%<<<<<<<<<<<<<<< Meine Dissertation >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
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%--------------- allgemeiner Vorspann ------------------

\documentclass[fleqn,a4paper,12pt,titlepage]{article}

\usepackage{t1enc,a4}

\usepackage[latin1]{inputenc}

\usepackage[german]{babel}

\usepackage{amsfonts,amssymb,amsmath,amscd}

\usepackage[mathscr]{eucal}

%% AMSTex-Befehle
%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage{amsfonts,amssymb,amsmath,amscd}

%% Zahlen
%%%%%%%%%

\newcommand{\rz}{{\mathbb R}}
\newcommand{\nz}{{\mathbb N}}
\newcommand{\zz}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\qz}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\cz}{{\mathbb C}}
\newcommand{\kz}{{\mathbb K}}
\newcommand{\nzo}{{\nz_0}}
\newcommand{\lz}{{\mathbb L}}
\newcommand{\rzw}{{\rz^2}}
\newcommand{\rd}{{\rz^3}}
\newcommand{\rn}{{\rz^n}}
\newcommand{\rN}{{\rz^N}}
\newcommand{\rzp}{{\rz_+}}
\newcommand{\rzm}{{\rz_-}}

%% Symbole
%%%%%%%%%%

\newcommand{\bewboxw}{\mbox{ }\hfill $\square$ \par}
\newcommand{\bewboxs}{\mbox{ }\hfill $\blacksquare$ \par}

%% Vektoren und Matrizen
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\zvec}[2]{\begin{bmatrix}#1\\#2\end{bmatrix}}
\newcommand{\dvec}[3]{\begin{bmatrix}#1\\#2\\#3\end{bmatrix}}
\newcommand{\vvec}[4]{\begin{bmatrix}#1\\#2\\#3\\#4\end{bmatrix}}
\newcommand{\zmat}[4]{\begin{bmatrix}#1&#2\\#3&#4\end{bmatrix}}
\newcommand{\dmat}[9]{\begin{bmatrix}#1&#2&#3\\#4&#5&#6\\#7&#8&#9\end{bmatrix}}

%% allgemeiner LaTex-Kopf
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% Textstyle-Befehle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\pagestyle{myheadings}
%\setlanguage{4}
%\setlength{\parindent}{0cm}
%\setlength{\parskip}{3mm}
\newcommand{\unull}{\mbox{}}%unser null
\newcommand{\ta}[1]{\mbox{\bf #1)\ \ }}
\newcommand{\nl}{\mbox{}\\}
\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\ub}{\underbrace}
\newcommand{\intsp}{\!\!\!\!}
\newcommand{\utext}[1]{\hspace*{ 5 mm}\mbox{\rm #1}\hspace*{ 5 mm}}%unser Text
\newcommand{\TEXT}[3]{\hspace*{#1 mm}\mbox{\rm #2}\hspace*{#3 mm}}
\newcommand{\Punkt}{\TEXT{5}{.}{0}}
\newcommand{\Paragraph}{\S}
\newcommand{\uebungslaengen}{
\setlength{\topmargin}{0 mm}
\setlength{\headheight}{10 mm}
\setlength{\headsep}{5 mm}
\setlength{\parindent}{0 cm}
\setlength{\parskip}{0 mm}
\pagestyle{empty}
\parindent0cm}
\newenvironment{figcap}%
{\begin{center}\refstepcounter{figure}\footnotesize Abb. \arabic{figure}: \it}%
{\end{center}}
\newcommand{\streltxtty}[2]{\stackrel{\text{\tiny #1}}{#2}}%stackreltexttiny
\newcommand{\hoherundbreitertext}{\setlength{\parindent}{0em}\setlength{\topmargin}{-1.5cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.5cm}\setlength{\evensidemargin}{-0.5cm}}

%% mathematische Objekte
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\bino}[2]{\mbox{$#1\choose#2$}}
\newcommand{\ubinom}[2]{\left(\begin{array}{c}#1\\#2\end{array}\right)}%unser binom
\newcommand{\liste}[1]{\left\{#1 \right\}}
\newcommand{\menge}[2]{\{#1 \quad\mbox{\bf :}\quad  #2\}}
\newcommand{\set}[2]{\left\{#1 \mbox{\bf : }  #2\right\}}
\newcommand{\Menge}[2]{\left\{\left. #1 \quad \right| \quad #2 \right\}}

%% Theorem-Umgebungen
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newtheorem{Theo}{Theorem}
\newtheorem{Bsp}{Beispiel}
\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newtheorem{Satz}{Satz}
\newtheorem{Hisatz}{Hilfssatz}
\newtheorem{Hasatz}{Hauptsatz}
\newtheorem{Lemma}{Lemma}
\newtheorem{Def}{Definition}
\newtheorem{Cor}{Corollary}
\newtheorem{Kor}{Korollar}
\newtheorem{Rem}{Remark}
\newtheorem{Bem}{Bemerkung}
\newtheorem{Main}{Main Theorem}
\newtheorem{Con}{Convention}

%% besondere Bezeichnungen
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\SN}{S^{N-1}}
\DeclareMathOperator{\loc}{loc}
\DeclareMathOperator{\vox}{vox}
\DeclareMathOperator{\Max}{Max}
\DeclareMathOperator{\uker}{ker}%unser ker
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\Eins}{\bf 1}
\DeclareMathOperator{\Lin}{Lin}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\newcommand{\uproof}{{\bf Proof: }}%unser proof
\newcommand{\uqed}{\mbox{ }\hfill{\bf q.e.d.}\par}%unser qed
\newcommand{\Spann}[1]{\mbox{\rm Spann\{$#1$\}}}
\newcommand{\mal}{\cdot}
\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
\DeclareMathOperator{\uRe}{Re}%unser Re
\DeclareMathOperator{\const}{const}
\DeclareMathOperator{\uIm}{Im}%unser Im
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\Res}{Res}
\DeclareMathOperator{\Spur}{Spur}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\Ind}{Ind}
\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\curl}{curl}
\DeclareMathOperator{\udiv}{div}
\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator{\ess}{ess}
\DeclareMathOperator{\ucosh}{cosh}%unser cosh
\DeclareMathOperator{\usinh}{sinh}%unser sinh
\DeclareMathOperator{\utan}{tan}%unser tan
\DeclareMathOperator{\uarcsinh}{arcsinh}
\DeclareMathOperator{\uarccosh}{arccosh}
\DeclareMathOperator{\uarctanh}{arctanh}
\DeclareMathOperator{\ucot}{cot}%unser cot
\DeclareMathOperator{\ui}{i}%unser i
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\eh}{\frac{1}{2}}
\newcommand{\meh}{{-\eh}}
\newcommand{\me}{{-1}}
\newcommand{\oro}{\Omega_{\rho}}
\newcommand{\orom}{\Omega_{\rho-1}}
\newcommand{\sr}{S_{\rho}}
\newcommand{\dro}{\delta(\rho)}
\DeclareMathOperator{\e}{e}
\newcommand{\zpmnh}{(2\pi)^{-\frac{N}{2}}}
\newcommand{\zpmdh}{(2\pi)^{-\frac{3}{2}}}
\newcommand{\zpnh}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}
\newcommand{\zpdh}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}
\newcommand{\intrn}{\int_{\rN}}
\newcommand{\intrd}{\int_{\rz^3}}
\newcommand{\intomega}{\int_{\Omega}}
\newcommand{\obda}{o. B. d. A. }
\newcommand{\ph}{\frac{\pi}{2}}
\newcommand{\mph}{{-\ph}}
\newcommand{\dom}{{\p\Omega}}
\newcommand{\disver}{\stackrel{\cdot}{\cup}}
\newcommand{\beweis}{{\bf Beweis:}\nl}
\newcommand{\ohne}{\setminus}
\DeclareMathOperator{\Ln}{Ln}
\DeclareMathOperator{\E}{E}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\newcommand{\dirsum}{\bigoplus}
\newcommand{\kptsub}{\subset\subset}
\newcommand{\halb}[1]{\frac{#1}{2}}
\newcommand{\eixxi}{\e^{\i x\xi}}
\newcommand{\emixxi}{\e^{-\i x\xi}}
\newcommand{\intom}{\int_\Omega}
\newcommand{\intdom}{\int_{\p\Omega}}
\DeclareMathOperator{\abl}{d}

%% Array's und Equation's
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\Dis}{\displaystyle}
\newcommand{\non}{\nonumber}
\newcommand{\beq}{\begin{equation}}
\newcommand{\eeq}{\end{equation}}
\newcommand{\beqa}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\eeqa}{\end{eqnarray}}
\newcommand{\beqanon}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\eeqanon}{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\bay}{$$ \begin{array}}
\newcommand{\eay}{\end{array} $$ }
\newcommand{\ba}{\begin{array}}
\newcommand{\ea}{\end{array}}
\newcommand{\bal}{\begin{align}}
\newcommand{\eal}{\end{align}}
\newcommand{\dst}{\displaystyle}
\newcommand{\bds}{\begin{displaystyle}}
\newcommand{\eds}{\end{displaystyle}}
\newcommand{\bdm}{\begin{displaymath}}
\newcommand{\edm}{\end{displaymath}}
\newcommand{\eqnlabel}[1]{\label{#1}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation} \fbox{#1}}}
\newcommand{\eqalabel}[1]{\label{#1} \fbox{#1}}
\newcommand{\nrlab}[1]{{\refstepcounter{equation}\hfill(\arabic{equation})
                      \label{#1}}}
\newcommand{\neuref}[1]{\fbox{#1}}
\newenvironment{mathitem}%
{\item$\displaystyle}{$\addtocounter{equation}{1}\hfill(\arabic{equation})}
\newenvironment{mathitem*}%
{\item$\displaystyle}{$}

\newlength{\nummerbreite}
\newlength{\eqainwidth}
\newenvironment{eqnarrayin}%
{\setlength{\eqainwidth}{\textwidth}%
\settowidth{\nummerbreite}{(\theequation)}%
\addtolength{\eqainwidth}{-\nummerbreite}%
\\\begin{minipage}{\eqainwidth}\begin{eqnarray*}%
}
{\end{eqnarray*}\end{minipage}\hfill%
\begin{minipage}{\nummerbreite}%
\refstepcounter{equation}$$(\theequation)$$\end{minipage}\par
}
\newcommand{\beqain}{\begin{eqnarrayin}}
\newcommand{\eeqain}{\end{eqnarrayin}}

%% Intervalle
%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\II}[2]{\mbox{$[\,#1\,,\,#2\,]$}}
\newcommand{\Ii}[2]{\mbox{$[\,#1\,,\,#2\,)$}}
\newcommand{\iI}[2]{\mbox{$(\,#1\,,\,#2\,]$}}
\newcommand{\ii}[2]{\mbox{$(\,#1\,,\,#2\,)$}}

%% Pfeile, Kringel, Punkte, Dächer
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\ot}{\gets}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\oT}{\longleftarrow}
\newcommand{\ks}{\rightharpoonup} %% konvergiert schwach
\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}
\newcommand{\La}{\Leftarrow}
\newcommand{\Ua}{\Uparrow}
\newcommand{\Da}{\Downarrow}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\equi}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\equiud}{\Updownarrow}
\newcommand{\kringel}[1]{\stackrel{\circ}#1}
\newcommand{\bull}[1]{\stackrel{\bullet}#1}
\newcommand{\ldach}[1]{\stackrel{ }#1}
\newcommand{\punkt}[1]{\stackrel{\mal}#1}
\newcommand{\PUNKT}[1]{\stackrel{\bullet}#1}
\newcommand{\dach}[1]{\stackrel{\wedge}#1}
\newcommand{\vdach}[1]{\stackrel{\vee}#1}
\newcommand{\ausruf}[1]{\stackrel{!}#1}
\newcommand{\pfeil}[1]{\stackrel{\rightarrow}#1}

%% Caligraphische Buchstaben
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\calA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\calB}{{\mathcal B}}
\newcommand{\calC}{{\mathcal C}}
\newcommand{\calD}{{\mathcal D}}
\newcommand{\calE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\calF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\calG}{{\mathcal G}}
\newcommand{\calH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\calI}{{\mathcal I}}
\newcommand{\calJ}{{\mathcal J}}
\newcommand{\calK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\calL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\calM}{{\mathcal M}}
\newcommand{\calN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\calO}{{\mathcal O}}
\newcommand{\calP}{{\mathcal P}}
\newcommand{\calQ}{{\mathcal Q}}
\newcommand{\calR}{{\mathcal R}}
\newcommand{\calS}{{\mathcal S}}
\newcommand{\calT}{{\mathcal T}}
\newcommand{\calU}{{\mathcal U}}
\newcommand{\calV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\calW}{{\mathcal W}}
\newcommand{\calX}{{\mathcal X}}
\newcommand{\calY}{{\mathcal Y}}
\newcommand{\calZ}{{\mathcal Z}}

%% Abbildungen
%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\Restr}[2]{#1 \! \mid _{#2}}
\newcommand{\restr}[2]{\left.#1 \right|_{#2}}
\newcommand{\map}[3]
     {\begin{array}{ccccc}
     #1 & : & #2 & \longrightarrow & #3
     \end{array}}
\newcommand{\Abb}[5]
     {\begin{array}{ccccc}
     #1 & : & #2 & \longrightarrow & #3 \\
     {}   & {}  & #4 & \longmapsto & #5
     \end{array}}
\newcommand{\abb}[5]{#1 \hspace{1 mm} : \hspace{2 mm} #2
     \hspace{1 mm} \longrightarrow \hspace{1 mm} #3 \hspace{1 mm} ,
     \hspace{2 mm} #4 \hspace{1 mm} \longmapsto \hspace{1 mm} #5}

%% Ableitungen
%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\ddx}{\frac{\mbox{\rm d}}{\mbox{\rm dx}}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mbox{\rm d}}{\mbox{\rm dt}}}
\newcommand{\pp}[1]{\frac{\partial}{\partial #1}}
\newcommand{\p}{\partial}
\newcommand{\da}{\partial^{\alpha}}
\newcommand{\dl}{\partial_l}
\newcommand{\dk}{\partial_k}
\newcommand{\dn}{\partial_n}
\newcommand{\di}{\partial_i}
\newcommand{\djot}{\partial_j}
\newcommand{\dero}{\partial_\varrho}

%% Quantoren
%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\und}{\wedge}
\newcommand{\oder}{\vee}
\newcommand{\alle}[1]{\bigwedge\limits_{#1}}
\newcommand{\gibt}[1]{\bigvee\limits_{#1}}

%% Normen und Skalarprodukte
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\betr}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\skp}[2]{\;\left< \, #1 \, , \, #2 \, \right>}
\newcommand{\skpg}[3]{\langle \, #1 \, , \, #2 \, \rangle_{#3}}%%%%%%%%% g=Gebiet
\newcommand{\skpom}[2]{\langle \, #1 \, , \, #2 \, \rangle_{\Omega}}
\newcommand{\skprd}[2]{\langle \, #1 \, , \, #2 \, \rangle_{\rd}}
\newcommand{\skprN}[2]{\langle \, #1 \, , \, #2 \, \rangle_{\rN}}
\newcommand{\skprn}[2]{\langle \, #1 \, , \, #2 \, \rangle_{\rn}}
\newcommand{\lzsp}[3]{\spg{#1}{#2}{L^2(#3)}}
\newcommand{\lzspom}[2]{\spg{#1}{#2}{\lzom}}
\newcommand{\lzspar}[2]{\spg{#1}{#2}{A(r)}}
\newcommand{\hmsp}[4]{\spg{#1}{#2}{H^{#3}(#4)}}
\newcommand{\wspr}[4]{\spg{#1}{#2}{L^2_{#3}(#4)}}
\newcommand{\ehnorm}[2]{|#1|_{1,#2}}
\newcommand{\ehnormq}[2]{\ehnorm{#1}{#2}^2}
\newcommand{\ehnormom}[1]{\ehnorm{#1}{\Omega}}
\newcommand{\ehnormomq}[1]{\ehnormom{#1}^2}
\newcommand{\zhnorm}[2]{|#1|_{2,#2}}
\newcommand{\zhnormq}[2]{\zhnorm{#1}{#2}^2}
\newcommand{\zhnormom}[1]{\zhnorm{#1}{\Omega}}
\newcommand{\zhnormomq}[1]{\zhnormom{#1}^2}
\newcommand{\Norm}[4]{\|#1\|_{#2,#3,#4}}
\newcommand{\Normq}[4]{\|#1\|^{2}_{#2,#3,#4}}
\newcommand{\Normom}[3]{\|#1\|_{#2,#3,\Omega}}
\newcommand{\NormrN}[3]{\|#1\|_{#2,#3,\rN}}
\newcommand{\NormnsrN}[1]{\|#1\|_{0,s,\rN}}
\newcommand{\NormnsmerN}[1]{\|#1\|_{0,s-1,\rN}}
\newcommand{\NormntrN}[1]{\|#1\|_{0,t,\rN}}
\newcommand{\Normnsom}[1]{\|#1\|_{0,s,\Omega}}
\newcommand{\Normntom}[1]{\|#1\|_{0,t,\Omega}}
\newcommand{\Normntnom}[1]{\|#1\|_{0,t_0,\Omega}}
\newcommand{\Normnnom}[1]{\|#1\|_{0,0,\Omega}}
\newcommand{\Normnsmgom}[1]{\|#1\|_{0,s-\gamma,\Omega}}
\newcommand{\Normnnomzr}[1]{\|#1\|_{0,0,\Omega(2R)}}
\newcommand{\Normnnomrd}[1]{\|#1\|_{0,0,\Omega(\hat{R})}}
\newcommand{\Normqom}[3]{\|#1\|^{2}_{#2,#3,\Omega}}
\newcommand{\NormqrN}[3]{\|#1\|^{2}_{#2,#3,\rN}}
\newcommand{\Normrd}[3]{\|#1\|_{#2,#3,\rd}}
\newcommand{\Normqrd}[3]{\|#1\|^{2}_{#2,#3,\rd}}
\newcommand{\Normn}[2]{\|#1\|_{0,#2}}
\newcommand{\Normnq}[2]{\Normn{#1}{#2}^2}
\newcommand{\Normnom}[1]{\Normn{#1}{\Omega}}
\newcommand{\Normnomq}[1]{\Normnom{#1}^2}
\newcommand{\Normbel}[3]{\|#1\|_{#2,#3}}
\newcommand{\Normbelq}[3]{\|#1\|_{#2,#3}^2}
\newcommand{\Normm}[2]{\Normbel{#1}{m}{#2}}
\newcommand{\Normmq}[2]{\Normbel{#1}{m}{#2}^2}
\newcommand{\Norme}[2]{\Normbel{#1}{1}{#2}}
\newcommand{\Normeq}[2]{\Norme{#1}{#2}^2}
\newcommand{\Normeom}[1]{\Normbel{#1}{1}{\Omega}}
\newcommand{\Normeqom}[1]{\Norme{#1}{\Omega}^2}
\newcommand{\Normz}[2]{\Normbel{#1}{2}{#2}}
\newcommand{\Normzq}[2]{\Normz{#1}{#2}^2}
\newcommand{\Normzom}[1]{\Normbel{#1}{2}{\Omega}}
\newcommand{\Normzqom}[1]{\Normz{#1}{\Omega}^2}
\newcommand{\enorm}[2]{\|#1\|_{1,#2}}
\newcommand{\enormq}[2]{\|#1\|_{1,#2}^2}
\newcommand{\enormom}[1]{\|#1\|_{1,\Omega}}
\newcommand{\enormomq}[1]{\|#1\|_{1,\Omega}^2}
\newcommand{\n}[2]{\left|#1\right|_{#2}}
\newcommand{\nr}[3]{\left|#1\right|_{#2}(#3)}
\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}
\newcommand{\normq}[1]{\norm{#1}^2}
\newcommand{\varnorm}[1]{\left \| #1 \right \|}
\newcommand{\varnormq}[1]{\varnorm{#1}^2}
\newcommand{\indnorm}[2]{\norm{#1}_{#2}}
\newcommand{\indnormq}[2]{\normq{#1}_{#2}}
\newcommand{\lzgnorm}[3]{\norm{#1}_{L^2_{#2}(#3)}}
\newcommand{\lzgnormq}[3]{\normq{#1}_{L^2_{#2}(#3)}}
\newcommand{\varindnorm}[2]{\varnorm{#1}_{#2}}
\newcommand{\varindnormq}[2]{\varnormq{#1}_{#2}}
\newcommand{\lzomnorm}[1]{\norm{#1}_{\lzom}}
\newcommand{\lzomnormq}[1]{\normq{#1}_{\lzom}}
\newcommand{\heomnorm}[1]{\norm{#1}_{\heom}}
\newcommand{\heomnormq}[1]{\normq{#1}_{\heom}}
\newcommand{\hzomnorm}[1]{\norm{#1}_{\hzom}}
\newcommand{\hzomnormq}[1]{\normq{#1}_{\hzom}}
\newcommand{\hmomnorm}[2]{\norm{#2}_{\hom{#1}}}
\newcommand{\lzrnnorm}[1]{\norm{#1}_{\lzrn}}
\newcommand{\lzrnnormq}[1]{\normq{#1}_{\lzrn}}
\newcommand{\inftynorm}[1]{\norm{#1}_{\linfty}}
\newcommand{\lzarnorm}[1]{\norm{#1}_{L^2(A(R))}}
\newcommand{\lzurnorm}[1]{\norm{#1}_{L^2(U(0,R))}}

%% Zitate
%%%%%%%%%

\newcommand{\zweiautoren}[4]{\rm#1, #2., #3, #4.:}
\newcommand{\autor}[2]{\rm#1, #2.:}
\newcommand{\buch}[4]{\bibitem{#1}#2  #3. #4}
\newcommand{\artikel}[7]{\bibitem{#1}#2 #3. #4 \bf #5, \rm #7 (#6).}
%oder \newcommand{\zweiautoren}[4]{\rm#1, #2. and #3, #4,}
%oder \newcommand{\autor}[2]{\rm#1, #2.,}
%oder \newcommand{\buch}[6]{\bibitem{#1}#2 \it #3, \rm #4, #5, #6.}
%oder \newcommand{\artikel}[7]{\bibitem{#1}#2 `#3', \it #4, \bf #5, \rm #7 (#6).}

