\chapter{Der W\"armetransport}

Str\"omungen, die bisher betrachtet wurden, und zudem noch temperaturabh\"angig
sind, werden durch die sogenannte Boussinesq-Approximation beschrieben. Vor
einer n\"aheren Betrachtung der zugrundeliegenden Gleichungen werden einige
wesentliche Eigenschaften erl\"autert.

\section{Allgemeines \"uber den W\"arme\"ubergang}

Neben die bisherigen Stoffwerte eines Fluids (Dichte und Z\"ahigkeit, siehe
Abschnitt \ref{einf:nav:stokes}) treten nun noch weitere: die
W\"armeleitf\"ahigkeit und die spezifische W\"arme. All diese Stoffwerte sind
dabei temperaturabh\"angig, was eine exakte theoretische Behandlung des
W\"arme\"ubergangs erheblich erschwert.

Deshalb sollen im folgenden einige Vereinfachungen getroffen werden. Zum
einen sollen nur sehr kleine Temperaturunterschiede behandelt werden. Dies
hat den Vorteil, dass die oben genannten Stoffwerte wiederum als konstant
angesehen werden k\"onnen.
Zus\"atzlich sollen nur kleine bis m\"a{\ss}ige Geschwindigkeit vorausgesetzt
werden. Dies hat zur Folge, dass die bei hohen Geschwindigkeiten auftretenden
Reibungs- und Kompressionsarbeiten sowie Dichte\"anderungen au{\ss}er acht
gelassen werden k\"onnen.

Unter diesen vereinfachten Annahmen unterscheidet man zwei F\"alle:
\begin{enumerate}
\item {\bf {erzwungene Konvektion:}} Hierbei befasst man sich mit Str\"omungen,
die durch \"au{\ss}ere Ursachen erzeugt sind und von denen angenommen wird,
dass die Geschwindigkeiten darin genauso verlaufen, wie es ohne
Temperaturunterschiede der Fall w\"are. Gesucht ist dabei zun\"achst nur
das Temperaturfeld, das unter W\"armeleitung und Konvektion entsteht. Aus
diesem Temperaturfeld entsteht dann auch die \"ubertragene W\"armemenge.
\item {\bf {nat\"urliche Konvektion:}} Hierbei handelt es sich um
Str\"omungen, die von der Schwerkraft durch die W\"armeausdehnung
hervorgebracht werden und zwar unter der Annahme, dass keine weiteren
Bewegungsursachen vorliegen. Dabei ist das Geschwindigkeitsfeld gleichzeitig
mit dem Temperaturfeld zu bestimmen.
\end{enumerate}

Im folgenden sollen nur Str\"omungen, die durch nat\"urliche Konvektion
hervorgerufen werden, betrachtet werden. Neben der in Abschnitt
\ref{einf:nav:stokes} eingef\"uhrten Reynoldszahl spielen weitere
Kenngr\"o{\ss}en eine tragende Rolle. Eine dieser Kenngr\"o{\ss}en ist
die sogenannte {\em Prandtl-}Zahl ($Pr$). Diese Zahl stellt das Verh\"altnis
aus kinematischer Z\"ahigkeit und Temperaturleitf\"ahigkeit dar. Die
Prandtl-Zahl ist eine reine Stoffgr\"o{\ss}e und deshalb werden kurz ein
paar typische Zahlenwerte angegeben.

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c}
Fluid & $Pr$ \\ \hline
Luft & 0.71 \\
Gase & N\"aherungswert 1 \\
Wasser & 14 (bei $0^\circ$ C) \\
       & 7 (bei $20^\circ$ C) \\
       & 1 (bei $200^\circ$ C) \\
Transformatoren\"ol & 480 (bei $20^\circ$ C) \\
Quecksilber & 0.02 (bei $20^\circ$ C)
\end{tabular}
\caption{ \label{Fluid:Pr} Fluide mit ihren entsprechenden Prandtl-Zahlen
(siehe auch \cite{PrOsWi:90}).}
\end{center}
\end{table}

Wie schon anhand Tabelle \ref{Fluid:Pr} zu erkennen, ist bei
W\"arme\"ubergangsproblemen die Untersuchung der Grenzf\"alle $Pr \to \infty$
und $Pr \to 0$ nicht nur von theoretischem, sondern auch von gro{\ss}em
praktischen Interesse.

Eine weitere wichtige Kenngr\"o{\ss}e ist die sogenannte {\em Rayleigh-}Zahl
($Ra$), die f\"ur die Stabilit\"at nat\"urlicher Konvektionsstr\"omungen
ma{\ss}gebend ist. Str\"omungen bei nat\"urlicher Konvektion sind oft laminar,
da die Geschwindigkeiten hinreichend klein sind. Dies ist dann der Fall, wenn
die Rayleigh-Zahl $< 10^8$ bleibt. Bei $Ra > 10^{10}$ ist eine turbulente
Str\"omung zu erwarten; bei $10^8 \le Ra \le 10^{10}$ liegt ein \"Ubergangsgebiet.

