\documentstyle[german,12pt,titlepage,isolatin1,a4,epsf]{report}

%Macros definieren

%Trennungsregeln

\hyphenation{Man-nig-fal-tig-keit Man-nig-fal-tig-kei-ten Zwangs-be-ding-ung
Zwangs-be-ding-ung-en Funk-tio-nal-in-te-gral Funk-tio-nal-in-te-gral-dar-stell-ung
Rie-mann-sche Rie-mann-schen Min-kows-ki-raum dar-stel-lungs-tech-ni-schen
ver-all-ge-mei-ner-ten}

%Kalligraphische Buchstaben

\newcommand{\cA}{{\cal A}}
\newcommand{\cC}{{\cal C}}
\newcommand{\cD}{{\cal D}}
\newcommand{\cE}{{\cal E}}
\newcommand{\cF}{{\cal F}}
\newcommand{\cG}{{\cal G}}
\newcommand{\cH}{{\tilde {\cal H}}}
\newcommand{\cJ}{{\tilde {\cal J}}}
\newcommand{\cK}{{\cal K}}
\newcommand{\cL}{{\cal L}}
\newcommand{\cM}{{\cal M}}
\newcommand{\cN}{{\cal N}}
\newcommand{\cO}{{\cal O}}
\newcommand{\cP}{{\cal P}}
\newcommand{\cQ}{{\cal Q}}
\newcommand{\cR}{{\cal R}}
\newcommand{\cS}{{\cal S}}
\newcommand{\cT}{{\cal T}}
\newcommand{\cV}{{\cal V}}


%Roman Buchstaben

\newcommand{\dd}{\mbox{d}}
\newcommand{\DD}{\mbox{D}}

%Griechische Buchstaben

\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\ga}{\gamma}
\newcommand{\de}{\delta}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\th}{\vartheta}
\newcommand{\tth}{\theta}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\ka}{\kappa}
\newcommand{\si}{\sigma}
\newcommand{\ph}{\varphi}
\newcommand{\Ch}{\raisebox{.07 cm}{$\chi$}}
\newcommand{\ch}{\raisebox{.07 cm}{${\tilde \chi}$}}
\newcommand{\ches}{\raisebox{.03 cm}{\footnotesize{${\tilde \chi}$}}}
\newcommand{\ps}{\psi}
\newcommand{\ro}{\varrho}
\newcommand{\om}{\omega}

\newcommand{\De}{\Delta}
\newcommand{\Th}{\Theta}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\Ga}{\Gamma}

%Mannigfaltigkeiten

\newcommand{\Mx}{{{\cal M}_3}}
\newcommand{\Mt}{{{\cal M}_4}}
\newcommand{\Mf}{{{\cal M}_2}}
\newcommand{\Me}{{{\cal E}_3}}
\newcommand{\Cs}{\cC_{\mbox{\footnotesize{$s$}}}}

%Wortindizes

\newcommand{\ADM}{{\mbox{\scriptsize{$ADM$}}}}
\newcommand{\YM}{{\mbox{\scriptsize{$YM$}}}}
\newcommand{\ges}{{\mbox{\scriptsize{$ges$}}}}
\newcommand{\phy}{{\mbox{\scriptsize{$phys$}}}}
\newcommand{\gau}{{\mbox{\scriptsize{$G$}}}}
\newcommand{\dif}{{\mbox{\scriptsize{$D$}}}}
\newcommand{\ham}{{\mbox{\scriptsize{$H$}}}}
\newcommand{\CS}{{\mbox{\scriptsize{$CS$}}}}
\newcommand{\co}{{\mbox{\scriptsize{$cos$}}}}
\newcommand{\pl}{{\mbox{\scriptsize{$Pl$}}}}
\newcommand{\che}{{\mbox{\scriptsize{$\chi$}}}}

%Metrische Variablen

\newcommand{\sh}{\sqrt{h}}
\newcommand{\Rt}{{\, ^4 \! R}}
\newcommand{\hh}{\mbox{\boldmath{$h$}}}
\newcommand{\bg}{\mbox{\boldmath{$g$}}}
\newcommand{\Gsu}{\tilde G^{i j k \ell}}
\newcommand{\cHA}{\cH_0^\ADM}
\newcommand{\piij}{\tilde \pi^{i j}}
\newcommand{\Gsd}{\raisebox{-1.9 ex}{$\tilde {\ }$}\!\!\! G_{i j k \ell}}

\newcommand{\pp}{{\mbox{\raisebox{.06 cm}{\footnotesize{$[$}}} \hspace{-.06 cm}
  \mbox{\raisebox{-.03 cm}{\large h}}  }}
\newcommand{\ppt}{{\mbox{\raisebox{.09 cm}{\footnotesize{$[$}}} \hspace{-.06 cm}
  \mbox{\raisebox{-.00 cm}{\large h}}  }}
\newcommand{\pps}{{\mbox{\raisebox{.07 cm}{\scriptsize{$[$}}} \hspace{-.06 cm}
    \mbox{\raisebox{0 cm}{\normalsize h}} }}
\newcommand{\So}{\cS_{\CS} [ \om_{i a} ] }
\newcommand{\bQ}{{\mbox{\boldmath{$\cQ$}}}}
\newcommand{\bbQ}{\mbox{\boldmath{$\bar \cQ$}}}
\newcommand{\bk}{\mbox{\boldmath{$k$}}}
\newcommand{\bn}{\mbox{\boldmath{$n$}}}
\newcommand{\bnu}{\mbox{\boldmath{$0$}}}

%Integrale, Differentialoperatoren und Deltafunktion

\newcommand{\dexy}{\de^3(x-y)}

\newcommand{\idx}{\int \dd^3 x \,}
\newcommand{\idy}{\int \dd^3 y \,}
\newcommand{\idz}{\int \dd^3 z \,}
\newcommand{\idxM}{\int\limits_\Mx \!\! \dd^3 x \,}
\newcommand{\idt}{\int\limits_{t_1}^{t_2} \, \dd t}
\newcommand{\ifu}{\int \cD^9}
\newcommand{\bint}{\int \mbox{\hspace{-.47 cm}} \int}
\newcommand{\ifA}{\int\limits_{\mbox{\small$\Ga$}} \cD^9 [ \Aia ] }
\newcommand{\ids}{\int\limits_0^1 \dd s \,}
\newcommand{\idu}{\int\limits_0^1 \dd u \,}

\newcommand{\bd}{\mbox{\boldmath{$d$}}}
\newcommand{\na}{\nabla \!}
\newcommand{\pa}{\partial}
\newcommand{\vn}{{\vec \na}}
\newcommand{\bsi}{\mbox{\boldmath{$\si$}}}


%Mengensymbole

\newcommand{\CC}{\mbox{{\footnotesize{C}}} \mbox{\hspace{-.19 cm}}
   \raisebox{.07 cm}{\tiny  $|$}} 
\newcommand{\RR}{\mbox{\raisebox{-.03 cm}{R} \hspace{-.60 cm}
   \raisebox{.045 cm}{{\scriptsize $|$}}}\ \,}
\newcommand{\RRt}{\mbox{\raisebox{-.00 cm}{R} \hspace{-.60 cm}
   \raisebox{.075 cm}{{\scriptsize $|$}}}\ \,}
\newcommand{\RRs}{\mbox{\footnotesize{R} \hspace{-.625 cm} \raisebox{.07 cm}{
 \tiny{$|$}}} \ \, }
\newcommand{\ZZ}{\mbox{\raisebox{.16 cm}{{\small{\bf--}}}\hspace{-.155 cm}} 
  \mbox{\raisebox{.048 cm}{{\scriptsize  / }}}\mbox{\hspace{-.44 cm} \raisebox{.048 cm}
  {{\scriptsize / }}\hspace{-.4 cm} \raisebox{-.14 cm}{{\small{\bf --}}}} }

%Sonstiges

\newcommand{\re}[1]{(\ref{eq:#1})}
\newcommand{\kopf}[1]{\markright{$_{_{_{_{\overline{\mbox{\hspace{\textwidth}}}}}}}$
  $\mbox{\hspace{- 1.02 \textwidth}}$
  {\sc #1}}}
\newcommand{\qu}{, \hspace{-1.7 ex} ,\/ }
\newcommand{\eex}{\mbox{\hspace{.2 cm}} \raisebox{.25 cm}{$!$} 
   \mbox{\hspace{-.33 cm}} =}
\newcommand{\lex}{\ \ \raisebox{1.8 ex}{$!$}\!\!\!\!\! \leq}
\newcommand{\Det}{\mbox{Det}}
\newcommand{\Tr}{\mbox{Tr}}
\newcommand{\tr}{\mbox{\scriptsize{T}}}
\newcommand{\diag}{\mbox{diag}}
\newcommand{\Gl}[1]{{\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize{$#1$}} \\[-.5 ex] = \\[-.5 ex]
  \mbox{\scriptsize{$\ $}} \end{array}}}
\newcommand{\fr}[2]{\mbox{\small{$\frac{#1}{#2}$}}}
\newcommand{\vr}{\mbox{\raisebox{.23 cm}{\tiny{$\rightharpoonup$}} 
  \hspace{-.39 cm}} r \,}

%Triaden

\newcommand{\ee}{\mbox{\boldmath{$e$}}}
\newcommand{\ve}{\vec e}
\newcommand{\e}[2]{{\tilde e}^{\, #1} \  \!\!_{#2}}
\newcommand{\ue}[2]{e^{#1}\ \!\!_{#2}}
\newcommand{\eia}{\e{i}{a}}
\newcommand{\eib}{\e{i}{b}}
\newcommand{\eja}{\e{j}{a}}
\newcommand{\esia}{{\tilde e'}\,\!^i \, \!_{a}}
\newcommand{\esu}[1]{{e'} \, \!\!_{#1}}
\newcommand{\deia}{\begin{array}{c}  \, \dot{\ } \\[-.43 cm] {\tilde e} \\[-.43 cm] \ 
\end{array} \, \!\!\!^{i} \  \!\!_{a}}
\newcommand{\cOm}{{\mbox{\boldmath{$\Om$}}}}
\newcommand{\bEi}{\mbox{\boldmath{$1$}}}
\newcommand{\IC}{I ( \cOm ) } 
\newcommand{\vxpm}[1]{{\vec \xi} \mbox{\hspace{-.1 cm}
  \raisebox{.21 cm}{\scriptsize{$\pm$}} \hspace{-.4 cm}}_{#1}}
\newcommand{\vxp}[1]{{\vec \xi} \mbox{\hspace{-.1 cm}
  \raisebox{.23 cm}{\scriptsize{$+$}} \hspace{-.4 cm}}_{#1}}
\newcommand{\vxm}[1]{{\vec \xi} \mbox{\hspace{-.1 cm}
  \raisebox{.23 cm}{\scriptsize{$-$}} \hspace{-.4 cm}}_{#1}}
\newcommand{\im}{\imath}
\newcommand{\vi}{\vec \im}
\newcommand{\vip}{\vec \im \,^{+} \!\!\!\!}
\newcommand{\vim}{\vec \im \,^{-} \!\!\!\!}
\newcommand{\vipm}{\vec \im \,^{\pm} \!\!\!\!}
\newcommand{\bi}{\mbox{\boldmath{$\im$}}}
\newcommand{\ii}[2]{\tilde \im^{\, #1} \, \!_{#2}}
\newcommand{\ud}[2]{d^{\, #1} \, \!_{#2}}
\newcommand{\di}[2]{\tilde \ud{#1}{#2}}
\newcommand{\vd}{{\vec d}}
\newcommand{\vg}{{\vec g}}
\newcommand{\bom}{\mbox{\boldmath{$\om$}}}
\newcommand{\bs}{{\mbox{\boldmath{$\cS$}}}_{\CS}}
\newcommand{\bF}{\mbox{\boldmath{$F$}}}

%Ashtekarfelder

\newcommand{\Gu}[1]{\, {\tilde{\cal G}}^{#1}_{\La}}
\newcommand{\tGij}{\, {\tilde G^i_{\La, j}}}
\newcommand{\tGia}{\, {\tilde G^i_{\La , a}}}
\newcommand{\G}[2]{\, {\tilde{\cal G}}^{#1}_{\La, #2}}
\newcommand{\Aia}{\cA_{i a}}
\newcommand{\Gia}{\G{i}{a}}
\newcommand{\SA}{{\cS_{\CS} [ \Aia ] }}

%Yang-Mills Felder


\newcommand{\E}[2]{{\tilde E}^{#1} \ \!\!_{#2}}
\newcommand{\Eia}{\E{i}{\al}}
\newcommand{\yB}[2]{{\tilde B}^{#1} \ \!\!_{#2}}
\newcommand{\Bia}{\yB{i}{\al}}
\newcommand{\gb}[2]{{\tilde b}^{\, #1} \ \!\!_{#2}}
\newcommand{\bia}{\b{i}{a}}
\newcommand{\yA}{\cA}
\newcommand{\yF}{\cF}
\newcommand{\Cabg}{C_{\al \be \ga}}
\newcommand{\yJ}{{\cJ}}
\newcommand{\yT}[1]{\raisebox{.9 ex}{${\tilde{\ }}$}
    \mbox{\hspace{-1.4 ex}} \tilde{\cT}^{\, #1}}

%Levi-Cevitta Symbole

\newcommand{\tep}{\tilde{\ep}}
\newcommand{\eijk}{\tep^{i j k}}
\newcommand{\eabc}{\ep_{a b c}}
\newcommand{\ute}{\raisebox{-1.9 ex}{$\tilde {\ }$}\!\!  \ep}


%Klammern

\newcommand{\bA}[1]{\left ( #1 \right ) }
\newcommand{\bB}[1]{\left [ \, #1 \, \right ] }
\newcommand{\bC}[1]{\left \{ #1 \right \} }
\newcommand{\bAB}[1]{\Bigg ( #1 \Bigg ) }
\newcommand{\bCB}[1]{\Big \{ #1 \Big \} }
\newcommand{\bBB}[1]{\Bigg [ #1 \Bigg ] }
\newcommand{\bBC}[1]{\bigg [ #1 \bigg ] }
\newcommand{\Si}{\Big}
\newcommand{\xx}{.3 cm}
\newcommand{\yy}{.2 cm}
\newcommand{\bD}[2]{\Si \langle  #1 \Si | #2  \Si \rangle }
\newcommand{\ns}{\mbox{\hspace{-.04 cm}}}
\newcommand{\bE}[2]{\Si \langle \!\! \Si \langle  #1 \Si | \ns \Si | #2  \Si \rangle \!\! \Si \rangle}
\newcommand{\bES}{\langle \! \langle \cdot | | \cdot \rangle \! \rangle}
\newcommand{\bN}[1]{\Si | \ns \Si | #1 \Si | \ns \Si |}

%Strukturmatrizen

\newcommand{\bm}{{\mbox{\boldmath{$m$}}}}
\newcommand{\bM}{{\mbox{\boldmath{$M$}}}}
\newcommand{\bbe}[1]{\mbox{$#1 \!\!$ \boldmath{$\be$}}}
\newcommand{\vx}{{\vec \xi}}
\newcommand{\vy}{{\vec \eta}}
\newcommand{\bLa}{{\mbox{\boldmath{$U$}}}}
\newcommand{\vxs}{\vx_a \!\! \raisebox{.5 ex}{$\,'$}}
\newcommand{\bX}{{\mbox{\boldmath{$X$}}}}
\newcommand{\bEM}{{\mbox{\boldmath{$E$}}}}
\newcommand{\bO}{{\mbox{\boldmath{$O$}}}}
\newcommand{\bbex}{{\mbox{\footnotesize{\boldmath{$\be$}}}}}
\newcommand{\mbe}[1]{{\big ( e^{\bbex} \big ) \,\!_{#1}}}
\newcommand{\Oa}[1]{O \mbox{\raisebox{.25 cm}{\scriptsize{$(\al )$}} 
  \hspace{-.55 cm}}_{#1} \ }
\newcommand{\ebex}{\mbox{\normalsize{$e$}} \,^{\bbex}}

%Wellenfunktionen

\newcommand{\hb}{\hbar}
\newcommand{\Ps}{{ | \Psi \rangle}}
\newcommand{\Pse}{\Psi [ \eia ] }
\newcommand{\PseA}{\Psi [ \eia , \yA_{i \al} ] }
\newcommand{\PC}{\Psi_{\CS}}
\newcommand{\PCe}{\PC [ \eia ]}
\newcommand{\tv}{\tilde \upsilon}
\newcommand{\cur}{{\tilde \jmath}}

%Asymptotik

\newcommand{\mi}{\mu \to \infty}
\newcommand{\ku}{\ka \to \infty}
\newcommand{\kn}{\ka \to 0}
\newcommand{\as}[2]{{\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize{$#1$}} \\[-.5 ex] \sim \\[-.5 ex]
  \mbox{\scriptsize{$#2$}} \end{array}}}
\newcommand{\pr}[2]{{\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize{$#1$}} \\[-.5 ex] \propto \\[-.5 ex]
  \mbox{\scriptsize{$#2$}} \end{array}}}


%Ende Macros



%Seitenstil definieren
 \pagestyle {myheadings}
 \setlength{\headsep}{1.2 cm}
 \setlength{\headheight}{.5 cm}
 %\setlength{\topmargin}{1 cm}
 \setlength{\topskip}{0.3 cm}
 %\setlength{\textwidth}{17.5 cm}
 \setlength{\oddsidemargin}{1 cm}
 \setlength{\evensidemargin}{1 cm}
 %\setlength{\footskip}{3 cm} 


%Zeigerdeklaration
 \setcounter {secnumdepth}{5}
 \setcounter {tocdepth}{5}
        
%Absatzabstand festlegen
 \parskip 1.5ex plus 0.5ex minus 0.5ex
 \parindent 2ex

\begin{document}



%Titelblatt deklarieren



\thispagestyle{empty}
\hspace{1 cm}
 
\begin{center}
 
\vspace{-2 cm}

{\Huge{\bf Triadendarstellung des}} 
 
\vspace{.2 cm}
  
{\Huge{\bf Chern-Simons-Zustands der}} 
 
\vspace{.4 cm}
  
{\Huge{\bf Quantengravitation}}
  
   
\vspace{1.5 cm}
  
{\large{\bf Dissertation}}
  
\vspace{0 cm}
    
{\large{\bf von}}
   
\vspace{0 cm}
   
{\large{\bf Robert Paternoga}}
  

\vspace{1 cm} 

{\large zum Erlangen des Doktorgrades Dr.~rer.~nat.}

\vspace{1.5 cm}

{\large {\bf Erster Gutachter:} Prof.~Dr.~Dr.~Robert Graham

\vspace{0 cm}

{\bf Zweiter Gutachter:} Prof.~Dr.~Fritz Haake

\vspace{.1 cm}

{\bf Dritter Gutachter:} Prof.~Dr.~Claus Kiefer$^*$}

   
\vspace{1 cm}

   
{\large Disputation am 20.04.2000}
   
\vspace{.5 cm}
   
\leavevmode
   \epsfxsize=  3 cm
   \epsffile{Logo.eps} 
   
\vspace{.3 cm}
   
{\large Vorgelegt dem Fachbereich Physik
   
\vspace{0 cm}

der Universität-GH Essen
   
\vspace{0.1 cm}

Dezember 1999}
  
\end{center}

\vspace{1 cm}

\begin{flushright}
   \footnotesize{$^*$ Universität Freiburg i.~Br.}
\end{flushright}
  
% Inhaltsverzeichnis erzeugen

\kopf{Inhaltsverzeichnis}
\addtocontents{toc}{\protect \thispagestyle{empty} } 
\tableofcontents




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Einleitung}
\label{Kap1}
\kopf{Kapitel 1: Einleitung}
\thispagestyle{empty}

Eine konsistente Formulierung der Quantengravitation gilt seit nunmehr fast
vier Jahrzehnten als eines der fundamentalsten Probleme der theoretischen Physik.
Im Laufe der Zeit haben sich hierbei im wesentlichen zwei verschiedene Zugänge zur
Quantisierung der Gravitation etabliert, die heute weitgehend unabhängig voneinander
existieren: Zum einen gibt es die String- und Superstringtheorien \cite{Hen, Gre},
die allerdings mit einem drastischen Umbruch des physikalischen Weltbildes
verbunden sind - zum anderen besteht eine wichtige, vergleichsweise konservative
Idee in einer \emph{kanonischen} Quantisierung der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Erste Ansätze zur kanonischen Quantisierung der Gravitation enstanden Anfang der
sechziger Jahre \cite{ADM, Wheel}, wobei ursprünglich die \emph{metrische} Darstellung
der klassischen Einsteinschen Relativitätstheorie als Ausgangspunkt diente.
Diese naheliegende Darstellung, in der die Komponenten der 3-Metrik raumartiger
Hyperflächen konstanter Zeit als Konfigurationsraumvariablen fungierten, erwies sich
jedoch bald als relativ ungünstig; insbesondere nahmen die Zwangsbedingungen der
Gravitation in den metrischen Variablen eine komplizierte, nichtpolynomiale Form an,
so daß sich eine explizite Angabe von Quantenzuständen als schwierig erwies.

Einen neuen Anstoß erhielt die kanonische Quantisierung der Gravitation vor gut einem
Jahrzehnt über Ashtekars Entdeckung einer alternativen Formulierung der Allgemeinen
Relativitätstheorie \cite{Ash1, Ash2}. In dieser \emph{Ashtekar-Darstellung} spielten
komplexe \emph{Eichfelder} einer lokalen Eichgruppe die Rolle der fundamentalen
Variablen, womit die Gravitationstheorie eine bemerkenswerte Analogie zur 
\emph{Yang-Mills-Theorie} aufwies \cite{Ash1}. Einige der aus der Yang-Mills-Theorie
bekannten Ideen und Konzepte ließen sich deshalb unmittelbar auf die Gravitationstheorie
übertragen, was viele neue Ergebnisse und Einsichten zur Folge hatte:
So konnte beispielsweise die für die Yang-Mills-Theorie erst kurz zuvor entwickelte
\emph{Loop-Darstellung} \cite{Gam} auch für die Allgemeine 
Relativitätstheorie formuliert
werden \cite{Ash1, Rov1, Thie}. Dies offenbarte einen überraschenden 
Zusammenhang zwischen der 
Gravitations- und der \emph{Knotentheorie} \cite{Rov1, Bm1}, denn 
Quantenzustände der
Gravitation ergaben sich in der Loop-Darstellung als spezielle \emph{Knoteninvarianten}
geschlossener Kurven auf der räumlichen 3-Mannigfaltigkeit. Im Rahmen diskretisierter
Modelle der Gravitation, der sogenannten Quanten-Spin-Netzwerke \cite{Maj, Rov2}, 
erhielt die Loop-Darstellung später sogar ein mathematisch rigoroses Fundament. 

Die Entdeckung der Ashtekarvariablen lieferte weiterhin eine
einfache, \emph{polynomiale} Form für die Zwangsbedingungen der Quantengravitation,
womit erstmals eine explizite Angabe exakter Quantenzustände möglich wurde. Insbesondere
fand man den \emph{Chern-Simons-Zustand} der Quantengravitation \cite{Ble, Kod},
dessen Loop-Darstellung in engem Zusammenhang mit der sogenannten 
\emph{Kauff\-man-\-Klam\-mer} stand \cite{Kauf}. Später konnten in Verbindung mit der
Knotentheorie weitere, kompliziertere Wellenfunktionale des Gravitationsfeldes
konstruiert werden \cite{Grieg, Bm2}; 
allerdings blieb der Chern-Simons-Zustand die einzige
Lösung der quantisierten Einsteingleichungen mit einem wohldefinierten 
semiklassischen Limes\footnote{Diese Aussage gilt strenggenommen nur für
eine nichttriviale kosmologische Konstante: Der semiklassische 
Chern-Simons-Zustand im Fall verschwindender kosmologischer Konstante wurde
von Ezawa untersucht, wobei sich herausstellte, daß die über diesen Zustand
beschriebenen semiklassischen Raumzeit-4-Mannigfaltigkeiten im allgemeinen 
verschiedene Pathologien aufweisen \cite{Eza}.} \cite{Bm2, Smo}, 
und wurde deshalb fortan viel diskutiert.    

In den letzten Jahren hat die Untersuchung des Chern-Simons-Zustands in der
Ashtekar-Darstellung jedoch zunehmend an Bedeutung verloren, unter anderem
wohl nicht zuletzt deshalb, weil die physikalische Signifikanz dieses Wellenfunktionals
in den \emph{komplex} definierten Ashtekarvariablen nur schwierig einzuschätzen war:
Zur physikalischen Interpretation mußten komplizierte \emph{Realitätsbedingungen}
implementiert werden, was sich auf quantenmechanischem Niveau als äußerst
schwierig erwies.

Zwar wurden in der Vergangenheit auch \emph{reelle} Alternativen zur komplexen
Ash\-tekartheorie
diskutiert \cite{Loll, Barb}, deren Existenz im wesentlichen darauf zurückzuführen war,
daß in der Definition des gravitativen Eichfeldes ein von Immirzi \cite{Imm} gefundener 
Parameter noch frei gewählt werden konnte - allerdings ergaben sich für nichttriviale
Wahlen dieses Parameters sehr viel kompliziertere Zwangsbedingungen der
Quantengravitation \cite{Loll}, für die der Chern-Simons-Zustand keine Lösung mehr
darstellte.       

Eine vergleichsweise naheliegende Möglichkeit, 
das Problem der Realitätsbedingungen in der Ashtekartheorie zu umgehen,
fand hingegen bis heute kaum Beachtung: Gelingt es,
den Chern-Simons-Zustand in der Ashtekar-Darstellung über
eine geeignete Transformation in die  \emph{metrische} Darstellung zu überführen,
so vereinfacht dies die semiklassische Interpretation des Wellenfunktionals erheblich,
denn die physikalische Bedeutung der metrischen Variablen ist offensichtlich.
Ferner bietet die metrische Darstellung auch zur Aufklärung der Hilbertraumstruktur
der Quantengravitation einen sehr viel günstigeren Ausgangspunkt als
die komplexe Ashtekar-Darstellung. 

Es ist deshalb durchaus interessant, 
sich mit der Frage zu beschäftigen, wie die Ashtekar- und die
metrische Darstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie explizit zusammenhängen,
und welche Form der Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation in den metrischen
Variablen annimmt.

Mit diesem nichttrivialen Problem haben wir uns bereits in früheren Arbeiten beschäftigt
\cite{Pat1, Pat2, Pat3}, wobei es zweckmäßig war, sich zunächst auf einfache,
endlichdimensionale Modelle des Universums zu beschränken. Hierzu haben wir in
\cite{Pat1, Pat2, Pat3} konkret Raumzeit-4-Mannigfaltigkeiten betrachtet, für
welche die raumartigen Hyperflächen konstanter Zeit \emph{homogene} 3-Mannigfaltigkeiten
vom Bianchi-Typ IX waren.\footnote{Homogene 3-Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ IX
sind kompakt und besitzen eine triviale Topologie. Im isotropen Grenzfall gehen sie
gerade in die maximalsymmetrische 3-Sphäre über, die Klasse der 
Bianchi IX-Mannigfaltigkeiten enthält aber auch \emph{anisotrope} Verallgemeinerungen der
3-Sphäre.}

Für solche homogenen Modelle konnte der Zusammenhang zwischen der Ash\-te\-kar-
und der metrischen Darstellung der Gravitationstheorie sowohl klassisch, wie auch
quantenmechanisch aufgeklärt werden. Als Zwischenstufe spielte hierbei die mit der 
metrischen
Darstellung unmittelbar verwandte \emph{Triadendarstellung} der Allgemeinen 
Relativitätstheorie eine wesentliche Rolle: Die Triadenfelder der räumlichen
3-Mannigfaltigkeit zeigten kanonische Vertauschungsrelationen 
mit den \emph{komplexen} Ashtekarvariablen, so daß sich der wesentliche, nichttriviale 
Transformationsschritt des Darstellungswechsels über eine mehrdimensionale
Fouriertransformation ergab, die entlang \emph{komplex} verallgemeinerter
Integrationsmannigfaltigkeiten auszuführen war. Verschiedene,
topologisch inäquivalente Wahlen dieser Integrationskonturen lieferten für
das Bianchi IX-Modell mit kosmologischem Term \emph{linear unabhängige}
Quantenzustände in der Triadendarstellung, die alle durch Rücktransformation ein
und desselben Chern-Simons-Zustands in der Ashtekar-Darstellung hervorgingen.

Es konnte gezeigt werden, daß diese Wellenfunktionen unterschiedliche, für den
Quantenzustand des Universums vorgeschlagene \emph{Randbedingungen} erfüllten:
Insbesondere fanden wir einen Zustand, der die "`keine-Grenzen-Bedingung"' von
Hartle und Hawking \cite{Haw1, Haw2, Haw3} befriedigte, eine weitere Lösung entsprach
der Vilenkinschen Vorstellung \cite{Vil1, Vil3} von der Wellenfunktion des
Universums.

$\ $\vspace{-.4 cm}

Aus diesen Resultaten für das homogene Bianchi IX-Modell ergab sich nun die
naheliegende Vermutung, daß auch für die volle, \emph{inhomogene} Quantengravitation
der aus der Ashtekartheorie bekannte Chern-Simons-Zustand mit Hilfe analoger
Methoden in die Triadendarstellung überführbar sein sollte - die ausführliche
Untersuchung und Diskussion dieser Problemstellung wird der wesentliche
Gegenstand der vorliegenden Arbeit sein. 

Wir werden uns hierzu mit einem sehr allgemein gehaltenen Modell des Universums
beschäftigen, in dem die über die Allgemeine Relativitätstheorie bestimmte 
Raumzeit-4-Mannigfaltigkeit raumartige, dreidimensionale Hyperflächen konstanter
Zeit besitzt, für welche im weiteren \emph{keine} 
besonderen Symmetrien angenommen werden sollen.
Aus technischen Gründen wird es aber angebracht sein, sich auf 
\emph{unberandete, kompakte} räumliche 3-Mannigfaltigkeiten zu beschränken.
In einfachster Verallgemeinerung des homogenen Bianchi IX-Modells mag man sich
hierunter beispielsweise eine deformierte Sphäre mit trivialer Topologie vorstellen: 

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{.9\textwidth}
\begin{picture}(1,.7)(0,0)

   \put(0.1,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize= .8\unitlength
   \epsffile{Kugel.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-3 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{Kompakte, inhomogene Riemannsche Mannigfaltigkeit mit trivialer 
     Topologie.}}
\label{Abb1.1}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}



\noindent
Die dieser Arbeit zugrunde liegende Theorie wird aber auch räumliche Mannigfaltigkeiten
mit \emph{nichttrivialer} Topologie berücksichtigen, wie zum Beispiel eine dreidimensionale
Verallgemeinerung des in Abbildung \ref{Abb1.2} dargestellten deformierten 2-Torus.

Den Einfluß weiterer Materiefelder auf die Raumzeit-4-Mannigfaltigkeit werden wir
in unserem Modell zwar nicht mit einbeziehen können, dafür soll aber die Möglichkeit
eines kosmologischen Terms in Betracht gezogen werden, was aktuellen 
kosmologischen Meßdaten zufolge als plausibler Ansatz erscheint: Nach neueren 
Erkenntnissen ist die kosmologische Konstante nicht nur von Null verschieden - sie
bestimmt sogar etwa zwei Drittel der Energiedichte unseres Universums \cite{Perl1, Perl2}. 

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{.9\textwidth}
\begin{picture}(1,.7)(0,0)

   \put(0.1,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize= .8\unitlength
   \epsffile{Torus.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-3 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{Kompakte, inhomogene Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichttrivialer 
     Topologie.}}
\label{Abb1.2}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}




Im Rahmen des hier skizzierten Modells werden wir uns in Kapitel \ref{Kap2} zunächst
auf \emph{klassischem} Niveau der Frage zuwenden, wie die Triadendarstellung und die
Ashtekar-Darstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie explizit zusammen\-hän\-gen.
Dabei wird in Anlehnung an die historische Entwicklung die metrische Darstellung der
Einsteinschen Gravitationstheorie den Ausgangspunkt unserer Untersuchungen bilden.
In den Abschnitten \ref{Kap2.2} und \ref{Kap2.3} werden wir nacheinander die
Triadendarstellung und die Ashtekar-Darstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie
einführen, wobei wir die komplexen Ashtekareichfelder weniger als fundamentale
Variablen des Darstellungsraums, sondern vielmehr als nützliche mathematische
Hilfsgrößen verstehen wollen. Über einen Vergleich zwischen der Gravitationstheorie
und der Yang-Mills-Theorie soll desweiteren die eichtheoretische Bedeutung der
Ashtekarvariablen besonders betont werden, denn diese wird im weiteren Verlauf der
Arbeit noch eine wichtige Rolle spielen.

Den wesentlichen Gegenstand des dritten Kapitels wird eine kanonische Quantisierung
der Gravitation in der \emph{Triadendarstellung} bilden. Hier soll unter anderem die
\emph{Algebra} der Zwangsoperatoren der Quantengravitation, wie auch ihre
Verallgemeinerung auf eine quantisierte Einstein-Yang-Mills-Theorie untersucht werden.
In Abschnitt \ref{Kap3.3} definieren wir ein eichfixiertes, inneres Produkt auf
dem Raum der Wellenfunktionale, und in Abschnitt \ref{Kap3.4} interessiert uns dann
besonders der \emph{quantenmechanische}
Zusammenhang zwischen der Triadendarstellung und der Ashtekar-Darstellung der
Gravitationstheorie; dieser wird uns anschließend erlauben, den
Chern-Simons-Zustand in der Triadendarstellung über ein 
\emph{komplexes Funktionalintegral} auszudrücken. 

Die semiklassische Entwicklung und Interpretation des Chern-Simons-Zustands in
der Triadendarstellung steht dann im Mittelpunkt des vierten Kapitels. Mit Hilfe
der Laplaceschen Sattelpunktsmethode werden wir das komplexe Funktionalintegral
in verschiedenen asymptotischen Bereichen entwickeln, und die semiklassischen
4-Geometrien diskutieren, die über das Chern-Simons-Wellenfunk\-tio\-nal beschrieben
werden. Ferner soll der Chern-Simons-Zustand in Restriktion auf \emph{homogene}
3-Mannigfaltigkeiten ausgewertet, und das Resultat mit früheren Ergebnissen aus
der Untersuchung homogener Modelle verglichen werden. In einem eigenständigen
Abschnitt wird uns weiterhin das nichttriviale Verhalten des Chern-Simons-Zustands
unter \emph{großen} Eichtransformationen der Triade interessieren.

In Kapitel \ref{Kap5} werden wir unter Verwendung des in Abschnitt \ref{Kap3.3} 
entwickelten physikalischen inneren Produkts die
\emph{Normierbarkeit} des Chern-Simons-Zustands untersuchen.

Schließlich sollen
im sechsten und letzten Kapitel die erhaltenen Ergebnisse diskutiert und 
zusammengefaßt werden, wobei wir auch die Verbindung zu aktuellen 
kosmologischen Meßdaten darlegen wollen.

Verschiedene mathematische und technische Probleme, die sich im Verlauf dieser 
Arbeit ergeben,
werden in vier separaten Anhängen behandelt. Von besonderer Wichtigkeit sind hierbei
die Resultate aus Anhang \ref{AnhA}, die im Nachhinein die Konsistenz der 
Entwicklungen in Kapitel \ref{Kap4} belegen. Weiterhin werden wir uns im Anhang \ref{AnhB}
etwas ausführlicher mit der Auswertung des Chern-Simons-Zustands auf homogenen
3-Mannigfaltigkeiten beschäftigen, und in den Anhängen \ref{AnhC} und \ref{AnhD} kurz
einige technische Details diskutieren, die aus dem Hauptteil der Arbeit ausgelagert worden
sind.

%%%%%%%%%%%%%%%%  Kapitel 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Klassische Formulierung  der Allgemeinen Relativitätstheorie}
\label{Kap2}
\kopf{Kapitel 2: Klassische Allgemeine Relativitätstheorie}
\thispagestyle{empty}

In diesem Kapitel wollen wir zunächst eine klassische, Hamiltonsche
Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie diskutieren, die später 
in Kapitel \ref{Kap3} den Ausgangspunkt
einer kanonischen Quantisierung der Gravitation bilden wird. Hierbei sollen vor allem
die in dieser Arbeit verwendeten Vorzeichen- und Notationskonventionen eingeführt
werden, ein weiteres Ziel dieses Kapitels wird aber auch in der Aufklärung des
expliziten Zusammenhangs zwischen der metrischen Darstellung und der Ashtekardarstellung
der Gravitationstheorie bestehen. Ferner werden wir die
Ashtekartheorie der Gravitation unter eichtheoretischen Gesichtspunkten 
mit der Yang-Mills-Theorie äußerer Eichfelder
vergleichen.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Hamiltonsche Formulierung in metrischer \- Darstellung}
\label{Kap2.1}



Die klassische Allgemeine Relativitätstheorie läßt sich über ein Variationsprinzip aus dem
Wirkungsfunktional \cite{MTW, KolbTur}

 
\begin{equation}
\label{eq:2.1}
\cS = \frac{1}{\ga}\, \idt \idxM  N \sh \left ( \Rt -2 \La \right )+
  \frac{2}{\ga} \, \idxM \sh \, K  \, \Bigg |^{t_2}_{t_1}
\end{equation}
\\
ableiten, wobei $\ga:=16 \pi G$ die Newtonsche Gravitationskonstante $G$ enthält,
und $\Mx (t)$ eine Schar räumlicher  3-Mannigfaltigkeiten bezeichnet, die man
nach zeitartiger Foliation der Raum\-zeit-\-4-\-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $\Mt$ als 
Hyperflächen konstanter Zeit $t$ erhält. Wir werden annehmen, daß die
räumlichen Hyperflächen $\Mx (t)$ unberandet und kompakt sind; ferner seien sie mit
\emph{positiv} definiten 3-Metriken $\hh (t)$ belegt, die
bezüglich eines beliebig gewählten
Koordinatensystems $\{ x^i \}$ in der Form\footnote{
Hierbei bezeichnet $\bd$ das äußere Differential. Da die Koordinaten $x^i$ Skalare sind,
bilden ihre  äußeren Differentiale  $\bd x^i$ eine Basis der 1-Formen auf $\Mx$,
so daß kovariante
Tensoren höherer Stufe wie zum Beispiel $\hh$  nach Tensorprodukten
dieser Basis-1-Formen entwickelt werden können. Im Gegensatz zu $\bd x^i$ wird 
$\dd x^i$ einfach eine differentielle, skalare Änderung der Koordinaten $x^i$ bezeichnen.} 
 
  
\begin{equation}
  \label{eq:2.2}
 \hh (t) = h_{i j}(x,t)\, \bd x^i \otimes \bd x^j
\end{equation}
\\
dargestellt werden können.
Hierzu  erhält man das \emph{positive} Volumenelement der Riemannschen
3-Mannigfaltigkeiten $( \Mx , \hh)$ als\footnote{Wegen $\sh > 0$ ist 
$\dd^3 x$ hier und im folgenden eine positive,
orientierte skalare Dichte vom Gewicht $-1$, die sich unter Koordinatentransformationen
mit dem \emph{Betrag} der Jacobideterminante des Koordinatenwechsels transformiert.}

\begin{equation}
  \label{eq:2.3}
 \dd V = \sh \, \dd^3 x > 0 \quad \mbox{mit} \quad h:= \det (h_{i j}) > 0 \ .
\end{equation}
\\
Die 3-Metriken $\hh$ hängen über die nach Arnowitt, Deser und 
Misner  benannte ADM-Aufspaltung \cite{ADM},

\begin{equation}
  \label{eq:2.3+}
  \bg = g_{\mu \nu} \,  \bd x^{\mu} \otimes \bd x^{\nu} =
  -N^2 \bd t \otimes \bd t +h_{i j}  \left (\bd x^i +N^i \bd t \right ) \otimes
  \left (\bd x^j +N^j \bd t \right ) \ ,
\end{equation}
\\
mit der 4-Metrik $\bg$ zusammen,
wobei der 3-Skalar $N$ auch Verlaufsfunktion, und der 3-Vektor $\vec N =N^i \pa_i$ 
Verschiebungsvektor heißen. Für $t_2 > t_1$ sei $N >0$ gewählt, so daß das Volumen
der 4-Mannigfaltigkeit

\begin{equation}
  \label{eq:2.4}
  \idt \idxM N \, \sh
\end{equation}
\\
positiv ist. Die Größe $\Rt$ in \re{2.1} ist der vierdimensionale Krümmungsskalar
nach Vorzeichenkonvention von Misner, Thorne und Wheeler \cite{MTW}, 
und $\La$ bezeichnet eine mögliche kosmologische Konstante.
Den 3-Skalar $K$ im Oberflächenterm von \re{2.1} erhält man durch Verjüngung des
extrinsischen Krümmungstensors 

\begin{equation}
  \label{eq:2.5}
  K_{i j} =\frac{1}{2 N} \left ( \na_i N_j+\na_j N_i-\dot h_{i j} \right ) 
\end{equation}
\\
mit der inversen 3-Metrik $h^{i j}$, wobei $\na_i$ die Riemannsche, kovariante Ableitung
bezüglich der 3-Metrik $\hh$ bedeutet, und räumliche Indizes $i, j, \dots$  mit Hilfe
von $h^{i j}, h_{i j}$ erhöht und erniedrigt werden.