%% Maße
%%%%%%%

\newcommand{\dez}{\,dx_1\,dx_2}
\newcommand{\dze}{\,dx_2\,dx_1}
\newcommand{\dla}[1]{\,d\lambda_{#1}}
\newcommand{\dlax}[1]{\,d\lambda_{#1}\left(x\right)}
\newcommand{\bo}{{\bf o}}
\newcommand{\omass}{\,d\bo}
\newcommand{\drdf}{\,dr\,d\varphi}
\newcommand{\dfdr}{\,d\varphi\,dr}

\allowdisplaybreaks
% 
%----------------- Seitenstil ---------------------------
%
\pagestyle{headings}
\setlength{\parskip}{1.5ex plus 0.5ex minus 0.5ex}
\renewcommand{\baselinestretch}{1,2} 
%
%
                                %
%<<<<<<<<<<<<<<<<< Befehle >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
%
%---------------- math Abkürzungen ----------------------------
%
\renewcommand{\ul}{}
\newcommand{\G}{{\bf M}}
\newcommand{\mH}{{\bf N}}
\newcommand{\gij}{m_{ij}}
\newcommand{\hij}{n_{ij}}
\newcommand{\mcdot}{\;\cdot\;}
\newcommand{\ie}{{\rm i\,}}
\newcommand{\Komma}{\quad,}
\newcommand{\pupug}[1]{#1\!\!\!\HOCh{2.5}^{\:\bullet\bullet}}
\newcommand{\pug}[1]{#1\!\!\!\HOCh{2.5}^{{\,\bullet}}}
\newcommand{\cn}{\cz^{\;\nu}}
\newcommand{\ka}{\kappa}
\renewcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\xii}{\xi_i}
\newcommand{\xij}{\xi_j}
\newcommand{\Ak}{{\bf A}^\ka}
\newcommand{\aij}{{\bf a}_{ij}}
\newcommand{\aijk}{a_{ij}^\ka}
\newcommand{\sk}{s^\ka}
\renewcommand{\r}{\tilde{r}}
\newcommand{\rk}{{\r}}
\newcommand{\Bk}{B^\ka}
\newcommand{\bijk}{b_{ij}^\ka}
\newcommand{\sik}{{\sigma(\ka)}}
\newcommand{\chik}{\chi^\ka}
\newcommand{\mchi}{\mbox{\boldmath$\chi$\unboldmath}}
\newcommand{\yk}{y^\ka}
\newcommand{\Yl}{{\bf y}_l}
\newcommand{\etak}{\eta^\ka}
\newcommand{\Etal}{\mbox{\boldmath$\eta$\unboldmath}_l}
\newcommand{\Etak}{\mbox{\boldmath$\eta$\unboldmath}_k}
\newcommand{\Etaj}{\mbox{\boldmath$\eta$\unboldmath}_j}
\newcommand{\Etai}{\mbox{\boldmath$\eta$\unboldmath}_i}
\newcommand{\Etam}{\mbox{\boldmath$\eta$\unboldmath}_m}
\newcommand{\T}{{\bf T}}
\newcommand{\Tp}{{\bf S}}
\newcommand{\tkl}{\tau^{\ka\la}}
\newcommand{\Vk}{v^\ka}
\newcommand{\tw}{\widetilde{ w}}
\newcommand{\W}{{\bf w}}
\newcommand{\wk}{w^\ka}
\newcommand{\w}{w}
\newcommand{\pb}{\phi_\beta}
\newcommand{\V}{{\bf v}}
\newcommand{\Ve}{\V^e}
\newcommand{\Vp}{\V^p}
\newcommand{\Vla}{\V^{l\alpha}}
\newcommand{\Bi}{{\bf B}_i}
\newcommand{\bikl}{b_{i\ka\la}}
\newcommand{\pkl}{p_{\ka\la}}
\renewcommand{\P}{{\bf P}}
\newcommand{\fr}{\mbox{\boldmath$\omega$\unboldmath}}
\newcommand{\frk}{\omega^\ka}
\newcommand{\nid}{\id}%{\mbox{\boldmath$\id$\unboldmath}}
\newcommand{\cHk}{\calH^{\ka}}
\renewcommand{\E}{E}
\newcommand{\Ek}{\E^\ka}
\newcommand{\El}{\E^{\la}}
\newcommand{\Ez}{\E^z}
\newcommand{\IE}{I(\E)}
\newcommand{\JE}{J(\E)}
\newcommand{\KE}{K(\E)}
\newcommand{\hE}{\widehat{\E}}
\newcommand{\hEk}{\hE^{\ka}}
\renewcommand{\H}{H}
\newcommand{\Hk}{\H^\ka}
\newcommand{\psiz}{\psi_z}
\newcommand{\dR}{\delta(R)}
\renewcommand{\dj}{\partial_j}
\newcommand{\dt}{\partial_t}
\newcommand{\dm}{\partial_m}
\renewcommand{\dl}{\partial_l}
\newcommand{\dr}{\partial_{{\r}}}
\newcommand{\dir}{(\di\r)}
\newcommand{\pol}{{\rm pol}}
\newcommand{\lrti}{\lim_{r\to\infty}}
\newcommand{\HOCh}[1]{\rule{0 mm}{#1 ex}}
\newcommand{\mskp}[2]
{\left\langle
\HOCh{2.5}
#1\;,\;#2\right\rangle}
\newcommand{\Rnskp}[2]{\left(
\HOCh{2.5}
#1,#2\right)}
\newcommand{\mbetr}[1]{\left\|#1\right\|}
\newcommand{\msmeh}{{\max\sigma-\eh}}
\newcommand{\Sumk}{\sum_{\ka=1}^\nu}
\newcommand{\Sumkl}{\sum_{\ka,\la=1}^\nu}
\newcommand{\SumkdK}{\sum_{k=3}^K}
\newcommand{\SumkzK}{\sum_{k=2}^K}
\newcommand{\hht}{\hat{s}}
\newcommand{\gkl}{g_{\ka\la}(\El)}
\newcommand{\sme}{\sigma^{-1}}
\newcommand{\ms}{{\max\sigma}}
\newcommand{\seblabel}{\label}
\newcommand{\Pek}{P_1^\ka}
\newcommand{\Pzk}{P_2^\ka}
\newcommand{\Q}{Q} 
%---------------------------------- Befehle zu Maxwell und Elastizität -------------
\newcommand{\die}{\varepsilon}
\newcommand{\dieij}{\die_{ij}}
\newcommand{\dieh}{\hat{\die}}
\newcommand{\diehij}{\dieh_{ij}}
\newcommand{\per}{\mu}
\newcommand{\perij}{\per_{ij}}
\newcommand{\perh}{\hat{\per}}
\newcommand{\perhij}{\perh_{ij}}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\omq}{\om^2}
\newcommand{\ev}{e_k}
\newcommand{\GM}{\left(\ba{cc}
                 \die & 0 \\
                  0  & \per \ea\right)}
\newcommand{\Hdp}{H_{\die\per}}
\newcommand{\Mskp}[2]{\left\langle #1\,,\,#2 \right\rangle_{\Hdp}}

\renewcommand{\div}{{\rm div}}
\newcommand{\iuar}{\int_{A(\tilde R)\cap \Omega(R)}}
\newcommand{\dx}{{\rm dx}}
\renewcommand{\do}{{\rm d}o}
\newcommand{\mdr}{{\rm dr}}
\newcommand{\gkjl}{\gamma_{kjl}}
\newcommand{\qdiv}{{\rm div}\,}
\newcommand{\qrot}{{\rm rot}\,}

\newcommand{\Mo}{-\ie M^{-1}\left(\ba{cc}
                      0 & -\rot \\
                   \rot & 0 \ea\right)}
\renewcommand{\Max}[5]{{\rm Max}(#1,\;#2,\;#3,\;#4,\;#5)}
\newcommand{\Ela}[5]{{\rm Ela}(#1,\;#2,\;#4,\;#3,\;#5)}

\newcommand{\U}{U}
\renewcommand{\a}{{\rm a}}
\newcommand{\ha}{\hat{a}}
\renewcommand{\b}{{\rm b}}
\newcommand{\hb}{\hat{b}}
\newcommand{\pIJ}{p_{IJ}}
\newcommand{\dxI}{{\rm dx}^I}
\newcommand{\dxJ}{{\rm dx}^J}
\newcommand{\qV}{V}
\newcommand{\qW}{W}
\newcommand{\Dq}{\Delta}
\newcommand{\Dqpe}{\Delta_{q+1}}
\newcommand{\Dqme}{\Delta_{q-1}}
\newcommand{\Cra}{\calC_{\qrot\!,\a}}
\newcommand{\Cdb}{\calC_{\qdiv\!,\b}}
\newcommand{\Cda}{\calC_{\qdiv\!,\a}}
\newcommand{\Crb}{\calC_{\qrot\!,\b}}
\newcommand{\Cdbma}{\calC_{\qdiv\!,\b-\a}}
\newcommand{\Cramb}{\calC_{\qrot\!,\a-\b}}
\newcommand{\rpN}{\stackrel{\bullet}{\rz}\!\HOCh{2}^N}
\newcommand{\diffd}{{\rm d}}
\newcommand{\tauh}{\stackrel{\vee}{\tau}}
\newcommand{\rh}{\stackrel{\vee}{\rho}}
\newcommand{\Rot}{{\rm Rot}}
\newcommand{\Div}{{\rm Div}}
\newcommand{\HS}{\star}
\newcommand{\qp}{q'}
\newcommand{\I}{I}
\newcommand{\J}{J}
\newcommand{\stern}{*}
%-------------------------------- Funktionenräume ---------------
\newcommand{\Cue}{C^\infty}
\newcommand{\Cnu}{C^\infty_0}
\newcommand{\ROT}{{\rm R}}
\newcommand{\Run}{\ROT_0}
\newcommand{\HRand}[1]{H\!\!\!\HOCh{2.5}^{\circ}\,\HOCh{1.5}^{#1}}
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%------------------------------------- Skalarprodukte ----------------
\newcommand{\Aqskp}[2]{(#1\;,#2\;)}
%-----------Neue Umgebungen und Zähler --------------------------
\newcounter{ass}
\newtheorem{assumption}%
{Voraussetzungen}%
\newcounter{saveassno}
\renewcommand{\theassumption}{%
              \mbox{{\bf \Alph{saveassno}V.\arabic{assumption}}}}
%---------- Befehle zum Literaturverzeichnis ---------------------
%
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%
%
%---------------- sonstige Abkürzungen ------------------
\renewcommand{\uproof}{{\bf Beweis: }}
\newcommand{\mtext}[1]{\quad\mbox{#1}\quad}
%----------------- hier gehts los ------------------------
\begin{document}
%
%
%----------------- Die Titelseite ------------------------
%
\begin{titlepage}
{\centering
\Large 
{ \bf Eindeutigkeitssätze zu Außenraumproblemen \\
für Maxwell-, Lam\'e- \\
und verallgemeinerte Helmholtz-Systeme\\
mit räumlich unbegrenzten Störungen \\
-- ein einheitlicher Zugang \\[1cm]}
Dissertation 
zur\\Erlangung des Grades eines\\
Doktors der Naturwissenschaften\\
(Dr. rer. nat.)\\[1cm]
\Large
Dem
Fachbereich 6 -- Mathematik und Informatik \\
der 
Universität Gesamthochschule Essen \\
vorgelegt im Oktober 2002\\[1cm]
von 
Sebastian Bauer\\
geboren in Wuppertal\\}


\end{titlepage}
%
%
%-------------------- Disputation, Gutachter ------------------
%
\thispagestyle{empty}

{\nl
Termin der Disputation:
27.01.2003 \\
Gutachter:\nl
Prof. Dr. Reinhard Racke, Konstanz\nl
Prof. Dr. Norbert Weck, Essen\nl
Prof. Dr. Karl-Josef Witsch, Essen}
\newpage
%-------------------- Danksagungen ----------------------------
%
\thispagestyle{empty}
\nl
{\bf Danksagung} \\
Ich bedanke mich bei Herrn Prof. Dr. N. Weck und Herrn 
Prof. Dr. K.J. Witsch für zahlreiche Diskussionen 
und die Betreuung meiner
Dissertation.
\newpage
%

%---------------------- Inhalt ---------------------------------
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
\tableofcontents

%\addtocontents{toc}{Bezeichnungen}
\newpage
%

\section{Einleitung}
\subsection{Problemstellung}
\subsubsection{Die Maxwell-Gleichungen}
Wir betrachten das  Anfangsrandwertproblem zu den 
Maxwell-Gleichungen in li\-ne\-aren an\-isotropen Medien
zu homo\-genen rechten Seiten in einem Außengebiet $\Omega\subset \rz^3$
mit der Randbedingung der totalen Reflektion:
\beq \label{Maxwell_klassisch}
\ba{ccl}
\HOCh{3}\Dis \die \dt E -\rot H &=& 0 \mtext{in}\Omega \\
\HOCh{3}\Dis \per \dt {H}+\rot E &=& 0 \mtext{in}\Omega \\
\HOCh{3}\Dis n\wedge \restr{E}{\p\Omega} &=& 0 \\
\HOCh{3}\Dis E(0) &=& E^0 \\
\HOCh{3}\Dis H(0) &=& H^0 \Punkt
\ea
\eeq
Hierbei sind die Dielektrizität $\die$ und  die Permeabilität  $\per$
messbare Funktionen von $x\in\Omega$
in die Menge der beschränkten gleichmäßig positiv definiten symmetrischen reellwertigen $3\times 3$
Matrizen. $E$ ist das elektrische  und $H$ das magnetische Feld, $E^0$ und $H^0$ gegebene Anfangsdaten 
und $n$ die nach außen gerichtete Einheitsnormale an $\p\Omega$.
Für eine Hilbertraumformulierung des Problems (\ref{Maxwell_klassisch}) definiert man
\[ M:=\GM \]
und $\Hdp:= L^2(\Omega\,,\cz^3)\times L^2(\Omega\,,\cz^3)$ mit dem Skalarprodukt
$\Mskp{U}{V}:=\mskp{U}{MV}$.
(Die verwendeten Bezeichnungen werden im letzten Kapitel erläutert.)
Die Randbedingung wird verallgemeinert zu $E\in\Ron(\Omega)$ und man erhält eine selbstadjungierte
Realisierung $\calM$ des Maxwell-Operators mit
\[ \calD(\calM):=\Ron(\Omega)\times \ROT(\Omega) \]
und
\[ \calM:= \Mo \]
(siehe \cite[Kapitel 8]{Leis 3}).
Mit Hilfe des Spektralkalküls erhält man zu Anfangsdaten 
$U^0=(E^0,H^0)\in L^2(\Omega\,,\cz^3)\times
L^2(\Omega\,,\cz^3)$ eine eindeutig bestimmte schwache Lösung
\[ U(t)=(E(t),H(t))=\e^{-\ie\calM t}U^0=
\int_{-\infty}^{\infty}\e^{-\ie\lambda t}{\rm d}P(\lambda) U^0 \]
mit  finiter konstanter Energie.
Dabei ist $P(\la)$ die zu $\calM$ assoziierte Spektralschar (für die Definition
und für Eigenschaften der Spektralschar siehe z.B. \cite{Weidmann}).

Um genauere Informationen über die Lösung $U$ zu erlangen, ist  
eine Untersuchung des Spektrums und der 
Spektralschar des zugrunde liegenden Operators $\calM$ nötig.  
Es gilt $0\in\sigma_p(\calM)$ und
$\calN(\calM)=\Ronun\times\Run$.
Wir nehmen zunächst  $\die=\per=\id$ zumindest in einer Umgebung von $\infty$ an.
Ist nun $(E,H)$ eine Eigenlösung des Maxwell-Operators $\calM$ zum Eigenwert $\om\not=0$, so
lösen jeweils $E$ und $H$ die Helmholtz-Gleichung zu $\omq$ in $\Omega$. 
Nach der Rellich'schen Abschätzung \cite{Rellich} haben sie dann beschränkten Träger.
Ist zudem das Prinzip der eindeutigen Fortsetzbarkeit, ab jetzt mit
PdeF abgekürzt, für den Operator $\calM$ gültig,
so erhält man $\sigma_p(\calM)=\{0\}$.  

Wir zeigen in dieser Arbeit, dass auch im Fall asymptotisch gegen die
Identität abklingender $C^2$-Matrizen keine Eigenwerte $\om\not=0$ auftreten.


Um  die Spektralschar für geeignete rechte Seiten mit 
Hilfe der Stone'schen Umkehrformel zu berechnen  und die Existenz von Wellenoperatoren zu zeigen,
wird  eine geeignete Einschränkung der  Resolvente auf die reelle Achse fortgesetzt;
dazu wird eine Lösungstheorie für das Maxwell'sche Strahlungsproblem benötigt.

Wir sagen: $(E,H)$ ist eine Lösung des Strahlungsproblems  $\Max{\die}{\per}{\om}{F}{G}$ für  
$(F,G)\in L^2_{>\eh}\times L^2_{>\eh}$ und $\om\not=0$, 
 wenn
\beq \label{Maxwell_Strahlung_klassisch}
\ba{ccl}
\HOCh{3}(E,H) &\in& 
\left(\ROTR_{\loc}\times\ROT_{\loc}\right)
\cap\left( L^2_{<-\eh}\times L^2_{<-\eh}\right) \\
\HOCh{3}\ie\die^{-1}\rot H-\om E &=& F\mtext{in}\Omega\\
\HOCh{3}-\ie\per^{-1}\rot E-\om H &=& G\mtext{in}{\Omega}
\ea
\eeq
und zusätzlich die Strahlungsbedingung
\beq \label{Strahlungsbedingung_Maxwell_klassisch}
E+\xi\wedge H\;,\;H-\xi\wedge E \in L^2_{>-\eh}
\eeq
erfüllt ist. (Dabei ist $f\in L^2_s:\Leftrightarrow
(1+r^2)^{s/2}\in L^2$ und $L^2_{>(<)s}:=\cup_{t>s}(\cap_{t<s})L^2_t$.)

Für die Eindeutigkeit zeigt man zunächst mit Hilfe der Strahlungsbedingung, dass Lösungen
zu homogenen rechten Seiten in $L^2_{>-\eh}$ liegen.
Sind $\die$ und $\per$ wieder die Identität in einer Umgebung von Unendlich, so folgt mit 
der Rellich'schen Abschätzung der beschränkte Träger. 
Falls das Prinzip der eindeutigen Fortsetzbarkeit gilt, 
müssen die Eigenlösungen verschwinden.
Die Existenz einer Lösung erhält man mit dem Prinzip der Grenzabsorption.

In dieser Arbeit zeigen wir die Eindeutigkeit des Strahlungsproblems
im Fall asymptotisch gegen die Identität abklingender  $C^2$-Matrizen. 

\subsubsection{Elastizitätsgleichungen}
Wir betrachten die auf $q$-Formen verallgemeinerten linearen 
Elastizitätsgleichungen in einem isotropen Medium in einem Außengebiet
$\Omega\subset \rz^N$. Dazu sei $q\in\{1,...,N-1\}$ und
$\map{\a,{\rm c}}{\Omega}{\rz}$ 
die Lam\'e Funktionen mit $\a,{\rm c}\in C^1$ und
\[ \a(x)>0\quad,\quad\b(x):={\rm c}(x)+2\a(x)>0\mtext{in}\Omega.\]
Die  Elastizitätsgleichungen lauten 
\[ \dt^2{U}-\qdiv\left(\a\;\qrot U\right)-\qrot(\b\;\qdiv U)=0 \Punkt \]
Hierbei ist $U$ eine Differentialform vom Grad $q$ und wir bezeichnen, 
einem Vorschlag von Weyl (siehe \cite{Weyl}) folgend,
die äußere Ableitung ${\rm d}$  mit $\qrot$ und die Co-Ableitung $\delta$ mit
$\qdiv$ um die Korrespondenz mit dem klassischen Kalkül zu betonen. 
(Bei der Behandlung der Maxwell-Gleichungen im $\rz^3$ behalten $\rot$ und $\div$
ihre vektoranalytische Bedeutung.)
Im Fall $N=3$ und $q=1$ ergeben sich gerade die klassischen Elastizitätsgleichungen.
Hinzu  kommt eine geeignete Randbedingung, z.B. die   Dirichlet'sche
oder die  Neumann'sche Randbedingung, 
und die Vorgabe von Anfangswerten $U(0)=U^0$ und $\dt{U}(0)=U^1$.   

Auch dieses Problem besitzt eine Hilbertraumformulierung. Dazu wählt man 
$H= L^{2,q}(\Omega)$ mit dem normalen $L^{2,q}$--Skalarprodukt 
und definiert, 
z.B. für die Dirichlet'sche Randbedingung, den Lam\'e-Operator $\calL$ vermöge
\[ \calD(\calL)=\Menge{U\in\HRand{1,q}(\Omega)}
{\qdiv(\a\;\qrot U)+\qrot(\b\;\qdiv U)\in L^{2,q}(\Omega)} \]
und 
\[\calL=-\div(\a\;\rot\mcdot)-\rot(\b\;\div\mcdot)\Punkt \]
$\calL$ ist selbstadjungiert und hat ein nicht negatives Spektrum, zudem existiert
$\calL^{\eh}$  (siehe \cite[Kapitel 11]{Leis 3}). Damit ergibt sich für Anfangsdaten 
$U^0\in \calD(\calL^{\eh})$ und $U^1\in H$  
die Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung mit finiter Energie
aus dem Spektralkalkül
\[ U(t)=\cos(\calL^{\eh}t)U^0+\calL^{-\eh}\sin(\calL^{\eh}t)U^1\Punkt \]
Das Spektrum von $\calL$ muss also wieder diskutiert werden, insbesondere die 
Nichtexistenz von Eigenwerten.

