem "uber $\F_q$ mit den Unbestimmten $\lambda_1, \ldots, \lambda_d.$
Wegen der Eindeutigkeit von $c_{(k, k)}$ hat dieses System genau eine L"osung 
$$(\lambda_1^\times, \ldots, \lambda_d^\times) \in \F_q^d.$$
Mit dieser L"osung erhalten wir f"ur $i=1, \ldots, k-1$
\begin{equation}
\label{cikbest}
c_{(i, k)}= a_i(\lambda_1^\times, \ldots, \lambda_d^\times, x).
\end{equation}
Damit ist durch (\ref{ckkbest}) und (\ref{cikbest})
\begin{equation}
\label{gbudarst}
u_k = \sum_{i=1}^k c_{(i, k)} w_i \in {\cal O}'
\end{equation}
bestimmt.
 
 Nach Theorem \ref{thmethod} bilden $u_1, \ldots, u_m$ eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x).$\\
\qed

\begin{theo}
\label{neuebasen}
Mit dem Algorithmus \ref{alg} ist eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ explizit berechenbar.
\end{theo}

Theorem \ref{neuebasen} garantiert uns nicht, dass die mittels Algorithmus \ref{alg} berechnete Ganzheitsbasis $\{u_1, \ldots, u_m\}$ f"ur $F'/\F_q(x)$ aus Elementen mit modulo $m$ paarweise inkongruenten Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$ besteht, was f"ur die Berechnung von Basen f"ur die Vektorr"aume ${\cal L}\left(rP'_\infty\right)$ erforderlich ist. Daher werden wir im n"achsten Abschnitt noch einen Algorithmus angeben, mittels dessen wir eine solche Ganzheitsbasis berechnen k"onnen.

\subsection{Ganzheitsbasen f"ur {\boldmath $F'/\F_q(x)$ mit modulo $m$ paarweise inkongruenten Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$}}
\label{verpol}
\markboth{\small \sc Ganzheitsbasen mit modulo $m$ paarweise inkongruenten Polordnungen \ \ }{ \sc Basen f"ur die Vektorr"aume ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$}

Nach \label{verpolzu} Definition \ref{pz} und Theorem \ref{2g} k"onnen wir folgende Vorbereitungen durchf"uhren.

Wir setzen f"ur $i=1, \ldots, m$
$$\nu_i := min \left\{\alpha \in \N \cup \{0\} \ | \ \alpha \mbox{ ist eine Polzahl von } P'_\infty \mbox{ mit } \alpha \equiv i \ mod \ m \right\}.$$
Seien $y_1, \ldots, y_m \in {\cal O}'$, so dass 
$$v_{P'_\infty}(y_i) = - \mu_i$$
mit 
$$\mu_i \in \N \cup \{0\} \mbox{ und } \mu_i \equiv i \ mod \ m$$
f"ur $i=1, \ldots, m$ gilt.
 
\begin{lem}
\label{polzahl}
1. $\{y_1, \ldots, y_m\}$ ist eine Basis f"ur $F'/\F_q(x)$.\\
2. $\alpha$ ist eine Polzahl von $P'_\infty$ dann und nur dann, wenn ein $z\in {\cal O}'$ existiert mit 
$v_{P'_\infty}(z)=-\alpha.$\\
3. Seien $z_1, z_2 \in {\cal O}'$ mit $v_{P'_\infty}(z_1) = v_{P'_\infty}(z_2)$. Dann existiert genau ein $a \in \F_q^*$, so dass $v_{P'_\infty}(z_1 - a z_2) > v_{P'_\infty}(z_1).$
\end{lem}
\proof
1. Da $[F':\F_q(x)] = m$, gen"ugt es zu zeigen, dass $y_1, \ldots, y_m$ linear unabh"angig "uber $\F_q(x)$ sind. Dies folgt nach Lemma \ref{dreieck}.\\
2. Dies gilt wegen ${\cal O}' = \bigcup_{s \geq 0}^{\infty} {\cal L}\left(s P'_\infty\right).$\\
3. Wegen $\displaystyle v_{P'_\infty}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = 0$ und $deg \ P'_\infty = 1$ existiert ein $a \in \F_q^*$, so dass $\displaystyle v_{P'_\infty}\left(\frac{z_1}{z_2} - a \right) > 0.$\\
\qed

\begin{theo}
\label{gbvp}
$\{y_1, \ldots, y_m\}$ ist eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ dann und nur dann, wenn $\mu_i = \nu_i$ f"ur $i=1, \ldots, m$.
\end{theo}
\proof
$\Longrightarrow$ Sei $\{y_1, \ldots, y_m\}$ eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$. Sei $j \in \{1, \ldots,m\}$. Dann ist nach Lemma \ref{polzahl}(2) $\mu_j$ eine Polzahl von $P'_\infty$, und es gilt: 
\begin{equation}
\label{mugrnu}
\mu_j \geq \nu_j .
\end{equation}

Da $\nu_j$ eine Polzahl von $P'_\infty$ ist, existiert nach Lemma \ref{polzahl}(2) ein $z \in {\cal O}'$ mit $v_{P'_\infty}(z) = - \nu_j.$ Da $z \in {\cal O}'$, hat es die Gestalt 
$$z = \sum_{i=1}^m f_i y_i$$ 
mit $f_i \in {\cal O}= \F_q[x]$. 
Dann gilt wegen $\nu_j \equiv \mu_j \ mod \ m$:
$$v_{P'_\infty}(z) = v_{P'_\infty}(f_j y_j).$$ 
Daraus folgt $- \nu_j = -m\cdot deg \ f_j - \mu_j.$ 
Damit gilt 
\begin{equation}
\label{nugrmu}
\nu_j \geq \mu_j.
\end{equation}
Aus (\ref{mugrnu}) und (\ref{nugrmu}) folgt $\nu_j = \mu_j.$ 

$\Longleftarrow$ Sei $\mu_i = \nu_i$ f"ur $i=1, \ldots, m$. Nach Lemma \ref{polzahl}(1) bilden $y_1, \ldots, y_m \in {\cal O}'$ eine Basis f"ur $F'/\F_q(x)$, und es gilt $\sum_{i=1}^m {\cal O} y_i \subseteq {\cal O}'$. Wir zeigen, dass auch ${\cal O}' \subseteq \sum_{i=1}^m {\cal O} y_i$ gilt.

Wir w"ahlen ein $0 \ne z \in {\cal O}'$ mit $(z)^{F'}_\infty = s P'_\infty$ f"ur ein $s \in \N \cup \{0\}$. Wir zeigen die Inklusion ${\cal O}' \subseteq \sum_{i=1}^m {\cal O} y_i$ per Induktion nach $s$.

Sei $s=0$. Dann gilt $z \in \F_q^*$. Da $0$ eine Polzahl von $P'_\infty$ ist, folgt $\nu_m = 0$. Damit ist $(y_m)^{F'}_\infty = 0$, und $y_m \in \F_q^*$. Dann gilt: 
$$z \in \F_q^* \subseteq {\cal O} y_m \subseteq \sum_{i=1}^m {\cal O} y_i.$$

Wir zeigen den Schritt $s \to s+1$. Dann gilt $(z)^{F'}_\infty = (s+1)P'_\infty$. Sei \\$j \in \{1, \ldots, m \}$, so dass $s+1 \equiv j \ mod \ m$. Dann gilt:
\begin{eqnarray*}
\nu_j \equiv s+1\ mod \ m \mbox{ und } \nu_j \leq s+1 &\Longrightarrow  &s+1 = \nu_j + m\cdot t \mbox{ f"ur ein } t \in \N \cup \{0\}\\
& \Longrightarrow &v_{P'_\infty}(z) = v_{P'_\infty}\left(y_j x^t\right) \\
& \Longrightarrow &\mbox{nach Lemma \ref{polzahl}(3) existiert genau}\\
&&\mbox{ein } a \in \F_q^*, \mbox{ so dass }\\
&&v_{P'_\infty}\left(z - a x^t y_j\right) > -(s+1).
\end{eqnarray*}
Das Element $z - a x^t y_j $ liegt in ${\cal O}'$, und seine Polordnung an der Stelle $P'_\infty$ ist kleiner als $s+1$. Nach Induktionsannahme gilt $z - a x^t y_j \in  \sum_{i=1}^m {\cal O} y_i.$ Daher ist $z \in \sum_{i=1}^m {\cal O} y_i.$\\
\qed
\\

Nun wissen wir nach Theorem \ref{gbvp}, dass eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ existiert, die aus Elementen mit modulo $m$ paarweise inkongruenten Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$ besteht. 
Der folgende Algorithmus berechnet aus einer Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$, die mittels Algorithmus \ref{alg} erhalten wurde, eine weitere Ganzheitsbasis, deren Elemente modulo $m$ paarweise inkongruente Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$ haben.

\begin{alg}
\label{alg0}
Berechnung einer Ganzheitsbasis $\{u^*_1, \ldots, u^*_m\}$ f"ur  $F'/\F_q(x)$ mit $v_{P'_\infty}(u^*_i) \not \equiv v_{P'_\infty}(u^*_j) \ mod \ m$ f"ur $i, j=1, \ldots, m$ und $i \ne j$ unter folgenden Voraussetzungen:\\
(1) die Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ f"ur $F'/\F_q(x)$ aus Abschnitt \ref{vorber}(2) ist bekannt, und eine Ganzheitsbasis $\{u_1, \ldots, u_m\}$ f"ur  $F'/\F_q(x)$ ist mittels Algorithmus \ref{alg} berechnet worden;\\
(2) $v_{P'_\infty}(w_i) \not \equiv v_{P'_\infty}(w_j) \ mod \ m$ f"ur $i, j=1, \ldots, m$ und $i \ne j$.
\end{alg}

Die zweite Bedingung ist f"ur die Berechnung von $v_{P'_\infty}(u_k)$ (Lemma \ref{dreieck}) f"ur $k=1, \ldots, m$ erforderlich: wir setzen $c_{(i,k)} :=0$ f"ur $k=1, \ldots, m$ und f"ur $i=k+1, \ldots, m$, damit hat $u_k$ aus (\ref{gbudarst}) ab jetzt die Darstellung
\begin{equation}
\label{bism}
u_k = \sum_{i=1}^m c_{(i, k)} w_i,
\end{equation}
und es gilt
\begin{eqnarray}
\label{ft1}
v_{P'_\infty}(u_k) & = &\displaystyle v_{P'_\infty}\left(\sum_{i=1}^m c_{(i, k)} w_i \right) \nonumber \\
& = & min_{i=1, \ldots, m} \left\{v_{P'_\infty}\left(c_{(i,k)} w_i\right)\right\} \\
& = &  - m \cdot deg \ c_{(i',k)} + v_{P'_\infty}(w_{i'}) \hspace{3mm}\mbox{ f"ur ein $i' \in \{1, \ldots, m\}$.}\nonumber
\end{eqnarray}
Die Darstellung (\ref{bism}) ist f"ur den Ablauf des Algorithmus erforderlich. 
\\
\\
{\bf Schritt 1.} {\bf {\boldmath Fixierung von $k_1 \ne k_2$, f"ur die $v_{P'_\infty}(u_{k_1}) \equiv v_{P'_\infty}(u_{k_2}) \ mod \ m$ gilt. Werden keine solchen Indizes gefunden, so ist der Algorithmus beendet. Die vorhandenen Ganzheitsbasiselemente haben bereits modulo $m$ paarweise inkongruente Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$. }}
\\
\\
So haben wir:
$$u_{k_1} = \sum_{i=1}^{m} c_{(i,k_1)} w_i \mbox{ und } u_{k_2} = \sum_{i=1}^{m} c_{(i,k_2)} w_i$$
mit 
$$v_{P'_\infty}(u_{k_1}) \equiv v_{P'_\infty}(u_{k_2}) \ mod \ m.$$ 
\\
{\bf Schritt 2.} {\bf {\boldmath Fixierung von $s \in \{1, \ldots, m\}$ mit $v_{P'_\infty}(u_{k_1}) \equiv v_{P'_\infty}(w_s) \ mod \ m$}.}
\\
\\
Wegen (\ref{ft1}) folgt: 
\begin{eqnarray*}
v_{P'_\infty}(u_{k_1}) &=& v_{P'_\infty}\left(c_{(s,k_1)} w_s\right)  =  -m \cdot deg \ c_{(s,k_1)} + v_{P'_\infty}(w_s),\\
v_{P'_\infty}(u_{k_2}) & =& v_{P'_\infty}\left(c_{(s,k_2)} w_s\right)  =  -m \cdot deg \ c_{(s,k_2)} + v_{P'_\infty}(w_s). 
\end{eqnarray*}
Ohne Einschr"ankung k"onnen wir annehmen, dass
\begin{equation}
\label{vvpp}
v_{P'_\infty}(u_{k_1}) \leq v_{P'_\infty}(u_{k_2}).
\end{equation}
{\bf Schritt 3.} {\bf {\boldmath Berechnung eines neuen Elements $\tilde{u} \in {\cal O}'$, f"ur das \\$v_{P'_\infty}(\tilde{u}) > v_{P'_\infty}(u_{k_1})$ gilt, und Ersetzung von $u_{k_1}$ durch $\tilde{u}$, so dass Elemente $u_1, \ldots, \tilde{u} (\mbox{ an der Stelle von } u_{k_1}), \ldots, u_m$ eine weitere Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ bilden.}}
\\
\\
Wegen (\ref{vvpp})  folgt $deg \ c_{(s,k_1)} \geq deg \ c_{(s,k_2)}.$ Dann gilt f"ur ein $t \in \N \cup \{0\}$:
$$deg \ c_{(s,k_1)} = deg \ (x^t c_{(s,k_2)} ) \Longrightarrow v_{P'_\infty}(u_{k_1}) = v_{P'_\infty}(x^t u_{k_2}).$$
Sei $\gamma \in \F_q^*$, so dass 
$$\gamma = \frac{\mbox{ Leitkoeffizient des Polynoms }c_{(s,k_1)}}{\mbox{ Leitkoeffizient des Polynoms }c_{(s,k_2)}}.$$ 
Sei 
$$\tilde{u}:= u_{k_1} - \gamma x^t u_{k_2}.$$ 
\bh $v_{P'_\infty}(\tilde{u}) > v_{P'_\infty}(u_{k_1}).$ 
\\
\beweis 
Wegen $v_{P'_\infty}(w_i) \not \equiv v_{P'_\infty}(w_j) \ mod \ m$ f"ur $i, j=1, \ldots, m$ und $i \ne j$ folgt 
\begin{eqnarray*}
v_{P'_\infty}(\tilde{u}) & = & min_{i=1, \ldots, m} \left\{v_{P'_\infty}\left(\left(c_{(i,k_1)}- \gamma x^t c_{(i,k_2)}\right) w_i\right)\right\} \\ 
& = & v_{P'_\infty}\left(\left(c_{(v,k_1)} - \gamma x^t c_{(v,k_2)}\right) w_v\right) \ \ \ \  \mbox{ f"ur ein gewisses } v \in \{1, \ldots, m\}.
\end{eqnarray*}  

Falls $v \ne s$, gilt nach (\ref{ft1}) f"ur alle $i=1, \ldots, m$ und $i \ne s$ (insbesondere f"ur $i=v$) 
$$v_{P'_\infty}(u_{k_1}) = v_{P'_\infty}\left(c_{(s,k_1)} w_s\right) = v_{P'_\infty}\left(\gamma x^t c_{(s,k_2)} w_s\right) < v_{P'_\infty}\left(\gamma x^t c_{(i,k_2)}w_i\right)$$ 
und 
$$v_{P'_\infty}(u_{k_1}) = v_{P'_\infty}\left(c_{(s,k_1)} w_s\right) < v_{P'_\infty}\left(c_{(i,k_1)}w_i\right).$$ 
Damit folgt 
$$v_{P'_\infty}(\tilde{u}) \geq min\left\{v_{P'_\infty}\left(c_{(v,k_1)} w_v\right), v_{P'_\infty}\left(\gamma x^t c_{(v,k_2)} w_v\right)\right\} 
>v_{P'_\infty}(u_{k_1}).$$

Falls $v=s$, folgt wegen der Wahl von $\gamma$
\begin{equation}
deg \ (c_{(s,k_1)}  - \gamma x^t c_{(s,k_2)} ) < deg \ c_{(s,k_1)},
\end{equation}
und damit gilt
$$v_{P'_\infty}(\tilde{u}) = v_{P'_\infty}\left(\left(c_{(s,k_1)}  - \gamma x^t c_{(s,k_2)}\right) w_s\right) > v_{P'_\infty}\left(c_{(s,k_1)}  w_s\right) = v_{P'_\infty}(u_{k_1}).$$

Da nach Lemma \ref{polzahl}(3) genau ein $a \in \F_q^*$ existiert, so dass 
$$v_{P'_\infty}\left(u_{k_1} - a x^t u_{k_2}\right) > v_{P'_\infty}(u_{k_1})$$
gilt, folgt $v_{P'_\infty}(\tilde{u}) >v_{P'_\infty}(u_{k_1})$ nur f"ur diese Wahl von $\gamma$. $\lhd$


Da $\{u_1, \ldots, u_m\}$ eine Basis f"ur ${\cal O}'/\F_q[x]$ ist, folgt 
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^m h_i(x) u_i = 0 & \Longleftrightarrow & 0 = h_i(x) \in \F_q[x] \mbox{ f"ur } i=1, \ldots, m\\
& \Longleftrightarrow & \sum_{\scriptsize{\begin{array}{c} i \in \{1, \ldots, m\}\\  i \ne k_1 \end{array}}}h_i(x) u_i + h_{k_1}(x)\left(\tilde{u} + \gamma x^t u_{k2}\right) = 0.
\end{eqnarray*}
Damit sind die Elemente der Menge $\{u_1, \ldots, u_m\} \cup \{\tilde{u}\} \setminus \{u_{k_1}\}$ linear unabh"angig "uber $\F_q[x]$. Aus ${\cal O}' = \sum_{i=1}^m \F_q[x] u_i$ und der Konstruktion von $\tilde{u}$ folgt  
$${\cal O}' = \sum_{\scriptsize{\begin{array}{c} i \in \{1, \ldots, m\}\\  i \ne k_1 \end{array}}}\F_q[x]  u_i + \F_q[x]  \tilde{u}.$$ 
Daher bilden $u_1, \ldots, u_{k_1 -1}, \tilde{u}, u_{k_1+1}, \ldots,  u_m$ eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$.
\\
\\
{\bf Schritt 4.} {\bf R"uckkehr zu Schritt 1.}
\\

\begin{lem}
\label{endalg}
Algorithmus \ref{alg0} ist endlich.
\end{lem}
\proof
Seien $\nu_1, \ldots, \nu_m$ wie am Anfang dieses Abschnitts definiert. 
Der Input von Algorithmus \ref{alg0} sind Ganzheitsbasiselemente $u_1, \ldots, u_m$, die mittels Algorithmus \ref{alg} berechnet worden sind. Wir bezeichnen die Summe ihrer Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$ mit
$$S_0:= |v_{P'_\infty}(u_1)| + \cdots + |v_{P'_\infty}(u_m)|.$$
Ein Schleifendurchlauf in Algorithmus \ref{alg0} sind die Schritte 1 - 4.
Wir bezeichnen  nach dem $k$-ten Schleifendurchlauf mit 
$$\left\{u_1^{(k)}, \ldots, u_m^{(k)}\right\}$$
eine Ganzheitsbasis in Schritt 1 und mit
$$S_k$$
die Summe der Polordnungen von $u_1^{(k)}, \ldots, u_m^{(k)}$ an der Stelle $P'_\infty.$
Da wir mit jedem Schleifendurchlauf ein neues Element bestimmen, dessen Polordnung an der Stelle $P'_\infty$ kleiner als die Polordnung des urspr"unglichen Elements ist, gilt  f"ur $k \geq 1$: 
$$S_{k} < S_{k-1}.$$
Da $u_1^{(k)}, \ldots, u_m^{(k)}$ eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ bilden,  folgt f"ur $k \geq 0$ 
$$S_k > 0.$$
Aus den beiden letzten Ungleichungen folgt, dass ein $k' \in \N$ existiert, so dass der Algorithmus nach dem $k'$-ten Schleifendurchlauf endet. Nach Theorem \ref{gbvp} gilt $S_{k'} = \sum_{i=1}^m \nu_i$, und der Output ist eine Ganzheitsbasis  $u_1^{(k')}, \ldots, u_m^{(k')}$ mit $|v_{P'_\infty}(u^{(k')}_i)| = \nu_i$ f"ur $i=1, \ldots, m$. \\
\qed

\begin{theo}
\label{verpol1}
Mit den Algorithmen \ref{alg} und \ref{alg0} ist eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ berechenbar, deren Elemente modulo $m$ paarweise inkongruente Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$ haben.
\end{theo}

\subsection{Basis des Vektorraums {\boldmath ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$}}
\label{basl}
\markboth{\small \sc Basis des Vektorraums ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$, $T$-Mengen}{ \sc Basen f"ur die Vektorr"aume ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$}

\begin{prop}
\label{basL}
Sei $r \geq 0$. Sei $\{u_1, \ldots, u_m\}$ eine \label{basl1} Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$, f"ur die $v_{P'_\infty}(u_i) \not \equiv v_{P'_\infty}(u_j) \ mod \ m$ f"ur $i, j=1, \ldots, m$ und $i \ne j$ gilt. Die Elemente $x^ju_i$ mit $0 \leq j$, $1\leq i \leq m$ und $jm - v_{P'_\infty}(u_i) \leq r$ bilden eine $\F_q$-Basis des Vektorraums ${\cal L}\left(rP'_\infty\right)$.
\end{prop}
\proof
Da ${\cal O}' = \bigcup_{s\geq 0}^{\infty} {\cal L}\left(sP'_\infty\right)$, gilt $z \in {\cal L}\left(rP'_\infty\right) \Longrightarrow z \in {\cal O}'.$ 
Damit gilt nach Lemma \ref{lraum2}: 
$${\cal L}\left(rP'_\infty\right) = \left\{ z \in {\cal O}' \ | \ v_{P'}(z) \geq -v_{P'}(rP'_\infty) \mbox{ f"ur alle } P' \in \PP_{F'}\right\}.$$ 
Da f"ur jedes $z \in {\cal O}'$ gilt
$$v_{P'}(z) \geq 0 = v_{P'}\left(rP'_\infty\right) \mbox{ \ \ \ \ f"ur } P' \in \PP_{F'} \setminus \{P'_\infty\},$$
schreiben wir ${\cal L}(rP'_\infty)$ wie folgt: 
$${\cal L}\left(r P'_\infty\right) = \left\{ z \in {\cal O}' \ | \ v_{P'_\infty}(z) \geq -v_{P'_\infty}(rP'_\infty)\right\}=  \left\{ z \in {\cal O}' \ | \ v_{P'_\infty}(z) \geq -r\right\}.$$
Da ${\cal O}' = \sum_{i=1}^m \F_q[x] u_i$, hat jedes $0 \ne z \in {\cal O}'$ die Darstellung 
$$z = \sum_{i=1}^m \sum_{j\geq 0}\gamma_{ij} x^j u_i$$ 
mit nur endlich vielen $\gamma_{ij} \in \F_q^*$ f"ur $i =1, \ldots, m$ und $j\geq 0$. 

Die Elemente $x^j u_i$ f"ur $i=1, \ldots, m$ und f"ur $j \geq 0$ haben paarweise inkongruente Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$, weil $u_1, \ldots, u_m$ modulo $m$ paarweise inkongruente Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$ haben und $v_{P'_\infty}(x) = - m$ gilt. Damit folgt nach Lemma \ref{dreieck}
$$v_{P'_\infty}(z) = min_{ij}\left\{v_{P'_\infty}\left(\gamma_{ij} x^j u_i\right)\right\} = min_{ij}\left\{v_{P'_\infty}\left(x^j u_i\right)\right\}.$$ 
Damit $z \in {\cal L}\left(rP'_\infty\right)$, mu"s $v_{P'_\infty}(z) \geq -r$ gelten. Daher mu"s f"ur jedes $j\geq 0$ und f"ur jedes $i \in \{1, \ldots, m\}$ gelten: 
$$v_{P'_\infty}\left(x^j u_i \right) \geq -r.$$ 
Daraus folgt die zus"atzliche Bedingung f"ur $i$ und $j$: 
$$r \geq jm - v_{P'_\infty}(u_i).$$
\qed
\vs

{\bf {\boldmath Wir verfolgen das Ziel, die Berechnung von Basen f"ur ${\cal L}\left(rP'_\infty \right)$ zu implementieren. F"ur die Verk"urzung der Rechenzeit des entsprechenden Programms brauchen wir noch zwei wichtige Ergebnisse. }}

\subsection{\boldmath{$T$}-Mengen}
\label{tmengen}

Gelten \label{tmengen1} die Voraussetzungen von Abschnitt \ref{gb1}, so haben wir f"ur $i=1, \ldots, m$:
$$w_i^Q = \sum_{j=1}^m b_{i j} w_j \mbox{ \ \ \ mit } b_{ij} \in \F_q(x).$$
Wir definieren Mengen $B_i$ f"ur $i=1, \ldots, m$
$$B_i:= \{ j \in \{1, \ldots, m\} \  |  \ b_{i j} \ne 0 \}$$
und f"uhren eine "Aquivalenzrelation auf der Menge $\{w_1, \ldots, w_m\}$ wie folgt ein:
$$w_i \sim w_j \Longleftrightarrow B_i = B_j.$$

\markboth{\small \sc Ablauf der Algorithmen \ref{alg} und \ref{alg0} "uber $\F_p$}{ \sc Basen f"ur die Vektorr"aume ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$}

Sei $\bar{m}:=  |\{w_1, \ldots, w_m\}/\sim |.$
Wir w"ahlen eine beliebige Reihenfolge der "Aquivalenzklassen, bezeichnen f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}$ mit 
$$\mbox{$T_t$ die $t$-te "Aquivalenzklasse}$$ 
und setzen f"ur $t = 1, \ldots, \bar{m}$
$$\begin{array}{l}
\tilde{I}_t:= \{i \in \{1, \ldots, m\} \  | \  w_i \in T_t\},\\ 
J_t:= \{j \in \{1, \ldots, m\} \  | \  b_{ij} \ne 0 \mbox{ f"ur } i \in \tilde{I}_t\}.
\end{array}$$ 
Damit gilt $J_t = B_i$ f"ur alle $i \in \tilde{I}_t$, und die Mengen $\tilde{I}_t$ sind paarweise disjunkt f"ur $t = 1, \ldots, \bar{m}$.

\begin{prop}
\label{nulla}
Sei $k \in \{2, \ldots,m\}$. Sei $t' \in \{1, \ldots, \bar{m}\},$ so dass $w_k \in T_{t'}$. Sind die Mengen $J_t$ f"ur $t = 1, \ldots, \bar{m}$ paarweise disjunkt, gilt $c_{(i,k)}=0$ f"ur alle $i \in \{1, \ldots, k-1\} \setminus \tilde{I}_{t'}$. Damit sieht $u_k$ nach dem Ablauf des Algorithmus \ref{alg} wie folgt aus:
$$u_k = \sum_{i \in \tilde{I}_{t'}\cap\{1, \ldots,k\}} c_{(i,k)} w_i.$$
\end{prop}
\proof
Wir fixieren ein $k \in \{2, \ldots, m\}$ und verfolgen Algorithmus \ref{alg} ab Schritt 2 unter den Voraussetzungen der Proposition. 

Da $\{1, \ldots, m\} = \dot{\bigcup}_{t=1}^{\bar{m}}J_t$ gilt, hat $z(e_1, \ldots, e_l)^Q$ in (\ref{zhochq}) in Schritt 2.2 folgende Darstellung:

$$z(e_1, \ldots, e_l)^Q  = \sum_{t=1}^{\bar{m}}\left(\sum_{j \in J_t} \left( \frac{\displaystyle \sum_{ i \in \tilde{I}_t\cap\{1, \ldots,k\}} \sum_{s=0}^{l_i} e_{\phi(i,s)} x^{sQ} b^{''}_{ij}}{kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})} \right) w_j\right)$$
mit $b^{''}_{ij} = b_{ij} \cdot kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj}) \in \F_q[x]$ f"ur $i \in \tilde{I}_t \cap \{1, \ldots, k\}$, f"ur $j \in J_t$ und f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}.$
Mit dem gleichen Verfahren wie in Schritt 2.2 mu"s analog zu (\ref{condit}) f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}$ und f"ur $j \in J_t$ gelten:
$$\left( \frac{\displaystyle \sum_{ i \in \tilde{I}_t \cap\{1, \ldots,k\}} \sum_{s=0}^{l_i} e_{\phi(i,s)} x^{sQ} b^{''}_{ij}}{kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})} \right) \in \F_q(e_1, \ldots, e_l)[x].$$ 
Wir schreiben das Tupel $e=(e_1, \ldots, e_l)$ koordinatenweise so um, dass zuerst $e_{\phi(i,s)}$ mit $i \in \tilde{I}_1\cap\{1, \ldots,k\}$, dann $e_{\phi(i,s)}$ mit $i \in \tilde{I}_2\cap\{1, \ldots,k\}$ und so weiter bis einschlie\ss lich $e_{\phi(i,s)}$ mit $i \in \tilde{I}_{\bar{m}}\cap\{1, \ldots,k\}$  nacheinander darin vorkommen.\footnote{Sei zum Beispiel $\tilde{I}_t \cap\{1, \ldots,k\}= \{i_1, \ldots, i_s\}$ f"ur ein $t \in \{1, \ldots, \bar{m}\}$. Damit ist $$e = (\underbrace{e_{\phi(i, 0)}, \ldots}_{i \in \tilde{I}_1\cap\{1, \ldots,k\}}, \ldots, \underbrace{e_{\phi(i_1, 0)}, \ldots, e_{\phi(i_1, l_{i_1})},\ldots, e_{\phi(i_s, 0)},e_{\phi(i_s, l_{i_s})}}_{\mbox{f"ur } \tilde{I}_t\cap\{1, \ldots,k\}},\ldots, \underbrace{\ldots, e_{\phi(i, l_i)}}_{i \in \tilde{I}_{\bar{m}} \cap\{1, \ldots,k\}}).$$}   
Damit sieht das lineare Gleichungssystem (\ref{lgserst}) aus Schritt 2.2 wie folgt aus:
$$\left( \begin{array}{cccc} 
\left( \begin{array}{c} S^{(1)} \times L^{(1)} \end{array}\right) & (0)  & \cdots &(0) \\  
(0) & \left( \begin{array}{c} S^{(2)} \times L^{(2)} \end{array}\right)   & \cdots  & (0) \\  
\vdots &\vdots & \vdots &\vdots \\
(0) &(0) & \cdots& \left( \begin{array}{c} S^{(\bar{m})} \times L^{(\bar{m})}   \end{array}\right)
\end{array}\right) \times e^T = \left(\begin{array}{c}0\\ \vdots \\ \vdots\\ 0 \end{array} \right), $$ 
wobei jeder Block $\left(S^{(t)} \times L^{(t)}\right)$ f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}$ eine Matrix darstellt mit \\$S^{(t)} := |J_t| \cdot \sum_{j \in J_t}\left(h_j^{(r_j)} +1\right)$ Zeilen\footnote{$r_j$ ist auf Seite \pageref{rjj} definiert.} und mit $L^{(t)}:= \sum_{i \in \tilde{I}_t}(l_i +1)$ Spalten.