Das einfachste Beispiel f\"ur eine durch nat\"urliche Konvektion entstehende
Str\"omung ist ein Beh\"alter, in dem das Fluid
\"uber die eine Seitenwand erw\"armt und \"uber die gegen\"uberliegende
Seitenwand gek\"uhlt wird. Durch die Erw\"armung an der einen Wand dehnt
sich das Fluid aus und steigt nach oben. An der anderen Wand zieht sich das
Fluid durch die K\"uhlung wieder zusammen und sinkt daher ab. Ein derartiges
Beispiel wird in Abschnitt \ref{bsp_bouss_1} betrachtet.

\section{Die Boussinesq-Approximation}


Im folgenden wird die Boussinesq-Approximation betrachtet. Der Name
''Approximation'' liegt darin begr\"undet, dass man, wie schon im letzten
Abschnitt erl\"autert, vereinfachende Annahmen trifft, um das Problem des
W\"arme\"ubergangs in den Griff zu bekommen. Zugrunde
liegen die Navier-Stokes Differentialgleichungen, die zudem
noch temperaturabh\"angig sind:
\begin{eqnarray}
\label{bouss_teil_1}
\frac{\partial{u}}{\partial t} - \frac{1}{Re} \nabla^2 u +
\nabla p + \left(u \cdot \nabla \right)u &=& - \frac{Ra}{Re^2 Pr} \ \vec{g}
\ T \mbox{  in } \Omega, \\
\label{bouss_teil_2}
\nabla \cdot u &=& 0 \mbox{        in } \Omega, \\
\label{bouss_teil_3}
\frac{\partial T}{\partial t} - \frac{1}{Re \ Pr} \nabla^2 T +
\left(u \cdot \nabla \right) T &=& 0 \mbox{     in } \Omega, \\
\label{bouss_teil_4}
u &=& 0 \mbox{     auf } \partial \Omega, \\
\label{bouss_teil_5}
T_{| \Gamma_D} = T_D &,& \ \ \ T_{| \Gamma_N} = T_N.
\end{eqnarray}

Die wichtigen Kenngr\"o{\ss}en $Ra$ (Rayleigh-Zahl) und $Pr$ (Prandtl-Zahl)
wurden im letzten Abschnitt erl\"autert. $Re$ ist wiederum die Reynoldszahl
und es soll $Re = \frac{\sqrt{Ra}}{Pr}$ sein.

Gleichung (\ref{bouss_teil_1}) unterscheidet sich von Gleichung
(\ref{navierstokes:1}) formal lediglich durch die rechte Seite.
W\"ahrend eine Str\"omung wie in (\ref{navierstokes:1}) von
\"au{\ss}eren Kr\"aften abh\"angig ist, ist eine St\"omung der in
(\ref{bouss_teil_1}) beschriebenen Art lediglich von der
Temperatur $T$ und der Gravitationskraft $\vec{g}$ abh\"angig. Im
Gegensatz zu (\ref{navierstokes:3}) soll nun $u=0$ auf $\partial
\Omega$ (siehe (\ref{bouss_teil_4})) gelten, denn die
Geschwindigkeit der Str\"omung wird nur durch
Temperaturunterschiede beeinflusst, da hier ausschlie{\ss}lich
nat\"urliche Konvektionen betrachtet werden sollen. Zu den
Navier-Stokes-Gleichungen f\"ur inkompressible Str\"omungen kommen
nun noch zwei Gleichungen hinzu, die das Verhalten der Temperatur
beschreiben ( (\ref{bouss_teil_3}) und (\ref{bouss_teil_5})).
Dabei ist $\partial \Omega = \Gamma_D + \Gamma_N$ aufgeteilt in
$\Gamma_D$, der Teil des Randes, an dem Dirichlet-Randbedingungen
erf\"ullt sein sollen, und in $\Gamma_N$, an dem
Neumann-Randbedingungen angenommen werden sollen.

Im folgenden soll nun ein Splitting f\"ur die Boussinesq-Approximation
vorgestellt werden. Dabei soll das in Abschnitt \ref{uebertrag_navier_stokes}
vorgestellte Splitting f\"ur die Navier-Stokes-Gleichungen geeignet
erweitert werden. Der konvektive Anteil soll dabei, wie in Abschnitt
\ref{konvec_exp} erl\"autert, explizit behandelt werden. Auch hier ist
allerdings wieder eine implizite Behandlung denkbar. In Gleichung
(\ref{bouss_teil_1}) soll die Temperatur $T$ durch die Temperatur $T^n$
(also die im $n$-ten Zeitschritt berechnete Temperatur) approximiert werden,
d.h. die Temperatur wird explizit behandelt.
Es w\"are auch denkbar, die Temperatur, \"ahnlich wie den Druck, zu
extrapolieren. Es hat sich aber in den numerischen Berechnungen gezeigt,
dass dies ein hoher Mehraufwand w\"are, der keine besseren numerischen
Resultate liefert. F\"ur die Zeitdiskretisierung in (\ref{bouss_teil_3})
w\"ahlt man ebenfalls eins der BDF-Verfahren, die schon in Abschnitt
\ref{ustokes} erl\"autert wurden.