Zudem  ist man  an der Existenz und Eindeutigkeit von 
Strahlungslösungen interessiert. Wir sagen: $U$ ist eine Lösung des Strahlungsproblems
$\Ela{\a}{\b}{\om}{\calP}{F}$   
für $\om\in\rz^*$ und $F\in L^{2,q}_{>\eh}$, wenn
\beq
\label{Strahlung_Elastizität}  
\ba{ccc}
\HOCh{3}\U &\in& \HRandg{1,q}{<-\eh} \\
\HOCh{3}\calL \U+\calP \U-\om^2 \U &=& F \ea \eeq
und die  Strahlungsbedingungen 
\beqa
%\label{Strahlungsbed_Elastizität}
\label{Gleichung a}
\HOCh{3}\qrot U-\ie\om\a^{-\eh}\rot r\wedge U &\in&  L^{2,q+1}_{>-\eh} \\
\label{Gleichung b}
\HOCh{3}\qdiv U- \ie\om\b^{-\eh}\sigma_{q,N}*(\qrot r\wedge *U) &\in& L^{2,q-1}_{>-\eh}
\eeqa
($\sigma_{q,N}:=(-1)^{(q-1)N}$, * und $\wedge$ definiert wie in \cite{B+G}) erfüllt sind.
Hierbei ist $\calP$ eine reelle symmetrische matrixwertige Störung nullter Ordnung.

Sei nun $\U\in\calN(\calL-\om^2)$ bzw. eine Lösung von $\Ela{\a}{\b}{\om}{0}{0}$.
Im Falle homogener isotroper Medien, d.h. $\a=\a_0$, $\b=\b_0$ mit Konstanten $\a_0$, 
$\b_0>0$, läßt sich $\U$ in zwei Lösungen zu Helmholtz-Gleichungen zerlegen.
Mit 
\[ \U_d:=-\frac{\a_0}{\om^2} \qdiv\qrot\U\mtext{und} \U_r:=-\frac{\b_0}{\om^2}\qrot\qdiv\U  \]
und aus
\[ \Delta=\qrot\qdiv+\qdiv\qrot \] berechnet man
\[\U=\U_d+\U_r\mtext{und} \Delta \U_d+\frac{\om^2}{\a_0}\U_d=0\quad,
\quad\Delta\U_r+\frac{\om^2}{\b_0}\U_r=0 \Punkt \]
Mit der Rellich'schen Abschätzung und dem PdeF für Lösungen der Helmholtz-Gleichung
folgt dann $\calN(\calL-\om^2)=\{0\}$ und die Eindeutigkeit von Lösungen des Strahlungsproblems
$\Ela{\a_0}{\b_0}{\om}{0}{F}$. 

In dieser Arbeit sollen diese Aussagen für variable $C^2$-Koeffizienten 
$\a$ und $\b$ mit abfallenden ersten und zweiten Ableitungen und eine
asymptotisch verschwindende matrixwertige
$C^1$-Störung nullter Ordnung $\calP$   hergeleitet werden.

\subsection{Geschichte und Vorgehensweise}
Sowohl bei den Maxwell-Gleichungen als auch bei den 
Gleichungen der linearen Elastizität weist die Frage nach dem Punktspektrum und der Eindeutigkeit
des Strahlungsproblems 
eine enge Verbindung zur Eindeutigkeit von Lösungen gestörter 
Helmholtz-Gleichungen auf.
Über diese ist viel geforscht worden, siehe \cite{Rellich}, \cite{Kato}, \cite{Jäger}, 
\cite{Roze}, \cite{Agmon},\cite{Vs}, \cite{Eidus 2}
und auch die Diskussion in  
\cite{Vs} und \cite{Eidus 2}. 
In den letzten beiden Arbeiten ist ein Be\-weis\-schema entwickelt
worden, das grob gesprochen aus vier Schritten besteht.
\begin{itemize}
\item[1.] Schritt: Lösungen in $L^2_{>-\eh}$ fallen polynomial ab.
\item[2.] Schritt: Lösungen, die polynomial abfallen, fallen exponentiell ab.
\item[3.] Schritt: Lösungen, die exponentiell abfallen, haben beschränkten Träger.
\item[4.] Schritt: Lösungen mit beschränktem Träger verschwinden.
\end{itemize}
Dabei sagen wir, dass eine Funktion oder ein Feld $f$ polynomial
bzw. exponentiell abfällt, kurz $f$ in $L^2_{\pol}$ bzw. in $L^2_{\exp}$,
 wenn $r^kf$ bzw. $\exp(kr)f$ 
in $L^2$ für alle $k>0$ ist.

Um die Eindeutigkeit des Strahlungsproblems zu zeigen, benötigt man noch einen vorgeschalteten 
Schritt:
\begin{itemize}
\item[0.] Schritt: Strahlungslösungen zu Nulldaten liegen in $ L^2_{>-\eh}$. 
\end{itemize}
Es erweist sich, dass dieses Schema  auch auf die  Maxwell- und Elastizitätsgleichungen anwendbar ist.
Der nullte Schritt erfolgt jeweils duch eine Integration der Strahlungsbedingung
(siehe Lemma \ref{IntStrahlungMax} bzw. Lemma \ref{0 Schritt Ela}).

Nun zunächst zu den Maxwell-Gleichungen:
Der erste Schritt wird in \cite{PWW} für $L^\infty$-Matrizen $\eps$
und $\per$ , die mit einer Rate $O(r^{-\tau})$, $\tau>1$, gegen die
Identität abfallen, bewiesen.
Dabei wird eine Zerlegung von den polynomial gewichteten $L^2_s$-Räumen in divergenzfreie und rotationsfreie
Räume benutzt, die in \cite{WW3} gezeigt wird. 
Diese Technik steht aber nur für das polynomiale Abfallen
zur Verfügung. 

Eidus führt  in \cite{Eidus 2} den ersten und den zweiten Schritt für
Matrizen durch, die  
in einer Umgebung von Unendlich $C^2$-Koeffizienten haben.  
Für die Störungen wird ein Abklingverhalten
von $o(r^{-1})$ benötigt. ($O$- und $o$-Bezeichnungen sind hier und im weiteren
Verlauf immer auf den Limes $r\to\infty$ bezogen und gleichmäßig
bezüglich $\xi\in S^2$ bzw. $\xi\in\SN$ zu verstehen.) 
Es wird benutzt, dass eine Eigenlösung $(E,H)$  ein System
\[ (\Delta+\omega^2+S)(E,H)=0 \]
löst, wobei $S$ ein matrixwertiger Differentialoperator zweiter Ordnung  mit abfallenden 
Koeffizienten ist. 
Dieses System ist jedoch stark gekoppelt.  Deshalb läßt sich mit  der verwendeten Technik  nicht 
der beschränkte Träger (3. Schritt) zeigen.

Der vierte Schritt läßt sich mit dem PdeF erledigen:
Für den Fall von $C^2$-Matrizen wird das PdeF von Leis in \cite{Leis 1} bewiesen 
(siehe auch \cite[Kapitel 8]{Leis 3}).
Durch geschicktes Benutzen  der Differentialgleichung wird  gezeigt, dass $(E,H)$ 
ein {\bf schwach} gekoppeltes elliptisches Gleichungssystem löst, für welches das PdeF gilt.

Da das Maxwell-System ein System erster Ordnung ist, erwartet man, dass das PdeF 
auch für Gleichungen mit $C^1$-Matrizen gültig ist.
Jedoch können bisher für $C^1$-Koeffizienten allgemeine 
Anisotropien nicht zugelassen werden.  In \cite{HL} wird das PdeF  für skalarwertige 
$C^1$-Funktionen  $\die$, $\per$ hergeleitet.
In \cite{Vs2} werden Carleman'sche  Abschätzungen für Gleichungen vom Maxwell-Typ gezeigt.
Um diese aber anzuwenden, muss wohl $\die=f\cdot\per$  mit einer skalaren Funktion
$f$ verlangt werden. Das heißt aber, dass der anisotrope Fall durch dieses Ergebnis nicht abgedeckt ist. 

In dieser Arbeit wird der fehlende dritte Schritt gezeigt, indem wir den beschränkten Träger
für Lösungen des schwach gekoppelten elliptischen Systems zweiter Ordnung zeigen.

Nun zu den Elastizitätsgleichungen:
Außenraumprobleme für dieses System sind im klassischen Kalkül im $\rz^3$
von Kupradze  \cite{Kupradze}, Eidus \cite{Eidus 3}, Leis \cite{Leis 4}--\cite{Leis 3}
und  Weck \cite{Weck 3} behandelt worden. In diesen Arbeiten werden die Gleichungen
als homogen und isotrop im äußeren einer hinreichend großen Kugel angenommen.
Die Schritte 1 bis 3 lassen sich also durch die geschilderte 
Beziehung zur Helmholtz-Gleichung erledigen. 

Weck und Witsch \cite{WW} betrachten die verallgemeinerten Elastizitätsgleichungen in 
beliebigen Raumdimensionen $N\geq2$. Es werden  $L^\infty$-Inhomogenitäten bei Unendlich zugelassen,
die mit einer Rate $O\left(r^\tau\right)$, $\tau<-1$, gegen
konstante Funktionen abfallen.
Mit Raumzerlegungsmethoden wird das polynomiale Abfallen von Eigenlösungen gezeigt.

Jetzt der vierte Schritt: Das Lam\'e-System hat keine einfachen Charakteris\-tiken. 
Aus diesem Grund ist das PdeF nicht durch allgemeine Sätze zu erhalten.
In \cite{DR} wird das PdeF für Systeme mit Lam\'e-Hauptteil und Störungen erster Ordnung und 
$C^\infty$-Koffizienten mit Hilfe von Pseudodifferentialoperatoren gezeigt,
mit einfacheren Mitteln in \cite{AITY} für $C^3$-Koeffizienten und matrixwertige 
Störungen nullter Ordnung. Ein sehr viel älteres Resultat stammt von
Weck \cite{Weck 1}, das in \cite{Weck 3} wieder aufgegriffen und
erweitert wurde. Danach gilt das PdeF für Sys\-teme mit $C^2$-Lam\'e-Hauptteil
und $C^1$-Störungen erster Ordnung.
Durch eine Substitution wird das System dabei auf
ein schwach gekoppeltes elliptisches System zweiter Ordnung
zurückgeführt.

Um  die fehlenden Schritte 2 und 3 durchzuführen, müssen wir also, wie
bei den Maxwell-Gleichungen, den beschränkten Träger für Lösungen von
schwach gekoppelten elliptischen Systemen zweiter Ordnung zeigen.
Hier kommt jedoch noch eine Schwierigkeit hinzu: Bei der
Reduktion
entstehen Koeffizienten erster Ordnung, die nicht abfallen.
\nl

Wir werden zunächst unsere Ergebnisse bezüglich des Maxwell- und Lam\'e-
Sys\-tems darstellen. 
Im zweiten Kapitel werden wir eine Klasse  von schwach gekoppelten
elliptischen Systemen definieren, welche die Reduktionen von Maxwell-
und Lam\'e-Systemen umfasst,  
und die Trivialität von Lösungen dieser Systeme herleiten. 
Dabei wollen wir im Hinblick auf eventuelle
weitere Anwendungen eine größere Klasse behandeln, 
als für unsere Anwendungen nötig ist.
Wir benutzen  unterschiedlich gewichtete elementare 
$L^2$-Abschätzungen um die  Schritte 1 -- 3 zu zeigen und stützen uns 
dabei stark auf die Rechnungen
in \cite{Vs}. 
Im Hinblick auf die nicht
abfallenden Terme nullter und erster Ordnung müssen wir noch
einige Zusatzgewichte einbauen.

Das PdeF für diese Systeme ist eine einfache Folgerung aus dem
Ergebnis für elliptische Gleichungen in \cite{Protter}.

Im dritten Kapitel wird zunächst der nullte Schritt für Lösungen des 
Maxwell'schen Strahlungsproblems durchgeführt und danach 
das Maxwell-System auf ein elliptisches System reduziert. 
Mit Kapitel 2 folgt der beschränkte Träger und  das PdeF.
Anschließend gehen wir kurz auf die im Formenkalkül verallgemeinerten
Maxwell-Gleichungen ein.
Für bestimmte 
Fälle (z.B. $q=1$ und  $\per$ eine skalare Funktion) 
 läßt sich die Eindeutigkeit des Strahlungsproblems und $\sigma_p=\{0\}$ zeigen. 

Im vierten Kapitel wird das  Programm des dritten Kapitels 
für die auf $q$-Formen verallgemeinerten Elastizitätsgleichungen absolviert.
\nl

Im weiteren Verlauf der Arbeit benutzen wir folgende Konventionen:
Rö\-mische Indizes $i,j,k,l,m,n$
durchlaufen  stets den Indexbereich
von 1 bis zur gerade aktuellen Raum\-dimension, die entweder mit 
$N$ bezeichnet wird oder, falls die Maxwell-Gleichungen behandelt
werden,  3 ist.
Treten in einem Produkt römische Indizes doppelt auf, so wird über sie
von 1 bis zur aktuellen Raumdimension summiert.
Große römische Indizes $I$, $J$ durchlaufen stets den Indexbereich
$\calJ(N,q)$ (siehe (\ref{JNq})), wobei $q$ aus dem Zusammenhang ersichtlich ist. Treten
sie in einem Produkt doppelt auf, so wird über den gesamten Indexbereich summiert. 
\subsection{Ergebnisse und Bemerkungen}



Bei der Behandlung des Maxwell-Operators sei $\Omega\subset \rz^3$ ein
Außengebiet, $\omega\in\rz^*$ und $\rot$ und $\div$ die
vektoranalytischen Operatoren. 
Wir stellen  folgende Anforderungen an die Koeffizienten:
%-------------------------- Zählereinstellung--------------------------
\setcounter{saveassno}{13}
\setcounter{assumption}{0}
%----------------------------------------------------
\begin{assumption}
\label{AssMax}
Es gibt eine Konstante $m>0$ mit
 \beqanon
m\betr{\zeta}^2 &\leq& \zeta_i\dieij\ol{\zeta}_j\quad\leq\quad
\frac 1 m \betr{\zeta}^2 \\
m\betr{\zeta}^2 &\leq& \zeta_i\perij\ol{\zeta}_j
\quad\leq\quad\frac 1 m \betr{\zeta}^2\mtext{für alle}\zeta\in\cz^3 \Punkt
\eeqanon
Bezüglich der Regularität und der Asymptotik verlangen wir
\[
\ba{rcl}
\HOCh{3} \dieij\;,\;\perij &\in& C^2 \\
\HOCh{3}\dieij-\delta_{ij}\;,\;\perij-\delta_{ij} &=& o\left(r^{-1}\right) \\
\HOCh{3}\dm\dieij\;,\;\dl\dm\dieij\;,\;\dm\perij\;,\;\dl\dm\perij &=& o\left(r^{-1}\right)\Punkt 
\ea \]

\end{assumption}

In dieser Arbeit zeigen wir folgenden Satz:
\begin{Satz} \label{Maxsatz} 
Angenommen die Koeffizienten erfüllen \ref{AssMax}.  

Löst $(E,H)\in\,\ROT_{\loc}\times \ROT_{\loc}$ 
\[ %\label{MaxGl}
\ba{ccc}
\Dis\HOCh{4}\rot H &=& \ie\om\die E\mtext{in}\Omega \\
\Dis\HOCh{4}\rot E &=& -\ie\om\per H \mtext{in}\Omega
\ea
\]
und liegen $E$, $H$ in $L^2_{>-\eh}$, so verschwinden $E$ und $H$ in
$\Omega$.

Insbesondere gilt
 \[\sigma_p(\calM)=\{0\}\Punkt \]
\end{Satz}
Ferner ergibt sich auch die Eindeutigkeit des Strahlungsproblems:
\begin{Satz}\label{StrahlungMax}
Angenommen \ref{AssMax} gilt und $(E,H)$ löst 
$\Max{\die}{\per}{\om}{0}{0}$ (siehe
(\ref{Maxwell_Strahlung_klassisch}),(\ref{Strahlungsbedingung_Maxwell_klassisch})).
Dann verschwinden $E$ und $H$ in $\Omega$.
\end{Satz}
Wir werden diese beiden Sätze in Kapitel \ref{Beweis Maxwell} beweisen.\nl\nl


Wir betrachten nun Störungen des auf $q$-Formen operierenden Lam\'e-Operators.
Dazu definieren wir (mit $\qrot=\diffd$, $\qdiv=\delta$ nach Weyl)
\[
%\label{DefE}
\Abb{\widetilde{\calL}}{\Hzqloc(\Omega)}{\Lzqloc(\Omega)}
{\U}{-\qdiv(\a\:\qrot\U)-\qrot(\b\;\qdiv \U)+\calP\U}
\]
mit zwei reellen positiven Funktionen $\a$ und $\b$
und einer symmetrischen reellen Störung nullter Ordnung $\calP$ mit
\[ \calP F= \pIJ f_J \dxI \]
für alle $F\in \Lzqloc$. 
Wir nehmen folgende Voraussetzungen an.
%------------- Zählereinstellung --------------------
\setcounter{saveassno}{5}
\setcounter{assumption}{0}
%----------------------------------------------------
\begin{assumption}
\label{AssRegPos}
\beqanon
\a,\,\b&\in& C^2(\Omega\,,\,\rz)\cap L^\infty(\Omega\;,\;\rz) \\
\HOCh{4}\pIJ & \in& C^1(\Omega\;,\;\rz)\cap
L^\infty(\Omega\;,\;\rz) \\
 \pIJ &=& p_{\J\I}=\ol{\pIJ}
\eeqanon
und es gibt Konstanten $a_0>0$ und $b_0>0$ mit
\[ \a\geq a_0\mtext{und}\b\geq b_0\mtext{in}\Omega \Punkt\]
\end{assumption}
Bezüglich des Verhaltens von  
 $\a$, $\b$ und $\calP$ bei $\infty$ verlangen wir
\begin{assumption}
\label{Asymptotik Elastizität}
Es gibt Konstanten $c_{{\rm L}}$, $\rho>0$ mit
\beqa
\label{cL}
c_{{\rm L}}\a-\b &=& o(1) \\
 \di\a\;,\,\di\dj\a\,,\,\di\b\,,\,\di\dj\b\,,\,\pIJ\,,\,\di\pIJ &=&
 O\left(r^{-2-\rho}\right)\Punkt \nonumber 
\eeqa
\end{assumption}
\nl
Nun zu den Sätzen.
\begin{Satz} \label{HS Elastizität}
Angenommen \ref{AssRegPos} und \ref{Asymptotik Elastizität} gelten.
Sei  $\U\in\Lzqw{>-\eh}$ eine Lösung der Gleichung
$\widetilde{\calL}\U-\omq\U=0$ für ein  $\om\in\rz^*$.
Dann verschwindet $\U$  in $\Omega$.
\end{Satz}
Ferner gilt der folgende
\begin{Satz}
Es gelte \ref{AssRegPos} und \ref{Asymptotik Elastizität}. 
Dann gibt es zu $F\in L^{2,q}_{>\eh}$ und $\om\in\rz^*$  
höchstens eine Lösung des Strahlungsproblem
$\Ela{\a}{\b}{\om}{\calP}{F}$.
\end{Satz}
Wir werden die beiden Sätze im Kapitel \ref{Beweis Elastizität} beweisen.
\nl \nl
Es ist eine interessante Frage, ob man, vielleicht mit ähnlichen
Rechnungen wie in \cite{Vs 3}, auch im Fall {\bf nicht} asymptotisch
konstanter Gleichungen die Existenz von Lösungen zeigen kann.  
\nl

Zum Schluß sei noch bemerkt, dass sich in Beweisen die Erläuterungen zu
längeren Rechnungen bisweilen am Ende dieser befinden, um den
Lesefluss nicht weiter zu beeinträchtigen. Dabei werden elementare
Beziehungen,  wie etwa die Gleichung $2\uRe(f\dj\ol{f})=\dj\betr{f}^2$
oder die Cauchy-Schwarz'sche-Ungleichung, nicht ausdrücklich erwähnt.
Die Ungleichung
\[
\skp{e}{f}\leq\frac{\varepsilon}{2}\norm{e}^2+\frac{1}{2\varepsilon}
\norm{f}^2\quad(\forall \varepsilon>0) \]
referenzieren wir als Young'sche Ungleichung.
Konstanten sind duchgängig mit $c$, $c_1$ usw. bezeichnet, auch wenn sich deren
Wert im Verlauf eines Beweises ändert. 
 

\section{Das verallgemeinerte Helmholtz-System} \label{Helm1}
In diesem Kapitel wollen wir eine einigermaßen allgemeine Klasse
von schwach gekoppelten elliptischen Systemen zweiter Ordnung
behandeln, die wir als Helmholtz-Systeme bezeichnen wollen.
Diese Bezeichnung wählen wir der Einfachheit halber, 
auch wenn die Koeffizienten dieser Systeme 
nicht unbedingt gegen die Koeffizienten der Helmholtz-Gleichung
konvergieren müssen (vergl.  die Voraussetzung \ref{AssPPP}).   
Im weiteren Verlauf dieses Kapitels sei $\Omega$ stets ein
Außengebiet im  $\rN$, $N\geq 2$ und $\nu\in\nz$.
Wir definieren
\[ \Abb{\calH}{H^{2}_{\loc}(\Omega,\cz^\nu)}
{L^{2}_{\loc}(\Omega,\cz^\nu)}{E}{\calH E ,} 
\]
mit
\[ %\label{HelmOp}
\calH E:=\di(\aij\dj E)+\fr E+\Bi\di E + \P E \Punkt
\]
Hierbei setzen wir  
$\aij=\diag(a_{ij}^1,...,a_{ij}^\nu)$ und 
$\fr=\diag(\omega^1,...,\omega^\nu)$. 
\nl
$\Bi=(\bikl)_{\ka,\la=1,...,\nu}$ 
und
$\P=(\pkl)_{\ka,\la=1,...,\nu}$ 
sind
$\nu\times\nu$ Matrizen . Eine zusätzliche Konvention:
Wenn nichts anderes angegeben ist, durchlaufen
griechische Indizes  stets die Indexmenge $\{1,...,\nu\}$.

