\chapter{Einf\"uhrung in die spektralen Verfahren} \label{cap_1}

Partielle Differentialgleichungen treten in fast allen Bereichen der
Wissenschaften auf. Sie zu l\"osen ist ein schwieriges Problem und nur selten
ist die Berechnung exakter L\"osungen  m\"oglich. Aus diesem Grunde sind 
effiziente numerische Verfahren zur Bestimmung einer approximativen 
L\"osung notwendig. Schon lange bekannt sind die 
Verfahren der Finiten-Differenzen (FD), der Finiten-Elemente (FE) und der
Finiten-Volumina (FV). All diese Methoden haben
bereits eine lange Geschichte und sind ein wirksames Werkzeug zur L\"osung
partieller Differentialgleichungen. In den letzten zwei Jahrzehnten kamen
die spektralen Verfahren und insbesondere die pseudo-spektralen Verfahren
als eine interessante Variante hinzu. W\"ahrend Finite-Elemente-Methoden sehr
gut geeignet sind f\"ur komplexe Geometrien \footnote{Erzielen aber meist nur
Konvergenz der Ordnung $p$ ($p=1, \ldots, 5$).}, k\"onnen spektrale Verfahren 
hingegen
in einfacheren Gebieten, wie z. B. Rechtecken oder Kreisen, eine h\"ohere
Genauigkeit der approximierten L\"osung erzielen \footnote{Sp\"ater wird
gezeigt, wie die Approximationsg\"ute von der Glattheit der Daten
abh\"angt}. Bei letzteren Verfahren handelt es sich,
im Gegensatz zu FE, FD oder FV, um globale Verfahren. Ist eine
Differentialgleichung gegeben, so besteht die Idee darin, die L\"osung $u$
zu approximieren durch die endliche Summe
\begin{eqnarray}
\label{endl_summe}
u(x) = \sum\limits_{k=0}^N \tilde{u}_k p_k(x),
\end{eqnarray}
wobei die $p_k(x)$ sehr glatte Basisfunktionen sind.

Im weiteren Verlauf wird nun gezeigt, welche Funktionen $p_k(x)$ geeignet
sind und wie man die Koeffizienten $\tilde{u}_k$ bestimmen kann.


\section{Systeme orthogonaler Polynome}

Sei $\P_N$ der Raum der Polynome vom Grad $\le N$ und $w(x)$ eine
Gewichtsfunktion, d.h. $w(x)$ ist nicht-negativ und integrierbar auf dem
Intervall $I=(-1,1)$. Ferner sei
\begin{eqnarray*}
L_w^2(I) = \{ v : I \to \R \ | \ v \mbox{ messbar und } ||v||_{0,w} <
\infty\},
\end{eqnarray*}
wobei
\begin{eqnarray*}
||v||_{0,w} := \left( \ \int\limits_{-1}^1 |v(x)|^2 w(x) dx \right) ^{1/2}
\end{eqnarray*}
die vom Skalarprodukt $(u,v)_w$ induzierte Norm ist mit
\begin{eqnarray*}
(u,v)_w := \int\limits_{-1}^1 u(x) v(x) w(x) dx.
\end{eqnarray*}
Mit dieser Norm wird $L_w^2(-1,1)$ zu einem Hilbertraum.


$\{p_n\}_{n \ge 0}$ sei nun ein System von Polynomen (mit $p_k$ 
Polynom vom Grad $k$), die bzgl. des Skalarproduktes $(.,.)_w$ 
orthogonal sind, d. h. 
\begin{eqnarray*}
(p_n, p_m)_w = 0 \ \ \forall n, m \ge 0, \ \ \ n \neq m.
\end{eqnarray*}
Aus dem Weierstra{\ss}'schen Approximationssatz folgt nun, dass f\"ur jedes
$u \in L_w^2(-1,1)$ gilt:
\begin{eqnarray}
\label{weierstrass}
u(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty \hat{u}_k p_k(x) \ \ \mbox{ mit } \
\hat{u}_k := \frac{(u,p_k)_w}{||p_k||_{0,w}^2}.
\end{eqnarray}
Betrachtet man
\begin{eqnarray*}
P_N u(x) := \sum\limits_{k=0}^N \hat{u}_k p_k(x),
\end{eqnarray*}
so kann man $P_Nu$ auch auffassen als die orthogonale Projektion von $u$ 
auf $\P_N$ bzgl. des Skalarproduktes $(.,.)_w$
\begin{eqnarray*}
(P_Nu,v_N)_w = (u,v_N)_w \ \ \forall \ v_N \in \P_N.
\end{eqnarray*}
Es gilt dann:
\begin{eqnarray*}
|| u - P_N u ||_{0,w} \to 0 \ \ \ (N \to \infty).
\end{eqnarray*}