Wir wissen nach den Schritten 2.3 und 2.4, dass es im L"osungsraum dieses Systems genau eine nichttriviale L"osung $(e_1^*, \ldots, e_l^*) \in \F_q^l$ gibt, so dass f"ur \\$i=1, \ldots, k$ gilt:
$$c_{(i,k)} = a_i(e_1^*, \ldots, e_l^*, x).$$ 
Da nach der Voraussetzung der Proposition $k \in \tilde{I}_{t'}$ gilt, werden die $c_{(i,k)}$ f"ur $i \in \tilde{I}_{t'}\cap\{1, \ldots,k\}$ und insbesondere der Idealerzeuger $c_{(k,k)} \ne 0$ durch den Block $\left(S^{(t')} \times L^{(t')}\right)$ des Systems bestimmt. Wegen der Eindeutigkeit der L"osung $(e_1^*, \ldots, e_l^*)$, und da dieses lineare Gleichungssystem homogen ist, folgt $e^*_{\phi(i,s)} = 0$ f"ur $i \in \{1, \ldots, k-1\} \setminus \tilde{I}_{t'}$ und f"ur $s=0, \ldots, l_i$. Damit sind die $c_{(i,k)} =0$ f"ur $i \in \{1, \ldots, k-1\} \setminus \tilde{I}_{t'}$.\\
\qed
\\

Erf"ullt die in Abschnitt \ref{vorber}(2) gew"ahlte Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ die Voraussetzung von Proposition \ref{nulla}, setzen wir in Algorithmus \ref{alg}  in Schritt 2.2 (siehe (\ref{aikbesch})) f"ur $i \in \{1, \ldots, k-1\} \setminus \tilde{I}_{t'}$: $a_{i}(e_1, \ldots, e_l, x):=0$.  Damit wird die Division in (\ref{condit}) in Schritt 2.2 nur f"ur die $j \in J_{t'}$ durchgef"uhrt. 


\subsection{{\boldmath Ablauf der Algorithmen \ref{alg} und \ref{alg0} "uber  $\F_p$}}
\label{uberp}

Da die \label{uberp1} Algorithmen \ref{alg} und \ref{alg0} zu den Berechnungen von Ganzheitsbasen f"ur $F'/\F_q(x)$ geschrieben worden sind, finden alle Berechnungen nat"urlicherweise "uber $\F_q$ statt. Insbesondere wird $Q=q^{n_1}$ f"ur ein ${n_1} \in \N$ gew"ahlt. Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, dass es unter gewissen Voraussetzungen m"oglich ist, alle Berechnungen "uber $\F_p$ durchzuf"uhren und trotzdem eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ zu bestimmen. Dabei werden wir $Q = p^{n_2}$ f"ur ein $n_2 \in \N$ w"ahlen.\footnote{Dies verk"urzt die Rechenzeit des Algorithmus \ref{alg}. So sei zum Beispiel $q=27$ und $v_{P'}(w_i) > -7$ f"ur alle $P' \in \PP_{F'} \setminus \{P'_\infty\}$ und f"ur $i=1, \ldots, m$. Laut Algorithmus \ref{alg} w"ahlen wir $Q=27$ mit $n_1=1$. Gelten jedoch die n"otigen Voraussetzungen, k"onnen wir "uber $\F_p$ rechnen. So werden wir dann $Q=9$ mit $n_2=2$ w"ahlen. Es macht einen Unterschied, ob die Basisdarstellungen von $w_i^{27}$ oder von $w_i^9$ f"ur $i=1, \ldots, m$ berechnet werden m"ussen.}
\\
 
Sei $L/\F_p$ ein algebraischer Funktionenk"orper mit dem Konstantenk"orper $\F_p$, so dass $F' = L \F_q$ eine algebraische Konstantenk"orpererweiterung von $L/\F_p$ ist. Nach Proposition  \ref{konster}(2) ist $\F_q$ der volle Konstantenk"orper von $F'/\F_q$. 
Nach Proposition \ref{konster}(1) ist $L/\F_p(x)$ eine endliche Funktionenk"orpererweiterung vom Grad $m$. Da $F'/\F_q(x)$ und $\F_q(x)/\F_p(x)$ separabel sind, ist $L/\F_p(x)$ ebenso separabel.

Sei $Q_\infty$ der Pol von $x$ in $\F_p(x)$.  Da $P_\infty$ voll verzweigt in $F'/\F_q(x)$ ist, und da nach Proposition \ref{konster}(3) jede Stelle von $L/\F_p$ unverzweigt in $F'/L$ ist, bzw. jede Stelle von $\F_p(x)/\F_p$ unverzweigt in $\F_q(x)/\F_p(x)$ ist, folgt nach Proposition \ref{ablem}, dass $Q_\infty$ voll verzweigt in $L/\F_p(x)$ ist. Daher existiert genau eine Stelle $Q'_\infty \in \PP_L$ mit $O'_\infty | Q_\infty$. 

Sei ${\cal O}_L := \left\{ z \in L \ | \ v_{Q'}(z) \geq 0 \mbox{ f"ur alle } Q' \in \PP_L \setminus \{Q'_\infty\} \right\}.$ 

Sei $g(L)$ das Geschlecht von $L/\F_p$. 

Sei $g(F')$ das Geschlecht von $F'/\F_q$. 

\begin{lem}
\label{longpol}
Gelte die obige Situation und sei $\alpha \in \N \cup \{0\}$. Dann ist $\alpha$ eine Polzahl von $P'_\infty$ dann und nur dann, wenn $\alpha$ eine Polzahl von $Q'_\infty$ ist.
\end{lem}
\proof
$\Longleftarrow$ Sei $\alpha$ eine Polzahl von $Q'_\infty$. Nach Lemma \ref{polzahl}(2) existiert ein $z \in {\cal O}_L$ mit $v_{Q'_\infty}(z) = - \alpha.$ Wegen ${\cal O}_L \subseteq {\cal O}'$ und $e(P'_\infty | Q'_\infty) = 1$ gilt: $z \in {\cal O}'$ mit $v_{P'_\infty}(z) = - \alpha.$ Dann ist nach Lemma \ref{polzahl}(2) $\alpha$ eine Polzahl von $P'_\infty$. 

$\Longrightarrow$  Sei $\alpha$ eine Polzahl von $P'_\infty$, aber eine Fehlzahl von $Q'_\infty$. Nach ``$\Longleftarrow$`` folgt: jede Fehlzahl von $P'_\infty$ ist eine Fehlzahl von $Q'_\infty$. Damit gilt wegen $\alpha$
$$\left\{ \beta \ | \ \beta \mbox{ ist eine Fehlzahl von } P'_\infty\right\} \subsetneqq \left\{ \gamma \ | \ \gamma \mbox{ ist eine Fehlzahl von } Q'_\infty\right\}.$$
Daraus folgt nach Theorem \ref{2g}
$$g(F') < g(L).$$
Nach Proposition \ref{konster}(4) gilt jedoch
$$g(F') = g(L).$$
Damit folgt, dass $\alpha$ eine Polzahl auch von $Q'_\infty$ ist.\\
\qed 

\begin{prop}
Gelte die obige Situation. Dann ist jede Ganzheitsbasis f"ur $L/\F_p(x)$ mit Elementen, deren Polordnungen an der Stelle $Q'_\infty$ modulo $m$ paarweise inkongruent sind, eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ mit Elementen, deren Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$ ebenso modulo $m$ paarweise inkongruent sind.
\end{prop}
\proof 
Sei $\{y_1, \ldots, y_m\}$ eine Ganzheitsbasis f"ur $L/\F_p(x)$, so dass f"ur $i \ne j$ und $i, j=1, \ldots, m$ gilt: $v_{Q'_\infty}(y_i) \not \equiv v_{Q'_\infty}(y_j) \ mod  \ m$. Nach Theorem \ref{gbvp} gilt f"ur $i=1, \ldots, m$: 
$$v_{Q'_\infty}(y_i) = min\{\alpha \in \N \ | \ \alpha \mbox{ ist eine Polzahl von } \\Q'_\infty \mbox{ mit } \alpha \equiv i \ mod \ m\}.$$ 
 
Wegen ${\cal O}_L \subseteq {\cal O}'$ gilt $y_1, \ldots, y_m \in {\cal O}'$, und wegen $e(P'_\infty | Q'_\infty) = 1$ gilt f"ur \\$i=1, \ldots, m$ 
$$v_{P'_\infty}(y_i) = v_{Q'_\infty}(y_i).$$ 
Damit und nach Lemma \ref{longpol} folgt
$$v_{P'_\infty}(y_i) = min\{\alpha \in \N \ | \ \alpha \mbox{ ist eine Polzahl von $P'_\infty$ mit } \alpha \equiv i \ mod \ m\}.$$ 

Nach Theorem \ref{gbvp} ist $\{y_1, \ldots, y_m\}$ eine Ganzheitsbasis f"ur $F'/\F_q(x)$ mit $v_{P'_\infty}(y_i) \not \equiv v_{P'_\infty}(y_j) \ mod  \ m$ f"ur $i, j=1, \ldots, m$ und $i \ne j$. \\
\qed

\markboth{\small \sc Ein Algorithmus zur Berechnung einer Basis von ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$}{ \sc Basen f"ur die Vektorr"aume ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$}

\subsection{Ein Algorithmus zur Berechnung einer Basis von {\boldmath ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$}}
\label{endal}

Unter den \label{endal1} Voraussetzungen aus den Abschnitten \ref{vorber} und \ref{gb1} und mit den Ergebnissen des Kapitels \ref{bdvl} k"onnen Basen von ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$ wie folgt berechnet werden.

\begin{alg}
\label{algor}
Berechnung einer Basis von ${\cal L}\left(r P'_\infty\right)$ f"ur ein $r \geq 0$.
\end{alg}

{\bf Schritt 1} Wir w"ahlen wie in Abschnitt \ref{vorber}(2) eine Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ f"ur $F'/\F_q(x)$. Wir nehmen an, dass $v_{P'_\infty}(w_i) \not \equiv v_{P'_\infty}(w_j) \ mod \ m$ f"ur $i,j =1, \ldots, m$ und $i \ne j$ gilt. 

{\bf Schritt 2} Wir w"ahlen wie in Abschnitt \ref{vorber}(4) eine Zahl $Q \in \N$, so dass $Q = q^{n_1}$ f"ur ein $n_1 \in \N$. 

{\bf Schritt 3} Wir bestimmen  f"ur $i=1, \ldots, m$:
$$w_i ^Q = \sum_{j=1}^m b_{ij} w_j \mbox{ mit } b_{ij} \in \F_q(x) \mbox{ f"ur }i, j=1, \ldots, m.$$

{\bf Zu den Schritten 1-3 ist noch folgendes zu sagen:} wie wir die Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ und die Zahl $Q$ w"ahlen und die Basisdarstellungen von $w_1^Q, \ldots, w_m^Q$ bestimmen, h"angt von der Struktur von $F'/\F_q(x)$ ab. 

{\bf Schritt 4} Wir definieren nach (\ref{grossdk}) in Abschnitt \ref{gb1} die Polynome $D_i$ f"ur $i =1, \ldots, m$. Siehe dazu auch Lemma \ref{dk} und Folgerung \ref{cpolyn}.

{\bf Schritt 5} Wir definieren wie in Abschnitt \ref{tmengen} Mengen $T_t$ f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}$. Wir testen, ob ihre Indexmengen $J_t$ f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}$ paarweise disjunkt sind. 

{\bf Schritt 6} Wir berechnen eine Ganzheitsbasis $\{u_1, \ldots, u_m\}$ f"ur $F'/\F_q(x)$ mittels Algorithmus \ref{alg}. Dabei ist zu beachten: sind $J_t$ f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}$ nicht paarweise disjunkt, verl"auft Algorithmus \ref{alg} exakt nach seiner Beschreibung. Sind $J_t$ f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}$ jedoch paarweise disjunkt, fixieren wir vor Schritt 2.2 den Index $t' \in \{1, \ldots \bar{m}\}$, f"ur den $w_k \in T_{t'}$ gilt. Nach Proposition \ref{nulla} werden $a_{i}(e_1, \ldots, e_l, x):=0$ (in (\ref{aikbesch}) in Schritt 2.2) f"ur $i \in \{1, \ldots, k-1\} \setminus \tilde{I}_{t'}$ gesetzt.

{\bf Schritt 7}  Wir bestimmen mittels Algorithmus \ref{alg0} eine Ganzheitsbasis $\{u^*_1, \ldots, u^*_m\}$ f"ur $F'/\F_q(x)$, deren Elemente modulo $m$ paarweise inkongruente Polordnungen an der Stelle $P'_\infty$ haben. 

{\bf Schritt 8} Wir berechnen nach Proposition \ref{basL} eine Basis des Vektorraums ${\cal L}(r P'_\infty)$. 
\\

{\bf {\boldmath Gelten die Voraussetzungen aus Abschnitt \ref{uberp}, so w"ahlen wir  in Schritt 1 eine Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ f"ur $F'/\F_q(x)$, allerdings "uber $\F_p$, und  in Schritt 2 die Zahl $Q=p^{n_2}$ f"ur ein $n_2 \in \N$. Damit werden alle Berechnungen in Algorithmus \ref{algor} "uber $\F_p$ stattfinden. }}
\\

Im n"achsten Kapitel werden wir einen Turm $(F_n)_{n \geq 0}$ algebraischer Funktionenk"orper betrachten, f"ur den Algorithmus \ref{algor} angewendet wird.





\newpage
\markboth{\small \sc Vorbereitungen}{ }

\section{Globale Ganzheitsbasen in einem Turm {\boldmath $(F_n)_{n \geq 0}$ algebraischer Funktionenk"orper und Basen f"ur die Vektorr"aume ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ }}
\label{gbfet}
 
\subsection{Vorbereitungen}
\label{turm1}
\markboth{\small \sc Vorbereitungen}{ \sc \ \ Ganzheitsbasen in einem Turm $(F_n)_{n \geq 0}$ und Basen von ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ }

Sei \label{turm11} $\F_{p^2}$ der endliche K"orper mit $p^2$ Elementen und Charakteristik $p > 2$, $p$ ist Primzahl. 

Sei ${\cal F} = (F_0, F_1, \ldots, F_n, \ldots)$ der wie folgt definierte Funktionenk"orperturm:
$$F_0=\F_{p^2}(x_0),$$
wobei $x_0$ transzendent "uber $\F_{p^2}$ ist, und
$$F_n = F_{n-1}(x_n) \mbox{ f"ur } n \geq 1,$$
wobei $x_n$ die folgende Gleichung erf"ullt

\begin{equation}
\label{turmeq}
x_n^2 = \frac{x_{n-1}^2+1}{2x_{n-1}}.
\end{equation}

Da $F_0/\F_{p^2}$ rational ist, bezeichnen wir mit $P_\infty$ den einzigen Pol von $x_0$ in $F_0$ und mit $P_\alpha \in \PP_{F_0}\setminus \{P_\infty\}$ die Stelle von $F_0/\F_{p^2}$, der das Polynom $x_0 - \alpha \in \F_{p^2}[x_0]$ entspricht. Nach Definition ist $P_\alpha$ die Nullstelle des Elements $x_0-\alpha$ in $F_0$.

Nach Proposition 5.3 \cite{hs1} ist der Verzweigungsort dieses Turms 
$$V({\cal F})= \{P_1, P_{-1}, P_{-I}, P_I, P_0,  P_\infty \},$$ 
wobei $I \in \F_{p^2}$ mit $I^2=-1$ ist. 

\begin{bem}
\label{artikel}
Nach dem Beweis von Proposition 5.3 \cite{hs1} gilt:
die Stellen $P_0$, $P_{ \pm I}$, $P_\infty$ sind voll verzweigt in $\cal F$,  und die Stelle $P_{-1}$ ist voll verzweigt in $\cal F$ ab dem Funktionenk"orper $F_2.$ Die Verzweigung "uber der Stelle $P_1$ ist komplexer und wird in K"urze genauer diskutiert.
\end{bem}

Wir definieren:
$${\cal S}_0 : = \PP_{F_0}\setminus \{P_\infty\},$$ 
$${\cal O}_0 := \displaystyle \bigcap_{P \in {\cal S}_0}{\cal O}_P = \F_{p^2}[x_0]  \subseteq F_0.$$

Sei $n \geq 1$. Nach Bemerkung \ref{artikel} existiert genau eine Stelle von $F_n/\F_{p^2}$, die "uber $P_\infty \in \PP_{F_0}$ liegt. Diese bezeichnen wir mit
$P^{(n)}_\infty.$ 
Damit definieren wir:
$${\cal S}_n: = \PP_{F_n}\setminus \left\{P^{(n)}_\infty\right\},$$
$${\cal O}_n:=ic_{F_n}({\cal O}_0) \subseteq F_n.$$
Die Stellen aus ${\cal S}_n$ bezeichnen wir mit $P^{(n)}$.
Nach Proposition \ref{ganzab} gilt:
$${\cal O}_n = \bigcap_{P^{(n)} \in {\cal S}_n} {\cal O}_{P^{(n)}} = \left\{ z \in F_n \ | \ v_{P^{(n)}}(z) \geq 0 \mbox{ f"ur alle } P^{(n)} \in {\cal S}_n \right\}.$$ 

Sei $P^{(n)} \in {\cal S}_n$ und $i \in \{1, \ldots, n\}$. Da $F_n/\F_{p^2}(x_i)$ eine Funktionenk"orpererweiterung ist, existiert nach Proposition \ref{fort} genau eine Stelle $Q^{(i)} \in \PP_{\F_{p^2}(x_i)}$, so dass $P^{(n)} \cap \F_{p^2}(x_i)= Q^{(i)}$. Ist $deg \ Q^{(i)} = 1$ und\\
i) ist $Q^{(i)}$ kein Pol von $x_i$ in $\F_{p^2}(x_i)$, dann existiert genau ein $\alpha \in \F_{p^2}$, so dass $<x_i -\alpha> = Q^{(i)}$, und wir schreiben $x_i\left(P^{(n)}\right) = \alpha$.\\
ii) ist $Q^{(i)}$ der Pol von $x_i$ in $\F_{p^2}(x_i)$, so schreiben wir $x_i(P^{(n)}) = \infty$.\\
Im Fall $P^{(n)} \cap F_0 \in \left\{ P_\alpha \ | \ \alpha \in \F_{p^2}\right\} \cup \{P_\infty \}$ schreiben wir jeweils $x_0\left(P^{(n)}\right) = \alpha$ und $x_0\left(P^{(n)}\right) = \infty$.

\begin{bem}
\label{ram1}
Aus der Gleichung (\ref{turmeq}) folgt: f"ur alle $t \in \N$, $t \geq 2$ existieren mindestens zwei Stellen $P^{(t)}_1$ und $P^{(t)}_2$ von $F_t/\F_{p^2}$, so dass
$$x_t\left(P^{(t)}_i\right) = (-1)^i I \mbox{ und } P^{(t)}_i \cap F_0 = P_1 \mbox{ f"ur } i=1, 2.$$
Sei $i \in \{1, 2\}$. Dann gilt:\\
1. $x_j\left(P^{(t)}_i\right) =1$ f"ur $j =0, \ldots, t-2.$\\
2. $x_{t-1}\left(P^{(t)}_i\right) = -1.$\\
3. F"ur alle $P^{(t+1)} \in {\cal S}_{t+1}$ mit $P^{(t+1)} \cap F_t = P^{(t)}_i$  gilt: $x_{t+1}\left(P^{(t+1)}\right) = 0$.\\
4. Sei $j \geq t+2$. Dann gilt f"ur alle $P^{(j)} \in {\cal S}_j$ mit $P^{(j)} \cap F_t = P^{(t)}_i$: $x_{j}\left(P^{(j)}\right) = \infty$.
 \end{bem}

Fixieren wir ein $t \geq 2$ aus Bemerkung \ref{ram1}, so sind die Verzweigungsindizes der Einschr"ankungen und der Fortsetzungen von $P^{(t)}_i$ f"ur $i=1, 2$ aus der folgenden Abbildung 1 abzulesen:

\begin{picture}(380, 235)

\put(150, 0) {Abbildung 1.}
\put(-8,30){\line(1,1){12}}
\put(18,30){\line(-1,1){12}}
\put(22,30){\line(1,1){12}}
\put(48,30){\line(-1,1){12}}
\put(52,30){.}
\put(58,36){.}
\put(64,42){.}
\put(70,48){.}
\put(76,54){.}
\put(108,30){.}
\put(102,36){.}
\put(96,42){.}
\put(90,48){.}
\put(84,54){.}
\put(112,30){\line(1,1){12}}
\put(138,30){\line(-1,1){12}}
\put(142,30){\line(1,1){12}}
\put(168,30){\line(-1,1){12}}
\put(172,30){\line(1,1){12}}
\put(198,30){\line(-1,1){12}}
\put(202,30){.}
\put(208,36){.}
\put(214,42){.}
\put(220,48){.}
\put(226,54){.}
\put(258,30){.}
\put(252,36){.}
\put(246,42){.}
\put(240,48){.}
\put(234,54){.}
\put(262,30){\line(1,1){12}}
\put(288,30){\line(-1,1){12}}
\put(292,30){\line(1,1){12}}
\put(318,30){\line(-1,1){12}}
\put(322,30){\line(1,1){12}}
\put(348,30){\line(-1,1){12}}

\put(7,45){\line(1,1){12}}
\put(33,45){\line(-1,1){12}}
\put(37,45){.}
\put(43,51){.}
\put(49,57){.}
\put(55,63){.}
\put(61,69){.}
\put(123,45){.}
\put(117,51){.}
\put(111,57){.}
\put(105,63){.}
\put(99,69){.}
\put(127,45){\line(1,1){12}}
\put(153,45){\line(-1,1){12}}
\put(157,45){\line(1,1){12}}
\put(183,45){\line(-1,1){12}}
\put(187,45){.}
\put(193,51){.}
\put(199,57){.}
\put(205,63){.}
\put(211,69){.}
\put(273,45){.}
\put(267,51){.}
\put(261,57){.}
\put(255,63){.}
\put(249,69){.}
\put(277,45){\line(1,1){12}}
\put(303,45){\line(-1,1){12}}
\put(307,45){\line(1,1){12}}
\put(333,45){\line(-1,1){12}}
\put(337,45){\line(1,1){10}}

\put(22,60){.}
\put(28,66){.}
\put(34,72){.}
\put(40,78){.}
\put(46,84){.}
\put(78,60){\line(-1,1){12}}
\put(82,60){\line(1,1){12}}
\put(138,60){.}
\put(132,66){.}
\put(126,72){.}
\put(120,78){.}
\put(114,84){.}
\put(142,60){\line(1,1){12}}
\put(168,60){\line(-1,1){12}}
\put(172,60){.}
\put(178,66){.}
\put(184,72){.}
\put(190,78){.}
\put(196,84){.}
\put(228,60){\line(-1,1){12}}
\put(232,60){\line(1,1){12}}
\put(288,60){.}
\put(282,66){.}
\put(276,72){.}
\put(270,78){.}
\put(264,84){.}
\put(292,60){\line(1,1){12}}
\put(318,60){\line(-1,1){12}}
\put(322,60){\line(1,1){10}}

\put(63,75){\line(-1,1){12}}
\put(67,75){\line(1,1){12}}
\put(93,75){\line(-1,1){12}}
\put(97,75){\line(1,1){12}}
\put(153,75){.}
\put(147,81){.}
\put(141,87){.}
\put(135,93){.}
\put(130,99){.}
\put(157,75){.}
\put(163,81){.}
\put(170,87){.}
\put(176,93){.}
\put(182,99){.}
\put(213,75){\line(-1,1){12}}
\put(217,75){\line(1,1){12}}
\put(243,75){\line(-1,1){12}}
\put(247,75){\line(1,1){12}}
\put(303,75){.}
\put(297,81){.}
\put(291,87){.}
\put(285,93){.}
\put(279,99){.}
\put(307,75){\line(1,1){10}}

\put(52,90){\line(1,1){12}}
\put(78,90){\line(-1,1){12}}
\put(82,90){\line(1,1){12}}
\put(108,90){\line(-1,1){12}}
\put(112,90){\line(1,1){12}}
\put(198,90){\line(-1,1){12}}
\put(202,90){\line(1,1){12}}
\put(228,90){\line(-1,1){12}}
\put(232,90){\line(1,1){12}}
\put(258,90){\line(-1,1){12}}
\put(262,90){\line(1,1){12}}

\put(67,105){\line(1,1){12}}
\put(93,105){\line(-1,1){12}}
\put(97,105){\line(1,1){12}}
\put(123,105){\line(-1,1){12}}
\put(127,105){.}
\put(133,111){.}
\put(139,117){.}
\put(145,123){.}
\put(151,129){.}
\put(183,105){.}
\put(177,111){.}
\put(171,117){.}
\put(165,123){.}
\put(159,129){.}
\put(187,105){\line(1,1){12}}
\put(213,105){\line(-1,1){12}}
\put(217,105){\line(1,1){12}}
\put(243,105){\line(-1,1){12}}
\put(247,105){\line(1,1){12}}
\put(273,105){\line(-1,1){12}}
\put(277,105){\line(1,1){10}}

\put(82,120){\line(1,1){12}}
\put(108,120){\line(-1,1){12}}
\put(112,120){.}
\put(117,126){.}
\put(123,132){.}
\put(129,138){.}
\put(135,144){.}
\put(198,120){.}
\put(192,126){.}
\put(186,132){.}
\put(180,138){.}
\put(174,144){.}
\put(202,120){\line(1,1){12}}
\put(228,120){\line(-1,1){12}}
\put(232,120){\line(1,1){12}}
\put(258,120){\line(-1,1){12}}
\put(262,120){\line(1,1){10}}

\put(97,135){.}
\put(103,141){.}
\put(109,147){.}
\put(114,153){.}
\put(120,159){.}
\put(153,135){\line(-1,1){12}}
\put(157,135){\line(1,1){12}}
\put(213,135){.}
\put(207,141){.}
\put(201,147){.}
\put(195,153){.}
\put(189,159){.}
\put(217,135){\line(1,1){12}}
\put(243,135){\line(-1,1){12}}
\put(247,135){\line(1,1){10}}

\put(138,150){\line(-1,1){12}}
\put(142,150){\line(1,1){12}}
\put(168,150){\line(-1,1){12}}
\put(172,150){\line(1,1){12}}
\put(228,150){.}
\put(222,156){.}
\put(216,162){.}
\put(210,168){.}
\put(204,174){.}
\put(232,150){\line(1,1){10}}

\put(127,165){\line(1,1){12}}
\put(153,165){\line(-1,1){12}}
\put(157,165){\line(1,1){12}}
\put(183,165){\line(-1,1){12}}
\put(187,165){\line(1,1){12}}

\put(142,180){\line(1,1){12}}
\put(168,180){\line(-1,1){12}}
\put(172,180){\line(1,1){12}}
\put(198,180){\line(-1,1){12}}
\put(202,180){\line(1,1){10}}

\put(157,195){\line(1,1){12}}
\put(183,195){\line(-1,1){12}}
\put(187,195){\line(1,1){10}}

\put(172,210){\line(1,1){10}}

\footnotesize
\put(-20, 30){$F_0$}
\put(-3, 46){$F_1$}
\put(72, 121){$F_t$}
\put(144, 195){$F_{2t}$}

\scriptsize
\put(11,20){$\F_{p^2}(x_1)$}
\put(43,20){$\F_{p^2}(x_2)$}
\put(123,20){$\F_{p^2}(x_{t-1})$}
\put(164,20){$\F_{p^2}(x_{t})$}
\put(195,20){$\F_{p^2}(x_{t+1})$}
\put(313,20){$\F_{p^2}(x_{2t})$}

\tiny
\put(-8,35){1}
\put(15,35){2}
\put(22,35){1}
\put(45,35){2}
\put(112,35){1}
\put(135,35){2}
\put(142,35){1}
\put(165,35){2}
\put(172,35){2}
\put(195,35){1}
\put(262,35){2}
\put(285,35){1}
\put(292,35){2}
\put(315,35){1}
\put(322,35){2}
\put(345,35){1}

\put(7,50){1}
\put(30,50){2}
\put(127,50){1}
\put(150,50){2}
\put(157,50){1}
\put(180,50){1}
\put(277,50){2}
\put(300,50){1}
\put(307,50){2}
\put(330,50){1}

\put(75,65){2}
\put(82,65){1}
\put(142,65){1}
\put(165,65){2}
\put(225,65){1}
\put(232,65){2}
\put(292,65){2}
\put(315,65){1}

\put(60,80){2}
\put(67,80){1}
\put(90,80){2}
\put(97,80){1}
\put(210,80){1}
\put(217,80){2}
\put(240,80){1}
\put(247,80){2}

\put(52,95){1}
\put(75,95){2}
\put(82,95){1}
\put(105,95){2}
\put(112,95){1}
\put(195,95){1}
\put(202,95){2}
\put(225,95){1}
\put(232,95){2}
\put(255,95){1}
\put(262,95){2}

\put(67,110){1}
\put(90,110){2}
\put(97,110){1}
\put(120,110){2}
\put(187,110){2}
\put(210,110){1}
\put(217,110){2}
\put(240,110){1}
\put(247,110){2}
\put(270,110){1}

\put(82,125){1}
\put(105,125){2}
\put(202,125){2}
\put(225,125){1}
\put(232,125){2}
\put(255,125){1}

\put(150,140){2}
\put(157,140){2}
\put(217,140){2}
\put(240,140){1}

\put(135,155){2}
\put(142,155){1}
\put(165,155){1}
\put(172,155){2}

\put(127,170){1}
\put(150,170){2}
\put(157,170){2}
\put(180,170){1}
\put(187,170){2}

\put(142,185){1}
\put(165,185){1}
\put(172,185){2}
\put(195,185){1}

\put(157,200){2}
\put(180,200){1}

\put(172,215){2}
\end{picture}
\\
\\
Damit ist die Verzweigung "uber $P_1 \in {\cal S}_0$ beschrieben.
\newpage

Sei $n \geq 1$. Wir assoziieren zu jeder Stelle $P^{(n)} \in {\cal S}_n$ eine Zahl $s \in \Z$ mit $-1 \leq s \leq n+3$ wie folgt:
\begin{tabbing}
xx\=xxxxxxxxxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> $s=-1, $\>  falls $P^{(n)} \cap F_0 = P_0$,\\
\> $s=0, $ \> falls $P^{(n)} \cap F_0 =P_{\pm I},$\\
\> $s=1, $ \> falls $P^{(n)} \cap F_0 =P_{-1},$\\
\> $s=t,$ \>  falls $P^{(n)} \cap F_0 =P_1, \ \ x_t \left(P^{(n)}\right)=\pm I$ \ \ \  f"ur $t =2, \ldots, n,$ \ ($n \geq 2$)\\
\> $s=n+1,$ \>  falls $P^{(n)} \cap F_0 =P_1, \ \ x_n\left(P^{(n)}\right)=-1,$\\
\> $s=n+2,$ \>  falls $P^{(n)} \cap F_0 =P_1, \ \ x_n\left(P^{(n)}\right)=1,$\\
\> $s=n+3, $ \>  falls $P^{(n)} \cap F_0 = P \in {\cal S}_0 \setminus V(\cal F).$\\
\end{tabbing}

\begin{lem}
\label{bewinturm}
Sei $s$ wie oben definiert, dann gilt f"ur $n \geq 1$
\[ \begin{array}{lcl}
v_{P^{(n)}}(x_0^2+1) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
2^n, & s=0\\
0, & s \ne 0
\end{array}
\right. \\
& & \\
v_{P^{(n)}}(x_0+1) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
\left \{ \begin{array}{ll}
1, & n=1, 2, \\
2^{n-2},  & n\geq 3,
\end{array} \right. & s=1\\
\ \  0, & s\ne 1
\end{array}
\right. \\
& & \\
v_{P^{(n)}}(x_0-1) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
0, & s \in \{-1, 0, 1, n+3\} \\
2^{n-2s}, &  2\leq s < \frac{n}{2}\\
1, &  \frac{n}{2}\leq s \leq n+2
\end{array}
\right.
\end{array} \]
und f"ur $i=0, \ldots, n$
\[ v_{P^{(n)}}(x_i)= \left\{ \begin{array}{ll}
\left \{ \begin{array}{ll}
0, & i <s+1,\\
2^{n-i},   & i=s+1, \\  
-2^{n-i}, & i > s+1,
\end{array} \right. & -1\leq s < \frac{n}{2}\\
& \\
\left\{ \begin{array}{ll}
0, &  i <s+1,\\
2^{s-1}, & i=s+1, \\  
-2^{2s-i}, & i > s+1,
\end{array} \right. & \frac{n}{2}\leq s < n\\
& \\
\ \  0, & n\leq s\leq n+3
\end{array}
\right. \]
\end{lem}
\proof
Sei $P^{(n)} \in {\cal S}_n$. Dann existiert genau eine Stelle $P \in {\cal S}_0$, so dass $P^{(n)}|P$ und f"ur $z \in F_0$ gilt:
\begin{equation}
\label{eindex}
v_{P^{(n)}}(z) = e(P^{(n)}|P) v_{P}(z).
\end{equation}