Wir stellen folgende Regularitätsvoraussetzungen an die Koeffizienten. 
%
% ----- Zählereinstellung ----------------------
\setcounter{saveassno}{7}%
\setcounter{assumption}{0}%
%------- Ende Zählereinstellung ----------------
%
\begin{assumption} \label{AssReg}
\beq \label{KoH}
\ba{l}
\aijk\in C^1(\Omega,\rz) \\
\aijk\;,\dm\aijk\in L^\infty(\Omega,\rz)\;, 
\quad\Bi\;,\P\in L^\infty(\Omega,\rz^{\nu^2})\\
\aijk=a_{ji}^\ka\;,\quad\frk\in\rzp\Punkt
\ea
\end{equation}
\end{assumption}Wir werden die Indizierung des Gebietes $\Omega$ von nun an 
unter\-drücken. Wir setzen Ellip\-tizität im folgenden Sinn voraus.
\begin{assumption} \label{AssEll}
Es gibt eine Konstante $e>0$ mit
\[ %\label{EllKo}
\frac{1}{e}\betr{v}^2\leq
v_i\aijk(x)\ol{v_j}\leq e\betr{v}^2 ,
\]
für alle
$v\in\cz^N$ 
und alle
$x\in\Omega$.
\end{assumption}
Bezüglich der Asymptotik des Hauptteils verlangen wir die 
%
%----------- Zählereinstellung -----------------
\setcounter{saveassno}{1}
\setcounter{assumption}{0}
%___________ Ende Zählereinstellung ------------
%
%
\begin{assumption} \label{AssPPP}
 
{\bf Verhalten bei Unendlich} \\
Auf $\Omega$ gibt es eine beschränkte gleichmäßig positiv definite
$C^2$-Metrik $\G$,
\[ \G=\left(\gij\right)\quad,\quad \G^{-1}=:\mH=(\hij) \]
mit 
\beq\label{Metrik}
\dl\gij    = o\left(r^{-1}\right)\quad,\quad
\dk\dl\gij = o\left(r^{-2}\right)\Komma 
\eeq
so dass
\beq \label{APoM}
\aijk-\hij =o(1) \Punkt
\eeq
Ferner verlangen wir
\beq
\dl\aijk = o\left(r^{-1}\right) \Punkt
\eeq
\end{assumption} 
Z.B. die Metrik
\[
\G_1:=\left(2+\sin\left[\left(\ln r\right)^\gamma\right]\right)\id
  \]
mit $0<\gamma<1$ erfüllt die Voraussetzungen \ref{AssPPP}(\ref{Metrik}).

Um die Resultate bezüglich der  Helmholtz-Systeme auf die Elastizitätsgleichungen 
anwenden zu können, müssen wir zulassen,
dass bestimmte Koeffizienten erster und nullter Ordnung gar nicht abfallen.
Dazu führen wir spezielle Gewichtsfunktionen ein.
\begin{assumption} \label{Ass01o}
Zu $\calH$  gibt es eine monoton wachsende Abbildung 
\[ \map{\sigma}{\{1,...\;,\nu\}}{\{0,...,\nu-1\}} \]
mit $\sigma(1)=0$, $\sigma(i)-\sigma(i-1)\leq 1$ 
für alle $i\in\{2,...,\nu\}$.
Mit Hilfe dieser Abbildung definieren wir
\[
\widehat{t^\ka}:=(r^2\cdot\ln r)^{\sik}
\mtext{und}
\widehat{\tkl}:=\left(\frac{\widehat{t^{\ka}}}{\widehat{t^{\la}}}\right)^{\eh}
\]
und fordern
\beq \label{AbfKo}
\bikl\;,\;\pkl = 
o\left(\left(r\widehat{\tkl}\right)^{-1}\right)\Komma
\mtext{falls}\sik\geq\sigma(\lambda)\Punkt
\end{equation}
\end{assumption}
\begin{Bem}
Für Koeffizienten  $\bikl$, $\pkl$ mit 
$\sik<\sigma(\la)$
werden keine über (\ref{KoH}) hinausgehenden Bedingungen gestellt.
\end{Bem}

Nun zum wesentlichen technischen Satz dieser Arbeit.
\begin{Satz} \label{Hauptsatz}
Wir nehmen \ref{AssReg}, \ref{AssEll},
\ref{AssPPP} und \ref{Ass01o}  an.
Es sei  $E\in L^2_{>\max\sigma-\eh}$  und
$\calH\E\in L^2_{>s+1}$ für ein $s\in \rz$, bzw. 
$\exp(tr)\calH\E\in L^2_{>1}$ für ein $t\in\rzp$ 
bzw.  $\calH\E\in L^2_{\vox}$. \nl 
Dann ist  $E\in L^2_{s}$, bzw. $\exp(tr)\E\in L^2$,
bzw. $\E\in L^2_{\vox}$.
\end{Satz}
Um das polynomiale Abfallen für  $\E\in L^2_{>-\eh}$
auch im Fall $\sigma\not\equiv 0$ zu zeigen, müssen
wir etwas stärkere Voraussetzungen an die abfallenden Koeffizienten nullter und
erster Ordnung stellen. 
\begin{assumption}
\label{AssWAss}
Zu $\calH$  gibt es  eine Abbildung $\sigma$ 
wie in \ref{Ass01o}, so dass  mit einem $\rho>0$ 
\beq\label{sa01} 
\bikl\;,\;\pkl= o\left(r^{-1-\rho-(\sik-\sigma(\la))}\right)\Komma
\mtext{falls}\sik\geq\sigma(\la)\Punkt
\end{equation}
\end{assumption}
Damit erhalten wir  den 
\begin{Satz} \label{Hauptsatz_polAbfallen}
Wir nehmen \ref{AssReg}, \ref{AssEll}, \ref{AssPPP} und \ref{AssWAss} an. 
Sei  $\E\in L^2_{>-\eh}$ und $\calH\E\in L^2_{\pol}$. \nl
Dann gilt  $\E\in L^2_{\pol}$.
\end{Satz}
(Zur Erinnerung: $L^2_{\pol}=\cap_{s\in\rz}L^2_s$.) Die Beweise werden in den folgenden Unterkapiteln geführt.


In den Unterkapiteln \ref{Vorbereitungen}--\ref{expkomp}
setzen wir  o.B.d.A. stets $\Omega=A(R_0)$ mit $R_0>0$ voraus. 
Ferner können wir zu vorgegebenen $R>R_0$ immer $\supp \E\subset A(R)$
annehmen.
Ansonsten wählen wir eine Ausschneidefunktion        % Ausschneide
$\varphi\in C^\infty(\rz^N)$                          % technik
mit
$\varphi\equiv 0$
in
$U(R)$ 
und
$\varphi\equiv 1$ 
in
$A(R+1)$.
Damit ergibt sich
$\varphi \E=\E$ 
sowie
$\calH(\varphi \E)=\calH\E$ in
$A(R+1)$.

Weiterhin gelte in \ref{Vorbereitungen}--\ref{PdeF} immer
\ref{AssReg}, \ref{AssEll}, \ref{AssPPP} und  \ref{Ass01o}. 
\nl   
\subsection{Vorbereitungen}\label{Vorbereitungen}
In den Rechnungen benutzen wir die Metrik $\G$.

Zunächst legen wir weitere Notationen fest und definieren
%
%----------------------------- Definition modifizierte r Funktionen-------------------
%
\[ %\label{Defr}
\rk(x):=
\left(x^t\G(x) x\right)^{\eh} \Punkt
\] 
Wegen  \ref{AssPPP} 
gibt es eine Konstante $c_0>0$ mit
\beq
\label{Vergleichbarkeit}
c_0\rk\leq r \leq\frac{1}{c_0}\rk \Punkt
\end{equation}
Wir setzen o.B.d.A. $\rk\geq\exp(1)$ in $\Omega$ voraus.

Weiterhin modifizieren wir die   $1$-Funktion sowie das
Radial- und das Radialeinheitsfeld.
Dazu setzen wir mit $\Ak:=\left(\aijk\right)$
%
%------------------------------ Definitionen dr, chi y eta etc.
%
\beq \label{Definitionen} 
\chik:=(\di\rk)\aijk\dj\rk\quad,\quad y^\ka:=\rk\Ak\nabla\rk
\mtext{und}\etak:=\Ak\nabla\rk\Komma \eeq
sowie
\beqanon
\mchi &:=& \diag\left(\chi^1,...,\chi^\nu\right) \\
\Yl  &:=& \diag\left(y_l^1,...,y_l^\nu\right) \\
\Etal&:=& \diag\left(\eta_l^1,...,\eta_l^\nu\right)\Punkt
\eeqanon
Für eine differenzierbare Funktionen $\map{g}{\rz}{\rz}$ und
$G=g\circ\r$ sei
\[\dr G := g'(\r)\Punkt \] 
Wir notieren folgende Tatsachen, die sich durch elementare Rechnungen  
mit Hilfe von \ref{AssPPP} ergeben.
% 
%------------------------------- Eigenschaften von chi, eta, y etc.
\beqa
\nabla\rk     &=&\frac{1}{\rk}\G x
                  +\frac{1}{2\rk}x_i
                   \left(\nabla\gij\right)x_j
                   =\frac{1}{\rk}\G x +o(1) 
                                      \label{AssGradr} \\
\HOCh{4}\Etai\di\r    &=& \mchi                \label{etamalGradr}\\
\HOCh{4}\mchi          &=& \nid+o(1)            \label{Asschi}\\
\HOCh{4}\dj\mchi       &=& o\left(r^{-1}\right)\label{AssAbchi} \\
\HOCh{4}y^{\ka}       &=& x+(\Ak-\mH)x+\eh\Ak x_i
                  \left(\nabla\gij\right)x_j
                  =x+o(r)             \label{Assy}\\
\HOCh{4}\di y^{\ka}_j &=& \delta_{ij}+o(1)    \label{AssAby}  \\
\HOCh{4}\etak         &=& \frac{x}{\rk}
                  +\frac{1}{2\rk}\Ak x_i
                  \left(\nabla\gij\right)x_j
                  =\frac{x}{\rk}+o(1) \label{Asseta}\\
\HOCh{4}\di\Etai      &=& (N-1)\r^{-1} 
                  +o\left(r^{-1}\right)\label{Assdivchi}\Punkt 
\eeqa

% 
%--------------------------------- Virialfunktion -------------------------------
%
Wegen  (\ref{APoM}),  
(\ref{Assy}), (\ref{Asschi}) und (\ref{AssAby}) gilt 
\beq
\label{Virialfunktion}
\uRe\left[\left(\Yl\dl(\aij)+2\mchi\aij\right)\zeta_j\ol{\zeta_i}
-2\aij\zeta_j(\di\Yl)\ol{\zeta_l}\,\right]=o(1)\betr{\zeta}^2
\end{equation} gleichmäßig für  $\zeta\in\cz^N$. \nl
%
%---------------------------- Gewichtsfunktionen ---------------------------------
%
Wir müssen unsere speziellen Gewichtsfunktionen  $\widehat{t^\ka}$ an die Modifizierungen anpassen
und setzen dazu
\[ t^\ka:=\left(\rk^2\ln\rk\right)^\sik
\mtext{und}\tkl=\left(\frac{t^\ka}{t^\la}\right)^{\eh}\Punkt \]
Damit ergibt sich, dass $t^\ka$ und 
$\widehat{t^\ka}$ bzw. $\tkl$  und $\widehat{\tkl}$  im folgenden Sinne äquivalent sind:
Aufgrund  (\ref{Vergleichbarkeit}) gibt es eine Konstante $c_1$ mit
\beq \label{Vergleichbarkeit 2}
c_1\widehat{t^\ka}\leq t^\ka\leq\frac{1}{c_1}\widehat{t^\ka} 
\mtext{und}
c_1\widehat{\tkl}\leq\tkl\leq\frac{1}{c_1}\widehat{\tkl}
\eeq
für alle $x\in\Omega$.
Nun definieren wir 
\[ \T:=\diag(t^1,...,t^\nu)\Punkt \]
und erhalten
\[
\di\T=\dir\dr\T=\dir\Tp\T 
\]
mit
\beq \label{Ableitung T} 
\Tp=\left(2\r^{-1}+(\r\cdot\ln\r)^{-1}\right)\diag(\sigma(1),...,\sigma(\nu)) \Punkt
\eeq
Ferner gilt
\beq \label{Ableitung S}
\dr\Tp=-\r^{-1}\Tp+o\left(r^{-2}\right)=O\left(r^{-2}\right) 
\Punkt
\eeq
Wir führen drei Klassen von Gewichtsfunktionen ein, 
mit denen wir nacheinander das polynomiale Abfallen, das
exponentielle Abfallen sowie den beschränkten Träger zeigen.
Für  $k>0$  und $\alpha\in\rz$ definieren wir
\beqa
\Dis\tw:=\tw_k:=\tw^e_k &:=&\exp(k\r)\;,  \label{Gewichtsfunktion 1}\\ 
\Dis\HOCh{4}\tw:=\tw_k:=\tw_k^p &:=&\r^k  
\label{Gewichtsfunktion 2} \\ 
\Dis\HOCh{4}\tw:=\tw_k:=\tw_k^{l,\alpha} &:=&(\ln\r)^k\cdot
\r^\alpha
\label{Gewichtsfunktion 3}
\eeqa
und setzen
\beq
\label{Gewichtsfunktion}
 \W:=\W_k:=\tw_k\T\Punkt 
\eeq
Damit ergibt sich
\beq \label{Ableitung}
\di \W=\dir \dr\W=\dir\V\W
\end{equation}
mit
\[\V=\Ve=k\nid+\Tp\;,\] 
bzw.
\[ \V=\Vp=k\r^{-1}\id+\Tp\, ,\] 
bzw. 
\[ \V=\Vla=k\left(\r\cdot\ln\r\right)^{-1}\id+
\alpha\r^{-1}\id +\Tp\Punkt\]

Die folgenden Beziehungen $o(...)$ bzw. $O(...)$ sind stets für
alle $\alpha\in\rz$ (falls $\alpha$ auftritt) und gleichmäßig 
bezüglich $k\in\rzp$ zu verstehen.

Wir berechnen
\beq \label{Abv}
\ba{ccl}
\Dis\dr \Ve          &=& \Dis\dr\Tp = O\left(r^{-2}\right) \,, \\ 
\Dis\HOCh{4}\dr \Vp  &=& -\r^{-1}\Vp+o\left(r^{-2}\right) \,, \\ 
\Dis\HOCh{4}\dr \Vla &=& -\r^{-1}\Vla\left[1+o(1)\right]+o\left(r^{-2}\right)
\ea \eeq
und
\beq \label{2 Ablv}
\ba{ccl}
\Dis\dr^2\Ve           &=& O\left(r^{-3}\right) \\
\Dis\HOCh{4} \dr^2\Vp  &=& 2\r^{-2}\Vp+o\left(r^{-3}\right) \\
\Dis\HOCh{4} \dr^2\Vla  &=& \r^{-2}\Vla\left[2+o(1)\right]+o\left(r^{-3}\right)\Punkt
\ea \eeq
%
%---------------------------- Kleinkram ---------------------------------------
%
Für $E\in H^1$ und $k>0$ führen wir die Abkürzungen
\[ \IE:=\mskp{\left(\id+\V^2\right)\W\E}{\E}\qquad,\qquad
\JE:=\mskp{\W\di\E}{\di\E} \]
sowie $\KE:=\IE+\JE$ ein.
Mit $\dR$ bezeichnen wir im weiteren verschiedene Funktionen von $R$, für die 
\beq\label{Abfallfunktion}
\lim_{R\to\infty}\dR=0
\eeq gilt. 
Die in den folgenden Rechnungen auftretenden Konstanten $c$
bzw. Funktionen $\dR$ können sich von Schritt zu Schritt ändern.
Sie existieren aber jeweils für alle $\alpha$ (falls $\alpha$
auftritt)
und sind unabhängig von $k$ und $\beta$ (falls $\beta$ auftritt).
%
%-------------------------------- Ableitungsabschätzung -------------------------
%
\nl

In einem ersten Schritt wollen wir zunächst Abschätzungen für  gewichtete 
Felder unabhängig von $k$ herleiten. In einem zweiten Schritt werden dann diese Abschätzungen
über $k$ aufsummiert.
\nl


\subsection{Abschätzungen}
\begin{Lemma} \label{LAbAbl}
Es gibt eine Konstante $c$, 
so dass für alle  $k>0$ und alle $E\in H^2_{\vox}$
mit
$\supp E\subset\Omega$ und $\calH E=F$
die folgende Abschätzung gilt:
\beq \label{Ablabs}
\mskp{\W\di E}{\di E}\;\leq\;
c\left[\mskp{(\id+\V^2)\W E}{E}-\uRe\mskp{\W F}{E}\right]\Punkt
\eeq  
\end{Lemma}
%
\uproof %-------------- Beweis zum Abl. Lemma--------------
%
Zwei partielle Integrationen sowie (\ref{Ableitung}) und (\ref{Definitionen}) liefern
\beqanon
\lefteqn{\uRe\mskp{\di(\aij\dj\E)}{\W\E}}\hspace{2ex} \\
&=&\Dis\HOCh{5}-\uRe\mskp{\aij\dj\E}{\W\di\E}-\uRe\mskp{\aij\dj\E}{(\di\W)\E} \\
&=&\Dis\HOCh{5}-\uRe\mskp{\aij\dj\E}{\W\di\E}-\uRe\mskp{\Etaj\dj\E}{\V\W\E} \\
&=&\Dis\HOCh{5}-\uRe\mskp{\aij\dj\E}{\W\di\E}+\eh\mskp{\dj(\Etaj\V\W)\E}{\E}\Punkt
\eeqanon
Wir nutzen die Gleichung  $\calH \E=F$ aus und erhalten
\beqanon
\lefteqn{\mskp{\aij\dj\E}{\W\di\E}}\hspace{2ex}  \\
&=&\Dis\HOCh{5}-\uRe\mskp{F-(\Bi\di+\P)E}{\W\E}+\mskp{\fr\W\E}{\E} \\
&&\Dis\HOCh{5}+\eh\mskp{\dj(\Etaj\V\W)\E}{\E}\Punkt
\eeqanon

Mit Hilfe der Young'schen Ungleichung können wir für alle
$\theta>0$ abschätzen 
\beqa
\lefteqn{ -\uRe\mskp{F-(\Bi\di+\P)\E}{\W\E}}\hspace{2ex} \label{YoungUn1} \\
\Dis\HOCh{5}&\leq& c\left[\theta\JE+\left(\frac{1}{\theta}+1\right)\IE\right]
-\uRe\mskp{F}{\W\E}\Komma\nonumber
\eeqa  
wobei $c$ unabhängig von $\theta$ ist.
Andererseits erhalten wir mit Hilfe von (\ref{Assdivchi}), 
(\ref{etamalGradr}), (\ref{Ableitung}) und (\ref{Abv})
\beq %\label{2term}
\dj(\Etaj\V\W)\leq c(\id+\V^2)\W
\Punkt \eeq
Mit  \ref{AssEll} gilt außerdem
\beq
\mskp{\W\di\E}{\di\E}\leq\frac{1}{e}\mskp{\aij\dj\E}{\W\di\E}\Punkt \eeq
Nun wählen wir  $\theta$ hinreichend klein, stellen dann die Terme um, erhalten  (\ref{Ablabs})
und damit die Aussage des Lemmas.
\uqed \nl
Wir wollen nun Felder ohne beschränkte Träger betrachten.
%
%----------------------------- Felder ohne beschränkten Träger
%---------------------------
%
\begin{Lemma} \label{LAboK}
Sei $\supp\E\subset\Omega$ sowie  $\W^{\eh}\E$ und $\W^{\eh}\calH\E$ in
$L^2$. 