\section{Gau"s-Quadratur und Interpolation}

Im folgenden soll die enge Beziehung zwischen orthogonalen Polynomen und
Integrationsformeln vom Gau{\ss}-Typ auf dem Intervall $[-1,1]$ 
verdeutlicht werden. Sei dazu $\{p_n\}_{n \ge 0}$ wie oben definiert.

\begin{satz}[Gau{\ss}-Lobatto-Integration]
\label{satz_GL_int}

Seien $-1 = x_0, x_1, \ldots, x_N=1$ die $N+1$ Nullstellen des Polynoms
\begin{eqnarray*}
q(x) = p_{N+1}(x) + a p_N(x) + b p_{N-1}(x),
\end{eqnarray*}
wobei $a$ und $b$ so gew\"ahlt werden, dass $q(-1) = q(1) = 0$.
Seien ferner $w_0, \ldots, w_N$ die L\"osungen des linearen Systems
\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{j=0}^N x_j^k w_j = \int\limits_{-1}^1 x^k w(x) dx, \ \ 
0 \le k \le N.
\end{eqnarray*}
Dann gilt:
\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{j=0}^N p(x_j) w_j = \int\limits_{-1}^1 p(x) w(x) dx, \ \ 
\forall \ p \in \P_{2N-1}.
\end{eqnarray*}
\end{satz}
{\bf Beweis:} Es ist $q \in \P_{N+1}$. Aufgrund der Orthogonalit\"at der
$\{p_k\}$ gilt:
\begin{eqnarray}
\label{ortho}
(q,\phi)_w = 0 \ \ \ \ \forall \ \phi \in \P_{N-2}.
\end{eqnarray}
Sei ferner $p \in \P_{2N-1}$. 
Es gibt eine Zerlegung 
\begin{eqnarray*}
p(x) = q(x) r(x) + s(x)
\end{eqnarray*}
mit $r \in \P_{N-2}$ und $grad \ s \le N$.
Da die $x_j$, $j=0,\ldots,N$, Nullstellen von $q$ sind, folgt:
\begin{eqnarray*}
p(x_j) = q(x_j) r(x_j) + s(x_j)= s(x_j).
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\Rightarrow \ \sum\limits_{j=0}^N p(x_j) w_j &=&
\sum\limits_{j=0}^N s(x_j) w_j = \int\limits_{-1}^1 s(x) w(x) dx \\
&=& \int\limits_{-1}^1 p(x) w(x) dx - 
\underbrace{\int\limits_{-1}^1 q(x) r(x) w(x) dx}_{= 0 \mbox{ nach 
(\ref{ortho})}}.
\end{eqnarray*}
Damit ist die Behauptung bewiesen. \hfill $\Box$

\vspace*{0.5cm}

Die Knoten f\"ur die Gau{\ss}-Integration spielen bei den spektralen 
Verfahren eine gro{\ss}e Rolle. Sie werden als Kollokationspunkte
bei der spektralen Kollokation benutzt, d.h. als Punkte, an denen die 
zu Grunde liegende partielle Differentialgleichung erf\"ullt sein soll.