Sei $z = x_0^2+1 = (x_0+I)(x_0-I).$ Nach Bemerkung \ref{artikel} ist $P_{\pm I}$ voll verzweigt in $\cal F$ und nach Definition ist $x_0 \mp I \in \F_{p^2}[x_0]$ ein Primelement f"ur diese Stelle. Damit gilt nach (\ref{eindex}):
$$ v_{P^{(n)}}(x_0^2+1)= \left\{ \begin{array}{ll}
e(P^{(n)}|P), & P = P_{\pm I}\\
0, & P \ne P_{\pm I}
\end{array}
\right. 
= \left\{ \begin{array}{ll}
2^n, & s=0\\
0, & s \ne 0
\end{array}
\right.$$

Sei $z = x_0+1.$ Nach Bemerkung \ref{artikel} ist $P_{-1}$ voll verzweigt in $\cal F$ ab dem Funktionenk"orper $F_2$, und nach der definierenden Gleichung (\ref{turmeq}) ist sie unverzweigt in $F_2/F_0.$ Nach Definition ist $x_0 +1 \in \F_{p^2}[x_0]$ ein Primelement f"ur diese Stelle. Damit folgt nach (\ref{eindex}):
$$ v_{P^{(n)}}(x_0+1)= \left\{ \begin{array}{ll}
e(P^{(n)}|P), & P = P_{-1}\\
0, & P \ne P_{-1}
\end{array}
\right. 
= \left\{ \begin{array}{ll}
\left \{ \begin{array}{ll}
1, & n =1, 2, \\
2^{n-2},  & n\geq 3,
\end{array} \right. & s=1\\
\ \ 0, & s\ne 1
\end{array}
\right.$$

Sei $z = x_0 -1.$ 
Nach Definition ist $x_0-1 \in \F_{p^2}[x_0]$ ein Primelement f"ur $P_1$. Dann folgt nach (\ref{eindex}) und Abbildung 1:
$$ v_{P^{(n)}}(x_0-1)= \left\{ \begin{array}{ll}
e(P^{(n)}|P), & P = P_{1}\\
0, & P \ne P_{1}
\end{array}
\right. =
\left\{ \begin{array}{ll}
2^{n-2s}, &  2\leq s < \frac{n}{2}\\
1, &  \frac{n}{2}\leq s \leq n+2\\
0, & s \in \{-1, 0, 1, n+3\}
\end{array}
\right.$$

Nun berechnen wir $v_{P^{(n)}}(x_i)$ f"ur $i=0, \ldots, n$ und f"ur alle $P^{(n)} \in {\cal S}_n$. Nach (\ref{eindex}) gilt:
\begin{equation}
\label{e1index}
v_{P^{(n)}}(x_0) = e(P^{(n)}|P) v_{P}(x_0).
\end{equation}

F"ur jede Stelle $P^{(n)} \in {\cal S}_n$ existiert genau eine Stelle $P^{(i)} \in {\cal S}_i$, so dass \\$P^{(n)} \cap F_i = P^{(i)}$ f"ur $i=1, \ldots, n-1$, und f"ur diese existiert genau eine Stelle $Q^{(i)} \in \PP_{\F_{p^2}(x_i)}$ mit $P^{(i)} \cap F_{p^2(x_i)} = Q^{(i)}$ f"ur $i=1, \ldots, n$. Damit gilt f"ur \\$i=1, \ldots, n-1$
\begin{equation}
\label{eeindex}
v_{P^{(n)}}(x_i) = e(P^{(n)}|P^{(i)}) e(P^{(i)}|Q^{(i)}) v_{Q^{(i)}}(x_i) 
\end{equation}
und 
\begin{equation}
\label{e2index}
v_{P^{(n)}}(x_n) =  e(P^{(n)}|Q^{(n)}) v_{Q^{(n)}}(x_n).
\end{equation}

Es gilt f"ur $i=1, \ldots, n$: $v_{Q^{(i)}}(x_i)  \ne 0$ $\Longleftrightarrow$ $Q^{(i)}$ ist die Nullstelle oder der Pol von $x_i$ in $\F_{p^2}(x_i)$.  Ist $Q^{(i)}$ die Nullstelle von $x_i$ in $\F_{p^2}(x_i)$, gilt $x_i(P^{(n)}) =0$ und $v_{Q^{(i)}}(x_i) =1$. Ist $Q^{(i)}$ der Pol von $x_i$ in $\F_{p^2}(x_i)$, gilt $x_i(P^{(n)}) = \infty$ und $v_{Q^{(i)}}(x_i) =-1$.


Wir unterscheiden weiter f"unf F"alle, je nachdem, welche Stelle $P^{(n)}\cap F_0$ ist.
 
1. Sei $P^{(n)} \cap F_0 = P_0.$ Damit folgt aus der Gleichung (\ref{turmeq}) $x_0(P^{(n)}) = 0$ und $x_i(P^{(n)}) = \infty$ f"ur $i =1, \ldots, n.$ Nach Bemerkung \ref{artikel} ist $P_0$ voll verzweigt in $\cal F$, und nach der Gleichung (\ref{turmeq}) ist die Stelle $P^{(i)} \in {\cal S}_i$ mit $P^{(i)} \cap F_0 = P_0$ unverzweigt in $F_i /\F_{p^2}(x_i)$ f"ur $i \geq 1$. Damit und nach (\ref{e1index}) - (\ref{e2index}) folgt f"ur \\$i=0, \ldots, n$ ($s = -1$):
\begin{eqnarray*}
v_{P^{(n)}}(x_i) & = & \left\{ \begin{array}{ll} e(P^{(n)}|P_0) v_{P_0}(x_0), & i=0 \\ e(P^{(n)}|P^{(i)}) e(P^{(i)}|Q^{(i)})v_{Q^{(i)}}(x_i), & i = 1, \ldots, n-1 \\  e(P^{(n)}|Q^{(n)}) v_{Q^{(n)}}(x_n), & i=n \end{array} \right.\\
& = & \left\{ \begin{array}{ll} 2^n, & i=0 \\ 2^{n-i}\cdot (-1), & i =1, \ldots, n \end{array} \right. \\
& = & \left\{ \begin{array}{ll} 2^{n-i}, & i=s+1, \\ -2^{n-i}, & i > s+1, \end{array} \right. s=-1
\end{eqnarray*}

2. Sei $P^{(n)} \cap F_0 = P_{\pm I}.$ Dann folgt aus der Gleichung (\ref{turmeq}) $x_0(P^{(n)}) = \pm I$, $x_1(P^{(n)}) = 0$ und $x_i(P^{(n)}) = \infty$ f"ur $i =2, \ldots, n.$ Nach Bemerkung \ref{artikel} ist $P_{\pm I}$ voll verzweigt in $\cal F$, und nach der Gleichung (\ref{turmeq}) ist die Stelle $P^{(i)} \in {\cal S}_i$ mit $P^{(i)} \cap F_0 = P_{\pm I}$ unverzweigt in $F_i /\F_{p^2}(x_i)$ f"ur $i \geq 1$. Damit und nach (\ref{e1index}) - (\ref{e2index}) folgt f"ur $i=0, \ldots, n$ ($s=0$):
$$v_{P^{(n)}}(x_i) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & i=0 \\ 2^{n-1}, & i=1 \\ -2^{n-i}, & i = 2, \ldots, n \end{array} \right. =
\left\{ \begin{array}{ll} 0, & i < s+1, \\ 2^{n-i}, & i=s+1, \\ -2^{n-i}, & i > s+1, \end{array} \right. s=0$$
   
3. Sei $P^{(n)} \cap F_0 = P_{-1}.$ Dann folgt aus der definierenden Gleichung (\ref{turmeq}) $x_0(P^{(n)}) = -1$, $x_1(P^{(n)}) = \pm I$, $x_2(P^{(n)}) = 0$ und $x_i(P^{(n)}) = \infty$ f"ur $i = 3, \ldots, n.$ Nach Bemerkung \ref{artikel} ist $P_{-1}$ voll verzweigt in $\cal F$ ab dem Funktionenk"orper $F_2$ und unverzweigt in $F_2/F_0$. Nach der Gleichung (\ref{turmeq})  ist jede Stelle $P^{(i)} \in {\cal S}_i$ mit $P^{(i)} \cap F_0 = P_{-1}$ unverzweigt in $F_i /\F_{p^2}(x_i)$ f"ur $i \geq 2$, und jede Stelle $P^{(1)} \in {\cal S}_1$ mit $P^{(1)} \cap F_0 = P_{-1}$ ist voll verzweigt in $F_1 /\F_{p^2}(x_1)$. Damit und nach (\ref{e1index}) - (\ref{e2index}) folgt f"ur $i=0, \ldots, n$ ($s = 1$):
$$v_{P^{(n)}}(x_i) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & i = 0,1 \\ 2^{n-2}, & i=2 \\ -2^{n-i}, & i =3, \ldots, n \end{array} \right. =
\left\{ \begin{array}{ll} 0, & i < s+1, \\ 2^{n-i}, & i=s+1, \\ -2^{n-i}, & i > s+1, \end{array} \right. s=1$$

4. Sei $P^{(n)} \cap F_0 = P_{1}.$ Damit ist $s \in \{2, \ldots, n+2\}.$ Nach Bemerkung \ref{ram1}, Abbildung 1 und (\ref{e1index}) - (\ref{e2index})  gelten die drei folgenden Unterf"alle:

4.1. Ist $2 \leq s < \frac{n}{2},$ gilt:
\[ \begin{array}{ccl}
0 \leq i < s +1  & \Longleftrightarrow & x_i\left(P^{(n)}\right) \in \{\pm 1, \pm I\}  \\
& \Longleftrightarrow & v_{P^{(n)}}(x_i) =0\\
i=s+1  & \Longleftrightarrow & x_i\left(P^{(n)}\right) = 0 \\
& \Longleftrightarrow & v_{P^{(n)}}(x_i) = 2^{n-2s}\cdot 2^{s-1} = 2^{n-i}\\
s+1 < i \leq n & \Longleftrightarrow &x_i\left(P^{(n)}\right) = \infty   \\
& \Longleftrightarrow & v_{P^{(n)}}(x_i) =  2^{n-2s} \cdot 2^{2s-i} \cdot (-1) = - 2^{n-i}  \mbox{ f"ur }  i<2s \\
& &\mbox{und } v_{P^{(n)}}(x_i) =  - 2^{n-i}  \mbox{ f"ur }   i \geq 2s 
\end{array}\]

4.2. Ist $\frac{n}{2} \leq s < n,$ gilt analog Fall 4.1:
\[ \begin{array}{ccl}
0 \leq i < s +1 & \Longleftrightarrow  & v_{P^{(n)}}(x_i) =0\\
i=s+1 & \Longleftrightarrow & v_{P^{(n)}}(x_i) = 1 \cdot 2^{2s-(s+1)} = 2^{s-1}\\
s+1< i \leq n & \Longleftrightarrow & v_{P^{(n)}}(x_i) = 2^{2s-i} \cdot (-1) =  - 2^{2s-i}
\end{array} \]

4.3. Ist $n \leq s \leq n+2,$ gilt $x_i\left(P^{(n)}\right) \in \{\pm 1, \pm I\}$, und damit $v_{P^{(n)}}(x_i) =0$ f"ur $i=0, \ldots, n$.

5. Nach dem Beweis von Proposition 5.3 \cite{hs1} folgt f"ur $i=0, \ldots, n$:
$$x_i(P^{(n)}) \in \{0, \infty\} \Longrightarrow P^{(n)} \cap F_0 = P \in V({\cal F}).$$
Daher gilt $v_{P^{(n)}}(x_i) =0$ f"ur $P^{(n)} \in {\cal S}_n$ mit $P^{(n)} \cap F_0 = P  \in {\cal S}_0 \setminus V(\cal F)$ und f"ur $i=0, \ldots, n$. Dabei ist $s = n+3$. 

Wenn wir alle f"unf F"alle zusammenfassen, bekommen wir die Aussage des Lemmas.\\
\qed


\subsection{Eine Basis f"ur {\boldmath $F_n/F_0$ nach Punkt (2) in Abschnitt \ref{vorber}}}
\label{bwww}
\markboth{\small \sc Eine Basis f"ur $F_n/F_0$ nach Punkt (2) in Abschnitt \ref{vorber}}{ \sc Ganzheitsbasen in einem Turm $(F_n)_{n \geq 0}$ und Basen von ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ }

Wir \label{bwww1} setzen 
$$\alpha_1:=\frac{x_1}{x_0^2+1},$$
\begin{equation}
\label{alphadef}
\alpha_2:=\frac{x_2}{x_0+1},
\end{equation}
$$\alpha_i:=\frac{x_i}{(x_0-1)^{2^{i-2}}} \mbox{ f"ur } i=3, \ldots, n,$$
und 
$$\beta_i:=\frac{1}{\alpha_i} \mbox{ f"ur } i=1, \ldots, n.$$
Wir definieren f"ur $n \geq 1$
$${\cal N}:=\{1, \ldots, n\},$$ 
$$m := 2^n.$$
Da $|\{V \ | \ V \subseteq {\cal N}\}| = m$, existiert eine Bijektion $\theta : \{1, \ldots, m\} \to \{ V \ | \ V \subseteq {\cal N}\}.$ Wir setzen f"ur $j=1, \ldots, m$ 
\begin{equation}
\label{imengen}
V_j:= \theta(j)
\end{equation} 
und damit 
\begin{equation}
\label{fnwj}
w_j := \prod_{i \in V_j} \alpha_i. 
\end{equation}
Wir werden weiter schreiben 
$$\alpha_i \ | \ w_j \Longleftrightarrow i \in V_j.$$ 

Sei $n \geq 1.$ Nun berechnen wir $v_{P^{(n)}_\infty}(w_j)$ f"ur $j=1, \ldots, m$. Da $P_\infty \in \PP_{F_0}$ voll verzweigt in ${\cal F}$ ist, und da nach der Gleichung (\ref{turmeq}) die Stelle $P^{(i)} \in {\cal S}_i$ mit $P^{(i)} \cap F_0 = P_0$ unverzweigt in $F_i / \F_{p^2}(x_i)$ f"ur $i\geq 1$ ist, folgt $v_{P^{(n)}_\infty}(x_i) = - 2^{n-i}$ f"ur $i=0, \ldots, n$. Daher gilt f"ur $j=1, \ldots, m$:
\begin{equation}
\label{polberechnung}
\begin{array}{lll}
v_{P^{(n)}_\infty}(w_j) & = & \displaystyle v_{P^{(n)}_\infty}\left(\prod_{i \in V_j} \alpha_i\right) = \sum_{i \in V_j}v_{P^{(n)}_\infty}(\alpha_i) \\
& = & \displaystyle \sum_{i=1}^n \left( -2^{n-i} + 2^n deg \ f_i\right) \sigma_{ij}, \\
\end{array}
\end{equation}
wobei f"ur $i \in {\cal N}$ gilt: mit $f_i \in \F_{p}[x_0]$ sind die Nenner von $\alpha_i$ in der Darstellung (\ref{alphadef}) bezeichnet, und es gilt 
$\sigma_{ij} := \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \alpha_i \ | \ w_j \\ 0, & \mbox{ sonst}\end{array}\right.$. 

Da  $v_{P^{(n)}_\infty}(w_j) \equiv  \sum_{i=1}^n \left( -2^{n-i}\right) \sigma_{ij}  \ mod \ m $ und $\sum_{i \in V_{j_1}} 2^i \ne \sum_{i \in V_{j_2}} 2^i$  f"ur $V_{j_1}  \ne V_{j_2}$ (nach (\ref{imengen}) definiert) gilt, folgt 
$$v_{P^{(n)}_\infty}(w_i) \not \equiv v_{P^{(n)}_\infty}(w_j) \ mod \ m \mbox{ f"ur } i \ne j , \ i, j=1, \ldots, m.$$ 

{\bf {\boldmath Daher bilden $w_1, \ldots, w_m \in F_n$ eine Basis f"ur $F_n/F_0$.}}

\begin{lem}
\label{basturm}
Sei $n \geq 1$. F"ur die oben definierte Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ f"ur $F_n/F_0$ gilt: 
$${\cal O}_n \subseteq \sum_{i=1}^m {\cal O}_0 w_i.$$
\end{lem}
\proof
Wir fixieren ein $i \in {\cal N}.$ Da $F_i=F_{i-1}(x_i)$ und $[F_i : F_{i-1}]=2$, ist $\{1, \beta_i\}$ eine Basis f"ur $F_i/F_{i-1}$.

\bh  $\left\{ \frac{1}{2}, \frac{\alpha_i}{2}\right\}$ ist die duale Basis zu $\{1, \beta_i\}$ f"ur $F_i/F_{i-1}$. \\
\beweis
Sei $f_i$ der Nenner von $\alpha_i$ in der Darstellung (\ref{alphadef}). Dann ist das Minimalpolynom von $\beta_i$: $\varphi(T)=T^2-\frac{2f_i^2 x_{i-1}}{x_{i-1}^2+1} \in F_{i-1}[T].$ Da $\varphi(\beta_i) = 0$, gilt $\varphi(T)=(T-\beta_i)(T+\beta_i)$ wegen $\beta_i^2=\frac{2f_i^2 x_{i-1}}{x_{i-1}^2+1}$. Es gilt $\varphi'(\beta_i)=2\beta_i$. Nach dem Beweis von Theorem III.5.10 \cite{hs} ist $\left\{\frac{1}{2\beta_i}, \frac{\beta_i}{2\beta_i}\right\}= \left\{ \frac{1}{2}, \frac{\alpha_i}{2}\right\}$ die duale Basis zur Basis $\{1, \beta_i\}$ f"ur $F_i/F_{i-1}$. $\lhd$

Nach Lemma \ref{bewinturm} folgt $v_{P^{(n)}}(\beta_i)\geq 0$ f"ur alle $P^{(n)} \in {\cal S}_n$. Daher ist $\beta_i \in {\cal O}_n$. 
 Da $\beta_i \in F_i$ und ${\cal O}_i = F_i \cap {\cal O}_n$, gilt $\beta_i \in {\cal O}_i.$ So ist $\{1, \beta_i\}$ eine Basis f"ur $F_i/F_{i-1}$ mit Elementen aus ${\cal O}_i$. Da ${\cal O}_i = ic_{F_i}({\cal O}_{i-1})$, folgt nach der Behauptung und Theorem \ref{stbasen}(2):
$${\cal O}_i \subseteq \frac{1}{2}{\cal O}_{i-1} + \frac{\alpha_i}{2}{\cal O}_{i-1}.$$ 
Da $\frac{1}{2} \in \F_p$ ist, gilt 
$${\cal O}_i \subseteq {\cal O}_{i-1} + {\alpha_i}{\cal O}_{i-1}.$$
Da diese Inklusion f"ur alle $i=1, \ldots, n$ gilt, folgt:
\begin{eqnarray*}
{\cal O}_n &\subseteq &{\cal O}_{n-1} + {\alpha_n}{\cal O}_{n-1} \\
&\subseteq &{\cal O}_{n-2} + {\alpha_{n-1}}{\cal O}_{n-2} + \alpha_n {\cal O}_{n-2} + \alpha_n \alpha_{n-1}{\cal O}_{n-2}\\
& \subseteq &\ldots \\
&\subseteq &\sum_{i=1}^m {\cal O}_0 w_i.
\end{eqnarray*}
\qed

\subsection{Die Zahl Q nach Punkt (4) in Abschnitt \ref{vorber}}
\label{qzq}

{\bf Seien \label{qzq1} {\boldmath $w_1, \ldots, w_m$ und ${\cal N}$} wie in Abschnitt \ref{bwww} gegeben.}

\begin{lem}
\label{zahlq}
F"ur jede Zahl $Q \in \N$ mit 
\[ Q > \left\{ \begin{array}{ll}
2^{n-2}+2^{2n-3}, &  n\geq 2\\
1, & n=1
\end{array} \right. \]
gilt 
$$v_{P^{(n)}}(w_i) > -Q$$ 
f"ur alle $P^{(n)} \in {\cal S}_n$ und f"ur $i=1, \ldots, m$.
\end{lem}
\proof
Wir fixieren den Index $j' \in \{1, \ldots, m\}$, f"ur den gilt
$$w_{j'} = \prod_{i=1}^n \alpha_i.$$ 
Wegen $\beta_i = \frac{1}{\alpha_i} \in {\cal O}_n$ folgt $v_{P^{(n)}}(\alpha_i )\leq 0$ f"ur alle $P^{(n)} \in {\cal S}_n$ und f"ur $i \in {\cal N}$. Damit gilt f"ur alle $P^{(n)} \in {\cal S}_n$ und f"ur $j=1, \ldots, m$:
$$v_{P^{(n)}}(w_{j'}) = \sum_{i=1}^n v_{P^{(n)}}(\alpha_i) \leq \sum_{i \in V_j} v_{P^{(n)}}(\alpha_j) = v_{P^{(n)}}(w_j).$$
W"ahlen wir eine Zahl $Q \in \N$ so, dass 
\begin{equation}
\label{qzahl}
v_{P^{(n)}}(w_{j'}) > -Q
\end{equation}
f"ur alle $P^{(n)} \in {\cal S}_n$ gilt, folgt dann 
$$v_{P^{(n)}}(w_j) > -Q$$
f"ur alle $P^{(n)} \in {\cal S}_n$ und f"ur $j=1, \ldots, m$.
Um eine Zahl $Q$ zu w"ahlen, so dass (\ref{qzahl}) erf"ullt ist, sch"atzen wir $min\left\{v_{P^{(n)}}\left(\prod_{j=1}^n \alpha_j\right) \ | \ P^{(n)} \in {\cal S}_n\right\}$ ab.

Sei $P^{(n)} \in {\cal S}_n$.
Nach Lemma \ref{bewinturm} gilt:
\begin{eqnarray*}
v_{P^{(n)}}(\alpha_1)&\geq &-2^{n-1} \hspace{5mm} \mbox{f"ur } n\geq 1,\\
v_{P^{(n)}}(\alpha_2)&\geq &-2^{n-2} \hspace{5mm} \mbox{f"ur } n\geq  2.
\end{eqnarray*}
Damit sind die F"alle f"ur $n=1,2$ beschrieben.\footnote{Es gilt f"ur $n=2$: $2^{n-1} = 2^{2n-3}.$}

\markboth{\small \sc Die Zahl Q nach Punkt (4) in Abschnitt \ref{vorber}}{ \sc Ganzheitsbasen in einem Turm $(F_n)_{n \geq 0}$ und Basen von ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ }

Sei $n \geq 3$. Nach Lemma \ref{bewinturm} gilt f"ur $i=3, \ldots, n$:
\[ v_{P^{(n)}}(x_i) \geq \left\{ \begin{array}{ll}
-2^{n-i}, & -1\leq s < \frac{n}{2}\\
-2^{2s-i}, & \frac{n}{2} \leq s < n\\
\ \ 0, & n\leq s \leq n+3
\end{array} \right. \]
Da $i \leq n$, gilt
\[\begin{array}{ll} 
-2^{n-i} \geq -2^{n-i}\cdot 2^{n-2} & \mbox{ f"ur }n \geq 3, \\
\\
-2^{2s-i} \geq -2^{n-i}\cdot 2^{n-2} & \mbox{ f"ur } \frac{n}{2} \leq s < n.
\end{array}\] 
Daraus folgt f"ur $i=3, \ldots, n$ 
$$v_{P^{(n)}}(x_i)\geq -2^{n-i}\cdot 2^{n-2}.$$ 
Nach Lemma \ref{bewinturm} gilt
$$v_{P^{(n)}}\left((x_0-1)^{2^{i-2}}\right)  = \left\{ \begin{array}{ll} 2^{i-2} \cdot v_{P^{(n)}}(x_0-1), & \mbox{falls } P^{(n)} \cap F_0 = P_1\\
0, & \mbox{sonst} \end{array} \right.$$
\hspace*{38mm}$\leq  \ 2^{i-2} \cdot 2^{n-3}.$\\
Nun folgt f"ur $i=3, \ldots, n$: 
$$v_{P^{(n)}}(\alpha_i)\geq -2^{n-i}\cdot 2^{n-2} - 2^{i-2} \cdot 2^{n-3}.$$
Damit haben wir f"ur $w_{j'}$:
\begin{eqnarray*}
v_{P^{(n)}}(w_{j'}) & = & \sum_{i=1}^n v_{P^{(n)}}(\alpha_i)\\
&\geq & -2^{n-1} -2^{n-2}- \sum_{i=3}^n\left(2^{n-3} \cdot 2^{i-2}+ 2^{n-2} \cdot 2^{n-i}\right)\\
& = & -2^{n-1} -2^{n-2}- 2^{n-2} \sum_{i=3}^n\left(2^{i-3}+ 2^{n-i}\right)\\
& = & -2^{n-1} -2^{n-2}- 2^{n-2}\left( \sum_{s=0}^{n-3}2^s+ \sum_{s=0}^{n-3}2^s\right)\\
& = & -2^{n-1} -2^{n-2}- 2^{n-1} \sum_{s=0}^{n-3}2^s\\
& = & -2^{n-1} -2^{n-2}- 2^{n-1} \left(2^{n-2}-1\right)\\
& = & -2^{n-2}-2^{2n-3}.
\end{eqnarray*}
\qed

\subsection{Anwendung von Algorithmus \ref{algor}, seine Komplexit"at und Implementierung in der Programmiersprache von Maple 7 }
\label{programm}
\markboth{\small \sc Anwendung von Algorithmus \ref{algor}, Komplexit"at und Implementierung \ }{ \sc Ganzheitsbasen in einem Turm $(F_n)_{n \geq 0}$ und Basen von ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ }

\subsubsection{Grundlegende Komplexit"atsabsch"atzungen} 
\label{ergcomp}

Sei $X, Y \subset \N$ und seien \label{ergcomp1} $f: X \to \R$ und $h: Y \to \R$. Dann schreiben wir $h \in O(f)$, falls ein $c \geq 0$ und ein $n_0 \in \N $ existieren, so dass f"ur alle $n \geq n_0 $ gilt:
$$n \in X \cap Y \mbox{ und } h(n) \leq c f(n).$$

Wir werden bei der Absch"atzung der Komplexit"at des Algorithmus \ref{algor} zur Berechnung einer Basis des Vektorraums ${\cal L}\left(r P^{(n)}_\infty\right)$ (wir betrachten den in Abschnitt \ref{turm1} definierten Turm ${\cal F}$ algebraischer Funktionenk"orper) annehmen, dass die Operationen ``ganze Zahl  modulo einer  Primzahl``, ``+``, ``-``, ``$\cdot$``, ``/``, bzw. die Relationen ``$>$``, ``$\geq$``, ``$<$``, ``$\leq$`` zwischen zwei ganzen Zahlen jeweils Zeit $O(1)$ ben"otigen.

Seien $f(x), g(x) \in \F_p[x]$ als Summen der Potenzen von $x$ mit Koeffizienten aus $\F_p$ dargestellt. Im folgenden bezeichnen wir mit 
$$\mbox{{\bf  {\boldmath ``$f(x)$ multiplizieren mit $g(x)$}``}}$$ 
das Aufschreiben $f(x)g(x)$ formal als Produkt und mit 
$$\mbox{{\bf ``ausmultiplizieren {\boldmath von $f(x)g(x)$}``}}$$ 
die Berechnung des Produkts $f(x)g(x)$.

Nach \cite{gra}, \cite{knuth1} und \cite{knuth2} erfordern die aufgelisteten Operationen folgende angegebene Zeiten: 
$$C(Berechnung \ von \ ggT(f(x),g(x))) = O(deg \ f(x) \cdot deg \ g(x))$$
$$C(Berechnung \ von \ f(x) + g(x)) = O(max\{deg \ f(x), deg \ g(x)\})$$
$$C(Ausmultiplizieren \ von \ f(x) \cdot g(x)) = O(deg \ f(x) \cdot deg \ g(x))$$
$$C\left(\begin{array}{c}Berechnung \ des  \ Rests \ der \\ Division \ von \  f(x) \ durch \ g(x)\end{array} \right) = O(deg \ g(x) \cdot (deg \ f(x) -deg \ g(x)))$$ 
Nach \cite{knuth2} und \cite{rabin} kostet die Faktorisierung von $f(x)$ "uber $\F_p$ folgende Zeit:
$$C(Faktorisierung \ von \ f(x)) = \left\{ \begin{array}{l}
O(p \cdot deg^3 \ f(x)), \mbox{ f"ur kleine } p\\
O(p \cdot deg^3 \ f(x) \cdot log^3 \deg \ f(x)),  \mbox{ f"ur  gro"se } p
\end{array} \right.$$
Da wir aber vorausgesetzt haben, dass die Operation ``mod p`` Zeit $O(1)$ ben"otigt, kann $p$ in den Absch"atzungen weggelassen werden.

F"ur die Komplexit"at der Berechnung des L"osungsraums eines linearen Gleichungssystems mit $n$ Gleichungen benutzen wir die Absch"atzung f"ur die Komplexit"at des Gau"sschen Algorithmus f"ur eine $[n \times n]$-Matrix nach \cite{gra} und \cite{aho}:
$$C\left(\begin{array}{c}Bestimmung \ des \ L"osungsraums \ eines \ linearen \\ Gleichungssystems \ mit \ n \ Gleichungen \end{array} \right) = O(n^3).$$

Seien $A, B$ zwei beliebige Mengen mit $t$ Elementen. Dann ben"otigt nach \cite{aho} und \cite{knuth3} 

- jede der Operationen $A \cup B, A \cap B, A\setminus B$ und die Abfrage $a \in A$ Zeit $O(t)$,  

- die Feststellung $A = B$ Zeit $O(t^2)$, 

- die Operation $A \ \dot {\cup} \ B$ Zeit $O(1)$ unter der Voraussetzung, dass $A \cap B = \emptyset$ bekannt ist.

Die Gesamtkomplexit"at des Algorithmus \ref{algor} ergibt sich aus den Komplexit"aten der Berechnungen in den Schritten 1 - 8. Wir werden in den Abschnitten, in denen jeweils ein Schritt durchgef"uhrt wird, die Algorithmen zu den Berechnungen aus diesem Schritt angeben,  ihre Komplexit"at absch"atzen, die Absch"atzungen erl"autern und eine Implementierung in der Programmiersprache von Maple 7 angeben. 

Die Gesamtkomplexit"at des Algorithmus \ref{algor} zur Berechnung einer Basis von ${\cal L}\left(r P^{(n)}_\infty\right)$  wird  in Abh"angigkeit von der Anzahl der rationalen Stellen von $F_n/\F_{p^2}$ abgesch"atzt.

\subsubsection{Vorbereitungen zum Programm}
\label{zuturm}

In den \label{zuturm1} n"achsten Abschnitten wird Algorithmus \ref{algor} in der Programmiersprache von Maple 7 implementiert. Wir zeigen zuerst, dass Algorithmus \ref{algor} "uber $\F_p$ ablaufen wird, bzw. alle Berechnungen in Maple 7 modulo $p$ stattfinden werden. 