Dann ist auch $\W^{\eh}\di\E$ in $L^2$. 
\end{Lemma}
\uproof
Wir wählen eine Abschneidefunktion                     % Abschneide-
$\psi\in C^\infty(\rz)$                 % technik
mit %
$0\leq\psi\leq 1 $ , %
$\psi\equiv 1$ %
in %
$\iI{-\infty}{1}$ , %
$\psi\equiv 0$ 
%
in %
$\Ii{2}{\infty}$ %
und definieren %
$\psiz(x):=\psi(\betr{x}-z)$. %
Ferner setzen wir
$\Ez:=\psiz \E$. %
Mit elementaren Rechnungen erhalten wir%
\[ 
\ba{lcl}
\dst\HOCh{5}\calH\Ez 
&=&
\psiz F +  
2\aij(\di\psiz)\dj\E+(\di\aij(\dj\psiz))\E 
\dst\HOCh{5} 
+(\di\psiz)\Bi\E
=:\widetilde{F}^z\Punkt 
\ea
\]
Aufgrund der Definition von                                            
$\psiz$        
gilt
\[ 
\Rnskp{\W\di\Ez}{\di\Ez}\quad\longrightarrow\quad
\Rnskp{\W\di\E}{\di\E} \]
punktweise f.ü. für 
$z\to\infty$,
und
\[ 
\Rnskp{\W\left(\id+\V^2\right)\Ez}{\Ez}
\leq\Rnskp{\W\left(\id+\V^2\right)\E}{\E}\Punkt \]
Mit partieller Integration erhalten wir
\beq
\label{HA1}
\betr{\uRe\mskp{\W\widetilde{F}^z}{\Ez}}
\leq
c\;\left[\mskp{\W F}{F}+\mskp{\W\left(\id+\V^2\right)\E}{\E}
\right]
\end{equation}
mit einer Konstanten
$c$ 
unabhängig von
$z$.
Mit  Lemma \ref{LAbAbl},  
(\ref{HA1}) und dem Lemma von Fatou schließen wir  
\[ 
\Rnskp{\W\di\E}{\di\E}\in L^1\Punkt
\]
\uqed
%
%--------------------------------- Hauptabschätzung -----------------------
%
Nun zur  Hauptabschätzung:
\begin{Lemma} \label{HL}
Ein  $\epsilon>0$ sei vorgegeben. Dann gibt es Konstanten $c$, $R_1$ 
und eine Funktion $\delta$ gemäß (\ref{Abfallfunktion}),
so dass für alle $k>0$, 
$\beta\in\iI{-1}{1}$, 
$R>R_1$    und 
$E\in H^2_{\loc}$ mit
$\supp E\subset A(R)$, 
$\calH E=F$, $\W_k^{\eh}\E\in L^2$ und $\W^{\eh}_k F\in L^2_{>1+\frac{\epsilon}{2}}$
die folgenden Abschätzungen gelten
\nl
\beqa \label{Est 1}
\lefteqn{(1+\beta)\mskp{\fr\mchi\W\E}{\E}+\mskp{\left[(1-\beta)\id+2\V\r\right]
\W\Etak\dk\E}{\Etal\dl\E}}\hspace{2ex}  \\
&\leq&
c\mskp{(\betr{\V}^3\r\id+\V^2)\W\E}{\E}+c\mskp{\r^{2+\epsilon}\W F}{F} 
\Dis\HOCh{5}+\dR\IE \nonumber
\eeqa
und
\beqa \label{Est 2}
\lefteqn{2\mskp{\fr\mchi\W\E}{\E}}\hspace{2ex} \\
&\leq& -\eh\mskp{(\V^2+\r\V\dr\V)\mchi^2\W\E}{\E}
+c\mskp{\r^{2+\epsilon}\W F}{F}+\dR\IE \Punkt \nonumber
\eeqa
\end{Lemma}
%
%-------------------------------- Ende Lemma Hauptabschätzung ---------------------------
%
%-------------------------------- Beginn Beweis -----------------------------------------
%
\uproof
Wir nehmen zunächst $\E\in H^2_{\vox}$ an und multiplizieren die
Gleichung $\calH E=F$ mit $\W\Yl\dl E$.
Mit mehreren partiellen Integrationen  erhalten wir
\beqanon
\lefteqn{2\uRe\mskp{\di(\aij\dj E)}{\W\Yl\dl E}} \hspace{2ex}\\
&=& -2\uRe\mskp{\aij\dj E}{\W\Yl\dl\di E+\di(\W\Yl)\dl E} \\
&=&\uRe\mskp{\dl(\aij\W\Yl)\dj E}{\di E}
-2\uRe\mskp{\aij\dj E}{\di(\W\Yl)\dl E} \\
&=&\uRe\mskp{\dl(\W\Yl)\aij\dj E}{\di E}
+\uRe\mskp{\W\Yl(\dl\aij)\dj E}{\di E} \\
&&-2\uRe\mskp{\V\W \r\Etaj\dj E}{\Etal\dl E}
-2\uRe\mskp{\W\aij\dj E}{(\di\Yl)\dl E}\Punkt
\eeqanon
Dabei haben wir in der dritten Zeile
\[ \aij\dl((\dj\E)(\di\ol{\E}))=\aij((\dl\dj\E)\di\ol{\E}+(\dl\dj\ol{\E})\di\E) \]
ausgenutzt.
Diese Gleichheit gilt aufgrund   der Symmetrie der  $\aij$.
Mit einer weiteren partiellen Integration ergibt sich
\[
2\uRe\mskp{\fr E}{\W\Yl\dl E} =
-\uRe\mskp{\fr\dl(\W\Yl)E}{E}\Punkt 
\]
Wir setzen
\[ G:=F-\Bi\di E-\P\E\Punkt \]
Mit Hilfe der Gleichung  $\calH E=F$ schließen wir dann
\beqa \label{Est 3}
\lefteqn{2\mskp{\V\W \r \Etal\dl E}{\Etak\dk E}}\hspace{2ex} \\
&=&-2\uRe\mskp{G}{\W\Yl\dl E}\nonumber \\
&&+\uRe\mskp{\W\Yl(\dl\aij)\dj E}{\di E}
-2\uRe\mskp{\W\aij\dj E}{(\di\Yl)\dl E}\nonumber \\
&&+\uRe\mskp{(\dl(\W\Yl))\aij\dj E}{\di E}
-\uRe\mskp{\fr\dl(\W\Yl) E}{E} \Punkt \nonumber
\eeqa

Unter Beachtung von  (\ref{Virialfunktion}) bemerken wir
\beqa
\lefteqn{\uRe\left[\mskp{\W\left(\Yl(\dl\aij)+2\mchi\aij\right)\dj E}{\di E}
-2\mskp{\W\aij\dj E}{(\di\Yl)\dl E}\right]} \hspace{2ex} \nonumber \\
&\leq&\HOCh{3.5}\dR\JE\Punkt\label{Virial}
\eeqa 
Das veranlasst uns $2\uRe\mskp{\W\mchi\aij\dj E}{\di E}$ auf beiden
Seiten
von (\ref{Est 3}) zu addieren.
Auf der rechten Seite schreiben wir das zur zweiten Zeile und erhalten
mit  (\ref{Virial}) die Abschätzung
\beqa \label{Est 4}
\lefteqn{2\mskp{\V\W \r\Etai\di \E}{\Etal \dl \E}
+2\mskp{\W\mchi\aij\dj \E}{\di \E}}\hspace{2ex} \\
&\leq&-2\uRe\mskp{G}{\W\Yl\dl \E}\nonumber \\
&&+\mskp{\dl(\W\Yl)\aij\dj \E}{\di \E}
-\mskp{\fr\dl(\W\Yl)\E}{\E}\nonumber \\
&&\HOCh{3.5}+\dR\JE\Punkt\nonumber
\eeqa
Wir führen einen Parameter  $\beta\in\iI{-1}{1}$ ein  und addieren 
\[-(1+\beta)\left[\mskp{\W\mchi\aij\dj \E}{\di \E}
-\mskp{\fr\W\mchi\E}{\E}\right] \]   
auf beiden Seiten, wodurch sich 
\beqa 
\lefteqn{(1+\beta)\mskp{\fr\W\mchi\E}{\E}+
(1-\beta)\mskp{\W\mchi\aij\dj \E}{\di \E}} \nonumber\\
\lefteqn{+2\mskp{\V\W\r\Etal\dl\E}{\Etak\dk \E}}\hspace{2ex}\nonumber \\
&\leq &
-2\uRe\mskp{G}{\W\Yl\dl \E} \label{Est 5}\\
&&+\mskp{\left[\dl(\W\Yl)-(1+\beta)\mchi\W\right]\aij\dj\E}{\di\E} \nonumber \\
&&-\mskp{\left[\dl(\W\Yl)-(1+\beta)\mchi\W\right]\fr\E}{\E} \nonumber\\
&& \Dis\HOCh{3.5}+\dR\JE \nonumber
\eeqa
ergibt.
Mit  (\ref{Ableitung}), (\ref{etamalGradr}) und (\ref{Assdivchi}) rechnen wir
\beq \label{1Ableitungsterm}
\dl (\W\Yl)-(1+\beta)\mchi \W 
= \Dis\HOCh{5}\W(N-1+(\r\V-\beta)\mchi)+o\left(1\right)\W
\Punkt 
\eeq
Mit  (\ref{1Ableitungsterm}),  einer partiellen Integration und unter Ausnutzung 
der Gleichung $\calH\E= F$  formen wir die zweite und dritte Zeile 
auf der rechten Seite von  (\ref{Est 5})  um. 
\beqa 
\lefteqn{\mskp{\left[\dl(\W\Yl)-(1+\beta)\mchi\W\right]\aij\dj\E}{\di\E}
-\mskp{\left[\dl(\W\Yl)-(1+\beta)\mchi\W\right]\fr\E}{\E}} \hspace{2ex}\nonumber\\
&\leq & -\uRe\mskp{\W(N-1+(\V\r-\beta)\mchi) G}{\E}\label{Est 6} \\
&&-\uRe\mskp{\di(\W(N-1+(\V\r-\beta)\mchi))\aij\dj\E}{\E} 
+\dR\left(\IE+\JE\right)\Punkt\nonumber
\eeqa
Wir betrachten  die letzte Zeile auf der rechten Seite von (\ref{Est 6}).
Mit (\ref{AssAbchi}) der Young'schen Ungleichung, (\ref{Ableitung}), (\ref{Definitionen}) und 
einer partiellen Integration erhalten wir
\beqa\label{Est 7}
\lefteqn{-\uRe\mskp{\di(\W(N-1+(\V\r-\beta)\mchi))\aij\dj E}{E}}\hspace{2ex} \\
&=& -\uRe\mskp{\W(\V\r-\beta)(\di\mchi)\aij\dj E}{E} \nonumber\\
&&-\uRe\mskp{\left[(\di\W)(N-1+(\V\r-\beta)\mchi)
+\W\mchi\di(\r\V)\right]
\aij\dj E}{E} \nonumber\\
&\leq&\Dis\HOCh{3.5} \dR\left(\IE+\JE\right) \nonumber\\
&&+ \frac 1 2\mskp{\dj\left(\Etaj\W\left(\V(N-1)
+(\V\r-\beta)\mchi\V+\dr(\r\V)\mchi\right)\right)\E}{\E} \Punkt\nonumber
\eeqa
Auf der linken Seite von  (\ref{Est 5}) addieren wir eine 0 der Form
\[-(1-\beta)\mskp{\W\Etak\dk E}{\Etal\dl E}
+(1-\beta)\mskp{\W\Etak\dk E}{\Etal\dl E} \]
setzen (\ref{Est 6}) und (\ref{Est 7}) ein, und erhalten
\beqa 
\lefteqn{(1+\beta)\mskp{\fr\mchi\W\E}{\E}} \nonumber\\
\lefteqn{+(1-\beta)
\left[\mskp{\W\mchi\aij\dj\E}{\di\E}
-\mskp{\W\Etak\dk\E}{\Etal\dl\E}\right]} \nonumber\\
\lefteqn{+\mskp{\W(1-\beta+2\V\r)\Etak\dk\E}{\Etal\dl\E}}\hspace{2ex} \label{Est 8}\\
&\leq&
-\uRe\mskp{\W G}{(N-1+(\r\V-\beta)\mchi)\E+2\Yl\dl\E}\nonumber \\
&&+\eh\mskp{\dj\left(\Etaj\W\left(\V(N-1)+(\V\r-\beta)\mchi\V
+\dr(\r\V)\mchi\right)\right)\E}{\E} \nonumber\\
&&\Dis\HOCh{3.5}+\dR\KE \Punkt\nonumber
\eeqa
Die zweite Zeile  von
 (\ref{Est 8}) ist  positiv semidefinit,
da nach der
Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung
$\betr{\etak\zeta}^2\leq\chik\zeta_i\aijk\ol{\zeta}_j$
für alle $x\in\Omega$ und alle $\zeta\in\cz^N$  ist. Wir können diese Zeile also einfach weglassen.

Wir  wenden  uns der ersten Zeile der rechten Seite von  (\ref{Est 8})
zu, setzen
\[ \H:={(N-1+(\V\r-\beta)\mchi)\E+2\Yl\dl\E}
 \]
und schätzen ab:
\beq \label{Est 9}
\ba{ccl}
I_1&:=&\Dis\HOCh{5}-\uRe\mskp{\W F}{\H} \\
&\leq&\Dis\HOCh{5}\dR
\KE +\mskp{\r^{2+\epsilon}\W F}{F} \quad ;
\ea
\eeq
\beq
\label{Est 10}
\ba{ccl}
I_2 &:=&\Dis\HOCh{5} \uRe\mskp{\W(\Bi\di+\P)\E}{\H} \\
&=&\Dis\HOCh{5}\uRe\Sumkl\skp{\tw t^\ka(\bikl\di+\pkl)\El}{\Hk} \\
&=& \Dis\HOCh{5}\uRe\Sumkl\skp{\tw^{\eh}\tau^{\ka\la}\left(t^\la\right)^{\eh}
(\bikl\di+\pkl)\El}{\left(\tw t^\ka\right)^{\eh}\Hk} \\
&\leq&\Dis\HOCh{5}\dR\KE\Komma
\ea
\eeq
da im Falle  $\sik\geq\sigma(\la)$
\[(\bikl+\pkl)\tau^{\ka\la}=o\left(r^{-1}\right) \]
wegen  (\ref{AbfKo}) gilt, und wir andererseits auch 
\[ \tau^{\ka\la}=
\left(\r\cdot\left(\ln\r\right)^{\eh}\right)^{\sik-\sigma(\la)}
=o\left(r^{-1}\right) \]
haben, falls $ \sik<\sigma(\la)$.

Nun berechnen wir die Ableitung im zweiten Term auf der rechten Seite von   (\ref{Est 8}).
Mit (\ref{Ableitung}), (\ref{etamalGradr}), (\ref{Assdivchi}), (\ref{AssAbchi}), 
(\ref{Abv})
und (\ref{2 Ablv}) erhalten wir
\beqa
\label{Ablterm1}
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}\dj\left(\Etaj\W\left[\V(N-1)+(\V\r-\beta)\mchi\V
+\dr(\r\V)\mchi\right]\right)}\hspace{2ex} \\
&=&\Dis\HOCh{5}(\dj\Etaj)\W\left[\ub{\V(N-1)}+(\ul{\ul{\ul{\V\r}}}-\ub{\beta})\mchi\V+\ub{\dr(\r\V)\mchi}\right]\nonumber \\
&&\Dis\HOCh{5}+\mchi\V\W\left[\ul{\ul{\ul{\V(N-1)}}}+(\ul{\V\r}-\ul{\ul{\beta}})\mchi\V+
\dr(\ul{\ul{\r}}\,\ul{\ul{\ul{\ul{\V}}}})\mchi\right] \nonumber\\
&&\Dis\HOCh{5}+\mchi\W\left[\ub{\dr\V(N-1)}+
\dr((\ul{\ul{\ul{\ul{\V}}}}\,\ul{\ul{\r}}-\beta)\ub{\mchi}\ul{\ul{\ul{\ul{\V}}}})+\ub{\dr(\dr(\r\V)\mchi)}\right]\nonumber \\
&=&\Dis\HOCh{5}\ul{\W\V^3\mchi^2\r}+(2-\beta)\W\V^2\mchi^2+2(N-1)\W\V^2\mchi\nonumber \\
&&\Dis\HOCh{5}+\ul{\ul{\ul{\ul{3\W\V\r\mchi^2\dr\V}}}}+\ub{(o(1)+o(1)\V+o(1)\V^2)\W}\Punkt\nonumber
\eeqa
Dabei  wandern die unterklammerten Terme in den Resteterm.
Wir werden die Gleichung (\ref{Ablterm1}) später noch einmal brauchen.
Mit Hilfe von  (\ref{Est 8})--(\ref{Ablterm1}), (\ref{Abv}) und 
der Young'schen Ungleichung schließen wir
\beqa
%\label{AblogGew}
\lefteqn{ \Dis\HOCh{5}(1+\beta)\mskp{\fr\W\mchi\E}{\E} 
+ \Dis\HOCh{5}\mskp{(1-\beta+2\V\r)\W\Etal\dl\E}{\Etak\dk\E}}\hspace{2ex}\nonumber \\
&\leq& \Dis\HOCh{5}c\mskp{\W\left(\betr{\V}^3\r\id+\V^2\right)\E}{\E}  
+\Dis\HOCh{5} \mskp{\r^{2+\eps}\W F}{F} \Dis\HOCh{5} +\dR\KE\Komma\nonumber
\eeqa
und dann mit Lemma \ref{LAbAbl} die Abschätzung (\ref{Est 1}), zunächst für $\E\in\H^2_{\vox}$. 

Um zur  zweiten Abschätzung (\ref{Est 2}) zu kommen, zunächst für
$\E\in H^2_{\vox}$, setzen wir $\beta=1$ 
und betrachten  den  Term 
\[ 2\mskp{\W\V\r\Etak\dk\E}{\Etal\dl\E}\Punkt \]
Es sei  $\wk$ das $\ka$-te Hauptdiagonalelement von $\W$. Mit 
\[\left(\wk\right)^{\eh}\etak\nabla\Ek=
\etak\nabla\left(\left(\wk\right)^{\eh}\Ek\right)
-\eh\chik\Vk\left(\wk\right)^{\eh}\Ek \]
erhalten wir durch Quadrieren 
\beqanon
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}\Rnskp{\W\Etak\dk\E}{\Etal\dl\E}}\hspace{2ex} \\
&=&\Dis\HOCh{5}\Rnskp{\Etal\dl(\W^{\eh}\E)}{\Etak\dk(\W^{\eh}\E)}
-\eh\Sumk\chik\Vk\etak\nabla\betr{(\wk)^{\eh}\Ek}^2+
\frac 1 4 \Rnskp{\mchi^2\V^2\W\E}{\E} 
\eeqanon
f.ü.

Im zweiten Term integrieren wir partiell und bekommen mit (\ref{AssAbchi}),
(\ref{etamalGradr}), (\ref{Assdivchi}) und (\ref{Abv})
\beqa
\label{Absch2}
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}2\mskp{\W\V\r\Etak\dk\E}{\Etal\dl\E}}\hspace{2ex} \\
&=&\Dis\HOCh{5}2\mskp{\V\r\Etak\dk(\W^\eh\E)}
{\Etal\dl(\W^\eh\E)}\Dis\HOCh{5}+\eh\mskp{\left[\V^3\mchi^2\r
+2\dk\left(\Etak\r\mchi\V^2\right)\right]
\W\E}{\E} \nonumber\\
&=&\Dis\HOCh{5}2\mskp{\V\r\Etak\dk(\W^\eh\E)}
{\Etal\dl(\W^\eh\E)}\nonumber\\
&& \Dis\HOCh{5}+\mskp{\left[\eh\V^3\r\mchi^2+(N-1)\V^2\mchi+\V^2\mchi^2+
2\mchi^2\r\V\dr\V\right]\W\E}{\E} \nonumber\\
&&\Dis\HOCh{5}+\mskp{(o(1)+o(1)\V+o(1)\V^2)\W\E}{\E}\Punkt \nonumber
\eeqa
Wir  schließen mit 
(\ref{Est 8})-(\ref{Ablterm1}) (man beachte $\beta=1$) und 
(\ref{Absch2})
\beqa
\label{Hab2}
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}2\mskp{\fr\mchi\W\E}{\E}}\hspace{2ex} \\
&\leq&\HOCh{5}-\eh\mskp{\left(\V^2+\r\V\dr\V\right)\mchi^2\W\E}{\E}
\Dis\HOCh{5}+\mskp{\r^{2+\eps}\W F}{F}+\dR\KE\Punkt\nonumber
\eeqa
Mit Lemma \ref{LAbAbl} ergibt sich dann  (\ref{Est 2}). \nl
Nun zu Feldern ohne beschränkte Träger:
Wir wenden  (\ref{Est 1}) bzw. (\ref{Est 2}) 
auf $\calH\E^z=\widetilde{F}^z$ (definiert wie im Beweis zu 
Lemma \ref{LAboK}) an. 
Mit dem  Grenzübergang  $z\to\infty$, Lemma \ref{LAboK} und dem Satz von  Lebesgue 
erhalten wir die Behauptungen des Lemmas.
\uqed 

\subsection{Polynomiales Abfallen}
\label{polynomiales_Abfallen}
In diesem Unterkapitel zeigen wir das polynomiale Abfallen.
\begin{Lemma} \label{LpolAbf}
$\E\in L^2_{>\max\sigma-\eh}$ löse die Gleichung 
$\calH\E=F\in L^2_{>s+1}$ für ein $s\in\rz$
Dann gilt auch
\[ \E\in L^2_{s}\Punkt \] 
\end{Lemma}
\uproof 
Wir können $\alpha >-1$ und $\epsilon>0$ so wählen, dass
\beq \label{IntF} \E\in L^2_{>\max\sigma+\frac{\alpha}{2}}\quad,\quad F\in
L^2_{>s+1+\frac{\epsilon}{2}}\Punkt \eeq
Im Falle $s\leq \max\sigma+\frac{\alpha}{2}$ gilt dann schon die
Behauptung;
andernfalls folgt
\[ s+1+\frac{\epsilon}{2}>\max\sigma+1+\eh(\alpha+\epsilon) \]
und wir erhalten für alle $k>0$
\[ (\ln\r)^{k/2}\r^{\alpha/2}\T^{1/2}\E\in L^2\quad,\quad 
\r^{\frac{\alpha}{2}}(\ln\r)^{k/2}\T^{1/2} F\in L^2_{>1+\epsilon/2} \Punkt\]
 
Wir können   $\supp\E\subset A(R)$ annehmen, wobei $R>R_1$  später passend gewählt wird, 
und benutzen  (\ref{Est 1}) für die logarithmischen 
Gewichtsfunktionen \nl
$\W=\tw_k^{l,\alpha}\T$ (siehe (\ref{Gewichtsfunktion 3}) und (\ref{Gewichtsfunktion})).
Mit Hilfe von \ref{AssReg}, (\ref{Asschi}), (\ref{Ableitung T}) und
(\ref{Ableitung})-(\ref{2 Ablv})  können wir diese zur folgenden Abschätzung 
vereinfachen:
\beqa
\label{logAb}
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}(1+\beta)\mskp{\left(\ln\r\right)^k\r^\alpha\T\E}{\E}} \\
\lefteqn{\Dis\HOCh{5} +\mskp{\left[(1-\beta)\id+2(k\left(\ln\r\right)^{-1}
+\alpha+\r\Tp)\right]\left(\ln\r\right)^k\r^\alpha\T\Etam\dm\E}
{\Etal\dl\E}}\hspace{2ex} \nonumber\\
\Dis\HOCh{5}&\leq & 
\Dis\HOCh{5}c\left[\mskp{\left(k^3\left(\r\cdot\ln\r\right)^{-3}\r
+k^2\left(\r\cdot\ln\r\right)^{-2}
\right)
\left(\ln\r\right)^k\r^\alpha\T\E}
{\E} \right.\nonumber\\
&&
\Dis\HOCh{5}\left.
+\mskp{\left(\ln\r\right)^k\r^{\alpha+2+\epsilon}\T F}{F}\right] \nonumber\\
&&\Dis\HOCh{5}+\dR\mskp{\left(\id+k^2\left(\r\cdot\ln\r\right)^{-2}
\right)\left(\ln\r\right)^k\r^\alpha\T\E}
{\E} \nonumber\\
&\leq & \Dis\HOCh{5}c\mskp{\left(\ln\r\right)^k\r^{\alpha+2+\epsilon}\T F}{F} \nonumber\\
&&\Dis\HOCh{5} + \dR\mskp{\left(\id+k^2\cdot\left(\ln\r\right)^{-2}+k^3\cdot\left(\ln\r\right)^{-3}
\right)\left(\ln\r\right)^k\r^\alpha\T\E}
{\E}\Komma\nonumber
\eeqa
mit $c$ und $\delta$ unabhängig von $\beta$, $k$, $\E$ und $F$.
Wir wählen $\beta $ mit $-1<\beta<\alpha$.
Daher ist
\[\left[1-\beta+2\alpha+2k(\ln\r)^{-1}\right]\id
+2\left(2+(\ln\r)^{-1}\right)
\diag(\sigma(1),...,\sigma(\nu)) \]
eine Diagonalmatrix mit nicht negativen Einträgen.
Wir  setzen $\hht:=2s-\alpha$  und schließen  für  alle
$K\in\nz$, $K>3$  
\beqanon
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}\SumkdK\frac{\hht^k}{k!}\mskp{(\ln\r)^k\r^\alpha\T\E}{\E}}\hspace{2ex} \\
%
&\leq& \Dis\HOCh{5}c
 \SumkdK\frac{\hht^k}{k!}\mskp{(\ln\r)^k\r^{\alpha+2+\epsilon}\T F}{F}   \\
&&\Dis\HOCh{5}+\dR\SumkdK\frac{\hht^k}{k!}\mskp{%
\left(1+k^2(\ln\r)^{k-2}+k^3(\ln\r)^{k-3}\right)\r^\alpha\T \E}{\E} \\
%
&\leq&\Dis\HOCh{5}\dR\left(\sum_{k=0}^{K-3}\frac{\hht^{k+3}(k+3)^3}{(k+3)!} 
\mskp{(\ln\r)^k\r^\alpha\T\E}{E}\right.\\
&&+\sum_{k=1}^{K-2}\frac{\hht^{k+2}(k+2)^2}{(k+2)!}\mskp{(\ln\r)^k\r^\alpha\T\E}{E} \\
&&\Dis\HOCh{5}\left. +\SumkdK\frac{\hht^k}{k!}\mskp{(\ln\r)^k\r^\alpha\T\E}{E}\right)
\Dis\HOCh{5}+c\mskp{\r^{2s+2+\epsilon}\T F}{F} \\
&\leq &\Dis\HOCh{5}\dR\SumkdK\frac{\hht^k}{k!}%
\mskp{(\ln\r)^3\r^\alpha\T\E}{\E}+c_1
\eeqanon 
mit einer Konstante  $c_1$ unabhängig von $K$. Nun wählen wir  $R$ hinreichend groß,
stellen die Terme um und erhalten
\[\SumkdK\frac{\hht^k}{k!}%
\mskp{(\ln\r)^3\r^\alpha\T\E}{E}\leq c_2 \]
für alle $K\in\nz$.
Mit dem Lemma von Levi ergibt sich
\[ \Rnskp{\r^{\hht+\alpha}\T\E}{\E} \in L^1\Komma  \]
was $\E\in L^2_{s}$ nach sich zieht.
\uqed

Wir wollen auch das polynomiale Abfallen für $\E\in L^2_{>-\eh}$ für den Fall
$\sigma\not\equiv0$  zeigen.
%
%
%-------------------- Beweis  mit boot trap ---------------
%
%
\nl\nl
{\bf Beweis von Satz \ref{Hauptsatz_polAbfallen}:} 
Sei o.B.d.A $\supp\E\subset\Omega$.  
Zuerst wollen wir bemerken, dass es ausreichend ist den folgenden
Sachverhalt für ein $\delta>0$ und alle $t>-1/2$ zu zeigen:
Ist $\E$ in $L^2_{<t}$ und löst $\calH\E=F$ mit  $F\in L^2_{\pol}$, so ist
$\E$ auch in $L^2_{<t+\rho}$. 
Wir zeigen eine etwas stärkere Aussage durch  Induktion nach $n=\max\sigma$. 