F\"ur die pseudospektrale Diskretisierung der Boussinesq-Approximation fehlt
somit nur noch der entsprechende Ableitungsoperator f\"ur die Temperatur. Wie
auch die Geschwindigkeit soll die Temperatur an den Gau{\ss}-Lobatto-Knoten
$(x_i,y_j) = \left( \cos \frac{i \pi}{N}, \cos \frac{j \pi}{N} \right)$,
\linebreak
$i,j=0,\ldots,N$ betrachtet werden. Somit erh\"alt man f\"ur die erste
Ableitung:
\begin{eqnarray}
T'(x_j) \cong (D_T T)_j, \ \ \ j=0, \ldots, N,
\end{eqnarray}
wobei $D_T \in \R^{N+1,N+1}$. F\"ur die zweite Ableitung ergibt sich:
\begin{eqnarray}
T''(x_j) \cong ((D_T)^2 T)_j, \ \ \ j=0, \ldots, N,
\end{eqnarray}
mit $(D_T)^2 \in \R^{N+1,N+1}$.

Da sowohl die erste als auch die zweite Ableitung wiederum an den
Gau{\ss}-Lobatto-Knoten betrachtet wird, muss man f\"ur den 2-dimensionalen
Fall (im Gegensatz zur Geschwindigkeit und zum Druck) keine Transformationen
ber\"ucksichtigen. Somit erh\"alt man im 2-dimensionalen Fall f\"ur die
Temperatur $T$ folgende Ableitungsoperatoren:
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial x}: \ D_{T,x} = D_T \otimes I, \ \ \
\frac{\partial}{\partial y}: \ D_{T,y} = I \otimes D_T,
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}: \ D_{T,xx} = (D_T)^2 \otimes I, \ \ \
\frac{\partial^2}{\partial y^2}: \ D_{T,yy} = I \otimes (D_T)^2,
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}: \
D_{T,\triangle} = (D_{T,xx} + D_{T,yy}).
\end{eqnarray*}
Mit diesen Bezeichnungen und mit den Bezeichnungen aus Abschnitt
\ref{diskretisierung} lautet die pseudospektrale Diskretisierung der
Boussinesq-Approximation:
\begin{eqnarray}
\label{disk_bous_1}
\left( - \frac{1}{Re} D_\triangle^0 + \beta_0 \frac{1}{\triangle t} \right)
\tilde{u}_i^{n+1} &=& \tilde{f}_i^{n+1} \ \ \mbox{ in } \Omega \\
\label{disk_bous_2}
\tilde{u}_i^{n+1} &=& 0 \ \ \mbox{ auf } \partial \Omega, \ \ i=1,2
\end{eqnarray}
und
\begin{eqnarray}
\label{disk_bous_3}
\beta_0 \frac{1}{\triangle t} u_1^{n+1} + D_{x,GL} p^{n+1} &=& g_1^{n+1}
\ \ \mbox{ in } \Omega, \\
\label{disk_bous_4}
\beta_0 \frac{1}{\triangle t} u_2^{n+1} + D_{y,GL} p^{n+1} &=& g_2^{n+1}
\ \ \mbox{ in } \Omega, \\
\label{disk_bous_5}
D_{x,G}^0 u_1^{n+1} + D_{y,G}^0 u_2^{n+1} &=& 0 \ \ \mbox{ in } \Omega \\
\label{disk_bous_6}
u_1^{n+1} = u_2^{n+1} &=& 0 \ \ \mbox{ auf } \partial \Omega, \\
\label{disk_bous_7}
\left( - \frac{1}{Re \cdot Pr} D_{T,\triangle} + \beta_0
\frac{1}{\triangle t} \right) T^{n+1} &=& h^{n+1} \ \ \mbox{ in } \Omega, \\
\label{disk_bous_8}
T_{| \Gamma_D}^{n+1} &=& T_D, \\
\label{disk_bous_9}
T_{| \Gamma_N}^{n+1} &=& T_N, \\
\label{disk_bous_10}
(D_{x,G}^0D_{x,GL} + D_{y,G}^0D_{y,GL})p^{n+1} &=& D_{x,G}^0 g_1^{n+1}
+ D_{y,G}^0 g_2^{n+1},
\end{eqnarray}
wobei
\begin{eqnarray*}
\tilde{f}^{n+1} &=& - \frac{Ra}{(Re)^2 \ Pr} \vec{g} T^n - \left(u_e^{n+1} \cdot
\nabla \right) u_e^{n+1} - \nabla \bar{p}_l^{n+1} - \frac{1}{\triangle t}
\sum_{m=1}^k \beta_m u^{n+1-m}, \\
g_1^{n+1} &=& \beta_0 \frac{1}{\triangle t} \tilde{u}_1^{n+1} +
D_{x,GL}  \bar{p}_l^{n+1}, \\
g_2^{n+1} &=& \beta_0 \frac{1}{\triangle t} \tilde{u}_2^{n+1} +
D_{y,GL} \bar{p}_l^{n+1}, \\
h^{n+1} &=& -\left(u^{n+1} \cdot \nabla \right) T^n + \frac{1}{\triangle t}
\sum_{m=1}^k \beta_m T^{n+1-m}.
\end{eqnarray*}