Seien nun f\"ur $N \ge 0$ die Punkte $x_0, x_1, \ldots, x_N$ die Knoten
der Gau{\ss}-Lobatto-Integration und $w_0, w_1, \ldots, w_N$ die
entsprechenden Gewichte. Das $N$-te Interpolationspolynom $I_N u$ ist dann
gegeben durch die Bedingungen
\begin{eqnarray*}
(I_N u) ( x_j) = u(x_j), \ \ 0 \le j \le N, \ \ \ I_N u \in \P_N.
\end{eqnarray*}
$I_N u$ erh\"alt man mittels Lagrange-Interpolation. Da es sich um ein Polynom
$N$-ten Grades handelt und die $\{p_n\}_{n \ge 0}$ eine Orthonormalbasis 
bilden, gilt:
\begin{eqnarray*}
I_N u = \sum\limits_{k=0}^N \tilde{u}_k p_k.
\end{eqnarray*}
Offensichtlich ist:
\begin{eqnarray}
\label{phys_space}
u(x_j) = \sum\limits_{k=0}^N \tilde{u}_k p_k(x_j).
\end{eqnarray}
Die $\tilde{u}_k$ kann man mit (\ref{weierstrass}) und Satz \ref{satz_GL_int}
berechnen und es ergibt sich:
\begin{eqnarray}
\label{trans_space}
\tilde{u}_k = \frac{1}{\gamma_k} \sum\limits_{j=0}^N u(x_j) p_k(x_j) w_j,
\end{eqnarray}
mit
\begin{eqnarray}
\label{gamma_k}
\gamma_k = \sum\limits_{j=0}^N p_k^2(x_j) w_j.
\end{eqnarray}

Dabei erlauben die Gleichungen (\ref{phys_space}) und (\ref{trans_space}) 
Transformationen zwischen dem Physikalischen Raum, der Darstellung von $u$
mittels der Werte $\{u(x_j)\}$, und dem sogenannten Frequenzraum,
der Darstellung mittels der Koeffizienten $\{\tilde{u}_k\}$.

\section{Sturm-Liouville-Probleme}

In diesem Abschnitt wird verdeutlicht, dass f\"ur spektrale Verfahren 
Sturm-Liouville-Probleme besonders gut geeignet sind, da die Entwicklung
nach den Eigenfunktionen einer Sturm-Liouville-Aufgabe hohe spektrale
Genauigkeit garantiert. Dazu soll eine kurze Einf\"uhrung in die Theorie
der Sturm-Liouville-Probleme vorgenommen werden.

Unter einem Sturm-Liouville-Problem versteht man eine gew\"ohnliche
Differentialgleichung der Form
\begin{eqnarray}
\label{st:li:problem}
Lu + \lambda w(x) u = 0, \ \ \ R_1 u = R_2 u = 0,
\end{eqnarray}
mit den Operatoren
\begin{eqnarray}
\label{st:li:operator}
\left. \begin{array}{l}
Lu := \left( p(x) u' \right)' + q(x)u, \\
R_1u := \alpha_1 u(a) + \alpha_2 u'(a), \ \ \ R_2u:= \beta_1 u(b) + \beta_2
u'(b) 
\end{array} \right\}
\end{eqnarray}
Dabei gelten folgende Voraussetzungen:
\begin{eqnarray}
\label{st:li:vor}
\left. \begin{array}{l}
\mbox{Alle Gr\"o{\ss}en sind reell,} \\
p \mbox{ stetig diffb. und positiv auf } [a,b], \\
q \mbox{ stetig}, \\
w \mbox{ stetig und positiv,  } (\alpha_1, \alpha_2), \ (\beta_1, \beta_2)
\neq (0,0).
\end{array} \right\}
\end{eqnarray}

\begin{definition}
Eine Zahl $\lambda=\lambda_n$ hei{\ss}t Eigenwert von (\ref{st:li:problem}), 
wenn (\ref{st:li:problem}) eine nichttriviale L\"osung $u=u_n$ besitzt. $u_n$
selbst hei{\ss}t dann Eigenfunktion oder Eigenl\"osung zum Eigenwert 
$\lambda_n$.
\end{definition}

Laut \cite{Heu:91} gilt folgender Satz \"uber die Eigenwerte einer 
Sturm-Liouvilleschen Aufgabe.

