\begin{appendix}

\chapter{Singularit\"atenfunktionen}\label{anhang_A}


\section{Singularit\"atenfunktionen f\"ur die $NS1$-Methode}
\label{anhang_A1}

Die singul\"aren Anteile $(\tilde{\vec{u}},\tilde{p})$ erh\"alt man
aus $\psi^s$, $s=A,B$. In Bezug auf die Ecke $A=(0,1)$ erh\"alt man:
\begin{eqnarray*}
x = r \cdot \cos(\theta), \ \ \ 
y = 1 + r \cdot \sin(\theta),
\end{eqnarray*}
mit $\theta \in [-\pi / 2, 0]$. 

Dann hat $\psi^A$ die folgende Darstellung (siehe Moffatt \cite{HKMo:64}):
\begin{eqnarray*}
\psi^A = r \ f_1^A(\theta),
\end{eqnarray*}
mit 
\begin{eqnarray*}
f_1^A(\theta) = \frac{1}{\alpha} \left( \theta \cos(\theta) - \left(
\frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2} \theta \right) \sin(\theta) \right)
\end{eqnarray*}
Die Geschwindigkeit, der Druck sowie die Wirbelfunktion haben die 
Darstellung
\begin{eqnarray*}
u_{11}^A = v_{11}^A(\theta), \ \ \ u_{21}^A = v_{21}^A(\theta), \ \ \ 
p^A = r^{-1} \ p_1^A(\theta,RE), \ \ \ \omega^A = r^{-1} \ \omega_1^A(\theta),
\end{eqnarray*}
mit 
\begin{eqnarray*}
v_{11}^A(\theta) &=& \frac{1}{\alpha} \left( \frac{1}{2} - \frac{\pi^2}{4}
- \frac{\pi}{2} \theta + \frac{1}{2} \cos(2\theta) - \frac{\pi}{4} 
\sin(2 \theta) \right), \\
v_{21}^A(\theta) &=& \frac{1}{\alpha} \left( - \theta - \frac{\pi}{4} + 
\frac{1}{2} \sin(2 \theta) + \frac{\pi}{4} \cos (2\theta) \right), \\
p_1^A(\theta,Re) &=& \frac{1}{\alpha Re} \left( 2 \cos(\theta) - \pi 
\sin(\theta) \right),  \\
\omega_1^A(\theta) &=& \frac{1}{\alpha} \left( \pi \cos(\theta) + 
2 \sin(\theta) \right),
\end{eqnarray*}
wobei 
\begin{eqnarray*}
\alpha = \pi^2 / 4 - 1.
\end{eqnarray*}
Im Punkt $B=(1,1)$ sind $x$ und $y$ definiert durch:
\begin{eqnarray*}
x = 1 + r \cdot \cos(\theta), \ \ \ y = 1 + r \cdot \sin(\theta),
\end{eqnarray*}
wobei $\theta \in [\pi, 3\pi / 2]$. Die L\"osungen in der N\"ahe dieses
Punktes lauten:
\begin{eqnarray*}
\psi^B &=& r \ f_1^B(\theta) = r \ f_1^A(\pi - \theta) \\
u_{11}^B &=& v_{11}^B (\theta) = v_{11}^A(\pi - \theta) \\
u_{21}^B &=& v_{21}^B (\theta) = - v_{21}^A(\pi - \theta) \\
p^B &=& p_1^B(r, \theta) = -p_1^A(r, \pi - \theta) \\
\omega^B &=& \omega_1^B (r, \theta) = \omega_1^A (r, \pi - \theta)
\end{eqnarray*}