Der extrinsische Krümmungstensor \re{2.5} beschreibt die Einbettung der räumlichen
3-Mannigfaltigkeit $(\Mx, \hh )$ in die Raumzeit-4-Mannigfaltigkeit $(\Mt, \bg )$. Mit Hilfe
der Gauß- und Codazzigleichungen \cite{Rasch} läßt sich der 
Krümmungsskalar $\Rt$ der Raumzeit auch
über den Krümmungsskalar $R$ von $(\Mx, \hh )$ und die extrinsische Krümmung $K_{i j}$
ausdrücken. Dies liefert für die Wirkung \re{2.1} den Ausdruck

\begin{equation}
  \label{eq:2.6}
  \cS = \frac{1}{\ga} \,\idt \idxM N \, \left [ K_{i j}\, \Gsu \, K_{k \ell} +\sh \left ( R -2 \La
\right ) \right ]  =:  \idt \,  L \ ,
\end{equation}
\\
wobei sich der Oberflächenterm in \re{2.1} vollständig weghebt, und aus \re{2.6} nun
unmittelbar ein Lagrangefunktional $L$ abgelesen werden kann. Die Größe\footnote{
Hier und im folgenden bezeichnen wir Tensordichten von positivem Gewicht $+1$
mit einer oberen Tilde, und entsprechend Tensordichten vom Gewicht $-1$ mit einer
unteren Tilde. Sämtliche auftretende Tensordichten sind \emph{orientiert}, transformieren
sich also mit dem Betrag der Jacobideterminante des Koordinatenwechsels.}

\begin{equation}
  \label{eq:2.7}
  \Gsu =\frac{\sh}{2} \, \left (h^{i k} h^{j \ell}+h^{i \ell} h^{j k}-2 \, h^{i j} h^{k \ell} \right )
\end{equation}
\\
definiert eine Metrik auf dem von den Feldern $h_{i j}$ aufgespannten
Konfigurationsraum und heißt auch \emph{Supermetrik}. 
Variiert man die Wirkung $\cS$ nach $N, N^i$ und
$h_{i j}$, wobei die Felder $h_{i j}$ an den zeitartigen Rändern von $\Mt$ festzuhalten
sind, so ergeben sich zehn Gleichungen, die völlig äquivalent zu den zehn 
Einsteingleichungen der Gravitation sind. 
Das Lagrangefunktional gemäß \re{2.6} liefert somit eine
zur klassischen Einsteinschen Relativitätstheorie gleichwertige Beschreibung des 
Gravitationsfeldes.

Über eine Legendretransformation bezüglich $\dot h_{i j}$ gelangt man zum 
Hamiltonfunktional der Gravitation, das ein Funktional der Konfigurationsraumvariablen
$h_{i j}$ und der kanonisch konjugierten Impulse 

\begin{equation}
  \label{eq:2.9}
  \piij := \frac{\de L}{\de \dot h_{i j}} =-\frac{1}{\ga} \, \Gsu \, K_{k \ell}
\end{equation}
\\
ist. Die Impulse $\piij$ sind die Komponenten einer symmetrischen, orientierten 
Tensordichte vom Gewicht $+1$. Für das Hamiltonfunktional ergibt sich explizit

\begin{equation}
  \label{eq:2.10}
  H = \idxM \left ( N  \cHA +N_i \, \cH^i \right )
\end{equation}
\\
mit

\begin{equation}
  \label{eq:2.11}
  \cHA = \ga \cdot \piij \, \Gsd \, \tilde  \pi^{k \ell} +\frac{\sh}{\ga} \, \left (2 \La -R \right ) \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.12}
  \cH^i = -2 \, \na_j \piij \ .
\end{equation}
\\
Hierbei ist $\Gsd$ in \re{2.11} die zu \re{2.7} inverse Supermetrik,

\begin{equation}
  \label{eq:2.13}
  \Gsd = \frac{1}{2 \sh} \, \left ( h_{i k} h_{j \ell}+h_{i \ell} h_{j k}-h_{i j} h_{k \ell} \right ) \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.14}
  \Gsd \, \tilde G^{k \ell m n} =\fr{1}{2}  \left (\de^m_i \de^n_j+\de^n_i \de^m_j \right ) \ .
\end{equation}
\\
Die Felder $N$ und $N_i$ sind keine dynamischen Variablen, da das Lagrangefunktional
gemäß \re{2.6} unabhängig von $\dot N, \dot N_i$ ist. Sie spielen stattdessen die Rolle
von Lagrangeschen Multiplikatoren: Über die Lagrangeschen Gleichungen bezüglich
$N$ und $N_i$ folgen die vier \emph{Zwangsbedingungen} 

\begin{equation}
  \label{eq:2.15}
  -\frac{\de L}{\de N} = \frac{\de H}{\de N}=\cHA \eex 0 \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.16}
   -\frac{\de L}{\de N_i} = \frac{\de H}{\de N_i}=\cH^i \eex 0 \ .
\end{equation}
\\
Die erste dieser Gleichungen nennt man Hamiltonsche Zwangsbedingung, die drei
Gleichungen \re{2.16} heißen Diffeomorphismus-Zwangsbedingungen; alle vier
Gleichungen zusammen implizieren die Invarianz des Hamiltonschen Systems \re{2.10}
unter zeitlichen und
räumlichen Koordinatentransformationen auf der Raumzeit-4-Mannigfaltigkeit $\Mt$.

Die dynamischen Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie erhält man als
Hamiltonsche Gleichungen bezüglich $h_{i j}$ und $\piij$,

\begin{equation}
  \label{eq:2.17}
  \dot h_{i j}=- \Big  \{ H, h_{i j} \Big \} \quad , \quad \dot{\tilde \pi}^{i j}
   =- \Big \{ H, \piij \Big \} \ ,
\end{equation}
\\
mit der kanonischen Poisson-Klammer\footnote{
Hierbei ist $\de^3  (x)$ die orientierte Deltafunktion auf $\Mx$ 
mit $\idx \, \de^3  (x) = +1$. Da sich $\dd^3 x$
wie eine positive, orientierte Dichte vom Gewicht $-1$ unter Koordinatenwechseln
transformiert, muß $\de^3 (x)$ eine positive, orientierte skalare Dichte vom Gewicht $+1$
sein.}

\begin{equation}
  \label{eq:2.18}
  \left \{ h_{i j}(x), \tilde \pi^{k \ell} (y) \right \} =\fr{1}{2}  
\left ( \de^k_i \de^{\ell}_j + \de^{\ell}_i \de^k_j \right ) \, \dexy \ .
\end{equation}
\\
Das Hamiltonfunktional \re{2.10} mit symplektischer Struktur \re{2.18} ist formal 
völlig äquivalent
zur Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie und bietet einen guten Ausgangspunkt
zur kanonischen Quantisierung der Gravitation. In den letzten Jahren hat sich jedoch
gezeigt, daß es zur Quantisierung günstiger ist, von der hier formulierten metrischen
Darstellung der Gravitation zu einer Triadendarstellung überzugehen,
was im nächsten Abschnitt geschehen soll.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Triadendarstellung der Gravitation}
\label{Kap2.2}


Wir wollen nun das Hamiltonsche System \re{2.10} auf einen erweiterten Phasenraum
umschreiben, der anschließend über geeignete Zwangsbedingungen wieder 
einzuschränken ist. Dies mag zunächst als unnötige Verkomplizierung der Theorie
erscheinen, wird aber unter anderem den Vorteil haben, daß die resultierenden  neuen
Konfigurationsraumvariablen  über einen \emph{unbeschränkten} Fundamentalbereich variieren
dürfen, was bei der im letzten Abschnitt diskutierten metrischen Darstellung nicht der
Fall ist: Die Komponenten $h_{i j}$ des metrischen Tensors $\hh$ müssen eine
\emph{positive, symmetrische} Matrix bilden.

Anstelle der 3-Metrik $\hh$ seien nun drei verschiedene, bezüglich $\hh$ orthonormale
Triaden-1-Formen $\ee_a =e_{i a} \, \bd x^i$  mit $a \in \{1, 2, 3 \}$ betrachtet, die also

\begin{equation}
  \label{eq:2.19}
  e_{i a} \, h^{i j} \, e_{j b} \equiv e_{i a} \, \ue{i}{b} \eex \de_{a b}
\end{equation}
\\
erfüllen sollen. Dann läßt sich umgekehrt die 3-Metrik mit Hilfe der Triaden-1-Formen
über


\begin{equation}
  \label{eq:2.20}
  \hh=\ee_a \otimes \ee_a \quad \Leftrightarrow \quad h_{i j}=e_{i a} \, e_{j a}
\end{equation}
\\
darstellen, wobei für beliebige, lokal linear unabhängige\footnote{
Linear abhängige Felder $\ee_a$, die entartete 3-Metriken $\hh$ beschreiben,
werden wir immer nur als Grenzfall linear unabhängiger Triaden diskutieren.}
1-Formen $\ee_a$ die
Symmetrie und Positivität von $(h_{i j})$ sichergestellt ist.

Die kontravarianten Komponenten der Triadenvektoren $\ve_a =\ue{i}{a} \, \pa_i$
wurden in Gleichung \re{2.19} bereits implizit eingeführt, von besonderer Bedeutung
werden desweiteren die Komponenten

\begin{equation}
  \label{eq:2.21}
  \eia =\sh \, \cdot \ue{i}{a}
\end{equation}
\\
der dichtegewichteten Triadenvektoren sein. Sämtliche Beschreibungen der Triade
lassen sich äquivalent ineinander umrechnen. Die geometrische Bedeutung der
Triadenfelder $\ve_a$ einer Riemannschen 3-Mannigfaltigkeit $(\Mx, \hh )$ zeigt die
Abbildung \ref{Abb2.1}.

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{.9\textwidth}
\begin{picture}(1,.45)(0,0)

   \put(.21,.33){$P$}
   \put(.33,.37){$\vec e_2$}
   \put(.54,.315){$\vec e_1$}
   \put(.66,.32){$(  \Mx , \hh )$}
   \put(0.1,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize= .8\unitlength
   \epsffile{Triade.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-.8 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{Geometrische Bedeutung der
 Triadenfelder $\ve_a$ einer Riemannschen 3-\-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $(\Mx , \hh )$
am Punkt $P$.  Aus dar\-stell\-ungs\-tech\-ni\-schen
Grün\-den kann hier nur das lokale, orthonormale Zweibein einer Riemannschen
2-\-Man\-nig\-fal\-tig\-keit gezeigt werden. Offensichtlich sind
die Vektorfelder $\ve_a$ an jedem Punkt $P$ nur
bis auf eine beliebige, räumliche Drehung festgelegt.}}
\label{Abb2.1}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}


\noindent
Betrachten wir nun den von den Felder $\eia$ aufgespannten Konfigurationsraum,
so läßt sich dieser formal zu einem abstrakten Phasenraum fortsetzen, indem wir zu
$\eia$ kanonisch konjugierte Impulse $p_{i a}$ mit der Poisson-Klammer

\begin{equation}
  \label{eq:2.22}
  \left \{ \eia(x), p_{j b} (y) \right \} =\de^i_j \, \de_{a b} \, \dexy
\end{equation}
\\
einführen. Die Impulse $p_{i a}$ sind dann 1-Formen auf $\Mx$. Mit Hilfe der
Identifizierungen

\newpage

\begin{equation}
  \label{eq:2.23}
  h \cdot h^{i j} =\eia \, \eja \quad , \quad K_{i j}=\frac{\ga}{2} \, e_{j a} \, p_{i a}
\end{equation}
\\
und \re{2.9} läßt sich die metrische, symplektische Algebra \re{2.18} auch auf dem von
$\eia, p_{i a}$ aufgespannten Phasenraum mit symplektischer Struktur \re{2.22} 
darstellen, wenn man sich auf die Zwangsfläche 

\begin{equation}
  \label{eq:2.24}
  \cJ_a :=\eabc  \, \eib \, p_{i c} \eex 0
\end{equation}
\\
einschränkt, auf der $K_{i j}$ und $\piij$ symmetrische Felder sind.
Hierbei bezeichnet  $\eabc$ in \re{2.24}  die Komponenten
des O(3)-kovarianten Levi-Cevitta-Tensors. Mißt $\ep (\ee_a) \in \{\pm 1 \}$ die 
\emph{Orientierung}
der Triade $\ee_a$, so besteht der folgende Zusammenhang zwischen den Komponenten
des Levi-Cevitta-Tensors und dem Levi-Cevitta-\emph{Symbol}:\footnote{
Das Levi-Cevitta-Symbol $[a b c]$ ist vollständig antisymmetrisch in $a, b, c$ definiert,
und über $[1 2 3] :=+1$ normiert. Wie $[ a b c ]$ verhalten sich auch die Komponenten 
$\eabc$ des 
Levi-Cevitta-Tensors bezüglich Variationen der Triade 
einfach wie Konstanten, da sich die Orientierung $\ep (\ee_a )$ unter infinitesimalen
Störungen von $\ee_a$ nicht ändern kann.}

\begin{equation}
  \label{eq:2.24+}
  \eabc = \ep (\ee_a) \cdot  \, [a b c] \ .
\end{equation}
\\
Die drei Zwangsbedingungen \re{2.24} wollen wir im folgenden \emph{Gauß}-Bedingungen
nennen. Sie beschreiben geometrisch die Invarianz der Theorie unter lokalen, räumlichen
Drehungen der Triade $\ee_a$, die als zusätzliche Eichfreiheitsgrade in \re{2.20}, \re{2.23}
beim Übergang von der metrischen Darstellung 
zur Triadendarstellung auftreten. Der Ursprung dieser neuen Eichfreiheitsgrade
ist auch aus der Abbildung \ref{Abb2.1} ersichtlich. 

Genauer betrachtet sichern die Zwangsbedingungen \re{2.24} 
allerdings nur die Invarianz unter speziellen, SO(3)-Eichtransformationen der Triade,
während Spiegelungen der Triade als gesonderte, \emph{diskrete} Symmetrien zu
behandeln sind. Hierzu ist es zweckmäßig, einen Paritätsoperator $\cP$ zu definieren,
der die fundamentalen Phasenraumvariablen $\eia, p_{i a}$ \emph{global} in ihr 
negatives überführt.
Die klassische Allgemeine Relativitätstheorie ist offensichtlich paritätsinvariant, was man
in der metrischen Darstellung unmittelbar sieht. In der Triadendarstellung müssen wir
deshalb
die Paritätssymmetrie als separate Symmetrie \emph{fordern}, was vor allem bei der
Quantisierung der Theorie zu berücksichtigen sein wird. 

Unter Verwendung der Gleichungen \re{2.9} und \re{2.23} lassen sich $\cHA$ und $\cH_i$
aus \re{2.11}, \re{2.12} nun auf die Triadendarstellung umrechnen, wenn wir gleichzeitig die
Zwangsbedingung \re{2.24} fordern. Es ergibt sich

\begin{equation}
  \label{eq:2.25}
  \cHA =- \frac{\ga}{4} \, \eijk \, \eabc \, e_{i a} \, p_{j b} \, p_{k c}+\frac{\sh}{\ga} \,
\left ( 2 \La-R \right ) \ ,
\end{equation}
 \\
 \begin{equation}
   \label{eq:2.26}
   \cH_i = \pa_j \! \left ( \eja \, p_{i a} \right ) - \eja  \pa_i \, p_{j a} \ , 
 \end{equation}
\\
wobei Terme proportional zu $\cJ_a$ weggelassen wurden.\footnote{
Dies entspricht formal einer Umdefinition der Lagrangeschen Parameter $\Om_a$ im
Hamiltonfunktional \re{2.33}, die aber ohnehin beliebig gewählt werden dürfen.}
In \re{2.25} erscheint hier zum ersten Mal die Größe

\begin{equation}
  \label{eq:2.27}
  \eijk:= \sh \, \eabc \, \ue{i}{a} \, \ue{j}{b} \, \ue{k}{c} \ , 
\end{equation}
\\
die eine in $i, j, k$ vollständig antisymmetrische Tensordichte vom 
Gewicht $+1$ darstellt.\footnote{Entsprechend definieren wir 

\begin{displaymath}
  \ute_{i j k} := \frac{1}{\sh} \, \eabc \, e_{i a} \, e_{j b} \, e_{k c}
\end{displaymath}
\\
als antisymmetrische Tensordichte vom Gewicht $-1$.
In einem fest vorgegebenen Koordinatensystem $\{ x^i \}$ gilt einfach
$\eijk = + [ i j k ]$ oder $ \eijk = - [i j k ]$
mit dem Levi-Cevitta-Symbol $[ i j k ]$, wobei sich das Vorzeichen unter 
Koordinatentransformationen mit negativer Jacobideterminante, nicht aber unter
Paritätstransformationen $\cP$ ändert. Die Größe $\eijk$ ist also räumlich konstant und
vertauscht deshalb mit räumlichen Ableitungen $\pa_i$.}

Zur expliziten Umrechnung auf die Triadendarstellung benötigt man in \re{2.25} noch
den Krümmungsskalar $R$ als Funktion der Triade. Hierzu ist es nützlich, den
Riemannschen Spin-Zusammenhang

\begin{equation}
  \label{eq:2.29}
  \om_{i a} : =- \fr{1}{2} \, \eabc \, e_{j b} \na_i \, \ue{j}{c}
\end{equation}
\\
als SO(3)-\emph{Eichfeld} einzuführen, womit sich eine 
Riemannsche, SO(3)-kovariante Ableitung
$D_i$ definieren läßt, die für beliebige 3-Vektoren $\vec v =v^i \, \pa_i =v_a \, \ve_a$
über 

\begin{equation}
  \label{eq:2.30}
  e_{j a}  \na_i \, v^j =D_i  v_a :=\pa_i  v_a + \eabc \, \om_{i b} \, v_c 
\end{equation}
\\
mit der Riemannschen kovarianten Ableitung $\na_i$ zusammenhängt. Mit Hilfe der
SO(3)-kovarianten Krümmung von $\om_{i a}$,

\begin{equation}
  \label{eq:2.31}
  F_{i j a} := \pa_i \om_{j a} - \pa_j \om_{i a} + \eabc \, \om_{i b} \, \om_{j c} \ ,
\end{equation}
\\
erhält man dann für die Hamiltonsche Zwangsbedingung in der Triadendarstellung

\begin{equation}
  \label{eq:2.32}
  \cHA = - \frac{\ga}{4} \, \eijk \eabc \, e_{i a} \, p_{j b} \, p_{k c} +\frac{1}{\ga} \, e_{i a} \,
  \eijk  F_{j k a} + \frac{2 \La}{\ga} \, \sh \ .
\end{equation}
\\
Das resultierende Hamiltonfunktional der Gravitation 

\begin{equation}
  \label{eq:2.33}
  H = \idx \bA{N \cHA + N^i \cH_i +\Om_a \cJ_a}
\end{equation}
\\
mit symplektischer Struktur \re{2.22} und den Phasenraumfunktionalen $\cHA, \cH_i$ und
$\cJ_a$ gemäß \re{2.32}, \re{2.26} und \re{2.24} ist klassisch strikt äquivalent zur metrischen
Darstellung \re{2.10}, \re{2.18}, wenn wir zusätzlich noch die Paritätsinvarianz der Theorie
fordern.

Diese Triadendarstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie  
bietet bereits ei\-nen besseren Ausgangspunkt zur
Quantisierung der Gravitation als die metrische Darstellung gemäß Abschnitt \ref{Kap2.1};
eine noch günstigere Darstellung erhalten wir aber nach
Einführung spezieller Hilfsfelder, der sogenannten \emph{Ashtekarvariablen}.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Ashtekarvariablen und Eichtheorie}
\label{Kap2.3}



Betrachtet man die Hamiltonsche Zwangsbedingung \re{2.32} in Verbindung mit \re{2.31}
genauer, so fällt auf, daß der kinetische Term und der nicht-Abelsche Beitrag vom
Krümmungsterm strukturgleich sind. Man kann daher versuchen, diese beiden Terme
einheitlich als nicht-Abelschen Beitrag eines \emph{neuen} Eichfeldes $\cA_{i a}$ zu erhalten,
das wir als Linearkombination des Riemannschen Spin-Zusammenhangs $\om_{i a}$
und der Impulse $p_{i a}$ ansetzen wollen. Tatsächlich gibt es genau zwei Möglichkeiten
der Definition eines solchen Eichfeldes:

\begin{equation}
  \label{eq:2.34}
  \cA_{i a} = \om_{i a} \pm \frac{i \ga}{2} \, p_{i a} \ .
\end{equation}
\\
Die Felder $\cA_{i a}$ heißen \emph{Ashtekarvariablen}; sie wurden von Ashtekar
\cite{Ash1, Ash2, Ash4} erstmals zur klassischen und quantenmechanischen
Beschreibung der Gravitation verwendet.\footnote{
Auf die Bedeutung und Wahl des Vorzeichens in der Definition der Ashtekarvariablen
\re{2.34} werden wir später noch zu sprechen kommen. Zunächst wollen wir das
Vorzeichen offen lassen und beide Möglichkeiten parallel diskutieren. Ein
Doppelzeichen in den folgenden Gleichungen bezieht sich dann immer auf die 
Vorzeichenkonvention in \re{2.34}.}

Da sich $\cA_{i a}$ unter SO(3)-\-Eich\-trans\-for\-ma\-ti\-onen inhomogen wie ein
Eichfeld transformiert, können wir die SO(3)-\-ko\-va\-ri\-an\-te Feldstärke

\begin{equation}
  \label{eq:2.35}
  \cF_{i j a} := \pa_i \cA_{j a} - \pa_j \cA_{i a} + \eabc \, \cA_{i b} \, \cA_{j c}
\end{equation}
\\
definieren, mit der sich $\cHA$ aus \re{2.32} folgendermaßen schreiben läßt:

\begin{eqnarray}
  \label{eq:2.36}
  \cHA & =&  \frac{1}{\ga} \,e_{i a} \, \eijk \cF_{j k a}+\frac{2 \La}{\ga} \, \sh \mp i \,
  \pa_j \bA{\ue{j}{a}  \cJ_a} \nonumber\\[.5 cm]
  & =: & \cH_0 \mp i \, \pa_j \bA{\ue{j}{a}  \cJ_a} \ . 
\end{eqnarray}
\\
Auch die Zwangsbedingungen $\cH_i$ und $\cJ_a$ gemäß \re{2.26} und \re{2.24} 
lassen sich über

\begin{equation}
  \label{eq:2.37}
  \cH_i = \pm \frac{2 i}{\ga} \, \bB{\eja \pa_i \cA_{j a} - \eja \pa_j \cA_{i a} -
  \cA_{i a} \pa_j \eja} \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.38}
  \cJ_a = \pm \frac{2 i}{\ga} \, \cD_j \eja := \pm \frac{2 i}{\ga} \,
  \bB{\pa_j \eja + \eabc \, \cA_{j b} \, \e{j}{c}} 
\end{equation}
\\
vollständig in den Ashtekarvariablen ausdrücken. Bemerkenswert ist ferner die Tatsache,
daß die Ashtekarvariablen $\cA_{i a}$ mit $\eia$ bis auf einen Vorfaktor $\pm \frac{i \ga}{2}$
\emph{kanonische} Vertauschungsrelationen erfüllen:

\begin{equation}
  \label{eq:2.39}
  \bCB{\eia (x) , \cA_{j b} (y) } =\pm \frac{i \ga}{2} \, \de^i_j \, \de_{ a b} \, \dexy \quad
  , \quad \bCB{\Aia (x) , \cA_{j b} (y) } = 0 \ .
\end{equation}
\\
Während die erste Poisson-Klammer direkt aus der Definition \re{2.34} folgt, ist die
Vetauschungseigenschaft der $\Aia$ untereinander nichttrivial und die Konsequenz 
einer speziellen Darstellungsmöglichkeit des Riemannschen Spin-Zusammenhangs
$\om_{i a}$:

\begin{equation}
  \label{eq:2.40}
  \om_{i a} = \frac{\de \Phi}{\de \eia} \qquad \mbox{mit} \qquad
  \Phi := - \frac{1}{2}  \idx \, \eijk \, e_{i a} \pa_j \, e_{k a} \ . 
\end{equation}
\\
Über \re{2.36}, \re{2.37} und \re{2.38} läßt sich das Hamiltonfunktional der Gravitation
\re{2.33} auch in den neuen Phasenraumvariablen $\eia , \Aia$ mit symplektischer Struktur
\re{2.39} schreiben. Wir finden

\begin{equation}
  \label{eq:2.41}
  H = \idxM \bB{N \cH_0 + N^i \cH_i + \bA{\Om_a \pm i \, \ue{j}{a} \pa_j N} \cJ_a} \ ,
\end{equation}
\\
wobei die Variation von $H$ nach den \emph{reellen} Lagrange-Parametern $N, N^i$
und $\Om_a$ immer noch die Zwangsbedingungen 

\begin{equation}
  \label{eq:2.42}
  \cHA \eex 0 \quad , \quad \cH_i \eex 0 \quad , \quad \cJ_a \eex 0
\end{equation}
\\
liefert, die in Verbindung mit \re{2.36} desweiteren $\cH_0 = 0$ implizieren. Das
Hamiltonsche System \re{2.39}, \re{2.41} mit $\cH_0, \cH_i, \cJ_a$ aus \re{2.36},
\re{2.37}, \re{2.38} ist klassisch streng äquivalent zur Allgemeinen Relativitätstheorie,
obwohl die zu $\eia$ konjugierten Impulse $\Aia$ und die Hamiltonsche 
Zwangsbedingung $\cH_0$ nun komplex sind: Verwendet man \re{2.34}, um sich
zu $\eia , \Aia$ die Impulse $p_{i a}$ zu beschaffen, so liefert \re{2.41} mit der 
Poisson-Klammer \re{2.39} für $\eia , p_{i a}$ \emph{dieselben} klassischen
Bewegungsgleichungen wie \re{2.33} mit der Poisson-Klammer \re{2.22}.
 \emph{Realitätsbedingungen} sind nur für die \emph{Anfangswerte} der klassischen Evolution
zu fordern. Die Realitätseigenschaft bleibt dann während der Evolution automatisch
erhalten, was nach Rücktransformation auf den $\{ \eia , p_{i a} \}$-Phasenraum
offensichtlich ist.

Im weiteren Verlauf der Diskussion werden die Felder

\begin{equation}
  \label{eq:2.43}
  \Gia := \frac{1}{2} \, \eijk \, \cF_{j k a} + \frac{\La}{3} \, \eia
\end{equation}
\\
von besonderer Bedeutung sein. Sie zeigen eine bemerkenswerte Analogie zum
dreidimensionalen Einsteintensor mit kosmologischem Term,\footnote{
Hierbei sind die Größen $G^i_{\ j}$ die Komponenten des üblichen, dreidimensionalen 
Einsteintensors

\begin{displaymath}
  G^i_{\ j} = R^i_{\ j} - \fr{1}{2} R \, \de^i_j \ ,
\end{displaymath}
\\
wobei $R^i_{\ j}$ die Komponenten des dreidimensionalen Riccitensors bezeichnet.} 

\begin{equation}
  \label{eq:2.44}
  \tGia =\frac{1}{2} \, \eijk \, F_{j k a} + \frac{\La}{3} \, \eia \equiv 
  \bA{G^i_{\ j}+\frac{\La}{3} \, \de^i_j } \, {\tilde e}^{\, j}_{\ a}  \ ,
\end{equation}
\\
der bekanntlich dadurch ausgezeichnet ist, daß er die drei Bianchi-Identitäten

\begin{equation}
  \label{eq:2.45}
  D_i  \tGia \equiv 0
\end{equation}
\\
erfüllt. Ebenso befriedigt $\Gia$ gemäß \re{2.43} auf der Zwangsfläche $\cJ_a = 0$
die entsprechenden Gleichungen

\begin{equation}
  \label{eq:2.46}
  \cD_i \Gia = 0 \ ,
\end{equation}
\\
weswegen wir $\Gia$ auch als die Komponenten eines
\emph{verallgemeinerten} Einsteintensors mit kosmologischem
Term bezeichnen werden.\footnote{Im allgemeinen handelt es
sich hierbei jedoch weder um den dreidimensionalen Einsteintensor, noch um
die räumlichen Komponenten des vierdimensionalen Einsteintensors,
sondern um einen neuen, ausgezeichneten Krümmungstensor des  komplexen
Spin-Zusammenhangs $\Aia$. Dieser stellt aber insofern eine \emph{Verallgemeinerung}
des üblichen Einsteintensors mit kosmologischem Term \re{2.44} dar, als daß er im
Spezialfall $\Aia = \om_{i a}$ in den Tensor \re{2.44} übergeht.}
Interessanterweise lassen sich sämtliche Zwangsbedingungen $\cH_0 , \cH_i$ und
$\cJ_a$ in Termen von $\Gia$ ausdrücken:

\begin{equation}
  \label{eq:2.47}
  \cH_0 \equiv \frac{2}{\ga} \, e_{i a} \Gia = 0 \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.48}
  \cH_i \equiv  \pm \frac{2 i}{\ga} \, \ute_{i j k} \, \eja \G{k}{a} - \Aia \cJ_a = 0 \ , 
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.49}
  \cJ_a \equiv \pm \frac{6 i}{\ga \La} \, \cD_i \Gia = 0 \ .
\end{equation}
\\
Wir können also alle Zwangsbedingungen \re{2.47}-\re{2.49} der Gravitation erfüllen,
indem wir uns auf den nichttrivialen Unterraum

\begin{equation}
  \label{eq:2.50}
  \Gia \eex 0
\end{equation}
\\
des Phasenraums einschränken. Die Bedingungen \re{2.50} bilden ein
selbstkonsistentes Gleichungssystem, denn der Unterraum \re{2.50} bleibt unter
Zeitevolution erhalten, wie man mit Hilfe der Poisson-Klammern

\begin{displaymath}
  \bC{ \idx N \cH_0 , \idy  \la_{i a} \Gia} 
\end{displaymath}
\\[-.4 cm]
\begin{equation}
 \label{eq:2.51}
 = \pm \frac{i}{2} \,
  \idz  \frac{N}{\sh} \bA{e_{i a} \, e_{j b} - 2 \, e_{i b} \, e_{j a}} \, \tep^{j k \ell} \,
  \cD_k \la_{\ell b} \Gia \ , 
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.52}
  \bC{\idx N^i \cH_i , \idy \la_{i a} \Gia} = \idz \bA{N^j \pa_j \la_{i a}+\la_{j a} \pa_i N^j} \Gia \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.53}
  \bC{\idx \Om_a \, \cJ_a , \idy \la_{i b} \G{i}{b}} =\idz \eabc \, \Om_a \, \la_{i b} \G{i}{c} \ ,
\end{equation}
\\
sieht, die 

\begin{equation}
  \label{eq:2.54}
  \bC{H , \Gia} = 0
\end{equation}
\\
für $\Gia = 0$ implizieren. Ferner vertauschen die neun Felder $\Gia$ bezüglich der
Poisson-Klammer \re{2.39} untereinander. 
Der Unterraum \re{2.50} wird uns bei der Quantisierung der
Gravitation in Kapitel \ref{Kap3} noch weiter beschäftigen.

In der Darstellung \re{2.47}-\re{2.49} fällt auf, daß sich sämtliche Zwangsbedingungen
$\cH_0 , \cH_i , \cJ_a$ als Funktionen kovarianter Krümmungen und kovarianter Ableitungen
bezüglich des Eichfeldes $\Aia$ ergeben. Die Ashtekartheorie konstituiert somit eine
besondere Darstellung der Gravitationstheorie als \emph{Eichtheorie} eines Eichfeldes $\Aia$
mit konjugierter Feldstärke $\eia$. Es ist instruktiv, diese Eichtheorie mit der 
Yang-Mills-Theorie äußerer Eichsymmetrien zu vergleichen, was im nächsten Unterkapitel
geschehen soll.
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Vereinheitlichte Beschreibung von  Gravita\-tions- und Yang-Mills-Fel\-dern}
\label{Kap2.4}

Der Standard-Zusatzterm eines äußeren Yang-Mills-Eichfeldes zum Wirkungsfunktional
der Gravitation \re{2.1} lautet \cite{Beth}

\begin{equation}
  \label{eq:2.55}
  \cS_{\YM} = - \frac{1}{4} \, \idt \idxM N \, \sh \, \yF^{\mu \nu \al} \, \yF_{\mu \nu \al} \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\al$ die verschiedenen Generatoren der Yang-Mills-Eichgruppe numeriert, und

\begin{equation}
  \label{eq:2.56}
  \yF_{\mu \nu \al} = \pa_{\mu} \yA_{\nu \al} - \pa_{\nu} \yA_{\mu \al} +
  \Cabg \, \yA_{\mu \be} \, \yA_{\nu \ga}
\end{equation}
\\
die eichkovariante Feldstärke ist. Die Strukturkoeffizienten $\Cabg$ der
lokalen Eichgruppe seien vollständig
antisymmetrisch in $\al , \be , \ga$ gewählt. Führt man die in Kapitel \ref{Kap2.1}
diskutierte ADM-Raumzeit-Aufspaltung im Wirkungsfunktional auch für die 
Yang-Mills-Felder durch, so liefert eine anschließende Legendretransformation
bezüglich $\dot \yA_{i \al}$ das folgende Gesamt-Hamiltonfunktional der 
Einstein-Yang-Mills-Theorie:

\begin{equation}
  \label{eq:2.57}
  H_{\ges} = \idxM \bB{N \cH_{\ges , 0} +N^i \cH_{\ges , i}+ \bA{\Om_a \pm i \,
  \ue{i}{a} \pa_i N} \cJ_a - \yA_{0 \al} \yJ_{\al}}  \ .
\end{equation}
\\
Hierbei ist 

\begin{equation}
  \label{eq:2.58}
  \cH_{\ges , 0} = \cH_0 +\frac{1}{2 \sh} \, h_{i j} \, \bA{\Eia \, \E{j}{\al} +\Bia \, \yB{j}{\al}} \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.59}
  \cH_{\ges , i} = \cH_i +\E{j}{\al} \pa_i \yA_{j \al} - \E{j}{\al} \pa_j \yA_{i \al} -\yA_{i \al}
 \pa_j \E{j}{\al} \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.60}
  \yJ_{\al} = \cD_i \Eia : = \pa_i \Eia + \Cabg \, \yA_{i \be} \, \E{i}{\ga} \ .
\end{equation}
\\
Die Magnetfelder $\Bia$ sind über

\begin{equation}
  \label{eq:2.61}
  \Bia := \fr{1}{2} \, \eijk \, \yF_{j k \al} \ , 
\end{equation}
\\
die elektrischen Feldstärken $\Eia$ als 
kanonisch konjugierte Impulse zum Eichfeld $\yA_{i \al}$ definiert:

\begin{equation}
  \label{eq:2.62}
  \Eia := \frac{\de L_{\ges}}{\de \dot \yA_{i \al}}  = N  \sh \, \yF^{i 0} \ \!\!_{\al} \ .
\end{equation}
\\
Die symplektische Struktur \re{2.39} ist auf dem um die Felder $\yA_{i  \al} , \Eia $ erweiterten
Phasenraum über die kanonische Poisson-Klammer 

\begin{equation}
  \label{eq:2.63}
  \bC{ \yA_{i \al} (x) , \E{j}{\be} (y) } = \de^j_i \, \de_{\al \be} \, \dexy
\end{equation}
\\
fortzusetzen. Vergleicht man die Beiträge von Gravitations- und Yang-Mills-Feldern
zum Gesamt-Hamiltonfunktional \re{2.57}, so fällt zunächst eine bemerkenswerte
Strukturäquivalenz zwischen $\cJ_a$ gemäß \re{2.38} und den 
Yang-Mills-Gauß-Bedingungen 
$\yJ_{\al}$ aus \re{2.60} auf. Auch in ihrer geometrischen Bedeutung
sind die Zwangsbedingungen $\cJ_a$ und $\yJ_{\al}$ stark verwandt: 
Beide generieren Eichtransformationen
der jeweiligen Eichgruppe. Dies rechtfertigt im Nachhinein die schon in 
Abschnitt \ref{Kap2.2}
eingeführte Bezeichnung "`Gauß-Bedingungen"' für die Zwangsbedingungen $\cJ_a$
der Gravitationstheorie. Betrachten wir weiterhin den
Beitrag des Yang-Mills-Feldes zu den Diffeomorphismen in \re{2.59}, so unterscheidet
sich dieser nur im Vorfaktor vom gravitativen Beitrag \re{2.37}. Dieser Unterschied
ist aber ausschließlich auf die verschiedenen Poisson-Klammern \re{2.39} und \re{2.63}
zurückzuführen, weshalb Gravitations- und Yang-Mills-Felder effektiv völlig
äquivalente Beiträge zu den Diffeomorphismen leisten. 