\begin{satz}
Vorgelegt sei die Sturm-Liouville-Aufgabe (\ref{st:li:problem}) unter den
Voraussetzungen (\ref{st:li:vor}). Dann bildet die Gesamtheit ihrer 
Eigenwerte eine streng wachsende Folge $\{\lambda_n\}_n$ mit $\lambda_n \to 
\infty$. Jeder Eigenwert ist einfach.
\end{satz}

Ferner gelten folgende Voraussetzungen:
\begin{eqnarray}
& & u_n(a) = u_n(b) = 0 \nonumber \\ 
\label{normierung}
& & \mbox{Die Eigenfunktionen seien normiert, d.h. es gilt:} \\
& & \int\limits_a^b w(x) u_n(x) u_m(x) = \delta_{nm}. \nonumber
\end{eqnarray}
Im folgenden wird die Konvergenzrate f\"ur die Entwicklung einer Funktion
nach den Eigenfunktionen einer Sturm-Liouville-Aufgabe (\ref{st:li:problem})
untersucht, d.h. es ist
\begin{eqnarray*}
f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n u_n(x).
\end{eqnarray*}

\begin{satz}[Entwicklungssatz, \cite{Heu:91}]
Vorgelegt sei die Sturm-Liouville-Aufgabe (\ref{st:li:problem}) mit den
Voraussetzungen (\ref{st:li:vor}). Dann gilt f\"ur jedes $f \in L^2(a,b)$
die Entwicklung
\begin{eqnarray*}
f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n u_n(x) \mbox{ mit } 
a_n := \int\limits_a^b w(x) f(x) u_n(x) dx
\end{eqnarray*}
im Sinne von:
\begin{eqnarray*}
\int\limits_a^b \left[ f(x) - \sum\limits_{k=1}^n a_k u_k(x) \right]^2 \to
0 \ \ (n \to \infty)
\end{eqnarray*}
und 
\begin{eqnarray*}
\int\limits_a^b w(x) \left[ f(x) - \sum\limits_{k=1}^\infty
a_k u_k(x) \right]^2 dx = 0.
\end{eqnarray*}
\end{satz}

Nach (\ref{st:li:problem}) ist
\begin{eqnarray*}
w(x) u_n(x) = \frac{1}{\lambda_n} \left( - \left( p(x) u_n(x)'\right)' - 
q(x) u_n(x) \right)
\end{eqnarray*} 
und somit ist 
\begin{eqnarray*}
a_n = - \frac{1}{\lambda_n} \int\limits_a^b \left( \left( p(x) u_n(x)' 
\right) ' + q(x) u_n(x) \right) f(x) dx.
\end{eqnarray*} 
Da $f$ 2-mal differenzierbar ist, liefert 2-maliges partielles Integrieren
\begin{eqnarray*}
a_n = -\frac{1}{\lambda_n} \left[ \left[ p(x) u_n'(x) f(x) - p(x) u_n(x) f'(x) 
\right] \big|_a^b + \int\limits_a^b h(x) u_n(x) w(x) dx, \right]
\end{eqnarray*}
mit $h(x) = \left( \left( p(x) f(x) \right) ' + q(x) f(x) \right) / w(x)$.

Ist nun $u_n(a) = u_n(b) = 0$, so erh\"alt man
\begin{eqnarray*}
a_n = \frac{1}{\lambda_n} \left[ p(a) u_n'(a) f(a) - p(b) u_n'(b) f(b) \right]
+ O \left( \frac{1}{\lambda_n} \right) \ \ \ \mbox{ f\"ur } n \to \infty,
\end{eqnarray*}
denn:
\begin{eqnarray*}
& & \left| \int\limits_a^b h(x) u_n(x) w(x) dx \right| ^2 = 
\left| \int\limits_a^b h(x) w^{1/2}(x) u_n(x) w^{1/2}(x) dx \right|^2  \\
&\le& \underbrace{\int\limits_a^b h^2(x) w(x) dx}_{\le C, \mbox{ da } h^2 
\mbox{ int}} \cdot \underbrace{\int\limits_a^b u_n^2(x) w(x) dx}_{=1 \ 
(\mbox{nach } (\ref{normierung}))} 
\ \ \ \ \ \ \mbox{ (nach der Schwarzschen Ungleichung)} \\
&=& O(1) \ \ \mbox{ f\"ur } n \to \infty.
\end{eqnarray*}