Damit ist zuerst durch die Gleichung (\ref{disk_bous_1}) und
(\ref{disk_bous_2}) die Zwischengeschwindigkeit $\tilde{u}$ zu bestimmen.
Mit Gleichung (\ref{disk_bous_10}) kann man dann den Druck berechnen und
Gleichungen (\ref{disk_bous_3}) - (\ref{disk_bous_6}) liefern somit das
Ergebnis f\"ur die Geschwindigkeit. Anschliessend ist aus den Gleichungen
(\ref{disk_bous_7}) - (\ref{disk_bous_9}) die Temperatur berechenbar.


\section{Ein Beispiel}
\label{bsp_bouss_1}

Als ein Beispiel f\"ur temperaturgetriebene Str\"omungen soll die Ausbildung
einer nat\"urlichen Konvektionsstr\"omung bei beheizten Seitenw\"anden und
adiabatischen W\"anden (d.h. es geschieht kein W\"armeaustausch \"uber diese
W\"ande) oben und unten dienen.
Abbildung \ref{beheizte:seiten} verdeutlicht dieses Problem:

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{picture}(5,5)
\put(0.5,0.5){\line(1,0){3}}
\put(0.5,0.5){\line(0,1){3}}
\put(0.5,3.5){\line(1,0){3}}
\put(3.5,0.5){\line(0,1){3}}
\put(1.5,0.0){\small{$\frac{\partial T}{\partial n} = 0 $}}
\put(3.7,2.0){\small{$T_C$}}
\put(1.5,3.8){\small{$\frac{\partial T}{\partial n} = 0 $}}
\put(-0.1,2.0){\small{$T_H$}}
\put(4.0,3.8){\vector(0,-1){0.5}}
\put(4.2,3.6){$\vec{g}$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{\label{beheizte:seiten} Schematische Darstellung des Driven-Cavity
Problems mit beheizten Seitenw\"anden}
\end{figure}

$T_H$ soll dabei eine beheizte Wand sein, $T_C$ ist die gek\"uhlte Wand, d.h.
es sollen folgende Randbedingungen gelten:
\begin{eqnarray*}
u &=& 0, \ \ \ \mbox{ auf } \partial \Omega, \\
T_H &=& 0.5, \ \ T_C = -0.5 \\
\frac{\partial T}{\partial n} &=& 0 \ \ \mbox{ f\"ur } y=0 \ \mbox{ und }
y=1.
\end{eqnarray*}

Es ist zu erwarten, dass das Fluid an der beheizten Wand $T_H$ aufsteigt
und an der gek\"uhlten Wand $T_C$ wieder absinkt. Durch den
Temperaturunterschied wird das Fluid also in Bewegung gesetzt.

Dieses Problem soll f\"ur die Prandtlzahl $Pr = 0.71$ betrachtet
werden, d.h. es handelt sich um Luft (siehe Tabelle \ref{Fluid:Pr}). F\"ur
verschiedene Rayleigh-Zahlen und verschiedene $N$ werden folgende
Gr\"o{\ss}en angegeben:

\vspace*{0.3cm}

\begin{tabular}{lcl}
$|\psi|_{mid}$ &:& absoluter Wert der Stromfunktion im Mittelpunkt
des Quadrats, \\
$|\psi|_{max}$ &:& gr\"o{\ss}ter absoluter Wert der Stromfunktion
im ganzen
Gebiet, \\
$u_{1,max}$ &:& Max. horizontaler Wert f\"ur $x = 0.5$ mit Angabe der Position,
\\
$u_{2,max}$ &:& Max. vertikaler Wert f\"ur $y=0.5$ mit Angabe der Position.
\end{tabular}