Lediglich im Beitrag zur Hamiltonschen Zwangsbedingung unterscheiden sich die
beiden Felder: Führt man analog zu \re{2.61} ein "`Magnetfeld"'  

\begin{equation}
  \label{eq:2.64}
  \gb{i}{a} : = \fr{1}{2} \, \eijk  \cF_{j k a}
\end{equation}
\\
auch für die Gravitation ein, so läßt sich $\cH_0$ aus \re{2.47} auf die Form

\begin{equation}
  \label{eq:2.65}
  \cH_0 = \frac{2}{\ga \sh} \, h_{i j} \, \bA{\eia \, \gb{j}{a} + \frac{\La}{3} \, \eia \, \eja}
\end{equation}
\\
umschreiben. Im direkten Vergleich mit dem Yang-Mills-Beitrag zur 
Ge\-samt-Ham\-il\-ton-\-Zwangs\-be\-dingung \re{2.58} ist dieser 
gravitative Beitrag zwar ebenfalls
bilinear in $\eia , \gb{i}{a}$, aber nur erster Ordnung in $\gb{i}{a}$. Dieser wesentliche
Unterschied zwischen Ashtekar- und Yang-Mills-Theorie ist offensichtlich darauf
zurückzuführen, daß das gravitative Wirkungsfunktional \re{2.1} im Gegensatz 
zum Yang-Mills-Beitrag \re{2.55} nur \emph{linear} in der Krümmung der
Eichfelder ist. 

Ferner unterscheiden sich die beiden Eichtheorien in dem zugrunde liegenden
Phasenraum: Im Gegensatz zu den Yang-Mills-Eichfeldern $\yA_{i \al}$ dürfen die
Ashtekar-Eichfelder $\Aia$ \emph{komplex} sein, was auch die unterschiedlichen
symplektischen Strukturen \re{2.39} und \re{2.63} erklärt. 

Trotz dieser formalen
Unterschiede zwischen Ashtekar- und Yang-Mills-Theorie ist es gerade die 
Formulierung der Gravitation als \emph{Eichtheorie}, die uns in Kapitel \ref{Kap3.4}
erlauben wird, eine exakte Lösung der quantisierten Einsteingleichungen anzugeben.

Zum Abschluß dieser bisher ausschließlich klassischen Betrachtungen  sei noch
eine bemerkenswerte Verallgemeinerung des in \re{2.43} definierten Tensors $\Gia$
erwähnt, die sich bei der Beschreibung externer Yang-Mills-Felder als nützlich
erweist. Definieren wir für ein 
Yang-Mills-Feld die Hilfsgrößen\footnote{
Die Felder $\ \yT{i j}$ sind die
Komponenten einer kontravarianten Tensordichte zweiter Stufe vom Gewicht $+2$;
dieses spezielle Gewicht sei hier durch eine Doppeltilde angedeutet.}

\begin{equation}
  \label{eq:2.66}
  \yT{i j} := \fr{1}{2}  \bA{i \, \Eia \pm \Bia} \bA{i \, \E{j}{\al} \mp \yB{j}{\al}} \ ,
\end{equation}
\\
wobei sich die Wahl des Vorzeichens auf die Definition \re{2.34} der Ashtekarvariablen
bezieht, so ergeben sich analog zu \re{2.47}, \re{2.48} folgende Darstellungen für
$\cH_{\ges , 0}$ und $\cH_{\ges , i}$:

\begin{equation}
  \label{eq:2.67}
  \cH_{\ges , 0} = \frac{2}{\ga} \, e_{i a} \bB{\Gia - \frac{\ga}{2 \sh} \, e_{j a} \,\yT{i j}} \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:2.68}
  \cH_{\ges , i} = \pm \frac{2 i}{\ga} \, \ute_{i j k} \, \eja \bB{\G{k}{a} - \frac{\ga}{2 \sh} \,
  e_{\ell a} \, \yT{k \ell} } - \Aia \cJ_a - \yA_{i \al} \yJ_{\al} \ . 
\end{equation}
\\
Fordert man in Verallgemeinerung von \re{2.50} 

\begin{equation}
  \label{eq:2.69}
  \Gia \eex \frac{\ga}{2 \sh} \,e_{j a} \, \yT{i j} \qquad \Leftrightarrow \qquad
  \eja \Gia = \frac{\ga}{2} \  \yT{i j} 
\end{equation}
\\
in Verbindung mit 

\begin{equation}
  \label{eq:2.70}
  \cJ_a \eex 0 \quad , \quad \yJ_{\al} \eex 0 \ ,
\end{equation}
\\
so sind alle Zwangsbedingungen der Einstein-Yang-Mills-Theorie automatisch
erfüllt, und bleiben wie in \re{2.54} sogar unter Zeitevolution erhalten. Über Lösungen von
\re{2.69} und \re{2.70} erhalten wir also \emph{spezielle} klassische Lösungen der
Einstein-Yang-Mills-Theorie. 

Vergleichen wir die Forderungen
\re{2.69} mit den üblichen, dreidimensionalen Einsteingleichungen

\begin{equation}
  \label{eq:2.71}
  \tGia = \frac{\ga \sh}{2} \, e_{j a} \, T^{i j}  \ ,
\end{equation}
\\
wobei $T^{i j}$ die räumlichen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors
für Yang-Mills-Felder bezeichnet, so zeigen die Gleichungen \re{2.69} und \re{2.71} 
eine überraschende Strukturäquivalenz:
Die Tensordichte $\ \yT{i j}$ gemäß \re{2.66} scheint hierbei in \re{2.69}
formal die Rolle des Energie-Impuls-Tensors $T^{i j}$ in \re{2.71} zu
übernehmen - insbesondere stimmen dann die Kopplungsfaktoren 
$\frac{\ga}{2} = 8 \pi G$ in \re{2.69} und \re{2.71} exakt überein. Diese Analogie
ist umso erstaunlicher, als daß zum einen
die Größen $\ \yT{i j}$ \emph{keineswegs} den Energie-Impuls-Tensor eines 
Yang-Mills-Feldes bezeichnen, und da es sich zum anderen bei den Gleichungen
\re{2.69} und \re{2.71} um \emph{grundsätzlich verschiedene} Aussagen handelt. 

Abschließend sei noch bemerkt, daß die Gleichungen \re{2.69}, \re{2.70}
vollständig in einen gravitativen
und einen Yang-Mills-Anteil entkoppeln, was  Anlaß zu expliziten, klassischen Lösungen
des Systems \re{2.69}, \re{2.70} gibt, die jedoch \emph{komplexen} Yang-Mills-Feldern
entsprechen und deshalb schwierig physikalisch zu interpretieren sind -
wir wollen uns deshalb an dieser Stelle nicht weiter mit den Lösungen des 
Gleichungssystems \re{2.69}, \re{2.70}  und der Interpretation des
zugehörigen Lösungsraumes beschäftigen, sondern uns stattdessen im nächsten
Kapitel der Quantisierung der Gravitation zuwenden.

 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Kanonische Quantisierung der Gravitation}
\label{Kap3}
\kopf{Kapitel 3: Kanonische Quantisierung der Gravitation}
\thispagestyle{empty}

Wir wollen nun die kanonische, symplektische Algebra \re{2.22} der fundamentalen
Phasenraumvariablen $\eia$ und $p_{i a}$ auf einem Hilbertraum von Wellenfunktionalen
$\Ps$ darstellen. Da die Triadenfelder $\eia$ leichter geometrisch zu interpretieren sind
als ihre kanonisch konjugierten Impulse $p_{i a}$, und außerdem schon in der 
klassischen Formulierung der Gravitation als eigentliche Konfigurationsraumvariablen
auftraten, werden wir die Quantisierung zunächst in der $\eia$-Darstellung durchführen.
Zur Realisierung  der kanonischen Operatoralgebra

\begin{equation}
  \label{eq:3.1}
  \bB{\eia (x) , p_{j b} (y) } = i \hb \, \de^i_j \, \de_{a b} \, \dexy
\end{equation}
\\
haben wir dann

\begin{equation}
  \label{eq:3.2}
  p_{i a} (x) = - i \hb\,  \frac{\de}{\de \eia (x)}
\end{equation}
\\
zu wählen, wobei $p_{i a}$ auf Wellenfunktionale $\Pse$ wirkt, die den 
Darstellungsraum aufspannen. Im Abschnitt \ref{Kap3.3} werden wir ein inneres Produkt
definieren, das diesen Darstellungsraum zum Hilbertraum erweitert.

Aus \re{3.2} erhält man sofort die den Ashtekarvariablen \re{2.34} zugeordneten
Quantenoperatoren 

\begin{equation}
  \label{eq:3.3}
  \Aia (x) = \om_{i a} (x) \pm \frac{\ga \hb}{2} \, \frac{\de}{\de \eia (x)} \ ,
\end{equation}
\\
die mit $\eia$ zu \re{2.39} analoge Vertauschungsrelationen erfüllen. Die 
Zwangsbedingungen $\cH_0 , \cH_i$ und $\cJ_a$ der klassischen Gravitationstheorie
sollen nun über die \emph{Diracsche Methode} in die Quantentheorie
der Gravitation implementiert werden.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Operatoren und Algebra der Zwangsbedingungen}
\label{Kap3.1}


Für die Quantisierung eines klassischen Hamiltonschen Systems mit Zwangsbedingungen
kann die Diracsche Methode \cite{Dirac} verwendet werden, 
wenn sämtliche Zwangsbedingungen
\emph{primär} sind, also  unter dem Hamiltonschen Fluß erhalten bleiben. Dabei wird zu
jeder Zwangsbedingung ein quantenmechanischer Operator definiert, wobei die
Quantisierung so durchzuführen ist, daß die Algebra dieser Operatoren schließt\footnote{
Dies setzt natürlich voraus, daß die entsprechende klassische Poisson-Algebra
ebenfalls abgeschlossen ist.}; andernfalls würden über die Kommutatoren der
primären Zwangsoperatoren neue, \emph{sekundäre} Zwangsbedingungen entstehen.
Dann können  die Zwangsbedingungen auf dem Darstellungsraum implementiert werden,
indem man fordert, daß sämtliche  zugeordnete Operatoren das Wellenfunktional $\Ps$ 
annihilieren. 

Wir werden nun Darstellungsoperatoren zu den Zwangsobservablen $\cH_0 , \cH_i$
und $\cJ_a$ der klassischen Gravitationstheorie definieren und zeigen, daß ihre
Algebra geschlossen ist. Dann folgt aus der quantenmechanischen Algebra über den
semiklassischen Limes automatisch eine strukturgleiche Poisson-Algebra
der klassischen Zwangsobservablen. Die klassische Algebra der
Zwangsbedingungen ist deshalb ebenfalls abgeschlossen, und hätte
auch schon in Kapitel \ref{Kap2} 
diskutiert werden können. Weiterhin impliziert der Abschluß der klassischen 
Poisson-Algebra  
über \re{2.41} direkt die Zeiterhaltung der klassischen Zwangsobservablen,
die folglich vom primären Typ sind - 
der quantenmechanische Abschluß der Algebra der Zwangsoperatoren sichert
somit im Nachhinein gleichzeitig die Anwendbarkeit der Diracschen Methode.

Zur expliziten Angabe der quantisierten Operatoren $\cH_0 , \cH_i$ und $\cJ_a$
in der $\eia$-Darstellung wählen wir nun die in \re{2.47}-\re{2.49} angedeutete
Faktorordnung, wobei für $\Aia$ die Operatoren \re{3.3}  einzusetzen sind. Durch
Nachrechnen verifiziert man leicht, daß hiermit die Darstellungen \re{2.37} und
\re{2.38} für die Diffeomorphismen $\cH_i$ 
und die Gauß-Bedingungen $\cJ_a$ auch
quantenmechanisch gültig bleiben. Für die Algebra der Quantenoperatoren ergibt
sich nach einiger Rechnung explizit das folgende Resultat:

\begin{equation}
  \label{eq:3.4}
  \bB{\idx \ph_a \, \cJ_a , \idy \ps_b \, \cJ_b} = i \hb \idz \eabc \, \ph_a \, \ps_b \, \cJ_c \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:3.5}
  \bB{\idx N^i  \cH_i , \idy \ph_a \, \cJ_a} = i \hb \idz N^i \pa_i \ph_a \, \cJ_a \ , 
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:3.6}
  \bB{\idx N^i  \cH_i , \idy M^j  \cH_j} = i \hb \idz \bA{N^i \pa_i M^j - M^i \pa_i N^j} \cH_j \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:3.7}
  \bB{\idx \ph_a \, \cJ_a , \idy N  \cH_0} = 0 \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:3.8}
  \bB{\idx N^i  \cH_i , \idy N  \cH_0} = i \hb \idz N^i \pa_i N \, \cH_0 \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:3.9}
  \bB{\idx N  \cH_0 , \idy M  \cH_0 } = i \hb \idz \! \bA{N \pa_i M \! - \! M \pa_i N} h^{i j} \!
  \bA{\cH_j \! + \! \cA_{j a} \, \cJ_a} \, .
\end{equation}
\\
In der von uns gewählten Faktorordnung schließt die Algebra der quantisierten
Operatorn $\cH_0 , \cH_i , \cJ_a$ also \emph{ohne} Quantenkorrekturen.

Definieren wir den bereits in Abschnitt  \ref{Kap2.2} erwähnten Paritätsoperator $\cP$
quantenmechanisch in naheliegender Weise über seine Wirkung

\begin{equation}
  \label{eq:3.9+}
  \cP \, \Pse = \Psi [- \eia ] 
\end{equation}
\\
auf Wellenfunktionale $\Pse$,
so transformieren sich die Operatoren
$\cH_0$ und $\cH_i$ gerade, und die $\cJ_a$ ungerade unter
Paritätstransformationen. Auch unter Hinzunahme des Paritätsoperators $\cP$
bleibt die resultierende Algebra der quantenmechanischen Operatoren 
$\cH_0 , \cH_i, \cJ_a$ und $\cP$ deshalb abgeschlossen. 

Eichinvariante Wellenfunktionale $\Pse$ müssen nun die sieben funktionalen
Zwangsbedingungen

\begin{equation}
  \label{eq:3.10}
  \cH_0 \, \Psi \eex 0 \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:3.11}
  \cH_i \, \Psi \eex 0 \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:3.12}
  \cJ_a \, \Psi \eex 0 \ ,
\end{equation}
\\
sowie die diskrete Paritätsforderung 

\begin{equation}
  \label{eq:3.13}
  \cP \, \Psi \eex \Psi
\end{equation}
\\
befriedigen. Die Zwangsbedingung \re{3.10} heißt auch
\emph{Whee\-ler-\-De\-Witt-\-Glei\-chung} der Quantengravitation.

Die physikalische Interpretation dieser fundamentalen Gleichungen der
Quantengravitation ergibt sich direkt aus ihrer klassischen Bedeutung: Die
Bedingungen \re{3.10} und \re{3.11} sichern die Invarianz des Quantenzustands $\Psi$
unter zeitlichen und räumlichen Koordinatentransformationen, die
Forderungen \re{3.12} implizieren zusammen
mit \re{3.13} die Invarianz von $\Psi$ unter beliebigen räumlichen
O(3)-\-Eich\-trans\-for\-ma\-tio\-nen der Triade.

Die Kommutatoren der Operatoralgebra \re{3.4}-\re{3.8} lassen sich ebenfalls sehr schön
geometrisch interpretieren: Die Operatoren $\cJ_a$ liefern gemäß \re{3.4} eine 
Darstellung der lokalen Drehgruppe SO(3), die $\cH_i$ stellen gemäß \re{3.6} die
universelle Diffeomorphismengruppe der Lie-Ableitung dar.\footnote{
Die Lie-Ableitung und ihre Gruppeneigenschaft werden im Anhang \ref{AnhB.1} im
Zusammenhang mit homogenen 3-Mannigfaltigkeiten diskutiert.}
In \re{3.5} und \re{3.8} wirken die Diffeomorphismen über die Lie-Ableitung auf die
Parameterfelder $\ph_a$ und $N$, nicht aber auf $\cJ_a$ und $\cH_0$, die in
diesem Sinne diffeomorphismuskovariante Größen sind. Gemäß \re{3.7} ist  ferner der
Operator $\cH_0$ der Hamiltonschen Zwangsbedingung SO(3)-invariant.

Lediglich der letzte Kommutator \re{3.9} läßt sich nicht ohne weiteres geometrisch
interpretieren, es ist aber bemerkenswert, daß eine zu \re{3.9}
strukurgleiche Erweiterung für die
quantisierte Einstein-Yang-Mills-Theorie existiert. Zur Erläuterung dieser Aussage werden
wir  im nächsten Unterkapitel auch im Rahmen der Quantentheorie noch
einmal kurz auf die in Kapitel \ref{Kap2.4} diskutierte Einstein-Yang-Mills-Theorie
zurückkommen. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Die quantisierte Einstein-Yang-Mills-\-Theo\-rie}
\label{Kap3.2}


Zur kanonischen Quantisierung der in Kapitel \ref{Kap2.4} klassisch formulierten
Einstein-Yang-Mills-Theorie müssen wir den Darstellungsraum der Quantengravitation
auf Yang-Mills-Felder erweitern. Im Gegensatz zur Gravitationstheorie spielen in
der üblichen Yang-Mills-Theorie die Eichfelder $\yA_{i \al}$ die Rolle der natürlichen
Konfigurationsraumvariablen, so daß es naheliegend ist, den von den Wellenfunktionalen
$\PseA$ aufgespannten Darstellungsraum zu betrachten. Für die zu $\yA_{i \al}$
kanonisch konjugierten Impulse $p_{i a}$ ergibt sich dann die Operatordarstellung

\begin{equation}
  \label{eq:3.14}
  \Eia (x) = - i \hb \, \frac{\de}{\de \yA_{i \al} (x)} \ .
\end{equation}
\\
Wählen wir die Faktorordnung der quantisierten Operatoren $\cH_{\ges , 0} ,
\cH_{\ges , i}$ und $\yJ_{\al}$ wie in \re{2.58}-\re{2.60}, so ergibt sich auch für
die quantisierte Einstein-Yang-Mills-Theorie wieder die Operatoralgebra \re{3.4}-\re{3.8},
wobei die dort auftretenden Operatoren $\cH_0$ und $\cH_i$ einfach durch ihre
Yang-Mills-Erweiterungen $\cH_{\ges , 0}$ und $\cH_{\ges , i}$ zu ersetzen sind.
Neu hinzu kommen die Vertauschungseigenschaften mit den 
Yang-Mills-Gauß-Bedingungen $\yJ_{\al}$, wofür sich folgendes ergibt:\footnote{
Die entsprechende klassische Poisson-Algebra der Zwangsbedingungen einer 
Einstein-Yang-Mills-Theorie wurde bereits von Ashtekar in \cite{Ash1} angegeben.}

\begin{equation}
  \label{eq:3.15}
  \bB{\idx \ph_{\al} \, \yJ_{\al} , \idy \ps_{\be} \, \yJ_{\be}} = i \hb \idz \Cabg \, \ph_{\al}
  \, \ps_{\be} \, \yJ_{\ga} \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:3.15+}
  \bB{\idx \ph_{\al} \, \yJ_{\al} , \idy \ps_b \, \cJ_b } = 0 \ ,
\end{equation}
 \\
 \begin{equation}
   \label{eq:3.16}
   \bB{\idx N^i \cH_{\ges , i}  \, \idy \ph_{\al} \, \yJ_{\al} } = i \hb \idz N^i \pa_i \ph_{\al} \, 
   \yJ_{\al} \ ,
 \end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:3.16+}
  \bB{\idx \ph_{\al} \, \yJ_{\al} , \idy N \cH_{\ges , 0}} = 0 \ .
\end{equation}
\\
Die geometrische Bedeutung dieser Kommutatoren ist offensichtlich:
Über  \re{3.15} stellen die Generatoren $\yJ_{\al}$ der lokalen 
Yang-Mills-Eichtransformationen die Algebra der Eichgruppe dar, wegen \re{3.15+}
ergibt sich die Ein\-stein-\-Yang-\-Mills-\-Eich\-grup\-pe als direktes Produkt der beiden
Untergruppen. Die $\yJ_{\al}$ sind gemäß \re{3.16}, \re{3.16+}  diffeomorphismuskovariante
Operatoren, welche die Hamiltonsche Zwangsbedingung $\cH_{\ges , 0}$ invariant lassen.    

Für die einzige noch ausstehende Vertauschungsrelation von $\cH_{\ges , 0}$ mit
sich selbst finden wir das Resultat

\vspace{3 cm}

\begin{displaymath}
  \bB{\idx N \cH_{\ges , 0} , \idy M \cH_{\ges , 0}} 
\end{displaymath}
\\[-.5 cm]
\begin{equation}
 \label{eq:3.17+}
 = i \hb \idz \bA{N \pa_i M - M \pa_i N}
  h^{i j} \bA{\cH_{\ges , j} + \cA_{j a} \, \cJ_a + \yA_{j \al} \, \yJ_{\al}} \ ,
\end{equation}
\\
was eine direkte Verallgemeinerung von \re{3.9} darstellt.
Insbesondere gehen in \re{3.17+} 
Gravitations- und Yang-Mills-Theorie als gleichwertige Eichtheorien ein, was aufgrund
der in Kapitel \ref{Kap2.4} dargestellten, strukturell \emph{unterschiedlichen} Feldbeiträge
zu $\cH_{\ges , 0}$ sehr überraschend ist. Bemerkenswert ist an dem Ergebnis \re{3.17+}
weiterhin die Tatsache, daß man aufgrund der Abhängigkeit des Yang-Mills-Beitrags
\re{2.58} von der 3-Metrik $\hh$ wohl eigentlich einen Wechselwirkungsterm 
zwischen Gravitations- und Yang-Mills-Feld erwartet hätte; dieser bleibt aber
klassisch wie auch quantenmechanisch aus. Der Kommutator der Hamiltonschen
Zwangsbedingung mit sich selbst zeigt also eine erstaunliche Universalität, womit wir auch
die Struktur des rein gravitativen Resultats \re{3.9} nun besser verstehen.

Ferner sei noch betont, daß die Operatoralgebra der quantisierten 
Einstein-Yang-Mills-Theorie in der 
angegeben Faktorordnung \emph{ohne} Quantenkorrekturen schließt, so
daß auch hier sämtliche  Zwangsbedingungen im Diracschen Sinne implementiert werden
können. Betrachtet man die Vertauschungsrelationen \re{3.4}-\re{3.8}, \re{3.15}-\re{3.17+}
der Quantenoperatoren $\cH_{\ges , 0}, \cH_{\ges , i} , \cJ_a$ und $\yJ_{\al}$ genauer,
so fällt auf, daß hier die Gravitations- und die Yang-Mills-Theorie in einer
 \emph{algebraisch vereinheitlichten} Form beschrieben werden.

Mit diesen Bemerkungen wollen wir die Diskussion von Yang-Mills-Feldern nun aber
beenden - das Studium der vollen, quantisierten Einstein-Yang-Mills-Theorie
würde weit über den Rahmen dieser Arbeit hinausführen. Im folgenden werden wir
uns ausschließlich den Problemen der quantisierten Gravitationstheorie zuwenden.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Inneres Produkt, Hermitezität und Eichfixierung}
\label{Kap3.3}

Um von einer Quantentheorie der Gravitation sprechen zu können, genügt es nicht,
einen Darstellungsraum und eine geschlossene Operatoralgebra anzugeben; wir benötigen
ferner ein \emph{inneres Produkt}, das den Darstellungsraum der
Wellenfunktionale zum Hilbertraum erhebt, und
bezüglich dessen die Operatoren $\cH_0 , \cH_i$ und $\cJ_a$ \emph{hermitesch} sind. Ein
derartiges inneres Produkt über dem vollen Darstellungsraum wollen wir als
\emph{kinematisches} Produkt bezeichnen \cite{Wood}. Tatsächlich interessieren wir uns aber 
effektiv nur für einen \emph{Unterraum} des Darstellungsraums, der von den eichinvarianten
physikalischen Zuständen $\Psi$ mit \re{3.10}-\re{3.13} aufgespannt wird. Zum
Auffinden eines \emph{physikalischen} Produkts auf diesem Unterraum gibt es ein
Standardverfahren, das \emph{Faddeev-Popov-Kalkül} \cite{FadPop}, das angibt, wie man durch
Eichfixierung des kinematischen Produkts zu einem effektiven, inneren Produkt
auf dem Unterraum physikalischer Zustände gelangen kann. Auf das Problem der
Eichfixierung werden wir in der zweiten Hälfte dieses Abschnitts zu sprechen kommen,
zunächst soll uns aber das kinematische Produkt und die Frage nach der
Hermitezität der Operatoren $\cH_0 , \cH_i$ und $\cJ_a$ interessieren.

Zur Diskussion der Hermitezität ist es zweckmäßig, anstelle des komplex definierten
Operators $\cH_0$ den Operator $\cHA$ zu betrachten, der über  \re{2.36} mit $\cH_0$
verknüpft ist. Mit Hilfe von \re{3.4}-\re{3.9} überzeugt man sich leicht davon, daß 
die Operatoren $\cHA , \cH_i$ und $\cJ_a$ ebenfalls eine geschlossene Algebra
bilden, und daß sich der Unterraum der physikalischen Zustände durch die
Substitution $\cH_0 \mapsto \cHA$ nicht ändert.
Die Kommutatoren der von $\cHA , \cH_i$ und $\cJ_a$ gebildeten Algebra sind
allerdings kompliziert und sollen hier nicht explizit
angegeben werden. 

Wir finden, daß die Operatoren $\cHA , \cH_i$ und $\cJ_a$ formal hermitesch
bezüglich des kinematischen Produkts

\begin{equation}
  \label{eq:3.17}
  \bD{\Psi_1}{\Psi_2} = \ifu [ \eia ] \, \pp^{-3/2} \, \Psi^*_1 [ \eia ] \cdot \Psi_2 [ \eia ]
\end{equation}
\\
sind\footnote{
Für die Hermitezität der Operatoren $\cH_i$ benötigt man dabei folgende Eigenschaft
der Feld\-ope\-ra\-to\-ren:

\begin{displaymath}
  \bB{p_{i a} (x) ,\pa_k \e{j}{b} (x) } = - i \hb \, \de^j_i \, \de_{a b} \, \pa_k \de^3 (0) 
  \begin{array}{c} ! \\[-.2 cm] = \\[-.2 cm] \ \end{array}  0 \ .
\end{displaymath}
\\
Das Verschwinden dieses Kommutators ist nicht selbstverständlich, es gibt aber 
Argumente \cite{Mat}, warum dies für eine entsprechend regularisierte Feldtheorie
möglich sein sollte.}, wobei $\ppt$ das Raumprodukt der Determinante $h (x)$ 
der 3-Metrik bezeichnet:

\begin{equation}
  \label{eq:3.18}
  \pp := \prod_{x \in \Mx} \, h (x) \ .
\end{equation}
\\
Das nichttriviale Integrationsgewicht in \re{3.17} läßt sich eliminieren, indem man im
Konfigurationsraum einen Koordinatenwechsel von den Variablen $\eia$ zu den 
Komponenten $e_{i a}$ der Triaden-1-Formen vornimmt: 

\begin{equation}
  \label{eq:3.19}
  \bD{\Psi_1}{\Psi_2} = \ifu [ e_{i a} ] \Psi^*_1 [e_{i a} ] \cdot \Psi_2 [ e_{i a} ] \ .
\end{equation}
\\
Im kinematischen Produkt \re{3.17}, \re{3.19} sind zwar die zu $\eia$ kanonisch
konjugierten Impulse $p_{i a}$ \emph{nicht} hermitesch, dafür aber die Impulsoperatoren

\begin{equation}
  \label{eq:3.20}
  \tilde p^{\, i}_{\ a} := \eijk \, \eabc \, e_{j b} \, p_{k c} \equiv -i \hb \, \frac{\de}{\de e_{i a}} \ ,
\end{equation}
\\
die sich zu $e_{i a}$ kanonisch konjugiert verhalten.\footnote{Tatsächlich wäre es unter
dem Gesichtspunkt der Hermitezität naheliegender gewesen, die Quantisierung der
Gravitation in der $e_{i a}$-Darstellung durchzuführen. Die Vorteile der hierzu völlig
äquivalenten $\eia$-Darstellung werden im nächsten Abschnitt \ref{Kap3.4} noch
offensichtlich werden.}

Im Rahmen des Faddeev-Popov-Kalküls kann nun zum kinematischen, inneren
Produkt \re{3.19} ein eichfixiertes, physikalisches Produkt auf dem Unterraum der
physikalischen Zustände konstruiert werden. Hierzu ist für jede Eichsymmetrie der
Theorie eine \emph{Eichbedingung} zu wählen, wobei darauf zu achten ist, daß jeder
Punkt des Konfigurationsraumes durch \emph{Eichtransformationen} in einen 
eichäquivalenten Punkt überführt werden kann, der die geforderte Eichbedingung 
befriedigt. Für die Gauß-Bedingungen $\cJ_a$ bieten sich die Eichbedingungen

\begin{equation}
  \label{eq:3.21}
  \ch_a = \pa_i \eia \eex 0 \ ,
\end{equation}
\\
für die Diffeomorphismen $\cH_i$ die \emph{harmonische} Eichung

\begin{equation}
  \label{eq:3.22}
  \ch^j = \pa_i \bA{\sh \, h^{i j}} \eex 0
\end{equation}
\\
an. Diese führen auf das vorläufige innere Produkt\footnote{
Die Faddeev-Popov-Determinante zu den in \re{3.21} und \re{3.22} getroffenen 
Eichbedingungen faktorisiert in einen Gauß- und einen 
Diffeomorphismen-Anteil $J_{\gau}$ und $J_{\dif}$, da die $\ch_a$ Diffeomorphismus-,
und die $\ch^i$ SO(3)-invariant sind.} 

\begin{equation}
  \label{eq:3.23}
  \bE{\Psi_1}{\Psi_2} = \bD{\Psi_1 \Si | \, \de^3 [ \ch_a ] \cdot \de^3 [ \ch^i ] \cdot
     | J_{\gau} \, J_{\dif} |  \, }{\Psi_2} 
\end{equation}
\\
mit

\begin{equation}
  \label{eq:3.24}
  J_{\gau} := \Det \bC{ \frac{i}{\hb}  \bB{\cJ_a (x) , \ch_b (y)}} \quad  , \quad
  J_{\dif} := \Det \bC{ \frac{i}{\hb}  \bB{ \cH_i (x) , \ch^j (y)}} \ .
\end{equation}
\\
Die hierbei auftretenden Faddeev-Popov-Funktionaldeterminanten $J_{\gau}$ und
$J_{\dif}$ gemäß \re{3.24} sind allerdings sehr kompliziert zu berechnen, weshalb wir
es hier bei den formalen Ausdrücken bewenden lassen wollen. 

Das Ergebnis \re{3.23} ist soweit unabhängig von der speziellen Wahl der 
Eichbedingungen $\ch_a$
und $\ch_j$, da die Operatoren $\cJ_a$ und $\cH_i$ Ableitungsoperatoren erster
Ordnung auf dem Konfigurationsraum sind: Für solche Operatoren garantiert das 
Faddeev-Popov-Kalkül ein \emph{eindeutiges}, eichfixiertes inneres Produkt \cite{FadPop}. 
Ein besonderes
Problem hat man hingegen bei der noch ausstehenden \emph{Zeiteichung} bezüglich
der Hamiltonschen Zwangsbedingung. Wählt man zu $\cHA$ eine beliebige
Eichbedingung $\ch$, so ist die Faddeev-Popov-Funktionaldeterminante

\begin{equation}
  \label{eq:3.25}
  J_{\ham} := \Det \bC{\frac{i}{\hb} \bB{\cHA (x) , \ch (y)}}
\end{equation}
\\
noch von erster Ordnung 
in den Impulsoperatoren $p_{i a}$; im vollständig eichfixierten Skalarprodukt

\begin{displaymath}
   {\bE{\Psi_1}{\Psi_2}}_{\phy} = \bE{\Psi_1 \Si | \ns \Si | \, \de [ \ch ] \cdot | J_{\ham} | \,}{\Psi_2}
\end{displaymath}
\\[-.5 cm]
\begin{equation}
  \label{eq:3.26}
  = \bD{\Psi_1 \Si | \, \de^3 [ \ch_a ] \cdot \de^3 [ \ch^i ] \cdot \de [ \ch ] \cdot
   | J_{\gau} \, J_{\dif} \, J_{\ham} | \,}{\Psi_2}
\end{equation}
\\
wirkt $J_{\ham}$ deshalb noch über erste Funktionalableitungen auf
die Wellenfunktionale $\langle \Psi_1 |$ und $| \Psi_2 \rangle$, 
wobei insbesondere die Betragsbildung in \re{3.26}
Schwierigkeiten bereitet \cite{Wood}. 
Dabei liefern verschiedene Wahlen von $\ch$ \emph{inäquivalente}
physikalische innere Produkte \re{3.26}, so daß a priori tatsächlich unklar ist,
wie das vollständig
eichfixierte innere Produkt der Quantengravitation auszusehen hat. 

In Kapitel \ref{Kap5} werden wir versuchsweise
eine besonders naheliegende Wahl der Eichbedingung $\ch$ diskutieren, und die
resultierende "`physikalische Norm"' eines speziellen, exakten Quantenzustands berechnen,
der im folgenden Abschnitt konstruiert werden soll. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Der Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation}
\label{Kap3.4}


Zur Herleitung  einer speziellen Lösung der Zwangsbedingungen \re{3.10}-\re{3.13}
der Quantengravitation können wir versuchen, das restriktivere Gleichungssystem

\begin{equation}
  \label{eq:3.30}
  \Gia \, \Psi \eex 0
\end{equation}
\\
zu lösen, das die quantenmechanische Verallgemeinerung von \re{2.50} darstellt.
Wegen \re{2.47}-\re{2.49} erfüllt dann jede Lösung $\Psi$ von \re{3.30} automatisch die
sieben Zwangsbedingungen \re{3.10}-\re{3.12}, während die Paritätsforderung \re{3.13}
noch gesondert zu untersuchen bleibt. Wie ihr klassisches Pendant \re{2.50} bilden die
Gleichungen \re{3.30} ein selbstkonsistentes System, denn die Operatoren $\Gia$ 
vertauschen untereinander und bilden mit dem quantisierten Hamiltonfunktional $H$
gemäß \re{2.41} eine geschlossene Algebra. 

Als Lösungsansatz für das Gleichungssystem \re{3.30} bietet sich zunächst eine
Ähnlichkeitstransformation 

\begin{equation}
  \label{eq:3.31}
  \Psi [ \eia ] = \exp \bB{\mp \frac{2  \Phi}{\ga \hb}} \cdot \Psi' [ \eia ]
\end{equation}
\\
mit $\Phi$ aus \re{2.40} an, die den inhomogenen Term $\om_{i a}$ der Ashtekar-Operatoren
$\Aia$ in \re{3.3} eliminiert:

\begin{equation}
  \label{eq:3.32}
  \exp \bB{\pm \frac{2  \Phi}{\ga \hb}} \cdot \Aia \cdot \exp \bB{\mp \frac{2  \Phi}{\ga \hb}} =
  \pm \frac{\ga \hb}{2} \, \frac{\de}{\de \eia} \ \ .
\end{equation}
\\
Dann nimmt das Gleichungssystem \re{3.30} die folgende explizite Form an:

\begin{equation}
  \label{eq:3.33}
  \bB{\eijk \bA{ \pm \frac{\ga \hb}{2}\, \pa_j \, \frac{\de}{\de \e{k}{a}} + \frac{\ga^2 \hb^2}{8} 
  \, \eabc \, \frac{\de^2}{\de \e{j}{b} \de \e{k}{c}}} +\frac{\La}{3} \, \eia} \cdot \Psi' = 0 \ .
\end{equation}
\\
Im zweiten Lösungsschritt betrachten wir nun eine \emph{verallgemeinerte}
Fouriertransformation,

\begin{equation}
  \label{eq:3.34}
  \Psi' [ \eia ] = \ifA \exp \bB{\pm \frac{2}{\ga \hb} \, \idx \Aia \, \eia} \cdot \hat \Psi [ \Aia ] \ \ ,
\end{equation}
\\
wobei die von $\eia$ unabhängige, \emph{komplexe} 
Integrationsmannigfaltigkeit $\Ga$ so ge\-wählt sei, daß das 
Funktionalintegral \re{3.34} existiert, und partielle Integrationen be\-züg\-lich $\Aia$ in
\re{3.34} keine Randterme liefern. Dann transformieren sich die fundamentalen
Phasenraumoperatoren $\Aia$ und $\eia$ gemäß

\begin{eqnarray}
  \label{eq:3.35}
  \pm \frac{\ga \hb}{2} \, \frac{\de \Psi'}{\de \eia} & \mapsto & \ \ \ \Aia \, \hat \Psi \ , \\
  \label{eq:3.36}
  \eia \, \Psi' \ \  & \mapsto & \mp \frac{\ga \hb}{2} \, \frac{\de \hat \Psi}{\de \Aia} \ ,
\end{eqnarray}
\\
und das fouriertransformierte Gleichungssystem \re{3.33} ergibt sich zu

\begin{equation}
  \label{eq:3.37}
  \bB{\eijk \, \cF_{j k a} \mp \frac{\ga \hb \La}{3} \, \frac{\de}{\de \Aia}} \cdot \hat \Psi = 0 \ .
\end{equation}
\\
Die allgemeine Lösung von  \re{3.37} ist der \emph{Chern-Simons-Zustand} \cite{Ble, Kod}

\begin{equation}
  \label{eq:3.38}
  \hat \PC [ \Aia ] = \cN \cdot \exp \bB{\pm \frac{3}{\ga \hb \La} \ \SA} \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\SA$ das Chern-Simons-Funktional des Ashtekar-Spin-Zu\-sam\-men\-hangs 
$\Aia$ bezeichnet,

\begin{equation}
  \label{eq:3.39}
  \SA := \idx \eijk \bA{\Aia \pa_j \cA_{k a} + \fr{1}{3} \, \eabc \, \Aia \, \cA_{j b} \, \cA_{k c}} \ ,
\end{equation}
\\
und $\cN$ ein freier Normierungsfaktor ist. 

Über \re{3.34} und \re{3.31} läßt sich der
Chern-Simons-Zustand \re{3.38} von der Ashtekar-Darstellung zurück auf die 
Tri\-aden-Darstellung transformieren, 
womit sich die folgende Funktionalintegraldarstellung für
den Chern-Simons-Zustand $\PCe$ ergibt:

\begin{equation} 
 \label{eq:3.41}
  \PCe = \cN  \cdot \! \ifA \exp
  \bB{\pm \frac{1}{\ga \hb} \bA{\idx \eijk  e_{i a} \cD_j  e_{k a}
  + \frac{3}{\La} \, \SA} \!} \, .
\end{equation}
\\
Überraschenderweise fügen sich dabei der Beitrag von der Ähnlichkeitstransformation
\re{3.31} und der Fourierterm aus \re{3.34} genau zum ersten, explizit SO(3)-eichinvarianten
Term im Exponenten von \re{3.41} zusammen, wenn man  zur Umschreibung des
Fourierterms in \re{3.34} den Zusammenhang

\begin{equation}
  \label{eq:3.42}
  \eia = \fr{1}{2} \, \eijk \, \eabc \, e_{j b} \, e_{k c}
\end{equation}
\\
zwischen $\eia$ und $e_{i a}$ verwendet. Die Gauß- und Diffeomorphismus-Invarianz
des Quantenzustands $\PCe$ läßt sich somit direkt aus der Integraldarstellung \re{3.41}
ablesen. Ferner verifiziert man mit Hilfe der Definition des quantenmechanischen
Paritätsoperators $\cP$ aus \re{3.9+} leicht, daß auch die Paritätsforderung \re{3.13} vom
Wellenfunktional $\PCe$ befriedigt wird. 