\begin{bem}
\label{bem:konvergenz:st}
In \cite{GoOr:77} wird gezeigt, dass die Folge der $a_n$ schneller f\"allt
als jede Potenz von $1/\lambda_n$ f\"ur $(n \to \infty)$. Dazu m\"ussen
folgende Bedingungen erf\"ullt sein: \\
$p(a) = p(b) = 0, \ \ p/w, \ p'/w \mbox{  und } q/w$ beschr\"ankt, 
alle Ableitungen von $f$ sind bzgl. $w$ quadratintegrabel.
\end{bem}

\section{Tschebyscheff-Polynome}

Im folgenden sollen nun als Basisfunktionen f\"ur die Darstellung von $u$
(siehe (\ref{endl_summe})) die
Tschebyscheff-Polynome angenommen werden, welche die Eigenfunktionen der 
folgenden Sturm-Liouville Aufgabe sind:
\begin{eqnarray*}
\left( \sqrt{1-x^2} T_k'(x) \right)' + \frac{k^2}{\sqrt{1-x^2}} T_k(x) = 0.
\end{eqnarray*}
Nach den Bezeichnungen des letzten Abschnittes ist:
\begin{eqnarray*}
p(x) &=& \sqrt{1-x^2}, \ \ w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \ \ q(x) = 0, \ \ 
-1 \le x \le 1, \\ T_k(-1)&=&(-1)^k, \ \ T_k(1) = 1.
\end{eqnarray*}
Die zu $T_k(x)$ geh\"orenden Eigenwerte sind $\lambda_k = k^2$. F\"ur diese
Funktionen sind
alle Voraussetzungen der Bemerkung (\ref{bem:konvergenz:st}) erf\"ullt. 
Demnach konvergiert die Reihenentwicklung nach Tschebyscheff-Polynomen einer
unendlich oft differenzierbaren Funktion schneller als jede Potenz von $1/k$ 
f\"ur ($k \to \infty)$.

$T_k$ ist gerade, wenn $k$ gerade ist, und 
$T_k$ ist ungerade, wenn $k$ ungerade ist. Fordert man noch, dass
$T_k(1) = 1$, so erh\"alt man folgende Darstellung:
\begin{eqnarray*}
T_k(x) = \cos(k \theta), \ \ \ \ \theta = \arccos(x).
\end{eqnarray*}
Offensichtlich bilden die $\{T_k(x), \ k=0,1,\ldots\}$ ein System
orthogonaler Polynome. Einige Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome sind
in \cite{CaHuQaZa:89} zu finden.

Die gesuchte Funktion $u \in L_w^2(-1,1)$ wird nun mittels 
Tschebyscheff-Polynomen 
(siehe auch (\ref{weierstrass})) entwickelt und man erh\"alt
\begin{eqnarray}
\label{u_reihe}
u(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty \hat{u}_k T_k(x), \ \ \ 
\hat{u}_k = \frac{2}{\pi c_k} \int\limits_{-1}^1 u(x) T_k(x) w(x) dx,
\end{eqnarray}
mit 
\begin{eqnarray}
\label{ck}
c_k = \left\{ \begin{array}{ll}
2, & \mbox{ wenn } k = 0 \\
1, & \mbox{ wenn } k \ge 1
\end{array} \right. 
\end{eqnarray}
und einer geeigneten Gewichtsfunktion $w$. Diese ergibt sich aus Satz
\ref{satz_GL_int} im Falle der Gau{\ss}-Lobatto-Knoten (f\"ur eine andere
Knotenwahl siehe \cite{CaHuQaZa:89}). F\"ur die Wahl der 
Kollokationspunkte kommen mehrere M\"oglichkeiten in Frage. Nachfolgend
sollen diese kurz mit der entsprechenden Gewichtsfunktion skizziert werden:

{\em Tschebyscheff-Gau{\ss}-Knoten}
\begin{eqnarray}
\label{Gauss_Knoten}
x_j = \cos \frac{(2j+1)\pi}{2N+2}, \ \ \ \ w_j = \frac{\pi}{N+1}, \ \ \ \
j=0,\ldots,N
\end{eqnarray}
{\em Tschebyscheff-Gau{\ss}-Radau-Knoten}
\begin{eqnarray}
\label{Gauss_Radau_Knote}
x_j = \cos\frac{2\pi j}{2N+1}, \ \ \ \ w_j = \left\{ \begin{array}{ll}
\dfrac{\pi}{2N+1}, & j = 0 \\*[0.3cm]
\dfrac{2\pi}{2N+2}, & 1 \le j \le N
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
{\em Tschebyscheff-Gau{\ss}-Lobatto-Knoten}
\begin{eqnarray}
\label{Gauss_Lobatto_Knoten}
x_j = \cos\frac{\pi j}{N}, \ \ \ \ w_j = \left\{ \begin{array}{ll}
\dfrac{\pi}{2N}, & j = 0, \ N \\*[0.3cm]
\dfrac{\pi}{N}, & 1 \le j \le N-1.
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
In der nachfolgenden Arbeit werden sowohl die Tschebyscheff-Gau{\ss} als auch
die Tscheby\-scheff-Gau{\ss}-Lobatto-Knoten von Bedeutung sein. 
Im Falle der Gau{\ss}-Lobatto-Knoten ergibt sich f\"ur den 
Interpolationsoperator $I_N: C^0[-1,1] \to \P_N$ speziell:
\begin{eqnarray}
\label{interpol:cheb:phys}
I_N u(x) = \sum\limits_{k=0}^N \tilde{u}_k T_k(x) 
\end{eqnarray}
mit
\begin{eqnarray}
\label{interpol:cheb:koeff}
\tilde{u}_k = \frac{2}{ N \bar{c}_k} \sum\limits_{j=0}^N \frac{1}{\bar{c}_j}
\cos \left( \frac{ kj \pi}{N} \right) u(x_j).
\end{eqnarray}

Die Transformation vom Physikalischen Raum (siehe (\ref{interpol:cheb:phys}) 
oder auch (\ref{phys_space}))
zum Frequenzraum (siehe (\ref{interpol:cheb:koeff}) oder auch 
(\ref{trans_space})) kann dann durch folgende Matrix beschrieben werden:
\begin{eqnarray*}
C_{kj} = \frac{2}{N \bar{c}_j \bar{c}_k} \cos \frac{\pi j k }{N},
\end{eqnarray*}
wobei
\begin{eqnarray*}
\bar{c}_j = \left\{ \begin{array}{ll}
2 , & j = 0,N \\
1 , & 1 \le j \le N-1.
\end{array} \right.
\end{eqnarray*}
Damit gilt: $\tilde{u} = C u$.

Die umgekehrte Transformation vom Frequenzraum zum Physikalischen
Raum ist gegeben durch
\begin{eqnarray}
\left( C^{-1} \right)_{jk} = \cos\frac{\pi j k }{N}.
\end{eqnarray}
Beide Transformationen kann man mit Hilfe der schnellen Fourier-Transformation
erhalten (der Aufwand betr\"agt dabei $\frac{5}{2} N log_2N + 4N$ Operationen;
siehe dazu \cite{CaHuQaZa:89}).

Die $\gamma_k$ ergeben sich nach (\ref{gamma_k}) und (\ref{Gauss_Knoten}) - 
(\ref{Gauss_Lobatto_Knoten}) wie folgt:
\begin{eqnarray*}
\gamma_k &=& \frac{\pi}{2} c_k \ \ \ \mbox{ f\"ur } k < N \\
\gamma_N &=& \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{\pi}{2} & \mbox{ f\"ur Gau{\ss} und Gau{\ss}-Radau Formeln} \\
\pi & \mbox{ f\"ur Gau{\ss}-Lobatto Formeln.}
\end{array} \right.
\end{eqnarray*}