\vspace*{0.3cm}

Neben dem Geschwindigkeitsfeld ist es nun auch von Interesse, die
Temperaturverteilung und den Transport der W\"armemenge graphisch
darzustellen. F\"ur das Temperaturfeld kann man wieder die H\"ohenlinien
verwenden. Ferner konstruiert man
die sogenannte W\"armefunktion $H$. Dies geschieht \"uber:
\begin{eqnarray}
\label{waerme:in:horizon}
\frac{\partial H}{\partial y} = u_1 T - 2 \frac{\partial T}{\partial x}, \\
\label{waerme:in:vertikal}
-\frac{\partial H}{\partial x} = u_2 T - 2 \frac{\partial T}{\partial y}.
\end{eqnarray}

Da es sich in dem hier vorliegenden Fall um beheizte Seitenw\"ande handelt,
liegt ein lokaler W\"armefluss in horizontaler Richtung vor, und somit muss
nur noch (\ref{waerme:in:horizon}) betrachtet werden. Es sei im
folgenden $Q := \frac{\partial H}{\partial y}$.

Mit Hilfe dieser Funktion werden nun noch einige charakteristische Gr\"o{\ss}en
eingef\"uhrt, die man auch Nusselt-Zahlen nennt:

\begin{tabular}{l}
$\overline{Nu}:= \frac{1}{4} \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 Q(x,y) dx dy$
: durchschnittliche Nusselt-Zahl \"uber das ganze Gebiet, \\
$Nu_{\frac{1}{2}}:= \frac{1}{2} \int\limits_0^1 Q(0.5,y)dy$ :
durchschnittliche Nusselt-Zahl f\"ur $x=0$, \\
$Nu_0 := \frac{1}{2} \int\limits_0^1 Q(0,y) dy$ : durchschnittliche
Nusselt-Zahl am vertikalen Rand des \\*[-0.3cm]  \hspace*{4cm} Quadrats 
f\"ur $x=0$, \\
$N_{max}:= \max \{ | Q(0,y)| \ : \ y \in [0,1] \}$ : maximaler Wert der
lokalen Nusselt-Zahl am \\ \hspace*{6.7cm} Rand f\"ur $x=0$ 
(zusammen mit der Position), \\
$N_{min}:= \min \{ | Q(0,y)| \ : \ y \in [0,1] \}$ : minimaler Wert der
lokalen Nusselt-Zahl am \\ \hspace*{6.6cm} Rand f\"ur $x=0$ 
(zusammen mit der Position).
\end{tabular}

Alle auftauchenden Integrale werden mit der Clenshaw-Curtis Quadratur
gel\"ost (siehe \cite{DaRa:84}).

F\"ur dieses Testbeispiel wurde in den 80er Jahren eine
Benchmark-L\"osung aufgestellt. Diese L\"osung kam zustande, indem
ca. 40 Mathematiker gebeten wurden, dieses Problem zu behandeln.
Als Kriterien dienten die oben angegebenen Nusselt-Zahlen. Jeder
dieser Mathematiker l\"oste dieses Problem mit den
unterschiedlichsten Methoden. Die nachfolgenden Tabellen liefern
die mit der hier vorgestellten Methode berechneten Nusselt-Zahlen,
sowie weitere ausgew\"ahlte Punkte. Ferner wurde die hier
vorgestellte Splitting-Methode auch f\"ur die $N$, $N-2$-Methode
auf die Boussinesq-Approximation \"ubertragen und implemetiert. Auch in 
diesem Fall wurden gute  Ergebnisse erzielt und sind den nachfolgenden
Tabellen zu entnehmen. Die Benchmark-L\"osung steht dazu im
Vergleich in Tabelle \ref{benchmark}.

\begin{table}[h]
$$
\begin{array}{|cccccccccc|} \hline
N & |\psi|_{mid} & |\psi|_{max} & u_{1,max} & u_{2,max}  &
{\overline Nu} & Nu_{\frac{1}{2}} & Nu_0 & Nu_{max} &
Nu_{min} \\ \hline
8 & 1.1743 & 1.1743 & 3.6517 & 3.6987 & 1.1178 & 1.1169 & 1.1177 & 1.5043
& 0.6911 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8130 & 0.1784 & & & & &  \\ \hline
12 & 1.1746 & 1.1746 & 3.6494 & 3.6974 & 1.1178 & 1.1178 & 1.1178 & 1.5057 &
0.6913 \\
   &       & (0.5,0.5) & 0.8132 & 0.1783 & & & & & \\ \hline
16 & 1.1746 & 1.1746 & 3.6494 & 3.6974 & 1.1178 & 1.1178 & 1.1178 & 1.5063 &
0.6913 \\
   &       & (0.5,0.5) & 0.8132 & 0.1783 & & & & & \\ \hline
20 & 1.1746 & 1.1746 & 3.6494 & 3.6974 & 1.1178 & 1.1178 & 1.1178 & 1.5062 &
0.6913 \\
   &       & (0.5,0.5) & 0.8132 & 0.1783 & & & & & \\ \hline
\end{array}
$$
\caption{ \label{Beispiel_10hoch3_mein} Resultate f\"ur $Ra=10^3$ mit der $N$,
$N-1$-Methode (staggered grids)}
\end{table}