Wir behaupten: Für alle $\nu\in\nz$, $n\in\nz_0$ und alle Operatoren
$\calH$, die \ref{AssReg}, \ref{AssEll}, \ref{AssPPP} und
\ref{AssWAss} mit $\max\sigma=n$ erfüllen, gilt folgende Implikation:
Ist $\E\in L^2_{<t}$, $t>-1/2$ und $(\calH\E)^\ka\in
L^2_{<t+\sik+\rho+1}$, so ist $\Ek$ in $L^2_{<t+\sik+\rho}$.

Lemma \ref{LpolAbf} liefert den Induktionsanfang für $n=0$.
Gegeben sei nun ein Operator $\calH$ mit $\max\sigma=n+1$.
Mit den \glqq Störungen\grqq $g_{\ka\la}$ und den \glqq
Hauptteilen\grqq $\cHk$, die durch
\beqanon
\gkl &:=& \bikl\di\El+\pkl\El \\
\cHk f  &:=& \di(\aijk\dj f)+\frk f 
\eeqanon
definiert sind, spalten wir das System $\calH\E=F$ mit $F^\ka$ in
$L^2_{t+\sik+\rho+1}$ in zwei Systeme auf:
\beqa \label{Sys1}
\cHk\Ek+\sum_{\sigma(\la)=0}\gkl &=&\widehat{F^\ka}\quad,\quad\sik=0\Komma \\
\mbox{mit } \widehat{F^\ka} &=& F^\ka-\sum_{\sigma(\la)>0}\gkl\Punkt \nonumber
\eeqa
\beqa\label{Sys2}
\cHk\Ek+\sum_{\sigma(\la)>0}\gkl &=&\widetilde{F^\ka}\quad,\quad\sik>0 \Komma\\
\mbox{mit } \widetilde{F^\ka} &=& F^\ka-\sum_{\sigma(\la)=0}\gkl\Punkt \nonumber
\eeqa
Unter Beachtung von \ref{AssWAss} bemerken wir 
\[\widetilde{F^\ka}\in L^2_{<t+\sik+\rho+1}\quad,\quad\sik>0\Punkt \]
Das System (\ref{Sys2}) erfüllt mit
$\widetilde\sigma:=\restr{\sigma}{\sigma^{-1}(\{1,...,n+1\})}-1$,
$\widetilde\nu:=\nu-\betr{\{\sigma=0\}}$ und $\widetilde t =t+1$  gerade
die Voraussetzungen der Induktionsbehauptung für $\max\widetilde\sigma=n$. Nach Induktions\-annahme
erhalten wir also
\beq
\label{sg0}
 \Ek\in
 L^2_{<t+1+\widetilde{\sigma}(\ka)+\rho}=L^2_{<t+\sik+\rho}\quad,\quad\sik>0\Punkt
\eeq
Mit \ref{AssReg} und (\ref{sg0}) schließen wir 
\[ \widehat{F^\ka}\in L^2_{<t+1+\rho}\Punkt \]
Das System (\ref{Sys1}) erfüllt also die Voraussetzungen der
Induktionsbehauptung für $n=0$, damit haben wir
\[\Ek \in L^2_{<t+\rho}\quad,\quad\sik=0 \]
und in Verbindung mit (\ref{sg0}) schließlich 
$\Ek$ in L^2_{<t+\sik+\rho}$ für alle $\ka$.
\uqed


\subsection{%
Exponentielles Abfallen und beschränkter Träger}\label{expkomp}

\begin{Lemma} \label{LexpAbk}
Sei  $s\in\rzp$ und $\E\in L^2_{\pol}$ löse die Gleichung $\calH \E= F$ 
mit $\exp(sr)F\in L^2_{>1}$. \nl
Dann gilt $\exp(sr)\E\in L^2$.
\end{Lemma} 
\uproof
Der Beweis verläuft ähnlich zum Beweis von Lemma
\ref{LpolAbf}.
Wir können  $\supp \E\in A(R)$ annehmen, 
wobei wir  $R>R_1$ später passend wählen.
Es wird Gleichung  (\ref{Est 2}) für die polynomialen Gewichte $\W=\tw_k^p\T$
(siehe (\ref{Gewichtsfunktion 2}) und (\ref{Gewichtsfunktion})) benutzt .
Unter Beachtung von 
\ref{AssReg}, (\ref{Asschi}), (\ref{Ableitung T}), (\ref{Ableitung}) und (\ref{Abv})
liest sich diese Abschätzung als
\beqanon
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}\mskp{\r^k\T\E}{\E}}\hspace{2ex} \\
&\leq&\Dis\HOCh{5}
c\mskp{\r^{k+2+\epsilon}\T F}{F} 
+\Dis\HOCh{5}\dR\mskp{(1+k^2\r^{-2})\r^k\T\E}{\E} 
\eeqanon
oder (für genügend großes $R$) als
\beqanon
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}\mskp{\r^k\T\E}{\E}}\hspace{2ex} \\
&\leq&\Dis\HOCh{5}
c\mskp{\r^{k+2+\epsilon}\T F}{F}
+\Dis\HOCh{5}\dR\mskp{k^2\r^{k-2}\T\E}{\E}
\eeqanon
mit $c$ und $\delta$ unabhängig von $k$, $\E$ und $F$.

Wir  setzen $\hht=2 s$, wählen $0<\epsilon$ 
mit $\exp(sr)F\in L^2_{1+\eh\epsilon}$ und schließen für alle  
$K\in\nz$ , $K>2$ 
\beqanon
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}\SumkzK\frac{\hht^k}{k!}\mskp{\T\r^k\E}{\E}}\hspace{2ex} \\
&\leq&\Dis\HOCh{6}\dR\SumkzK\frac{\hht^k}{k!}
\mskp{k^2\r^{k-2}\T\E}{\E} 
\Dis\HOCh{6}+c\SumkzK\frac{\hht^k}{k!}\mskp{\r^{k+2+\epsilon}\T F}{F} \\
&\leq&\Dis\HOCh{6}\dR\sum_{k=0}^{K-2}\frac{\hht^{k+2}\cdot k^2}{(k+2)!}
\mskp{\r^k\T\E}{\E}+c\mskp{\r^{2+\epsilon}\exp(\hht\r)\T F}{F} \\
&\leq& \Dis\HOCh{6}\hht^2\dR\SumkzK\frac{\hht^k}{k!}
\mskp{\T\r^k\E}{\E}+c_3 
\eeqanon
mit $c_3$ unabhängig von $K$.
Wir wählen nun  $R$ hinreichend groß, stellen die Terme um und erhalten
\[ \SumkzK\frac{\hht^k}{k!}\mskp{\T\r^k\E}{\E}\leq c_4 \]
für alle $K$. Damit haben wir nach dem Satz von Levi
\[ \Rnskp{\T\exp(\hht\r)\E}{\E}\in L^1 \Punkt\]
\uqed 
\begin{Lemma}
Sei  $\E\in L^2_{\exp}$ eine Lösung der Gleichung
$\calH\E=F$ mit $F\in L^2_{\vox}$. Dann gilt
 $\E\in L^2_{\vox}$.
\end{Lemma}
\uproof
Wir nehmen $\supp\E\subset A(R)$ mit einem  $R>R_1$ an.
Nun benutzen wir  (\ref{Est 2}) für exponentielle Gewichte $\W=\tw_k^e\T$
(siehe (\ref{Gewichtsfunktion 1}) und (\ref{Gewichtsfunktion})).
Wegen (\ref{Ableitung T}), (\ref{Ableitung S}), (\ref{Ableitung}) und
(\ref{Abv}) ist der erste Term auf der rechten Seite von (\ref{Est 2}) negativ
definit modulo $\dR\IE$. 
Mit \ref{AssReg}, (\ref{Asschi}),(\ref{Ableitung T}), (\ref{Ableitung S}),
(\ref{Ableitung}) und (\ref{Abv})  ergibt (\ref{Est 2}) daher
\beqanon
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}(1+k^2)\mskp{\exp(k\r)\T\E}{\E}}\hspace{2ex} \\
&\leq&\Dis\HOCh{5}c\mskp{\r^{2+\epsilon}\exp(k\r)\T F}{F} 
+\dR\mskp{\left(1+k^2\right)\exp(k\r)\T\E}{\E}
\eeqanon 
und damit für genügend großes $R$
\[ \mskp{\exp(k\r)\T\E}{\E}\leq c\mskp{\r^{2+\epsilon}\exp(k\r)\T F}{F}\Punkt \]
Wir  fixieren ein genügend großes $R_3$ mit $\supp F\subset U(0,R_3)$.
Unter Beachtung von  
(\ref{Vergleichbarkeit})
können wir abschätzen
\beqanon
\lefteqn{\Dis\HOCh{5}\exp(2R_3k)\mskp{\T\E}{\E}_{A(2R_3)}}\hspace{2ex} \\
&\leq&\Dis\HOCh{5}\mskp{\exp(\r k)\T\E}{\E} \\
&\leq&\Dis\HOCh{5} c\mskp{\exp(\r k)\r^{2+\epsilon}\T F}{F} \\
&\leq&\Dis\HOCh{5} c\exp(R_3k)\mskp{\r^{2+\epsilon}\T F}{F} \Punkt
\eeqanon
Der Grenzübergang $k\to\infty$ ergibt dann $\Restr{\E}{A(2R_3)}=0$. 
\uqed

\subsection{Das PdeF}\label{PdeF}
Wir wollen dieses Kapitel abschließen, indem wir ein  Resultat über das 
PdeF für elliptische Gleichungen  in völlig kanonischer Weise auf unser System verallgemeinern.
Der Beweis wird nur der Vollständigkeit halber durchgeführt.
\begin{Satz} \label{PdeF Helmholtz}
Sei  $\E$ eine Lösung von $\calH \E=0$. Weiterhin verschwinde $\E$
in einer Umgebung eines Punktes  $x\in\Omega$,
dann verschwindet $\E$  in $\Omega$.
\end{Satz}
\uproof Es gibt eine Konstante $c_5$ mit
\[
\sum_\ka \betr{\aijk\di\dj\Ek}^2\leq
c_5\left[\betr{\E}^2+\Rnskp{\di\E}{\di\E}\right]\mtext{f.ü.} \Punkt \]
Sei $x_0\in \Omega$ und $\E$ verschwinde auf einer Umgebung von
$x_0$. Wir wählen $0<R<1$ mit $U(x_0,R)\subset\Omega$, dazu eine
Abschneidefunktion $\psi\in C^{\infty}_\circ(U(x_0,R))$ mit 
$\restr{\psi}{U(x_0,R/2)}\equiv 1$ und setzen $\hE=\psi\E$.
Ferner definieren wir für $\beta>0$ die Gewichtsfunktionen
\[ \pb(x):=\exp\left(\betr{x-x_0}^{-\beta}\right) \]
und damit 
\beqanon
 \Pek &:=&
\int_{\rz_N}\frac{\pb^2(x)\betr{\hEk(x)}^2}{\betr{x-x_0}^{2\beta+2}}\diffd
  x\quad,\quad
\Pzk:=\int_{\rz^N}\pb^2(x)\betr{\nabla\hEk(x)}^2\diffd x\quad, \\
\Q &:=&
\sum_{\ka}\int_{\rz^N}\pb^2(x)\betr{x-x_0}^{\beta+2}\betr{\aijk\di\dj\hEk(x)}^2\diffd
x\Punkt
\eeqanon
Nach \cite{Protter} gilt folgende Carlemann'sche Abschätzung:
Es gibt Konstanten $\beta_0,$ $c_6>0$ mit
\[ \beta^4\Pek+\beta^2\Pzk\leq c_6\Q\mtext{für alle
}\beta>\beta_0\Punkt \]
O.B.d.A. nehmen wir $x_0=0$ an. Dann gilt für alle $\beta>\beta_0$
\beqanon
\lefteqn{\sum_\ka\int_{\betr{x}<R/2}\pb^2\left(\beta^4\frac{\betr{\Ek}^2}{r^{2\beta+2}}+\beta^2\betr{\nabla\Ek}^2
\right)\diffd x}\hspace{2ex} \\
&\leq& \HOCh{4}c_6\Q \\
&\leq&
c_5c_6\left(\sum_\ka\int_{\betr{x}<R/2}\pb^2\left(\betr{\Ek}^2+\betr{\nabla\Ek}^2\right)\diffd
x\right)+c_6\left(\sum_\ka\int_{\betr{x}>R/2}\pb^2\betr{\aijk\di\dj\Ek}^2\diffd
x\right)\Punkt
\eeqanon
Für hinreichend große $\beta$ erhalten wir
\[ \sum_\ka\int_{\betr{x}<R/2}\pb^2\frac{\betr{\Ek}^2}{r^{2\beta+2}}
\leq
g(\beta)\sum_\ka\int_{\betr{x}>R/2}\pb^2\betr{\aijk\di\dj\Ek}^2\diffd
x \]
mit $g(\beta):=c_6/(\beta^4-c_5c_6)$.
Aufgrund der Monotonie von $\pb$ und $r^{-2\beta-2}$ haben wir
\beqanon
\sum_\ka\int_{\betr{x}<R/2}\betr{\Ek}^2\diffd x
&\leq& g(\beta)\sum_\ka\int_{\betr{x}>R/2}\betr{\aijk\di\dj\Ek}^2\diffd
x \\
&\leq& c_7 g(\beta)\Punkt
\eeqanon
Der Grenzübergang $\beta\to\infty$ ergibt $\restr{\E}{U(R/2)}=0$.
Damit ist das Komplement des Trägers von $\E$ abgeschlossen in
$\Omega$ und deshalb ganz $\Omega$.
 
 \uqed

\section{Das Maxwell-System} \label{Beweis Maxwell}
Wir nehmen für dieses Kapitel an, dass \ref{AssMax} erfüllt ist und zeigen aus Gründen 
der Vollständigkeit den nullten Schritt. 
Die Darstellung orientiert sich an \cite[Theorem 10]{PWW}
($\rot$ und $\div$ bezeichnen zunächst wieder die vektoranalytischen Operatoren).
\begin{Lemma} \label{IntStrahlungMax}
Sei $(E,H)$ eine Strahlungslösung zum Maxwellproblem zu
verschwindenden rechten Seiten 
(siehe (\ref{Maxwell_Strahlung_klassisch}),(\ref{Strahlungsbedingung_Maxwell_klassisch})).
Dann gilt $(E,H)\in L^2_{>-\eh}$.
\end{Lemma}
\uproof
Da $(E,H)$ eine Strahlungslösung ist, gibt es ein $s>-\eh$ mit
\[ E+\xi\wedge H\;,\;H-\xi\wedge E\;\in L^2_s\Punkt \]
% 
Wir fixieren $\tilde R >0$ mit 
$\rz^3\setminus\Omega\subset U(\tilde R)$. Dann gibt es eine Konstante $c$, 
so dass für alle $R>\tilde R$ folgendes gilt:
\beqanon
c &\geq&\Dis\HOCh{6} \iuar\left(\betr{E+\xi\wedge H}^2+\betr{H-\xi\wedge E}^2\right)r^{2t}\;\dx \\
 &=&\Dis\HOCh{6}  \iuar\left(\betr{E}^2+\betr{H}^2+\betr{\xi\wedge H}^2+
\betr{\xi\wedge E}^2\right)r^{2t}\;\dx \\
&&\Dis\HOCh{6} -4\uRe\iuar\xi\cdot(\ol{E}\wedge H)r^{2t}\,\dx \\
&\geq&\Dis\HOCh{6}  \iuar\left(\betr{E}^2+\betr{H}^2\right)r^{2t}\;\dx \\
&&\Dis\HOCh{6}-4\uRe\int_{\tilde R}^R\int_{S(r)}\xi\cdot(\ol{E}\wedge
H)\;\diffd o\;r^{2t}\;\mdr \\
&=&\Dis\HOCh{6}\iuar\left(\betr{E}^2+\betr{H}^2\right)r^{2t}\;\dx \\
&&\Dis\HOCh{6} -4\uRe\int_{\tilde R}^R\;r^{2t}
\int_{\Omega(r)}\;(\rot\ol{E}\cdot\H-\ol{E}\cdot\rot H)\;\dx\mdr 
\eeqanon
Der Integrand im letzten Summand 
ist aufgrund der Differential\-gleichung rein imaginär.
Damit ergibt sich die Behauptung.
\uqed
\begin{Bem}
Für dieses Lemma reichen $L^\infty$-Koeffizienten ohne weitere Asymp\-to\-tik aus.
\end{Bem}
Um das folgende Reduktionslemma zu zeigen führen wir einige Notationen ein:
\[ \die =\dieh+\id\quad,\quad\per=\perh+\id\quad, \]
$\ev$ sei der $k$-te kartesische Einheitsvektor und $\gkjl$  der Levi-Civita-Tensor, also
\[ \gkjl=\left\{
              \ba{rl}
          1 &\mtext{ falls}(k,j,l)\mtext{eine gerade Permutation von}(1,2,3)\mtext{ist} \\
         - 1 &\mtext{ falls}(k,j,l)\mtext{eine ungerade Permutation von}(1,2,3)\mtext{ist} \\
          0 & \mtext{sonst} \Punkt
\ea \right. \]
\begin{Lemma}
\label{Elliptische quasi diagonale Gleichung}
Sei  
$(E,H)\in R_{\loc}\times R_{\loc}$ 
eine Lösung von
\beq \label{MaxGl}
\ba{rcl}
\Dis\HOCh{4}\rot H &=& \ie\om\die E \\
\Dis\HOCh{4}\rot E &=& -\ie\om\per H \Punkt
\ea
\eeq
Dann ist $(E,H)\in H^2_{\loc}\times H^2_{\loc}$ und löst das folgende
Gleichungssystem:
\beqa
\label{pde3}
\lefteqn{\Dis\HOCh{4}\di(\dieij\dj E)+\omq E}\hspace{2ex} \\
&=&\Dis\HOCh{4} \ie\om\di(\diehij \gkjl\per_{lm} H_m)\ev 
%\\&&  
\Dis\HOCh{4}-\di((\dk\diehij)E_j)\ev-\omq\dieh E
+\ie\om\rot\perh H,
\nonumber
\eeqa
\beqa
\label{pde4}
\lefteqn{\Dis\HOCh{4}\di(\perij\dj H)+\omq H}\hspace{2ex} \\
&=& 
-\ie\om\di(\perhij \gkjl\die_{lm} E_m)\ev %\\
%&&  
\Dis\HOCh{4}-\di((\dk\perhij)H_j)\ev-\omq\perh H
-\ie\om\rot\dieh E  \Punkt
\nonumber
\eeqa
\end{Lemma}
\uproof 
Wir rechnen zunächst im Distributionensinn, wenden       % Beweis
$\rot$                                                      % Maxwell Operator
auf die Gleichungen (\ref{MaxGl}) an und erhalten mit  
\[\Delta=-\rot\;\rot+\nabla\div \]
die Gleichung
\beq
\label{H3}
(\Delta +\omq) E = \nabla\div E -\omq\dieh E +
\ie\om\rot\perh H \Punkt 
\eeq
Wiederum mit (\ref{MaxGl}) und 
$ \div\;\rot =0 $ 
schließen wir
\[ \div E = -\div\dieh E \]
womit
\beq
\label{H6}
(\Delta +\omq) E = -\nabla\div \dieh E -\omq\dieh E +
\ie\om\rot\perh H 
\eeq
folgt.
Da aufgrund von  (\ref{MaxGl})
\beq\label{Ableitungstausch}
 \dk E_j =\dj E_k-\ie\om\gkjl\per_{lm} H_m  
\eeq
gilt, erhalten wir
\beqanon
\lefteqn{\Dis\HOCh{4}\nabla\div\dieh E} \\ 
&=& 
\Dis\HOCh{4}\dk\di(\diehij E_j)\ev \\
&=& 
\Dis\HOCh{4}\di(\diehij\dj E_k)\ev 
\Dis\HOCh{4}-(\ie\om\di(\diehij\gkjl\per_{lm}
 H_m)+\di((\dk\diehij)E_j)\ev ,
\eeqanon 
woraus  (\ref{pde3}) folgt. 
Analoge Rechnungen ergeben (\ref{pde4}). 
Mit \cite{Weber} folgt aus (\ref{MaxGl})  \nl
$E$, $H\in H^1_{\loc}$.
Innerer elliptischer Regularität in Verbindung mit (\ref{pde3}) und
(\ref{pde4})
ergibt $E$, $H\in H^2_{\loc}$. 
\uqed
\nl Jetzt sind Satz \ref{Maxsatz} und Satz \ref{StrahlungMax} einfach zu zeigen.
\nl
{\bf Beweis von Satz \ref{Maxsatz} und \ref{StrahlungMax}:}
Im Fall einer Strahlungslösung liefert 
Lemma \ref{IntStrahlungMax} $(E,H)\in L^2_{>-\eh}\times L^2_{>-\eh}$,
im Fall einer $L^2$-Lösung gilt das sowieso. Wir wenden Satz \ref{Hauptsatz} 
mit $N=3$, $\nu=6$ und $\sigma\equiv 0$ auf das schwach gekoppelte System 
(\ref{pde3}),(\ref{pde4}) an. Aufgrund \ref{AssMax} sind dann \ref{AssReg}, \ref{AssEll}, 
\ref{Ass01o} und \ref{AssPPP} mit $\G=\id$  erfüllt. Also folgt der kompakte Träger von $(E,H)$.
Nach Satz \ref{PdeF Helmholtz} müssen sie dann verschwinden.
\uqed
\nl
Es bleibt die Frage, ob man entsprechende Ergebnisse auch für Matrizen mit
$C^1$-Koeffizienten bekommen kann. In diesem Fall  ist bereits  das PdeF 
ein Problem.
Der Weg über das
System zweiter Ordnung ist dann  schwierig.
\nl