\vspace{3 cm}

Für den Normierungsfaktor $\cN$ in \re{3.41} müssen wir die Eigenschaft

\begin{equation}
  \label{eq:3.39+}
  \frac{\de \cN}{\de \eia} \eex 0
\end{equation}
\\
fordern, was aber \emph{nicht} zwangsläufig eine völlige Unabhängigkeit von
$\eia$ impliziert: Tatsächlich
kann $\cN$ noch über \emph{topologische Invarianten} der räumlichen 
3-Mannigfaltigkeit von der Triade abhängen - 
eine Freiheit, von der wir später noch Gebrauch machen werden. 

Zu diskutieren bleibt die Bedeutung und Wahl der komplexen
Integrationsmannigfaltigkeit $\Ga$ für das Funktionalintegral in \re{3.41}. Damit  $\PCe$
gemäß \re{3.41} wirklich eine Lösung des Gleichungssystems \re{3.30} ist, sollten wir  $\Ga$
so wählen, daß der Integrand von \re{3.41} an den Rändern von $\Ga$ exponentiell
verschwindet; dies sichert die Existenz des Integrals, außerdem liefern dann
partielle Integrationen bezüglich $\Aia$ keine Randterme. Da das asymptotische
Verhalten des Exponenten in \re{3.41} vom Chern-Simons-Funktional $\SA$ bestimmt
wird, während eine Abhängigkeit von der Triade $\eia$ nur über den subdominanten
Fourierterm  vorliegt, sollte es möglich sein, die Integrationsfläche $\Ga$
\emph{unabhängig} von der Triade
$\eia$ zu konstruieren, was für die Umrechnungen \re{3.35}, \re{3.36} eine notwendige 
Voraussetzung war.

Existieren verschiedene, topologisch inäquivalente Wahlen von $\Ga$ mit den 
geforderten Eigenschaften, so entsprechen diese linear unabhängigen Zuständen
$\PCe$ in der $\eia$-Darstellung, die alle über \re{3.41} aus ein und demselben
Chern-Simons-Zustand $\hat \PC [ \Aia ]$ in der Ashtekar-Darstellung hervorgehen. Dieses
bemerkenswerte  Phänomen der Vervielfachung des Quantenzustands
beim Darstellungswechsel \re{3.34} ist
bereits aus der Diskussion Bianchi IX-homogener Modelle in \cite{Pat1, Pat2, Pat3} 
wohlbekannt.

Für die folgende Diskussion werden wir die Existenz geeigneter 
Integrationsmannigfaltigkeiten $\Ga$
\emph{voraussetzen} - eine explizite Angabe ist im Fall der vollen, inhomogenen Feldtheorie
wohl leider nicht möglich: Schon im Rahmen einfacher, Bianchi IX-homogener Modelle
erwies sich die Diskussion der entsprechenden komplexen Integrationskonturen als
äußerst kompliziert. Trotzdem können wir zumindest eine implizite Konstruktionsvorschrift
für $\Ga$ angeben, und aus der Integraldarstellung \re{3.41} in
vielen \emph{asymptotischen Grenzfällen} interessante Informationen extrahieren, was
Gegenstand des nächsten Kapitels sein soll.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\chapter{Asymptotische Entwicklungen des Chern-Simons-Zustands}
\label{Kap4}
\kopf{Kapitel 4: Asymptotische Entwicklungen}
\thispagestyle{empty}

In diesem Kapitel wollen wir versuchen, den in Abschnitt \ref{Kap3.4} gefundenen
Chern-Simons-Zustand der Gravitation \re{3.41} in Abhängigkeit von der Triade $\eia$
auszuwerten und physikalisch zu interpretieren. Eine explizite analytische Berechnung
des Funktionalintegrals in \re{3.41} ist dabei sehr 
kompliziert, und sicherlich - wenn überhaupt -
nur teilweise möglich: Schon in homogenen Modellen vom Bianchi-Typ IX konnte das
entsprechende, endlichdimensionale Integral nicht vollständig analytisch behandelt
werden.

Wir wollen uns deshalb im Rahmen dieser Arbeit ausschließlich auf 
\emph{asymptotische Entwicklungen} des Funktionalintegrals in \re{3.41} beschränken, wobei als 
wesentliches mathematisches Hilfsmittel die \emph{Laplacesche Sattelpunktsmethode} zum
Einsatz kommen wird.


Um einen Überblick über die verschiedenen asymptotischen 
Entwicklungsmög\-lich\-kei\-ten
zu bekommen ist es hilfreich, sich zunächst die für die Gravitationstheorie relevanten
Längenskalen zu überlegen:

Die fundamentalen Naturkonstanten $\ga$ und $\hb$ definieren die sogenannte
\emph{Planck-Länge}

\begin{equation}
  \label{eq:4.1}
  a_{\pl} := \sqrt{\ga  \hb} \ ,
\end{equation}
\\
die eine untere Schranke für die Gültigkeit der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie
darstellt. Die kosmologische Konstante $\La$ hat dieselbe Dimension wie der
Krümmungsskalar $R$, weshalb 

\begin{equation}
  \label{eq:4.2}
  a_{\La} := \sqrt{\frac{3}{\La}}
\end{equation}
\\
eine weitere Längenskala der Theorie konstituiert. Schließlich tragen auch die 3-Metrik
$\hh$ und die Triadenfelder $\ee_a$ eine globale Längeneinheit, die man über das 
Volumen $V$ der 3-Mannigfaltigkeit $( \Mx , \hh )$ als

\begin{equation}
  \label{eq:4.3}
  a_{\co} := \sqrt[3]{V} \qquad \mbox{mit} \qquad V= \idxM \sh
\end{equation}
\\
erhält. Diese \emph{kosmologische} Längenskala ist ein Maß für die globale Ausdehnung der
räumlichen 3-Mannigfaltigkeit.

Mit Hilfe der fundamentalen Längenskalen \re{4.1}-\re{4.3} seien nun die beiden
dimensionslosen, positiven Parameter

\begin{equation}
  \label{eq:4.4}
  \ka := {\bA{\frac{a_{\co}}{a_{\La}}}}^2 = \frac{\La}{3} \, a_{\co}^2 \quad ,
  \quad \mu := {\bA{\frac{a_{\co}}{a_{\pl}}}}^2 =\frac{a_{\co}^2}{\ga \hb} \ ,
\end{equation}
\\
definiert, die im folgenden die Rolle von Entwicklungsparametern spielen werden.
Ferner reskalieren wir die Triadenfelder über

\begin{equation}
  \label{eq:4.5}
  e_{i a} = a_{\co} \, \esu{i a} \quad , \quad \eia = a_{\co}^2 \, \esia \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\esu{i a}$ und $\esia$ dimensionslose Felder sind. 
Unter Verwendung der Definitionen
\re{4.4} und \re{4.5} kann man den Chern-Simons-Zustand \re{3.41} nun vollständig
in dimensionslosen Größen ausdrücken:\footnote{Die Ashtekarvariablen $\Aia$ tragen
per definitionem keine Dimension.}

\begin{equation}
  \label{eq:4.6}
  \PC = \cN \cdot \! \ifA \exp \bB{\pm \mu \bA{\idx \eijk \esu{i a} \cD_j \esu{k a} +
  \frac{1}{\ka} \, \SA }} \ .
\end{equation}
\\
Im Limes $\mi$ bei festem $\ka$ und $\esu{i a}$ ergibt sich hiermit offensichtlich  eine 
Gaußsche Sattelpunktsform für das Funktionalintegral, so daß der 
Chern-Simons-Zustand \re{4.6} in diesem 
Grenzfall mit Hilfe der Laplaceschen Sattelpunktsmethode
ausgewertet werden kann.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Der semiklassische Limes $\mi$}
\label{Kap4.1}


Die Diskussion des Limes $\mi$ für den Chern-Simons-Zustand \re{4.6} ist physikalisch
sehr interessant, denn gemäß \re{4.4} handelt es sich hierbei gerade um den 
Grenzfall $a_{\cos} \gg a_{\pl}$,
wo die kosmologische Längenskala $a_{\co}$ der räumlichen 3-Geometrie groß im
Verhältnis zur Planck-Skala ist. Außer in unmittelbarer Umgebung des Urknalls ist die
Annahme dieser Längenverhältnisse gut gerechtfertigt. Gleichzeitig entspricht der Grenzfall
$ \mi $ wegen \re{4.4} dem formalen Limes $ \hb \to 0 $, weswegen wir ihn im weiteren auch
als \emph{semiklassischen} Limes bezeichnen werden. 

Die Anwendung der Laplaceschen Methode auf das Funktionalintegral \re{4.6} liefert
im Limes $ \mi $ bis auf einen konstanten Vorfaktor das asymptotische Resultat

\begin{equation}
  \label{eq:4.7}
  \PC  \pr{\mi}{}  \cN \cdot \Det^{- 1/2} {\bB{\mu \ \frac{\de^2 F}{\de \Aia (x) \de \cA_{j b} (y)}}}
    \cdot \exp \Si [ \pm \mu F \, \Si ]
\end{equation}
\\
mit
\begin{equation}
  \label{eq:4.8}
  F := \idx \eijk \esu{i a} \cD_j \esu{k a} + \frac{1}{\ka} \, \SA \ .
\end{equation}
\\
Hierbei ist der Ausdruck \re{4.7} an \emph{Sattelpunkten} des Exponenten $ F $ auszuwerten,
für $ \Aia $ ist also eine Lösung der Sattelpunktsgleichung

\begin{equation}
  \label{eq:4.9}
  \frac{\de F}{\de \Aia} \eex 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \fr{1}{2} \, \eijk \cF_{j k a}
  \eex - \ka \cdot \esia
\end{equation}
\\
einzusetzen. 

In \re{4.9} erkennen wir das klassische Gleichungssystem \re{2.50} wieder,
was nicht überraschend ist, da der Chern-Simons-Zustand gerade als Lösung der
Gleichungen \re{3.30} \emph{konstruiert} wurde, welche im semiklassischen Limes in \re{2.50}
übergehen. 

Die Sattelpunktsgleichung \re{4.9} läßt sich auch expliziter in der Form

\begin{equation}
  \label{eq:4.10}
  \eijk \bA{\pa_j \cA_{k a} + \frac{1}{2} \, \eabc \, \cA_{j b} \, \cA_{k c} } = - \frac{\La}{3} \, \eia
\end{equation}
\\
schreiben; sie bestimmt zu vorgegebenem $\eia$ und $\La$ diejenigen Sattelpunktsfelder
$\Aia$, die über den semiklassischen Ausdruck \re{4.7} Beiträge zum Funktionalintegral
\re{4.6} liefern können. Da die Komponenten $\eia$ der Triadenfelder bereits die
Information über die lokalen Diffeomorphismus- und SO(3)-Eichfreiheitsgrade enthalten,
haben die Lösungen $\Aia$ der Sattelpunktsgleichung \re{4.10} bei \emph{vorgegebenen}
Feldern $\eia$ keine Eichfreiheit: Fixieren wir eine Eichung für $\eia$, so impliziert dies
über \re{4.10} automatisch auch eine Eichfixierung für die Sattelpunktslösungen $\Aia$.
Wir erwarten deshalb, daß die neun Gleichungen \re{4.10} zu gegebenem $\La$ und
$\eia$ ein \emph{diskretes}, endliches 
Lösungsspektrum für die neun Sattelpunktsfelder $\Aia$ liefern.

Auf die allgemeinen Lösbarkeitseigenschaften des nichtlinearen, partiellen
Differentialgleichungssystems \re{4.10} gehen wir im Anhang \ref{AnhA.1} noch genauer ein.

Die Lösungen $\Aia$ der Sattelpunktsgleichung werden aufgrund der
Nichtlinearität von \re{4.10} in der Regel \emph{komplex} sein, was uns an dieser Stelle
aber keineswegs stört: Auch komplexe Sattelpunkte können von der komplexen
Integrationskontur $\Ga$ problemlos durchlaufen werden, so daß diese
durchaus einen sinnvollen asymptotischen Sattelpunktsbeitrag zum Funktionalintegral \re{4.6}
liefern; außerdem wurden die Ashtekarvariablen in \re{2.34} bereits 
klassisch als komplexe Felder eingeführt. 

Die Anzahl der verschiedenen Sattelpunktslösungen von \re{4.10} wird im allgemeinen
von der Topologie der 3-Mannigfaltigkeit $\Mx$ abhängen: Bei Ein\-schrän\-kung auf
Bianchi IX-homogene Mannigfaltigkeiten mit $S^3$-Topologie besitzt das
Gleichungssystem \re{4.10} \emph{fünf} verschiedene Lösungen, was aus
früheren Untersuchungen \cite{PatDip,Pat1} bekannt ist. 
Diese Lösungen sollten sich zumindest für
kleine, inhomogene Störungen der 3-Metrik perturbativ fortsetzen lassen, wobei die
Lösungszahl erhalten bleibt.\footnote{Diese störungstheoretische Aussage wird im
Anhang \ref{AnhA.1} unter der Einschränkung $R \not= 2 \La$ für den Krümmungsskalar $R$
bewiesen.}
Im Gegensatz hierzu finden wir für \emph{flache} 3-Mannig\-fal\-tig\-kei\-ten 
mit $T^3$-Topologie,
die über das Bianchi I-Modell beschrieben werden, nur \emph{zwei} Lösungen der
entsprechenden Sattelpunktsgleichung. Für andere Topologien können sich noch andere
Lösungszahlen ergeben. Im Kapitel \ref{Kap4.2} werden wir sehen, daß die
Sattelpunktsgleichung \re{4.10} aber stets \emph{mindestens} zwei verschiedene Lösungen
besitzt, die unabhängig von der Topologie der räumlichen Mannigfaltigkeit $\Mx$
existieren. 

Jede Sattelpunktslösung $\Aia$ von \re{4.10} liefert über \re{4.7} einen \emph{möglichen},
semiklassischen Sattelpunktsbeitrag zum Funktionalintegral \re{4.6} im Limes $\mi$. 
Unter Eichtransformationen der Triade $\eia$ transformiert sich eine feste 
Sattelpunktslösung $\Aia$ inhomogen wie ein SO(3)-Eichfeld, denn \re{4.10} ist eine
Diffeo\-mor\-phis\-mus- und SO(3)-kovariante Feldgleichung. Der semiklassische 
Beitrag \re{4.7} zum Chern-Simons-Zustand \re{4.6} ist damit eichinvariant, 
wie es auch sein \emph{muß}, denn
$\PC$ wurde als eichinvarianter Quantenzustand konstruiert. 
Folglich kann zur Berechnung des
semiklassischen Wellenfunktionals noch jede gewünschte Eichbedingung für 
die Triade gefordert werden.

Jeder \emph{mögliche}, semiklassische Sattelpunktsbeitrag kann zum \emph{dominanten}
Beitrag im Funktionalintegral \re{4.6} erhoben werden, indem man die 
Integrationskontur $\Ga$ geeignet wählt. Daher ist die Anzahl der verschiedenen
Sattelpunkts\-lösungen von \re{4.10} gleichzeitig auch die Anzahl der linear unabhängigen,
semiklassischen Wellenfunktionale $\PCe$, die durch asymptotische Auswertung des
Integrals \re{4.6} über topologisch inäquivalente Integrationsbereiche $\Ga$ erhalten
werden können. 

Wählt man für einen gegebenen Sattelpunkt $\Aia [ \eia , \La ]$ zur analytischen Auswertung
des Funktionalintegrals \re{4.6} die Integrationsmannigfaltigkeit $\Ga$ implizit als Fläche
steilsten Anstiegs von $\mp \Re F$, so erfüllt $\Ga$ die Voraussetzungen aus
Abschnitt \ref{Kap3.4},\footnote{
Die Topologie von $\Ga$ wird sich dabei unter kleinen Deformationen der Triade $\eia$ nicht
ändern, da $\eia$ nur in subdominanter Weise das Verhalten des Exponenten $F$ bestimmt.}
und definiert somit einen \emph{exakten} Quantenzustand. Aufgrund dieser
Identifizierungsmöglichkeit stimmt die Zahl der verschiedenen Sattelpunktslösungen von
\re{4.10} auch mit der Zahl der linear unabhängigen, \emph{exakten} 
Quantenzustände $\PCe$ überein,
die durch geeignete Fouriertransformation aus ein und demselben
Chern-Simons-Zustand \re{3.38} in der $\Aia$-Darstellung generiert werden.

Resümierend erhalten wir also unter Verwendung ausgewählter, topologisch inäquivalenter
Integrationsbereiche $\Ga$ in \re{4.6} verschiedene, linear unabhängige 
Quantenzustände der Gravitation in der $\eia$-Darstellung, wobei die Anzahl
der Zustände noch von
der Topologie der räumlichen Mannigfaltigkeit $\Mx$ abhängen kann. Für beliebige
Topologien von $\Mx$
sollten jedoch stets mindestens \emph{zwei} 
linear unabhängige Chern-Simons-Zustände in der Triadendarstellung existieren.

Um zu expliziteren Ausdrücken für die möglichen 
semiklassischen Chern-Si\-mons-\-Wellen\-funk\-tio\-nale $\PCe$ im 
Limes $\mi$ zu gelangen, werden
wir im weiteren Verlauf dieses Kapitels versuchen, die Sattelpunktsgleichung \re{4.10}
analytisch zu lösen. Aufgrund der komplizierten, nichtlinearen Struktur dieser 
Gleichung sind ihre Lösungen in voller Allgemeinheit leider nicht zugänglich, weshalb
wir uns auf asymptotische Lösungen in den beiden Grenzfällen $\ku$ und $\kn$
beschränken werden.   



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Der Limes $\ku$}
\label{Kap4.2}

Im Rahmen des semiklassischen Limes $\mi$ läßt sich die Sattelpunktsgleichung \re{4.10}
für große Parameter $\ka$ asymptotisch lösen, womit eine analytische Auswertung des
Chern-Simons-Zustands \re{4.6} in diesem Grenzfall möglich wird. Der Limes $\mi$, 
$\ku$ läßt sich physikalisch realisieren, indem man für die drei fundamentalen 
Längenskalen \re{4.1}-\re{4.3} die Relationen $a_{\co} \gg a_{\La} , a_{\pl}$ annimmt,
also bei festem $\La > 0$ hinreichend große räumliche 3-Mannigfaltigkeiten 
$( \Mx , \hh )$ betrachtet.

Zur Herleitung von asymptotischen Sattelpunktslösungen schreiben wir die
Sattelpunktsgleichung \re{4.10} in der Form

\begin{equation}
  \label{eq:4.11}
  \eijk \bA{\pa_j \cA_{k a} + \fr{1}{2} \, \eabc \, \cA_{j b} \, \cA_{k c}} = - \, \ka \cdot \esia \ ,
\end{equation}
\\
und machen für $\Aia$ den Entwicklungsansatz

\begin{equation}
  \label{eq:4.12}
  \Aia \as{\ku}{} \sqrt{\ka} \cdot c^{(0)}_{i a} + \cO ( \ka^0 ) \ ,
\end{equation}
\\
wobei die Koeffizienten $c^{(0)}_{i a}$ allein eine Funktion von $\esia$ sein sollen. Unter
dem Ansatz \re{4.12} dominiert der nicht-Abelsche Term in \re{4.11} asymptotisch den
Abelschen Krümmungsbeitrag, so daß in führender Ordnung des Entwicklungsparameters
$\ka$ die Gleichung

\begin{equation}
  \label{eq:4.13}
  \fr{1}{2} \, \eijk \eabc \, c^{(0)}_{j b} \, c^{(0)}_{k c} = - \, \esia
\end{equation}
\\
zu lösen bleibt. Wegen \re{3.42} liefert \re{4.13} unmittelbar die beiden Lösungen

\begin{equation}
  \label{eq:4.14}
  c^{(0)}_{i a} = \pm\, i \, \esu{i a} \ ,
\end{equation}
\\
womit die asymptotische Sattelpunktslösung $\Aia$ aus \re{4.12} die Form

\begin{equation}
  \label{eq:4.15}
  \Aia \as{\ku}{} \pm i \, \sqrt{\frac{\La}{3}} \cdot e_{i a} + \cO (\ka^0 )
\end{equation}
\\
annimmt. Hierbei ist zu betonen, daß die Wahl des Vorzeichens in \re{4.14}, \re{4.15}
\emph{unabhängig} von der Definition der Ashtekarvariablen in Gleichung \re{2.34}
erfolgen kann. Für beide Vorzeichenwahlen in \re{2.34} gibt es also \emph{jeweils}
zwei verschiedene Sattelpunktslösungen. Um möglichen Verwirrungen in diesem
Zusammenhang vorzubeugen, werden wir im folgenden exemplarisch nur noch
\emph{eine} Sattelpunkts\-lösung betrachten, die der Wahl des oberen Vorzeichens in
\re{4.14} und \re{4.15} entspricht. Die analogen Resultate für die andere 
Sattelpunktslösung kann man dann jederzeit über eine komplexe Konjugation erhalten.

Die Entwicklung \re{4.15} läßt sich über den erweiterten Ansatz

\begin{equation}
  \label{eq:4.16}
  \Aia \as{\ku}{} \sum_{n = 0}^{\infty} c^{(n)}_{i a} \cdot \ka^{(1-n)/2} 
\end{equation}
im Sinne einer asymptotischen Reihe fortführen, wobei sich interessanterweise
sämtliche Entwicklungskoeffizienten \emph{analytisch} berechnen lassen: In jeder 
Entwicklungsordnung von $\ka$ enthält der nicht-Abelsche Term in \re{4.11} den
unbekannten Koeffizienten $c^{(n)}_{i a}$, während der nichtlokale Term aus niedrigeren
Ordnungen bekannt ist. Die Bestimmungsgleichungen für die Entwicklungskoeffizienten
sind damit \emph{lokal} und \emph{linear} in $c^{(n)}_{i a}$, 
und lassen sich deshalb explizit analytisch lösen.

Für die ersten Entwicklungsglieder ergibt sich dabei:

\begin{equation}
  \label{eq:4.17}
  \Aia \as{\ku}{}
   \underbrace{i \, \sqrt{\frac{\La}{3}} \, e_{i a}}_{\cO (\ka^{1/2}) }
   \ + \underbrace{\begin{array}{c} \ \\[-1.7 ex] {\om_{i a}} \\[-1.7 ex] \ \end{array}}_
      {\cO ( \ka^0)}
   + \ \underbrace{i \, \sqrt{\frac{3}{\La}} \bA{\frac{R}{4} \, e_{i a} - e_{j a} \, R^j_{\ i}}}_
      {\cO ( \ka^{-1/2} ) }
   + \cO ( \ka^{-1} ) \ .
\end{equation}
\\
Mit dem Ergebnis \re{4.17} können wir nun den asymptotischen Sattelpunktsbeitrag
\re{4.7} zum Chern-Simons-Zustand \re{4.6} berechnen, indem wir den Vorfaktor
der Gaußschen Fluktuationen und den Exponenten $F$ am Sattelpunkt \re{4.17}
auswerten. Für den Gaußschen Vorfaktor findet man

\begin{equation}
  \label{eq:4.18}
  \Det^{- 1/2} \bB{\mu \ \frac{\de^2 F}{\de \Aia (x) \de \cA_{j b} (y)}} \pr{\ku}{} \pp^{- 3/4} 
\end{equation}
\\
mit  $\ppt$ aus \re{3.18}, wobei ein von $\ga , \hb$ und $\La$
abhängiger Vorfaktor in dem Proportionalitätszeichen von \re{4.18} absorbiert wurde. 
Der semiklassische
Exponent $F$ gemäß \re{4.8} nimmt asymptotisch die folgende Form an:

\begin{equation}
  \label{eq:4.19}
  F \as{\ku}{} \frac{1}{\ga \hb \mu} \bB{i \, \sqrt{\frac{3}{\La}} \idx \sh \bA{\frac{4 \La}{3}  - R} 
  + \frac{3}{\La} \, \So} + \cO ( \ka^{- 3/2} ) \ .
\end{equation}
\\
Die ersten beiden Terme in \re{4.19} sind von den Ordnungen $\cO (\ka^{1/2})$
und $\cO (\ka^{-1/2})$, und stammen vom ersten und dritten Entwicklungsglied
der asymptotischen Reihe \re{4.17}; sie bestimmen die semiklassische \emph{Wirkung}

\begin{equation}
  \label{eq:4.20}
  S \as{\ku}{} \pm \frac{1}{\ga} \, \sqrt{\frac{3}{\La}} \idx \sh \bA{\frac{4 \La}{3}-R}
\end{equation}
\\
des Chern-Simons-Zustands im Limes $\ku$, die eine bemerkenswerte formale
Ähnlichkeit zum Wirkungsfunktional der Gravitation \re{2.1} aufweist. 

Der Entwicklungsterm, der vom Riemannschen Spin-Zusammenhang $\om_{i a}$
in \re{4.17} herrührt, wird überraschenderweise vollständig vom Beitrag der
Ähnlichkeitstransformation \re{3.31} kompensiert, weshalb in \re{4.19} ein Beitrag
von der Ordnung $\cO ( \ka^{0} )$ fehlt.

Der dritte Term
in \re{4.19} ist von der Ordnung $\cO (\ka^{-1})$, der zugehörige Entwicklungsterm
des Sattelpunktsfeldes $\Aia$ ist kompliziert und wurde in der Sattelpunktsentwicklung
\re{4.17} der Übersichtlichkeit halber nicht angegeben. Dieser Beitrag zum Exponenten $F$
hat erstaunlicherweise wieder die Form eines  Chern-Simons-Funktionals \re{3.39},
bei dem allerdings die komplexen Ashtekarfelder $\Aia$ durch den reellen,
Riemannschen Spin-Zusammenhang $\om_{i a}$ ersetzt sind. 

Fügt man die Ergebnisse \re{4.18} und \re{4.19} über \re{4.7} zusammen, so ergibt sich
für den semiklassischen Chern-Simons-Zustand im Limes $\ku$ explizit:

\begin{equation}
  \label{eq:4.21}
  \PC \!\! \pr{\ku}{\mi} \!\! \cN \, \pp^{\! - 3/4}   \exp \! 
   \bB{ \! \pm \frac{1}{\ga \hb} \! \bA{ \! i \, \sqrt{\frac{3}{\La}} \idx \sh \bA{ \frac{4 \La}{3} -R }
   \! + \frac{3}{\La} \, \So\! } \!\!} \, .
\end{equation}
\\
Wählt man in \re{4.17} den zweiten, konjugiert komplexen Sattelpunkt $\Aia^*$, so 
ergibt sich anstelle von \re{4.21} das asymptotische Wellenfunktional $\PC^*$. 

Wie wir in Kapitel \ref{Kap5} noch genauer ausführen werden, trägt der Zustand
\re{4.21} einen Strom mit \emph{festem Vorzeichen} in der 
$h(x)$-Richtung des Konfigurationsraumes,
der für $\PC^*$ durch sein negatives ersetzt ist. Diese Eigenschaft erinnert stark an die
\emph{Vilenkinsche} Vorstellung von der Wellenfunktion des Universums 
\cite{Vil1, Vil3}.

Ferner ist bemerkenswert, daß das Resultat \re{4.21} \emph{unabhängig} von der Topologie
der 3-Mannigfaltigkeit $\Mx$ ist. Für jede Riemannsche 3-Mannigfaltigkeit $( \Mx , \hh )$ 
mit hinreichend großem Skalenparameter $a_{\co}$ liegen deshalb 
über $\PC$ und $\PC^*$ stets
\emph{mindestens zwei} unabhängige Wellenfunktionale der Quantengravitation vor, die beide
aus dem Chern-Simons-Zustand \re{3.38} in der Ashtekar-Darstellung hervorgehen. 

In der Form \re{4.21} sieht man explizit die Invarianz von $\PC$ unter beliebigen
Diffeomorphismen und unter
SO(3)-Eichtransformationen, die kontinuierlich mit der Identität verbunden sind.
Allerdings ist $\So$ \emph{nicht} invariant
bezüglich großer SO(3)-Eichtransformationen mit nichttrivialer
\emph{Windungszahl}. Auf dieses Phänomen wollen wir im nächsten Abschnitt genauer
eingehen, und anschließend den Vorfaktor $\cN$ des Chern-Simons-Zustands \re{4.21}
so wählen, daß $\PC$ trotzdem eichinvariant auch unter großen Eichtransformationen der
Triade ist.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Große Eichtransformationen und die Cartan-Mau\-rer-In\-va\-ri\-an\-te}
\label{Kap4.2.1}

Betrachten wir zum Riemannschen Spin-Zusammenhang $\om_{i a}$ 
das Verhalten des Chern-Simons-Funktionals 


\begin{equation}
  \label{eq:4.22}
  \So = \idx \eijk \bA{\om_{i a} \, \pa_j \om_{k a} + \fr{1}{3} \, \eabc \, \om_{i a} \, \om_{j b} \,
  \om_{k c} } 
\end{equation}
\\
unter beliebigen SO(3)-Eichtransformationen der Triade

\begin{equation}
  \label{eq:4.23}
  e_{i a} \mapsto \Om_{a b} \, e_{i b} \quad , \quad \cOm \in \mbox{SO(3)} \ ,
\end{equation}
\\
so ist $\So$ im allgemeinen \emph{nicht} invariant unter \re{4.23}. Stattdessen ergibt
sich das Transformationsverhalten

\begin{equation}
  \label{eq:4.24}
  \So \mapsto \So + \fr{1}{6} \, \IC 
\end{equation}
\\
mit\footnote{In \re{4.25} bezeichnet "`$\Tr$"' die übliche Spur auf dem Raum
der (3x3)-Matrizen, und $\cOm^{\tr}$ die transponierte Matrix zu $\cOm =( \Om_{a b} )$.}
\begin{equation}
  \label{eq:4.25}
  \IC := \idx \eijk \, \Tr \bB{\cOm^{\tr} \pa_i  \cOm \cdot \cOm^{\tr} \pa_j  \cOm \cdot
 \cOm^{\tr} \pa_k  \cOm} \ .
\end{equation}
\\
Die Größe $\IC$ heißt \emph{Cartan-Maurer-Invariante} der SO(3)-Drehgruppe, und hängt
offensichtlich nur von der Drehmatrix $\cOm$, nicht aber explizit von der Triade oder
3-Metrik ab. Man kann zeigen \cite{Wein2}, daß $\IC$ eine quantisierte, 
\emph{topologische} Invariante ist, deren Wert auf ganzzahlige Vielfache einer festen
Zahl $I_0$ eingeschränkt ist:

\begin{equation}
  \label{eq:4.26}
  \IC = I_0 \cdot w (\cOm) \quad , \quad w(\cOm) \in \ZZ \ .
\end{equation}
\\
Die ganze Zahl $w(\cOm)$ heißt in diesem Zusammenhang auch \emph{Windungszahl} der
Drehung $\cOm$; der Wert der Größe $I_0$ hängt nur von der Topologie der 
3-\-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $\Mx$
ab, und hat beispielsweise für Mannigfaltigkeiten mit $S^3$-Topologie den Wert 
$I_0 = 96 \, \pi^2$. 

Für Drehungen $\cOm$ mit lokal hinreichend kleinem Drehwinkel verschwindet
die Windungszahl $w(\cOm)$, und damit auch $\IC$. Unter solchen Drehungen ist $\So$
invariant. Größere Eichtransformationen können jedoch zu einer Verdrehung der Triade
mit \emph{nichttrivialer} Windungszahl $w(\cOm)$ führen, was wir im folgenden
geometrisch erläutern wollen.

Hierzu betrachten wir das Triadenvektorfeld $\ve_3$ einer 
Riemannschen 3-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $( \Mx , \hh )$ entlang einer globalen,
geschlossenen Kurve $\cC \subset \Mx$, die der Einfachheit halber kreisförmig 
dargestellt sei: 

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\textwidth}
\begin{picture}(1,.35)(0,0)
   \put(.52,.05){$\cC$}
   \put(.76,.04){$\Me$}
   \put(.26,.035){$\ve_3$}
   \put(0.1,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize= .8 \unitlength
   \epsffile{Cartan1.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-1.2 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{
Das Triadenvektorfeld $\ve_3$ einer Riemannschen 3-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $( \Mx , \hh )$ 
entlang einer globalen, geschlossenen Kurve $\cC \subset \Mx$.}}
\label{Abb4.1}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}



\noindent
Wie in Abbildung \ref{Abb4.1} dargestellt, spannt
das Vektorfeld $\ve_3$ entlang der Kurve $\cC$ eine zweidimensionale Fläche
auf, die wir mit $\Me$ bezeichnen wollen.
Unter hinreichend kleinen, lokalen Drehungen von $\ve_3$
um den Tangentialvektor der Kurve $\cC$ deformiert sich die Fläche $\Me$, wobei
ihre Topologie jedoch erhalten bleibt. Diese Situation ist
in der Graphik \ref{Abb4.2} veranschaulicht.

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\textwidth}
\begin{picture}(1,.4)(0,0)
   \put(.55,.08){$\cC$}
   \put(.795,.055){$\ve_3$}
   \put(.245,.06){$\Me$}
   \put(0,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize= \unitlength
   \epsffile{Cartan2.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-1.5 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{
Das Triadenvektorfeld $\ve_3$ aus Abbildung
\ref{Abb4.1} wurde kontinuierlich um den Tangentialvektor der Kurve $\cC$ verdreht.}}
\label{Abb4.2}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}


\noindent
Erst für große Drehungen, die entlang der Kurve $\cC$ 
\emph{nicht kontinuierlich} auf die identische Abbildung $\cOm = \bEi$
zurückgeführt werden können, ändert sich auch die Topologie von $\Me$, in unserem
Beispiel in die Topologie eines doppelt verwundenen Möbiusbandes:

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\textwidth}
\begin{picture}(1,.5)(0,0)
   \put(.56,.24){$\cC$}
   \put(.2,.1){$\ve_3$}
   \put(.8,.395){$\Me$}
   \put(0,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize= \unitlength
   \epsffile{Cartan3.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-1 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{
Toplogisch nichttriviale Drehung des Triadenvektorfeldes $\ve_3$ aus Abbildung
\ref{Abb4.1} um den Tangentialvektor der Kurve $\cC$.}}
\label{Abb4.3}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}


\noindent
Der Übergang von der Triade in Abbildung \ref{Abb4.1} zur Triade in Abbildung \ref{Abb4.3}
entspricht anschaulich gerade einer Drehung mit Windungszahl, unter der $\So$ um einen
diskreten, additiven Beitrag gemäß \re{4.24} anwächst. 

Für einen konstanten Vorfaktor $\cN$ würde sich bei einer solchen Eichtransformation
auch der Wert des asymptotischen Chern-Simons-Zustands 
\re{4.21} ändern, was ein Widerspruch zur
geforderten SO(3)-Eichinvarianz des Quantenzustands der Gravitation wäre.\footnote{
Diese Problematik tritt auch bei der Quantisierung von
Yang-Mills-Theorien auf, wo sie einen üblicherweise auf die Definition 
des sogenannten $\Th$-Winkels
führt \cite{Ash1, Wein2}. 
Im Rahmen der Gravitationstheorie läßt sich die Einführung dieser relativ unschönen
Hilfsgröße jedoch durch einen einfachen Trick vermeiden.} Wie schon in Kapitel \ref{Kap3.4}
ausgeführt, muß der Vorfaktor $\cN$ des Chern-Simons-Zustands aber nicht
zwangsläufig unabhängig von der Triade gewählt werden; im Rahmen der Forderung
\re{3.39+} genügt es, wenn sich $\cN$ unter
infinitesimalen Deformationen der Triade nicht ändert. Wählen wir beispielsweise 

\begin{equation}
  \label{eq:4.27}
  \cN \propto \, \exp \bB{\mp \, \frac{I (\hat \cOm )}{2 \ga \hb \La}} \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\hat \cOm$ diejenige Drehmatrix ist, die eine beliebige Triade $\ve_a$ in eine
\emph{fest ausgezeichnete} Triade überführt, so ist $\cN$ bezüglich kleiner
Variationen der Triade $\ve_a$ konstant. Folglich gilt \re{3.39+}, und $\PC$ bleibt auch
mit $\cN$ aus \re{4.27} ein exakter Quantenzustand. Da der Vorfaktor \re{4.27} aber
gerade so gewählt ist, daß er den inhomogenen Beitrag von \re{4.24} vollständig
kompensiert, ist $\PC$ bei dieser Wahl von $\cN$  auch unter großen
Eichtransformationen mit nichttrivialer Windungszahl invariant. 

Zur expliziten Definition der Drehmatrix $\hat \cOm$ in \re{4.27} eignet sich
als ausgezeichnete Triade beispielsweise
die in Anhang \ref{AnhD} diskutierte \emph{Einstein-Triade} $\vg_a$.

Mit der Wahl \re{4.27} stellt $\PC$ gemäß \re{4.21} also nun einen semiklassischen
Quantenzustand der Gravitation im Limes $\mi ,\ku$ dar, der alle geforderten Eichsymmetrien
exakt befriedigt. Im nächsten Abschnitt soll dieser Quantenzustand einmal exemplarisch
für spezielle, \emph{homogene} 3-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten $( \Mx , \hh )$ 
berechnet werden.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection{Der homogene Grenzfall}
\label{Kap4.2.2}

Es soll nun der semiklassische Chern-Simons-Zustand \re{4.21} im Limes $\ku$ für
homogene 3-Geometrien $\hh$ ausgewertet, und das Resultat mit frühe\-ren
Ergebnissen aus der Diskussion homogener kosmologischer Modelle verglichen werden.
Dabei werden wir uns auf die Klasse der \emph{Bianchi}-homogenen 3-Mannigfaltigkeiten
beschränken, die im Anhang \ref{AnhB.1} definiert und beschrieben werden; hier
wird auch gezeigt, daß für homogene Mannigfaltigkeiten dieses Typs stets eine
bezüglich der Homogenitätsgruppe
\emph{invariante} Triade $\ve_a = \vi_a$ gefunden werden kann. Die über

\begin{equation}
  \label{eq:4.40}
  \bB{\vi_a , \vi_b} = \eabc \, m_{c d} \, \vi_d
\end{equation}
\\
implizit definierte Strukturmatrix $\bm$ ist für die invariante Triade räumlich 
konstant, und gemäß Anhang \ref{AnhB.2} lassen sich sämtliche für den Zustand 
\re{4.21} be\-nö\-tig\-ten geometrischen Größen allein durch $\bm$ und das Volumen $V$
der homogenen 3-Mannigfaltigkeit ausdrücken. Für die explizite Angabe des resultierenden
Zustands \re{4.21} ist es dabei zweckmäßig, zur Strukturmatrix $\bm$
die skaleninvariante Matrix

\begin{equation}
  \label{eq:4.41}
   \bM = a_{\co} \cdot \bm
\end{equation}
\\
einzuführen. Dann finden wir als Wert des Chern-Simons-Zustands \re{4.21} für
homogene Mannigfaltigkeiten beliebigen Bianchi-Typs:

\begin{eqnarray}
  \label{eq:4.42}
  \PC  &\!\!\!\! \as{\ku}{\mi}& \!\!\! \cN \ \pp^{- 3/4} \exp  \Bigg [   \pm \, \mu  \Bigg (
   4 i \sqrt{\ka}
  - \frac{i}{\sqrt{\ka}}
  \bB{\Tr \bM^2 -2 \, \Tr \bM^{\tr} \! \bM+ \fr{1}{2} \, \Tr^2 \bM} \nonumber\\[.4 cm]
  &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! -\frac{1}{\ka} \bB{
  \Tr \bM^2 \bM^{\tr} \! -\fr{1}{6} \,
   \Tr \bM \bA{ \Tr \bM^2 \! + 2 \, \Tr \bM^{\tr} \! \bM} \! + 2 \det \bM}
  \Bigg ) \Bigg ] \,  .  
\end{eqnarray}
\\
Der Exponent von \re{4.42} ist ausschließlich in dimensionslosen Größen ausgedrückt, und
erlaubt ein direktes Ablesen der $\ka$-Ordnung der verschiedenen Entwicklungsbeiträge.