\begin{table}
$$
\begin{array}{|cccccccccc|} \hline
N & |\psi|_{mid} & |\psi|_{max} & u_{1,max} & u_{2,max}  &
{\overline Nu} & Nu_{\frac{1}{2}} & Nu_0 & Nu_{max} &
Nu_{min} \\ \hline
8 & 1.1742 & 1.1742 & 3.6533 & 3.7052 & 1.1179 & 1.1231 & 1.1172 & 1.5098
& 0.6945 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8131 & 0.1778 & & & & &  \\ \hline
12 & 1.1746 & 1.1746 & 3.6495 & 3.6973 & 1.1178 & 1.1178 & 1.1177 & 1.5056
& 0.6912 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8132 & 0.1783 & & & & &  \\ \hline
16 & 1.1746 & 1.1746 & 3.6495 & 3.6974 & 1.1178 & 1.1178 & 1.1178 & 1.5063
& 0.6913 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8132 & 0.1783 & & & & &  \\ \hline
20 & 1.1746 & 1.1746 & 3.6495 & 3.6974 & 1.1178 & 1.1178 & 1.1178 & 1.5062
& 0.6913 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8132 & 0.1783 & & & & &  \\ \hline
\end{array}
$$
\caption{ \label{Beispiel_10hoch3} Resultate f\"ur $Ra=10^3$ mit der $N$,
$N-2$-Methode}
\end{table}

\begin{table}
$$
\begin{array}{|cccccccccc|} \hline
N & |\psi|_{mid} & |\psi|_{max} & u_{1,max} & u_{2,max}  &
{\overline Nu} & Nu_{\frac{1}{2}} & Nu_0 & Nu_{max} &
Nu_{min} \\ \hline
8 & 5.0461 & 5.0461 & 16.1450 & 19.4325 & 2.2387 & 2.2211 & 2.2008 & 3.4146
& 0.6027 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8237 & 0.1227 & & & & &  \\ \hline
12 & 5.0749 & 5.0749 & 16.1870 & 19.6161 & 2.2450 & 2.2460 & 2.2475 & 3.5386
& 0.5837 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8231 & 0.1190 & & & & &  \\ \hline
16 & 5.0736 & 5.0736 & 16.1833 & 19.6275 & 2.2448 & 2.2447 & 2.2446 & 3.5305
& 0.5850 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8232 & 0.1189 & & & & &  \\ \hline
20 & 5.0736 & 5.0736 & 16.1833 & 19.6281 & 2.2448 & 2.2448 & 2.2448 & 3.5310
& 0.5850 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8232 & 0.1189 & & & & &  \\ \hline
\end{array}
$$
\caption{ \label{Beispiel_10hoch4_mein} Resultate f\"ur $Ra=10^4$ mit der $N$,
$N-1$-Methode (staggered grids)}
\end{table}

\begin{table}
$$
\begin{array}{|cccccccccc|} \hline
N & |\psi|_{mid} & |\psi|_{max} & u_{1,max} & u_{2,max}  &
{\overline Nu} & Nu_{\frac{1}{2}} & Nu_0 & Nu_{max} &
Nu_{min} \\ \hline
8 & 5.0515 & 5.0515 & 16.1788 & 19.3380 & 2.2250 & 2.2239 & 2.0969 & 3.4045
& 0.5849 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8190 & 0.1263 & & & & &  \\ \hline
12 & 5.0739 & 5.0739 & 16.1821 & 19.6116 & 2.2458 & 2.2455 & 2.2510 & 3.5432
& 0.5838 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8233 & 0.1190 & & & & &  \\ \hline
16 & 5.0737 & 5.0737 & 16.1835 & 19.6276 & 2.2447 & 2.2448 & 2.2443 & 3.5229
& 0.5850 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8232 & 0.1189 & & & & &  \\ \hline
20 & 5.0737 & 5.0737 & 16.1833 & 19.6282 & 2.2448 & 2.2448 & 2.2448 & 3.5310
& 0.5850 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8232 & 0.1189 & & & & &  \\ \hline
\end{array}
$$
\caption{ \label{Beispiel_10hoch4} Resultate f\"ur $Ra=10^4$ mit der $N$,
$N-2$-Methode}
\end{table}