Das  Maxwell-Problem besitzt eine natürliche Verallgemeinerung auf
$q$-Formen. Sei dazu $\Omega\subset\rz^N$ ein Gebiet und
$q\in\{0,...,N\}$. Wir definieren den verallge\-meinerten
Maxwell-Operator $\map{\calM_q}{\calD(\calM_q)\subset L^{2,q}\times
L^{2,q+1}}{L^{2,q}\times L^{2,q+1}}$ mit
$\calD(\calM_q):=\Rrq\times D^{q+1}$ und
\[ \calM_q:=-\ie
\left(\ba{cc}
\eps^{-1} & 0 \\
0         & \per^{-1} \ea \right)
\left(\ba{cc}
0    &  \qdiv  \\
\qrot& 0       \ea \right)\Punkt
\]
Hierbei sind $\eps$ und $\per$  gleichmäßig positiv definite 
$\binom{N}{q}$ bzw. $\binom{N}{q+1}$ Matrizen und, nach Weyl,
$\qrot=\diffd$ und $\qdiv=\delta$.
Die zum Lemma \ref{Elliptische quasi diagonale Gleichung} 
analoge Reduktion von Lösungen des ho\-mo\-genen Gleichungs\-system 
\beqanon
\qdiv H &=& \ie\omega\eps E \\
\qrot E &=& \ie\omega\per H \\
\eeqanon
auf ein schwach gekoppeltes elliptisches System zweiter Ordnung   gelingt für
$N\geq4$
nur in den Spezialfällen $q=1$, $\per$ eine skalarwertige Funktion
und  $q=N-2$, $\eps$ eine skalarwertige Funktion. In allen anderen
Fällen führt das Analogon  von (\ref{Ableitungstausch}) nicht mehr zu einer Entkopplung
der Terme zweiter Ordnung. In den angesprochenen Spezialfällen ergeben
aber dieselben Rechnungen 
das PdeF, den beschränkten Träger und damit die  Eindeutigkeit von
$L^2$- und Strahlungslösungen.

\section{Das Lam\'e-System} \label{Beweis Elastizität}
Wir führen  zunächst  den nullten Schritt des Beweisschemas 
für die Elastizitätsgleichungen durch. Die 
Darstellung ist aus \cite[Theorem 5]{WW} entnommen.
Wir wiederholen  die Rechnungen aber noch einmal, da wir andere Voraussetzungen an 
die Koeffizienten stellen ($\a$ und $\b$ sind nicht notwendig asymptotisch konstant). 
Der Beweis besteht aus einer Integration  
der Strahlungsbedingung und anschließenden partiellen Integrationen. 
Dabei ist es sinnvoll von kartesischen auf Kugelkoordinaten zu wechseln. 
Ein bequemer Kalkül für  Kugelkoordinaten ist von Weck und Witsch in  \cite{WW3}
entwickelt worden und wird hier benutzt. Wir werden  nur die wichtigsten  Notationen 
und Eigenschaften erwähnen. Für genauere Informationen sei auf 
\cite[section 2]{WW3} verwiesen.

Wir beschreiben  $\rpN:=\rz^N\ohne\{0\}$ lokal  mit  $N$-dimensionalen Kugelkoordinaten
$u=(r,\varphi_1,...,\varphi_{N-1})^t$. Dann ist  
$\{\diffd r,\diffd \varphi_1,...,\diffd\varphi_{N-1}\}$
eine Orthogonalbasis von  $\calA^1(\rpN)$ und  (mit der natürlichen Einbettung 
$\map{\iota}{S^{N-1}}{\rpN}$) ist \\ 
$ \{ \diffd (\varphi^1\circ\iota),...,\diffd (\varphi^{N-1} \circ\iota)\}$ eine  
Orthogonalbasis in $\calA (S^{N-1})$.
Wir können $E\in \calA^q(\rpN)$ lokal darstellen als
\beq \label{Elokal}
E(u^{-1}(r,\varphi))=c^{\tau}_I(r,\varphi)\diffd \varphi_I
+c^{\rho}_J(r,\varphi)\diffd r\wedge\diffd\varphi_J
\eeq
(man beachte die unterschiedlichen Indexbereiche für $I$ und $J$).
Wir definieren
\[ \map{\tau}{\calA^q(\rpN)}{\calF(\rz^+,\calA^q(S^{N-1}))} \]
und
\[\map{\rho}{\calA^q(\rpN)}{\calF(\rz^+,\calA^{q-1}(S^{n-1}))}\Komma \]
die lokal bestimmt sind durch 
\beq \label{lokale Definitionen}
\ba{lcl}
\Dis        [\tau E(r)](\varphi) &=& 
r^{-q}c^{\tau}_I(r,\varphi)\diffd (\varphi\circ\iota)_{I} \\
\Dis\HOCh{5}[\rho E(r)](\varphi) &=& 
r^{-(q-1)}c^{\rho}_J(r,\varphi)\diffd(\varphi\circ\iota)_J\Komma
\ea \eeq
wenn  (\ref{Elokal}) eine lokale Darstellung von $E$ ist.
Mit Blick auf  (\ref{Elokal}) gibt es kanonische Rechtsinverse  $\tauh$ , bzw. $\rh$ mit
\beq \label{Eigenschaften}
\ba{lcl}
\Dis        \tau\tauh &=& \id\mtext{auf} \calF(\rz^+,\calA^{q}(S^{N-1}))\Komma \\
\Dis\HOCh{4}\rho\rh   &=& \id\mtext{auf} \calF(\rz^+,\calA^{q-1}(S^{N-1}))\Komma \\
\Dis\HOCh{4}\tauh\tau+\rh\rho &=&\id \mtext{auf} \calA^q(\rpN)\Komma\\
\Dis\HOCh{4}\tau(E\wedge F) &=&\tau E\wedge\tau F \Komma \\
\Dis\HOCh{4}\rho(E\wedge F) &=& \rho E\wedge\tau F +(-1)^{q_1}\tau E\wedge\rho F \ea
\eeq
für alle $q_1$-Formen $E$ und alle $q_2$-Formen $F$.

Wir führen die Operatoren  $M$ und $D$  auf (geeigneten Unterräumen von) 
$\calF(\rz^+,\calA^q(\SN))$  ein.
\[ ME(r):=r\cdot E(r)\Komma\qquad DE(r):=\frac{\diffd}{\diffd r}E(r)\Punkt \]
Mit elementaren Rechnungen ergibt sich für hinreichend glatte   $q$-Formen $E$ 
\beq\label{Darstellung rot und div}
\ba{lcl}
\Dis\qrot E &=&-\rh\left(M^{-1}\Rot\rho E-M^{-q}DM^{q}\tau E\right)
+\tauh\left(M^{-1}\Rot\tau E\right) \\
\Dis\HOCh{4} \qdiv E &=&-\rh\left(M^{-1}\Div \rho E\right)
+\tauh\left(M^{-N+q}DM^{N-q}\rho E+M^{-1}\Div\tau E\right) \\
\Dis\HOCh{4} \diffd r\wedge E &=& \rh\tau E\Punkt
\ea
\eeq 
Dabei bezeichnen $\Rot$ und $\Div$ die äußere Ableitung bzw. die Co-Ableitung auf der Sphäre.

Für den auf $q$-Formen operierenden Hodge-Operator  $*$ ergibt sich
\beq
\label{Darstellung Sternoperator}
\rho *\tauh=(-1)^q\HS\quad,\quad\rho *\rh=0\quad,\quad\tau *\rh=\HS\quad,\quad\tau*\tauh=0\Komma 
\eeq
dabei ist $\HS$ der  Hodge Operator auf $\SN$ mit der vom $\rpN$ induzierten Metrik.

Für alle messbaren $E$ gilt nach Fubini und Tonelli  $E\in L^{2,q}(\rpN)$ genau dann, wenn
\[ \int_{\rzp}r^{N-1}\left[\norm{\tau E(r)}^2_{L^{2,q}(\SN)}
+\norm{\rho E(r)}^2_{L^{2,q-1}(\SN)}\right]\diffd r<\infty \Punkt \] 
Mit den induzierten Skalarprodukten in $L^{2,q}(\SN)$ bzw. $L^{2,q-1}(\SN)$
erhält man für $E$, $F\in L^{2,q}(\rpN)$
\[ \skp{E}{F}=\int_{\rzp}r^{N-1}\skp{E}{F}_r\diffd r \]
mit
\[\skp{E}{F}_r:=\skp{\tau E(r)}{\tau F (r)}_{L^{2,q}(\SN)}+
\skp{\rho E(r)}{\rho F(r)}_{L^{2,q-1}(\SN)}\Punkt \]
Für eine ausreichend glatte  $(N-1)$-Form $w$ in $\rpN$ gilt 
\beq \label{Sphärenintegral} 
\int_{S(R)}\iota^{\stern}w=R^{N-1}\int_{\SN}(\tau w)(R)\mtext{für alle} R>0 \Punkt
\eeq
Jetzt führen wir den nullten Schritt für die Elastizitätsgleichungen durch.  
\begin{Lemma} \label{0 Schritt Ela}
Es sei  $U$  eine Lösung des Ausstrahlungsproblems
$\Ela{\a}{\b}{\calP}{\om}{0}$ mit $\om\in\rz^*$ (siehe (\ref{Strahlung_Elastizität})--(\ref{Gleichung b})).
Dann gilt $U\in L^{2,q}_{>-\eh}$.
\end{Lemma}
\uproof Sei  $R>R_0$, $\psi$ und $\psi_R$ definiert wie im Beweis zu Lemma \ref{LAboK}.  
Aus 
\[ \skp{\a\,\qrot U}{\qrot\psi_R U}_\Omega+\skp{\b\,\qdiv U}{\qdiv\psi_r U}_\Omega=
\omq\skp{U}{\psi_R U}+\skp{\calP U}{\psi_R U} \]
und \ref{AssRegPos} schließen wir
\[
\uIm\left(\skp{\a\,\qrot U}{\qrot\psi_R U}_{A(R)}+\skp{\b\,\qdiv U}{\qdiv\psi_r U}_{A(R)}\right)=0 \Komma \]
woraus
\beq 
\label{IR}
I(R):=\uIm\int_{S(R)}\left(a\ol{U}\wedge*\qrot U+\b\,\qdiv U\wedge*\ol{U}\right)=0\mtext{für alle}R>R_0
\eeq
folgt.
Andererseits gilt mit 
(\ref{Eigenschaften})-(\ref{Darstellung Sternoperator}) und (\ref{Sphärenintegral})
\beq\label{Imaginärteil verschwindet}
\ba{lcl}
\Dis
I(R)&=&\uIm R^{N-1}\left[\skp{M^{-q}DM^q\tau U
-M^{-1}\Rot \rho U}{\tau \a\,U}_{L^{2,q}(\SN)}\right. \\
&&\Dis\HOCh{4}+\left.\skp{M^{-N+q}DM^{N-q}\rho U
+M^{-1}\Div\tau U}{\rho\b\, U}_{L^{2,q-1}(\SN)}\right](R) \Punkt
\ea \eeq
Wir  multiplizieren (\ref{Gleichung a}) mit $\a^{3/4}$ und 
(\ref{Gleichung b}) mit $\b^{3/4}$ und drücken nun die
Strahlungsbedingung in Kugelkoordinaten aus. 
Dazu berechnen wir mit Hilfe von
 (\ref{Eigenschaften})-(\ref{Darstellung Sternoperator}), 
(\ref{IR}) und (\ref{Imaginärteil verschwindet}) 
\beqanon
\lefteqn{\Dis R^{N-1}\left(\Dis\norm{\rho\left(\a^{3/4}
\qrot U-\ie\omega\a^{1/4}\diffd r\wedge
U\right)(R)}^2_{L^{2,q}(\SN)}\right.}\\ 
\lefteqn{
\Dis\HOCh{4}\left.+\norm{\tau\left(\b^{3/4}\qdiv U-\ie\omega\b^{1/4}
\sigma_{N,q}*\diffd r\wedge * U\right)}^2_{L^{2,q-1}(\SN)}\right)} \hspace{2ex} \\
&=&\Dis\HOCh{4} R^{N-1}\left(\norm{\a^{3/4}
(-M^{-1}\Rot\rho U+M^{-q}DM^{q}\tau U)-\ie\omega\a^{1/4}\tau U}^2_{L^{2,q}(\SN)}(R)\right. \\
&&\Dis\HOCh{4}
\left.\norm{\b^{3/4}(M^{-\qp}DM^{\qp}\rho U+M^{-1}\Div\tau U)-\ie\omega\b^{1/4}\rho U}^2_{L^{2,q-1}(\SN)}(R)\right) \\
&\geq &\Dis\HOCh{4}R^{N-1}\omq\left(\norm{\a^{1/4}\tau U}^2_{L^{2,q}(\SN)}(R)+
\norm{\b^{1/4}\rho U}^2_{L^{2,q-1}(\SN)}(R)\right)\Punkt
\eeqanon
Jetzt wählen wir 
 $s>-\eh$ mit  $\qrot U-\ie\omega\a^{-\eh}\diffd r\wedge U\in L^{2,q+1}_s$ und 
$\qdiv U-\ie\omega\b^{-\eh}\sigma_{N,q}*\diffd r\wedge * U \in L^{2,q-1}_{s}$ und 
haben
\beqanon
\lefteqn{\Dis\norm{U}^2_{L^{2,q}_{s}}(A(R_0))}\hspace{2ex} \\
&\leq&
\Dis c\int_{R_0}^\infty R^{N-1+2s}\left(\norm{\a^{1/4}\tau U}^2_{L^{2,q}(\SN)}(R)+
\norm{\b^{1/4}\rho U}^2_{L^{2,q-1}(\SN)}(R)\right)\diffd R  \\
&\leq& \Dis\HOCh{4} c\left(\norm{\a^{3/4}\qrot U-\ie\omega\a^{1/4}\diffd r\wedge U}^2_{L^{2,q+1}_s(A(R_0))}\right. \\
&&\Dis\HOCh{4} \left.
+\norm{\b^{3/4}\qdiv U-\ie\omega\b^{1/4}\sigma_{N,q}*\diffd r\wedge * U}^2_{ L^{2,q-1}_{s}(A(R_0))}\right) \\
&<&\HOCh{4}\infty\Komma
\eeqanon 
woraus sich $U\in L^{2,q}_{>-\eh}$ ergibt.\uqed
\nl

Um nun die Schritte 1 bis 4 durchführen zu können reduzieren wir das Gleichungssystem 
auf ein schwach gekoppeltes System zweiter Ordnung. 
Dabei benutzen wir die Substitution aus  \cite{Weck 1} und
verallgemeinern diese.
Ab jetzt setzen wir stets \ref{AssRegPos} voraus.
Für $q\in\nz_0$  und eine  $q$-Form $E$ definieren wir die Kommutatoren
von $\qrot$ bzw.  $\qdiv$ mit der Multiplikation mit einer  $C^1$ Funktion $f$:
\[ \calC_{\qrot,f}E:=\qrot(fE)-f\qrot E \mtext{bzw.}\calC_{\qdiv f}E =\qdiv(fE)-f\qdiv E \Punkt\]
Diese Kommutatoren sind Operatoren nullter Ordnung, die 
$q$-Formen in  $(q+1)$- bzw. 
in $(q-1)$-Formen abbilden.
Die Abfallrate der Koeffizienten ist dabei die Abfallrate der ersten Ableitungen von $f$. 

Sei nun $\U$ eine Lösung von 
\begin{equation}
\label{EllGlei}
\widetilde{\calL}\U-\omq\U=F\in\Rqloc\cap\Dqloc\Punkt
\end{equation}
Wir setzen
\begin{equation}
\label{DefV}
\qV:=\qrot\U\in H^{1,q+1}_{\loc}\quad,\quad\qW:=\qdiv\U\in H^{1,q-1}_{\loc}\Punkt
\end{equation}
Damit erhält man
\beqa
\label{GleichungU} 
-\a\Dq\U-(\b-\a)\qrot\qW-\omq\U &=&\calR(\U,\qV,\qW)+F \\
\label{GleichungU2} 
\HOCh{3.5}-\b\Dq\U-(\a-\b)\qdiv\qV-\omq\U &=&\calR(\U,\qV,\qW)+F
\eeqa
mit
\[ \calR(\U,\qV,\qW)=\Cda\qV+\Crb\qW-\calP\U \Punkt \]
Wir wenden $\qdiv$ auf  (\ref{GleichungU}) an  und bekommen 
(im Distributionensinn)
\beqanon
\lefteqn{-\Cda\Dq\U-\a\,\qdiv\qrot\qW-(\b-\a)\qdiv\qrot\qW-\Cdbma\qrot\qW-\omq\qW}\hspace{2ex}
\\
&=&\HOCh{3.5}\qdiv\calR(\U,\qV,\qW)+\qdiv F \Punkt 
\eeqanon
Mit $\qdiv\qW=\qdiv\qdiv\U=0$ schließen wir
\[
-\b\Dqme\qW-\omq\qW
=\Cda\Dq\U+\widetilde{\calR}(\U,\qV,\qW)+\qdiv F \Komma
\]
wobei $\widetilde{\calR}$ ein Operator erster Ordnung ist. Wir
ersetzen $\Dq\U$ durch (\ref{GleichungU}) und erhalten
\beqa\label{GleichungW}
\lefteqn{-\b\Dqme\qW-\omq\qW}\hspace{2ex} \\
&=&\HOCh{3.5}-\frac{1}{\a}\Cda\left[(\b-\a)\qrot\qW+\omq\U+\calR(\U,\qV,\qW)+F
    \right] \nonumber \\
&&\HOCh{3.5}+\Cdbma\qrot\qW+\qdiv\calR(\U,\qV,\qW)+\qdiv F \Punkt\nonumber
\eeqa
Durch Anwendung von $\qrot$ auf (\ref{GleichungU2}) und analoge Rechnungen ergibt sich
\beqa \label{GleichungV}
\lefteqn{-\a\Dqpe\qV-\omq\qV}\hspace{2ex} \\
&=&\HOCh{3.5}-\frac{1}{\a}\Crb\left[(\b-\a)\qrot\qW+\omq\U+\calR(\U,\qV,\qW)+F
    \right] \nonumber \\
&&\HOCh{3.5}+\Cramb\qdiv\qV+\qrot\calR(\U,\qV,\qW)+\qrot F\Punkt
\nonumber
\eeqa
Elliptische innere Regularität ergibt dann
$\qV\in H^{2,q+1}_{\loc}$, $\qW\in H^{2,q-1}_{\loc}$, 
womit die Gleichungen (\ref{GleichungW}) und (\ref{GleichungV}) auch
in  $H^{2,q-1}_{\loc}$, bzw. in $H^{2q+1}_{\loc}$ gelten.