F"ur die in Abschnitt \ref{bwww} gew"ahlte Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ f"ur $F_n/F_0$ gilt
$$w_i \in \F_p(x_0, x_1, \ldots, x_n) \mbox{ f"ur } i=1, \ldots, m,$$
und die Voraussetzungen von Abschnitt \ref{uberp} sind erf"ullt.\footnote{Als $L$ wird der K"orper $\F_p(x_0, \ldots, x_n)$ betrachtet, wobei $x_0$ transzendent "uber $\F_{p^2}$ ist und jedes $x_i$ die Gleichung (\ref{turmeq}) (Seite \pageref{turmeq})  f"ur $i\geq 1$ erf"ullt.} Daher setzen wir   
$$Q := min\left\{\ p^a \ | \  a \in \N, \mbox{ und $p^a$ erf"ullt Lemma \ref{zahlq}}\right\}.$$ 
Damit werden alle Berechnungen in Algorithmus \ref{algor} "uber $\F_p$ ablaufen. \\

{\bf Input des Programms:}
\begin{tabbing}
xxx\=xx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
$n$\> - \> der Index, f"ur den wir die Funktionenk"orpererweiterung $F_n/F_0$ betrachten.\\
$p$ \> - \> die Charakteristik des Grundk"orpers $\F_{p^2}$, $p \ne 2.$\\
$r$\> - \> eine nichtnegative ganze Zahl, die den Vektorraum ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ bestimmt.\\
\end{tabbing}
\newpage
{\bf Liste aller globalen Variablen:}
\begin{tabbing}
xxxxxxxx\=xx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
$m$ \> - \> der Grad der Funktionenk"orpererweiterung $[F_n:F_0],$ wird in der \\
\> \> Prozedur {\sc Basis} berechnet.\\
$w||i$ \> - \> das Basiselement $w_i$, definiert nach (\ref{fnwj}) in Abschnitt \ref{bwww}, wird in \\
\> \> der Prozedur {\sc Basis} berechnet.\\
$infval||i$ \> - \> $v_{P^{(n)}_\infty}(w_i)$, wird nach (\ref{polberechnung}) aus Abschnitt \ref{bwww} in der Prozedur {\sc Basis} \\
\> \> berechnet.\\
$Q$ \> - \> $p^a$, wird nach Lemma \ref{zahlq} in der Prozedur {\sc ZahlQ} berechnet.\\
$W||i$ \> - \> die Basisdarstellung von $w_i^Q$ bez"uglich $\{w_1, \ldots, w_m\},$ wird in der \\
\> \> Prozedur {\sc Basisdarstellung} berechnet.\\
$b(i, j)$ \> - \> der Koeffizient $b_{ij}$ aus der Basisdarstellung von $w_i^Q = \sum_{j=1}^m b_{ij} w_j,$ \\
\> \> wird in der Prozedur {\sc Basisdarstellung} berechnet.\\
$D||i$ \> - \> das Polynom $D_i$, definiert nach (\ref{grossdk}) in Abschnitt \ref{gb1}, wird in der \\
\> \> Prozedur {\sc DPolynome} berechnet.\\
$maxdeg$ \> - \> $max\{deg(D_1), \ldots, deg(D_m)\}$, wird in der Prozedur {\sc DPolynome} \\
\> \> berechnet.\\
$T||t$ \> - \> die Menge $T_t$, definiert in Abschnitt \ref{tmengen}, wird in der Prozedur \\
\> \> {\sc TMengen} berechnet.\\
$J||t$ \> -\> die Indexmenge $J_t$, definiert in Abschnitt \ref{tmengen}, wird in der Prozedur \\
\> \> {\sc TMengen} berechnet.\\
$number$ \> -\> die Zahl $\bar{m}-1$, wird in der Prozedur {\sc TMengen} nach Abschnitt \ref{tmengen} \\
\> \> berechnet.\\
$Test$ \> - \> die Aussage, ob die $J_t$ f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}$ paarweise disjunkt sind:  $true$\\
\> \> oder $false$.\\
$tmenge$ \> - \> die Menge $T_{t'} \ni w_k$ f"ur ein $k \in \{1, \ldots, m\}$, wird in der Hilfsprozedur \\
\> \> {\sc TMenge} bez"uglich der Variablen $k$ berechnet, {\sc TMenge} wird in der \\
\> \> Prozedur {\sc Ganzheitsbasis} aufgerufen.\\
$e[i, s]$ \> - \> die Unbestimmte $e_{\phi(i,s)}$, definiert nach (\ref{aikbesch})  in Schritt 2.2  in Algorith-\\ 
\> \> mus \ref{alg}, wird in der Prozedur {\sc Ganzheitsbasis} berechnet.\\
$a||i$ \> - \> $a_i(e_1, \ldots, e_l, x)$, definiert nach (\ref{aikbesch}) in Schritt 2.2  in Algorithmus \ref{alg}, \\
\> \> wird in der Prozedur {\sc Ganzheitsbasis} berechnet.\\
$A||i$ \> - \> $a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q$, wird nach Schritt 2.2  in Algorithmus \ref{alg} mit der\\
\> \> Annahme $e_i^Q = e_i$ f"ur $i=1, \ldots, l$ in der Prozedur {\sc Ganzheitsbasis} \\
\> \> berechnet.\\
$u||k$ \> - \> das Ganzheitsbasiselement $u_k$ aus den Algorithmen \ref{alg} und \ref{alg0},\\
\> \> wird in der Hilfsprozedur {\sc DefOne} berechnet, {\sc DefOne} wird in den \\
\> \> Prozeduren {\sc Ganzheitsbasis} und {\sc VPolordnungen} aufgerufen.\\
$c(i, k)$ \> - \> der Koeffizient $c_{(i,k)}$ aus der Basisdarstellung von $u_k = \sum_{i=1}^m c_{(i,k)} w_i$, \\
\> \> wird in den Prozeduren {\sc Ganzheitsbasis} und {\sc VPolordnungen} \\
\> \> berechnet.\\
$val||k$ \> - \> $v_{P^{(n)}_\infty}(u_k)$, wird in der Hilfsprozedur {\sc DefOne} berechnet, {\sc DefOne}\\
\> \>  wird in den Prozeduren {\sc Ganzheitsbasis} und {\sc VPolordnungen} \\
\> \> aufgerufen.\\
$mval||k$ \> - \> $v_{P^{(n)}_\infty}(u_k) \ mod \ m$, wird in der Hilfsprozedur {\sc DefOne} berechnet, \\
\> \> {\sc DefOne} wird in den Prozeduren {\sc Ganzheitsbasis} und \\
\> \> {\sc VPolordnungen} aufgerufen.\\
$basis$ \> - \> eine Basis des Vektorraums ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$, wird in der Prozedur \\
\> \> {\sc LBasis} berechnet.
\end{tabbing}

Das Programm f"ur Algorithmus \ref{algor} ist in Prozeduren aufgeteilt, die in der richtigen Reihenfolge aufgerufen werden m"ussen. \\

{\bf Aufrufreihenfolge der Prozeduren:}
\begin{tabbing}
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
{\sc  Basis();}\\
{\sc  ZahlQ();}\\
{\sc  Basisdarstellung();}\\
{\sc  DPolynome();}\\
{\sc  TMengen();}\\
{\sc  DisjunktTest();}\\
{\sc  Ganzheitsbasis();}\\
{\sc  VPolordnungen();}\\
{\sc  LBasis();}
\end{tabbing}

Die Beschreibungen dieser Prozeduren werden in den n"achsten Abschnitten angegeben.

\subsubsection{Berechnung der Basis {\boldmath $\{w_1, \ldots, w_m\}$ f"ur $F_n/F_0$}}
\label{schritt1}

Nach \label{schritt11} Schritt 1 in Algorithmus \ref{algor} berechnen wir die nach (\ref{fnwj}) definierte Basis $\{w_1, \ldots, w_m\}$ f"ur $F_n/F_0$ und nach (\ref{polberechnung}) die Bewertungen $v_{P^{(n)}_\infty}(w_j)$ f"ur $j=1, \ldots, m$, wobei $m=2^n$ ist.

Seien $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ mit der Darstellung  (\ref{alphadef}) und $\alpha_0 :=1$ gegeben. Dann k"onnen wir die Menge $\{V_j  \subseteq \{1, \ldots, n\} \ | \ V_j \mbox{ ist nach (\ref{imengen}) definiert, } j=1, \ldots, m\}$  in Zeit $O(m)$ konstruieren. Nach  (\ref{fnwj}) berechnen wir \\
\[ \left. \begin{array}{l}
\mbox{for $j=1, \ldots, m$}\\
\hspace*{5mm}w_j = \prod_{i \in V_j} \alpha_i \ mod \ p \ \ \mbox{(Multiplikation)}\\
\mbox{end for}
\end{array} \right\} \mbox{ in Zeit } O(mn) \]
und nach (\ref{polberechnung})
\[ \left. \begin{array}{l}
\mbox{for $j=1, \ldots, m$}\\
\hspace*{5mm}v_{P^{(n)}_\infty}(w_j) = 2^n deg_{x_0}(denominator(w_j))\\
\hspace*{5mm}\mbox{for } i=1, \ldots, n \\
\hspace*{10mm}v_{P^{(n)}_\infty}(w_j) =v_{P^{(n)}_\infty}(w_j) - 2^{n-i}deg_{x_i}(numerator(w_j))\\
\hspace*{5mm}\mbox{end for}\\
\mbox{end for} 
\end{array} \right\} \mbox{ in Zeit } O(mn^2) \]

Damit ist 
$$\mbox{\fbox{$C(Berechnung \ der \ Basis \ \{w_1, \ldots, w_m\} \ f"ur \ F_n/F_0) = O\left(2^n n^2\right).$}}$$

Die Berechnung von $w_j$ und $v_{P^n_\infty}(w_j)$ f"ur $j=1, \ldots, m$ findet mittels der Prozedur {\sc Basis} statt.
Au"serdem werden in der Prozedur {\sc Basis} die Elemente $w_1, \ldots, w_m$ mittels der Hilfsprozedur {\sc Sort} sortiert und neu indiziert, so dass gilt:

\begin{equation}
\label{umord}
v_{P^{(n)}_\infty}(w_1) >  v_{P^{(n)}_\infty}(w_2) > \ldots  > v_{P^{(n)}_\infty}(w_m).\footnote{Da $v_{P^{(n)}_\infty}(w_i) \not \equiv v_{P^{(n)}_\infty}(w_j) \ mod \ m$ f"ur $i \ne j$ (siehe Abschnitt \ref{bwww}), gilt immer die ``echt gr"o\ss er als`` Beziehung.} 
\end{equation}    
Diese Reihenfolge von $w_1, \ldots, w_m$ ben"otigen wir in Abschnitt \ref{schritt3}.

\begin{tabbing}
{\sc \Large Basis} := proc()\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local i, j, alpha, sorted, powerset;\> \> \> \\
\> global m, w, infval; \> \> \> \\
 \> alpha$||$0 := 1; \> \> \> \\
 \> alpha$||$1 := x$||$1/(x$||$0{\bf \^{}}2 + 1); \> \> \> \\
 \> if n $>$ 1 then \> \> \> \\
\> \> alpha$||$2 := x$||$2/(x$||$0 + 1); \> \> \\
\> \> if n $>$ 2 then \> \> \\
\> \> \> for i from 3 to n do \> \\
\> \> \> \> alpha$||$i := x$||$i/(x$||$0 + (p - 1)){\bf \^{}}(2{\bf \^{}}(i - 2));\\
\> \> \> end do; \> \\
\> \> end if; \> \> \\
\> end if; \> \> \> \\
\> with(combinat, choose); \> \> \> \\
\> powerset := choose([seq(alpha$||$i, i = 1..n)]);\> \> \> \\
\> m := nops(powerset);\> \> \> \\
\> for i from 1 to m do \> \> \> \\
\> \> w$||$i := product(powerset[i][j], j = 1..nops(powerset[i])); \> \> \\
\> end do; \> \> \> \\
\> for j from 1 to m do \> \>\>\\
 \> \> infval$||$j := 2{\bf \^{}}n*degree(1/w$||$j, x$||$0);  \>\> \\
\> \> for i from 1 to n do \> \>\\
 \> \> \> infval$||$j := infval$||$j  - 2{\bf \^{}}(n - i)*degree(w$||$j, x$||$i);\> \\
 \> \> end do; \>\> \\
 \> end do; \> \>\> \\
\> sorted := Sort([seq(infval$||$i, i = 1..m)], [seq(w$||$i, i = 1..m)]); \> \>\> \\
\>  for i from 1 to m do \> \>\> \\
\> \> infval$||$i := sorted[1][i]; \>\> \\		
\> \> w$||$i := sorted[2][i]; \> \>\\
 \> end do;\> \>\> \\
\poptabs
end proc; 
\end{tabbing}

Die Hilfsprozedur {\sc Sort} hat als Input zwei gleichlange Listen. Die erste Liste enth"alt nichtnegative\footnote{Folgt aus (\ref{polberechnung}), Seite \pageref{polberechnung}.} ganze Zahlen (in unserem Fall $ - \ [infval_1, \ldots, infval_m])$, die absteigend sortiert werden sollen. Dabei "andert sich die Reihenfolge der Elemente der zweiten Liste (in unserem Fall ist die zweite Liste $ - \ [w_1, \ldots, w_m]$) entsprechend der Sortierung der Elemente der ersten Liste. Als Output bekommen wir zwei umgeordnete Listen, und es gilt f"ur diese Implementierung:
$$\mbox{\fbox{$C(Sortierung \ von \ w_1, \ldots, w_m) = O(2^{2n}).$}}$$ 
\begin{tabbing}
{\sc \Large Sort} := proc(LPol, LBas)\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local i, j, index, Liste, resultp, resultb; \> \> \> \\
\> Liste := LPol; \> \> \> \\
\> resultp := [ ]; \> \> \> \\ 
\> resultb := [ ]; \> \> \> \\
\> for i from 1 to nops(Liste) do \> \> \> \\
\> \> index := 1; \> \> \\
\> \> for j from 2 to nops(Liste) do \> \> \\
\> \> \> if Liste[j] $>$ Liste[index] then \> \\
\> \> \> \> index := j; \\
\> \> \> end if; \> \\
\> \> end do; \> \> \\
\> \> resultp := [op(resultp), LPol[index]]; \> \> \\
\> \> resultb := [op(resultb), LBas[index]]; \> \> \\
\> \> Liste[index] := -1; \> \> \\
\> end do; \> \> \> \\
\> return [resultp, resultb]; \> \> \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}

Damit "andert sich die gesamte Komplexit"at von Schritt 1 zu $O(2^{2n})$. 

Es existieren nach \cite{knuth3} und \cite{aho} effizientere Sortierungsalgorithmen, da aber, wie wir sp"ater sehen werden, die Gesamtkomplexit"at des Algorithmus \ref{algor} h"oher als mit $O(m^2)$ abgesch"atzt wird, ist die vorhandene Implementierung ausreichend. 

\begin{bemsub}
\label{bpr}
Da $1 \in \{w_1, \ldots, w_m\}$, folgt  $w_m=1$ nach dem Ablauf der Prozedur {\sc Basis}. Damit gilt:\\
1. $w_m^Q=1 \Longrightarrow V_m = \emptyset$.\footnote{Definiert in (\ref{imengen}), Seite \pageref{imengen}.}\\
2. $w_i^Q = \sum_{j=1}^{m-1} b_{ij}w_j$ f"ur $i=1, \ldots, m-1$ (folgt aus Konstruktion (\ref{fnwj}) von $w_1, \ldots, w_m$ aus Abschnitt \ref{bwww}, 
und da $Q \equiv 1 \ mod \ 2$ ist.)

Aus den Punkten 1 und 2 folgt unmittelbar: \\
3. $D_m = 1.$\\
4. $T_{\bar{m}} = \{1\}$, und $J_{\bar{m}} = \{m\}$.\\
5. $J_{\bar{m}} \bigcap J_t = \emptyset$ f"ur $t < \bar{m}$.\\
6. $u_m = 1,$ und $v_{P^{(n)}_\infty}(u_m) = 0$.
\end{bemsub}

\subsubsection{Berechnung der Zahl {\boldmath $Q=p^a$}}
\label{schritt2}

Nach \label{schritt21} Schritt 2 in Algorithmus \ref{algor} berechnen wir die kleinste nat"urliche Zahl $Q$, so dass $Q=p^a$ f"ur ein $a \in \N$, und $Q$ erf"ullt Lemma \ref{zahlq}. Wir betrachten die Berechnung von $Q$ f"ur $n \geq 2$:
\[ \begin{array}{l}
a = 1\\
bound = 2^{2n-3} + 2^{n-2}\\ 
\mbox{while }p^a \leq bound\\
\hspace*{5mm}a = a + 1\\ 
\mbox{end while} \\
Q = p^a \\
\end{array} \]

Die ``while``-Schleife l"auft, solange $p^a \leq 2^{2n-3} + 2^{n-2}< 2^{2n}$ erf"ullt ist. Damit ist die letzte Potenz $a$, die noch berechnet wird, kleiner als $2n$, unter der Voraussetzung $p > 2$. 

Damit ist 
$$\mbox{\fbox{$C(Berechnung \ der \ Zahl \ Q)= O\left(n^2\right).$}}$$

\begin{tabbing}
{\sc \Large ZahlQ} := proc()\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local a, bound;\> \> \\
\> global Q;\> \> \\
\> a := 1; \> \> \\
\> if n $>$= 2 then \> \> \\
\> \> bound := 2{\bf \^{}}(2*n - 3) + 2{\bf \^{}}(n - 2); \> \\
\> \> while p{\bf \^{}}a $<=$ bound do \> \\
\> \> \> a := a + 1; \\
\> \> end do; \> \\
\> end if; \> \\
\> Q := p{\bf \^{}}a; \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}

\subsubsection{Berechnung der Basisdarstellungen von {\boldmath $w_1^Q, \ldots, w_m^Q$}}
\label{schritt3}

Nach \label{schritt31} Schritt 3 in Algorithmus \ref{algor} m"ussen wir die Basisdarstellungen von $w_i^Q$ in $F_n/F_0$ f"ur $i=1, \ldots, m$ berechnen:
\begin{equation}
\label{basd}
w_i^Q = \sum_{j=1}^m b_{ij} w_j,
\end{equation} 
wobei $b_{ij} \in \F_p(x_0)$ f"ur $i, j=1, \ldots, m$. Nach Bemerkung \ref{bpr}(1)  und (\ref{basd})  folgt, dass jedes $w_i^Q$ f"ur $i=1, \ldots, m-1$ als ein Quotient darstellbar ist, in dem 
\begin{equation}
\label{znw}
\begin{array}{ll}
- & \mbox{der Z"ahler ein Polynom aus $\F_p[x_0, x_1, \ldots, x_n]$ ist, in dem die} \\
& \mbox{Unbestimmten $x_1, \ldots, x_n$ jeweils h"ochstens in der ersten Potenz}\\ 
& \mbox{auftreten.}\\ 
- & \mbox{der Nenner ein Polynom aus $\F_p[x_0]$ ist.}
\end{array}
\end{equation}

Da die Nenner von $w_1^Q, \ldots, w_{m-1}^Q$ wegen (\ref{fnwj}) (Seite \pageref{fnwj}) sowieso  Polynome aus $\F_p[x_0]$ sind, gen"ugt es, eine Darstellung nach (\ref{znw}) f"ur $\prod_{i \in V_j} x_i^Q$, wobei  $V_j$ nach (\ref{imengen}) (Seite \pageref{imengen}) definiert ist, f"ur $j=1, \ldots, m-1$ zu bestimmen. 
Daf"ur werden wir einen Algorithmus angeben, der die drei folgenden Substitutionen f"ur $i \geq 1$ anwendet:
\begin{eqnarray}
&&x_i^2  =  \frac{x_{i-1}^2+1}{2x_{i-1}} \label{sub0}\\
&&x_i+1 =  \frac{(x_{i-1} - 1)^2}{2x_{i-1}(x_i-1)} \label{sub1}\\ 
&&x_i-1 = \frac{(x_{i-1} - 1)^2}{2x_{i-1}(x_i+1)} \label{sub2}
\end{eqnarray}
Die erste ist die den Turm definierende Gleichung (\ref{turmeq}) aus Abschnitt \ref{turm1}, und die beiden anderen ergeben sich aus (\ref{sub0}).

\begin{algsub}
\label{algzu}
Eine Darstellung nach (\ref{znw}) f"ur $\prod_{i \in V_j} x_i^{t}$ f"ur ein $t \in \N$ und f"ur ein $j \in \{1, \ldots, m-1\}$.
\end{algsub}
Input: $E = \displaystyle \prod_{i \in V_j} x_i^{t}$ \\
for $i = n, \ldots, 1$\\
\hspace*{5mm}$E = (substitution \ (\ref{sub0}) \to E) \ mod \ p$ \\ 
\hspace*{5mm}if $x_i \ | \ denominator(E)$\\
\hspace*{10mm}$E =  (substitution \ (\ref{sub0}) \to x_i*numerator(E)) \ / \ (substitution \ (\ref{sub0}) \to $\\ 
\hspace*{17mm}$x_i*denominator(E)) \ \ mod \ p$\\
\hspace*{5mm}end if\\
\hspace*{5mm}if $i > 1$\\
\hspace*{10mm}while $x_{i-1} + 1 \ | \ denominator(E)$\\
\hspace*{15mm}$E =  numerator(E) \  / \ (substitution \ (\ref{sub1})  \ mod \ p \ \to denominator(E))$\\
\hspace*{22mm}$mod \ p$\\
\hspace*{10mm}end while\\
\hspace*{10mm}while $(x_{i-1} - 1) \ mod \ p \ | \ denominator(E)$\\
\hspace*{15mm}$E =  numerator(E) \ / \ (substitution \ (\ref{sub2})  \ mod \ p \ \to denominator(E))$\\ 
\hspace*{22mm}$mod \ p$\\
\hspace*{10mm}end while\\
\hspace*{5mm}end if\\
end do\\
\\
Output: $E$ in der Darstellung (\ref{znw}) 

\begin{lemsub}
\label{lemzu}
Mit Algorithmus \ref{algzu} wird eine Darstellung nach (\ref{znw}) f"ur $\prod_{i \in V_j} x_i^{t}$ f"ur $j=1, \ldots, m-1$ und f"ur alle $t \in \N$ bestimmt. 
\end{lemsub}
\proof
Da die Schleife nach $i$ von $n$ bis $1$ abw"arts l"auft, werden durch die Substitution (\ref{sub0}) alle Potenzen von $x_i$ gr"o"ser als 1 durch Ausdr"ucke in der Unbestimmten $x_{i-1}$, eventuell mit der ersten Potenz von $x_i$ multipliziert, sukzessive ersetzt. Damit folgt unmittelbar aus der Struktur des Algorithmus, dass der Z"ahler von $E$ beim Output die Darstellung (\ref{znw}) hat. Wir m"ussen noch zeigen, dass mittels dieses Algorithmus der Nenner  von $E$ beim Output ein Polynom aus $\F_p[x_0]$ ist.

Zuerst stellen wir folgendes fest: wenn wir zeigen, dass der Algorithmus f"ur $x_i^t$ f"ur alle $t \in \N$ und f"ur $i=1, \ldots, n$ funktioniert, gilt dies auch f"ur $\prod_{i \in V_j} x_i^t$ f"ur alle $t \in \N$ und f"ur $j=1, \ldots, m-1$. Wegen (\ref{sub0}) und da f"ur $t \geq 3$ jedes $x_i^t = (x_i^2)^v*x_i^\sigma$ mit $v \in \N$ und $\sigma \in \{0, 1\}$ gilt, folgt, dass es gen"ugt, die Korrektheit des Algorithmus f"ur $x_i^2$ zu zeigen.  

Sei $i\in \{1, \ldots, n\}$. Nun starten wir mit $x_i^2$. Wir lassen die Berechnungen von den Koeffizienten der Unbestimmten $x_0, x_1, \ldots, x_n$ weg und  benutzen deswegen das Zeichen ``=``. 
Wir f"uhren die Berechnungen nur in den entstehenden Nennern durch, d.h. wir lassen zuerst alle Polynome aus $\F_p[x_0, \ldots, x_{i-1}]$ in den entstehenden Z"ahlern  unver"andert. Damit gilt:
\begin{eqnarray*}
x_i^2 &``=``& \displaystyle \frac{x_{i-1}^2+1}{x_{i-1}} \\
&&\\
&&(\ref{sub0}) \to x_{i-1}*Nenner\\
&&\\
&``=``&  \displaystyle \frac{(x_{i-1}^2 + 1 ) x_{i-1}x_{i-2}}{x_{i-2}^2+1}\\
&&\\
&&(\ref{sub0}) \to Nenner\\
&&\\
& ``=``& \displaystyle   \frac{(x_{i-1}^2 + 1 ) x_{i-1}x_{i-2}x_{i-3}}{(x_{i-3}+1)^2}\\
&&\\
&&(\ref{sub1}) \ mod \ p \ \to Nenner\\
&&\\
& ``=``&  \displaystyle  \frac{(x_{i-1}^2 + 1 ) x_{i-1}x_{i-2}x_{i-3}x_{i-4}^2 (x_{i-3}+ (p-1))^2}{(x_{i-4}+(p-1))^{2^2}}\\
&&\\
&&(\ref{sub2}) \ mod \ p \ \to Nenner\\
&&\\
&``=``&  \displaystyle  \frac{(x_{i-1}^2 + 1 ) x_{i-1}x_{i-2}x_{i-3}x_{i-4}^2 x_{i-5}^{2^2}(x_{i-3}+(p-1))^2 (x_{i-4}+1)^{2^2}}{(x_{i-5}+(p-1))^{2^3}}\\
&&\\
&&(\ref{sub2}) \ mod \ p \ \to Nenner\\
&&\\
&``=``& \ldots\\
&&\\
&&(\ref{sub2}) \ mod \ p \ \to Nenner\\
&&\\
& ``=``& \displaystyle   \frac{(x_{i-1}^2 + 1 ) x_{i-1}x_{i-2}(x_{i-3}+(p-1))^2 \prod_{l=0}^{i-3}x_l^{2^{i-3-l}} \prod_{l=1}^{i-4}(x_l+1)^{2^{i-2-l}}} {(x_0+(p-1))^{2^{i-2}}}.
\end{eqnarray*} 

Da wir f"ur die h"oheren Potenzen von $x_1, \ldots, x_{i-1}$ im Z"ahler das gleiche Verfahren wie f"ur $x_i^2$ rekursiv anwenden k"onnen, folgt, dass der Algorithmus beim Output $x_i^2$ in der Darstellung (\ref{znw}) liefert.\\
\qed
\\

Nun berechnen wir die Komplexit"at des Algorithmus \ref{algzu} beim Input 
$$E = \prod_{i =1}^n x_i^Q,$$ 
da es sich theoretisch um den schlechtesten Fall handelt.
Wir lassen die Operation ``mod p`` aus unseren Betrachtungen weg, da sie nach der Voraussetzung Zeit $O(1)$ ben"otigt.
Da die Schleife nach $i$ in Algorithmus \ref{algzu} von $n$ bis $1$ abw"arts l"auft, werden wir "uber den ``$k$-ten Schleifendurchlauf`` im Fall $i=k$ reden, d.h., dass der Algorithmus mit dem $n$-ten Schleifendurchlauf beginnt.

Sei $k \in \{1, \ldots, n\}$. Wir listen alle Berechnungen auf, die im $k$-ten Schleifendurchlauf  stattfinden k"onnen:\\

\underline{1) in der Zeile $``E = substitution \ (\ref{sub0}) \to E``$}\\ 
\\
i) in dieser Reihenfolge im Z"ahler von $E$:\\
- das Ausmultiplizieren der Faktoren und die Addition von Koeffizienten bei gleichen Potenzen von $x_k$
$$f_\gamma x_k^\gamma  + f_{\gamma -1}x_k^{\gamma -1} + \cdots + f_0,$$
wobei $\gamma  \in \N$, und f"ur $j=0, \ldots, \gamma $ gilt: $f_j \in \F_p[x_0,  \ldots, x_n] \setminus \{ \F_p[x_k] \setminus \F_p \} $, so dass, falls $k \leq n-1$, gilt: $deg_{x_l}f_j \leq 1$ f"ur $l=k+1, \ldots, n$. (Aufgrund des Verlaufs des Algorithmus \ref{algzu} mit dem Input $E = \prod_{i =1}^n x_i^Q$.)\\
- die Durchf"uhrung von (\ref{sub0}) in den Potenzen von $x_k$, (kein Ausmultiplizieren der dadurch entstandenen Potenzen von $x_{k-1}^2+1$ notwendig!) 
$$ x_k^{\gamma  \ mod \ 2} \left(\frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}}\right)^{\left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor } f_\gamma  + x_k^{\gamma  -1 \ mod \ 2} \left(\frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}}\right)^{\left\lfloor \frac{\gamma -1}{2}\right\rfloor } f_{\gamma -1} + \cdots + f_0.$$
- die Berechnung eines gemeinsamen Nenners, bzw. die Darstellung des Z"ahlers von $E$ als Quotient zweier Polynome
\small 
$$\frac{ x_k^{\gamma  \ mod \ 2} \left(x_{k-1}^2 +1\right)^{\left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor } f_\gamma  + x_k^{\gamma  -1 \ mod \ 2} \left(x_{k-1}^2+1\right)^{\left\lfloor \frac{\gamma -1}{2}\right\rfloor } (2x_{k-1}) f_{\gamma -1} + \cdots + f_0 (2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor }}{(2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor }}.$$
\normalsize
ii) im Nenner\footnote{Die angegebene Darstellung hat der Nenner von $E$  unmittelbar vor dem $k$-ten Schleifendurchlauf aufgrund des Verlaufs des Algorithmus.} von $E$ 
$$x_k^{\eta_1} (x_k^2+1)^{\eta_2} (x_{k-1}+(p-1))^{\eta_3}$$ 
mit $\eta_j \in \N \cup \{0\}$ f"ur $j=1, 2, 3$ die Durchf"uhrung von (\ref{sub0})  (kein Ausmultiplizieren der Faktoren notwendig!)
$$x_k^{\eta_1 \ mod \ 2} \left(\frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}}\right)^{\left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor} \left(\frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}} + 1\right)^{\eta_2} (x_{k-1}+(p-1))^{\eta_3}.$$
iii) die Darstellung von $E$ als Quotient zweier Polynome
$$E  = \frac{\left( x_k^{\gamma  \ mod \ 2} (x_{k-1}^2 +1)^{\left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor } f_\gamma  + \cdots + f_0 (2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor }\right) (2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor +\eta_2 } }{(2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor } x_k^{\eta_1 \ mod \ 2} (x_{k-1}^2 + 1)^{\left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor } (x_{k-1}+1)^{ 2\eta_2}(x_{k-1}+(p-1))^{\eta_3}}.$$\\

\underline{2) in dem ``if``-Block (Schleifendurchlauf f"ur $i=k$)}\\
\\
i) die Abfrage 
$$``\mbox{if $x_i  \ | \ denominator(E)$}``.$$
Dies ist der Fall, wenn $\eta_1 \equiv 1\ mod \ 2$. Gelte dieser Fall weiter.\\
ii) in der Zeile 
$$``\mbox{$E =  subs. \ (\ref{sub0}) \to x_i*numerator(E) \ / \ subs. \ (\ref{sub0}) \to x_i*denominator(E)$}``$$ 
- die Division des Nenners von $E$ durch $x_k$ und die Multiplikation mit der rechten Seite der Gleichung (\ref{sub0}) (kein Ausmultiplizieren notwendig!)
$$(2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor -1}(x_{k-1}^2 + 1)^{\left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor +1} (x_{k-1}+1)^{ 2\eta_2}(x_{k-1}+(p-1))^{\eta_3}.$$
- das Ausmultiplizieren des Z"ahlers von $E$ (der Z"ahler selbst mu"s nicht zuerst als Summe von Monomen dargestellt werden) mit $x_k$, zum Beispiel f"ur $\gamma  \equiv 1 \ mod \ 2$
\[ \begin{array}{c}
\left( x_k^2 (x_{k-1}^2 +1)^{\left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor } f_\gamma  + \cdots + x_k^2 (x_{k-1}^2 +1)^{\left\lfloor \frac{\gamma -2}{2}\right\rfloor } f_{\gamma -2}(2x_{k-1})^2 + \ \cdots \right. \\ \left. + \ f_0 (2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor }\right) (2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor +\eta_2 }.
\end{array} \] 
- die Durchf"uhrung von (\ref{sub0}) in den (gegebenenfalls) dadurch entstandenen $x_k^2$ im Z"ahler von $E$ 
$$\left( \frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}} (x_{k-1}^2 +1)^{\left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor } f_\gamma  + \cdots + f_0 \left(2x_{k-1}\right)^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor }\right) (2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor +\eta_2 }.$$ 
- die Darstellung von $E$ als Quotient zweier Polynome
$$\frac{ (x_{k-1}^2 +1)^{\left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor +1}(2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\eta_1}{2} \right\rfloor +\eta_2} f_\gamma  + \cdots + f_0 (2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{\eta_1}{2} \right\rfloor +\eta_2 +1}}{(2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor }(x_{k-1}^2 + 1)^{\left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor +1} (x_{k-1}+1)^{ 2\eta_2}(x_{k-1}+(p-1))^{\eta_3}}.$$ \\

\underline{3) in den beiden ``while``-Schleifen endlich oft (Schleifendurchlauf f"ur $i=k$)}\\
\\
i) die "Uberpr"ufung 
$$``\mbox{while $x_{i-1} + 1 \ | \ denominator(E)$},``$$
$$\mbox{bzw.}$$
$$``\mbox{while $x_{i-1} + (p-1) \ | \ denominator(E)$}``.$$ 
ii) in der Zeile
$$E =  numerator(E) \  / \ (substitution \ (\ref{sub1}) \to denominator(E))$$
- die Division des Nenners von $E$ durch $x_{k-1}+1$, bzw. durch $x_{k-1}+(p-1)$, und die Multiplikation (kein Ausmultiplizieren) mit der rechten Seite von (\ref{sub1}), bzw. von (\ref{sub2}) (f"ur $k-1$)
\small
$$\frac{ (2 x_{k-2})^{2\eta_2 + \eta_3} (x_{k-1} + (p-1))^{2\eta_2} (x_{k-1} + 1)^{\eta_3} \left((x_{k-1}^2 +1)^{\left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor +1}(2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\eta_1}{2} \right\rfloor +\eta_2} f_\gamma  + \cdots \right)}{(2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor }(x_{k-1}^2 + 1)^{\left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor +1} (x_{k-2}+(p-1))^{2(2\eta_2+\eta_3)}}.$$ 
\normalsize

F"ur die Berechnung der Komplexit"at der Punkte 1)-3) f"uhren wir andere Potenzbezeichnungen ein, durch die diese Komplexit"at besser ausgedr"uckt werden kann. Nach dem obigen Verfahren hat $E$ unmittelbar vor dem $k$-ten Schleifendurchlauf folgende Darstellung:\footnote{Wir betrachten den $k$-ten Schleifendurchlauf f"ur ein $k \leq n-1$, da im $n$-ten Schleifendurchlauf mit dem Input $E = \prod_{i =1}^n x_i^Q$ nicht mehr Berechnungen als in einem sp"ateren Schleifendurchlauf stattfinden.}
\begin{equation}
\label{vore}
E = x_1^Q  \cdots x_k^Q \frac{x_{k-1}^{\nu_1 + \nu_2} (x_k+(p-1))^{\nu_1} (x_k+1)^{\nu_2} f(x_k, x_{k+1}, \ldots, x_n)}{ x_k^{\mu_1} (x_k^2+1)^{\mu_2} (x_{k-1}+(p-1))^{2\nu_1 + 2\nu_2}}
\end{equation}
mit
$$f(x_k, x_{k+1}, \ldots, x_n) = \sum_{2\xi_1 + \xi_2 \leq \chi} g_{(\xi_1, \xi_2)}(x_{k+1}, \ldots, x_n) (x_k^2 + 1)^{\xi_1}x_k^{\xi_2},$$ 
wobei $\chi = deg_{x_k} f(x_k, x_{k+1}, \ldots, x_n)$, $\nu_l,  \mu_l,  \xi_l \in \N \cup \{0\}$ f"ur $l =1, 2$, das Polynom  
$g_{(\xi_1, \xi_2)}(x_{k+1}, \ldots, x_n)$ ist ausmultipliziert, und es gilt f"ur $j = k+1, \ldots, n$: $deg_{x_j}g_{(\xi_1, \xi_2)}(x_{k+1}, \ldots, x_n) \leq 1$.