\begin{table}
$$
\begin{array}{|cccccccccc|} \hline
N & |\psi|_{mid} & |\psi|_{max} & u_{1,max} & u_{2,max}  &
{\overline Nu} & Nu_{\frac{1}{2}} & Nu_0 & Nu_{max} &
Nu_{min} \\ \hline
8 & 9.0612 & 9.0612 & 35.3825 & 66.6236 & 4.4631 & 5.0550 & 4.4502 & 8.4529
& 0.8534 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8535 & 0.0629 & & & & &  \\ \hline
12 & 9.0633 & 9.4688 & 34.5200 & 68.6800 & 4.5180 & 4.4707 & 4.4692 & 7.4779
& 0.7528 \\
  &       & (0.75,0.37) & 0.8547 & 0.0659 & & & & &  \\ \hline
16 & 9.1141 & 9.5907 & 34.7614 & 68.6001 & 4.5141 & 4.5292 & 4.5195 & 7.7383
& 0.7208 \\
  &       & (0.60,0.31) & 0.8545 & 0.0659 & & & & &  \\ \hline
%16 & 9.1186 & 9.5909 & 34.7428 & 68.5943 & 4.5218 & 4.5195 & 4.5280 & 7.7383
%& 0.7208 \\
%  &       & (0.70,0.40) & 0.8545 & 0.0659 & & & & &  \\ \hline
20 & 9.1099 & 9.5888 & 34.7555 & 68.6316 & 4.5186 & 4.5167 & 4.5216 & 7.7065
& 0.7289 \\
  &       & (0.27,0.58) & 0.8547 & 0.0658 & & & & &  \\ \hline
\end{array}
$$
\caption{ \label{Beispiel_10hoch5_mein} Resultate f\"ur $Ra=10^5$ mit der $N$,
$N-1$-Methode (staggered grids)}
\end{table}

\begin{table}
$$
\begin{array}{|cccccccccc|} \hline
N & |\psi|_{mid} & |\psi|_{max} & u_{1,max} & u_{2,max}  &
{\overline Nu} & Nu_{\frac{1}{2}} & Nu_0 & Nu_{max} &
Nu_{min} \\ \hline
8 & 9.3056 & 9.3056 & 33.2278 & 61.2403 & 4.7586 & 4.5305 & 4.2455 & 11.0566
& 0.1458 \\
  &       & (0.5,0.5) & 0.8693 & 0.0647 & & & & &  \\ \hline
12 & 9.0599 & 9.4688 & 34.7243 & 68.9880 & 4.4999 & 4.4726 & 4.5078 & 7.4537
& 0.7562 \\
  &       & (0.75,0.37) & 0.8533 & 0.0656 & & & & &  \\ \hline
%%16 & 9.1186 & 9.5909 & 34.7428 & 68.5943 & 4.5218 & 4.5195 & 4.5280 & 7.7383
%& 0.7208 \\
%  &       & (0.70,0.40) & 0.8545 & 0.0659 & & & & &  \\ \hline
%20 & 9.1097 & 9.5887 & 34.7547 & 68.6312 & 4.5186 & 4.5166 & 4.5216 & 7.7065
%& 0.7289 \\
%  &       & (0.27,0.58) & 0.8547 & 0.0658 & & & & &  \\ \hline
\end{array}
$$
\caption{ \label{Beispiel_10hoch5} Resultate f\"ur $Ra=10^5$ mit der
$N$,$N-2$-Methode}
\end{table}


%\begin{table}
%$$
%\begin{array}{|cccccc|} \hline
%N & \mbox{Schrittweite} & \mbox{Ordung u} & \mbox{Ordnung p} &
%\mbox{Ordnung t} & \mbox{Abbruchkriterium} \\ \hline
%8 & 0.1 & 2 & 1 & 1 & 2e-6\\
%12 & 0.1 & 2 & 1 & 1 & 2e-6 \\
%16 & 0.1 & 2 & 1 & 1 & 2e-6 \\
%20 & 0.1 & 2 & 1 & 1 & 2e-6 \\ \hline
%\end{array}
%$$
%\caption{ \label{Schrittweiten_10hoch3} Schrittweiten und Ordnung f\"ur
%$Ra=10^3$}
%\end{table}

%\begin{table}
%$$
%\begin{array}{|cccccc|} \hline
%N & \mbox{Schrittweite} & \mbox{Ordung u} & \mbox{Ordnung p} &
%\mbox{Ordnung t} & \mbox{Abbruchkriterium} \\ \hline
%8 & 0.1 & 2 & 1 & 1 & 2e-6\\
%12 & 0.1 & 2 & 1 & 1 & 2e-6 \\
%16 & 0.1 & 2 & 1 & 1 & 2e-6 \\
%20 & 0.1 & 2 & 1 & 1 & 2e-6 \\ \hline
%\end{array}
%$$
%\caption{ \label{Schrittweiten_10hoch4} Schrittweiten und Ordnung f\"ur
%$Ra=10^4$}
%\end{table}