Wir wollen des Resultat \re{4.42} nun weiterhin auf Mannigfaltigkeiten vom Bian\-chi-Typ IX
spezialisieren, die durch eine symmetrische, \emph{positive} Strukturmatrix $\bm$
beschrieben werden können. Zum Vergleich mit früheren Arbeiten definieren wir
die positive, dimensionslose Konstante\footnote{
Der Wert von $\cV$ kann hierbei noch von einer eventuell nichttrivialen Kompaktifizierung
der 3-Mannigfaltigkeit $\Mx$ abhängen. Im Rahmen der Arbeit \cite{Pat1} wurde 
$\cV= 4 \, \pi^2$ angenommen, eine rein geometrische Konstruktion der
3-Sphäre als Hyperfläche des $\RRs^4$ im Anhang~\ref{AnhB.3.1}
liefert hingegen für das 
dimensionslose "`Volumen"' $\cV$ einen Wert von $\cV = 2 \, \pi^2$.}

\begin{equation}
  \label{eq:4.30+}
  \cV := \frac{V}{8} \, \det \bm \ ,
\end{equation}
\\
und schreiben $\bM$ in der Form

\begin{equation}
  \label{eq:4.43} \bM = 2 \, \sqrt[3]{\cV} \cdot e^{\bbe{2}} \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\bbe{}$ eine \emph{spurlose} Matrix ist, die durch geeignete 
SO(3)-Eichtransformationen stets diagonalisiert werden kann.\footnote{
Siehe hierzu auch Anhang \ref{AnhB.1}.}
In dem reskalierten Parameter $\ka' := \cV^{- 2/3} \cdot \ka /4$ erhalten wir dann aus  \re{4.42}
für Bianchi IX-Geometrien den folgenden Wert des semiklassischen 
Chern-Simons-Zustands

\begin{eqnarray}
  \label{eq:4.44}
  \PC  &\!\!\!\! \as{\ku}{\mi}& \!\!\! \cN \ \pp^{- 3/4} \exp  \Bigg [   \pm \, 
\frac{24 \cV}{\ga \hb \La}  \Bigg (
   4 i \sqrt{\ka'}^{\, 3}
  - i \, \sqrt{\ka'}
  \bB{\Tr \, e^{\bbe{-2}} - \fr{1}{2} \, \Tr \, e^{\bbe{4}}} \nonumber\\[.5 cm]
  && \qquad \qquad \qquad  -\frac{1}{2} \bB{
  \Tr \, e^{\bbe{6}} -
   \Tr \, e^{\bbe{2}} \cdot \Tr \,  e^{\bbe{-2}} +7}
  \Bigg ) \Bigg ] \, ,
\end{eqnarray}
\\
wobei ferner die Identität

\begin{equation}
  \label{eq:4.45}
  \Tr \ e^{\bbe{2}} \cdot \Tr \,  e^{\bbe{4}} = \Tr \, e^{\bbe{6}} + \Tr \, e^{\bbe{2}} \cdot 
  \Tr \, e^{\bbe{-2}} - 3 
\end{equation}
\\
verwendet wurde. Bis auf den Vorfaktor der Gaußschen Fluktuationen stimmt
der Zustand \re{4.44} mit dem semiklassischen Zustand des Bianchi IX-Modells in 
\cite{Pat1}
überein: Zum expliziten Vergleich ist der Parameter $\ka$ in \cite{Pat1} mit $\ka'$ in \re{4.44}
zu identifizieren, und $\cV = 4 \, \pi^2$ zu wählen. Ferner wurde im Rahmen von
\cite{Pat1} die Newtonsche Gravitationskonstante $G$ gleich Eins, 
also $\ga = 16 \pi$ gesetzt.
Unter Berücksichtigung dieser Übersetzungsregeln hat der Exponent von \re{4.44}
exakt dieselbe Form wie in (5.18) aus \cite{Pat1}, wobei die freien
Vorzeichen noch passend zu wählen sind.

Mit den semiklassischen Exponenten des Quantenzustands
stimmt auch die semiklassische Evolution in
beiden Beschreibungen überein, was physikalisch sinnvoll ist. Allerdings ergeben sich
unterschiedliche Amplituden des semiklassischen Chern-Simons-Zustands, 
da wir es \emph{quantenmechanisch} mit
zwei grundlegend verschiedenen Zugängen zur Beschreibung homogener 3-Metriken zu
tun haben:

Während in \cite{Pat1} von vornherein nur Bianchi IX-homogene, räumliche 
3-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten
zugelassen wurden, was einem endlichdimensionalen Konfigurationsraum entspricht,
behandeln wir im Rahmen dieser Arbeit die inhomogene Feldtheorie über einem
\emph{unendlichdimensionalen} Konfigurationsraum, der Bianchi IX-homogene 3-Metriken
als Unterraum enthält. Werten wir den inhomogenen Chern-Simons-Zustand \re{4.21}
für Bianchi IX-homogene 3-Geometrien aus, so entspricht dies hier einer
Berechnung sehr spezieller Funktionswerte des Wellenfunktionals; 
die entsprechende Rechnung für das homogene Modell in \cite{Pat1} 
führt dagegen zu einer
vollständigen Kenntnis der Wellenfunktion.

Als weiteren Spezialfall der Formel \re{4.42} wollen wir noch ihre Restriktion  
auf \emph{flache}, also Bianchi I-homogene 3-Mannigfaltigkeiten angeben.
Für flache 3-Geometrien verschwindet die Strukturmatrix $\bm$ der 
invarianten Triade $\vi_a$, und 
damit auch $\bM$ gemäß \re{4.41}, so daß sich \re{4.42} zu

\begin{eqnarray}
  \label{eq:4.46}
  \PC &\as{\ku}{\mi}& \cN \, \pp^{- 3/4} \exp \bB{ \pm \, 4 i  \mu \, \sqrt{\ka}}
  \nonumber \\
 & = &
  \cN \, \pp^{- 3/4} \exp  \bB{  \pm \, \frac{4 i}{\ga \hb} \, \sqrt{\frac{\La}{3}} \cdot \idxM \sh}
\end{eqnarray}

\newpage

\noindent
vereinfacht. In diesem Fall hängt der Wert des Chern-Simons-Zustands im Limes
$\ku$ also nur noch vom Volumen der 3-Mannigfaltigkeit $( \Mx , \hh )$ ab -
ein Ergebnis, das man auch direkt aus dem allgemeinen,
inhomogenen Resultat \re{4.21} erhält, indem man dort die Größen $R$ und $\So$ einfach
gleich Null setzt. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Semiklassische 4-Geometrien}
\label{Kap4.2.3}

Als nächstes wollen wir die semiklassischen Trajektorien diskutieren, die über den 
Chern-Simons-Zustand \re{4.21} im Limes $\mi , \ku$ beschrieben werden. Hierfür benötigen
wir zunächst die klassische Evolutionsgleichung 

\begin{equation}
  \label{eq:4.30}
  \deia = - \bC{ H , \eia }
\end{equation}
\\
für die Triade $\eia$, wobei für $H$ das Hamiltonfunktional der Gravitation \re{2.41}
einzusetzen ist. Nach Berechnung der Poisson-Klammer über \re{2.39} hängt die
rechte Seite von \re{4.30} noch von den zu $\eia$ kanonisch konjugierten Impulsen
$p_{i a}$ ab. Diese erhalten wir im Rahmen der Hamilton-Jacobi-Theorie aus der
semiklassischen Wirkung $S$ des Wellenfunktionals $\PC$,

\begin{equation}
  \label{eq:4.31}
  \PC \as{\mi}{} A \cdot \exp \bB{ \frac{i}{\hb} \, S } \ ,
\end{equation}
\\
denn $S$ löst im semiklassischen Limes die Hamilton-Jacobi-Gleichung der Gravitation,
so daß sich die Impulse $p_{i a}$ aus

\begin{equation}
  \label{eq:4.32}
  p_{i a} = \frac{\de S}{\de \eia}
\end{equation}
\\
ergeben \cite{Lan}. 
Setzen wir die Impulsfunktionale \re{4.32} in die Evolutionsgleichung \re{4.30} ein,
so können wir zu jeder Anfangstriade $\eia (0)$ eine semiklassische Trajektorie
$\eia (t)$ berechnen, die allerdings noch von der Wahl der Lagrangeschen Multiplikatoren
$N, N^i$ und $\Om_a$ im Hamiltonfunktional \re{2.41} abhängt: Verschiedene 
Multiplikatoren liefern verschiedene Trajektorien im Konfigurationsraum zur \emph{selben}
Anfangstriade $\eia (0)$. Tatsächlich interessieren wir uns aber nicht explizit für die
semiklassischen Trajektorien im Raum der Triaden, sondern für die effektiven
4-Geometrien $\bg$, die über \re{2.20} und \re{2.3+} zu jeder semiklassischen Trajektorie
$\eia (t)$ konstruiert werden können, und die \emph{unabhängig} von der Wahl der
Lagrangeschen Multiplikatoren $N , N^i$ und $\Om_a$ sind. In der folgenden Diskussion
können wir deshalb ohne Beschränkung der Allgemeinheit einfach 

\begin{equation}
  \label{eq:4.32+}
  N = 1 \quad , \quad N^i = 0 \quad , \quad \Om_a = 0
\end{equation}
\\
wählen. 

Aus der Evolutionsgleichung \re{4.30} wird dann

\begin{equation}
  \label{eq:4.33}
  \deia = \pm \,i \, \eijk \, \cD_j e_{k a} = - \frac{\ga}{2} \, \eijk \, \eabc \, p_{j b} \, e_{k c} \ , 
\end{equation}
\\
was über \re{3.42} auch äquivalent zu 

\begin{equation}
  \label{eq:4.34}
  {\dot e}_{i a} = - \frac{\ga}{2} \, p_{i a}
\end{equation}
\\
ist. Die Impulse \re{4.32} erhalten wir im Limes $\ku$ aus der semiklassischen 
Wirkung \re{4.20} des Chern-Simons-Zustands,

\begin{equation}
  \label{eq:4.35}
  p_{i a} \as{\ku}{} \pm \frac{2}{\ga} \bB{ \sqrt{\frac{\La}{3}} \, e_{i a} +\sqrt{\frac{3}{\La}}
  \bA{ \frac{R}{4} \, e_{i a} - R^j \ \!\!_{i} \, e_{j a}}} \ ; 
\end{equation}
\\
dasselbe Resultat ergibt sich auch direkt aus der asymptotischen Entwicklung von $\Aia$
gemäß \re{4.17} in Verbindung mit \re{2.34}. 

Einsetzen von \re{4.35} in \re{4.33} liefert schließlich eine explizite Bestimmungsgleichung
für die semiklassischen Trajektorien im Limes $\ku$:

\begin{equation}
  \label{eq:4.36}
  \mp \, \deia \as{\ku}{} 2\, \sqrt{\frac{\La}{3}} \, \eia + \sqrt{\frac{3}{\La}} \, G^i \ \!\!_{j} \, \eja \ .
\end{equation}
\\
Die Evolutionsgleichung \re{4.36} transformiert sich offensichtlich O(3)-kovariant unter
Eichtransformationen der Triade $\eia$,
weshalb man unter Verwendung der Beziehungen
\re{2.20} und \re{3.42} sogar eine effektive Entwicklungsgleichung
für die Komponenten $h_{i j}$ der 3-Metrik angeben kann:

\begin{equation}
  \label{eq:4.37}
  \mp \, {\dot h}_{i j} \as{\ku}{} 2 \, \sqrt{\frac{\La}{3}} \, h_{i j} +\sqrt{\frac{3}{\La}}
  \bA{\frac{R}{2} \, h_{i j} -2 \, R_{i j}} \, .
\end{equation}

\newpage

\noindent
Betrachten wir im folgenden die Wahl des unteren Vorzeichens\footnote{Dies 
entspricht auch der Wahl des oberen Vorzeichens für den zu \re{4.21} konjugiert komplexen 
Zustand $\PC^*$.} in \re{4.37}, so durchläuft die 3-Metrik $\hh$ eine typische 
\emph{DeSitter}-Evolution:

Für große $\ka$ wird der Krümmungsterm in \re{4.37} vom ersten Term dominiert,
so daß wir als asymptotische Lösung

\begin{equation}
  \label{eq:4.38}
  h_{i j} (x , t) \as{t \to \infty}{} h_{i j}^{(\infty)} (x) \cdot \exp \bB{2 \, \sqrt{\frac{\La}{3}}
  \cdot t}
\end{equation}
\\
erhalten. Hierbei ist $h_{i j}^{(\infty)} (x)$ ein freies Integrationsfeld, das die im allgemeinen
inhomogene, anisotrope 3-Metrik $\hh^{(\infty)}$ im Limes $t \to \infty$ beschreibt.

Der Ausdruck \re{4.38} stellt eine selbstkonsistente, semiklassische Lösung dar, denn
im Limes $t \to \infty$ divergiert das Volumen der 3-Mannigfaltigkeit $( \Mx , \hh )$
exponentiell, womit auch $\ka$ gemäß \re{4.4}, \re{4.3} beliebig groß wird. Dies 
rechtfertigt im Nachhinein, warum wir uns widerspruchsfrei auf den Grenzfall $\ka \gg 1$
beschränken, und insbesondere den Krümmungsterm in \re{4.37} vernachlässigen dürfen.
Erst bei kleineren, endlichen Zeiten $t$ liefert der Krümmungsterm in \re{4.37} Korrekturen
zur asymptotischen Lösung \re{4.38}; für noch kleinere Zeiten bricht die Näherung
$\ka \gg 1$ schließlich zusammen, und wir müßten zu exakten Lösungen der 
Sattelpunktsgleichung \re{4.10} übergehen, um in diesem Bereich noch Aussagen über
die semiklassische Evolution der 3-Metrik machen zu können.

Zur asymptotischen Lösung \re{4.38} erhalten wir über \re{2.3+} die 
semiklassische 4-Geometrie im Limes $t \to \infty$:

\begin{equation}
  \label{eq:4.39}
  \bg \as{t \to \infty}{} - \bd t \otimes \bd t + \exp \bB{2 \, \sqrt{\frac{\La}{3}} \cdot t} \cdot
  h_{i j}^{(\infty)} (x) \, \bd x^i \otimes \bd x^j \ .
\end{equation}
\\
Eine graphische Darstellung dieser verallgemeinerten DeSitter-Geometrie zeigt
die Abbildung \ref{Abb4.4} auf der folgenden Seite.  

Aus der Abbildung \ref{Abb4.4} erkennt man, daß eine beliebig herausgegriffene 
Untermannigfaltigkeit der räumlichen Hyperfläche mit \emph{fest vorgegebener}
Längenskala $a \ll a_{\co}$ im Verlauf der Zeit $t$ immer \emph{homogener} wird. Diese
asymptotische Homogenität ist eine wohlbekannte Eigenschaft aller \emph{inflationären}
Modelle des Universums \cite{KolbTur}, 
zu denen auch die im Rahmen dieser Arbeit diskutierte
Gravitationstheorie mit positivem kosmologischen Term zählt.

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\textwidth}
\begin{picture}(1,.92)(0,0)

   \put(.635,.225){$( \Mx  , \hh  ) (t_0)$}
   \put(.63,.45){$t$}
   \put(.82,.69){$t \to \infty$}
   \put(.32,.05){$a$}
   \put(.32,.18){$a$}
   \put(.73,.52){$( \Mt , \bg )$}
   \put(0.05,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize= \unitlength
   \epsffile{DeSitter.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-1 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{Geometrische Veranschaulichung einer verallgemeinerten 
 De\-Sit\-ter-\-4-\-Geo\-me\-trie. Die räumlichen 3-\-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten 
$( \Mx , \hh ) (t)$ sind durch eindimensionale
Kurven repräsentiert, und In\-ho\-mo\-ge\-ni\-tä\-ten der 3-\-Me\-tri\-ken  
$\hh (t)$ durch leichte
Deformationen dieser Kurven angedeutet. Die resultierende 
Raum\-zeit-\-Man\-nig\-fal\-tig\-keit
$( \Mt , \bg)$ mit der 4-\-Me\-trik $\bg$ aus \re{4.39} entspricht dann einer Riemannschen
2-\-Man\-nig\-fal\-tig\-keit, die hier in den dreidimensionalen Minkowskiraum 
eingebettet worden
ist. Von den raumartigen Rand\-man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten ist jeweils ein 
Kurvenstück vergrößert
dargestellt, das Raum\-aus\-schnit\-te \emph{derselben} Län\-gen\-ska\-la $a$ 
re\-prä\-sen\-tiert.}}
\label{Abb4.4}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}


\noindent
Mit der semiklassischen Interpretation des Chern-Simons-Zustands \re{4.6} im
Limes $\ku$ wollen wir die Diskussion des Grenzfalls $\ku$ nun beenden, und uns
anderen asymptotischen Entwicklungen des Wellenfunktionals $\PC$ zuwenden.   


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Der Limes $\kn$}
\label{Kap4.3}

Neben dem in Abschnitt \ref{Kap4.2} behandelten Grenzfall $\mi, \ku$ gibt es ein
weiteres asymptotisches Regime, das eine analytische Auswertung des Funktionalintegrals
in \re{4.6} erlaubt: Im Rahmen des semiklassischen Limes $\mi$ kann die 
Sattelpunktsgleichung \re{4.9} nicht nur für große $\ka$, sondern auch im 
entgegengesetzten Grenzfall $\kn$ asymptotisch gelöst werden, womit wir uns in
diesem Unterkapitel beschäftigen wollen. 

Der Limes $\mi , \kn$ impliziert über \re{4.4} die Bedingung $a_{\La} \gg a_{\co} \gg a_{\pl}$
an die drei fundamentalen Längenskalen der Gravitationstheorie, was physikalisch
dem Grenzfall verschwindender kosmologischer Konstante innerhalb des 
semiklassischen Limes $a_{\co} \gg a_{\pl}$ entspricht. Da ein Quantenzustand der
Gravitation für $\La = 0$ bisher nur in einer mathematisch recht unbefriedigen Form
vorliegt\footnote{
Ein Quantenzustand der Gravitation mit verschwindender kosmologischer Konstante
wurde zwar in der Literatur mehrfach angegeben \cite{Mat, Gra1}, jedoch liefern die bisher
verwendeten Inte\-graldarstellungen zwangsläufig \emph{divergente}
Ausdrücke für den Quantenzustand.},
lohnt es sich, diesen Grenzfall genauer zu studieren.

Um zu Lösungen der semiklassischen Sattelpunktsgleichung

\begin{equation}
  \label{eq:4.50}
  \fr{1}{2} \, \eijk \, \cF_{j k a} = - \, \ka \, \esia
\end{equation}
\\
im Limes $\kn$ zu gelangen, versuchen wir einen asymptotischen Entwicklungsansatz
der Form

\begin{equation}
  \label{eq:4.51}
  \Aia \as{\kn}{} \sum_{n=0}^{\infty} C_{i a}^{(n)} \cdot \ka^n \ ,
\end{equation}
\\
wobei die Entwicklungskoeffizienten $C_{i a}^{(n)}$ nur von den reskalierten
Triadenfeldern $\esia$ abhängen sollen. Dieser Ansatz ist deshalb naheliegend, weil
die Lösungen der Sattelpunktsgleichung \re{4.50} im Limes $\kn$ zumindest im Rahmen
Bianchi IX-homogener Modelle endlich bleiben \cite{Pat1, Pat2, PatDip}. 
Die asymptotische Reihe \re{4.51}
liefert nach Einsetzen in \re{4.50} in führender Ordnung des Entwicklungsparameters $\ka$
die Gleichung

\begin{equation}
  \label{eq:4.52}
  \eijk \bA{\pa_j C_{k a}^{(0)} + \fr{1}{2} \, \eabc \, C_{j b}^{(0)} \, C_{k c}^{(0)} } = 0
\end{equation}
\\
für die niedrigsten Entwicklungskoeffizienten $C_{i a}^{(0)}$. Als Lösung von \re{4.52}
ist $C_{i a}^{(0)}$ somit ein \emph{flaches} Eichfeld, das durch beliebige 
SO(3)-Eichtransformationen aus der trivialen Lösung $C_{i a}^{(0)} = 0$
hervorgeht:\footnote{Tatsächlich dürfen wir in \re{4.53} sogar $\cOm \in$ O(3) zulassen,
da sich ein zusätzliches Minuszeichen von $\cOm$ in \re{4.53} nicht
bemerkbar macht.}

\begin{equation}
  \label{eq:4.53}
  C_{i a}^{(0)} = - \fr{1}{2} \, \eabc \, \Om_{d b} \, \pa_i \, \Om_{d c} \qquad 
  \mbox{mit}  \qquad
  \cOm \in \mbox{SO(3)} \ .
\end{equation}
\\
Die allgemeine Lösung \re{4.53} von \re{4.52} hängt hierbei noch von einer beliebigen,
ortsabhängigen Drehmatrix $\cOm$ ab, die über die Fredholmsche Alternative\footnote{
Die Anwendbarkeit der Fredholmschen Alternative rechtfertigt sich
im Nachhinein zumindest für 3-Mannigfaltigkeiten mit

\begin{displaymath}
  \forall x \in \Mx \, : \, R(x) \not= 0
\end{displaymath}
über die im Anhang \ref{AnhA.1} diskutierten Lösbarkeitsaussagen für die
Sattelpunktsgleichung \re{4.50}.}
erst in der nächsten Entwicklungsordnung 

\begin{equation}
  \label{eq:4.54}
  \eijk \bA{ \pa_j \, C_{k a}^{(1)} + \eabc \, C_{j b}^{(0)} \, C_{k c}^{(1)} } = - \, \esia
\end{equation}
\\
der Sattelpunktsgleichung \re{4.50} festgelegt wird:
Die linke Seite von \re{4.54} läßt sich zu einer kovarianten Ableitung $\cD^{(0)}_i$ 
bezüglich des Eichfeldes $C_{i a}^{(0)}$ zusammenfassen, womit die Gleichung \re{4.54}
die Form

\begin{equation}
  \label{eq:4.55}
  \eijk \, \cD_j^{(0)} \, C_{k a}^{(1)} = - \, \esia
\end{equation}
\\
annimmt. Operieren wir mit $\cD_i^{(0)}$ von links auf \re{4.55}, so wird die linke Seite
proportional zur Krümmung des Eichfeldes $C_{i a}^{(0)}$, verschwindet also wegen
\re{4.52}. Die resultierende rechte Seite verschwindet im allgemeinen hingegen \emph{nicht},
und liefert deshalb drei nichttriviale \emph{Integrabilitätsbedingungen}

\begin{equation}
  \label{eq:4.56}
  \cD_i^{(0)}  \eia = \pa_i \eia + \eabc \, C_{i b}^{(0)} \, \e{i}{c} \eex 0 \ .
\end{equation}
\\
Die drei Gleichungen \re{4.56} sind zusätzliche Forderungen an die niedrigsten 
Entwicklungskoeffizienten $C_{i a}^{(0)}$ aus \re{4.53}. 

Setzen wir die allgemeine Lösung \re{4.53} in die Integrabilitätsbedingungen \re{4.56}
ein, so ergibt sich explizit

\begin{equation}
  \label{eq:4.57}
  \pa_i \bA{\Om_{a b} \, \e{i}{b}} \eex  0 \, ,
\end{equation}
\\
was die freien Parameterfelder $\Om_{a b}$ 
der asymptotischen Sat\-tel\-punkts\-lö\-sung
\re{4.53} im Limes $\kn$ festlegt. Erst über die Forderung \re{4.57} erhalten
die Sattelpunktsfelder $\Aia$ für $\kn$ eine explizite Abhängigkeit von der Triade $\eia$. 

Mit $\cOm$ gemäß \re{4.57} haben nun die speziellen Triadenvektorfelder

\begin{equation}
  \label{eq:4.58}
  \vd_a := \Om_{a b} \, \ve_b
\end{equation}
\\
die geometrisch interessante Eigenschaft der \emph{Divergenzfreiheit}:

\begin{equation}
  \label{eq:4.59}
  \vn \cdot \vd_a = \frac{1}{\sh} \ \pa_i \, \di{i}{a} = \frac{1}{\sh} \ \pa_i \bA{
  \Om_{a b} \, \e{i}{b}} = 0 \ .
\end{equation}
\\
Umgekehrt können wir auch sagen, daß gerade \emph{divergenzfreie} Triaden $\vd_a$ der 
Riemannschen Mannigfaltigkeit $( \Mx , \hh )$ über \re{4.58} und \re{4.53} die
verschiedenen möglichen Lösungen $\Aia$ der Sattelpunktsgleichung 
\re{4.50} im Limes $\kn$ parametrisieren.

Zu jeder divergenzfreien Triade $\vd_a$ kennen wir dabei zunächst nur den führenden
Term $C_{i a}^{(0)}$ der asymptotischen Reihe \re{4.51}.
Die übrigen Entwicklungskoeffizienten $C_{i a}^{(n)} , n \geq 1 ,$ lassen sich hierzu aber
im Prinzip eindeutig berechnen, indem wir die asymptotische Entwicklung \re{4.51}
um $\ka = 0$ systematisch fortführen; sie ergeben sich als Lösungen von \emph{linearen},
partiellen Differentialgleichungen zum Randwertproblem der kompakten Mannigfaltigkeit
$\Mx$.\footnote{Für eine mathematische Diskussion derartiger Entwicklungen sei
nochmals auf Anhang \ref{AnhA.1} verwiesen.}
Leider sind die höheren Entwicklungskoeffizienten $C_{i a}^{(n)} , n \geq 1 ,$ jedoch im
allgemeinen nicht analytisch zugänglich, weshalb wir uns an dieser Stelle mit der 
Kenntnis des führenden Entwicklungsterms $C_{i a}^{(0)}$ begnügen wollen.

Im weiteren soll der semiklassische Sattelpunktsbeitrag zum Chern-Simons-Zustand
\re{4.6} im Limes $\kn$ für die verschiedenen möglichen Sattelpunktslösungen unter
Verwendung der Formel \re{4.7} berechnet werden. Zur Auswertung des 
semiklassischen Exponenten $F$ aus \re{4.8} entwickeln wir zunächst $\SA$ gemäß
\re{3.39} bis zur linearen Ordnung in $\ka$, und erhalten

\begin{equation}
  \label{eq:4.60}
  \SA \as{\kn}{} \fr{1}{6} \, \IC + \cO ( \ka^2 ) \ .
\end{equation}
\\
Hierbei ist $\IC$ die Cartan-Maurer-Invariante \re{4.25} derjenigen Drehmatrix $\cOm$,
die gemäß \re{4.58} eine beliebig vorgegebene Triade $\ve_a$ in eine \emph{fest gewählte},
divergenzfreie Triade $\vd_a$ überführt. Der in $\ka$ lineare Beitrag zu \re{4.60}
enthält die Krümmung des Eichfeldes $C_{i a}^{(0)}$ und verschwindet wegen \re{4.52}.
Mit \re{4.60} und \re{4.53} hat der semiklassische Exponent \re{4.8} die folgende
asymptotische Form im Limes $\kn$:

\begin{equation}
  \label{eq:4.61}
  F \as{\kn}{} \frac{\IC}{6 \, \ka} \, + \idx \eijk \bA{\Om_{a b} \, e'_{i b}} \pa_j \bA{\Om_{a c} \,
  e'_{k c}} + \cO ( \ka ) \ .
\end{equation}
\\
Der Amplitudenvorfaktor der Gaußschen Fluktuationen in \re{4.7} ergibt sich mit
$\cOm$ aus \re{4.57} zu

\begin{eqnarray}
  \label{eq:4.63}
  A & : \, = & \Det^{- 1/2} \bB{\mu \ \frac{\de^2 F}{\de \Aia (x) \de \cA_{j b} (y)}} \nonumber \\
  & \pr{\kn}{} & \Det^{- 1/2} \bBC{\,\eijk \, \Om_{c a} (x) \, \pa_k \bA{\Om_{c b} (x) \, \dexy}} \ ;
\end{eqnarray}
\\
auf eine analytische Auswertung dieser komplizierten, nichtlokalen Funktionaldeterminante
soll an dieser Stelle verzichtet werden.

Unter Berücksichtigung unserer Definition des Vorfaktors $\cN$ in \re{4.27} liefert nun der
Sattelpunkt \re{4.53} über \re{4.7} den folgenden semiklassischen Sattelpunktsbeitrag
zum Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation im Limes $\kn$:

\begin{displaymath}
   \PCe \as{\kn}{\mi} A \cdot \exp \bB{\pm \frac{1}{\ga \hb} \bA{\frac{\IC-I (\hat \cOm ) }{2 \La}
  + \idx \eijk \, \bA{\Om_{a b} \, e_{i b}} \, \pa_j \bA{ \Om_{a c} \, e_{k c}} }}
\end{displaymath}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:4.64}
  \mbox{mit} \qquad \pa_i \bA{\Om_{a b} \, \e{i}{b}} \eex 0 \ .
\end{equation}
\\
Zur Vereinfachung des ersten Terms im Exponenten von \re{4.64} verwenden wir die
Funktionalrelation

\begin{equation}
  \label{eq:4.65}
  I \bA{ \cOm_1 \! \cdot \cOm_2} = I \bA{ \cOm_1} + I \bA{ \cOm_2} 
\end{equation}
\\
für die Cartan-Maurer-Invariante, womit sich

\begin{equation}
  \label{eq:4.66}
  \IC - I ( \hat \cOm ) = I ( \cOm \cdot \hat \cOm \, \!^{\tr} )
\end{equation}
\\
ergibt. Hierbei ist $\cOm \cdot \hat \cOm \, \!^{\tr}$ eine Drehmatrix, welche die im Anhang
\ref{AnhD} definierte Einstein-Triade $\vg_a$ in eine ausgezeichnete, divergenzfreie
Triade $\vd_a$ überführt. Die über \re{4.26} definierte Windungszahl dieser Drehmatrix
können wir der Einfachheit halber auch als Windungszahl der divergenzfreien Triade
$\vd_a$ bezüglich der Einstein-Triade $\vg_a$ interpretieren,\footnote{
Die Größe $\hat w ( \vd_a )$ ist tatsächlich allein ein Funktional der divergenzfreien
Triade $\vd_a$, denn mit $\vd_a$ kennt man auch die 3-Metrik $\hh$, und damit die
Einstein-Triade $\vg_a$.}

\begin{equation}
  \label{eq:4.67}
  I ( \cOm \cdot \hat \cOm \, \!^{\tr}) = : I_0 \cdot \hat w ( \vd_a ) \ .
\end{equation}
\\
Mit Hilfe von \re{4.58} und \re{4.67} können wir dann den Sattelpunktsbeitrag \re{4.64} auch
alternativ in der Form

\begin{equation}
  \label{eq:4.68}
  \PC \as{\kn}{\mi} A \cdot \exp \bB{\pm \frac{1}{\ga \hb} \bA{ \frac{I_0 \, \hat w
  ( \vd_a )}{2 \La} + \idx \eijk \, d_{i a} \, \pa_j \, d_{k a}}}
\end{equation}
\\
schreiben, wobei $\vd_a$ eine beliebige, \emph{fest gewählte} divergenzfreie Triade der
Riemannschen Mannigfaltigkeit $(\Mx , \hh )$ ist. Auf diese Weise hängt der Zustand
\re{4.68} nicht mehr explizit von der beliebigen Triade $\ve_a$, sondern nur noch
von der 3-Metrik $\hh$ ab, zu der $\vd_a$ eine divergenzfreie Triade ist. An der
Darstellung \re{4.68} erkennen wir somit implizit die SO(3)-Invarianz dieses 
semiklassischen Sattelpunktsbeitrags zum
Chern-Simons-Zustand unter beliebigen, kleinen \emph{und} großen 
Eichtransformationen der Triade $\ve_a$. Es ist bemerkenswert, daß durch eine einheitliche
Wahl des Vorfaktors $\cN$ in \re{4.27} die Eichinvarianz des Chern-Simons-Zustands unter
beliebigen SO(3)-Eichtransformationen sowohl im Limes $\ku$, wie auch im Limes $\kn$
sichergestellt wird.

Die \emph{Existenz} von divergenzfreien Triaden 
Riemannscher 3-Mannigfaltigkeiten $( \Mx , \hh )$
bleibt in diesem Zusammenhang  allerdings noch zu diskutieren -
mit diesem nichttrivialen Problem
beschäftigen wir uns im Anhang \ref{AnhA.2}. Dabei stellt sich heraus, daß wir im allgemeinen
sogar mit einer diskreten Anzahl \emph{verschiedener} divergenzfreier Triaden
rechnen müssen, die durch räumlich inhomogene Drehungen $\cOm$ auseinander 
hervorgehen, und deshalb verschiedene, linear unabhängige semiklassische 
Sattelpunktsbeiträge \re{4.68} zum Chern-Simons-Zustand im Limes $\kn$ liefern.

Im nächsten Abschnitt werden wir versuchen, mit Hilfe divergenzfreier Triaden 
Bianchi-homogener 3-Geometrien den Zustand \re{4.68} für diese spezielle Klasse 
räumlicher Mannigfaltigkeiten explizit auszuwerten.  


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Der homogene Grenzfall}
\label{Kap4.3.1}

Zur Berechnung des semiklassischen Chern-Simons-Zustands \re{4.68} im Grenzfall  $\kn$
benötigen wir divergenzfreie Triaden $\vd_a$ der Riemannschen Mannigfaltigkeit
$(\Mx , \hh )$, die im allgemeinen nur schwierig explizit angegeben werden können.
Allerdings ist für homogene 3-Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ A mindestens eine
divergenzfreie Triade stets bekannt, was zunächst gezeigt werden soll.

Hierzu betrachten wir wieder die bereits in \re{4.40} definierte Strukturmatrix $\bm$ der
\emph{invarianten} Triade $\vi_a$ dieser homogenen Mannigfaltigkeiten, 
die in einer Koordinatenbasis $\{ x^i \}$ 
auch explizit in der folgenden Form geschrieben werden kann:

\begin{equation}
  \label{eq:4.70}
  m_{a b} = - \frac{1}{\sh} \, \eijk \, \im_{i a} \, \pa_j \, \im_{k b} \ .
\end{equation}
\\
Über \re{3.42} erhält man hieraus für den schiefsymmetrischen Anteil von $m_{a b}$

\begin{equation}
  \label{eq:4.71}
  \eabc \, m_{b c} = \frac{1}{\sh} \ \pa_i \, \ii{i}{a} \equiv \vn \cdot \vi_a \ ,
\end{equation}
\\
die Triadenfelder $\vi_a$ sind also genau dann divergenzfrei, wenn 
$m_{a b}$ aus \re{4.70} symmetrisch in $a$ und $b$ ist.\footnote{
Diese Aussage gilt auch für beliebige Triaden $\vec e_a$
inhomogener Mannigfaltigkeiten $( \Mx , \hh )$, für die über \re{4.70} ebenfalls
eine Strukturmatrix $\bm$ definiert werden kann. Im Unterschied zu homogenen
Mannigfaltigkeiten kann diese Strukturmatrix jedoch \emph{nicht} räumlich konstant
gewählt werden.}
Da für Bianchi A-homogene Mannigfaltigkeiten die Strukturmatrix $\bm$ 
\emph{per definitionem}
symmetrisch ist, liefert hier die invariante Triade $\vi_a$ also automatisch
eine spezielle, divergenzfreie Triade

\begin{equation}
  \label{eq:4.72}
  \vd_a^{\, (0)} : = \vi_a \ .
\end{equation}
\\
Im Anhang \ref{AnhD} zeigen wir, daß für Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten die
\emph{Einstein}-Triade $\vg_a$ durch eine räumlich konstante Drehung aus der
\emph{ invarianten} Triade $\vi_a$ hervorgeht. Deshalb gilt für die in \re{4.67} eingeführte
Windungszahl der
invarianten, divergenzfreien Triade \re{4.72} Bianchi A-homogener Mannigfaltigkeiten:

\begin{equation}
  \label{eq:B.32}
  \hat w ( \vd_a^{\, (0)} ) = 0 \ .
\end{equation}
\\
Ein möglicher  Sattelpunktswert  des  Chern-Simons-Zustands der Gravitation  wird im
Limes $\kn$ für diese Klasse von 3-Metriken folglich

\begin{equation}
  \label{eq:4.73}
  \PC^{(0)} \as{\kn}{\mi} A \cdot \exp \bB{\mp \frac{V}{\ga \hb} \cdot \Tr \, \bm} \ ,
\end{equation}
\\
wobei wir das Ergebnis \re{B.32} und die explizite Definition der Strukturmatrix 
$\bm$ aus \re{4.70} in \re{4.68} eingesetzt haben.

Betrachten wir insbesondere flache räumliche Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ I,
so verschwindet die Strukturmatrix $\bm$ und damit der Exponent von \re{4.73}.
In diesem Zusammenhang kann man auch zeigen, 
daß der Exponent von $\PC$ in \re{4.46}, der im
Grenzfall $\ku$  für Bianchi I-homogene 3-Metriken berechnet wurde, für
beliebige Werte des Parameters $\ka$ gültig bleibt. Allerdings kennen wir den Vorfaktor
der Gaußschen Fluktuationen nur im Grenzfall großer $\ka$, so daß wir den vollständigen
semiklassischen Chern-Simons-Zustand selbst im einfachsten Spezialfall flacher 
3-Geometrien nicht explizit angeben können.

Zum Vergleich mit früheren Arbeiten interessieren uns ferner wieder speziell die
homogenen Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ IX. Die Strukturmatrix $\bm$ der
zugehörigen invarianten Triade kann mit Hilfe der in Anhang \ref{AnhB.3.2} definierten
\emph{Skalenparameter} $a_d , d \in \{ 1,2,3 \} ,$ alternativ zu \re{4.41}, \re{4.43} 
auch in der Form

\begin{equation}
  \label{eq:B.59}
  \bm = 2 \cdot \diag \bB{ \frac{a_1}{a_2 \, a_3} \, , \,  \frac{a_2}{a_3 \, a_1} \, ,\, 
   \frac{a_3}{a_1 \, a_2} } 
\end{equation}
\\
parametrisiert werden. Für das Volumen der 3-Mannigfaltigkeit erhalten wir dann 
über \re{4.30+} 

\begin{equation}
  \label{eq:B.59+}
  V = \cV \, a_1 \, a_2 \, a_3 \ ,
\end{equation}
\\
und der
Chern-Simons-Sattelpunktsbeitrag \re{4.73} der invarianten Triade $\vi_a = \vd^{\, (0)}_a$  
ergibt sich zu

 \begin{equation}
   \label{eq:4.75}
   \PC^{(0)} \pr{\kn}{\mi} \exp \bB{\mp \frac{2 \cV}{\ga \hb} \, \bA{a_1^2+a_2^2+a_3^2}} \ .
 \end{equation}
\\
Der Zustand \re{4.75} ist aus dem Studium Bianchi IX-homogener Modelle in 
\cite{Pat1, PatDip}
wohlbekannt, wo er auch als "`Wurmloch-Zustand"' bezeichnet wird. Zum expliziten 
Vergleich von \re{4.75} mit dem entsprechenden Zustand (2.18) aus \cite{Pat1} haben wir
$\ga = 16 \, \pi, \cV=4 \, \pi^2$ und $a_d = a \, e^{\beta_d}$ zu setzen;
 außerdem entspricht die 
Vorzeichenkonvention in \cite{Pat1} der oberen Wahl des Vorzeichens in der Definition der
Ashtekarvariablen \re{2.34}. 