F\"ur den Interpolationsoperator $I_N$ gelten folgende Fehlerabsch\"atzungen
(siehe auch \cite{QuVa:94}):
\begin{eqnarray*}
||u - I_N u ||_{L_w^2(-1,1)} & \le & C \cdot N^{-m} ||u||_{H_w^m(-1,1)}, \\
||u - I_N u ||_{H_w^k(-1,1)} & \le & C \cdot N^{2k-m} ||u||_{H_w^m(-1,1)}, \\
||u - I_N u ||_{L^\infty(-1,1)} & \le & C \cdot N^{\frac{1}{2}-m} 
||u||_{H_w^m(-1,1)}. 
\end{eqnarray*}
Dabei ist 
\begin{eqnarray*}
||u||_{H_w^m(-1,1)} = \left( \sum\limits_{k=0}^m \ \int\limits_{-1}^1 
|u_k(x)|^2 w(x) \ dx \right)^{1/2}.
\end{eqnarray*}
Auch hieran ist wiederum gut zu erkennen, dass die Approximationsg\"ute
von der Glattheit der Funktion $u$ abh\"angt.

\section{Ableitungen}

Im folgenden soll die Ableitung einer nach Tschebyscheff-Polynomen entwickelten
Funktion $u$ bestimmt werden. 
Nach (\ref{u_reihe}) gilt:
\begin{eqnarray*}
u(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty \hat{u}_k T_k(x).
\end{eqnarray*}
Ferner sei $u' \in L_w^2(-1,1)$ und 
da $T_0'(x) = 0$, ergibt sich die Ableitung von $u$ durch:
\begin{eqnarray*}
u'(x) = \sum\limits_{k=1}^\infty \hat{u}_k T_k'(x).
\end{eqnarray*}
Ziel ist es, die Ableitung von $u$ in der Form
\begin{eqnarray*}
u'(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty \hat{u}_k^{(1)} T_k(x)
\end{eqnarray*}
zu erhalten. Dazu ist es n\"otig, die Beziehung zwischen den $\hat{u}_k$ und
den $\hat{u}_k^{(1)}$ herzuleiten. 
Aus der Gleichung
\begin{eqnarray*}
2 \sin(\theta) \cos(k \theta) = \sin(k+1) \theta - \sin(k-1) \theta
\end{eqnarray*}
und der Definition der Tschebyscheff-Polynome erh\"alt man:
\begin{eqnarray}
\label{Cheb_gl}
2 T_k(x) = \frac{1}{k+1} T_{k+1}'(x) - \frac{1}{k-1} T_{k-1}'(x), \ \ 
k \ge 1. 
\end{eqnarray}
Dies liefert:
\begin{eqnarray}
\nonumber
u'(x) &=& \sum\limits_{k=0}^\infty \hat{u}_k^{(1)} T_k(x) \\ \nonumber
&=& \frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^\infty \hat{u}_k^{(1)} 2 T_k(x) + 
\hat{u}_0^{(1)} T_0(x) \\ \nonumber
&=& \frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^\infty
\hat{u}_k^{(1)} \left( \frac{1}{k+1} T_{k+1}'(x) - \frac{1}{k-1} 
T_{k-1}'(x) \right) + \hat{u}_0^{(1)} T_0(x) \\ \nonumber
&=& \frac{1}{2} \sum\limits_{k=2}^\infty \hat{u}_{k-1}^{(1)} \frac{1}{k}
T_k'(x) - \frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^\infty \hat{u}_{k+1}^{(1)} \frac{1}{k}
T_k'(x) + \hat{u}_0^{(1)} T_0(x) \\\nonumber 
&=& \frac{1}{2} \left( \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \left( 
\hat{u}_{k-1}^{(1)} - \hat{u}_{k+1}^{(1)} \right) T_k'(x) \right) - \frac{1}{2}
\hat{u}_0^{(1)} T_1'(x) + \hat{u}_0^{(1)} \underbrace{T_0(x)}_{= T_1'(x)} \\
\nonumber