Wir kommen zum  \nl
{\bf Beweis von Satz  \ref{HS Elastizität}:} 
Nach Lemma \ref{0 Schritt Ela} ist  $U\in L^{2,q}_{>-\eh}$.
Wir betrachten das System (\ref{GleichungU2})--(\ref{GleichungV}) in 
kartesischen Koordinaten, wobei wir Gleichung (\ref{GleichungV}) mit $c_L$
(siehe (\ref{cL})) multiplizieren, und erhalten ein Gleichungssystem in  $N$ Variablen und
$\nu=\binom{N}{q}+\binom{N}{q-1}+\binom{N}{q+1}$ Gleichungen.
Unter Berücksichtigung von \ref{AssRegPos} und \ref{Asymptotik Elastizität} 
sehen wir, dass \ref{AssReg}, \ref{AssEll},
\ref{AssPPP} und \ref{AssWAss} mit $\G=\b^{-1}\id$ und $\sigma(\ka)=0$ für $1\leq\ka\leq\binom{N}{q}$,
$\sik=1$ für $\ka>\binom{N}{q}$ erfüllt sind. Mit Satz \ref{Hauptsatz_polAbfallen} und
Satz \ref{Hauptsatz} können wir dann auf den beschränkten Träger einer Lösung $\U\in\Lzqw{>-\eh}$
von  $\calL\U-\omq\U=0$ schließen. Nach Satz \ref{PdeF Helmholtz} gilt dann $U=0$ in $\Omega$.
\uqed
\section{Bezeichnungen}
\subsection*{Mengen und Abbildungen}
Wir bezeichnen mit 
$\zz$ die ganzen, mit  $\nz$ die positiven ganzen,
mit $\nz_0$ die nicht negativen ganzen, 
mit $\rz$ die reellen,
mit $\rzp$ die positiven reellen, mit $\rz^*$ die reellen Zahlen ohne
Null, mit $\cz$ die komplexen Zahlen und
mit $\ie$ die imaginäre Einheit. 
Für eine komplexe Zahl $z$ ist $\ol z$ die konjugiert komplexe Zahl.
Für  $\nu\in\nz$ und $x,y$ in $\cz^\nu$ oder 
in $\rz^\nu$ stellt $x_i$ die Projektion von $x$ 
auf die $i$-te Koordinate, 
$\Dis \Rnskp{x}{y}$ das euklidische Skalarprodukt von $x$ und $y$ und  $\betr{x}$
den euklidischen Betrag von $x$ dar.
Wir setzen  $r(x)=\betr{x}$ sowie für $x\not=0$ zusätzlich 
$\xi(x)=x/r(x)$. Darüberhinaus sei $x\cdot y=\sum_{i=1}^{\nu}x_iy_i$,
also
ist $\Rnskp{x}{y}=x\cdot\ol{y}$.

Für zwei Mengen $A$ und $B$ sei $\calF(A,B)$ die Menge der Abbildungen von $A$ nach $B$.
Für $f\in\calF(A,B)$ und $C\subset A$ sei $\restr{f}{C}$ die Einschränkung von $f$ auf $C$.
Ist $f$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, so bezeichen wir den Nullraum von $f$ mit 
$\calN(f)$, das Spektrum mit $\sigma(f)$ und das Punktspektrum mit $\sigma_p(f)$.
Für $N\in\nz$ und Mengen $\Omega,\Xi\subset\rz^N$ sei $\overline{\Omega} $ der Abschlu\ss{} und
$\partial\Omega$ der Rand von $\Omega$; wir sagen $\Omega\subset\subset\Xi$, wenn
$\overline \Omega$ kompakt ist und $\overline \Omega \subset\Xi$ gilt.
Wir nennen  $\Omega$  ein Gebiet, wenn $\Omega$ offen und zusammenhängend ist
und ein Außen\-gebiet, wenn $\Omega$ ein Gebiet ist und $\rz^N\ohne\Omega$ kompakt ist. 

F\"ur $R\in\rzp$ ,  $N\in\nz$ , $x_0\in\rz^N$ und $\Omega\subset\rz^N$
werden folgende Notationen benutzt:
\beqanon
U(x_0,R) &:=& \Menge{x\in\rz^N}{\betr{x-x_0} <R} \\
U(R)     &:=& U(0,R)  \\
A(R)     &:=&\rz^N\setminus\ol{U(R)} \\
S(R)     &:=& \ol{A(R)}\cap\ol{U(R)} \\
\SN      &:=&  S(1) \\
\Omega(R)&:=& \Omega\cap U(R)
\eeqanon
\subsection*{Funktionen und Funktionenräume} 
F\"ur eine auf einer Teilmenge  $\Omega\subset\rz^N$
definierte  komplex- oder vektorwertige messbare  Funktion $f$ ist
\[ \supp f :=
\ol{\Omega}\setminus\Menge{x\in\ol{\Omega}}{\exists\eps>0\,:\;f=0\mtext{f.ü.
  in}U(x,\eps)\cap\Omega} \]
 ihr Träger und wir nennen $f$  eine $C^k$-Funktion, wenn sie
$k$-mal
stetig partiell differenzierbar ist. Für  Gebiete $\Omega$  benutzen
wir folgende Funktionenräume:
\[
\ba{lcl}
C^k(\Omega\,,\cz^\nu) &:=& \Menge{f\in
\calF(\Omega,\cz^\nu)}{f\text{ ist }C^k} \\
\HOCh{4}\ \Cue(\Omega\,,\cz^\nu) &:=& \Dis\bigcap_{k\in\nz}C^k(\Omega\,,\cz^\nu) \\
\HOCh{4}\Cnu (\Omega\,,\cz^\nu)
&:=& \Menge{f\in\Cue(\Omega\,,\cz^\nu)}{\supp f\subset\subset\Omega}
\ea \]

Mit $L^2(\Omega,\cz^\nu)$ bzw. $L^\infty(\Omega,\cz^\nu)$
bezeichnen wir den Raum der Äquivalenzklassen
Lebesgue-messbarer Funktionen $f$ mit Definitionsbereich $\Omega$ und
Werten in $\cz^\nu$, 
für die 
\[ \norm{f}^2 :=\norm{f}^2_{0,\Omega}:=\int_\Omega\betr{f(x)}^2\,\diffd x<\infty
\]
bzw.
\[ {\rm ess}\sup_{x\in\Omega}\betr{f(x)}<\infty \]
gilt.

Für $f,g\in L^2(\Omega,\cz^\nu)$ ist 
\[ \mskp{f}{g}:=\mskp{f}{g}_\Omega:=\int_\Omega \Rnskp{f}{g}\,\diffd x \] das
$L^2$-Skalarprodukt.

Wir benutzen f\"ur die Bezeichnung partieller Ableitungen die \"ubliche
Multiindexschreibweise: F\"ur
$\alpha\in\nz_0^N,\,\alpha=(\alpha_1,{\ldots} ,\alpha_N)$, ist $\betr{\alpha}
:=\sum_{i=1}^N\alpha_i$ und
\[ \partial^\alpha:=\partial_1^{\alpha_1}{\ldots}
\partial_N^{\alpha_N},\quad\partial_n:=\frac{\partial}{\partial x_n}\Punkt \]

F\"ur $m\in\nz_0$ definieren wir die Sobolevräume 
\begin{eqnarray*}
H^m(\Omega,\cz^\nu) &:=& \Menge{f\in L^2(\Omega,\cz^\nu)}
{\partial^\alpha f_i\in L^2(\Omega,\cz) \text{ f\"ur
}\betr\alpha \leq m,\quad i=1,...,\nu}\Komma \\
\HOCh{4}
\norm{f}^2_m &:=& \norm{f}^2_{m,\Omega}:=\sum_{\betr{\alpha} \leq m}\sum_{i=1}^\nu
\norm{\partial^\alpha f_i}^2\Komma
\end{eqnarray*}
dabei sind die Ableitungen im Distributionensinn zu verstehen. Es gilt $H^0=L^2$.
Ferner sei $\HRand{m}(\Omega\;,\cz^\nu)$ der Abschluss von
$\Cnu(\Omega\,,\cz^\nu)$ 
unter der durch
$\restr{\norm{\;\cdot\;}_m}{\Cnu(\Omega\,,\cz^\nu)}$ induzierten Metrik.

Für die Theorie der Maxwell-gleichungen im $\rz^3$ benötigen wir ferner die Räume mit 
$L^2$-integrierbarer 
Rotation.
 Für ein Gebiet $\Omega\subset\rz^3$ sei 
\[
\ba{lcl}
\Dis\ROT(\Omega) &:=& \Dis \Menge{f\in L^2(\Omega\,,\cz^3)}{\rot f\in L^2(\Omega\,,\cz^3)}\Komma \\
\Dis\HOCh{4}\ROT_0(\Omega) &:=& \Dis \Menge{f\in\ROT(\Omega)}{\rot f=0}\Komma \\
\Dis\HOCh{4}\norm{f}^2_{\rot} &:=& \norm{f}^2+\norm{\rot f}^2 \Punkt
\ea \]
Der vektoranalytische Operator $\rot$ ist im Distributionensinn zu verstehen.
Zur Verallgemeinerung der Randbedingung $\restr{n\wedge E}{\partial\Omega}=0$ 
benutzen wir den Abschluss von $\Cnu(\Omega\,,\cz^\nu)$ unter der durch 
$\restr{\norm{\;\cdot\;}_{\rot}}{\Cnu(\Omega\,,\cz^\nu)}$ induzierten Metrik, 
den wir mit $\ROTR(\Omega)$ bezeichnen, ferner sei 
$\ROTR_0(\Omega):=\ROTR(\Omega)\cap\ROT_0(\Omega)$.

Wir sagen $f\in L^2_{\loc}(\Omega,\cz^\nu)$ bzw. $f\in H^m_{\loc}(\Omega,\cz^\nu)$ bzw.
$f\in \ROT_{\loc}(\Omega)$,
wenn f\"ur alle
$\varphi\in\Cnu(\Omega)$ das Produkt $\varphi f$ in $L^2(\Omega,\cz^\nu)$ bzw. in
$H^m(\Omega,\cz^\nu)$ bzw. in $\ROT(\Omega)$ liegt. Liegt für alle  $\varphi\in
\Cnu(\rz^N)$ 
das Produkt $\restr{\varphi}{\Omega} f$   in  
$\HRand{m}(\Omega\;,\cz^\nu)$,  bzw. in $\ROTR(\Omega)$
so schreiben wir $f\in
\HRand{m}_{\loc}(\Omega\;,\cz^\nu)$ bzw. in $\ROTR_{\loc}(\Omega)$.
Durch ein angehängtes $\vox$ kennzeichnen wir die Räume, deren Elemente beschränkten Träger haben; 
so ist z.B. $f\in H^{m}_{\vox}(\Omega\;,\cz^\nu)$, 
wenn $f\in H^m(\Omega\;,\cz^\nu)$ und $f$ beschränkten 
Träger hat.

Mit $\varrho:=(1+r^2)^{1/2}$ und f\"ur $s\in\rz$ definieren wir die gewichteten $L^2$-Räume
\[ 
\begin{array}{rcl}
L^2_s(\Omega,\cz^\nu) &:=& \Menge{f\in L^2_{\loc}(\Omega,\cz^\nu)}{\varrho^s
f\in L^2(\Omega,\cz^\nu)} \Komma \\
\HOCh{4}\norm{f}_{0,s}^2:=\norm{f}_{0,s,\Omega}^2 &:=& \norm{\varrho^s f}_{0,\Omega}^2 \end{array}\Punkt \]
Ferner defineren wir für $t\in\rz$
\[
\HOCh{4}
L^2_{>t}(\Omega,\cz^\nu):=\bigcup_{s>t}L^2_s(\Omega,\cz^\nu)\mtext{und}
L^2_{<t}(\Omega,\cz^\nu):=\bigcap_{s<t} L^2_s(\Omega,\cz^\nu)\Komma
\]
sowie
\[ L^2_{\pol}(\Omega\,,\cz^\nu):=\bigcap_{s\in\rz} L^2_s(\Omega,\cz^\nu) \]
und
\[ L^2_{\exp}(\Omega\,,\cz^\nu):=
\bigcap_{s\in\rzp}\Menge{f\in L^2(\Omega\,,\cz^\nu)}{\exp(sr)f\in L^2(\Omega\,,\cz^\nu)}\Punkt \]

Auf die Indizierung des
Gebietes und des Wertebereiches wird verzichtet, wenn Missverständnisse ausgeschlossen sind.

\subsection*{$q$-Formen}
Sei  $\widehat{M}$ eine reelle orientierte $N$-dimensionale glatte Riemann'sche
Mannigfaltigkeit, $M\subset\widehat{M}$ eine offene Teilmenge von $\widehat{M}$. 
F\"ur $m\in M$ sei $T_mM$ der
Tangentialraum in $m$ an $M$.  Den komplexen Vektorraum
der kovarianten alternierenden Tensoren vom Rang $q$ bezeichnen wir mit
${\mathcal A}^q(m)$, das B\"undel mit ${\mathcal A}^q(M)$. F\"ur $q\in\zz$
nennen wir Elemente aus ${\mathcal A}^q(M)$ $q$-Formen oder einfach Formen
(f\"ur $q\in\zz\setminus\{0,\ldots,N\}$ setzen wir $\calA^q(M):=\{0\}$).
F\"ur die Definition des äußeren Produktes $\wedge$,
des Hodge'schen Sternoperators $\ast$ und der äußeren
Ableitung $\diffd$ verweisen wir auf \cite{B+G}. 
Sei $(V,h)$ ein Kartengebiet,
dann läßt sich die Einschränkung einer Form
$E\in\calA^q(M)$ auf $V$ eindeutig darstellen als
\[ \restr E V =\sum_{\I\in\J(N,q)}E_\I\diffd h_\I  \]
mit
\begin{eqnarray} \J(N,q) &:=& \{(i_1,{\ldots} ,i_q)\,|\,i_j\in\{1,{\ldots}
,N\}\wedge i_1<\cdots<i_q\}, \label{JNq}\\
\diffd h_\I &:=& \diffd h_{i_1}\wedge\cdots\wedge\diffd h_{i_q}, \nonumber \end{eqnarray}
wobei $\diffd h_i$ das Differential der $i$-ten Koordinatenfunktion
ist.

Wir sagen eine Form habe lokale Eigenschaften wie Messbarkeit oder
Differenzierbarkeit, wenn die mit der Karte heruntergeholten
Komponentenfunktionen diese Eigenschaft haben. Wir definieren 
\begin{eqnarray*}
\Cque(M) &:=& \Menge{E\in\calA^q(M)}{E\text{ ist }C^\infty }\Komma \\
\HOCh{4}\Cqnue(M) &:=& \{E\in\Cque(M) \,|\,\supp\,E\text{ ist kompakt}\}\Punkt\\
\end{eqnarray*}
Ist $\widetilde M$ eine weitere glatte Mannigfaltigkeit, so induziert
eine differenzierbare Abbildung $\tau\,:\,M\rightarrow\widetilde M$  eine
lineare Abbildung, den ,,Pullback'' 
\[ \tau^*\,:\,\calA^q(\widetilde M )\rightarrow
\calA^q(M)\Punkt \]
In $\calA^q(m)$  benutzen wir das durch den Sternoperator
induzierte Skalarprodukt und die zugeh\"orige Norm
\beqanon
\Aqskp{E}{F}_{\calA^q(m)} & := & \ast(E\wedge*\overline{F})\Komma  \\
|E|_{\calA^q(m)} & := & \left(\Aqskp{E}{F}_{\calA^q(m)}\right)^{1/2}\Punkt
\eeqanon
Wir definieren
\begin{eqnarray*}
\mathcal L ^{2,q}(M) &:= &\Menge{ E\in\calA^q(M)}{E\mbox{ ist messbar
und }\int_M\ast\betr E ^2_{\calA^q(m)}<\infty} \\
\mathcal N (M) &:=& \Menge{E\in\calA^q(M)}{E\text{ ist
messbar und }\int_M\ast\betr E _{\calA^q(m)}=0} \\
L^{2,q}(M) &:=& \mathcal L^{2,q}(M)/\mathcal N (M)\Punkt
\end{eqnarray*} 
$L^{2,q}(M)$ ist zusammen mit dem Skalarprodukt
\begin{equation} \skp{E}{F}_q:=\skp{E}{F}_{q,M}:=\int_M\, E\wedge\ast\overline F
\end{equation}
ein Hilbertraum (wie \"ublich wird in der
Notation nicht zwischen einem Repräsentanten und der Äquivalenzklasse
unterschieden). Die Indizierung der Mannigfaltigkeit wird in den
meisten Fällen unterdr\"uckt. 
 
Um die Korrespondenz zum klassischen Kalkül zu betonen, setzen  wir
einer von Weyl vorgeschlagenen Konvention folgend $\qrot:=\diffd$ und
$\qdiv:=\delta$. 
Wir sagen $E\in R^q(M)$, wenn $\qrot E\in L^{2,q+1}(M)$ ist, und
$E\in D^q(M)$, wenn $\qdiv E\in L^{2,q-1}(M)$. Dabei sind die
Ableitungsoperatoren im Distributionensinn zu verstehen. Ferner sei $E\in
R^q_{\loc}(M)$ bzw. in $D^q_{\loc}(M)$ wenn $\varphi E\in R^q(M)$
bzw. $E\in D^q(M)$ für alle $\varphi\in \Cqnue(M)$ gilt.
F\"ur die Verallgemeinerung der Randbedingung $''\iota^*E=0''$ ($\iota$ bezeichne hier die 
natürliche Einbettung der Mannigfaltigkeit $M$ in ihren Rand) definieren wir
noch
\[ 
E\in\Rrq(M):\Longleftrightarrow\;\forall{F\in D^{q+1}(M)}:\,
\skp{\qrot E}{F}_{q+1}+\skp{E}{\qdiv F}_q=0\Punkt  
\]

Sei  $\Omega\subset\rz^N$ ein Außengebiet
Wir betrachten $\Omega$  mit der durch $(\id,\Omega)$ erzeugten differenzierbaren
orientierten Struktur als eine glatte  $N$-dimensionale orientierte Riemann'sche
Mannigfaltigkeit. Den Tangentialraum im Punkt $x\in\Omega$ identifizieren wir
mit dem $\rz^N$; der Metriktensor ist durch das euklidische
Skalarprodukt im $\rz^N$ gegeben. Mit $x_i$ bezeichnen wir die kartesischen
Koordinaten und k\"onnen jede Form $E\in\calA^q(\Omega)$ global eindeutig
darstellen durch
\[ E(x)=\sum_{\I\in\J(N,q)}E_\I(x)\,\diffd x_\I \Punkt\]
Wir führen die Sobolev- und gewichteten Sobolev\-räume von $q$-Formen mit
Hilfe dieser Darstellung ein. Wir sagen 
$E\in H^{q,m}_{(\loc,\vox)}(\Omega)$ , wenn für alle $\I\in\J(N,q)$ die Funktionen 
$E_I\in H^{m}_{(\loc,\vox)}(\Omega\,,\cz)$ sind.
Entsprechend werden die gewichteten Räume $L^{2,q}_{(<,>)s}(\Omega)$
für $s\in\rz$ definiert. Die Normen sind definiert durch
\[ \norm{E}_{q,s}^2:=\sum_{I\in\calJ(N,q)}\norm{E_I}_{0,s}^2\Punkt\]
Wir sagen $E\in \Rrq_{\loc}(\Omega)$, wenn $\restr{\varphi}{\Omega} E\in\Rrq(\Omega)$
für alle Funktionen $\varphi\in\Cnu(\rz^N)$ gilt.
\subsection*{Sonstiges}
Für $\alpha\in\rz $ bezeichnen wir mit $o\left(r^\alpha\right)$ verschiedene 
Funktionen oder Felder $f$, für die
\[
\lim_{R\to\infty}\sup_{x\in A(R)}\betr{r^{-\alpha}f}=0 \]
gilt. Mit $O\left(r^\alpha\right)$ werden verschiedene Funktionen bezeichnet, für die
\[ \sup_{x\in A(R)}\betr{r^{-\alpha}f}<\infty \]
für ein $R>0$ gilt.

%\addcontentsline{toc}{section}{\protect\numberline{}{Bezeichnungen}}
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in unendlichen Gebieten} 
{J.~Ber.~Deutsch.~Math.~Verein.}{53}{1943}{57-65}{}
\artikel{Roze}                                        % Roze 
{\autor{Roze}{S.~N}}
{On the spectrum of an elliptic operator 
of second order}
{Math.~USSR-Sb.}{9}{1969}{183--197}{}
\artikel{Vs 3}                                       % Vogelsang 3
{\autor{Vogelsang}{V}}
{Die absolute Stetigkeit des positiven Spektrums der
  Schwingungsgleichung mit oszillierendem Hauptteil}
{Math.~Z.}{181}{201--213}{1982}{}
\artikel{Vs}                                          % Vogelsang 
{\autor{Vogelsang}{V}}
{Die Rellichsche Abschätzung 
für die Schwingungsgleichung 
mit oszillierendem Hauptteil}
{J.~Reine Angew.~Math.}{338}{1983}{109--120}{}
\artikel{Vs2}                                         % Vogelsang 2  
{\autor{Vogelsang}{V}}
{On the strong unique continuation 
principle for inequalities of Maxwell type}
{Math.~Ann.}{289}{1991}{285--295}{}
\artikel{Weber}
{\autor{Weber}{C}}
{Regularity theorems for Maxwell's equations}
{Math.~Meth.~Appl.~Sci.}{3}{1981}{523--536}{} 
\artikel{Weck 3}                                      % Weck 3
{\autor{Weck}{N}}
{Außenraumaufgaben 
in der Theorie stationärer Schwingungen 
inhomogener elastischer Körper}
{Math.~Z.}{17}{1969}{387--398}{}
\artikel{Weck 1}                                      % Weck 1
{\autor{Weck}{N}}
{Unique continuation for systems 
with Lam\'e principal part}
{Math.~Meth.~Appl.~Sci.}{24}{2001}{595--605}{}
\artikel{WW2}                                         % Weck Witsch 2
{\zweiautoren{Weck}{N}{Witsch}{K.~J}}
{Complete low frequency analysis 
for the reduced wave equation 
with variable coefficients in three dimensions}
{Commun.~Partial Differ.~Equations}{17}{1992}{1619--1663}{(9\&10)} 
\artikel{WW3}                                         % Weck und Witsch 3
{\zweiautoren{Weck}{N}{Witsch}{K.~J}}
{Generalized Spherical Harmonics and Exterior 
Differentiation in Weighted Sobolev Spaces}
{Math.~Meth.~Appl.~Sci.}{17}
{1994}{1017--1043}{}
\artikel{WW}                                          % Weck und Witsch 1
{\zweiautoren{Weck}{N}{Witsch}{K.~J}}
{Generalized linear elasticity in exterior domains I}
{Math.~Meth.~Appl.~Sci.}{20}
{1997}{1469--1500}{}
\buch{Weidmann}{\autor{Weidmann}{J}}                     %Weidmann
{Lineare Operatoren in Hilberträumen}
{Teubner}{Stuttgart}{1976}
\artikel{Weyl}
{\autor{Weyl}{H}}
{Die natürliche Randwertaufgabe im Außenraum für Strahlungsfelder
beliebiger Dimension und beliebigen Ranges}
{Math.~Z.}{56}{1952}{105--119}{}
\end{thebibliography}
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