Zusätzlich zur invarianten, divergenzfreien Triade $\vd_a^{\, ( 0)}$ gemäß \re{4.72} 
konstruieren wir im Anhang \ref{AnhB.3.2} vier weitere divergenzfreie Triaden
$\vd_a^{\, (\al)} , \al \in \{1,2,3,4 \}$, Bianchi IX-homogener Mannigfaltigkeiten, die
Anlaß zu vier zusätzlichen, möglichen Sattelpunktsbeiträgen zum 
Chern-Simons-Zustand im Limes $\kn$ geben. 
Ein spezieller Sattelpunktswert ergibt sich zur Triade $\vd_a^{\, (4)}$ aus \re{B.68}, 
\re{B.69} als

\begin{equation}
  \label{eq:4.76}
  \PC^{(4)} \pr{\kn}{\mi} \PC^{(0)} \cdot \exp \bB{\pm \frac{4 \cV}{\ga \hb} \bA{
  -\frac{6}{\La} + a_1 \, a_2 +a_2 \, a_3 +a_3 \, a_1}} \ .
\end{equation}
\\
Er ist aus \cite{Pat1, PatDip} auch als "`Hartle-Hawking-Zustand"' bekannt, und stimmt 
unter den oben angegebenen
Identifizierungen mit dem Zustand (5.47) aus \cite{Pat1} überein. Ersetzt man in
\re{4.76} zwei der drei Skalenparameter $a_d$ durch ihr negatives, so gelangt man zu drei
weiteren Sattelpunktswerten, die den drei divergenzfreien Triaden 
$\vd_a^{\, (\al)}, \al \in \{1,2,3 \} ,$ aus Anhang \ref{AnhB.3.2} entsprechen. Diese Zustände
wurden in den Arbeiten \cite{Pat1, PatDip} auch als "`unsymmetrische Zustände"' bezeichnet.

Resümierend können wir also alle aus der Diskussion Bianchi IX-homogener Modelle
bekannten Quantenzustände rekonstruieren, wenn wir den allgemein inhomogenen
Quantenzustand \re{4.68} für spezielle divergenzfreie Triaden dieser Klasse von
Mannigfaltigkeiten auswerten. Die Ergebnisse unterscheiden sich nur im 
Amplitudenvorfaktor der Gaußschen Fluktuationen, der im  inhomogenen Fall aus einer
komplizierten Funktionaldeterminante \re{4.63} besteht. Diese wurde hier nicht explizit
berechnet und in \re{4.75} und \re{4.76} auch nicht weiter angegeben, was durch die
Proportionalitätszeichen in diesen beiden Formeln angedeutet werden soll.

Im folgenden Abschnitt wollen wir uns nun mit der semiklassischen Interpretation
des Chern-Simons-Zustands im Limes $\kn$ beschäftigen, wobei wir insbesondere
auf die Bianchi IX-homogenen Sattelpunktswerte \re{4.75} und \re{4.76} eingehen werden.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Semiklassische 4-Geometrien}
\label{Kap4.3.2}

Analog zu Abschnitt \ref{Kap4.2.3} können wir auch im Limes $\kn$ wieder nach den
semiklassischen 4-Geometrien fragen, die über den asymptotischen 
Chern-Simons-Zustand \re{4.68} generiert werden. 
Im Gegensatz zum Grenzfall $\ku$ ergibt sich
für $\kn$ jedoch das Problem, daß der Exponent des Zustands \re{4.68} reell ist,
weswegen wir es im Sinne von \re{4.31} mit einer \emph{imaginären}, semiklassischen
Wirkung $S$ zu tun haben. Um trotzdem zu einer reellen Zeitentwicklung für die 3-Metrik
$\hh$ zu gelangen, versuchen wir im Limes $\kn$ einen von \emph{Hawking}
\cite{Haw1}  vorgeschlagenen
Interpretationsansatz in der \emph{imaginären} Zeit

\begin{equation}
  \label{eq:4.80}
  \tau : = \mp \, i \, t \qquad , \qquad t \in \RR \ .
\end{equation}
\\
Die über \re{2.3+} gegebene Raumzeit-4-Metrik $\bg$ ergibt sich hierbei als positiv definit,
die ursprünglich Lorentzsche Signatur von $\bg$ 
wird also über die Wick-Rotation \re{4.80} in
eine euklidische Signatur konvertiert.

In der imaginären Zeit $\tau$ erhalten wir aus der Evolutionsgleichung
\re{4.33} für den semiklassischen Zustand \re{4.68}

\begin{equation}
  \label{eq:4.81}
  \frac{\dd}{\dd \tau} \, \di{i}{a} = - \eijk \, \pa_j  d_{k a} \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\vd_a$ eine fest gewählte, divergenzfreie Triade der räumlichen Mannigfaltigkeit
$( \Mx , \hh )$ ist, die den Sattelpunktsbeitrag \re{4.68} charakterisiert. 
Die Eichbedingung

\begin{equation}
  \label{eq:4.82}
  \pa_i \, \di{i}{a} \eex 0
\end{equation}
\\
bleibt unter der semiklassischen Evolution \re{4.81} offensichtlich automatisch erhalten.

Mit Hilfe der Beziehungen \re{2.29} und \re{3.42} können wir aus \re{4.81} auch eine
Entwicklungsgleichung für die Felder $d_{i a}$ gewinnen,

\begin{equation}
  \label{eq:4.83}
  \frac{\dd}{\dd \tau} \, d_{i a} = \om_{i a} \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\om_{i a}$ der Riemannsche Spin-Zusammenhang \re{2.29} 
der divergenzfreien Triade $\vd_a$ ist.

Für \emph{stationäre} Lösungen von \re{4.83} gilt offensichtlich $\om_{i a} \equiv 0$,
die 3-Metrik wird in diesem Fall also \emph{flach}. Aufgrund unserer trivialen Wahl
der Lagrangeschen Multiplikatoren $N , N^i$ und $\Om_a$ in \re{4.32+} ist damit die
4-Mannigfaltigkeit $(\Mt ,\bg )$ im stationären Fall ebenfalls flach und lokal
isometrisch zum $\RRt^4$. 

Zur Konstruktion weiterer, spezieller Lösungen von \re{4.83} können wir einen
Ansatz der Form

\begin{equation}
  \label{eq:4.84}
  d_{i a} (x , \tau) = \tau \cdot {d \, \ns}' \!\ns_{i a} (x)
\end{equation}
\\
versuchen, der die Gleichung

\begin{equation}
  \label{eq:4.85}
  {d \, \ns}' \!\ns_{i a} = \om_{i a}
\end{equation}
\\
für die Felder ${d \, \ns}' \!\ns_{i a}$ impliziert. Der Riccitensor der 3-Geometrie ergibt sich 
hiermit zu

\begin{equation}
  \label{eq:4.86}
  R^i_{\ j } = \frac{2}{\tau^2} \ \de^i_j \ ,
\end{equation}
\\
die Triade $\vd_a$ muß also eine divergenzfreie Triade der 3-Sphäre mit Radius $\tau$ sein.
Für das Linienelement der semiklassischen
4-Geometrie $\bg$ gemäß \re{2.3+} folgt deshalb

\begin{equation}
  \label{eq:4.87}
  \dd s^2 = \dd \tau^2 + \tau^2 \, \dd \Om_3^2 \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\dd \Om_3^2$ das Linienelement der Einheits-3-Sphäre bezeichnet.
Wie die stationäre Lösung beschreibt \re{4.87} also eine lokal flache, zum $\RRt^4$
isometrische 4-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $( \Mt , \bg )$. 
Wählt man zur Integration von \re{4.83}
als Anfangs-3-Geometrie eine 3-Sphäre mit beliebigem Radius, so spielt die 4-Metrik
\re{4.87} die Rolle einer \emph{exakten} Lösung dieser semiklassischen Evolutionsgleichung.  

Im folgenden wollen wir zumindest im Rahmen Bianchi IX-homogener 
Anfangs-3-Geometrien studieren, wie sich die Lösung \re{4.87} anisotrop 
verallgemeinert. Hierzu haben wir in die Evolutionsgleichung \re{4.81} eine der
fünf divergenzfreien Triaden $\vd_a^{\, (\al)} , \al \in \{0,1,2,3,4 \} ,$ Bianchi IX-homogener
Mannigfaltigkeiten einzusetzen, die im Anhang \ref{AnhB.3.2} explizit konstruiert und
angegeben werden. Jede dieser fünf Triaden wird zur selben Anfangs-3-Geometrie
im allgemeinen \emph{verschiedene} semiklassische 4-Geometrien liefern.

Betrachten wir zunächst die Evolution der \emph{invarianten}, divergenzfreien
Triade $\vd^{\, (0)}_a = \vi_a$ mit der Strukturmatrix \re{B.59}, 
so ergibt sich aus \re{4.81} das folgende Differentialgleichungssystem
erster Ordnung für die drei Skalenparameter $a_d$ der Bianchi IX-Metrik:

\begin{equation}
  \label{eq:4.88}
  \frac{1}{2} \, \frac{\dd}{\dd \tau} \bA{a_1 \, a_2} = a_3 \ \ \ , \ \ \ 
  \frac{1}{2} \, \frac{\dd}{\dd \tau} \bA{a_2 \, a_3} = a_1 \ \ \ , \ \ \
  \frac{1}{2} \, \frac{\dd}{\dd \tau} \bA{a_3 \, a_1} = a_2 \ .
\end{equation}
\\
Diese semiklassischen Evolutionsgleichungen des Wurmloch-Zustands \re{4.75}
wurden bereits im Rahmen des homogenen Bianchi IX-Modells gut untersucht 
\cite{PatDip}.
Man überlegt sich relativ leicht, daß sämtliche Lösungen von \re{4.88} für $\tau \to \infty$
existieren, wobei sie die asymptotische Form

\begin{equation}
  \label{eq:4.89}
  a_d (\tau) \as{\tau \to \infty}{} \tau
\end{equation}
\\
annehmen. Für große imaginäre Zeiten $\tau$ werden die Bianchi IX-Geometrien also
insbesondere isotrop, die 4-Metrik wird flach und ist asymptotisch durch das
Linienelement \re{4.87} gegeben. Zur geometrischen Veranschaulichung dieser
speziellen 4-Geometrien ist in Abbildung \ref{Abb4.5} eine konkrete Lösung von
\re{4.88} in einem Einbettungsraum dargestellt. Diese "`Wurmloch-Geometrie"' hat dem
Zustand \re{4.75} ursprünglich seinen Namen gegeben.

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\textwidth}
\begin{picture}(1,.8)(0,0)

   \put(.62,.19){$( \Mx , \hh ) (\tau_0)$}
   \put(.58,.365){$\tau$}
   \put(.22,.47){$\tau \to \infty$}
   \put(.31,.32){$( \Mt , \bg )$}
   \put(0.15,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize= .7\unitlength
   \epsffile{Wurmloch.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-2.5 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{
 Geometrische Veranschaulichung der Wurm\-loch-\-Geo\-me\-trie über eine Einbettung
  in den flachen Minkowskiraum. Die räumlichen
  Bianchi IX-\-Geo\-me\-tri\-en $\hh ( \tau )$ sind durch eindimensionale Ellipsen 
  re\-prä\-sen\-tiert. Die
  Entwicklung der Anisotropie kann am Verhältnis der zu\-ge\-hö\-ri\-gen Halbachsen 
  abgelesen werden, das dem Ver\-hält\-nis zweier Skalenparameter $a_d$ der 
  Bianchi IX-\-Geo\-me\-trie entspricht. }}
\label{Abb4.5}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}


\noindent
Als zweites Beispiel sei die divergenzfreie Triade $\vd_a^{\, (4)}$ 
Bianchi IX-homogener 3-Geometrien aus Anhang \ref{AnhB.3.2} betrachtet, die den 
Hartle-Hawking-Sattelpunkts\-bei\-trag \re{4.76} zum Chern-Simons-Zustand liefert.
Hierfür ergeben sich mit \re{4.81} die semiklassischen Evolutionsgleichungen 

\begin{equation}
  \label{eq:4.90}
  \frac{1}{2} \, \frac{\dd}{\dd \tau} \bA{ a_1 \, a_2} = a_3 - a_1 - a_2 \ ,
\end{equation}
\\
sowie zwei weitere Gleichungen, die man durch zyklische Permutation der drei
Skalenparameter $a_d$ in \re{4.90} erhält. 
Für die Lösungen dieses Differentialgleichungssystems
kann man zeigen \cite{PatDip}, 
daß die drei Skalenparameter $a_d$ bei anwachsender imaginärer Zeit $\tau$
\emph{simultan} verschwinden. Definieren wir den zughörigen Zeitpunkt als $\tau = 0$,
so gilt für das asymptotische Verhalten der Lösungen von \re{4.90}

\vspace{-.5 cm}

\begin{equation}
  \label{eq:4.91}
  a_d ( \tau ) \as{\tau \to 0}{} \tau \ ,
\end{equation}
\\
und in unmittelbarer Umgebung von $\tau = 0$ wird die 3-Metrik isotrop.\footnote{
Bei der hier getroffenen Wahl des Zeitnullpunktes $\tau = 0$ wird die
Raum\-zeit-4-Man\-nig\-fal\-tig\-keit offenbar 
über \emph{negative} imaginäre Zeiten $\tau < 0$ parametrisiert.}
Das
asymp\-totische Linienelement der 4-Metrik im Limes $\tau \to 0$ ist also wiederum durch
\re{4.87} gegeben. Ein Repräsentant der Lösungen von \re{4.90} ist in der
folgenden Abbildung 4.6 gezeigt.

\vspace{-.5 cm}

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\textwidth}
\begin{picture}(1,.65)(0,0)

   \put(.71,.12){$( \Mx , \hh ) (\tau_0)$}
   \put(.68,.53){$( \Mt , \bg )$}
   \put(.44,.61){$\tau = 0$}
   \put(.29,.3){$\tau$}
   \put(0.12,-0.02){
   \leavevmode
   \epsfxsize= .75\unitlength
   \epsffile{Nobound.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-2.5 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{Einbettung der
  semiklassischen 4-\-Geo\-me\-trie des Har\-tle-\-Haw\-king-\-Zu\-stands 
  $\PC^{(4)}$ in den flachen
  euklidischen Raum.
  Wie in Abbildung \ref{Abb4.5} sind die Bianchi IX-\-3-\-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten als
  Ellipsen mit Halbachsen $a_d$ dargestellt. Bei $\tau = 0$
  entartet zwar die räumliche 3-\-Geo\-me\-trie, die 4-\-Geo\-me\-trie ist dort aber trotzdem
  re\-gu\-lär und kompakt.}}
\label{Abb4.6}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}


\newpage

Fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen, so stellen wir fest, daß die spezielle
Lösung \re{4.87}  der allgemeinen Evolutionsgleichung \re{4.81} für die diskutierten
semiklassischen Trajektorien Bianchi IX-homogener 3-Geometrien\footnote{
Die den divergenzfreien Triaden $\vd_a^{\ (\al)} , \al \in \{1,2,3 \} ,$ zugeordneten
4-Geometrien wurden hier nicht diskutiert. Sie sind aus dem Studium des homogenen
Bianchi IX-Modells ebenfalls bekannt \cite{PatDip}, scheinen aber physikalisch nicht weiter
relevant zu sein.}
die Rolle eines \emph{Attraktors} spielt: Im Fall der "`Wurmloch"'-Evolution \re{4.88} gilt dies
im Limes $\tau \to \infty$, für die "`Hartle-Hawking"'-Evolution \re{4.90} im Limes 
$\tau \to 0$.\footnote{Im isotropen Grenzfall $a_1 = a_2 = a_3$ unterscheiden sich die
Evolutionsgleichungen \re{4.88} und \re{4.90} tatsächlich nur im Vorzeichen von $\tau$,
und die "`Attraktormetrik"' \re{4.87} wird in beiden Fällen zur exakten Lösung.}
Man mag daher vermuten, daß es sich hierbei vielleicht um eine universelle  Eigenschaft der
semiklassischen 4-Geometrien im Grenzfall $\La = 0$
handelt; so könnte es auch für allgemeine, \emph{inhomogene} Anfangs-3-Metriken stets
divergenzfreie Triaden geben, deren Zeitentwicklung gemäß \re{4.81} zu asymptotisch
flachen 4-Metriken im Limes $a_{\cos} \to \infty$, 
oder aber asymptotisch kompakten 4-Mannigfaltigkeiten ohne weiteren
Rand bei $a_{\cos} = 0$ führt. 
Das zweite dieser Kriterien wurde von Hartle und Hawking 
\cite{Haw1, Haw2, Haw3} in der Tat
als universelle Randbedingung für den Quantenzustand der Gravitation vorgeschlagen.

Über das allgemeine Verhalten der Lösungen von \re{4.81} können wir zwar aufgrund
der komplizierten, nichtlinearen Struktur dieses Gleichungssystems 
wenig sagen, allerdings gibt es schon im Rahmen Bianchi A-homogener 
3-Mannigfal\-tig\-kei\-ten Gegenargumente zu \emph{beiden} Randbedingungen:
Im Anhang \ref{AnhC} diskutieren wir die semiklassischen 4-Geometrien zu 
Anfangs-3-Geometrien vom  Bian\-chi-Typ~$\mbox{VI}_{-1}$, wobei wir die Evolution
der \emph{invarianten}, divergenzfreien Triaden dieser homogenen 3-Mannigfaltigkeiten
untersuchen. Wir finden, daß die zugehörige semiklassische 4-Geometrie \emph{nirgends}
flach ist, ferner ergeben sich die vorgegebenen Anfangs-3-Geometrien \emph{nicht}
als Rand von kompakten, semiklassischen 4-Mannigfaltigkeiten.

Im Gegensatz zum homogenen Bianchi IX-Modell scheint also der \emph{inhomogene}
Chern-Simons-Zustand der Gravitation für $\La = 0$ im allgemeinen
weder die Bedingung asymptotischer Flachheit bei großen Skalen $a_{\co}$, noch
die von Hartle und Hawking vorgeschlagene "`keine-Grenzen-Bedingung"' für 
$a_{\co} \to 0$ zu befriedigen.

Es ist allerdings zu bemerken, daß wir im Anhang \ref{AnhC} die Evolution 
einer \emph{speziellen} divergenzfreien Triade studieren; 
es wäre denkbar, daß es andere, nichttriviale
Triaden $\vd_a$ gibt, deren semiklassische Evolution zur Befriedigung einer
der genannten Randbedingungen führt. Ferner handelt es sich bei dem in Anhang \ref{AnhC}
diskutierten Beispiel um eine 3-Mannigfaltigkeit mit nichtrivialer Topologie. Bei Restriktion
auf Mannigfaltigkeiten mit trivialer $S^3$-Topologie wäre die Erfüllung einer der beiden 
Randbedingungen im Prinzip noch denkbar - zur Widerlegung dieser These müßte ein
\emph{inhomogenes} Gegenbeispiel konstruiert werden, was nicht weiter verfolgt worden ist.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Zur Normierbarkeit des Chern-Simons-Zustands}
\label{Kap5}
\kopf{Kapitel 5: Zur Normierbarkeit des Chern-Simons-Zustands}
\thispagestyle{empty}


In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Frage der Normierbarkeit des 
Chern-Simons-Zustands \re{3.41} der Quantengravitation beschäftigen. 
Bereits in dem Abschnitt \ref{Kap3.3}
wurde das physikalische, innere Produkt \re{3.26} eingeführt, das für eichinvariante
Wellenfunktionale $\Pse$ mit \re{3.10}-\re{3.13} einen \emph{Hilbertraum}
definiert. Bezüglich dieses Produkts soll im weiteren die Normierbarkeit
des Quantenzustands \re{3.41} untersucht werden. 

Bei der Herleitung des physikalischen Produkts \re{3.26}
wurde die Eichbedingung $\ch$
zur Fixierung der Zeit-Reparameterisierungsinvarianz noch offen gelassen; tatsächlich
hängt das effektive physikalische Produkt aber stark von der Wahl dieser Eichbedingung
ab, und es ist durchaus denkbar, daß der Quantenzustand $\PCe$ 
bezüglich mancher der resultierenden möglichen Produkte normierbar ist, bezüglich
anderer hingegen nicht. 

Untersuchen wir also die physikalische Norm des Chern-Simons-Zustands 
\re{3.41} für eine \emph{fest} getroffene Wahl der Eichbedingung $\ch$,
so erhalten wir keineswegs eine \emph{strenge} Aussage über die Normierbarkeit von $\PCe$. 
Allerdings können wir zumindest für oder gegen die Normierbarkeit von $\PCe$
\emph{argumentieren}, indem wir für $\ch$ eine physikalisch besonders naheliegende 
Wahl treffen, was im folgenden geschehen soll.

Hierfür betrachten wir eine fest gewählte, positive skalare Dichte $\tv (x)$ 
vom Gewicht $+1$ auf
der räumlichen Mannigfaltigkeit $\Mx$, die gemäß 

\begin{equation}
  \label{eq:5.1}
  \idxM \tv (x) \eex 1 
\end{equation}
\\
normiert sei, und ferner
einen beliebigen Längenparameter $a_{\che}$.\footnote{Für $\tv (x)$ kann man
beispielsweise die Volumenform einer maximalsymmetrischen 3-Metrik auf $\Mx$
wählen.} Über die Eichbedingung

\begin{equation}
  \label{eq:5.2}
  \ch [ \eia ] : = \sh - a_{\che}^3 \cdot \tv \eex 0
\end{equation}
\\
schränken wir uns dann auf 3-Metriken $\hh$ mit \emph{gegebener} Volumenform
$a_{\che}^3 \cdot \tv$ ein. Insbesondere
impliziert die Eichbedingung \re{5.2}, daß die metrische Längenskala $a_{\co}$ 
gemäß \re{4.3} mit der vorgegebenen Längenskala $a_{\che}$ übereinzustimmen hat.
Räumliche 3-Geometrien $\hh$ mit \re{5.2} haben nur noch zwei lokale, physikalische
Freiheitsgrade, für die der Quantenzustand $\PCe$ auszuwerten bleibt.

Mit dem physikalischen inneren Produkt $\bES_{\phy}$ aus \re{3.26} hängt die
physikalische "`Norm"' 

\begin{equation}
  \label{eq:5.3}
  \bN{\PC}_{\phy}^2 : = \bE{\PC}{\PC}_{\phy}
\end{equation}
\\
des Chern-Simons-Zustands \re{3.41} über die 
Eichbedingung $\ch$ offensichtlich noch von
$a_{\che}$ und $\tv (x)$ ab. Wir werden deshalb den Grenzwert

\begin{equation}
  \label{eq:5.4}
  \bN{\PC}_{\infty}^2 : = \lim_{a_{\che} \to \infty}  \, \bN{\PC}_{\phy}^2
\end{equation}
\\
betrachten, der sich als eine von $\tv (x)$ unabhängige Größe erweisen wird. 
Zur Berechnung
der physikalischen Norm \re{5.4} benötigen wir den Faddeev-Popov-Kommutator
zwischen $\cHA$ aus \re{2.36} und $\ch$ gemäß \re{5.2}, der sich, im
Gegensatz zu $J_{\gau}$ und $J_{\dif}$ in \re{3.24}, überraschenderweise
relativ einfach berechnen läßt: Es ergibt sich

\begin{equation}
  \label{eq:5.5}
  \frac{i}{\hb} \bB{\cHA (x) , \ch (y) } =  \frac{\ga}{4} \ \dexy \cdot \cur (x)
\end{equation}
\\
mit
\begin{equation}
  \label{eq:5.5+}
  \cur (x) := \frac{i \hb}{2} \bB{e_{i a} (x) \, \frac{\de}{\de e_{i a} (x)} 
  + \frac{\de}{\de e_{i a} (x)} \, e_{i a} (x)} \ ,
\end{equation}
\\
woraus man für die Faddeev-Popov-Funktionaldeterminante $J_{\ham}$ aus \re{3.25}
den Ausdruck

\begin{equation}
  \label{eq:5.6}
  J_{\ham} = \prod_{x \in \Mx} \, \frac{\ga}{4} \cdot \cur  (x)
\end{equation}
\\
gewinnt. 
In Wirkung auf ein Wellenfunktional $\Pse$ mißt der hermitesche Operator $\cur (x)$
aus \re{5.5+} die
Stromdichte von $\Pse$ in der $h(x)$-Richtung des Konfigurationsraumes,
und $J_{\ham}$ aus \re{5.6} entsprechend das Raumprodukt dieser Stromdichte. 

Für große
kosmologische Skalen $a_{\co} = a_{\che}$ können wir das 
Chern-Simons-Wellen\-funk\-tio\-nal
\re{3.41} durch den asymptotischen Zustand \re{4.21} ersetzen, und erhalten bis auf
einen divergenten Vorfaktor

\begin{equation}
  \label{eq:5.7}
  J_{\ham}  \cdot \PC \, \Big |_{\ches = 0} \!\!\! \pr{a_{\che} \to \infty}{} \pp^{1/2} \! \cdot \PC \ .
\end{equation}
\\
Das Raumprodukt der Stromdichte von $\PCe$ in $h(x)$-Richtung hat also im Limes
$a_{\che} \to \infty$ ein festes Vorzeichen, so daß in diesem Sinne  die
übliche Betragsbildung der Faddeev-Popov-Determinante in \re{3.26} entfallen kann.
Für die physikalische Norm \re{5.3} des Chern-Simons-Zustands folgt soweit

\begin{equation}
  \label{eq:5.8}
  \bN{\PC}_{\phy}^2 \pr{a_{\che} \to \infty}{} \ifu [e_{i a}] \, \pp^{1/2} \, |J_{\gau} \cdot J_{\dif} | 
   \cdot \de^3 [ \ch_a ] \ \de^3 [ \ch^i ] \
   \de [ \ch ]   \cdot  | \PC |^2 \ .
\end{equation}
\\
Mit dem in \re{4.27} definierten Normierungsfaktor $\cN$ gilt nun für das Betragsquadrat
des Chern-Simons-Zustands $\PC$ aus \re{4.21}:

\begin{equation}
  \label{eq:5.9}
  | \PC |^2 \pr{a_{\che} \to \infty}{} \pp^{-3/2} \cdot \exp \bB{\mp \frac{6}{\ga \hb \La}
  \bA{\frac{I (\hat \cOm )}{6} - \So }} \ .
\end{equation}
\\
Der Exponent von $| \PC |^2$ ist also Diffeomorphismus-invariant, und wegen \re{4.24}
auch invariant unter \emph{beliebigen} SO(3)-Eichtransformationen der Triade.
Ferner ist bekannt, daß $\So$ ein \emph{konforminvariantes} Funktional ist:
Unter lokalen Skalentransformationen

\begin{equation}
  \label{eq:5.10}
  e_{i a} \mapsto e^{\zeta (x)} \cdot e_{i a}
\end{equation}
\\
ändert sich der Wert von $\So$ nicht.
Die Konforminvarianz gilt auch für die Cartan-Maurer-Invariante
$I (\hat \cOm )$, da diese eine topologische Invariante ist, und damit für den
gesamten Exponenten von \re{5.9}. 

Da wir gerade durch Skalentransformationen der
Form \re{5.10} die Volumenform $\sh$ einer beliebigen Triade $e_{i a}$ in eine 
vorgegebene Volumenform $a_{\che} \cdot \tv$ überführen können, ist der Wert
des Exponenten von \re{5.9} bei $\ch = 0$ \emph{unabhängig} von der Wahl der Größen
$\tv$ und $a_{\che}$ in \re{5.2}.

Seien nun weiterhin $\be_+ (x)$ und $\be_- (x)$ 
zwei SO(3)- und konforminvariante Funktionale
von  $e_{i a}$, durch die wir jedes SO(3)-, konform- und Diffeomorphismus-invariante
Funktional der Triade ausdrücken können. Dann hängt  insbesondere der Exponent in
\re{5.9} allein von den Feldern $\be_{\pm} (x)$ ab,

\begin{equation}
  \label{eq:5.11}
  \fr{1}{6} \, I ( \hat \cOm ) - \So = : \hat \cS_{\CS} [\be_{\pm} ] \ ,
\end{equation}
\\
und das Normierungsintegral \re{5.8} nimmt in den neuen Integrationsvariablen $\be_{\pm}$
die Form

\begin{equation}
  \label{eq:5.12}
  \bN{\PC}_{\infty}^2 \propto \int \cD^2 [ \be_{\pm} ] \, W[ \be_{\pm} ] \,
  \exp \bB{\mp \frac{6}{\ga \hb \La} \, \hat \cS_{CS} [ \be_{\pm} ]}
\end{equation}
\\
an, wobei der Limes $a_ {\che} \to \infty$ bereits ausgeführt wurde.\footnote{
Eine eventuell im Integranden von \re{5.8} verbleibende Potenz von $\pps$ wird unter
der Eichbedingung \re{5.2} unabhängig von der Triade, und kann deshalb vor das
Funktionalintegral gezogen werden.}
In das Integrationsgewicht
$W [ \be_{\pm} ]$ gehen dabei sowohl die Faddeev-Popov-Determinanten $J_{\gau}$ und
$J_{\dif}$ aus \re{3.24}, wie auch die spezielle Wahl der Felder $\be_{\pm} (x)$ ein.

Für die in diesem Kapitel vorgeschlagene Eichbedingung $\ch$ zur Fixierung
des  physikalischen, inneren Produkts der Quantengravitation finden wir 
hiermit das folgende, bemerkenswerte Resultat:

Die mit dem Chern-Simons-Zustand \re{3.41} assoziierte "`Wahrscheinlichkeitsdichte"'
ergibt sich über \re{5.11}, \re{5.12} als Exponentialfunktion 
des Chern-Simons-Funktionals $\So$ 
vom \emph{Riemannschen} Spin-Zusammenhang $\om_{i a}$.
Diese Dichte ist Diffeomorphismus- und Gauß-invariant, und ferner sogar 
konforminvariant. Leider gibt sie aber \emph{nicht}
Anlaß zu einem endlichen Normierungsintegral \re{5.12}:
Da das Funktional $\So$ nach oben und unten \emph{unbeschränkt} ist, gibt es stets 
$\be_{\pm}$-Richtungen im Konfigurationsraum, in denen der Integrand von \re{5.12}
exponentiell anwächst. Falls dieses divergente Verhalten nicht gerade über das
Integrationsgewicht $W [ \be_{\pm} ]$ in \re{5.12} überkompensiert wird, müssen wir folgern,
daß es sich beim Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation \re{3.41}
aller Voraussicht nach um einen \emph{nicht-normierbaren} Quantenzustand handelt.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Zusammenfassung und Diskussion}
\label{Kap6}
\kopf{Kapitel 6: Zusammenfassung und Diskussion}
\thispagestyle{empty}

Das wesentliche Ziel dieser Arbeit bestand in der Herleitung und anschließenden
Diskussion einer \emph{Triadendarstellung} des aus der Ashtekar-Theorie
schon seit längerem bekannten Chern-Simons-Zustands der Quantengravitation. 
Die intensive Untersuchung dieses
speziellen Wellenfunktionals ist deshalb von besonderem Interesse, weil es sich hierbei
um eine der wenigen exakten Lösungen aller Zwangsbedingungen der quantisierten 
Gravitationstheorie handelt, die man bis heute gefunden hat. 
Tatsächlich liefert der Chern-Simons-Zustand die \emph{einzige} bekannte Lösung, 
die weiterhin einen
wohldefinierten semiklassischen Limes besitzt, in dem reguläre, nicht-entartete
4-Geometrien beschrieben werden.
Ferner besteht über diesen Zustand  eine
wichtige Verbindung zwischen der Gravitationstheorie und der topologischen 
Feldtheorie \cite{Kauf, Wit1},
denn das Wellenfunktional $\hat \PC ( \Aia )$ gemäß \re{3.38} ist in 
den Ashtekarvariablen $\Aia$ völlig
unabhängig von metrischen Konzepten auf der 3-Mannigfaltigkeit $\Mx$ definiert,
und hängt deshalb bei gegebenen Feldern $\Aia$ nur von der \emph{Topologie}
der 3-Mannigfaltigkeit $\Mx$ ab.

Die physikalische Interpretation des Chern-Simons-Zustands hat in der
Vergangenheit allerdings große Probleme bereitet,
da die geometrische Bedeutung des komplex definierten
Ashtekar-Spin-Zusammenhangs a priori unklar war: Hier mußten erst noch komplizierte
Realitätsbedingungen implementiert werden, bevor aus dem Zustand $\hat \PC ( \Aia )$ ein
physikalischer Sinn extrahiert werden konnte.
Desweiteren erwiesen sich die komplexen
Konfigurationsraumvariablen $\Aia$ auch bei der Definition eines physikalischen 
inneren Produkts auf dem Raum der Wellenfunktionale $\hat \PC ( \Aia )$ als nicht 
besonders zweckmäßig.\footnote{
In diesem Zusammenhang wurde von Kodama \cite{Kod} vorgeschlagen, 
die Normierbarkeitsforderung 
für Quantenzustände der Gravitation in der metrischen Darstellung durch eine
\emph{Holomorphie-Bedingung} in der Ashtekar-Darstellung zu ersetzen.
Die Äquivalenz dieser beiden Forderungen ist aber keineswegs offensichtlich.}

Diese beiden Schwierigkeiten der Ashtekar-Darstellung 
lassen sich jedoch dadurch umgehen, daß man
einen Darstellungswechsel auf die zu $\Aia$ kanonisch konjugierten Triadenfelder
$\eia$ vornimmt: Die physikalische Bedeutung der Felder $\eia$ ist dann offensichtlich,
und auch das innere Produkt ergibt sich in der $\eia$-Darstellung auf ganz natürliche
Art und Weise. 

Eine vordringliche Aufgabe dieser Arbeit bestand deshalb in der Aufklärung des 
expliziten Zusammenhangs zwischen der Ashtekar-Darstellung und der Triadendarstellung
der Gravitationstheorie, womit wir uns in Kapitel \ref{Kap2} zunächst auf klassischem
Niveau ausführlich beschäftigt haben. Hier wurde auch auf die \emph{metrische} Darstellung
der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie eingegangen, die in trivialer Weise
aus der Triadendarstellung hervorgeht; ferner haben wir die eichtheoretische Bedeutung
der Ashtekarvariablen über einen direkten Vergleich zwischen Gravitations- und
Yang-Mills-Theorie in Abschnitt \ref{Kap2.4} hervorgehoben. 

$\ $\vspace{-.4 cm}

Anschließend wurde in Kapitel \ref{Kap3} eine kanonische Quantisierung
der Gravitation in der \emph{Triadendarstellung} durchgeführt.
Im Sinne der Diracschen Methode \cite{Dirac} wurden für die Zwangsbedingungen 
$\cH_0 , \cH_i$ und $\cJ_a$ der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie 
Operatordarstellungen auf dem
Raum der Wellenfunktionale $\PCe$ angegeben, wobei über eine spezielle Wahl der
Faktor\-ordnung ein Abschluß der Operatoralgebra \emph{ohne} Quantenkorrekturen
erzielt werden konnte. Die in \re{2.47}-\re{2.49} gewählte Operatorordnung 
für die Observablen $\cH_0 , \cH_i$ und $\cJ_a$ ist neu, und wurde in dieser
Form noch nicht in der Literatur untersucht. 

Die geometrische Bedeutung der Zwangsbedingungen $\cH_0 , \cH_i , \cJ_a$
und der hiervon erzeugten Operatoralgebra haben wir in Abschnitt \ref{Kap3.1}
diskutiert; ferner wurde die Universalität der hierbei auftretenden algebraischen
Strukturen über~ei\-nen Vergleich mit der quantisierten Einstein-Yang-Mills-Theorie
in Abschnitt~\ref{Kap3.2} herausgearbeitet.

Desweiteren konnte in natürlicher Weise ein kinematisches, inneres Produkt auf dem
Raum der Wellenfunktionale $\PCe$ aufgefunden werden, bezüglich dessen die
Zwangsoperatoren $\cHA , \cH_i$ und $\cJ_a$ formal hermitesch sind. Über eine
Eichfixierungsprozedur nach Faddeev und Popov \cite{FadPop} entstand hieraus
das vollständig eichfixierte, physikalische innere Produkt \re{3.26}, wobei die
Eichbedingung $\ch$ zur Fixierung der Zeit-Reparameterisierungsinvarianz erst
später in Kapitel \ref{Kap5} festgelegt wurde.

Im Rahmen der in Kapitel \ref{Kap3} formulierten Quantentheorie 
haben wir den Chern-Simons-Zustand der Gravitation \emph{in der Triadendarstellung}
konstruiert, und gezeigt, daß es sich hierbei um eine exakte Lösung sämtlicher
Zwangsbedingungen der Quantengravitation handelt. Hierbei fiel auf, daß sich der
Chern-Simons-Zustand formal als Lösung des Gleichungssystems \re{3.30} ergab,
welches das quantenmechanische Pendant zum klassischen, 
selbstkonsistenten Gleichungssystem \re{2.50} darstellte.  
Schon in Kapitel \ref{Kap2} konnte eine gewisse
Analogie zwischen den Gleichungen \re{2.50} und den dreidimensionalen
Einsteingleichungen mit kosmologischem Term festgestellt werden, was effektiv eine
besondere geometrische Auszeichnung für den 
Chern-Simons-Zustand der Gravitation implizierte.

Zur Konstruktion der Triadendarstellung des Chern-Simons-Zustands in Abschnitt
\ref{Kap3.4} benötigten wir die quantenmechanische Verallgemeinerung des
Zusammenhangs \re{2.34} zwischen der Ashtekar- und Triadendarstellung der
Allgemeinen Relativitätstheorie, welche sich über die folgenden beiden
Transformationsschritte ergab:

\begin{itemize}

\item[$(i)$] Eine Ähnlichkeitstransformation \re{3.31} mit dem Funktional $\Phi$ 
aus \re{2.40}, und

\item[$(ii)$] eine Fouriertransformation \re{3.34}, wobei es wesentlich war, die 
Integra\-tionsmannigfaltigkeit $\Ga$ des Fourierintegrals komplex zu verallgemeinern.
 
\end{itemize}

Bei dieser Vorgehensweise spielten
die Ashtekarvariablen $\Aia$ lediglich die Rolle
nützlicher mathematischer Hilfsfelder; die hierfür üblicherweise zu fordernden
Realitätsbedingungen wurden im Schritt $(ii)$ formal durch eine geeignete Wahl
der komplexen Integrationsmannigfaltigkeit $\Ga$ in \re{3.34} ersetzt.

Über die Transformationen $(i)$ und $(ii)$ erhielten wir für den 
Chern-Simons-Zustand in der Triadendarstellung
eine neuartige, komplexe Funktionalintegraldarstellung \re{3.41}, die bisher nur in
Restriktion auf Bianchi IX-homogene Modelle diskutiert worden ist \cite{Pat1, Pat3, PatDip},
als inhomogenes Resultat aber bis heute unveröffentlicht blieb.