Als erstes mu"s der Z"ahler von $E$ in der Darstellung (\ref{vore}) ausmultipliziert werden. Da es sich um Ausmultiplizieren der binomischen Formel handelt, wird das Ausmultiplizieren der Potenzen $\nu_1, \nu_2$ und $\xi_1$ auf die Berechnung von binomialen Koeffizienten reduziert. Die Komplexit"at f"ur ihre Berechnung ist mit $C\left(Berechnung \ von \ \left(\begin{array}{c} n \\ l \end{array}\right) \right) = O(l)$ abgesch"atzt. Damit erfordert das Ausmultiplizieren von $(x_k+(p-1))^{\nu_1}$ Zeit, die nicht schlechter als $O(\nu_1^2)$  ist, das Ausmultiplizieren von $(x_k+1)^{\nu_2}$ Zeit, die nicht schlechter als $O(\nu_2^2)$ ist, das Ausmultiplizieren von allen Summanden in der Summe $\sum_{2\xi_1 + \xi_2 \leq \chi} \ldots$ Zeit, die nicht schlechter ist als 
\begin{equation}
\label{chiv}
O\left(2^{n-k}\chi^4\right).\footnote{Die \label{chichi} Anzahl der Summanden in der Summe $\sum_{2\xi_1 + \xi_2 \leq \chi} \ldots$ ist nicht gr"o"ser als $\chi^2$. Das Ausmultiplizieren eines der Summanden $g_{(\xi_1, \xi_2)}(x_{k+1}, \ldots, x_n) (x_k^2 + 1)^{\xi_1}x_k^{\xi_2}$ ben"otigt Zeit, die nicht schlechter als $O(2^{n-k}\chi^2)$ ist, da die Anzahl der verschiedenen Summanden in $g_{(\xi_1, \xi_2)} (x_{k+1}, \ldots, x_n)$ nicht gr"o"ser als $2^{n-k} +1$ ist.}
\end{equation} 
Nach der Addition (ihre Rechenzeit ist in der vorherigen Rechenzeit enthalten) der Koeffizienten bei den gleichen Potenzen von $x_k$ in der ausmultiplizierten Summe $\sum_{2\xi_1 + \xi_2 \leq \chi} \ldots$ wird das endg"ultige Ausmultiplizieren im Z"ahler von $E$ 
$$x_1^Q  \cdots x_k^Q x_{k-1}^{\nu_1 + \nu_2} (x_k^{\nu_1} + \cdots )(x_k^{\nu_2} + \cdots ) \sum_{l=0}^{\chi}h_l(x_{k+1}, \ldots, x_n) x_k^l$$
ausgef"uhrt, wobei $deg_{x_j}h_l(x_{k+1}, \ldots, x_n) \leq 1$, $l =0, \ldots, \chi$ und $j=k+1, \ldots, n$.
Dies ben"otigt Zeit 
$$O(2^{n-k} \nu_1 \nu_2 \chi).$$ 
Danach folgt die Addition (ihre Rechenzeit ist in der vorherigen Rechenzeit enthalten) der Koeffizienten bei gleichen Potenzen von $x_k$.
Die Durchf"uhrung von (\ref{sub0}) ben"otigt Zeit 
$$O\left((Q + \nu_1 + \nu_2 + \chi)^2\right),$$ 
da sie in jeder Potenz von $x_k$ (nicht gr"o"ser als $Q + \nu_1 + \nu_2 + \chi$) je maximal $(Q + \nu_1 + \nu_2 + \chi) / 2$ mal durchf"uhrbar ist. 

Aus der Beschreibung der Punkte 1)-3) folgt, dass die weiteren Berechnungen (im $k$-ten Schleifendurchlauf) Zeit erfordern, die nicht schlechter ist als die oben angegebene.\footnote{Dazu m"ussen wir nur Punkt 1) ii) genauer diskutieren. Die Komplexit"at dieser Berechnungen ist $O(\mu_1)$. Da wir f"ur die Absch"atzung der Gesamtkomplexit"at nicht ber"ucksichtigen, dass K"urzungen im Z"ahler und im Nenner m"oglich sind oder, dass die Summe einiger Koeffizienten zu 0 in $\F_p$ werden kann, sondern vom schlechtesten Fall ausgehen, folgt, dass sich der Term $(x_k^2+1)^{\mu_1}$ wegen (\ref{sub0}) im Z"ahler befindet. Somit ist $O(\mu_1)$ bereits in der oben angegebenen Komplexit"at enthalten.}

Daher m"ussen nur $\nu_1, \nu_2$ und $\chi$ abgesch"atzt werden. 

\begin{definsub} Der {\bf Grad eines multivariablen Polynoms} 
$$F = \sum_{(\tau_0, \ldots, \tau_n) \in (\N \cup \{0\})^n} \left( \Upsilon (\tau_0, \ldots, \tau_n) \prod_{i=0}^n x_i^{\tau_i}\right) \in \F_p[x_0, \ldots, x_n],$$ 
wobei alle $\Upsilon (\tau_0, \ldots, \tau_n) \in \F_p$ sind,  ist wie folgt definiert:
$$deg \ F := max \left\{ \sum_{i=0}^n \tau_i \ | \ \Upsilon (\tau_0, \ldots, \tau_n) \ne 0 \right\}.$$
\end{definsub}

Da $Q + \nu_1 + \nu_2 + \chi$ nicht gr"o"ser als der Grad des Z"ahlers von $E$ in der Darstellung (\ref{vore}) ist, ben"otigen die Berechnungen im gesamten $k$-ten Schleifendurchlauf Zeit nicht schlechter als
\begin{equation}
\label{gut} 
O\left(2^{n-k} \cdot \left(Grad \ des \ Z"ahlers \ von \ E \ in \ (\ref{vore})\right)^4\right).
\end{equation}

Wir bezeichnen f"ur  $k=1, \ldots, n$ mit dem angegebenen Namen den Grad des folgenden multivariablen Polynoms:\\ 
$Z_k^{(0)}$ $-$ des Z"ahlers von $E$ unmittelbar vor dem $k$-ten Schleifendurchlauf, \\
$N_k^{(0)}$ $-$ des Nenners von $E$ unmittelbar vor dem $k$-ten Schleifendurchlauf,\\ 
$Z_k^{(1)}$ $-$ des Z"ahlers  von $E$ unmittelbar vor dem Ablauf des ``if``-Blocks im $k$-ten \\
\hspace*{11mm}Schleifendurchlauf,\\
$N_k^{(1)}$ $-$ des Nenners von $E$ unmittelbar vor dem Ablauf des ``if``-Blocks im $k$-ten \\
\hspace*{11mm}Schleifendurchlauf,\\
$Z_k^{(2)}$ $-$ des Z"ahlers von $E$ unmittelbar vor dem Ablauf der beiden ``while``-\\
\hspace*{11mm}Schleifen im $k$-ten Schleifendurchlauf,\\
$N_k^{(2)}$ $-$ des Nenners von $E$ unmittelbar vor dem Ablauf der beiden ``while``-\\
\hspace*{11mm}Schleifen im $k$-ten Schleifendurchlauf,\\
$Z_0^{(0)}$ $-$ des Z"ahlers von $E$ beim Output, \\
$N_0^{(0)}$ $-$ \label{page1} des Nenners von $E$ beim Output. \\

\begin{lemsub}
\label{sechsab}
F"ur $k=1, \ldots,n$ gilt:
\begin{eqnarray*}
Z^{(0)}_{k-1} & \leq & Z^{(2)}_{k} + 2 N^{(2)}_{k},\\
N^{(0)}_{k-1} & \leq & 2N^{(2)}_{k},\\ 
Z_k^{(1)} & \leq &  Z_k^{(0)} + \frac{1}{2}max \left\{Z_k^{(0)}, N_k^{(0)}\right\},\\
N_k^{(1)} & \leq & max \left\{Z_k^{(0)}, N_k^{(0)}\right\},\\
Z^{(2)}_{k} & \leq & Z^{(1)}_{k} +2,\\
N^{(2)}_{k} & \leq &  N^{(1)}_{k} +1.
\end{eqnarray*} 
\end{lemsub}  
\proof
Wir beweisen zuerst die dritte und die vierte Absch"atzung.
F"ur $k=n$ gilt:
$$Z^{(0)}_{n} = nQ \mbox{ und } N^{(0)}_{n} =0.$$ 
Vor dem ``if``-Block wird die Substitution (\ref{sub0}) im Z"ahler von $E$ durchgef"uhrt. Aufgrund ihrer Darstellung folgt:
\begin{equation}
\label{znnn}
Z_n^{(1)} = Z_n^{(0)} \mbox{ und } N_n^{(1)} \leq \frac{1}{2}Z_n^{(0)}.
\end{equation} 
Sei $k \in \{1, \ldots, n-1\}$. Dann gilt unmittelbar vor dem $k$-ten Schleifendurchlauf
$$E = \frac{x_k^\gamma  f_\gamma  + x_k^{\gamma -1}f_{\gamma -1} + \cdots + x_k f_1 + f_0}{x_k^{\eta_1} (x_k^2 +1)^{\eta_2} g(x_{k-1})},$$
wobei $\gamma, \eta_1, \eta_2 \in \N \cup \{0\}$, $f_j \in \F_p[x_0, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}, \ldots, x_n]$ f"ur $j=0, \ldots, \gamma$, $Z_k^{(0)} = max\{deg \ f_j + j \ | \ j=0, \ldots, \gamma \}$ und $\eta_1 +2\eta_2 + deg \ g(x_{k-1}) = N_k^{(0)}.$
Nach der Durchf"uhrung von (\ref{sub0}) sieht $E$ dann wie folgt aus:
\begin{eqnarray*}
E & = &\frac{ x_k^{\gamma  \ mod \ 2} \left(\frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}}\right)^{\left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor } f_\gamma  + x_k^{\gamma  -1 \ mod \ 2} \left(\frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}}\right)^{\left\lfloor \frac{\gamma -1}{2}\right\rfloor } f_{\gamma -1} + \cdots + f_0}{x_k^{\eta_1 \ mod \ 2} \left(\frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}}\right)^{\left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor} \left(\frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}} + 1\right)^{\eta_2}  g(x_{k-1})}\\
& = &\frac{\left( x_k^{\gamma  \ mod \ 2} (x_{k-1}^2 +1)^{\left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor } f_\gamma  + \cdots + f_0 (2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor }\right) (2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor +\eta_2 }  }{x_k^{\eta_1 \ mod \ 2} (x_{k-1}^2 + 1)^{\left\lfloor \frac{\eta_1}{2}\right\rfloor } (x_{k-1}+1)^{ 2\eta_2}g(x_{k-1})  (2x_{k-1})^{ \left\lfloor \frac{\gamma }{2}\right\rfloor }}.\\
\end{eqnarray*}
Der Grad des Z"ahlers von $E$ w"achst am meisten im Fall $deg \ f_0 = \gamma  = Z_k^{(0)}$ und $\eta_1 +2\eta_2 = N_k^{(0)}$, und der Grad des Nenners von $E$ w"achst am meisten im Fall $\gamma  = Z_k^{(0)}$. Unabh"angig von der bestehenden ``kleiner-gleich``-Relation zwischen $\gamma $ und $\eta_1 +2\eta_2$ gilt:
$$Z_k^{(1)} \leq Z_k^{(0)} + \frac{1}{2}max \left\{Z_k^{(0)}, N_k^{(0)}\right\}$$
und
$$N_k^{(1)}  \leq  max \left\{Z_k^{(0)}, N_k^{(0)}\right\}.$$

Wir beweisen die vier weiteren Absch"atzungen. Sei $k \in \{1, \ldots, n\}$.

Die Berechnungen im ``if``-Block werden nur im Fall durchgef"uhrt, falls $x_k$ (nicht eine seiner Potenzen!) ein Faktor des Nenners von $E$ ist. Da (\ref{sub0}) f"ur h"ohere Potenzen von $x_k$ schon durchgef"uhrt wurde, hat $E$ vor dem ``if``-Block die Darstellung:
$$E = \frac{g_1+g_2x_k}{g_3 x_k},$$
wobei $g_j \in \F_p[x_0, \ldots, x_n] \setminus \{ \F_p[x_k] \setminus \F_p \}$ f"ur $j=1, 2, 3$, $N_k^{(1)} = deg \ g_3 +1$ und $Z_k^{(1)} = max\{deg \ g_1, deg \ g_2 +1\}$. Der ``if``-Block wird dann wie folgt durchgef"uhrt:
$$E = \frac{g_1x_k + g_2 x_k^2}{g_3 x_k^2} = \frac{g_1 x_k + g_2 \frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}} }{g_3 \frac{x_{k-1}^2+1}{2x_{k-1}} } = \frac{2g_1 x_k x_{k-1} + g_2(x_{k-1}^2+1)}{ g_3 (x_{k-1}^2+1)}.$$
Da der Fall $deg \ g_1 = Z_k^{(1)}$ auftreten kann, gilt:
$$Z^{(2)}_{k} \leq Z^{(1)}_{k} +2$$ 
und 
$$N^{(2)}_{k} \leq N^{(1)}_{k} +1.$$    

Der Grad des Z"ahlers und der Grad des Nenners von $E$ wachsen w"ahrend der Durchl"aufe der ``while``-Schleifen am meisten, falls der Nenner nur aus Potenzen von $x_{k-1}+1$ und (oder) von $x_{k-1}+(p-1)$ besteht. Dann sieht
$$E = \frac{f}{(x_{k-1}+(p-1))^{\theta_1} (x_{k-1}+1)^{\theta_2}},$$
wobei $\theta_j \in \N \cup \{0\}$ f"ur $j=1, 2$,  $f \in \F_p[x_0, \ldots, x_n]$, $N_k^{(2)} = \theta_1 + \theta_2$ und $Z_k^{(2)} = deg \ f$,
nach der Durchf"uhrung von (\ref{sub1}) und (\ref{sub2}) wie folgt aus: 
$$E = \frac{f  (2x_{k-2}(x_{k-1}+1))^{\theta_1} (2x_{k-2}(x_{k-1}+(p-1)))^{\theta_2}}{(x_{k-2} +(p- 1))^{2{\theta_1} + 2{\theta_2}}}.$$
Damit folgt:
$$Z^{(0)}_{k-1} \leq Z^{(2)}_{k} + 2 N^{(2)}_{k}$$
und
$$N^{(0)}_{k-1} \leq 2N^{(2)}_{k}.$$ 
\qed

\begin{lemsub}
\label{zonq}
F"ur $k=0, \ldots, n-1$ gilt:
$$max \left\{Z_{k}^{(0)}, N^{(0)}_{k}\right\} \leq 4^{n-k+1}nQ.$$
\end{lemsub}
\proof
Nach Lemma \ref{sechsab} gilt:
\begin{eqnarray*}
Z_{k}^{(0)} & \leq & Z_{k+1}^{(2)} + 2 N_{k+1}^{(2)} \\
& \leq & Z_{k+1}^{(1)} + 2 N_{k+1}^{(1)} +4\\
& \leq &  Z_{k+1}^{(0)} + \frac{5}{2}max \left\{Z_{k+1}^{(0)}, N_{k+1}^{(0)}\right\} + 4\\
& \leq & \frac{7}{2}\left(Z_{k+2}^{(2)} + 2 N_{k+2}^{(2)}\right) +4 \hspace{10mm}\mbox{ vergleiche mit der ersten Zeile} \\
& \leq & \left(\frac{7}{2}\right)^2\left(Z_{k+3}^{(2)} + 2 N_{k+3}^{(2)}\right) +4 + 4 \cdot \frac{7}{2}\\
&\leq & \left(\frac{7}{2} \right)^{n-k-1}\left(Z_{n}^{(2)} + 2 N_{n}^{(2)}\right) + 4\left(1 + \frac{7}{2} + \cdots + \left( \frac{7}{2} \right)^{n-k-2}\right) \\
& \leq & \left(\frac{7}{2} \right)^{n-k-1}\left(Z_{n}^{(1)} + 2 N_{n}^{(1)}\right) + 4\left(1 + \frac{7}{2} + \cdots + \left( \frac{7}{2} \right)^{n-k-1}\right) \\
& \leq & \left(\frac{7}{2} \right)^{n-k-1}\left(\frac{3}{2} Z_{n}^{(0)}\right) + 4\cdot \left( \frac{7}{2} \right)^{n-k}\mbox{ nach (\ref{znnn})}\\
& \leq & \left(\frac{7}{2} \right)^{n-k}\left(\frac{3}{7} Z_{n}^{(0)} + 4 \right)\\
& \leq & 4^{n-k+1}nQ, \\
&& \\
N_{k}^{(0)} & \leq & 2 N_{k+1}^{(2)} \\
& \leq & Z_{k+1}^{(2)} + 2 N_{k+1}^{(2)}\\
& \leq & 4^{n-k+1}nQ,  \hspace{5mm} \mbox{ analog zu } Z_{k}^{(0)}.
\end{eqnarray*}
\qed
\\

Nach (\ref{gut}) (Seite \pageref{gut}), Lemma \ref{zonq}, und da insgesamt $n$ Schleifendurchl"aufe stattfinden, folgt:
\begin{eqnarray*}
C\left(Alg. \ \ref{algzu} \ mit \ dem \ Input \ \prod_{i =1}^n x_i^Q\right) & = & O\left(n \cdot 2^{n-1}\left(4^{n} n Q\right)^4 \right)\\
&= & O\left(2^{9n} n^5 Q^4\right).
\end{eqnarray*}

Der Algorithmus \ref{algzu} wird in der Prozedur {\sc Ersatz} implementiert.
Die Substitution (\ref{sub0}) wird mit dem Maple 7 Befehl ``algsubs`` durchgef"uhrt, die Substitutionen (\ref{sub1}) - (\ref{sub2}) jedoch nicht, da der Output des Befehls ``algsubs`` in diesem Fall nicht das gew"unschte Ergebnis liefert.\footnote{Zum Beispiel gibt $algsubs(x+1 = a, (x+1)x)$ als Output $a(a-1)$. Solche Effekte wollen wir aber vermeiden.} 

\begin{tabbing}
{\sc \Large Ersatz} := proc(expression)\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local  i, j1, j2, N, Z, E, Rest;\> \> \> \\   
\> E := expression mod p;\> \> \> \\
\> for i from n by (-1) to 1 do\> \> \> \\
\> \> E := (algsubs((x$||$i){\bf \^{}}2 = (x$||$(i - 1){\bf \^{}}2 + 1)/(2*x$||$(i - 1)), Expand(numer(E))\> \> \\
\> \>  mod p)) / (algsubs((x$||$i){\bf \^{}}2 = (x$||$(i - 1){\bf \^{}}2 + 1)/(2*x$||$(i - 1)),  \> \> \\
\> \>denom(E) mod p)) mod p;\> \> \\ 
\> \> N := denom(E);\> \> \\ 
\> \> if divide(N, x$||$i, 'Rest') = true then \> \> \\
\> \> \> N := Rest*((x$||$(i - 1)){\bf \^{}}2+1);\> \\
\> \> \> Z := numer(E)*2*(x$||$(i - 1))*x$||$i mod p; \> \\
\> \> \> Z := (algsubs((x$||$i){\bf \^{}}2 = (x$||$(i - 1){\bf \^{}}2 + 1)/(2*x$||$(i - 1)), \> \\
\> \> \> Expand(Z) mod p) mod p;\> \\
\> \> else \> \> \\
\> \> \> Z := numer(E); \> \\
\> \> end if; \> \> \\
\> \> if  i $>$1 then\> \> \\ 
\> \> \> j1 := 0;\> \\
\> \> \> while Divide(N, x$||$(i - 1) + 1, 'Rest') mod p = true do\> \\
\> \> \> \> j1 := j1 + 1;\\ 
\> \> \> \> N := Rest mod p;\\
\> \> \> end do; \> \\
\> \> \> j2 := 0;\> \\
\> \> \> while Divide(N, x$||$(i - 1) - 1, 'Rest') mod p = true do\> \\
\> \> \> \> j2 := j2 + 1;\\ 
\> \> \> \> N := Rest mod p;\\
\> \> \> end do; \> \\
\> \> \> Z := Z*(2*x$||$(i - 2)*(x$||$(i - 1) + (p - 1))/(x$||$(i - 2) + (p - 1)){\bf \^{}}2){\bf \^{}}(j1) \> \\
\> \> \> *(2*x$||$(i - 2)*(x$||$(i - 1) + 1)/ (x$||$(i - 2) + (p - 1)){\bf \^{}}2){\bf \^{}}(j2) mod p; \> \\
\> \> end if; \> \> \\
\> \> E := Z/N mod p; \> \> \\
\> end do;\> \> \> \\ 
\> return E; \> \> \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}

Nach dem Ablauf des Algorithmus \ref{algzu} gilt f"ur $i=1, \ldots, m-1$ \footnote{Siehe auch Bemerkung \ref{bpr}(1),(2).}   
\begin{equation}
\label{sumsum}
w_i^Q = \frac{\sum_{j=1}^{m-1} \sum_{k \geq 0} \gamma_{ijk} x_0^k \prod_{t \in V_j}x_t}{h_i(x_0)}, 
\end{equation} 
wobei $h_i(x_0) \in \F_p[x_0]$, und $\gamma_{ijk} \in \F_p$ f"ur $i, j=1, \ldots, m-1$ und f"ur $k \geq 0$. 

Der n"achste Algorithmus schreibt $w_i^Q$ f"ur $i=1, \ldots, m-1$ in der Darstellung
$$w_i^Q = \sum_{j=1}^{m-1} b_{ij} `w`_j$$ 
durch Symbole $`w`_1, \ldots, `w`_{m-1}$ auf.
Wir werden im weiteren die folgende Substitution f"ur $j=1, \ldots, m-1$ anwenden:
\begin{equation}
\label{wprod}
\prod_{i \in V_j}x_i = `w_j`\cdot denominator(w_j), 
\end{equation}
wobei $denominator(w_j)$ nach der Darstellung (\ref{fnwj}) (Seite \pageref{fnwj}) definiert ist. Dann gilt (Erkl"arungen zu den Komplexit"atsabsch"atzungen sind weiter unten):\\
\\
for $i =1, \ldots, m - 1$\\
\hspace*{5mm}$\left. w_i^Q = Alg. \ref{algzu} \to numerator(w_i^Q) \ / \ denominator(w_i^Q) \  \right\}\begin{array}{c}\mbox{in Zeit}\\ O\left(2^{9n} n^5 Q^4\right) \end{array}$ \\
\hspace*{5mm}$Z = numerator(w_i^Q)$\\
\hspace*{3mm}$\left. \begin{array}{l}\mbox{for $j =1, \ldots, m - 1$}\\
\hspace*{5mm}Z = substitution(\ref{wprod}) \to Z \  mod \ p\\
\mbox{end for} \end{array} \right\}$ in Zeit $O(2^{3n} nQ)$\\		
\hspace*{3mm}$\left. \begin{array}{l}\mbox{for $j =1, \ldots,  m - 1$}\\
\hspace*{5mm}b_{ij} = simplify\left(coefficient_{`w_j`}(Z) / denominator(w_i^Q) \right)\\
\mbox{end for}\end{array} \right\}\begin{array}{c}\mbox{in Zeit} \\ O\left(2^{7n}n^3 Q^3\right) \end{array}$\\
\hspace*{5mm}$w_i^Q = \sum_{i=1}^{m-1}b_{ij} `w`_j$\\
end for\\

Wegen der Sortierung (\ref{umord}) (Seite \pageref{umord}) gilt: bei der sukzessiven Durchf"uhrung  von (\ref{wprod}) wird das Produkt $\prod_{i \in V_{j_1}}x_i$ nie vor dem Produkt $\prod_{i \in V_{j_2}} x_i$ ersetzt f"ur alle $V_{j_1} \subsetneqq V_{j_2}$.\footnote{$V_j$ ist in (\ref{imengen}), Seite \pageref{imengen}, definiert. Durch die Sortierung (\ref{umord}) garantieren wir folgendes: sei zum Beispiel $a_1 = x_1 x_2$, $a_2 = x_3 x_4$ $a_3 = x_1 x_2 x_3 x_4.$ Nach unserem Vorgehen wird das Produkt $\prod_{i=1}^4 x_i$ durch $a_3$ und nicht durch $a_1 a_2$ ersetzt.} Dies garantiert uns die Korrektheit des Algorithmus, bzw. die Korrektheit der Basisdarstellungen von $w_1^Q, \ldots, w_{m-1}^Q$. 

Aus (\ref{sumsum}) folgt, dass die Substitution (\ref{wprod})  in jedem Schleifendurchlauf der inneren ``for``-Schleife Zeit $O(deg_{x_0}Z)$ erfordet. Da $deg_{x_0}Z \leq Z_0^{(0)}$, gilt nach Lemma \ref{zonq} die Absch"atzung $O(4^n nQ)$.

F"ur $i, j =1, \ldots, m-1$ gilt: der Grad des Z"ahlers von $b_{ij}$ ist nicht gr"o"ser als $Z_0^{(0)}$, der Grad \label{page2} des Nenners\footnote{Die Nenner mit den h"ochsten Graden haben theoretisch gesehen $b_{1j}$ f"ur $j=1, \ldots, m-1$, da der Nenner von $w_1^Q$ (nach (\ref{umord}), Seite \pageref{umord},  gilt $w_1 = \prod_{i=1}^n \alpha_i$, siehe auch (\ref{alphadef}), Seite \pageref{alphadef}) beim Input gleich $h(x_0) := \left((x_0^2+1)(x_0+1) \prod_{i=3}^n (x_0 + (p-1))^{2^{i-2}}\right)^Q$ ist, und damit den gr"o"sten Grad hat. Nach dem Ablauf von Algorithmus \ref{algzu} "andert sich der urspr"ungliche Nenner von $w_1^Q$ zu $h_1(x_0) = f(x_0) h(x_0)$, wobei $f(x_0) \in \F_p[x_0]$ mit $deg \ f(x_0) \leq N_0^{(0)}$. Dadurch k"onnen die Grade der Nenner von allen $b_{ij}$ abgesch"atzt werden.} von $b_{ij}$ ist nicht gr"o"ser als $N_0^{(0)} + (2^{n-1} +1)Q$. Um zu erreichen, dass der Z"ahler und der Nenner von $b_{ij}$ teilerfremd sind, k"onnen wir, zum Beispiel, durch ihre Faktorisierungen "uber $\F_p$ die gleichen Faktoren k"urzen, wobei wir im weiteren feststellen werden, dass die Faktorisierungen die Gesamtkomplexit"at des Algorithmus \ref{algor} nicht vergr"o"sern!