&=& \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} \left( \hat{u}_{k-1}^{(1)} - 
\hat{u}_{k+1}^{(1)} \right) T_k'(x) + \frac{1}{2} \hat{u}_0^{(1)} T_1'(x) \\
\label{u_k_gl}
\Rightarrow 2 k \hat{u}_k &=& c_{k-1} \hat{u}_{k-1}^{(1)} -
\hat{u}_{k+1}^{(1)}, \ \ \ \ k \ge 1,
\end{eqnarray}
mit den $c_k$ wie in (\ref{ck}).
Will man nun ein Polynom $N$-ten Grades differenzieren, so ist $\hat{u}_k^{(1)}
= 0$, $\forall k \ge N$. Dann kann man Gleichung (\ref{u_k_gl}) umstellen und
erh\"alt
\begin{eqnarray*}
c_k \hat{u}_k^{(1)} = \hat{u}_{k+2}^{(1)} + 2(k+1) \hat{u}_{k+1}, \ \ \ 
0 \le k \le N-1.
\end{eqnarray*}
Damit ergibt sich f\"ur die $\hat{u}_k^{(1)}$ durch rekursives 
Einsetzen folgende Formel:
\begin{eqnarray*}
\hat{u}_k^{(1)} = \frac{2}{c_k} \sum\limits^\infty_{{p=k+1} \atop
{p+k \ ungerade}} p \hat{u}_p.
\end{eqnarray*}
Auf diese Weise erh\"alt man auch die Koeffizienten der $q$-ten Ableitung, 
denn es gilt:
\begin{eqnarray*}
c_k \hat{u}_k^{(q)} = \hat{u}_{k+2}^{(q)} + 2(k+1) \hat{u}_{k+1}^{(q-1)}, 
\ \ \ 0 \le k \le N-1.
\end{eqnarray*}
Die Ableitung der Funktion $u$ der Tschebyscheff-Kollokation wird nun definiert
als die Ableitung der diskreten Tschebyscheff-Entwicklung von $u$ an den
gleichen Knoten, d.h.
\begin{eqnarray*}
{\cal D}_N u = (I_N u)'.
\end{eqnarray*}
In Matrix-Schreibweise liefert dies
\begin{eqnarray*}
({\cal D}_N u)(x_l) = \sum\limits_{j=0}^N (D_N)_{lj} u(x_j), \ \ \ l=0,
\ldots, N.
\end{eqnarray*}
Zur Berechnung der Matrixeintr\"age $(D_N)_{lj}$ 
verwendet man das $N$-te Lagrange-Interpola\-tionspolynom $h_j$ an den
St\"utzstellen $x_i$, wobei gilt:
\begin{eqnarray*}
h_j(x_i) = \delta_{ij}\ \ \ \ \forall \ j = 0, \ldots, N.
\end{eqnarray*}
$h_j$ ist gegeben durch:
\begin{eqnarray*}
h_j(x) = \prod\limits_{i=0,i \neq j}^N 
\frac{x - x_i}{x_j - x_i} = \frac{(-1)^{j+1} (1-x^2) T_N'(x)}
{\bar{c}_j N^2 ( x - x_j)}\ \ \ \forall \ j = 0, \ldots, N.
\end{eqnarray*}
Die Eintr\"age $(D_N)_{lj}$ erh\"alt man nun durch Differentiation der $h_j$.
F\"ur den Spezialfall der Gau{\ss}-Lobatto-Knoten ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
(D_N)_{lj} = \left\{ \begin{array}{cl}
\dfrac{\bar{c}_l}{\bar{c}_j} \dfrac{(-1)^{l+j}}{x_l - x_j}, & l \neq j
\\*[0.4cm]
\dfrac{-x_j}{2(1-x_j^2)}, & 1 \le l = j \le N-1 \\*[0.4cm]
\dfrac{2N^2 + 1}{6}, & l = j = 0 \\*[0.4cm]
- \dfrac{2N^2+1}{6}, & l = j = N.
\end{array} \right.
\end{eqnarray*}
F\"ur die erste Ableitung ist der Interpolationsfehler gegeben durch
(siehe auch \cite{QuVa:94}):
\begin{eqnarray*}
||u' - (I_N u)'||_{L_w^2(-1,1)} \le C \cdot N^{2-m} ||u||_{H_w^2(-1,1)}.
\end{eqnarray*}