Die komplizierte Integrationsmannigfaltigkeit $\Ga$ in \re{3.41} konnte dabei allerdings
nur implizit angegeben werden; ferner erschien eine analytische Auswertung
des 
Funktionalintegrals in \re{3.41} nicht untersuchenswert, da die vollständige
Berechnung der entsprechenden gewöhnlichen Integrale schon im Rahmen
Bian\-chi~IX-ho\-mogener Modelle nicht möglich war \cite{Pat1, PatDip}.

Trotzdem eignete sich die Triadendarstellung \re{3.41} aber gut zur \emph{semiklassischen}
Diskussion des Chern-Simons-Zustands, denn im semiklassischen Limes konnten
sämtliche Funktionalintegrale mit Hilfe der Laplaceschen Sattelpunktsmethode
asymptotisch entwickelt werden, 
womit wir uns in Kapitel \ref{Kap4} ausführlich beschäftigt haben.
Hierbei erwies es sich als zweckmäßig, über \re{4.4} dimensionslose, positive
Entwicklungsparameter $\mu$ und $\ka$ einzuführen: Der formale semiklassische
Limes $\hb \to 0$ entsprach dann dem Grenzfall $\mi$, und $\ka$ konstituierte einen
zusätzlichen Parameter, dessen Wert von der kosmologischen Konstanten $\La$
und der kosmologischen Längenskala $a_{\co}$ der räumlichen 3-Geometrie abhing.

Im Abschnitt \ref{Kap4.1} haben wir zunächst den allgemeinen semiklassischen Limes
$\mi$ betrachtet, der auf ein Gaußsches Sattelpunktsintegral \re{4.6} führte, und unter
Anwendung der Laplaceschen Methode Sattelpunktsbeiträge der Form \re{4.7}
zum Funktionalintegral \re{3.41} lieferte. Zur Berechnung der semiklassischen
Sattelpunktsbeiträge mußten dabei Lösungen der Sattelpunktsgleichung \re{4.10}
aufgefunden, und in den asymptotischen Ausdruck \re{4.7} eingesetzt werden. Da es
 sich bei der Sattelpunktsgleichung \re{4.10} um ein kompliziertes, nichtlineares
System partieller Differentialgleichungen handelte, war die allgemeine Existenz von
Lösungen nicht selbstverständlich - diesem Problem haben wir deshalb einen
eigenen mathematischen Anhang \ref{AnhA.1} gewidmet, wo die Lösbarkeit von \re{4.10}
für eine große Klasse von Parameterfeldern $\eia (x)$ und $\La$ bewiesen werden konnte.

Neben diesen Existenzaussagen waren wir aber weiterhin an expliziten Lösungen der
Sattelpunktsgleichung \re{4.10} interessiert, um die Sattelpunktswerte \re{4.7} des
semiklassischen Chern-Simons-Zustands angeben, und physikalisch interpretieren zu
können. Hierfür haben wir in den Abschnitten \ref{Kap4.2} und \ref{Kap4.3} die
Grenzfälle $\ku$ und $\kn$ studiert, in denen sich das Gleichungssystem \re{4.10}
jeweils erheblich vereinfachte und mit analytischen Methoden behandelt werden konnte.
Während wir in Kapitel \ref{Kap4} aus rein technischen 
Gründen auf diese beiden Grenzfälle hingeführt
wurden, ist es an dieser Stelle angebracht, die physikalische Relevanz der 
Parameterbereiche $\ka \ll 1$ und $\ka \gg 1$ anhand aktueller kosmologischer 
Meßdaten zu beurteilen: 

In den letzten Jahren haben sich aus kosmologischen Beobachtungen 
zunehmend Hinweise darauf 
ergeben, daß die kosmologische Konstante $\La$, die lange Zeit als
unmeßbar kleine Größe galt, einen von Null verschiedenen Wert haben 
muß.\footnote{Hier ist in erster Linie eine im Rahmen des kosmologischen
Standardmodells nicht mehr erklärbare Diskrepanz in den Meßdaten für das Alter des
Universums zu nennen: Offensichtlich gibt es Objekte im Universum, die gemäß des
Standardmodells mit \emph{verschwindender} kosmologischer Konstante älter sind als
das Universum selbst \cite{Pont, Bolte}. Dieser Widerspruch läßt sich erst dann
auflösen, wenn man kosmologische Modelle mit $\La > 0$ betrachtet.}
Tatsächlich kennt man heute zumindest die \emph{Größenordnung} von $\La$ ziemlich genau,
wobei die kosmologische Konstante allerdings nicht direkt, sondern nur in Form
des dimensionslosen Parameters

\begin{equation}
  \label{eq:6.1}
  \Om_{\La} : = \frac{\La \, c^2}{3 \, H_0^2} 
\end{equation}
\\
gemessen werden kann. Hierbei bezeichnet $H_0$ den Wert der \emph{Hubble-Konstanten}

\begin{equation}
  \label{eq:6.2}
  H_0 := \frac{\dot a_{\co}}{a_{\co}} \, \Bigg |_{\, t=t_0}
\end{equation}
\\
zum heutigen Zeitpunkt $t_0$, und $c$ die Lichtgeschwindigkeit.\footnote{
Im Rahmen dieser Arbeit wurde bisher stets in Einheiten mit $c=1$ gearbeitet, für die
Angabe experimenteller Meßwerte ist es hier aber günstiger, ein kosmologisches
Einheitensystem zu verwenden.}
Aktuelle Meßdaten liefern gemäß Lineweaver, Perlmutter et al. \cite{Perl1, Perl2, Line} für
den Parameter $\Om_{\La}$ und die Hubble-Konstante $H_0$ Werte von\footnote{
Hierbei ist $1$ Parsec eine kosmologische Längeneinheit mit 
$1$ pc $\approx 3,26$ ly.}

\begin{equation}
  \label{eq:6.3}
  \Om_{\La} \approx 0,62 \qquad \mbox{und} \qquad H_0 \approx 73 \, \frac{\mbox{km}}
{\mbox{s} \, \mbox{Mpc}} \ .
\end{equation}
\\
Über den Zusammenhang \re{6.1} kommt deshalb 
die mit der kosmologischen Konstanten $\La$ assoziierte Längenskala $a_{\La}$
aus \re{4.2} in der Größenordnung 

\begin{equation}
  \label{eq:6.4}
  a_{\La} \approx 16 \, \mbox{Gly}
\end{equation}
\\
zu liegen. Ferner entnimmt man aus den Veröffentlichungen \cite{Perl1, Perl2, Line}
das Alter $t_0$ des Universums zu

\begin{equation}
  \label{eq:6.5}
  t_0 \approx 14 \, \mbox{Gy} \ ,
\end{equation}
\\
so daß sich für die kosmologische Längenskala $a_{\co} (t_0)$ des heute sichtbaren
Universums etwa ein Wert von

\begin{equation}
  \label{eq:6.6}
  a_{\co} (t_0) \approx c \, t_0 \approx 14 \, \mbox{Gly}
\end{equation}
\\
ergibt. Bemerkenswerterweise liegt der über die Gleichung \re{4.4} eingeführte
Parameter $\ka$ somit für das heutige Universum in guter Näherung in der
Größenordnung \emph{Eins}:

\begin{equation}
  \label{eq:6.7}
  \ka_0 \approx 0,76 \ .
\end{equation}
\\
Über das Studium der Grenzfälle $\ka \gg 1$ und $\ka \ll 1$ in den Abschnitten \ref{Kap4.2}
und \ref{Kap4.3} können wir also lediglich Aussagen über die Entwicklung unseres
Universums in einer Spät- oder Frühphase machen; zum heutigen Zeitpunkt befinden
wir uns bezüglich des Parameters $\ka$ gerade in einer Übergangsphase, und zur 
semiklassischen Untersuchung des Chern-Simons-Zustands bei $\ka = \ka_0$ müßten
wir die Lösungen der Sattelpunktsgleichung \re{4.10} in einem nur schwer zugänglichen
Parameterbereich diskutieren, was nicht weiter verfolgt worden ist.

Nichtsdestotrotz ist aber gerade auch die Untersuchung der Früh- und Spätphase unseres
Universums durchaus von Interesse, was die Betrachtung der
Parameterbereiche $\ka \ll 1$ und $\ka \gg 1$ in Kapitel \ref{Kap4} im Nachhinein
sogar \emph{physikalisch} rechtfertigt.

Die semiklassische Analyse des Chern-Simons-Zustands im Grenzfall $\ka \gg 1$,
der physikalisch der Situation $a_{\co} \gg a_{\La}$ entspricht, lieferte in Abschnitt
\ref{Kap4.2} den expliziten analytischen Ausdruck \re{4.21} für das asymptotische 
Wellenfunktional, wobei ein zweiter, zu \re{4.21} konjugiert komplexer 
Sattelpunktsbeitrag zum Funktionalintegral \re{3.41} ebenfalls möglich war. Hier
hing es von der Wahl der Integrationsmannigfaltigkeit $\Ga$ in \re{3.41} ab, welche
effektive Linearkombination dieser beiden Sattelpunktsbeiträge den asymptotischen
Chern-Simons-Zustand im Limes $\ku$ beschrieb. Über zwei geeignete,
topologisch inäquivalente Wahlen von $\Ga$ konnten wir damit in diesem Limes
stets mindestens \emph{zwei} linear unabhängige Zustände in der Triadendarstellung
finden, die beide aus ein und demselben Chern-Simons-Zustand \re{3.38} in der
Ashtekar-Darstellung hervorgingen. 

Es fiel auf, daß der Sattelpunktsbeitrag $\PC$
gemäß \re{4.21}, wie auch der konjugiert komplexe Zustand $\PC^*$, stark an die
Vilenkinsche Vorstellung \cite{Vil1, Vil3} vom Wellenfunktional des Universums
erinnern: Mit dem in \re{5.5+} definierten Strom\-operator $\cur (x)$ ergab sich das
asymptotische Resultat \re{5.7}, womit die Ströme von $\PC$ und $\PC^*$ aus \re{4.21}
in der $h(x)$-Richtung des Konfigurationsraumes ein festes Vorzeichen haben. Deshalb
beschreibt der Zustand \re{4.21} für die Wahl des unteren Vorzeichens in der
Definition \re{2.34} der Ashtekarvariablen ausschließlich expandierende, der hierzu
konjugiert komplexe Zustand hingegen kollabierende Universen.\footnote{
Die umgekehrte Aussage gilt für die Wahl des oberen Vorzeichens in der 
Definition \re{2.34}.}
Dasselbe Resultat erhielten wir in Abschnitt \ref{Kap4.2.3} 
auch über eine direkte Untersuchung
der von diesen beiden Zuständen beschriebenen semiklassischen Raumzeit-Geometrien,
wofür sich asymptotisch jeweils verallgemeinerte DeSitter-4-Geometrien mit
einem entsprechenden Expansionsverhalten ergaben. 

Der für beliebige Riemannsche 3-Mannigfaltigkeiten $( \Mx , \hh )$ gültige Ausdruck
\re{4.21} für den asymptotischen Chern-Simons-Zustand im Limes $\ku$ wurde in
Abschnitt \ref{Kap4.2.2} für Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten ausgewertet,
was uns auf das geschlossene Ergebnis \re{4.42} führte. Im Spezialfall Bianchi IX-homogener
3-Metriken konnten die Ergebnisse früherer Arbeiten \cite{Pat1, PatDip} rekonstruiert
werden, wobei lediglich ein Unterschied im Amplitudenvorfaktor des 
Wellenfunktionals auftrat. Diese scheinbare Diskrepanz konnte aber über die
inäquivalenten Quantisierungsvorschriften in den verschiedenen Zugängen
zur Beschreibung Bianchi IX-homogener Mannigfaltigkeiten geklärt werden.

$\ $\vspace{-.4 cm}

Die Auswertung des semiklassischen Chern-Simons-Zustands im Limes
$\kn$ lieferte im Abschnitt \ref{Kap4.3} implizit definierte Sattelpunktsbeiträge der
Form \re{4.68}, welche über die divergenzfreien Triaden $\vec d_a$ der 
Riemannschen Mannigfaltigkeit $( \Mx , \hh)$ charakterisiert werden konnten. In diesem
Zusammenhang trat die Frage nach der \emph{Existenz} divergenzfreier Triaden
Riemannscher 3-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten auf, die im Anhang \ref{AnhA.2} für eine große
Klasse von 3-Geometrien beantwortet wurde.

Für den asymptotischen Zustand \re{4.68} im Grenzfall $\kn$ 
spielte der Begriff der \emph{Windungszahl}
eine große Rolle, der im Abschnitt \ref{Kap4.2.1} zunächst für SO(3)-Drehmatrizen 
$\cOm$ eingeführt, und später über die Definition \re{4.67} auch auf Triadenfelder $\vec e_a$
über\-tragen wurde. Mit Hilfe einer geeigneten Definition des Vorfaktors $\cN$ von
$\PC$ in \re{4.27} konnten wir erreichen, daß der Chern-Simons-Zustand sowohl im
Limes $\ku$, wie auch im Limes $\kn$, eichinvariant unter 
SO(3)-Eich\-trans\-for\-ma\-tio\-nen
mit beliebiger Windungszahl wurde; die Verwendung des in diesem Zusammenhang oft
eingeführten $\Th$-Winkels \cite{Ash1, Wein2} konnte auf diese Weise vermieden werden.

Das Wellenfunktional $\PC$ gemäß \re{4.68}, das formal auch die Rolle des
semiklassischen 
Quantenzustands der Gravitation im Fall $\La = 0$ spielt, wurde im Abschnitt \ref{Kap4.3.1}
auf Bianchi A-homogene 3-Mannigfaltigkeiten eingeschränkt. Hierbei ergab sich für
einen möglichen Sattelpunktsbeitrag das explizite Resultat \re{4.73}, das in Restriktion
auf Bianchi IX-Mannigfaltigkeiten auch als "`Wurmloch-Zustand"' bekannt ist 
\cite{Pat1, PatDip}. 
Wie bereits in früheren Arbeiten gezeigt wurde, erfüllen die über den
"`Wurmloch-Zustand"' beschriebenen semiklassischen 4-Geometrien
die Randbedingung asymptotischer Flachheit bei großen Längenskalen $a_{\co}$.

Mit Hilfe einer geeigneten Konstruktion in Anhang \ref{AnhB} konnten für 
Bian\-chi~IX-ho\-mo\-ge\-ne 
Mannigfaltigkeiten vier weitere Sattelpunktsbeiträge zum Funktionalintegral
\re{3.41} angegeben werden, die den vier divergenzfreien Triaden 
$\vec d_a^{\, (\al)}$, $\al \in \{1,2,3,4 \}$, gemäß \re{B.68}, \re{B.69} entsprachen. Diese
Sattelpunktswerte sind aus dem Studium Bianchi IX-homogener Modelle wohlbekannt
\cite{Pat1, PatDip}; insbesondere erfüllt der Zustand $\PC^{(4)}$ aus \re{4.76} die
von Hartle und Hawking \cite{Haw1, Haw2, Haw3} vorgeschlagene
"`keine-Grenzen-Bedingung"' für $a_{\co} \to 0$.

Schon aus dem Studium des nicht-diagonalen Bianchi IX-Modells in \cite{Pat3, Pat4}
ist allerdings bekannt, daß die vier Sattelpunktsbeiträge $\PC^{(\al)}$, $\al \in \{1,2,3,4 \}$,
aus Symmetriegründen stets nur \emph{gleichzeitig} auftreten können. Die
Integrationsmannigfaltigkeit $\Ga$ in \re{3.41} muß also so gewählt werden, daß entweder
keines, oder alle der vier entsprechenden 
Sattelpunktsfelder zum Funktionalintegral \re{3.41} beitragen. In Verbindung mit dem 
Zustand $\PC^{(0)}$ aus \re{4.75} finden wir somit nur \emph{zwei} linear unabhängige
Werte des Chern-Simons-Zustands für Bianchi IX-homogene 3-Mannigfaltigkeiten.

Dieses Resultat läßt sich auch mit den Ergebnissen aus Anhang \ref{AnhB.3.2} verstehen,
denn hier wurde gezeigt, daß die vier divergenzfreien Triaden $\vd_a^{\, (\al)}$, 
$\al \in \{1,2,3,4\}$, welche die semiklassischen Sattelpunktsbeiträge $\PC^{(\al)}$,
$\al \in \{1,2,3,4\}$, zum Chern-Simons-Zustand liefern, durch 
SO(3)-Eichtransformationen mit \emph{trivialer} Windungszahl auseinander hervorgehen,
und deshalb topologisch gleichwertig sind.

$\ $\vspace{-.4 cm}

Wie oben bereits erwähnt, erfüllen die über den "`Wurmloch-Zustand"' \re{4.75}
und den "`Hartle-Hawking-Zustand"' \re{4.76} generierten semiklassischen 
4-Geo\-me\-tri\-en
für Anfangs-3-Geometrien vom Bianchi-Typ IX
einfache asymptotische Randbedingungen. Hierbei scheint es sich jedoch 
\emph{nicht} um das
allgemeine semiklassische Verhalten des Chern-Simons-Zu\-stands im Limes $\kn$
zu handeln: Im Anhang \ref{AnhC} haben wir gezeigt,
daß beispielsweise homogene Anfangs-3-Geometrien vom Bianchi-Typ VI$_{-1}$
weder die Randbedingung asymptotischer Flachheit bei großen Skalen, noch die
"`keine-Grenzen-Bedingung"' von Hartle und Hawking befriedigen. Es bleibt daher
fraglich, ob eine dieser beiden Randbedingungen vom 
inhomogenen Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation allgemein\-gül\-tig
erfüllt werden kann.

$\ $\vspace{-.4 cm}

Ziehen wir das Resüm{\'e}e aus den in Kapitel \ref{Kap4} gefundenen Ergebnissen, 
so liegt die Vermutung nahe, daß man in der Triadendarstellung der Quantengravitation
\emph{zwei} linear unabhängige Wellenfunktionale $\PCe$ finden kann, die beide aus
dem Chern-Simons-Zustand $\hat \PC ( \Aia )$ in der Ashtekar-Darstellung
hervorgehen: Zum einen finden wir dieses Resultat für \emph{beliebige}
Riemannsche 3-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten im Limes $\ku$, ferner existieren zumindest für
leicht deformierte Bian\-chi~IX-Me\-tri\-ken im Limes $\kn$ ebenfalls gerade zwei linear
unabhängige Werte von $\PCe$. Es wäre interessant, diese Hypothese anhand weiterer
ausgesuchter Beispiele zu untersuchen, oder durch Angabe zweier topologisch
inäquivalenter Integrationsmannigfaltigkeiten $\Ga$ sogar explizit zu beweisen.
      
$\ $\vspace{-.4 cm}

Zum Abschluß dieser Arbeit haben wir uns in Kapitel \ref{Kap5} schließlich mit der
Frage der \emph{Normierbarkeit} des Chern-Simons-Zustands in der Triadendarstellung
be\-schäf\-tigt. Unter Verwendung des vollständig eichfixierten, physikalischen inneren
Produkts \re{3.26} und einer naheliegenden Wahl für die Eichbedingung $\ch$ zur
Hamiltonschen Zwangsbedingung $\cH_0$ wurde die physikalische "`Norm"' dieses
Zustands berechnet, was uns auf das formale Resultat \re{5.12} führte. 

Diesem Ergebnis zufolge ist die mit $\PCe$ assoziierte
"`Wahrscheinlichkeitsdichte"' im wesentlichen durch die Exponentialfunktion des
Chern-Simons-Funk\-tio\-nals $\So$ zum Riemannschen Spin-Zusammenhang $\om_{i a}$
bestimmt. Da das Funktional $\So$ offensichtlich nach oben und unten \emph{unbeschränkt} 
ist,
ergibt sich hieraus die Konsequenz, daß es sich beim Chern-Simons-Zustand der
Quantengravitation um einen \emph{nicht-normierbaren} Zustand zu handeln scheint.

$\ $\vspace{-.4 cm}

Es sei an dieser Stelle nun dem Leser überlassen, ob dieses negative Resultat ausreicht,
das Chern-Simons-Wellenfunktional als physikalischen Quantenzustand zu verwerfen.
Hierbei sollte jedoch berücksichtigt werden, 
daß das zur Untersuchung der Normierbarkeit verwendete innere physikalische
Produkt noch stark von der Wahl der Eichbedingung $\ch$ abhängt, wie wir in 
Kapitel \ref{Kap5} ausgeführt haben - andere Wahlen von $\ch$, oder auch alternative
Vorschläge zur Definition des eichfixierten Skalarprodukts,
könnten im Prinzip
auch zu einer \emph{positiven} Normierbarkeitsaussage für den Chern-Simons-Zustand der
Quantengravitation führen.\footnote{
In einem anderen Zugang zur Definition des physikalischen inneren Produkts
haben Smolin und Soo \cite{Smo} beispielsweise vorgeschlagen, das
Chern-Simons-Funktional \re{3.39} \emph{selbst} als kosmologische Zeitvariable
zu interpretieren. Dies scheint zumindest im Rahmen einer \emph{euklidischen} Version
der Allgemeinen Relativitätstheorie das mit dem Chern-Simons-Zustand assoziierte
Normierbarkeitsproblem zu lösen.}  
Ferner beachte man
bei einer Beurteilung dieser problematischen Frage, daß der
Chern-Simons-Zustand in der Triadendarstellung gemäß unserer Untersuchungen in Kapitel 
\ref{Kap4} eine überaus sinnvolle semiklassische Interpretation zuläßt.

Selbst wenn sich der Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation auch end\-gül\-tig
als nicht-normierbar erweisen sollte, wäre es deshalb vielleicht lohnenswert, ganz
auf eine Normierbarkeitsforderung des Quantenzustands zu verzichten, und im
Rahmen der Gravitationstheorie - jenseits der konventionellen quantenmechanischen
Deutung - über alternative Interpretationsmöglichkeiten des Wellenfunktionals 
nachzudenken.  



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter*{Mathematischer Anhang}
\thispagestyle{empty}
\addcontentsline{toc}{chapter}{ \\[.5 cm] \vspace{.3 cm} {\bf Mathematischer Anhang}}

\newpage
\begin{appendix}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Zur Lösbarkeit der Sattelpunktsgleichung}
\label{AnhA}
\kopf{Anhang A: Zur Lösbarkeit der Sattelpunktsgleichung}
\thispagestyle{empty}

Im vierten Kapitel haben wir gesehen, daß die Lösungen der Sattelpunktsgleichung
\re{4.10} die semiklassische Form \re{4.7} des Chern-Simons-Zustands \re{3.41} in der
Triadendarstellung bestimmen. Es ist daher wichtig, sich mit den allgemeinen
Lösbarkeitseigenschaften des nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungssystems
\re{4.10} zu beschäftigen, was im Abschnitt \ref{AnhA.1} dieses Anhangs geschehen soll.

Im Anschluß daran soll im Abschnitt \ref{AnhA.2} gezeigt werden, daß man mit
Hilfe von Lösungen der Sattelpunktsgleichung \re{4.10} im Limes $\kn$
divergenzfreie Triaden $\vd_a$ Riemannscher
3-Mannigfaltigkeiten $( \Mx , \hh )$ konstruieren kann; wie bereits in Kapitel \ref{Kap4.3}
ausgeführt, parametrisieren diese gerade den semiklassischen Chern-Simons-Zustand
\re{4.68} im Grenzfall $\kn$. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Lösbarkeitsaussagen für die Sattelpunktsgleichung}
\label{AnhA.1}

Zur Diskussion der Lösbarkeit des nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungssystems

\begin{equation}
  \label{eq:A.1}
  \Gia \equiv  \eijk \bA{ \pa_j \cA_{k a} +\frac{1}{2} \,
   \eabc \, \cA_{j b} \, \cA_{k c} } + \frac{\La}{3} \,
  \eia \eex 0 
\end{equation}
\\
auf der kompakten, räumlichen Mannigfaltigkeit $\Mx$ ist es \emph{nicht} besonders 
zweck\-mä\-ßig, das System in der Form \re{A.1} zu studieren:
Wollen wir Methoden aus der Theorie partieller Differentialgleichungen \cite{Rau} verwenden,
so stört uns der führende Ableitungsterm in \re{A.1}, denn bei der Rotation des
Feldes $\Aia$ handelt es sich um einen \emph{nicht-elliptischen} Ableitungsoperator,
der bei einer störungstheoretischen Analyse des Gleichungssystems \re{A.1}
keine Lösbarkeitsaussagen liefern kann.

Wir werden deshalb schrittweise versuchen, aus \re{A.1} ein neues 
Differentialgleichungssystem \emph{zweiter} Ordnung abzuleiten, derart, daß in
führender Ableitungsordnung ein \emph{elliptischer} Operator entsteht, und eine 
eindeutige, störungstheoretische Entwicklung der Lösungen $\Aia$ begründet werden kann.

In diesem Zusammenhang ist es angebracht, die gesuchten Eichfelder $\Aia$ 
durch andere, günstigere Felder zu ersetzen, womit wir uns zuächst befassen wollen.

Wie bereits aus Kapitel \ref{Kap2.3} bekannt ist, implizieren die Gleichungen \re{A.1}
über \re{2.49} für $\La \not= 0$ die drei Gauß-Bedingungen \re{2.38},

\begin{equation}
  \label{eq:A.2}
  \mp \frac{i \ga}{2} \, \cJ_a = \cD_i \eia \equiv \pa_i \eia +\eabc \, \cA_{i b} \, \e{i}{c} = 0 \ ,
\end{equation}
\\
die folglich für Lösungen $\Aia$ von \re{A.1} automatisch erfüllt sind. Die Gleichungen
\re{A.2} lassen sich in den zu $\Aia$ äquivalenten Feldern

\begin{equation}
  \label{eq:A.3}
  \cA_{i j} : = \Aia \, e_{j a}
\end{equation}
\\
auch in der Form 

\begin{equation}
  \label{eq:A.4}
  \eijk \, \cA_{j k} = \eijk \, \om_{j k} \qquad \mbox{mit} \qquad \om_{i j} : =\om_{i a} \, e_{j a}
\end{equation}
\\
schreiben. Für Lösungen von \re{A.1} ergibt sich also eine Übereinstimmung
der schiefsymmetrischen Anteile des Ashtekar-Spin-Zusammenhangs $\cA_{i j}$
und des Rie\-mann-Spin-Zusammenhangs $\om_{i j}$, womit die Differenz

\begin{equation}
  \label{eq:A.5}
  \cK_{i j} := \om_{i j} - \cA_{i j} \equiv \bA{ \om_{i a} - \cA_{i a}} \cdot e_{j a}
\end{equation}
\\
\emph{symmetrisch} in $i$ und $j$ ist. Die Größen $\cK_{i j}$ sind als Differenz von zwei
Eichfeldern die Komponenten eines kovarianten Tensors zweiter Stufe, der gemäß
\re{2.23} und \re{2.34} über eine Wick-Rotation mit der semiklassischen, extrinsischen
Krümmung $K_{i j}$ verknüpft ist:

\begin{equation}
  \label{eq:A.6}
  K_{i j} = \pm \, i \, \cK_{i j} \ .
\end{equation}
\\
Rechnen wir nun das Differentialgleichungssystem \re{A.1} über \re{A.5} auf die neuen,
symmetrischen Felder $\cK_{i j}$ um, so ergibt sich

\begin{equation}
  \label{eq:A.7}
  \G{i}{j} := \Gia \cdot e_{j a} \equiv \tGij + \,^* {\tilde \cK}^{\, i}_{\ j} 
  - \tep^{i k \ell} \, \na_k \, \cK_{\ell j} \eex 0 \ .
\end{equation}
\\
Hierbei ist

\begin{equation}
  \label{eq:A.8}
  \,^* {\tilde \cK}^{\, i}_{\ j} := \frac{\sh}{2} \, \tep^{ i m n} \, \ute_{j k \ell} \, 
  \cK^k_{\ m} \, \cK^{\ell}_{\ n}
\end{equation}
\\
die dichtegewichtete, klassische Adjunkte der 
Matrix $( \cK^i_{\ j} )$, und mit $\tGia$ aus \re{2.44} bezeichnet

\begin{equation}
  \label{eq:A.8+}
  \tGij = \tGia \cdot e_{j a}
\end{equation}
\\
den dichtegewichteten Einsteintensor mit kosmologischem Term.

Wie man zeigen kann, sind die neun Gleichungen \re{A.7} \emph{nicht} unabhängig:
Die drei Gauß-Bedingungen \re{A.2} nehmen in den symmetrischen Feldern
$\cK_{i j}$ die Form

\begin{equation}
  \label{eq:A.9}
  \cJ_a = \pm \frac{2  \, i}{\ga} \  \eijk \, e_{i a} \, \cK_{j k} \equiv 0
\end{equation}
\\
an, sind also \emph{identisch} erfüllt. Über die Beziehung \re{2.49} folgen hiermit
drei verallgemeinerte Bianchi-Identitäten für den Tensor $\G{i}{j}$ aus \re{A.7},

\begin{equation}
  \label{eq:A.10}
  \na_i \Gu{i j}  - \frac{1}{\sh} \, \tep^{j k \ell} \, \cK_{k n} \, \G{n}{\ell} \equiv 0 \ ,
\end{equation}
\\
die sich auch direkt algebraisch
nachrechnen lassen. Das partielle Differentialgleichungssystem \re{A.7} konstituiert
somit nur \emph{sechs} unabhängige Gleichungen für die \emph{sechs}
gesuchten Felder $\cK_{i j}$.

Als Pendant zu den Beziehungen \re{2.47} und \re{2.48} aus Kapitel \ref{Kap2.3} 
ergeben sich nun spezielle
Implikationen für die Lösungen $\cK_{i j}$ von \re{A.7}, die in der weiteren 
Diskussion von Bedeutung sein werden:

Über die Spur von \re{A.7} entsteht eine rein \emph{algebraische} Gleichung

\begin{equation}
  \label{eq:A.11}
  \cHA = \frac{2}{\ga} \, \G{i}{i}  \equiv \frac{\sh}{\ga} \bA{\cK^2 -\cK^i_{\ j} \, \cK^j_{\ i}
  +2 \La -R } = 0 
\end{equation}
\\
mit

\begin{equation}
  \label{eq:A.12}
  \cK := \cK^i_{\ i} \ ,
\end{equation}
\\
die sich über die Beziehungen \re{A.6} und \re{2.9} als die Hamiltonsche Zwangsbedingung
\re{2.11} erweist. Ferner finden wir als schiefsymmetrischen Anteil von \re{A.7} drei
Gleichungen, die \emph{linear} in den gesuchten Feldern $\cK_{i j}$ sind:

\begin{equation}
  \label{eq:A.13}
  \cH_i = \mp \frac{2 i \sh}{\ga} \, \ute_{i j k} \, \Gu{j k} \equiv \pm \frac{2 i \sh}{\ga}
  \bA{ \na_j \cK^j_{\ i} - \na_i \cK } = 0 \ .
\end{equation}
\\
Nach Umrechnung von $\cK_{i j}$ auf die zu $h_{i j}$ kanonisch konjugierten Impulse
$\piij$ über \re{A.6} und \re{2.9} erkennen wir in den Gleichungen \re{A.13} die
Diffeomorphismus-Zwangsbedingungen \re{2.12} wieder.

Bemerkenswert ist nun die Tatsache, daß uns die Gleichungen \re{A.13} Informationen
über die \emph{Divergenz} der gesuchten Tensorfelder $\cK_{i j}$ liefern, während ferner
mit \re{A.7} auch eine Aussage über die \emph{Rotation} von $\cK_{i j}$ vorliegt. Im
Sinne der allgemeinen Beziehung

\begin{equation}
  \label{eq:A.14}
  \De = \mbox{grad} \  \mbox{div} - \mbox{rot} \ \mbox{rot}
\end{equation}
\\
können wir deshalb versuchen, zu \re{A.7} und \re{A.13}
Differentialgleichungen zweiter Ordnung 
zu konstruieren, die in führender Ableitungsordnung den \emph{elliptischen} 
Laplace-Beltrami-Operator $\De$ enthalten.

In dieser Absicht betrachten wir konkret das folgende Differentialgleichungssystem
zweiter Ordnung,

\begin{equation}
  \label{eq:A.15}
  \De_{i j} := \ute_{j m n} \, \na_i \Gu{m n} - \ute_{i m n} \, h^{m k} \, \na_k \G{n}{j}
  + \frac{1}{2} \, \ute_{i j k} \, \na_n \Gu{n k} \eex 0 \ ,
\end{equation}
\\
das für Lösungen von \re{A.7} offensichtlich erfüllt ist.
Der erste Term in \re{A.15} ist gemäß \re{A.13} proportional zum Gradienten der
Diffeomorphismen $\cH_j$, der zweite Term ist die kovariante Rotation des
Tensors $\G{i}{j}$. Unter Verwendung der Beziehungen \re{A.13} und \re{A.14}
heben sich die in \emph{beiden} Termen auftretenden Beiträge proportional zum 
Gradienten der Divergenz von $\cK_{i j}$ gegeneinander auf. In führender
Ableitungsordnung bleiben deshalb nur noch die Hessesche
Ableitungsmatrix  der Spur $\cK$ von $\cK_{i j}$ aus dem ersten Term,
und der Laplace-Beltrami-Operator von $\cK_{i j}$ aus dem zweiten Term in \re{A.15} übrig.

Der dritte Beitrag in \re{A.15} enthält gemäß \re{A.10} nur Ableitungen erster Ordnung
von $\cK_{i j}$, und hat folglich \emph{keinen} Einfluß auf die 
Ableitungsterme zweiter Ordnung. Er dient in erster Linie dazu,
einen möglichst einfachen Ausdruck für den schiefsymmetrischen Anteil von $\De_{i j}$
zu erhalten, der sich nur  unter Verwendung von \re{A.15} und \re{A.11} zu

\begin{equation}
  \label{eq:A.16}
  \eijk \, \De_{j k} = \frac{\ga}{2} \, h^{i j} \, \na_j \cHA
\end{equation}
\\
ergibt. Man rechnet leicht nach, daß der Operator $\De_{i j}$ außerdem 
\emph{per definitionem} spurlos ist: Die Gleichung

\begin{equation}
  \label{eq:A.17}
  h^{i j} \De_{i j} \equiv 0  
\end{equation}
\\
ist für symmetrische Felder $\cK_{i j}$ eine algebraische Identität.

Wegen \re{A.16} ist es nun hinreichend, anstelle von \re{A.15} das Gleichungsystem

\begin{equation}
  \label{eq:A.18}
  \De_{(i j)} := \fr{1}{2} \bA{ \De_{i j} + \De_{j i} } \eex 0 \quad , \quad \cHA \eex 0 \ ,
\end{equation}
\\
zu betrachten, das wegen \re{A.17} insgesamt nur \emph{sechs} unabhängige Gleichungen
für die sechs Felder $\cK_{i j}$ konstituiert. 
Jede Lösung von \re{A.18} befriedigt  dann automatisch
auch das volle Gleichungssystem \re{A.15}. 

Für den symmetrischen Anteil von $\De_{i j}$ finden wir explizit\footnote{Die über
die runden Klammern angedeuteten Symmetrisierungen beziehen sich dabei stets
\emph{nur} auf die Indizes $i$ und $j$.}

\begin{eqnarray}
  \label{eq:A.19}
  \De_{(i j)} &=& \na_i \na_j \, \cK - \De \cK_{i j} - \ute_{( i k \ell} \, h^{k n} \, \na_n \,^*
  {\tilde \cK}^{\, \ell}_{\ j )} - C_{(i j)} \nonumber \\[.4 cm]
  & & + \, 3 \, R_{(i k} \, \cK^k_{\ j )} - \fr{1}{2} \, R \, \cK_{i j} - \cK \, R_{i j} -h_{i j} \, \cK_{k
  \ell} \, G^{k \ell} \ ,  
\end{eqnarray}
\\
wobei im Beitrag nullter Ordnung der Tensor

\begin{equation}
  \label{eq:A.20}
  C_{i j} := \frac{1}{\sh} \, h_{i k} \, \tep^{k \ell m} \, \na_{\ell} 
  \bA{ R_{m j} - \fr{1}{4}\, R \, h_{m j}} 
\end{equation}
\\
auftritt.\footnote{Dieser Tensor ist aus der Differentialgeometrie auch als 
\emph{Cotton-Tensor} bekannt.}

Zur weiteren Analyse des Gleichungssystems \re{A.18} im Rahmen der Theorie
partieller Differentialgleichungen  wollen wir nun die
Hamiltonsche Zwangsbedingung explizit lösen, um so zu \emph{fünf} effektiven
Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die \emph{fünf} verbleibenden
Feldfreiheitsgrade zu gelangen.  

Wir zerlegen die symmetrische $(3 \times 3)$-Matrix $(\cK^i_{\ j})$ hierzu in ihre
SO(3)-ir\-re\-du\-ziblen Anteile, also eine spurlose, symmetrische Matrix $(\cP^i_{\ j})$
und einen Beitrag proportional zur Spur $\cK$:

\begin{equation}
  \label{eq:A.21}
  \cK^i_{\ j} = \fr{1}{3} \, \cK \ \de^i_j + \cP^i_{\ j} \qquad \mbox{mit} \qquad \cP^i_{\ i} = 0 \  .
\end{equation}
\\
Die Hamiltonsche Zwangsbedingung \re{A.11} nimmt dann die Form

\begin{equation}
  \label{eq:A.22}
  \fr{2}{3} \, \cK^2 - \cP^i_{\ j} \, \cP^j_{\ i} = R - 2 \La
\end{equation}
\\
an, und beschreibt an jedem Punkt der räumlichen Mannigfaltigkeit $\Mx$ einen
fünfdimensionalen Hyperboloiden in dem sechsdimensionalen, von $\cK$ und $\cP^i_{\ j}$
aufgespannten Raum. Damit dieser Hyperboloid nirgends entartet, sollten wir uns im
weiteren auf den Fall

\begin{equation}
  \label{eq:A.23}
  \forall x \in \Mx : \qquad R (x) \not= 2 \La 
\end{equation}
\\
beschränken.\footnote{
Obwohl es sich bei der Bedingung \re{A.23} um eine nichttriviale 
Restriktion der  Parameter $\eia$ und $\La$ des Differentialgleichungssystems \re{A.1}
handelt, erlaubt sie dennoch die Diskussion vieler physikalisch interessanter Fälle:
Sie ist insbesondere für eine vorgegebene, reguläre 3-Geometrie stets erfüllt, wenn wir
die kosmologische Konstante $\La$ hinreichend groß wählen. Ferner erfassen wir im
Fall verschwindender kosmologischer Konstante beispielsweise alle Riemannschen 
3-Mannigfaltigkeiten mit positiver Skalarkrümmung $R$, wie etwa leicht
deformierte 3-Sphären.}
Unter der Voraussetzung \re{A.23} kann dann die lokal 
fünfdimensionale Lösungsmannigfaltigkeit
der Hamiltonschen Zwangsbedingung \re{A.22} über eine 
\emph{stereographische Projektion} parametrisiert werden, wofür wir die 
auf der folgenden Seite in Abbildung 
\ref{AbbA.1} dargestellte geometrische Konstruktion verwenden wollen.
 