Die Faktorisierungen  in $b_{ij}$ kosten f"ur kleine $p$ Zeit 
$$O\left(\left(Z_0^{(0)}\right)^3 + \left(N_0^{(0)} + (2^{n-1} +1)Q\right)^3\right)$$ 
und f"ur gro"se $p$ Zeit 
\small
$$O\left(\left(Z_0^{(0)}\right)^3 \cdot log^3 \left(Z_0^{(0)} \right) + \left(N_0^{(0)} + (2^{n-1} +1)Q\right)^3 \cdot log^3 \left(N_0^{(0)} + (2^{n-1} +1)Q\right) \right).$$ 
\normalsize
Nach Lemma \ref{zonq} gilt:
$$O\left(\left(4^n n Q\right)^3 \right) \mbox{ f"ur kleine } p$$
und
$$O\left(\left(4^n nQ\right)^3 log^3\left(4^n nQ \right)\right) \mbox{ f"ur gro"se } p.$$
Wir betrachten die kleinen $p$. Da die Au"senschleife $m-1$ mal l"auft, gilt:\\

\hspace*{3mm}\fbox{$\begin{array}{lll}C\left(Basisdarstellungen \ von \  w_1^Q, \ldots, w_{m}^Q\right)  & = & O\left( m \ 2^{9n}n^5Q^4 \right)\\
 & = & O\left(2^{10n}n^5Q^4 \right). \end{array}$}
\\

\begin{tabbing}
{\sc \Large Basisdarstellung }:= proc()\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local i, j, Z; \> \> \\
\> global b, W; \> \> \\
\> for i from 1 to m - 1 do \> \> \\
\> \> W$||$i := Ersatz(numer(w$||$i){\bf \^{}}Q)/denom(w$||$i){\bf \^{}}Q mod p; \> \\
\> \> Z := numer(W$||$i) mod p;\> \\
\> \> for j from 1 to m - 1 do \>  \\
\> \> \> Z := algsubs(numer(w$||$j) = denom(w$||$j)*$'$w$'||$j, Expand(Z) mod p) \\
\> \> \> mod p; \\
\> \> end do; \> \\	
\> \> for j from 1 to m - 1 do \> \\
\> \> \>b(i, j) := simplify((Factor(coeff(Z, $'$w$'||$j)) mod p)/ \\
\> \> \>(Factor(denom(W$||$i)) mod p)) mod p; \\
\> \> end do; \> \\
\> \> W$||$i := sum($'${b(i, j)*$'$w$'||$j}$'$, $'$j$'$ = 1..m - 1); \> \\
\> end do; \> \> \\
\> W$||$m := 1;\> \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}	

\subsubsection{Berechnung der Polynome {\boldmath $D_1, \ldots, D_m$}}
\label{schritt4}

Nach \label{schritt41} Schritt 4 in Algorithmus \ref{algor} berechnen wir Polynome $D_1, \ldots, D_m$. In Abschnitt \ref{schritt3} in der Prozedur {\sc Basisdarstellung} sind alle $b_{ij} \in \F_p(x_0)$ berechnet worden, und ihre Nenner\footnote{Siehe die Darstellung (\ref{baszer2}), Seite \pageref{baszer2}.}   $d_{ij}$ sind dabei "uber $\F_p$ faktorisiert worden. Aus Algorithmus \ref{algzu} folgt, dass f"ur $i,j=1, \ldots, m-1$ gilt: \label{page3} 
\begin{equation}
\label{dijfakt}
d_{ij} = x_0^{\mu_{ij}} (x_0^2+1)^{\nu_{ij}} (x_0+1)^{\eta_{ij}} (x_0+(p-1))^{\xi_{ij}}\footnote{Wir werden das Polynom $x_0^2+1$ weiter nur in dieser Darstellung angeben, obwohl es beim Faktorisieren "uber $\F_p$ in $(x_0+I)(x_0-I)$ zerfallen kann, falls ein $I \in \F_p$ existiert, so dass $I^2 = -1$ ist.} 
\end{equation}
f"ur gewisse $\mu_{ij}, \nu_{ij}, \eta_{ij}, \xi_{ij} \in \N \cup \{0\}$. Wir implementieren die Berechnung der Polynome $D_1, \ldots, D_m$ unter Ber"ucksichtigung von Bemerkung \ref{bpr}(3) genau nach dem Verfahren in Abschnitt \ref{gb1}. 
\[  \begin{array}{l}
\mbox{for $i=1, \ldots, m - 1$}\\
\hspace*{5mm}d_i = kgV(d_{i1}, \ldots, d_{im-1})\\
\hspace*{5mm}d_i = \prod_{s=1}^{t_i} f_{si}^{g_{si}}\mbox{ (Faktorisierung)}\\
\hspace*{5mm}\mbox{for $s=1, \ldots, t_i$}\\
\hspace*{10mm}l_{si}= \lceil g_{s i} / Q \rceil \\
\hspace*{5mm}\mbox{end for}\\
\hspace*{5mm}D_i = \prod_{i=1}^{t_i}f_{si}^{l_{s i}} \mbox{ (Multiplikation)}\\
\mbox{end for}\\
\end{array} \]

Aufgrund der Kenntnis der Faktorisierungen von allen $d_{ij}$ k"onnen die Berechnung und die Faktorisierung von $d_i$ f"ur $i = 1, \ldots, m-1$ durch einen Vergleich f"ur $j=1, \ldots, m-1$ der Potenzen gleicher Faktoren in $d_{ij}$ (wird im weiteren genauer erl"autert) ausgef"uhrt werden. Dieses Verfahren hat eine niedrigere Komplexit"at als die Standardverfahren zur Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen oder zur Faktorisierung eines Polynoms. Mit (\ref{dijfakt}) werden die folgenden Werte 
$$g_{1i} = max\{ \mu_{ij} \ | \ j=1, \ldots, m-1\},$$
$$g_{2i} = max\{ \nu_{ij} \ | \ j=1, \ldots, m-1\},$$
$$g_{3i} = max\{ \eta_{ij} \ | \ j=1, \ldots, m-1\},$$
$$g_{4i} = max\{ \xi_{ij} \ | \ j=1, \ldots, m-1\}$$
f"ur $i =1, \ldots, m-1$ berechnet. Dies kostet nach \cite{knuth1} Zeit $O(m)$. 
Damit werden $d_i = x_0^{ g_{1i}} (x_0^2+1)^{ g_{2i}} (x_0+1)^{ g_{3i} } (x_0+(p-1))^{ g_{4i} }$ f"ur $i =1, \ldots, m-1$ in Zeit $O(m)$ berechnet und gleich  als Produkt der Potenzen seiner "uber $\F_p$ irreduziblen (mit Ber"ucksichtigung der Darstellung von $x_0^2+1$) Faktoren dargestellt. $D_1, \ldots, D_{m-1}$ werden als Produkt (kein Ausmultiplizieren!) dieser Polynome in den Potenzen $l_{si}$ f"ur $s=1, \ldots, 4$ dargestellt. Damit ist
$$\mbox{ \fbox{$C(Berechnung \ von \ D_1, \ldots, D_m) = O(2^{2n}).$}}$$

Die Berechnung von $D_1, \ldots, D_{m-1}$ findet mittels der Prozedur {\sc DPolynome} statt.\footnote{In der Implementierung verwenden wir die Maple 7 Befehle zur Berechnung und zur Faktorisierung von $d_i$ (nicht das obige Verfahren), da die Praxis zeigt, dass die Prozedur {\sc DPolynome} sehr wenig Rechenzeit im Vergleich zur Gesamtlaufzeit des Programms ben"otigt.} Au\ss erdem wird $max\{deg(D_1), \ldots, deg(D_{m-1})\}$ (auch in Zeit $O(m)$) berechnet. Dieser Wert wird in der Prozedur {\sc Ganzheitsbasis} gebraucht.
Wir benutzen bei der Implementierung der Prozedur {\sc DPolynome} den Maple 7 Befehl ``Factors mod p``. Der Output dieses Befehls zum Beispiel f"ur $f(x) \in \F_p[x]$ mit der Darstellung $\alpha \prod_{i=1}^r f_i(x)^{n_i}$ ist $[\alpha, [[f_1(x), n_1], [f_2(x), n_2], \ldots, [f_r(x), n_r]]]$. So k"onnen jeder Faktor von $f(x)$ und sein Grad in $f(x)$ mit dem Maple 7 Befehl ``op`` aus dieser Struktur abgelesen werden. 

\begin{tabbing}
{\sc \Large DPolynome} := proc()\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local i, j, s, g, f, l, d, fanzahl, F; \> \> \\
\> global D, maxdeg;\> \> \\
\> for i from 1 to m - 1 do\> \> \\
\> \> for j from 1 to m - 1 do\> \\
\> \> \> d(i, j) := denom(b(i, j));\\
\> \> end do;\> \\
\> end do;\> \> \\
\> for i from 1 to m - 1 do\> \> \\
\> \> d$||$i := Factors(lcm(seq(d(i, j), j = 1..m - 1))) mod p;\> \\
\> \> fanzahl$||$i := nops(op(2, d$||$i)); \> \\
\> \> for s from 1 to fanzahl$||$i do\> \\
\> \> \> f(s, i) := op(1, op(s, op(2, d$||$i)));\\
\> \> \> g(s, i) := op(2, op(s, op(2, d$||$i)));\\
\> \> \> l(s, i) := ceil(g(s, i)/Q);\\
\> \> \> F(s, i) := f(s, i){\bf \^{}}l(s, i);\\
\> \> end do;\> \\
\> \> D$||$i := product($'$F(s, i)$'$, $'$s$'$ = 1..fanzahl$||$i);\> \\
\> end do;\> \> \\
\> D$||$m = 1;\> \> \\
\> maxdeg: = max(seq(deg(D$||$i), i = 1..m - 1)); \> \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}

\subsubsection{{\boldmath Berechnung der Mengen $T_1, \ldots, T_{\bar{m}}$ und ein Disjunktionstest f"ur die Indexmengen $J_1, \ldots, J_{\bar{m}}$}}
\label{schritt5}

Nach \label{schritt51} Schritt 5 in Algorihmus \ref{algor} und unter Ber"ucksichtigung von Bemerkung \ref{bpr}(4) berechnen wir die Mengen $T_1, \ldots, T_{\bar{m}}$, in die die Basiselemente $w_1, \ldots, w_m$ nach dem Verfahren in Abschnitt \ref{tmengen} disjunkt unterteilt werden, und die Indexmengen $J_1, \ldots, J_{\bar{m}}$. 
Die Berechnung von $T_t$ und $J_t$ f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}-1$ wird wie folgt ausgef"uhrt:
\begin{eqnarray*}
&& \left. \begin{array}{l}
\mbox{for $i=1, \ldots, m - 1$}\\
\hspace*{5mm}B_i = \emptyset\\
\hspace*{5mm}\mbox{for $j=1, \ldots, m - 1$}\\
\hspace*{10mm}\mbox{if $b_{i j} \ne 0$} \\
\hspace*{15mm}B_i = B_i \cup \{j\}\\
\hspace*{10mm}\mbox{end if}\\
\hspace*{5mm}\mbox{end for}\\
\mbox{end for}\\
\end{array} \right\} \mbox{ in Zeit } O(m^2)\\
&& \hspace*{2mm}I= \{1, \ldots, m - 1\}\\
&& \hspace*{2mm}t = 0\\
&& \begin{array}{l}
\mbox{while $|I| > 0$} \\
\hspace*{5mm}t = t + 1\\
\hspace*{5mm}\mbox{$Index$ = das erste Element in $I$}\\
\hspace*{5mm}T_t = \{w_{Index}\}\\
\hspace*{5mm}J_t = B_{Index}\\
\hspace*{5mm}\tilde{I}_t = \{ Index\}\\
\hspace*{5mm}\mbox{for alle $i \in I \setminus \tilde{I}_t$}\\
\hspace*{10mm}\mbox{if $B_{Index} = B_i$}\\
\hspace*{15mm}T_t = T_t \cup \{ w_i \}\\
\hspace*{15mm}\tilde{I}_t = \tilde{I}_t \cup \{ i \}\\
\hspace*{10mm}\mbox{end if}\\
\hspace*{5mm}\mbox{end for}\\
\hspace*{5mm}I = I \setminus \tilde{I}_t\\
\mbox{end while}\\
\end{array} 
\end{eqnarray*}

Der gr"o"ste Aufwand entsteht im Fall $B_i= B_j$ f"ur $i, j=1, \ldots, m$. Dann l"auft die ``while``-Schleife einmal, die ``for``-Schleife $m-2$ mal, und die Berechnungen in der Zeile ``if $B_{Index} = B_i$`` erfordern Zeit $O(m^2)$. Damit gilt:
$$\mbox{ \fbox{$C(Berechnung \ von \ T_1, \ldots, T_{\bar{m}} \ und \ J_1, \ldots, J_{\bar{m}}) = O(2^{3n}).$}}$$ 

\begin{tabbing}			
{\sc \Large TMengen} := proc()\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local i, j, t, B, Iset, Isubset, Index; \> \> \>  \\
\> global number, T, J;\> \> \> \\
\> B := array(1..m - 1);\> \> \> \\
\> for i from 1 to m - 1 do\> \> \> \\
\> \> B[i]  := $\{ \}$;\> \>\\ 
\> \> for j from 1 to m - 1 do\> \> \\
\> \> \> if b(i, j) $<>$ 0 then\> \\
\> \> \> \> B[i]  := B[i] union \{j\};\\
\> \> \> end if;\> \\
\> \> end do;\> \> \\
\> end do;\> \> \> \\
\>Iset := \{seq(i, i = 1..m - 1)\};\> \> \> \\
\> t := 0;\> \> \> \\
\> while nops(Iset) $>$ 0 do\> \> \> \\
\> \> t := t + 1;\> \> \\
\> \>Index := Iset[1];\> \> \\
\> \> T$||$t := \{w$||$Index\};\> \> \\
\> \> J$||$t := B[Index]; \> \> \\
\> \> Isubset := \{Index\};\> \> \\
\> \>for i in (Iset minus Isubset) do\> \> \\
\> \> \> if B[Index] = B[i] then\> \\
\> \> \> \> T$||$t := T$||$t union \{w$||$i\};\\
\> \> \> \> Isubset  := Isubset  union \{i\};\\
\> \> \> end if;\> \\
\> \> end do;\> \> \\
\> \> Iset := Iset minus Isubset ;\> \> \\
\> end do;\> \> \> \\
\> number := t; \> \> \> \\
\> T$||$(number + 1) := \{1\};\> \> \> \\
\> J$||$(number + 1) := \{m\};\> \> \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}

Unter Ber"ucksichtigung von Bemerkung \ref{bpr}(5) wird ein Disjunktionstest f"ur die Mengen $J_t$ f"ur $t=1, \ldots, \bar{m}-1$ in der Prozedur {\sc DisjunktTest} wie folgt durchgef"uhrt 
\begin{tabbing}
{\sc \Large DisjunktTest} := proc()\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local i, j;\> \> \> \> \\
\> global  Test; \> \> \> \> \\
\> i := 1; \> \> \> \> \\
\> Test := true;  \> \> \> \> \\
\> while (Test = true) and (i $<$ number) do  \> \> \> \> \\
\> \> j := i + 1;  \> \> \> \\
\> \> while (Test = true) and (j $<=$ number) do  \> \> \> \\
\> \> \> if (J$||$i intersect J$||$j) $<>$ \{ \} then   \> \> \\
\> \> \> \> Test := false;  \> \\
\> \> \> end if;  \> \> \\
\> \>\>  j := j + 1; \> \> \\
\> \> end do; \> \> \> \\
\> \> i := i + 1; \> \> \> \\
\> end do; \> \> \> \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}
und kostet Zeit
$$\mbox{ \fbox{$C(Disjunktionstest \ f"ur \ J_1, \ldots, J_{\bar{m}-1}) = O(2^{2n}).$}}$$ 

Ist der Output von {\sc DisjunktTest} ``true``, so bedeutet dies, dass die Indexmengen $J_t$ f"ur $t = 1, \ldots, \bar{m}$ paarweise disjunkt sind, und dass Proposition \ref{nulla} angewendet werden kann. 


\subsubsection{{\boldmath Berechnung einer Ganzheitsbasis f"ur $F_n/F_0$}}
\label{schritt6}

Nach \label{schritt61} Schritt 6 in Algorithmus \ref{algor} wird eine Ganzheitsbasis $\{u_1, \ldots, u_m\}$ f"ur $F_n/F_0$ berechnet. Wir verfolgen Algorithmus \ref{alg}. Nach Schritt 1 gilt f"ur $k=1$
$$c_{(1,1)} = D_1 \mbox{ und } u_1 = D_1 w_1,$$
und nach Bemerkung \ref{bpr}(6) gilt f"ur $k= m$
$$u_m = 1.$$ 

Daher betrachten wir Schritt 2 f"ur ein $k \in \{ 2, \ldots, m-1\}$. Ist das Ergebnis vom Disjunktionstest ``true``, stellen wir zuerst fest, in welcher Menge $T_{t'}$ f"ur ein $t' \in \{1, \ldots, \bar{m}\}$ das Element $w_k$ liegt. Dies wird unter Ber"ucksichtigung von Bemerkung \ref{bpr}(5) wie folgt durchgef"uhrt: 
\[ \begin{array}{l}
t' = 1\\
\mbox{while } member(w_k, T_{t'}) = false\\
\hspace*{5mm}t' = t' + 1\\
\mbox{end while}\\
tmenge = T_{t'}\\
\end{array}  \]

Die Abfrage $member(w_k, T_{t'})$ erfordet Zeit $O(m)$, und die ``while``-Schleife l"auft h"ochstens $\bar{m} \leq m$ mal. Dann gilt:
$$C\left(Fixierung \ der \ Menge \ T_{t'} \ni w_k\right) = O\left(2^{2n}\right).$$ 

Dieses Verfahren ist in der Hilfsprozedur {\sc TMenge} implementiert, und die Menge $T_{t'} \ni w_k$ wird in $tmenge$ gespeichert.\footnote{Da $tmenge$ nur in der Prozedur {\sc Ganzheitsbasis} in der Schleife nach $k$ gebraucht wird und als selbstst"andiges Ergebnis nicht interessant ist, ben"otigt sie keine Indizierung.} Damit k"onnen wir in der Prozedur {\sc Ganzheitsbasis} testen, ob $w_i \in T_{t'}$ f"ur $i \ne k$ ist: $member(w||i, tmenge)$.

\begin{tabbing}
{\sc \Large TMenge} := proc(wk)\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local t;\> \\
\> global tmenge;\> \\
\> t := 1;\> \\
\> while member(wk, T$||$t) = false do\> \\
\> \> t := t + 1; \\
\> end do;\> \\
\> tmenge := T$||$t;\\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}

Wir f"uhren jetzt einige Vorbereitungen durch. Seien $i,j=1, \ldots, m$. Dann gilt f"ur $b_{ij} = \frac{b'_{ij}}{d_{ij}}$ aus den Basisdarstellungen von $w_i^Q = \sum_{j=1}^{m-1} b_{ij} w_j$ folgendes:\footnote{Siehe Begr"undung daf"ur auf Seite \pageref{page2}.}
\begin{eqnarray}
\label{bstrich}
deg \ b'_{ij} & \leq & Z_0^{(0)},\\
deg \ d_{ij}  & \leq & N_0^{(0)} + (2^{n-1} + 1)Q. \nonumber
\end{eqnarray}
Damit, und da jedes $d_{ij}$ ein Produkt von Potenzen von h"ochstens vier verschiedenen Polynomen\footnote{Siehe (\ref{dijfakt}), Seite \pageref{dijfakt}. Falls das Polynom $x_0^2+1$ zerf"allt, haben seine beiden Faktoren immer die gleichen Grade, was aber keinen Unterschied im Vergleich zum irreduziblen $x_0^2+1$ f"ur die folgenden Absch"atzungen macht.} ist, gilt
\begin{equation}
\label{diabs}
deg \ kgV(d_{i1}, \ldots, d_{im-1}) \leq 4\left(N_0^{(0)} + (2^{n-1} + 1)Q\right)
\end{equation}
und analog 
\begin{equation}
\label{zukgv}
deg \ kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj}) \leq 4\left(N_0^{(0)} + (2^{n-1} + 1)Q\right).
\end{equation}
Da $\lceil \frac{s}{Q} \rceil \leq \frac{s}{Q} +1$ f"ur alle $s \in \N$ gilt, folgt nach (\ref{grossdk}) (Seite \pageref{grossdk}) und nach (\ref{diabs})
\begin{equation}
\label{cda}
deg \ D_i \leq 4\left(\frac{N_0^{(0)}}{Q} + (2^{n-1}+1) \right) +4.
\end{equation}
Damit gilt nach Folgerung \ref{cpolyn}
\begin{equation}
\label{ciigrad}
deg \ c_{(i,i)} \ \leq  \ 4\left(\frac{N_0^{(0)}}{Q} + 2^{n-1}+2 \right).
\end{equation}

Alle weiter angegebenen Algorithmen (Teile von Algorithmus \ref{alg}) sind f"ur ein $k \in \{2, \ldots, m-1\}$ geschrieben unter der Voraussetzung, dass die Berechnungen f"ur $i=2, \ldots, k-1$ bereits stattgefunden haben. 

Sei also $k \in \{2, \ldots, m-1\}.$
Dann sind  $deg \ c_{(i, i)}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$ bekannt, und wir k"onnen $deg \ a_i(e_1, \ldots, e_l, x)$\footnote{Siehe (\ref{aikbesch}), Seite \pageref{aikbesch}.} nach Schritt 2.1, (\ref{cda}) und (\ref{ciigrad})  absch"atzen.
Nach Schritt 2.2 werden $a_i(e_1, \ldots, e_l, x)$ und $a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q$ unter Ber"ucksichtigung von Proposition \ref{nulla} und $e_{\phi(i,s)}^Q = e_{\phi(i,s)}$\footnote{$\phi(i, s)$ ist auf Seite \pageref{ege} definiert.} f"ur $i=1, \ldots, k$ wie folgt konstruiert:
$$\begin{array}{l}
a_k(e_1, \ldots, e_l, x)  = \displaystyle \sum_{s=0}^{deg \ D_k}e_{\phi(k, s)} x_0^s\\
a_k(e_1, \ldots, e_l, x)  ^Q = \displaystyle \sum_{s=0}^{deg \ D_k}e_{\phi(k, s)} x_0^{sQ}\\
Fixierung \ von \ T_{t'} \ni w_k \hspace{25mm} \mbox{(mit $O(m^2)$ abgesch"atzt)}\\
\mbox{for } i =1, \ldots,  k - 1\\
\hspace*{5mm}\mbox{if  } Disjunktionstest =  false \mbox{ or } (Disjunktionstest =  true \mbox{ and }\\
\hspace*{5mm}member(w_i, T_{t'}) = true) \\
\hspace*{10mm}a_i(e_1, \ldots, e_l, x)  = \displaystyle  \sum_{s=0}^{deg \ c_{(i,i)} -1}e_{\phi(i, s)} x_0^s\\
\hspace*{10mm}a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q = \displaystyle  \sum_{s=0}^{deg \ c_{(i,i)} -1}e_{\phi(i, s)} x_0^{sQ}\\
\hspace*{5mm}\mbox{else}\\
\hspace*{10mm}a_i(e_1, \ldots, e_l, x)   = 0\\
\hspace*{10mm}a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q = 0\\
\hspace*{5mm}\mbox{end if}\\
\mbox{end for}\\
\end{array} $$
Die Abfrage $member(w_i, T_{t'})$ ben"otigt Zeit $O(m)$. Die Eingabe der Summen kostet nach (\ref{cda}) und (\ref{ciigrad}) je Zeit $O\left(\frac{N_0^{(0)}}{Q} \right)$. Wegen $k \leq m-1$ gilt dann
\begin{eqnarray*}
C(Konstruktion \ von \ a_i(e_1, \ldots, e_l, x), \ i=1, \ldots, k) & =& O\left(m\left(m + \frac{N_0^{(0)}}{Q}\right) \right)\\
& \subseteq & O\left(2^{3n}n\right).
\end{eqnarray*}

Damit ist alles vorbereitet, um die Division im Quotienten (\ref{condit}) (Seite \pageref{condit}), den wir hier als $\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b_{ij}$ betrachten werden, durchzuf"uhren und den L"osungsraum des linearen Gleichungssystems (\ref{lgserst}) (Seite \pageref{lgserst})  zu bestimmen.

$$\begin{array}{lll}
&& LGS1 = \{ \}\\
&& \mbox{for $j =1, \ldots, m - 1$}\\
&& \hspace*{5mm}R_j = numerator\left(\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b_{ij}\right) \ / \\  
&& \hspace*{5mm}denominator\left(\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b_{ij}\right) \ mod \ p\\ 
&&\\
&& \hspace*{5mm}\mbox{if $R_j \ne 0$}\\
&& \hspace*{10mm}\mbox{for $i=0, \ldots, deg \ R_j$}\\
&& \hspace*{15mm}LGS1 = LGS1 \cup \left\{Koeffizient_{x_0^i}R_j = 0 \right\}\\
&& \hspace*{10mm}\mbox{end for}\\
&& \hspace*{5mm}\mbox{end if}\\
&& \mbox{end for}
\end{array}$$
Sei $j \in \{1, \ldots, m-1\}.$ Die Berechnungen in der Zeile 
$$``R_j = numer.\left(\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b_{ij}\right) \ / \ denom.\left(\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b_{ij}\right)``$$
werden  in der Reihenfolge 
$$\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b_{ij}= \sum_{i=1}^k \frac{a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b'_{ij}}{d_{ij}} = \frac{\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b'_{ij} h_{ij}}{kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})},$$
wobei $h_{ij} :=  \frac{kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})}{d_{ij}}$  f"ur $i=1, \ldots, k$, wie folgt ausgef"uhrt:\\
i) Das Ausmultiplizieren der Faktoren in $b'_{ij} \in \F_p[x_0]$ f"ur $i=1, \ldots, k$ und die Addition modulo $p$ der Koeffizienten bei gleichen Potenzen von $x_0$ ben"otigen analog zu den "Uberlegungen zu (\ref{chiv}) (Seite \pageref{chichi}) nach Lemma \ref{zonq} Zeit 
$$O\left(m \left(Z_0^{(0)}\right)^4 \right) \subseteq O\left( m \left(4^n nQ \right)^4 \right).$$  
ii) Das Ausmultiplizieren von $a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b'_{ij}$ f"ur $i=1, \ldots, k$ und die Addition der Koeffizienten (enthalten die Unbestimmten $e_1, \ldots, e_l$) bei gleichen Potenzen von $x_0$ ben"otigen nach (\ref{bstrich}), (\ref{cda}), (\ref{ciigrad}) und Lemma \ref{zonq} Zeit 
$$O\left(m \left(Z_0^{(0)}\left(4N_0^{(0)} + 2^{n+1}Q + 7Q\right)\right)\right) \subseteq O\left(m \left(4^n nQ\right)^2\right).$$ 
iii) Die Berechnung von $kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})$: aufgrund der Kenntnis der Faktorisierungen von $d_{ij}$ kann sie durch einen Vergleich der Potenzen gleicher Faktoren in $d_{ij}$  f"ur $i=1, \ldots, k$ durchgef"uhrt werden\footnote{Analog zu Abschnitt \ref{schritt4}, Seite \pageref{page3}.}  und ben"otigt daher Zeit 
$$O(m^2) = O(2^{2n}).$$
iv) Das Ausmultiplizieren der Faktoren in $h_{ij} :=  \frac{kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})}{d_{ij}}$  f"ur $i=1, \ldots, k$ und die Addition modulo $p$ der Koeffizienten bei gleichen Potenzen von $x_0$ wird wie folgt ausgef"uhrt: das Ausmultiplizieren der Potenzen der Faktoren\footnote{Jeder Faktor ist eine binomische Formel.} (maximal vier) kann auf die Berechnung der binomialen Koeffizienten  reduziert werden, das Ausmultiplizieren der ausmultiplizierten Potenzen dieser Faktoren ben"otigt nach (\ref{zukgv}) (Seite \pageref{zukgv}) und Lemma \ref{zonq} Zeit
$$O\left(m \left(N_0^{(0)} + (2^{n-1} + 1)Q\right)^4 \right) \subseteq O\left(m \left(4^n nQ\right)^4\right).$$  
Das Ausmultiplizieren von $kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})$ ist in der angegebenen Komplexit"at enthalten.\\
v) Das Ausmultiplizieren von $\left(a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b'_{ij}\right) h_{ij}$ f"ur $i=1, \ldots, k$ und die Berechnung von $\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b'_{ij}h_{ij}$ kostet nach Lemma \ref{zonq} Zeit  
$$O\left(m\left(deg \ b'_{ij} + deg \ a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q\right)deg \ h_{ij}\right) \subseteq O\left(m \left(4^n nQ\right)^2\right).$$
vi) Die Division von $\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b'_{ij}h_{ij}$ durch $kgV(d_{1j}, \ldots, d_{kj})$ ist in der angegebenen Komplexit"at enthalten.

