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\begin{document}

\hspace*{10mm}{\bf \Large Abstract}\\
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Die Konstruktion guter langer algebraisch-geometrischer Codes auf einem asymptotisch optimalen Turm $(F_n)_{n \geq 0}$ algebraischer Funktionenk"orper ist von grundlegendem Interesse. 
Viele Beispiele asymptotisch optimaler T"urme algebraischer Funktionenk"orper haben eine gemeinsame Struktur. Man betrachtet $F_0 = \F_q(x)$, wobei $x$ transzendent "uber $\F_q$ ist, und f"ur $n \geq 1$ Funktionenk"orpererweiterungen $F_n/\F_q(x)$, wobei der einzige Pol $P_\infty$ von $x$ in $\F_q(x)$ voll verzweigt in $F_n/\F_q(x)$ ist. Will man auf so einem Funktionenk"orper $F_n/\F_q$ einen algebraisch-geometrischen Code bez"uglich des zweiten Divisors $rP^{(n)}_\infty$ konstruieren, wobei $P^{(n)}_\infty | P_\infty$, so ben"otigt man eine Basis des Vektorraums ${\cal L}(rP^{(n)}_\infty)$. Die Berechnung dieser Basis kann mit Hilfe von Ganzheitsbasen f"ur $F_n/\F_q(x)$ durchgef"uhrt werden.
 In dieser Arbeit wurde ein Algorithmus zur Berechnung von Ganzheitsbasen f"ur $F_n/\F_q(x)$ und damit von Basen f"ur die Vektorr"aume ${\cal L}\left(rP^{(n)}_\infty\right)$, $r \geq 0$ f"ur $n\geq 1$ entwickelt.
Dieser Algorithmus ist in der Programmiersprache von Maple 7 f"ur den folgenden Turm algebraischer Funktionenk"orper $(F_n)_{n \geq 0}$ implementiert: $F_0 = \F_{p^2}(x_0)$, $p \ne 2$, und $F_n = F_{n-1}(x_n)$, wobei $x_n^2 = \frac{x_{n-1}^2 +1}{2x_{n-1}}.$ Seine Komplexit"at ist mit $O\left(N(F_n)^{19} \cdot log^5 N(F_n)  + r \right)$ abgesch"atzt, wobei $N(F_n)$ die Anzahl der rationalen Stellen von $F_n/\F_{p^2}$ ist.
Zus"atzlich sind ein paar neue Kummersche Funktionenk"orpererweiterungen f"ur Charakteristik gleich $2$ mit vielen rationalen Stellen angegeben worden, von denen zwei eine bessere als bislang bekannte Anzahl der rationalen Stellen liefern.
\end{document}