%\begin{table}
%$$
%\begin{array}{|cccccc|} \hline
%N & \mbox{Schrittweite} & \mbox{Ordung u} & \mbox{Ordnung p} &
%\mbox{Ordnung t} & \mbox{Abbruchkriterium} \\ \hline
%8 & 0.05 & 2 & 1 & 1 & 2e-6\\
%12 & 0.0005 & 2 & 1 & 1 & 2e-6 \\ \hline
%16 & 0.00001 & 2 & 1 & 1 & 2e-4 \\ \hline
%16 & 0.0001 & 2 & 1 & 1 & 2e-6 \\ \hline
%\end{array}
%$$
%\caption{ \label{Schrittweiten_10hoch5} Schrittweiten und Ordnung f\"ur
%$Ra=10^5$}
%\end{table}

%\begin{table}
%$$
%\begin{array}{|cccccc|} \hline
%N & \mbox{Schrittweite} & \mbox{Ordung u} & \mbox{Ordnung p} &
%\mbox{Ordnung t} & \mbox{Abbruchkriterium} \\ \hline
%8 & 0.01 & 2 & 1 & 2 & 2e-6\\
%12 & 0.0001 & 2 & 1 & 2 & 2e-6 \\
%16 & 0.0001 & 2 & 1 & 2 & 2e-6 \\ \hline
%\end{array}
%$$
%\caption{ \label{Schrittweiten_10hoch6} Schrittweiten und Ordnung f\"ur
%$Ra=10^6$}
%\end{table}

\begin{table}
$$
\begin{array}{|cccccccccc|} \hline
Ra & |\psi|_{mid} & |\psi|_{max} & u_{1,max} & u_{2,max}  &
{\overline Nu} & Nu_{\frac{1}{2}} & Nu_0 & Nu_{max} &
Nu_{min} \\ \hline
10^3 & 1.174 & - & 3.649 & 3.697 & 1.118 & 1.118 & 1.117 & 1.505
& 0.692 \\
  &       &  & 0.813 & 0.178 & & & & &  \\ \hline
10^4 & 5.071 & - & 16.178 & 19.617 & 2.243 & 2.243 & 2.238 & 3.528 & 0.586 \\
  &       &  & 0.823 & 0.119 & & & & &  \\ \hline
10^5 & 9.111 & 9.612 & 34.73 & 68.59 & 4.519 & 4.519 & 4.509 & 7.717
& 0.729 \\
  &       &  & 0.855 & 0.066 & & & & &  \\ \hline
\end{array}
$$
\caption{ \label{benchmark} Die Benchmark-L\"osung}
\end{table}

\newpage

All diese Tabellen zeigen deutlich, dass das Splitting der
Boussinesq-Approximation zusammen mit den spektralen Verfahren sehr gute
Ergebnisse erzielt, die ziemlich dicht an der Benchmark-L\"osung liegen.

Zu bemerken ist noch, dass f\"ur $Ra=10^5$ die Resultate f\"ur $N=16$ mit
der impliziten Behandlung des konvektiven Terms erzielt wurden, da somit die 
Zeitschrittweite deutlich gr\"o{\ss}er gew\"ahlt werden konnte. F\"ur die
$N$,$N-2$-Methode wurde diese Betrachtung nicht implementiert. Deshalb wird
an dieser Stelle auf die Resultate f\"ur $N=16$ und $N=20$ verzichtet.

\begin{figure}
\begin{tabular}{ll}
\psfig{file=./../bilder_ps/kap5/daten20/Ra10hoch3/psi.ps,
height=6.5cm,width=7.5cm} &
\psfig{file=./../bilder_ps/kap5/daten20/Ra10hoch4/psi.ps,height=6.5cm,width=7.5cm} \\
\psfig{file=./../bilder_ps/kap5/daten20/Ra10hoch5/psi.ps,
height=6.5cm,width=7.5cm} &
\end{tabular}
\caption{ \label{st_20_10hoch3bis5} Stromlinien f\"ur $N=20$ und $Ra=10^3$,
$10^4$, $10^5$}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{tabular}{ll}
\psfig{file=./../bilder_ps/kap5/daten20/Ra10hoch3/temp.ps,
height=6.5cm,width=7.5cm} &
\psfig{file=./../bilder_ps/kap5/daten20/Ra10hoch4/temp.ps,height=6.5cm,width=7.5cm} \\
\psfig{file=./../bilder_ps/kap5/daten20/Ra10hoch5/temp.ps,
height=6.5cm,width=7.5cm} &
\end{tabular}
\caption{ \label{temp_20_10hoch3bis5} Temperaturverteilung f\"ur $N=20$ und
$Ra=10^3$, $10^4$, $10^5$}
\end{figure}