Da die Schleife nach $j$ $m-1$ mal l"auft, gilt
\begin{eqnarray*}
C(Division \ in \ (\ref{condit}) \ in \ Schritt \ 2.2 \ in \ Alg. \ \ref{alg}) & =&  O\left(m^2 \left(4^{n}nQ\right)^4 \right)\\
& =&  O\left(2^{10n}n^4Q^4 \right).
\end{eqnarray*}

Die Anzahl der Gleichungen im linearen Gleichungssystem (\ref{lgserst})\footnote{Siehe Seiten \pageref{rest} - \pageref{lgserst}.} ist gleich $\sum_{j=1}^{m-1} \left(deg \ R_j +1\right)$. Da $deg \ R_j \leq deg \ \left(\sum_{i=1}^k a_i(e_1, \ldots, e_l, x)^Q b'_{ij}h_{ij} \right)$ f"ur \\$j=1, \ldots, m-1$ gilt, folgt nach Lemma \ref{zonq}:
\begin{eqnarray*}
C(L"osung \ des \ Systems \ (\ref{lgserst}) \ in \ Schritt \ 2.2 \ in \ Alg. \ \ref{alg}) & =&  O\left(\left(m \ 4^n n Q\right)^3\right)\\
& =&  O\left(2^{9n} n^3 Q^3\right).
\end{eqnarray*}
  
Der Divisionsalgorithmus und die L"osung des linearen Gleichungssystems sind in der Hilfsprozedur {\sc DivSys} implementiert:
\begin{tabbing}
{\sc \Large DivSys} := proc(k)\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local eqns, i, j, R, S;\> \> \> \\
\> eqns := $\{\}$;\> \> \> \\
\> for j from 1 to m - 1 do\> \> \> \\
\> \> for i from 1 to k do\> \> \\
\> \> \> S(i, j) := (A$||$i)*b(i, j);\> \\
\> \> end do;\> \> \\
\> \> S$||$j := sum($'${S(i, j)}$'$, $'$i$'$ = 1..k);\> \> \\
\> \> R$||$j := Rem(numer(S$||$j), denom(S$||$j), x$||$0) mod p;\> \> \\
\> \> if R$||$j $<>$ 0 then\> \> \\
\> \> \> for i from 0 to degree(R$||$j) do\> \\
\> \> \> \> eqns := eqns union $\{$coeff(R$||$j, x$||$0, i) = 0$\}$;\\
\> \> \> end do;\> \\
\> \> end if;\> \> \\
\> end do;\> \> \> \\	
\> msolve(eqns, p);\> \> \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}

Nach der L"osung des Systems (\ref{lgserst}) in Schritt 2.2 k"onnen wir $a_i(e_1, \ldots, e_l, x)$ nach (\ref{aikdar}) in Schritt 2.3 f"ur $i=1, \ldots, k$ darstellen: 
\[  \begin{array}{l}
\mbox{for $i=1, \ldots, k-1$}\\
\hspace*{5mm}\mbox{if $a_i(e_1, \ldots, e_l, x) \ne 0$}\\
\hspace*{10mm}a_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) = L"osung1 \to a_i(e_1, \ldots, e_l, x)  \ mod \ p\\
\hspace*{5mm}\mbox{end if}\\
\mbox{end for}\\
\end{array} \]
Die Anzahl der Unbestimmten, die durch diese L"osung in jedem $a_i(e_1, \ldots, e_l, x) $ ersetzt werden, ist nicht gr"o"ser als $deg \ c_{(i, i)}$ (siehe (\ref{aikbesch}), Seite \pageref{aikbesch}). Nach (\ref{ciigrad}) (Seite \pageref{ciigrad}) gilt dann:
\begin{eqnarray*}
C(a_i(e_1, \ldots, e_l, x) \ in \ der \ Darstellung \ (\ref{aikdar}) \ f"ur \ i=1, \ldots, k) & = & O\left(m \frac{N_0^{(0)}}{Q} \right)\\
& = & O\left(2^{3n}n\right).
\end{eqnarray*}

Die Berechnung von $c_{(k, k)} = ggT(a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) , D_k)$ ben"otigt nach (\ref{cda}), (\ref{ciigrad}) (Seite \pageref{ciigrad}) und Lemma \ref{zonq} Zeit 
$$C\left(Berechnung \ von \ c_{(k, k)}\right) = O\left(\left(4^n n\right)^2 \right) = O(2^{4n} n^2).$$ 

Nach Schritt 2.4 bestimmen wir $c_{(i,k)}$ f"ur $i=1, \ldots, k-1$ wie folgt:
\[ \begin{array}{l}
\hspace*{2mm}LGS2 = \{\}\\
\left. \begin{array}{l}\mbox{for $s= 0, \ldots, deg \ c_{(k,k)}$}\\
\hspace*{5mm}LGS2 =  \left\{Koeffizient_{x_0^s}a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) = \right.\\
\hspace*{5mm}\left. Koeffizient_{x_0^s}c_{(k, k)}\right\}\cup LGS2 \\
\mbox{end for}\\
\mbox{for $s= deg \ c_{(k, k)} + 1, \ldots, deg \ a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) $}\\
\hspace*{5mm}LGS2 = \left\{Koeffizient_{x_0^s}a_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) = 0\right\}\\
\hspace*{5mm} \cup \ LGS2\\
\mbox{end for} \end{array} \right\} \mbox{ in Zeit } O\left(2^{2n} n\right)\\
\hspace*{2mm}L"osung2 = solve(LGS2, modulo \ p) \hspace{29mm} \mbox{ in Zeit } O\left(2^{6n} n^3\right) \\
\left. \begin{array}{l}\mbox{for } i =1, \ldots, k - 1\\
\hspace*{5mm}\mbox{if } a_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) \ne 0\\
\hspace*{10mm}c_{(i, k)} = L"osung2 \to a_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) \  mod \ p\\
\hspace*{5mm}\mbox{else}\\
\hspace*{10mm}c_{(i, k)}= 0\\
\hspace*{5mm}\mbox{end if}\\
\mbox{end for} \end{array} \right\}  \mbox{ in Zeit } O(2^{6n}n^2)\\
\end{array}\]
Die Unbestimmten $\lambda_1, \ldots, \lambda_d$ werden durch die L"osung des zweiten Systems in $a_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) $\footnote{In der Darstellung (\ref{aikdar}), Seite \pageref{aikdar}.} insgesamt nicht mehr als $d (deg \ a_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) +1)$ mal ersetzt, wobei $d < l \leq \sum_{i=1}^k deg \ D_i$ ist.\footnote{$d$ und $l$ sind auf den Seiten \pageref{ldef} und \pageref{ddef} definiert.} Daher ben"otigt die dritte ``for``-Schleife Zeit $O(m \cdot d \cdot deg \ a_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_d, x) ) \subseteq O\left(2^{6n} n^2\right).$
Nach  Lemma \ref{zonq} gilt dann
$$C\left(Berechnung \ von \ c_{(i, k)} \ f"ur \ i=1, \ldots, k-1\right) = O\left(2^{6n} n^3\right).$$ 

Da die obigen Berechnungen f"ur jedes $k=2, \ldots, m-1$ durchgef"uhrt werden, und da alle obigen Absch"atzungen f"ur jedes $k=2, \ldots, m-1$ gelten, folgt 
\\

\hspace*{13mm}\fbox{$\begin{array}{lll}
C(Berechnung \ von \ u_1, \ldots, u_m) & = & O\left(m 2^{10n} n^4 Q^4\right)\\
& = & O\left(2^{11n} n^4 Q^4\right). \end{array}$}
\\

Wir implementieren den gesamten Algorithmus \ref{alg} in der Prozedur {\sc Ganzheitsbasis}. Der Output sind die Elemente $u_1, \ldots, u_m$, die eine Ganzheitsbasis f"ur $F_n/F_0$ bilden, und ihre Bewertungen, bzw. Polordnungen ganzzahlig und modulo $m$ an der Stelle $P^{(n)}_\infty \in \PP_{F_n}.$ Im Laufe dieser Prozedur werden die drei Hilfsprozeduren {\sc TMenge, DivSys} und {\sc DefOne} aufgerufen. 
Die Durchf"urung des Maple 7 Befehls ``Factor mod p`` in dieser Prozedur ist nicht notwendig und kann bei den Berechnungen weggelassen werden. Die Faktorisierungen von $c_{(i,k)}$ f"ur $i=1, \ldots, k$ dienen nur einer besseren optischen Darstellung. 
Wir setzen zus"atzlich $c_{(i,k)}:=0$ f"ur $i =k+1, \ldots, m-1$, da es f"ur den Ablauf der Hilfsprozedur {\sc DefOne} erforderlich ist. Die Prozedur {\sc DefOne} wird in den Prozeduren {\sc Ganzheitsbasis} und {\sc VPolordnungen} (wird im n"achsten Abschnitt beschrieben) aufgerufen. 
\begin{tabbing}
{\sc \Large Ganzheitsbasis} := proc()\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local i, k, s, a, eqt, N, LGS1, LGS2; \> \> \>  \\
\> global A, c, e, u, val, mval;\> \> \> \\
\> c(1, 1) := D$||$1; \> \> \> \\
\> N$||$1 := degree(c(1, 1)); \> \> \> \\
\> for k from 2 to m-1 do \> \> \> \\
\> \> e := array(1..k, 0..maxdeg); \> \> \\
\> \> a$||$k := sum($'${e[k, s]* x$||$0{\bf \^{}}s}$'$, $'$s$'$ = 0..degree(D$||$k));\>  \> \\
\> \> A$||$k := sum($'${e[k, s]*x$||$0{\bf \^{}}(Qs)}$'$, $'$s$'$ = 0..degree(D$||$k));\>  \> \\
\> \>  TMenge(w$||$k);\> \> \\
\> \>  for i from 1 to k - 1 do\> \> \\
\> \> \>  if ((Test = true) and (member(w$||$i, tmenge) = true)) or \> \\
\> \> \>  (Test = false) then \> \\
\> \> \> \> a$||$i := sum($'${e[i, s]*x$||$0{\bf \^{}}s}$'$ , $'$s$'$ = 0..N$||$i - 1);\\
\> \> \> \> A$||$i := sum($'${e[i, s]*x$||$0{\bf \^{}}(Qs)}$'$, $'$s$'$ = 0..N$||$i - 1);\\
\> \> \> else\> \\
\> \> \> \> a$||$i := 0;\\
\> \> \> \> A$||$i := 0;\\
\> \> \> end if;\> \\
\> \> end do;\> \> \\
\> \> LGS1 := DivSys(k);\> \> \\
\> \>  for i from 1 to k do \> \> \\
\> \> \> if  a$||$ i $<>$ 0 then \> \\
\> \> \> \> a$||$i := subs(LGS1, a$||$i) mod p; \\
\> \> \> end if; \> \\
\> \> end do; \> \> \\
\> \> c(k, k) := Factor(Gcd(a$||$k, D$||$k) mod p) mod p; \> \> \\
\> \> N$||$k := degree(c(k, k)); \> \> \\
\> \> eqt := $\{\}$;\> \>  \\
\> \> for s from 0 to N$||$k do \> \> \\
\> \> \> eqt := eqt union $\{$coeff(a$||$k, x$||$0, s) = coeff(c(k, k), x$||$0, s)$\};$ \> \\
\> \> end do; \> \> \\
\> \> for s from N$||$k + 1 to degree(a$||$k) do \> \>\\
\> \> \> eqt := eqt union $\{$coeff(a$||$k, x$||$0, s) = 0$\};$  \> \\
\> \>end do; \> \>\\
\> \> LGS2 := msolve(eqt, p); \> \>\\
\> \> for i from 1 to k - 1 do\> \>\\
\> \> \> if a$||$i $<>$ 0 then \> \\
\> \> \> \> c(i, k) := Factor(subs(LGS2, a$||$i) mod p) mod p; \\
\> \> \> else \> \\
\> \> \> \> c(i, k) := 0; \\
\> \> \> end if; \> \\
\> \>end do; \> \>\\
\> end do;\> \> \>\\
\> for k from 1 to m-1 do \> \> \> \\
\> \> for i from k + 1 to m - 1 do\> \> \\
\> \> \> c(i, k) := 0;\>  \\
\> \> end do;\> \> \\
\> \> DefOne(k); \> \> \\
\> end do; \> \> \> \\
\> u$||$m := 1; \> \> \> \\
\> val$||$m := 0; \> \> \> \\
\> mval$||$m := 0;  \> \> \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}
\begin{tabbing}
{\sc \Large DefOne} := proc(k)\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local i, U, ValU;\> \\
\> global  u, val, mval; \> \\
\> for i from 1 to m - 1 do \> \\
\> \> U(i, k) := c(i, k)*$'$w$'||$i; \\
\> \> ValU(i, k) := infval$||$i - m*degree(c(i, k)); \\
\> end do; \> \\
\> u$||$k := sum($'${U(i, k)}$'$, $'$i$'$ = 1..m - 1); \> \\
\> val$||$k :=  min(seq(ValU(i, k), i = 1..m - 1));  \> \\
\> mval$||$k := val$||$k  mod  m; \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}

\subsubsection{{\boldmath Berechnung einer Ganzheitsbasis f"ur $F_n/F_0$ mit modulo $m$ paarweise inkongruenten Polordnungen an der Stelle $P^{(n)}_\infty$}}
\label{schritt7}

Da \label{schritt71} die Implementierung von Algorithmus \ref{alg0} mit seiner abstrakten Beschreibung in Abschnitt \ref{verpol} "ubereinstimmt, geben wir gleich die entsprechende Prozedur {\sc VPolordnungen} an. Zur Komplexit"at ist noch folgendes zu sagen. Aus dem Beweis von Lemma \ref{endalg} folgt, dass nach weniger als $S_0$ (siehe die dort eingef"uhrten Bezeichnungen) Schritten der Algorithmus \ref{alg0} endet. Daher sch"atzen wir $S_0$ ab:
\begin{eqnarray*}
S_0 & = & \sum_{k=1}^m |v_{P^{(n)}_\infty}(u_k)| \\
& \leq &  \sum_{k=1}^m m \cdot max\{ deg \ c_{(i,k)} \ | \ i=1, \ldots, k \} \ \  \mbox{ wegen } u_k = \sum_{i=1}^k c_{(i,k)} w_i \\
& \leq & \sum_{k=1}^m m \cdot max\{ deg \ c_{(i,i)} \ | \ i=1, \ldots, k \} \ \ \ \mbox{ nach Lemma \ref{eindeutig}}\\ 
& \leq & \sum_{k=1}^m m \left(4\left(\frac{N_0^{(0)}}{Q} + 2^{n-1}+2 \right) \right) \hspace{10mm} \mbox{ nach (\ref{ciigrad}), (Seite \pageref{ciigrad}) }\\
& \in & O\left(m^2 4^n n\right) \hspace{41mm} \mbox{ nach Lemma \ref{zonq}}\\
& = & O\left(2^{4n}n \right).
\end{eqnarray*}
Die Suche nach Indizes $k_1$ und $k_2$ erfordet Zeit, die nicht schlechter als $O(m^2)$ ist, die Suche nach dem Index $s$ erfordet Zeit, die nicht schlechter als $O(m)$ ist. Die Berechnung (gegebenenfalls) eines neuen Ganzheitsbasiselements \\
\\
\hspace*{15mm}if $deg \ c_{(s, k_1)} \leq deg \ c_{(s, k_2)}$\\
\hspace*{20mm}$u_{k_2}= u_{k_2} - \frac{lcoefficient(c_{(s, k_2)})}{lcoefficient(c_{(s, k_1)})} \ x_0^{deg \ c_{(s, k_2)} - deg \ c_{(s, k_1)}}  u_{k_1}$\\
\hspace*{15mm}else\\
\hspace*{20mm}$u_{k_1}= u_{k_1} - \frac{lcoefficient(c_{(s, k_1)})}{lcoefficient(c_{(s, k_2)})} \ x_0^{deg \ c_{(s, k_1)} - deg \ c_{(s, k_2)}} u_{k_2}$\\
\hspace*{15mm}end if\\
\\
ben"otigt h"ochtens (wegen des Substraktion der Polynome) Zeit 
$$O(m \cdot max\{ deg \ c_{(i,k)} \ | \ i=1, \ldots, k \}) = O\left(m 4^n n \right) = O\left(2^{3n}n \right).$$
Damit gilt
$$\mbox{ \fbox{$C(Algorithmus \ \ref{alg0}) =  O\left(2^{7n}n^2 \right).$}} \ \footnote{Diese Komplexit"at entspricht dem Fall, wenn $S_i - S_{i-1} = 1$ f"ur $i \geq 0$ gilt. Dies ist aber in den berechneten Beispielen nicht vorgekommen.}$$

In der Prozedur {\sc VPolordnungen} wird (gegebenenfalls) eine weitere Ganzheitsbasis mit Elementen mit modulo m paarweise inkongruenten Polordnungen an der Stelle $P^{(n)}_\infty$ berechnet. 

Es ist noch folgendes zu bemerken: nach Algorithmus \ref{alg} wird jedes $u_k$ als $\sum_{i=1}^k c_{(i,k)} w_k$ konstruiert. F"ur $k < m$ gilt $w_i  \notin \F_p$ f"ur $i=1, \ldots, k$. Damit folgt $v_{P^{(n)}_\infty}(u_k) \not \equiv 0 \ mod \ m $ f"ur $k=1, \ldots, m-1$. Da $u_m=1$, betrachten wir in dieser Prozedur nur $u_1, \ldots, u_{m-1}$. Die Durchf"uhrung des Maple 7 Befehls ``Factor mod p`` in dieser Prozedur ist nicht notwendig und kann bei den Berechnungen weggelassen werden. Die Faktorisierugen von Polynomen aus $\F_p[x_0]$ dienen nur einer besseren optischen Darstellung. 

\begin{tabbing}
{\sc \Large VPolordnungen} := proc()\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local k1, k2, flag1, flag2, i, s; \> \> \> \> \\
\> flag1 := false;  \> \> \> \> \\
\> while (flag1 = false) do \> \> \> \> \\
\> \> k1 := 1;  \> \>  \> \\
\> \> flag1 := true;  \> \>  \> \\
\> \> while ((flag1 = true) and (k1 $<$ m)) do  \>  \> \> \\
\> \> \> k2 := k1 + 1;  \>  \> \\
\> \> \> while ((flag1 = true) and (k2 $<$ m)) do \> \> \\
\> \> \> \> if mval$||$k1 = mval$||$k2 then \> \\
\> \> \> \> \> flag1 := false;\\
\> \> \> \> else \> \\
\> \> \> \> \> k2 := k2 + 1;\\
\> \> \> \> end if; \> \\
\> \> \> end do; \> \> \\
\> \> \> if flag1 = true then \> \> \\
\> \> \> \> k1 := k1 + 1;\> \\
\> \> \> end if; \> \> \\
\> \> end do; \> \> \> \\
\> \> if flag1 = false then \> \> \> \\
\> \> \> flag2 := true;\> \> \\
\> \> \> s := 1; \> \> \\
\> \> \> while (flag2 = true) do \> \> \\
\> \> \> \> if (mval$||$k1 = (infval$||$s mod m)) then \> \\
\> \> \> \> \> flag2 := false;\\
\> \> \> \> else \> \\
\> \> \> \> \> s := s + 1;\\
\> \> \> \> end if; \> \\
\> \> \> end do; \> \> \\
\> \> \> if degree(c(s, k1)) $<=$ degree(c(s, k2)) then \> \> \\
\> \> \> \> u$||$k2 := (u$||$k2 - (lcoeff(c(s, k2))/lcoeff(c(s, k1))) * \> \\
\> \> \> \>  x$||$0{\bf \^{}}(degree(c(s, k2))  - degree(c(s, k1)))* u$||$k1) mod p; \>  \\
\> \> \> \> for i from 1 to m - 1 do \> \\
\> \> \> \> \> c(i, k2) := Factor(coeff(u$||$k2, $'$w$'||$i)) mod p; \\
\> \> \> \> end do; \> \\
\> \> \> \> DefOne(k2);  \> \\
\> \> \> else\> \> \\
\> \> \> \> u$||$k1 := (u$||$k1 - (lcoeff(c(s, k1))/lcoeff(c(s, k2))) * \> \\
\> \> \> \> x$||$0{\bf \^{}}(degree(c(s, k1)) - degree(c(s, k2)))* u$||$k2) mod p; \> \\
\> \> \> \> for i from 1 to m - 1 do \>  \\
\> \> \> \> \> c(i, k1) := Factor(coeff(u$||$k1, $'$w$'||$i)) mod p;\\
\> \> \> \> end do; \> \\
\> \> \> \> DefOne(k1);  \> \\
\> \> \> end if; \> \> \\
\> \> end if; \> \> \> \\
\> end do;\> \> \> \> \\
end proc;
\poptabs
\end{tabbing}

\subsubsection{{\boldmath Berechnung einer Basis von ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$}}
\label{schritt8}

Nach \label{schritt81} Schritt 8 in Algorithmus \ref{alg} berechnen wir eine Basis von ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$. Alle $v_{P^{(n)}_\infty}(u_i)$ sind bekannt, und wir k"onnen Proposition \ref{basL} anwenden. 
\[ \begin{array}{l}
Basis\left({\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)\right) = \{\}\\
\mbox{for } i=1, \ldots, m\\
\hspace*{5mm}\mbox{for } j=0, \ldots, \left\lfloor \frac{r +  v_{P^{(n)}_\infty}(u_i)}{m} \right\rfloor\\
\hspace*{10mm}Basis\left({\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)\right) = Basis\left({\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)\right) \cup \left\{x_0^j  u_i\right\}\\
\hspace*{5mm}\mbox{end for}\\
\mbox{end for}
\end{array}  \]
\\
Da $v_{P^{(n)}_\infty}(u_i) \leq 0$ f"ur $i=1, \ldots, m$ und $r$ beliebig gro"s sein kann, folgt\\
 
\fbox{$\begin{array}{lll}C\left(Berechnung \ einer \ Basis \ von \ {\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)\right) & = & O(max\{m, r\}) \\
& = & O\left(max\left\{2^n, r\right\}\right). \end{array}$}
\\

\begin{tabbing}
{\sc \Large LBasis} := proc()\\
\pushtabs
xxx\=xxx\=xxx\=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx\kill
\> local i, j; \> \> \\
\> global basis;\> \> \\
\> basis := $\{\}$; \> \>  \\
\> for i from 1 to m do \> \>  \\
\> \> for j from 0 to floor((r + val$||$i)/m) do \> \\
\>  \> \> basis := basis union $\{$x$||$0{\bf \^{}}j * $'$u$'||$i$\}$; \\
\> \> end do; \> \\
\> end do; \> \> \\
\poptabs
end proc;
\end{tabbing}

\subsubsection{{\boldmath Die Komplexit"at des Algorithmus \ref{algor} in Abh"angigkeit von der Anzahl der rationalen Stellen von $F_n/\F_{p^2}$}}
\label{endschritt}
 
Die \label{endschritt1} Gesamtkomplexit"at des Algorithmus \ref{algor} zur Berechnung einer Basis von ${\cal L}\left(rP_\infty^{(n)}\right)$ wird in die Komplexit"at $C_1$ der Berechnung einer Ganzheitsbasis f"ur die Funktionenk"orpererweiterung $F_n/F_0$ mit modulo $m$ paarweise inkongruenten Polordnungen an der Stelle $P_\infty^{(n)}$ und in die Komplexit"at $C_2$ der Anwendung von Proposition \ref{basL} zerlegt. Nach den Ergebnissen aus den Abschnitten \ref{schritt1} - \ref{schritt7}, und da $Q = p^a< p \cdot 2^{2n}$ (siehe Abschnitt \ref{schritt2}) gilt,  folgt 
$$C_1= O\left(2^{11n} n^5 Q^4\right) = O\left(2^{19n} p^{4} n^5\right).$$
Sei $N(F_n)$ die Anzahl der rationalen Stellen von $F_n/\F_{p^2}$. Nach \cite{hs1} sind genau $2(p-1)$ rationale Stellen von $F_0/\F_{p^2}$ voll zerlegt in ${\cal F}$. Daher folgt $N(F_n) \geq 2^{n+1}(p-1)$, und damit gilt
$$C_1 = O\left(N(F_n)^{19} \cdot log^5N(F_n)\right).$$
Nach Abschnitt \ref{schritt8} gilt:
$$C_2 = O\left( max\left\{N(F_n), r \right\} \right).$$
Damit ist
$$C\left(Berechnung \ einer \ Basis \ von \ {\cal L}\left(rP_\infty^{(n)}\right) \right) = O\left(N(F_n)^{19} \cdot log^5 N(F_n)  + r \right).$$

\subsubsection{Ein Beispiel} 
\label{beispiele}

In diesem \label{beispiele1} Abschnitt berechnen wir mittels des Programms eine Basis des Vektorraums ${\cal L}\left(P_\infty^{(n)}\right)$ f"ur gewisse Inputparameter: $n$, $p$, $r$.

Den Output der Prozedur {\sc Basisdarstellung} (die Basisdarstellungen von \\$w_1^Q, \ldots, w_{m}^Q$) geben wir ohne explizite Angabe der Koeffizienten $b_{ij} \in \F_p(x_0)$ f"ur $i,j=1, \ldots, m-1$ ($w_m = 1$). Wir k"onnen diese Koeffizienten aber jederzeit nach dem Ablauf der Prozedur {\sc Basisdarstellung} durch Aufruf von $b(i, j)$ f"ur $(i, j) \in \{1, \ldots, m-1\} \times \{1, \ldots, m-1\}$ ansehen. Den Output der Prozedur {\sc TMengen} geben wir durch die Symbole $w_1, \ldots, w_{m}$ an.

\markboth{\small \sc Ein Beispiel}{ \sc Ganzheitsbasen in einem Turm $(F_n)_{n \geq 0}$ und Basen von ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$ }

$$\mbox{{\bf {\boldmath Input: $p=7$, $n=4,$ $r=39$}}}$$
\\
\underline{{\sc Basis}}():\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_1 = \frac{x_1 x_2 x_3 x_4}{(x_0^2+1)(x_0+1)(x_0+6)^6}  \hspace{7mm} v_{P^4_\infty}(w_1) =  129$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_2 = \frac{x_1 x_3 x_4}{(x_0^2+1)(x_0+6)^6}  \hspace{19mm}  v_{P^4_\infty}(w_2) =  117$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_3 = \frac{ x_2 x_3 x_4}{(x_0+1)(x_0+6)^6}  \hspace{19mm} v_{P^4_\infty}(w_3) =  105$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_4 = \frac{x_1 x_2 x_4}{(x_0^2+1)(x_0+1)(x_0+6)^4}  \hspace{7mm} v_{P^4_\infty}(w_4) =  99$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_5 = \frac{ x_3 x_4}{(x_0+6)^6}  \hspace{32mm} v_{P^4_\infty}(w_5) =  93$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_6 = \frac{x_1 x_4}{(x_0^2+1)(x_0+6)^4}  \hspace{20mm} v_{P^4_\infty}(w_6) =  87$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_7 = \frac{x_2 x_4}{(x_0+1)(x_0+6)^4}  \hspace{20mm}  v_{P^4_\infty}(w_7) =  75$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_8 =  \frac{x_1 x_2 x_3}{(x_0^2+1)(x_0+1)(x_0+6)^2}  \hspace{8mm} v_{P^4_\infty}(w_8) =  66$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_9 = \frac{x_4}{(x_0+6)^4}  \hspace{32mm} v_{P^4_\infty}(w_9) =  63$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_{10} = \frac{x_1 x_3}{(x_0^2+1)(x_0+6)^2}  \hspace{18mm} v_{P^4_\infty}(w_{10}) = 54$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_{11} =  \frac{x_2 x_3}{(x_0+1)(x_0+6)^2}  \hspace{18mm}  v_{P^4_\infty}(w_{11}) =  42$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_{12} =  \frac{x_1 x_2}{(x_0^2+1)(x_0+1)}  \hspace{20mm} v_{P^4_\infty}(w_{12}) =  36$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_{13} = \frac{x_3}{(x_0+6)^2}  \hspace{31mm} v_{P^4_\infty}(w_{13}) =  30$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_{14} =  \frac{x_1}{x_0^2+1}  \hspace{35mm} v_{P^4_\infty}(w_{14}) =  24$\\
\\
\hspace*{25mm}$\displaystyle w_{15} =  \frac{x_2}{x_0+1} \hspace{35mm} v_{P^4_\infty}(w_{15}) =  12$\\
\\
\hspace*{25mm}$w_{16} =  1  \hspace{44mm} v_{P^4_\infty}(w_{16}) =  0$\\
\\
\underline{{\sc ZahlQ}}():
$$Q = 49$$
\underline{{\sc Basisdarstellung}}():
\begin{eqnarray*}
w_1^{27} &=& b_{11} w_1 + b_{12} w_2 + b_{13} w_3 + b_{15} w_5\\
w_2^{27} &=& b_{21} w_1 + b_{22} w_2 + b_{23} w_3 + b_{25} w_5\\
w_3^{27} &=& b_{31} w_1 + b_{32} w_2 + b_{33} w_3 + b_{35} w_5\\
w_4^{27} &=& b_{44} w_4 + b_{46} w_6 + b_{47} w_7 + b_{49} w_9\\
w_5^{27} &=& b_{51} w_1 + b_{52} w_2 + b_{53} w_3 + b_{55} w_5\\
w_6^{27} &=& b_{64} w_4 + b_{66} w_6 + b_{67} w_7 + b_{69} w_9\\
w_7^{27} &=& b_{74} w_4 + b_{76} w_6 + b_{77} w_7 + b_{79} w_9\\
w_8^{27} & = & b_{88} w_{8} + b_{8 11} w_{11}\\
w_9^{27} &=& b_{94} w_4 + b_{96} w_6 + b_{97} w_7 + b_{99} w_9\\
w_{10}^{27} & = & b_{10 10} w_{10} + b_{10 13} w_{13}\\
w_{11}^{27} & = & b_{11 8} w_{8} + b_{11 11} w_{11}\\
w_{12}^{27} & = & b_{12  12} w_{12} \\
w_{13}^{27} & = & b_{13 10} w_{10} + b_{13 13} w_{13}\\
w_{14}^{27} & = & b_{14 14} w_{14} \\
w_{15}^{27} & = & b_{15 15} w_{15}\\
w_{16}^{27} & = & 1
\end{eqnarray*}
\underline{{\sc DPolynome}}():  
\begin{eqnarray*}
D_1 &=& x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^6\\
D_2 &= &x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^6\\
D_3 &= &x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^6\\
D_4 &= &x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^5\\
D_5 &= &x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^6\\
D_6 &= &x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^5\\
D_7 &= &x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^5\\
D_8 &= &x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^2\\
D_9 &= &x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^5\\
D_{10} &=& x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^2\\
D_{11} &= &x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^2\\
D_{12} &= &x_0 (x_0^2+1) \\
D_{13} &= &x_0 (x_0+1) (x_0^2+1) (x_0+6)^2\\
D_{14} &= &x_0 (x_0^2+1) \\
D_{15} &= &x_0 (x_0^2+1) \\
D_{16} &= &1
\end{eqnarray*}
\underline{{\sc TMengen}}():
\begin{eqnarray*}
T_1 &=& \{ w_1, w_2, w_3, w_5\}\\
T_2 &=& \{ w_4, w_6, w_7, w_9\}\\
T_3 &=& \{ w_8, w_{11}\}\\
T_4 &=& \{ w_{10}, w_{13}\}\\
T_5 &=& \{ w_{12}\}\\
T_6 &=& \{ w_{14}\}\\
T_7 &=& \{ w_{15}\}\\
T_8 &=& \{ w_{16}\}
\end{eqnarray*}
\underline{{\sc DisjunktTest}}():
$$\mbox{``Die Indexmengen sind paarweise disjunkt``}$$
\underline{{\sc Ganzheitsbasis}}():  
\begin{eqnarray*}
u_1 &=& x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^6 w_1\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_1)| = 31 \\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_1)| \equiv 15 \ mod \ 16\\
&&\\
u_2 &= & 5x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^5 w_1 + x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^5 w_2 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_2)| = 27\\
 &&|v_{P^4_\infty} (u_2)| \equiv 11 \ mod \ 16\\
&&\\
u_3& = &5x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^5 w_1 + x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^5 w_3 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_3)| = 39\\  
&&|v_{P^4_\infty} (u_3)| \equiv 7 \ mod \ 16\\
&&\\
u_4& =& x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^5 w_4 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_4)| = 45 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_4)| \equiv 13 \ mod \ 16\\
&&\\
u_5& =& 3 x_0(x_0+1)^4(x_0^2+1)(x_0+6)^2 w_1 + 4 x_0(x_0+1)^3(x_0^2+1)(x_0+6)^2 w_2\\
&&+ \ 6 x_0(x_0+1)^2(x_0^2+1)(x_0+6)^2 w_3 + x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^2 w_5 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_5)| = 15 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_5)| \equiv 15 \ mod \ 16\\
&&\\
u_6& =& x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^5 w_6 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_6)|= 57 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_6)| \equiv 9 \ mod \ 16\\
&&\\
u_7& =& 2 x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^4 w_4 + x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^4 w_7 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_7)| = 53 \\
&& |v_{P^4_\infty} (u_7)| \equiv 5 \ mod \ 16\\
&&\\
u_8& =&  x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^2 w_8 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_8)| = 30\\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_8)| \equiv 14 \ mod \ 16\\
&&\\
u_9 &= & x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0^4 + 6x_0^3 + x_0^2 + 5x_0 +4) w_4 \\
&& + \ 3 x_0^2(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0 +4)(x_0+3)^2 w_6 + 6 x_0(x_0+1)^2(x_0^2+1)w_7 \\
&& + \ x_0(x_0+1)(x_0^2+1) w_9 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_9)| = 41\\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_9)| \equiv 9 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{10}& = &x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^2 w_{10} \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{10})| = 42 \\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_{10})| \equiv 10 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{11} &=&  5x_0^2(x_0+1)(x_0^2+1)w_8 + x_0(x_0+1)(x_0^2+1) w_{11} \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{11})| = 22\\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_{11})| \equiv 6 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{12}& =&  x_0(x_0^2+1) w_{12} \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{12})| = 12 \\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_{12})| \equiv 12 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{13} &=& 5 x_0^2(x_0+1)(x_0^2+1) w_{10} + x_0(x_0+1)(x_0^2+1) w_{13}  \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{13})| = 34 \\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_{13})| \equiv 2 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{14} &=&  x_0(x_0^2+1) w_{14} \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{14})| = 24 \\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_{14})| \equiv 8 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{15} &=&  x_0(x_0^2+1) w_{15} \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{15})| = 36\\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_{15})| \equiv 4 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{16} &=&  w_{16}\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{16})| = 0\\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_{16})| \equiv 0 \ mod \ 16
\end{eqnarray*} 
\underline{{\sc VPolordnungen}}(): 
\begin{eqnarray*}
u_1 & = & 3x_0(x_0+1)(x_0+6)^2(x_0^2 +1)(x_0^2+3x_0+5)w_1 \\
& &+ \ x_0^2(x_0+1)^3(x_0+6)^2(x_0^2+1)w_2 + 5x_0^2(x_0+1)^2(x_0^2+1)(x_0+6)^2w_3 \\
& &+ \ 2x_0^2(x_0+6)^2(x_0^2 + 1)(x_0+1)w_5\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_1)|  =  27\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_1)|  \equiv  11 \ mod \ 16\\
&&\\
u_2& = & 5x_0(x_0+1)^2(x_0^2 + 1)(x_0+6)^2(x_0^2+x_0+3)w_1 \\
& &+ \ 2x_0(x_0+6)^2(x_0^2+1)(x_0+1)(x_0^2+x_0+3)w_2 \\
& &+ \ 2x_0^2(x_0+1)^2(x_0^2+1)(x_0+6)^2w_3 +5x_0^2(x_0+6)^2(x_0^2 +1)(x_0+1)w_5 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_2)|  =  23\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_2)|  \equiv  7 \ mod \ 16\\
&&\\
u_3& = & x_0(x_0+1)(x_0+3)(x_0^3 +4x_0^2 +5x_0 +3)(x_0+6)^2(x_0^2+1)w_1\\
&& + \ 6x_0^2(x_0+6)^2(x_0^2+1)(x_0+1)(x_0^2+x_0+3)w_2 \\
& &+ \ 3x_0(x_0+6)^2(x_0^2+1)(x_0+1)(x_0+4)^2w_3\\
&& + \ x_0^3(x_0+6)^2(x_0^2 +1)(x_0+1)w_5 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_3)|= 35\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_3)|  \equiv  3 \ mod \ 16\\
&&\\
u_4 &= & 3x_0(x_0+1)(x_0+6)(x_0^2 +1)(x_0^2+3x_0+5)w_4 \\
& &+ \ x_0^2(x_0+1)^3(x_0+6)(x_0^2 +1)w_6 + 5x_0^2(x_0+1)^2(x_0+6)(x_0^2 +1)w_7 \\
&&+ \ 2x_0^2(x_0+1)(x_0+6)(x_0^2 +1)w_9 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_4)| = 41\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_4)|  \equiv  9 \ mod \ 16\\
&&\\
u_5 &= & 3x_0(x_0+1)^4(x_0+6)^2(x_0^2 +1)w_1 + 4x_0(x_0+1)^3(x_0+6)^2(x_0^2 +1)w_2  \\
& &+ \ 6x_0(x_0^2+1)(x_0+6)^2(x_0+1)^2w_3 + x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+6)^2w_5  \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_5)| =15\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_5)|  \equiv  15 \ mod \ 16\\
&&\\
u_6&= & x_0(x_0+1)^2(x_0+2)(x_0+5)^2(x_0^2 +1)w_4 \\
& &+ \ 6x_0(x_0+1)(x_0+2)(x_0+5)^2(x_0^2 +1)w_6 +  5x_0^3(x_0+1)^2(x_0^2 +1)w_7 \\
&&+ \ 2x_0^3(x_0+1)(x_0^2 +1)w_9\\ 
&&|v_{P^4_\infty} (u_6)|= 37\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_6)|  \equiv  5 \ mod \ 16\\
&&\\
u_7 &= & 4x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0^5+3x_0^4+6x_0^3+6x_0 +4)w_4 \\
&&+ \ 3x_0^2(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0+2)(x_0 +5)^2w_6 \\
& &+ \ 2x_0(x_0+1)(x_0^2+1)(x_0^3+3x_0^2+5x_0+4)w_7 +  x_0^4(x_0^2+1)(x_0+1)w_9 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_7)|= 49\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_7)|  \equiv  1 \ mod \ 16\\
&&\\
u_8 &= & x_0(x_0^2+1)(x_0+6)^2(x_0+1)w_8 \\
 &&|v_{P^4_\infty} (u_8)| = 30 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_8)|  \equiv  14 \ mod \ 16\\
&&\\
u_9 &= & 4x_0(x_0+1)^4(x_0^2 + 1)(x_0+6)w_4 + 3x_0(x_0+1)^3(x_0^2+1)(x_0+6)w_6 \\
& &+ \ x_0(x_0+1)^2(x_0^2+1)(x_0+6)w_7 +6x_0(x_0+1)(x_0^2 +1)(x_0+6)w_9 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_9)|= 29\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_9)|  \equiv  13 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{10}& = &x_0 (x_0^2+1)(x_0+6)^2(x_0+1)w_{10}\\
 &&|v_{P^4_\infty} (u_{10})| = 42 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{10})|  \equiv  10 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{11} &= &5x_0^2 (x_0^2+1)(x_0+1)w_8 + x_0 (x_0^2+1)(x_0+1)w_{11} \\
 &&|v_{P^4_\infty} (u_{11})|= 22 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{11})|  \equiv  6 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{12} &= & x_0(x_0^2+1)w_{12} \\
 &&|v_{P^4_\infty} (u_{12})|= 12 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{12})|  \equiv  12 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{13}& = & 5x_0^2(x_0^2+1)(x_0+1)w_{10} + x_0(x_0^2+1)(x_0+1)w_{13}\\
 &&|v_{P^4_\infty} (u_{13})| = 34 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{13})|  \equiv  2 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{14}& = & x_0(x_0^2+1)w_{14} \\
 &&|v_{P^4_\infty} (u_{14})| = 24 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{14})|  \equiv  8 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{15} &= & x_0(x_0^2+1)w_{15} \\
 &&|v_{P^4_\infty} (u_{15})| = 36 \\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{15})|  \equiv  4 \ mod \ 16\\
&&\\
u_{16} &= & w_{16} \\
 &&|v_{P^4_\infty} (u_{16})| = 0\\
&&|v_{P^4_\infty} (u_{16})|  \equiv  0 \ mod \ 16
\end{eqnarray*} 
\underline{{\sc LBasis}}():
$$\left\{\begin{array}{c} u_1, u_2, x_0 u_2, u_3,  u_5, x_0 u_5, u_6, u_8,  u_9, u_{11}, x_0 u_{11}, \\u_{12}, x_0 u_{12}, u_{13}, u_{14}, u_{15},  u_{16}, x_0 u_{16}, x_0^2 u_{16} \end{array} \right\}$$
 