\section{Singularit\"atenfunktionen f\"ur die $NS2$-Methode}
\label{anhang_A2}

Analog zur $NS1$-Methode w\"ahlt man $x$, $y$, $r$ und $\theta$ zur Ecke
$A$ wie in \ref{anhang_A1}. $\psi^A$ ist definiert durch:
\begin{eqnarray*}
\psi^A = r \ f_1^A(\theta) + r^2 f_2^A(\theta,Re),
\end{eqnarray*}
mit
\begin{eqnarray*}
f_2^A= Re \ \left( A_0 + A_1 \theta + (-A_0 + B_1 \theta + B_2 \theta^2 ) 
\cos(2\theta) + (C_0 + C_1 \theta + C_2 \theta^2) \sin(2 \theta)
\right).
\end{eqnarray*}
Druck, Geschwindigkeit und Wirbelfunktion gen\"ugen folgenden Gleichungen:
\begin{eqnarray*}
u_{12}^A &=& v_{11}^A(\theta) + v_{12}^A(\theta,Re), \ \ 
u_{22}^A = v_{21}^A(\theta) + v_{22}^A(\theta,Re), \\
p^A &=& r^{-1}p_1^A(\theta,Re) + p_2^A \ln r, \ \ 
\omega^A = r^{-1} \ \omega_1^A(\theta) + \omega_2^A(\theta,Re),
\end{eqnarray*} 
wobei
\begin{eqnarray*}
v_{12}^A(\theta,Re) &=& RE \left\{ \left( 2 C_2 \theta^2 + (2 C_1 + B_2) \theta
+ A_1 + \frac{1}{2} B_1 + 2 C_0 \right)  \cos(\theta) + \left( \frac{1}{2} B_1
+ B_2 \theta \right) \cos(3 \theta) \right. \\
& & \left. + \left( -2 B_2 \theta^2 + (C_2 - 2B_1
+ 2A_1) \theta + 4 A_0 + \frac{1}{2} C_1 \right) \sin(\theta) + 
\left( C_2 \theta + \frac{1}{2} C_1 \right) \sin(3 \theta) \right\}, \\
v_{22}^A(\theta,Re) &=& Re \left\{ \left( -2 B_2 \theta^2 + (-2B_1 + C_2 - 2
A_1) \theta + \frac{1}{2} C_1 \right) \cos(\theta) - \left( \frac{1}{2} C_1
+ C_2 \theta \right) \cos(3 \theta) \right. \\
& & \left. + \left( -2 C_2 \theta^2- (B_2 + 2 C_1) \theta + A_1 - 2C_0 - 
\frac{1}{2} B_1 \right) \sin(\theta) + \left( \frac{1}{2} B_1 + B_2 \theta
\right) \sin(3 \theta) \right\}, \\
p_2^A &=& \pi^2 (8 - \pi^2) / (64 \alpha^2), \\
\omega_2^A(\theta,Re) &=& 2 Re \left\{ - ( 4 C_2 \theta + 2C_1 + B_2 ) 
\cos(2 \theta) + (4 B_2 \theta + 2 B_1 - C_2) \sin(2 \theta) - 2 A_0 - 2A_1 
\theta \right\},
\end{eqnarray*}
mit
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{ll}
\alpha = \pi^2 / 4 -1, & A_0 = -\pi (\pi^4+14\pi^2-24)/(1024 \alpha^2), \\
A_1 = -\pi^2/(\pi^2+8)/(256 \alpha^2), & B_1 = -(\pi^2+12)/(128 \alpha^2), \\
B_2 = -\pi/(16 \alpha^2), & C_0 = (\pi^4 + 10 \pi^2 + 24)/(512 \alpha^2), \\
C_1 = \pi (\pi^2+6)/(64 \alpha^2), & C_2 = (\pi^2-4)/(64 \alpha^2).
\end{array}
\end{eqnarray*}
In Bezug auf die Ecke $B$ sind $x$, $y$, der Radius und der Winkel 
gem\"a{\ss} \ref{anhang_A1} zu w\"ahlen. Hier hat die singul\"are L\"osung
folgende Darstellung:
\begin{eqnarray*}
\psi^B &=& r \ f_1^B(\theta) + r^2 \ f_2^B(\theta,Re), \\
u_{12}^B &=& v_{11}^B(\theta) + r \ v_{12}^B(\theta,Re), \\
u_{22}^B &=& v_{21}^B(\theta) + r \ v_{22}^B(\theta,Re), \\
p^B &=& r^{-1} \ p_1^B(\theta,Re) + p_2^B \ln r, \\
\omega^B &=& r^{-1} \ \omega_1^B(\theta) + \omega_2(\theta,Re),
\end{eqnarray*}
mit
\begin{eqnarray*}
f_2^B(\theta,Re) &=& -f_2^A(\pi-\theta,Re), \\
u_{12}^B(\theta,Re) &=& -u_{12}^A(\pi-\theta,Re), \\
u_{22}^B(\theta,Re) &=& u_{22}^A(\pi-\theta,Re), \\
p_2^B &=& p_2^A, \\
\omega_2^B(\theta,Re) &=& -\omega_2^A(\pi-\theta,Re).
\end{eqnarray*}

\end{appendix}