		
\newpage
\markboth{}{ }

\section{Kummersche Erweiterungen {\boldmath $\F_q(x,y)/ \F_q(x)$ mit vielen rationalen Stellen f"ur $Char \ \F_q=2$}}
\label{kumerw}

\begin{thvor}
Sei $q = 2^m$, $m \geq 2$. Sei \label{kumerw1} $\F_{q}(x,y)/ \F_{q}(x)$ eine Kummersche Funktionenk"orpererweiterung vom Grad ${q}-1$ mit der definierenden Gleichung 
$$y^{{q}-1} = f(x) \in \F_{q}(x).$$ 
Dann sind das Geschlecht $g'$ und die Anzahl der rationalen Stellen $N$ von $\F_{q}(x,y)/\F_q$ aus der folgenden Tabelle abzulesen: \\
\\
\footnotesize 
\begin{tabular}{| c | c | c | c | c |} \hline
& & & &\\
Fall & Voraussetzungen & $g'$ & $N$ & $N / g' > $ \\ 
& & & & \\ \hline
1.& $\begin{array}{c}\\ m \equiv 0 \ mod \ 2, \ m \geq 6, \\ \\ f(x) = \frac{x^{{q}-1}+1}{x^3+1}+1 \end{array}$ & $  \frac{1}{8}(q^2-6q-32)$ & $({q}-1)({q}-4)+15$ &$8$ \\ 
& & & & \\ \hline
2. & $\begin{array}{c} \\ m \equiv 0 \ mod \ 2, \ m \geq 4, \\ \\ f(x) = x^d(x^d+1), \\ \\ wobei \ d = \frac{{q}-1}{3} \ ist  \end{array}$ & $ \frac{1}{6}(q^2-5q+10)$ & $ \frac{1}{3}(2q+1)(q-1) $ & $4$ \\ 
& & & & \\ \hline
3. & $\begin{array}{c} \\ m \equiv 1 \ mod \ 2, \\ \\ f(x) =  \frac{(x^{2^{m-s}}+x+1)^{2^s}}{x^{2^s}+x+1}, \\  \\ wobei \ s=\frac{m-1}{2} \ ist \end{array}$ & $\frac{1}{2}({q}-2)(3\cdot 2^{s}-1)$ & ${q}({q}-1)+1$ & $\frac{2 \sqrt{2}}{3}\sqrt{{q}}$ \\ 
& & & & \\ \hline
4. & $\begin{array}{c}\\ m \equiv 0 \ mod \ 4, \\ \\   f(x) = \frac{(x^{2^{m-s}}+x+1)^{2^s}}{x^{2^s}+x+1},  \\  \\ wobei \ s=\frac{m}{2}-1 \ ist \end{array}$ & $\frac{1}{2}({q}-2)(5 \cdot 2^{s}-3)$ & $({q}-2)({q}-1)+3$ & $ \frac{4}{5}\sqrt{{q}}$ \\ 
& & & & \\ \hline
5. & $\begin{array}{c}\\  m \equiv 2 \ mod \ 4, \ m\geq 6 \\ \\   f(x) = \frac{(x^{2^{m-s}}+x+1)^{2^s}}{x^{2^s}+x+1}, \\ \\ wobei \ s=\frac{m}{2}-1 \ ist \end{array}$ & $\frac{1}{2}({q}-2)(5 \cdot 2^{s}-1)-1$ & ${q}({q}-1)+3$ & $\frac{4}{5}\sqrt{{q}}$\\ 
& & & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{thvor}
\proof
\normalsize
F"ur den Beweis unterscheiden wir wie in der Tabelle f"unf F"alle. Im weiteren bei genauer Betrachtung jedes Falls werden wir feststellen, dass eine Stelle von $\F_q(x)/\F_q$ existiert, die voll verzweigt in $\F_{q}(x,y)/ \F_{q}(x)$ ist.
Daher werden wir Folgerung \ref{kerw} anwenden, f"ur die unter den Voraussetzungen des Theorems gilt 
$$F=\F_{q}(x), \ F'= \F_{q}(x,y), \ g=0, \ n={q}-1, \ u=f(x), \ K=K'=\F_{q},$$
und die Formel zur Berechnung von $g'$  vereinfacht sich wie folgt
$$g'= 2 -{q} + \frac{1}{2} \sum_{P \in \PP_{\F_{q}(x)}}({q}-1-r_P)deg \ P,$$
wobei $r_P= ggT({q}-1, v_P(f(x))) =  \frac{{q}-1}{e(P'|P)}$ mit $P'|P$ ist.
Sei \label{Rsum}
$$R:=  \sum_{P \in \PP_{\F_{q}(x)}} ({q}- 1 - r_P) deg \ P.$$ 

\markboth{}{ \sc Kummersche Erweiterungen $\F_q(x,y)/ \F_q(x)$}

Sei $l \in \N$. Sei $E$ ein K"orper und $\bar{E}$ sein algebraischer Abschlu"s. Sei ${\cal S}_l \subseteq \bar{E}$ die Menge primitiver $l$-ter Einheitswurzeln "uber $E$. Dann wird $l$-tes Kreisteilungspolynom mit $\phi_l(x) = \prod_{\xi \in {\cal S}_l}(x - \xi) \in \bar{E}[x]$ bezeichnet, und es  gilt: 

$$x^l-1 = \prod_{d \ | \ l} \phi_d(x).$$ 
 
Sei $P_\infty \in \PP_{\F_{q}(x)}$ der Pol des Elements $x$ und $P_{p(x)} \in \PP_{\F_{q}(x)}$  die Stelle, die durch das normierte irreduzible Polynom $p(x) \in \F_{q}[x]$ definiert ist. Dann sind die in der Tabelle angegebenen F"alle im weiteren wie folgt beschrieben.\\

{\bf FALL 1.}\\
\bhn 1. 
Es gilt 
\begin{eqnarray*}
&&\frac{x^{{q}-1}+1}{x^3+1}+1 =  x^3 \phi_1^3(x) \phi_3^3(x) \prod_{d \ | \ 2^{m-2}-1, \ d>3} \phi_d^4(x).
\end{eqnarray*}
\beweis
\begin{eqnarray*}
\frac{x^{{q}-1}+1}{x^3+1}+1 & = &\frac{x^{{q}-1}+x^3}{\phi_1(x) \phi_3(x) }
 =  \frac{x^3\left((x^4)^{2^{m-2}-1}+1\right)}{\phi_1(x) \phi_3(x) }\\
& = & \frac{x^3(x^{2^{m-2}-1}+1)^4}{\phi_1(x) \phi_3(x) } = \frac{x^3 \prod_{d \ | \ 2^{m-2}-1} \phi_d^4(x)}{\phi_1(x) \phi_3(x) }. \hspace{7mm} \lhd 
\end{eqnarray*}

Nach Behauptung 1 sieht die definierende Gleichung wie folgt aus:
\begin{equation}
\label{gl1}
y^{{q}-1}=x^3\phi_1^3(x) \phi_3^3(x) \prod_{d \ | \ 2^{m-2}-1, \ d>3} \phi_d^4(x).
\end{equation}

Wegen $m \equiv 0 \ mod \ 2$ und $m \geq 6$ gilt $\F_{q} \cap \F_{2^{m-2}}=\F_{2^{ggT(m,m-2)}}=\F_4$. Daher hat das Polynom $\prod_{d \ | \ 2^{m-2}-1, \ d>3} \phi_d(x)$ keine Nullstellen in $\F_{q}$. Die durch es definierten Stellen von $\F_q(x)/\F_q$ sind daher nicht rational, und sie sind voll verzweigt in $\F_{q}(x,y)/ \F_{q}(x)$ wegen $ggT({q}-1,4)=1$. So spielen diese Stellen nur bei der Berechnung des Geschlechts $g'$ eine Rolle.
Die Summe deren Grade ist: 
$$deg \prod_{d \ | \ 2^{m-2}-1, \ d>3} \phi_d(x) = deg  \left( \frac{x^{2^{m-2}-1}+1}{x^3+1}\right) =2^{m-2}-2^2 = \frac{1}{4}({q}-16).$$
Damit ist einer der Summanden in $R$ gleich $\frac{1}{4}({q}-2)({q}-16)$. 

Wir schreiben die Gleichung (\ref{gl1}) so um, dass wir "uber die Grade und "uber das Verzweigungsverhalten der anderen (durch diese Gleichung definierten) Stellen Aussagen machen k"onnen. Sei $\xi$ eine primitive 3-te Einheitswurzel "uber $\F_2$, d.h. $\F_2(\xi) = \F_4 \subset \F_{q}$. Dann gilt:
\begin{equation}
\label{neugl}
y^{{q}-1}=x^3(x+1)^3(x+\xi)^3(x+(\xi+1))^3 (x^{3(l-1)} + x^{3(l-2)} + \cdots + x^3 + 1)^4,
\end{equation}
wobei $l := \frac{2^{m-2} - 1}{3}.$ Daher haben die Stellen $P_{x},$ $P_{x+1},$ $P_{x+\xi},$ $P_{x+(\xi+1)},$ $P_\infty$ von $\F_q(x)/\F_q$ jeweils drei Fortsetzungen in $\F_{q}(x, y)/\F_q(x)$ und den Verzweigungsindex $\frac{{q}-1}{3}$. Wir zeigen dies am Beispiel von $P_{x+\xi}$. 

Sei $z:= \frac{y^{\frac{{q}-1}{3}}}{x+\xi}$. Dann folgt $\F_{q}(x) \subseteq \F_{q}(z) \subseteq \F_{q}(x,y)$, und wir betrachten die Erweiterung $\F_{q}(z)/\F_{q}(x)$ mit der definierenden Gleichung 
$$z^3 = x^3(x+1)^3(x+(\xi+1))^3 (\underbrace{x^{3(l-1)} + x^{3(l-2)} + \cdots + x^3 + 1}_{\mbox{\small ungerade Anzahl der Summanden}})^4.$$ 
Ist $x=\xi$, so gilt $z^3=1$. Da $z^3-1$ in drei paarweise verschiedene Faktoren "uber $\F_{q} \supset \F_4$ zerf"allt, hat die Stelle $P_{x+\xi}$ drei Fortsetzungen in $\F_{q}(z)/\F_{q}(x).$

Sei $\alpha \in \F_q \setminus \F_4$. Dann gilt f"ur $x = \alpha$ 
$$y^{q-1} = \frac{\alpha^{{q}-1}+1}{\alpha^3+1} + 1= 1.$$ 
Daraus folgt, dass die ${q}-4$ rationalen  Stellen von $\F_q(x)/\F_q$ voll zerlegt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$ sind. 

Damit werden das Geschlecht $g'$ und die Anzahl der rationalen Stellen $N$ von $\F_{q}(x,y)/\F_q$ wie folgt berechnet:
$$g'  =  2-{q} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}({q}-2)({q}-16) +5( {q}-4)\right) =   \frac{1}{8}(q^2-6q-32),$$
$$N= ({q}-4)({q}-1) + 15.$$
Damit folgt ($q \geq 64$):
$$N / g'=8\left(1 +  \frac{8q + 51}{q^2 -6q -32}\right) > 8.$$
\\

{\bf FALL 2.}\\
\bhn 2. Sei $d = \frac{{q}-1}{3}$. Dann gilt
$$x^{2d}+x^d+1 = \prod_{l \ | \ {q}-1, \ l \ \nmid \ d} \phi_l(x).$$
\beweis
Wegen $d = \frac{{q}-1}{3}$ gilt
$$\frac{x^{{q}-1}+1}{x^d+1} = x^{{q}-1-d}+x^{{q}-1-2d}+x^{{q}-1-3d}=x^{2d}+x^d+1,$$
und da
$$x^{{q}-1}+1= \prod_{l \ | \ {q}-1} \phi_l(x)= \prod_{l \ | \ d} \phi_l(x)  \prod_{l \ | \ {q}-1, \ l \ \nmid \ d} \phi_l(x) = (x^d+1)  \prod_{l \ | \ {q}-1, \ l \ \nmid \  d} \phi_l(x),$$
folgt die Behauptung. $\lhd$

Da $d \ | \  {q}-1$, zerf"allt $x^d+1$ (aus der definierenden Gleichung f"ur $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$) "uber $\F_{q}$ in $d$ paarweise verschiedene lineare Faktoren. Damit sind die durch sie definierten $d$  rationalen Stellen von $\F_q(x)/\F_q$ voll verzweigt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$. 

Analog zu "Uberlegungen in Fall 1 folgt, dass die Stellen $P_{x}$ und $P_\infty$ jeweils den Verzweigungsindex $3$ und $d$ Fortsetzungen in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$ haben. 

Nach Behauptung 2 hat $x^{2d}+x^d+1$ paarweise verschiedene einfache Nullstellen $\beta_1, \ldots, \beta_{2d} \in \F_q^*$. Da $y^{{q}-1}=1$ f"ur $x = \beta_i$ f"ur $i=1, \ldots, 2d$ gilt, folgt, dass diese $2d$  rationalen Stellen von $\F_q(x)/\F_q$ voll zerlegt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$ sind. 

Unter Ber"ucksichtigung von $d= \frac{{q}-1}{3}$ werden das Geschlecht $g'$ und die Anzahl der rationalen Stellen $N$ von $\F_{q}(x,y)/\F_q$ wie folgt berechnet:
$$g' =  2-{q}+ \frac{1}{2}(({q}-2)d + ({q}-1-d)2) = \frac{1}{6}(q^2-5q+10),$$
$$N= 2d({q}-1) + 2d + d = \frac{ 1}{3}(2{q}+1)({q}-1).$$

Damit folgt ($q \geq 16$):
$$N / g' = 4 \left( 1 + \frac{4\frac{1}{2}q - 10\frac{1}{2}}{q^2-5q+10}\right)> 4.$$
\\

F"ur die n"achsten drei F"alle brauchen wir ein Lemma.

\begin{lemvor}
\label{lemkum1}
Sei $f(x)= x^{2^n}+x+1 \in \F_{q}[x]$, $n \in \N$. Sei $Char \ \F_q =2$. Dann gilt:\\
(1) $f(x)$ hat alle Nullstellen in $\F_{2^{2n}} \setminus \F_2$ und ist quadratfrei.\\
(2) $x^2+x+1 \ | \ f(x)$, falls $n \equiv1 \ mod \ 2$.
\end{lemvor}
\proof
$(1)$ Wegen $x^{2^{2n}}+x = (x^{2^n}+x+1)^{2^n}+(x^{2^n}+x+1)$ gilt $f(x) \ | \ x^{2^{2n}}+x$. Da die erste Ableitung von $f(x)$ gleich 1 ist,  hat $f(x)$ nur einfache Nullstellen in seinem Zerf"allungsk"orper. \\
$(2)$ $f(x)$ kann f"ur $n \equiv1 \ mod \ 2$ wie folgt dargestellt werden: 
$$f(x)=x^{2^n}+x+1= \sum_{k=1}^{n}(x^2+x+1)^{2^{n-k}}.$$ 
\qed
\\

{\bf FALL 3.}\\
\bhn 3. Es gilt
$$\F_{2^{2(m-s)}} \cap \F_{2^{2s}}=\F_4, \ \ \ \F_{2^{2(m-s)}} \cap \F_{q}=\F_2, \ \ \ \F_{2^{2s}} \cap \F_{q}=\F_2.$$
\beweis
Wegen $s=\frac{m-1}{2}$ gilt $m-s=\frac{m+1}{2}$. Dann folgt $ggT(m-s, s)=1$, und damit gilt $\F_{2^{2(m-s)}} \cap \F_{2^{2s}}=\F_{2^{2ggT(m-s,s)}}=\F_{2^2}.$ Die anderen Aussagen folgen aus $ggT(m, 2(m-s))=ggT(m,  m+1)=1=ggT(m, m-1)=ggT(m, 2s)$. $\lhd$

Nach Behauptung 3 und Lemma \ref{lemkum1} sind die Polynome $x^{2^{m-s}}+x+1$ und $x^{2^s}+x+1$ aus der definierenden Gleichung 
$$y^{{q}-1}= \frac{(x^{2^{m-s}}+x+1)^{2^s}}{x^{2^s}+x+1}$$
teilerfremd, quadratfrei und haben keine Nullstellen in $\F_{q}$. Daher definieren sie\footnote{Bzw. ihre "uber $\F_q$ paarweise verschiedenen nicht linearen Faktoren, falls diese Polynome in welche zerfallen.} nur Stellen von $\F_q(x)/\F_q$, die nicht rational und nach der definierenden Gleichung voll verzweigt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$ sind. 

Da $ggT(2^m-2^s, q-1) = ggT(2^{m-s}-1, 2^m-1)=1$, ist die Stelle $P_\infty$ auch voll verzweigt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$. 

Sei $\alpha \in\F_q^*$. Dann gilt f"ur $x = \alpha$ wegen $q = 2^m$:
$$y^{q-1}= \frac{\alpha^{2^{m}}+\alpha^{2^s}+1}{\alpha^{2^s}+\alpha+1}=\frac{\alpha+\alpha^{2^s}+1}{\alpha^{2^s}+\alpha+1}=1.$$ 
F"ur $x = 0$ gilt auch $y^{q-1} = 1$.
Daraus folgt, dass die $q$ rationalen Stellen von  $\F_q(x)/\F_q$ voll zerlegt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$ sind.

Da $m-s = s+1$ und $2^s = \sqrt{\frac{q}{2}}$ gilt, folgt
$$g' = 2-q + \frac{1}{2}(2^{m-s}+2^s+1)(q-2)=\frac{1}{2}(q-2)(3\cdot 2^s-1),$$
$$N =q(q-1)+1,$$
und damit ($q \geq 8$)
$$N / g'> \frac{2 \sqrt{2}}{3} \sqrt{q}.$$
\\

{\bf FALL 4.}\\
\bhn 4. Es gilt
$$\F_{2^{2(m-s)}} \cap \F_{2^{2s}}=\F_4, \ \ \ \F_{2^{2(m-s)}} \cap \F_{q}=\F_4, \ \ \ \F_{2^{2s}} \cap \F_{q}=\F_4.$$
\beweis
Wegen $s=\frac{m}{2}-1$ gilt $m-s=\frac{m}{2}+1$. Damit, und da $m \equiv 0 \ mod \ 4$, folgt $ggT(m-s, s)=1$, und damit gilt $\F_{2^{2(m-s)}} \cap \F_{2^{2s}}=\F_{2^{2ggT(m-s,s)}}=\F_{4}.$
Wegen $ggT(m, 2(m-s))=ggT(m, m+2)=2=ggT(m, m-2)=ggT(m,2s)$ gelten die anderen Aussagen. $\lhd$

Nach Behauptung 4 und Lemma \ref{lemkum1} sind die Polynome $x^{2^{m-s}}+x+1$ und $x^{2^s}+x+1$ aus der definierenden Gleichung 
$$y^{q-1}=\frac{(x^{2^{m-s}}+x+1)^{2^s}}{x^{2^s}+x+1}$$
quadratfrei, haben nur zwei gemeinsame Nullstellen, die in $\F_4\setminus\F_2 \subset \F_q$ liegen, und keine weiteren Nullstellen in $\F_q$. Daher k"onnen die beiden Polynome durch $x^2+x+1$ geteilt werden, und die definierende Gleichung sieht danach wie folgt aus:
$$y^{q-1}=(x^2+x+1)^{2^s-1}\frac{(x^{2^{m-s}-2}+ \ldots +1)^{2^s}}{x^{2^s-2}+ \ldots +1}.$$

Die Stellen von $\F_q(x)/\F_q$, die durch die Polynome\footnote{Bzw. durch ihre "uber $\F_q$ paarweise verschiedenen nicht linearen Faktoren, falls diese Polynome in welche zerfallen.}  im Z\"{a}hler und im Nenner des Quotienten in der letzten Darstellung definiert sind,  sind nicht rational und  voll verzweigt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$.

Die zwei rationalen Stellen von $\F_q(x)/\F_q$, die durch die Faktoren von \\$x^2+x+1$ definiert sind, und die Stelle $P_\infty$ sind  voll verzweigt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$  wegen $ggT(2^m-2^s, q-1) = 1$ (f"ur $P_\infty$) und $ggT(2^s-1, q-1)=1$. 

Sei $\alpha \in \F_q \setminus \left\{ \F_4 \setminus \F_2 \right\}$. Dann gilt f"ur $x = \alpha$ analog zu Fall 3: $y^{q-1}=1$. Daraus folgt, dass die $q-2$ rationalen Stellen von $\F_q(x)/\F_q$ voll zerlegt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$ sind.

Wegen $m-s = s+2$ und $2^s = \frac{\sqrt{q}}{2}$ gilt:
$$g' = 2-q + \frac{1}{2}(2^{m-s}-2+2^s-2+3)(q-2) = \frac{1}{2}(q-2)(5 \cdot 2^s-3),$$
$$N=(q-2)(q-1)+3,$$
und damit ($q \geq 16$)
$$N / g'> \frac{4}{5}\sqrt{q}.$$
\\

{\bf FALL 5.}\\
\bhn 5. Es gilt
$$\F_{2^{2(m-s)}} \cap \F_{2^{2s}}=\F_{16}, \ \ \ \F_{2^{2(m-s)}} \cap \F_{q}=\F_4, \ \ \ \F_{2^{2s}} \cap \F_{q}=\F_4.$$
\beweis
Wegen $s=\frac{m}{2}-1$ gilt $m-s=\frac{m}{2}+1$. Damit, und da $m \equiv 2 \ mod \ 4$ ist, folgt $ggT(m-s, s)=2$, und damit gilt $\F_{2^{2(m-s)}} \cap \F_{2^{2s}}=\F_{2^{2ggT(m-s,s)}}=\F_{2^4}.$
Wegen $ggT(m, 2(m-s))=ggT(m, m+2)=2=ggT(m, m-2)=ggT(m,2s)$ gelten die anderen Aussagen. $\lhd$

Nach Behauptung 5 und Lemma \ref{lemkum1} sind die Polynome $x^{2^{m-s}}+x+1$ und $x^{2^s}+x+1$ aus der definierenden Gleichung 
$$y^{q-1}=\frac{(x^{2^{m-s}}+x+1)^{2^s}}{x^{2^s}+x+1}$$
quadratfrei, haben eventuell in $\F_{16} \setminus\F_4$ die gemeinsamen Nullstellen, aber keine Nullstellen in $\F_{q}$. 
Wir zeigen, dass diese beiden Polynome unter den Voraussetzungen dieses Falls keine gemeinsamen Nullstellen haben. 

Existiert ein $\gamma \in \F_{16} \setminus \F_4$, so dass 
$$x+\gamma \ | \  x^{2^{m-s}}+x+1 \mbox{ und } x+ \gamma \ | \  x^{2^s}+x+1$$
gilt, so teilt $x + \gamma$ dann auch ihre Summe $x^{2^{m-s}}+x^{2^s}.$ Damit folgt 
$$x+\gamma \ | \ x^{2^{m-s}-2^s}+1,$$
und wegen $\gamma \in \F_{16} \setminus \F_4$ gilt
$$x+\gamma \ | \ x^{15}+1.$$
Nun berechnen wir
$$ggT(x^{15}+1, x^{2^{m-s}-2^s}+1) = (x^{ggT(15, 3\cdot 2^s)} + 1) = x^3+1 \in \F_4[x],$$ 
was ein Widerspruch zu $x + \gamma \notin \F_4[x]$ ist.

Alle durch diese Polynome\footnote{Bzw. durch ihre "uber $\F_q$ paarweise verschiedenen nicht linearen Faktoren, falls diese Polynome in welche zerfallen.}   definierten Stellen von $\F_q(x)/\F_q$ sind nicht rational und voll verzweigt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$. 

Da $ggT(2^m-1, 2^m-2^s)=2^{ggT(m, m-s)}-1=3$ gilt, ist die Stelle $P_\infty$ verzweigt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$  mit dem Verzweigungsindex $\frac {q-1}{3},$ und die Anzahl ihrer Fortsetzungen ist gleich $3$. 

Sei $\alpha \in \F_q$. Dann gilt f"ur $x = \alpha$ analog zu Fall 3: $y^{q-1}=1$. Daraus folgt, dass die $q$ rationalen Stellen von $\F_q(x)/\F_q$ voll zerlegt in $\F_{q}(x,y)/\F_{q}(x)$ sind.

Wegen $m-s = s+2$ und $2^s = \frac{\sqrt{q}}{2}$ gilt:
$$g' = 2-q + \frac{1}{2}((2^{m-s}+2^s)(q-2) + (q-4) )=\frac{1}{2}(q-2)(5 \cdot 2^s-1)-1,$$
$$N=q(q-1)+3,$$
und damit ($q \geq 64$)
$$N / g'> \frac{4}{5} \sqrt{q}.$$
\qed
\\

In der folgenden Tabelle ist zu jedem Fall jeweils ein Beispiel angegeben. Die fett gedruckten Zahlen bedeuten eine neue Anzahl der rationalen Stellen im Vergleich zu \cite{gm}, eine in einer Box gedruckte Zahl ist gleich der Anzahl der rationalen Stellen in einem Beispiel in \cite{gmm}, die zwei anderen Ergebnisse sind f"ur die gr"o\ss eren Geschlechter (keine Vergleichsm"oglichkeit). 
$$\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c |} \hline
& & & & &  \\
Fall & $q$ & Die definierende Gleichung & $g'$ & $N$ & $N / g'$ \\
& & & & & \\ \hline
& & & & &  \\
1. & 64 & $y^{63}= x^3(x+1)^3(x^2+x+1)^3 \phi_5^4(x) \phi_{15}^4(x) $ & 460 & 3795& 8,3\\ 
& & & & & \\ \hline
& & & & & \\
2. & 16 & $y^{15}=x^5(x^5+1)=x^5\phi_1(x) \phi_5(x)$ & 31 &{\bf 165} & 5,3 \\ 
& & & & & \\ \hline 
& & & & &  \\
3. & 8 & $y^7=  (x^4+x+1)^2 / (x^2+x+1) $ & 15 & {\bf 57} & 3,8 \\ 
& & & & & \\ \hline 
& & & & &  \\
4. & 16 & $y^{15}=(x^2+x+1)(x^6+x^5+x^3+x^2+1)^2 $ & 49 & \fbox{213} & 4,3 \\ 
& & & & & \\ \hline
& & & & &  \\
5. & 64 & $y^{63}= (x^{16}+x+1)^4 / (x^4+x+1)$ & 588 & 4035 & 6,9 \\ 
& & & & &  \\ \hline
\end{tabular}$$


\newpage
\markboth{}{}
\normalsize
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