Hierbei betrachten wir zunächst den Spezialfall $R> 2 \La$, und finden als spezielle,
ausgezeichnete Lösung der Hamiltonschen Zwangsbedingung \re{A.22} 

\begin{equation}
  \label{eq:A.23+}
  (\cP^i_{\ j} ,\cK)= - \,\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot (0, \sqrt{R -2 \La}) \ .
\end{equation}

\newpage

Diese Lösung entspricht dem Punkt $O$ 
in der Abbildung \ref{AbbA.1}. Für einen beliebigen Punkt $P$ des Hyperboloiden in
Abbildung \ref{AbbA.1}
mit den Koordinaten $(\cP^i_{\ j}, \cK )$ konstruieren wir nun eine Gerade durch die Punkte
$P$ und $O$, welche die $\cP^i_{\ j}$-Hyperebene in genau einem Punkt $Q$ mit den
Koordinaten $(\cQ^i_{\ j} , 0)$ schneidet. Die Koordinaten $\cQ^i_{\ j}$ des Punktes $Q$
bilden wie $\cP^i_{\ j}$ eine symmetrische, spurlose $(3 \times 3)$-Matrix, und 
repräsentieren somit fünf unabhängige Parameter, mit denen wir jeden Punkt $P$ des
Hyperboloiden \re{A.22} beschreiben können. 

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\textwidth}
\begin{picture}(1,.75)(0,0)
   \put(0.13,0.09){\scriptsize{$ \Tr \bQ^2$} \raisebox{.003 \unitlength}{\tiny{$\searrow$}}
                             \footnotesize{$1$}}
 \put(0.79,0.09){\scriptsize{$ \Tr \bQ^2$} \raisebox{.003 \unitlength}{\tiny{$\searrow$}}
                             \footnotesize{$1$}}
  \put(0.13,0.6){\scriptsize{$ \Tr \bQ^2$} \raisebox{.003 \unitlength}{\tiny{$\nearrow$}}
                             \footnotesize{$1$}}
  \put(0.79,0.6){\scriptsize{$ \Tr \bQ^2$} \raisebox{.003 \unitlength}{\tiny{$\nearrow$}}
                             \footnotesize{$1$}}
   \put(.517,.2){$O$}
   \put(.585,.32){$Q$}
   \put(.65,.57){$P$}
   \put(.40,.28){\scriptsize{$\Tr \bQ^2 \to \infty$}}
   \put(.41,.415){\scriptsize{$\Tr \bQ^2 = 0$}}
   \put(.7,.46){$\cHA \! = 0$}
   \put(.64,.25){$\cHA \! = 0$}
   \put(.8,.31){$\cP^i_{\ j}$}
   \put(.21,.44){\normalsize{$\Tr \bQ^2 < 1$}}
   \put(.21,.245){\normalsize{$\Tr \bQ^2 > 1$}}
   \put(.465,.64){$\cK$}
   \put(0.2,0.05){
   \leavevmode
   \epsfxsize=.6 \unitlength
   \epsffile{Stereo.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-1 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{
     Stereographische Projektion zur Parametrisierung der Hamiltonschen
     Zwangsbedingung $\cHA =0$ im Fall $R> 2 \La$.}}
     \label{AbbA.1}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}


\noindent
Elementare geometrische Überlegungen liefern so  für die Lösungen
$\cK^i_{\ j}$ der Hamiltonschen Zwangsbedingung die explizite Parametrisierung

\begin{equation}
  \label{eq:A.24}
  \cK^i_{\ j} = \frac{\sqrt{R - 2 \La}}{1 - \Tr \, \bQ^2} \bB{\frac{1 + \Tr \, \bQ^2}{\sqrt{6}}
  \, \de^i_j + 2 \cQ^i_{\ j}}  \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\bQ =(\cQ^i_{\ j})$ eine beliebige symmetrische, spurlose Matrix mit

\begin{equation}
  \label{eq:A.24+}
  \Tr  \, \bQ^2 \not= 1
\end{equation}
\\
ist. Die gebrochen rationale Parametrisierung \re{A.24} von $\cK^i_{\ j}$ ist analytisch in
$\cQ^i_{\ j}$, und kann sogar zur Beschreibung der im allgemeinen \emph{komplexen}
Lösung $\cK^i_{\ j}$ der Hamiltonschen Zwangsbedingung \re{A.11} verwendet
werden, wenn wir für $\bQ$ \emph{komplexe} spurlose, symmetrische Matrizen mit \re{A.24+}
zulassen. Für $\Tr \, \bQ^2 = 1$ liefert die stereographische Projektion aus Abbildung
\ref{AbbA.1} kein Urbild $P$, weshalb solche Matrizen über \re{A.24+} aus dem
Definitionsbereich von $\bQ$ herausgenommen wurden. Unendliche Matrizen sind zu
identifizieren und parametrisieren den Punkt $O$ in  Abbildung \ref{AbbA.1}.

Im folgenden werden wir uns auf die Diskussion \emph{reeller} Matrizen $\bQ$
be\-schrän\-ken, die für $R> 2 \La$ über \re{A.24} reelle Felder $\cK^i_{\ j}$ 
beschreiben.\footnote{Dies entspricht über \re{A.3}, \re{A.5} auch reellen
Ashtekarvariablen $\Aia$.}
Dann gilt

\begin{equation}
  \label{eq:A.25}
  \Tr \, \bQ^2 \geq 0 \ ,
\end{equation}
\\
und der Bereich $0 \leq \Tr \, \bQ^2 < 1$ parametrisiert die obere Schale des
Hyperboloiden in Abbildung \ref{AbbA.1}, während über $\Tr \, \bQ^2 > 1$ die untere
Schale beschrieben wird. 

In entsprechender Weise erhält man für reelle Matrizen $\bQ$  im Fall $R < 2  \La$ über
die Darstellung \re{A.24} \emph{imaginäre} Felder $\cK^i_{\ j}$.\footnote{Diese
übersetzen sich gemäß \re{A.6} in
reelle extrinsische Krümmungen $K_{i j}$, und über \re{A.3}, \re{A.5} 
in komplexe Ashtekarvariablen $\Aia$.}

Setzen wir die allgemeine, gebrochen rationale Parametrisierung \re{A.24} in das
Differentialgleichungssystem \re{A.19} ein, so entstehen fünf effektive
nichtlineare, partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die fünf Felder
$\cQ^i_{\ j}$. Die Lösbarkeit dieses Differentialgleichungssystems bleibt 
zu diskutieren, was nun im Rahmen einer störungstheoretischen Analyse geschehen soll.

Zu diesem Zweck betrachten wir eine spezielle Lösung
$\bar \cQ^i_{\ j}$ des Gleichungssystems
\re{A.19}, \re{A.24}, die beispielsweise durch entsprechende Übersetzung der in
Kapitel \ref{Kap4} gefundenen Lösungen der Sattelpunktsgleichung \re{A.1} gewonnen
werden kann. Dann bleibt zu zeigen, daß sich die Lösung $\bar \cQ^i_{\ j}$ 
unter einer infinitesimalen Störung der Parameter $\eia$ und $\La$ in \re{A.19}, \re{A.24}
\emph{eindeutig} fortsetzen läßt. Für die gestörte Lösung machen wir deshalb den Ansatz

\begin{equation}
  \label{eq:A.26}
  \cQ^i_{\ j} = \bar \cQ^i_{\ j} + \epsilon \cdot \cQ'\,\!^i_{\ j} + \cO ( \epsilon^2 ) \ , 
\end{equation}
\\
und linearisieren das Gleichungssystem \re{A.19}, \re{A.24} um die Hintergundlösung
$\bar \cQ^i_{\ j}$, womit sich der gesuchte Korrekturterm $\cQ'\,\!^i_{\ j}$ als Lösung eines
\emph{linearen} Differentialgleichungssystems zweiter Ordnung ergibt. 

An dieser Stelle kann nun auf die Theorie linearer partieller Differentialgleichungen
zurückgegriffen werden: Falls gezeigt werden kann, daß das um $\bar \cQ^i_{\ j}$ linearisierte
Gleichungssystem \re{A.19}, \re{A.24} in führender Ableitungsordnung der Korrekturfelder
$\cQ'\,\!^i_{\ j}$ \emph{elliptisch} ist, so ist eine störungstheoretische Entwicklung 
der Lösungen $\cQ^i_{\ j}$ möglich.

Zum Beweis der Elliptizität entwickeln wir zunächst die allgemeine Lösung \re{A.24} 
der Hamiltonschen Zwangsbedingung über
den Störungsansatz \re{A.26} nach $\epsilon$, und erhalten

\begin{equation}
  \label{eq:A.27}
  \cK^i_{\ j} = \bar \cK^i_{\ j} + \epsilon \cdot \cK'\,\!^i_{\ j} + \cO ( \epsilon^2 ) \ ,
\end{equation}
\\
mit

\begin{equation}
  \label{eq:A.28}
  \cK'\,\!^i_{\ j} = \frac{2 \, \sqrt{R - 2 \La}}{\bA{1- \Tr  \bbQ^2}^2} \bB{ 2 \, \bar \cQ^{m n}
  \bA{\frac{1}{\sqrt{6}} \ \de^i_j + \bar \cQ^i_{\ j}} \cQ'_{m n} +
  \bA{1 - \Tr \bbQ^2} \cQ'\,\!^i_{\ j}} \ .
\end{equation}
\\
Für den Differentialoperator $\De_{( i j )}$ aus \re{A.19} ergibt sich hiermit in erster 
Ordnung des Störparameters $\epsilon$

\begin{eqnarray}
  \label{eq:A.29}
  \De'_{(i j)} & \doteq  & 
  \frac{2 \, \sqrt{R - 2 \La}}{\bA{1 - \Tr \bbQ^2}^2} \ \Bigg [ \, \sqrt{6} \, \bar \cQ^{m n}
  \, \pa^2_{i j} \, \cQ'_{m n} -2 \, \bar \cQ^{m n} \bA{ \frac{1}{\sqrt{6}} \ h_{i j} + \bar \cQ_{i j} }
  \, \De \, \cQ'_{m n} \nonumber \\
  & &  \qquad \qquad \qquad \quad -\bA{1- \Tr \bbQ^2} \, \De \cQ'_{i j} \, \Bigg ] \ ,
\end{eqnarray}
\\
wobei der Punkt über dem Gleichheitszeichen andeutet, daß nur die führenden  räumlichen
Ableitungsterme von $\cQ'_{i j}$ in \re{A.29} berücksichtigt wurden.

Im weiteren untersuchen wir die Wirkung des 
Differentialoperators $\De'_{(i j)}$ aus \re{A.29} auf
eine beliebige, aber fest gewählte Fouriermode des gesuchten Feldes $\cQ'_{i j}$,

\begin{equation}
  \label{eq:A.30}
  \cQ'_{i j} (x) = \hat \cQ_{i j} (\bk) \cdot e^{i \, k_{\ell}  x^{\ell}} \ ,
\end{equation}
\\
und erhalten hierüber das sogenannte \emph{Symbol} \cite{Rau} des 
Differentialoperators $\De'_{(i j)}$ zum Wellenzahlvektor $\bk$:

\begin{eqnarray}
  \label{eq:A.31}
  \si_{i j} \bA{ \De'_{(m n)} ; \bk } \!\!\! &  : \, =  & \!\!\!
  - \frac{2 \, \sqrt{R - 2 \La}}{\bA{1- \Tr \bbQ^2}^2} \ \Bigg [
  \, \sqrt{6} \, k_i \, k_j \,\bar \cQ^{m n} \, \hat \cQ_{m n} 
  - | \bk |^2 \cdot \Bigg ( \! \bA{1 - \Tr \bbQ^2 } \hat \cQ_{i j}
  \nonumber \\[.4 cm]
  & & \qquad \qquad \qquad \quad
  +  \frac{2}{\sqrt{6}} \, \bar \cQ^{m n}  \bA{   h_{i j}
  + \sqrt{6} \, \bar \cQ_{i j}} \hat \cQ_{m n} \, \Bigg ) \, \Bigg ] \ .
\end{eqnarray}
\\
Kann nun gezeigt werden, daß das Symbol $\bsi$ des Operators $\De'_{(i j)}$ für beliebige
$\bk \not= \bnu$ bezüglich $\hat \cQ_{i j}$ \emph{invertierbar} ist, so ist der Operator
$\De'_{(i j)}$ \emph{elliptisch}, und die störungstheoretische Entwicklung von Lösungen
des Differentialgleichungssystems \re{A.19}, \re{A.24} ist gerechtfertigt.

Es bleibt also zu beweisen, daß das in $\hat \cQ_{i j}$ lineare Gleichungssystem

\begin{equation}
  \label{eq:A.32}
  \si_{i j} \bA{ \De'_{(m n)} ; \bk } \eex 0
\end{equation}
\\
für beliebige $\bk \not= \bnu$ nur die triviale Lösung $\hat \cQ_{i j} = 0$ besitzt.
Für die explizite Form des Gleichungssystems \re{A.32} finden wir

\begin{equation}
  \label{eq:A.33}
  \sqrt{6} \, q \, n_i \, n_j = \frac{2}{\sqrt{6}} \, q \bA{ h_{i j} + \sqrt{6} \, \bar \cQ_{i j}}
  + \bA{1 - \Tr \bbQ^2} \, \hat \cQ_{i j} \ ,
\end{equation}
\\
wobei zur Abkürzung die Größe

\begin{equation}
  \label{eq:A.34}
  q := \bar \cQ^{m n} \, \hat \cQ_{m n} 
\end{equation}
\\
eingeführt wurde, und

\begin{equation}
  \label{eq:A.35}
  \bn := \frac{\bk}{| \bk |}
\end{equation}
\\
nun ein beliebiger Einheitsvektor ist. Über eine Verjüngung der Gleichung \re{A.33}
mit $\bar \cQ^{i j}$ folgt für Lösung $\hat \cQ_{i j}$ von \re{A.33} die notwendige
Bedingung

\begin{equation}
  \label{eq:A.36}
  q \cdot \bA{1 + \Tr \bbQ^2 - \sqrt{6} \, \bar \cQ^{i j} \, n_i \, n_j  } \eex 0 \ .
\end{equation}
\\
Können wir also die Aussage

\begin{equation}
  \label{eq:A.37}
  1+ \Tr \bbQ^2 = \sqrt{6} \, \bar \cQ^{i j} \, n_i \, n_j
\end{equation}
\\
zum Widerspruch führen, so folgt mit \re{A.36}, daß $q$ gemäß \re{A.34} verschwinden
muß, und dies impliziert weiterhin über \re{A.33} die Aussage $\hat \cQ_{i j} =0$, womit
die Trivialität des Kerns von $\bsi$  bewiesen wäre.
Zum Abschluß der Beweisführung bleibt also lediglich die Lösbarkeit der Gleichung
\re{A.37} zu widerlegen.

Hierzu verwenden wir zunächst die für beliebige reelle, symmetrische Matrizen
$(\bar \cQ^i_{\ j})$ gültige Ungleichung

\begin{equation}
  \label{eq:A.38}
  n^i n_i =1 \qquad \Rightarrow  \qquad 
  \bar \cQ^i_{\ j} \, n^j \, n_i \leq \max_{i = 1}^{3} \bC{ \bar \cQ_i }  \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\bar \cQ_i$ die reellen Eigenwerte der Matrix $\bbQ = ( \bar \cQ^i_{\ j} )$
bezeichnet. Mit \re{A.38}  impliziert \re{A.37} die notwendige Relation

\begin{equation}
  \label{eq:A.39}
  1+ \sum_{i=1}^{3} \bar \cQ_i^2 \lex \sqrt{6} \, \max_{i=1}^3 \bC{ \bar \cQ_i } 
\end{equation}
\\
für die Eigenwerte $\bar \cQ_i$ der Matrix $\bbQ$.
Nun handelt es sich bei $\bbQ$ um eine \emph{spurlose} Matrix, folglich
gilt 

\begin{equation}
  \label{eq:A.39+}
  \sum_{i=1}^3 \bar \cQ_i = 0 \ ,
\end{equation}
\\
so daß wir die Eigenwerte $\bar \cQ_j$ allgemeingültig beispielsweise in der Form

\begin{equation}
  \label{eq:A.40}
  \bar \cQ_j = \sqrt{\frac{2}{3}} \, \ro \, \cos \bA{\eta + \frac{2 \pi j}{3}} \quad , \quad
  j \in \{1, 2, 3 \} \ ,
\end{equation}
\\
parametrisieren können, wobei die Parameter $\ro$ und $\eta$ über den Bereichen

\begin{equation}
  \label{eq:A.40+}
  \ro \geq 0 \quad , \quad 0 \leq \eta < 2 \pi
\end{equation}
\\
variieren. Hiermit erhalten wir

\begin{equation}
  \label{eq:A.43}
  \Tr \bbQ^2 = \ro^2 \ ,
\end{equation}
\\
und über die Beschränktheit der Kosinusfunktion folgt aus
\re{A.39} die Ungleichung

\begin{equation}
  \label{eq:A.42}
  1+ \ro^2  \lex 2 \ro \ \ \Leftrightarrow \ \ (1- \ro)^2 \lex 0 \ ,
\end{equation}
\\
die offensichtlich \emph{nur} für $\ro = 1$
erfüllt werden kann; andererseits handelt es sich wegen \re{A.43}
und \re{A.24+} bei der Stelle $\ro = 1$ aber gerade um die Koordinatensingularität der
stereographischen Projektion \re{A.24}, also um einen Wert, der aus dem
Definitionsbereich von $\ro$ \emph{herausgenommen} werden muß. 
Damit ist gezeigt, daß \re{A.42} für symmetrische, spurlose Matrizen $\bbQ$
mit $\Tr \bbQ^2 \not= 1$ \emph{nicht} erfüllt werden kann, womit auch die Gleichung
\re{A.37} schließlich zum Widerspruch geführt worden ist.

Zusammenfassend haben wir also bewiesen, daß der Operator $\De'_{(i j)}$ gemäß
\re{A.29} ein elliptisches Symbol $\bsi$ hat, womit das um die Lösung $\bbQ$ 
linearisierte Differentialgleichungssystem \re{A.19}, \re{A.24} ebenfalls elliptisch ist,
und eine störungstheoretische  Berechnung des Korrekturterms $\bQ'$ erlaubt.

Der Vollständigkeit halber sei an dieser Stelle bemerkt, daß im Rahmen einer \emph{rigorosen}
Existenz- und Eindeutigkeitsaussage für den Korrekturterm $\bQ'$ die Trivialität des
Kerns von $\De'_{(i j)}$ nicht nur in führender Ableitungsordnung \re{A.29}, sondern unter
Berücksichtigung aller Ableitungsordnungen bewiesen werden müßte. Wir wollen
die hier gezeigte Elliptizität des Operators $\De'_{i j}$ in führender Ableitungsordnung
aber als entscheidenden Hinweis darauf deuten, daß diese technisch
sehr viel aufwendigere Beweisführung im Prinzip ohne weitere Einschränkungen an
die Parameterfelder $\eia$ und $\La$ möglich sein sollte.

 Als Konsequenz können wir dann jede Lösung des Gleichungssystems \re{A.18}, und
damit auch jede Lösung der Sattelpunktsgleichung \re{A.1}, störungstheoretisch
fortsetzen, solange nur die in \re{A.23} getroffene Voraussetzung erfüllt bleibt.

In Verbindung mit den aus Kapitel \ref{Kap4} bereits bekannten Lösungen der
Sattelpunktsgleichung \re{A.1} gewinnen wir somit die folgenden Lösbarkeitsaussagen
für das nichtlineare, partielle Differentialgleichungssystem \re{A.1}:

Für große kosmologische Konstanten $\La$ kennen wir über \re{4.17}
zu \emph{jeder} 3-Metrik $\hh$ zwei asymptotische, 
komplexe Sattelpunktslösungen $\Aia$ und $\Aia^*$.
Gerade im Grenzfall hinreichend großer $\La$ ist nun aber
mit Sicherheit die Ungleichung $R < 2 \La$, und damit
insbesondere \re{A.23} erfüllt, denn auf einer gegebenen, 
\emph{kompakten} Mannigfaltigkeit $\Mx$
ist der \emph{stetige} Krümmungsskalar $R(x)$ eine beschränkte Funktion. Damit können
wir die beiden in \re{4.17} gefundenen Sattelpunktslösungen mindestens solange für
abnehmendes $\La$ störungstheoretisch fortsetzen, bis die Ungleichung $R < 2 \La$
an einer Stelle $x \in \Mx$ verletzt ist.

Bei noch kleineren kosmologischen Konstanten $\La$ erwarten wir
\emph{Bifurkationen} in den beiden Lösungszweigen, wie sie beispielsweise aus der
Diskussion Bianchi IX-homogener 3-Mannigfaltigkei\-ten bereits bekannt sind:
Im Rahmen dieser homogenen Modelle kennt man das Verhalten der Sattelpunktslösungen
von \re{A.1} sehr genau \cite{Pat1, PatDip}; 
die hierbei explizit auftretenden Bifurkationen geben
insbesondere Anlaß zur Definition einer \emph{Kaustik} im Konfigurationsraum der 3-Metriken
\cite{Pat1, PatDip}. 
Das allgemeine Bifurkationsverhalten der Lösungen von \re{A.1} im \emph{inhomogenen}
Fall  ist hingegen sehr viel schwieriger zu diskutieren, und soll an dieser Stelle 
nicht weiter untersucht werden.

Im Grenzfall \emph{verschwindender} kosmologischer Konstante $\La$ kennen wir
explizite Lösungen von \re{A.1}, \re{A.2} nur für spezielle, Bianchi A-homogene
3-Mannigfaltig\-kei\-ten $( \Mx , \hh )$: Lösen wir die Gleichungen \re{A.1}, \re{A.2} für
$\ve_a = \vi_a$, wobei $\vi_a$ die invariante, divergenzfreie Triade der 
Bianchi A-Metrik ist, so ergibt sich für eine der Sattelpunktslösungen einfach
$\Aia =0$. Diese Aussage ergibt sich aus \re{4.53} und \re{4.57} 
in Verbindung mit der Tatsache, daß  die in diesen
Gleichungen auftretende Drehmatrix $\cOm$ hier einfach räumlich konstant gewählt werden
kann. 

Für Bianchi A-Mannigfaltigkeiten mit $R \not= 0$ kann die Lösung $\Aia =0$ der
Gleichungen \re{A.1}, \re{A.2} offensichtlich solange unter inhomogenen Störungen der
3-Metrik $\hh$ fortgesetzt werden, bis der Krümmungsskalar $R(x)$ zum ersten Mal
an einer Stelle $x \in \Mx$ verschwindet. Außerdem existiert diese 
Lösung auch für $\La \not=0$
weiter, wenn wir uns nur auf hinreichend kleine $\La$ mit $R- 2 \La \not=0$ beschränken.

Im Spezialfall Bianchi IX-homogener 3-Mannigfaltigkeiten können wir sogar vier weitere,
explizite Lösungen der Sattelpunktsgleichung \re{A.1}, \re{A.2} angeben, die sich über
\re{4.53} aus den vier im Anhang \ref{AnhB.3.2} konstruierten divergenzfreien Triaden
\re{B.69} ergeben. Diese homogenen Mannigfaltigkeiten besitzen zusammen
mit $\Aia =0$ also insgesamt fünf Sattelpunktslösungen, die sich bei inhomogener
Deformation der Bianchi IX-Metrik störungstheoretisch fortsetzen lassen, solange
der Krümmungsskalar $R(x)$ lokal positiv bleibt.

Ferner ergibt sich hier die zusätzliche Aussage, daß diese fünf Lösungen von \re{A.1}, \re{A.2}
unter der Nebenbedingung $R(x) > 0$ \emph{reell} bleiben:

Die fünf Ausgangssattelpunkte Bianchi IX-homogener Mannigfaltigkeiten sind zunächst
alle reell, und hiermit verifiziert man leicht, daß für $R>0$ die linearen 
Differentialgleichungen zweiter Ordnung zur Bestimmung des Korrekturterms
$\cQ' \,\!^i_{\ j}$ aus \re{A.26} nicht nur in führender Ableitungsordnung \re{A.29}, sondern
sogar in allen Ordnungen \emph{reelle} Koeffizienten haben. Deshalb findet man als 
Lösungen dieser Gleichungen reelle Felder $\cQ' \,\!^i_{\ j}$, 
womit sich über \re{A.26}, \re{A.24}, \re{A.5} und \re{A.3}
auch reelle Lösungen $\Aia$ der gestörten 
Sattelpunktsgleichung \re{A.1}, \re{A.2} ergeben.  
 
Im folgenden Abschnitt soll nun gezeigt werden, wie man  
mit Hilfe solcher \emph{reellen}
Lösungen von \re{A.1}, \re{A.2} im Limes $\kn$ \emph{divergenzfreie} Triaden Riemannscher 
3-Mannigfaltigkeiten konstruieren kann.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Divergenzfreie Triaden von Riemannschen 3-Mannigfaltigkeiten}
\label{AnhA.2}


Im Anhang \ref{AnhA.1} haben wir gezeigt, daß man für eine große Klasse von
Riemannschen 3-Geometrien \emph{flache} Eichfelder $\Aia$ mit

\begin{equation}
  \label{eq:A.49}
  \cF_{i j a} = 0
\end{equation}
\\
finden kann, die ferner die drei Gauß-Bedingungen 

\begin{equation}
  \label{eq:A.50}
  \cD_i \eia = 0
\end{equation}
\\
für eine vorgegebene Triade $\ve_a$ von $( \Mx , \hh )$ erfüllen. Insbesondere existieren
für deformierte Bianchi IX-Geometrien fünf \emph{reelle} Eichfelder mit diesen
Eigenschaften, solange lokal $R>0$ gilt. Für Bianchi A-Mannigfaltigkeiten mit $R \not= 0$
finden wir zumindest \emph{ein} Eichfeld $\Aia$ mit \re{A.49}, \re{A.50}, 
das ebenfalls reell ist, und für
kleine Störungen der 3-Metrik weiterexistiert.
Es soll nun gezeigt werden, in welcher Weise solche flachen, reellen Eichfelder $\Aia$ mit
\re{A.50} die Konstruktion einer \emph{divergenzfreien} Triade von $( \Mx , \hh )$ erlauben.

Hierzu fixieren wir an einem ausgewählten Punkt $P_0$ der 3-Mannigfaltigkeit $\Mx$ drei
beliebige Vektoren $\vd_a |_{P_0}, \, a \in \{1,2,3 \}$, die bezüglich der 3-Metrik $\hh$
orthonormal seien. Für diese drei Vektoren am Punkt $P_0$ betrachten wir dann einen
\emph{parallelen Transport} mit dem flachen Spin-Zusammenhang $\Aia$ entlang
beliebiger Kurven $\cC \subset \Mx$, und beweisen für den
Transportprozeß mit $\Aia$ die folgenden Eigenschaften:

\begin{itemize}

\item[$(i)$] Für einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten $\Mx$ ist das 
  Ergebnis des Transportes von $P_0$ nach $P_1$ unabhängig
  von  der Wahl des Transportweges $\cC$.

\item[$(ii)$] Der Transport mit $\Aia$ ist \emph{metrisch}, erhält
  also insbesondere die Othonormalität von Anfangsvektoren.

\item[$(iii)$] Mit der Eigenschaft \re{A.50} des  Spin-Zusammenhangs $\Aia$
  sind die im Sinne von $(i)$ erzeugten Vektorfelder auf $\Mx$
  divergenzfrei.

\end{itemize}
\noindent
Dann folgt, daß der parallele Transport der orthonormalen
Anfangsvektoren $\vd_a |_{P_0}$ für 
einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten $\Mx$ ein wohldefiniertes,
divergenzfreies Triadenfeld $\vd_a (x)$ auf $\Mx$ liefert.

Zum Beweis der ersten Aussage $(i)$ betrachten wir einen beliebigen
Anfangsvektor $\vec v |_{P_0} = v_{0, a} \, \ve_a$ am Punkt $P_0$, 
wobei $\ve_a$ dasjenige Triadenfeld
ist, für das die Gleichungen \re{A.49} und \re{A.50} gelöst wurden. Ferner sei

\begin{equation}
  \label{eq:A.51}
  \cC_0 : x^i = f^i (u) \quad , \quad 0 \leq u \leq 1 \ ,
\end{equation}
\\
eine Kurve, welche die Punkte $P_0$ und $P_1$ verbindet.\footnote{
Die hier und im folgenden verwendete Beweisführung ist sehr analog zu \cite{RySch},
wo gezeigt wird, daß das Ergebnis des \emph{Riemannschen} parallelen Transportes 
für flache Riemannsche Mannigfaltigkeiten unabhängig von der Wahl der
Transportkurve ist.} 
Die Transportgleichung für den parallelen Transport mit $\Aia$,

\begin{equation}
  \label{eq:A.52}
  \frac{\cD v_a}{\cD u} := \frac{\pa f^i}{\pa u} \, \cD_i v_a =
  \frac{\pa v_a}{\pa u} + \eabc \, \frac{\pa f^i}{\pa u} \, \cA_{i b} \, v_c \eex 0 \ ,
\end{equation}
\\
liefert dann zum  Anfangswertproblem
$v_a (0) \eex v_{0,a}$ \emph{eindeutig} ein Vektorfeld $v_a (u)$ entlang der Kurve $\cC_0$,
das in Abbildung \ref{AbbA.2} dargestellt ist:

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\textwidth}
\begin{picture}(1,.55)(0,0)
  \put(.58,.105){$\cC_0$}
  \put(.24,.155){$u=0$}
  \put(.78,.31){$u=1$}
  \put(.27,.23){$P_0$}
  \put(.79,.365){$P_1$}
  \put(.22,.37){$\vec v |_{P_0} = \vec v (0)$}
  \put(.73,.49){$ \vec v (1) = \vec v |_{P_1}$}
  \put(.51,.265){$ \vec v (u)$}
  
   \put(0,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize=  \unitlength
   \epsffile{Kurven1.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-2 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{
  Paralleler Transport eines Anfangsvektors $\vec v |_{P_0}$ 
  von $P_0$ nach $P_1$ entlang der Kurve $\cC_0$.}}
\label{AbbA.2}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}




\noindent 
Wir interessieren uns nun dafür, wie der resultierende Vektor $\vec v |_{P_1} = \vec v (1)$ 
am Punkt $P_1$ von der Wahl der Kurve $\cC_0$ abhängt.

Zur konkreten Untersuchung dieser Abhängigkeit betrachten wir eine Kurvenschar 
$\Cs , \, 0 \leq s \leq 1$, mit einheitlicher
Orientierung, wobei jede einzelne Kurve $\Cs$ zu festem Parameter $s$ die Punkte
$P_0$ und $P_1$ verbinden soll. Ferner falle die Randkurve zu $s=0$ 
mit $\cC_0$ aus \re{A.51} zusammen. 
Eine solche Kurvenschar ist in Abbildung \ref{AbbA.3} dargestellt.

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\textwidth}
\begin{picture}(1,.65)(0,0)
  \put(.57,.105){$\cC_0$}
  \put(.24,.155){$u=0$}
  \put(.77,.3){$u=1$}
  \put(.27,.23){$P_0$}
  \put(.79,.365){$P_1$}
  \put(.20,.34){$\vec v (0,0)$}
  \put(.69,.485){$ \vec v (1,1) $}
  \put(.805,.47){$\vec v (1,0)$}
  \put(.61,.52){$\Mf$}
  \put(.37,.52){$\cC_1$}
  \put(.24,.47){$\Cs$}
  
   \put(0,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize=  \unitlength
   \epsffile{Kurven2.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-2 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{
Darstellung einer Kurvenschar $\Cs$, welche die Punkte $P_0$ und
  $P_1$ verbindet. Der parallele Transport eines Anfangsvektors 
  $\vec v |_{P_0} = \vec v (0,0)$ von $P_0$ nach $P_1$ liefert entlang der Randkurven
  $\cC_0$ und $\cC_1$ im allgemeinen verschiedene Endvektoren $\vec v (1,0)$ und
  $\vec v (1,1)$ am Punkt $P_1$.}}
\label{AbbA.3}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}


\noindent
Die Parametrisierung von $\Cs$  wählen wir weiterhin explizit in der Form

\begin{equation}
  \label{eq:A.53}
  \Cs : x^i = f^i (u,s) \ \  ; \ \ 0 \leq u \leq 1 \ \ , \ \ 0 \leq s \leq 1 \ .
\end{equation}
\\
Durch parallelen Transport von $\vec v |_{P_0}$ entlang der Kurven $\Cs$
erhalten wir  ein Vektorfeld $v_a (u,s)$ auf der über \re{A.53} parametrisierten
2-Mannigfaltigkeit $\Mf$, das bis auf den Punkt $P_1$ überall auf $\Mf$ wohldefiniert ist.
Die Vektoren $\vec v |_{P_1}$, die man über parallelen Transport von $\vec v |_{P_0}$
entlang der beiden Randkurven $\cC_0$ und $\cC_1$ erhält, werden im allgemeinen
\emph{verschieden} sein; ihre Differenz werden wir im folgenden mit

\begin{equation}
  \label{eq:A.54}
  \De v_a := v_a (1,1) - v_a (1,0)
\end{equation}
\\
bezeichnen. 

Als Hilfsgröße sei ferner ein zweites Vektorfeld $\vec w  (u,s)$ auf $\Mf$ eingeführt, das
zum beliebigen Anfangsvektor $\vec w |_{P_1} = w_{1 , a} \, \ve_a$ 
am Punkt $P_1$ durch parallelen Transport
entlang der Kurven $- \Cs$ entsteht. Für die beiden Vektorfelder $v_a (u,s)$ und
$w_a (u,s)$ gilt dann per constructionem:

\begin{equation}
  \label{eq:A.55}
  \frac{\cD v_a}{\cD u} = 0 \ \  \Rightarrow \ \ \frac{\cD^2 v_a}{\cD s \cD u} = 0
 \qquad , \qquad \frac{\cD w_a}{\cD u} = 0 \ .
\end{equation}
\\
Zusätzlich erhält man die Aussagen
\begin{equation}
  \label{eq:A.56}
  \frac{\cD v_a}{\cD s} \Bigg |_{u=0} =0 \quad , \quad 
  \frac{\cD w_a}{\cD s} \Bigg |_{u=1} =0 \ ,
\end{equation}
\\
indem man die Transportgleichung \re{A.52} in
Verbindung mit den Eigenschaften

\begin{equation}
  \label{eq:A.57}
  \frac{\pa f^i}{\pa s} \bigg |_{u=0} = \ \frac{\pa f^i}{\pa s} \bigg |_{u=1} = 0
\end{equation}
\\
von $f^i$ aus \re{A.53} ausnutzt. 

Betrachten wir nun die skalare Größe

\begin{equation}
  \label{eq:A.58}
  \De v_a \cdot w_{1,a} = \ids \frac{\pa}{\pa s} \bA{v_a \, w_a} \Bigg |_{u=1}
  = \ids \frac{\cD}{\cD s} \bA{v_a \, w_a} \Bigg |_{u=1} \ ,
\end{equation}
\\
so läßt sich diese folgendermaßen umschreiben:

\begin{eqnarray}
  \label{eq:A.59}
  \De v_a \cdot w_{1,a} & \Gl{$\re{A.56}$} & \ids  \frac{\cD v_a}{\cD s} \cdot w_a
 \, \Bigg |_{u=1}
  \Gl{$\re{A.56}$} \idu \ids \frac{\cD}{\cD u} \bA{w_a \cdot \frac{\cD v_a}{\cD s}}
  \nonumber \\[.5 cm]
  & \Gl{$\re{A.55}$} & \idu \ids w_a \cdot \frac{\cD^2 v_a}{\cD u \cD s} \ .
 \end{eqnarray}
\\
Über \re{A.52} rechnen wir ferner für die zweiten kovarianten Ableitungen von $v_a (u,s)$
die Vertauschungseigenschaft

\begin{equation}
  \label{eq:A:60}
  \frac{\cD^2 v_a}{\cD u \cD s} - \frac{\cD^2 v_a}{\cD s \cD u}
  = \eabc \, \frac{\pa f^i}{\pa u} \, \frac{\pa f^j}{\pa s} \, \cF_{i j b} \, v_c
\end{equation}
\\
nach, so daß wir aus \re{A.59} mit \re{A.55} schließlich das Ergebnis 

\begin{equation}
  \label{eq:A.61}
  \De v_a \cdot w_{1,a} = \idu \ids \frac{\pa f^i}{\pa u} \, \frac{\pa f^j}{\pa s}
  \, \eabc \, w_a \, \cF_{i j b} \, v_c
\end{equation}
\\
erhalten. Für flache Eichfelder $\Aia$ gemäß \re{A.49} \emph{verschwindet} also der
Skalar $\De v_a \cdot w_{1,a}$. Nun können wir den Anfangsvektor $w_{1,a}$ des
Vektorfeldes $w_a (u,v)$ am Punkt $P_1$ aber beliebig vorgeben, womit wir die
entscheidende Aussage

\begin{equation}
  \label{eq:A.62}
  \De v_a = 0
\end{equation}
\\
erhalten: Das Ergebnis des parallelen Transportes von $\vec v |_{P_0}$ zum Punkt
$P_1$ hängt für flache Eichfelder $\Aia$ offensichtlich \emph{nicht} von der Wahl
der Transportkurve $\Cs$ ab. Auf einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten
liefert der parallele Transport eines beliebigen Anfangsvektors $\vec v |_{P_0}$ somit
ein \emph{global} wohldefiniertes Vektorfeld 
$\vec v (x)$ auf $\Mx$, das ferner per constructionem die Gleichungen

\begin{equation}
  \label{eq:A.63}
  \cD_i v_a \equiv 0
\end{equation}
\\
befriedigt. Hiermit ist die oben behauptete Aussage $(i)$ bewiesen.

Um die Gültigkeit der zweiten Aussage $(ii)$ zu zeigen, betrachten wir zwei 
verschiedene, über parallelen Transport gewonnene Vektorfelder $\vec v (x)$ und
$\vec w (x)$, die beide gemäß \re{A.63} bezüglich des Spin-Zusammenhangs $\Aia$
kovariant konstant sind. Dann gilt 

\begin{equation}
  \label{eq:A:64}
  \pa_i \bA{\vec v \cdot \vec w } \equiv \cD_i \bA{v_a \, w_a} =
  \underbrace{\cD_i v_a}_0 \, w_a + v_a \, \underbrace{\cD_i w_a}_0 = 0 \ ,
\end{equation}
\\
das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektorfeldern $\vec v$ und $\vec w$ bleibt 
also unter parallelem Transport mit
$\Aia$ erhalten, womit der Transportprozeß \emph{metrisch} ist.

Die \emph{Divergenzfreiheit} $(iii)$ eines durch parallelen Transport erhaltenen Vektorfeldes
$\vec v (x)$ ergibt sich direkt aus \re{A.63} und \re{A.50}:

\begin{equation}
  \label{eq:A.64}
  \sh \bA{ \vn  \cdot \vec v} \equiv \pa_i \bA{\sh \, v^i} = \cD_i \bA{v_a \, \eia}
  = \underbrace{\cD_i v_a}_0 \, \eia + v_a \, \underbrace{\cD_i \eia}_0 = 0 \ .
\end{equation}
\\
Wählen wir also, wie zu Beginn dieses Abschnitts vorgeschlagen, für den Anfangsvektor
$\vec v |_{P_0}$ des parallelen Transportes sukzessive drei orthonormale Vektoren
$\vd_a |_{P_0}, \, a \in \{1,2,3 \}$, so erhalten wir auf einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten
$\Mx$ drei global wohldefinierte Triadenvektorfelder $\vd_a (x)$, die zudem
divergenzfrei sind. Da diese Triadenfelder bei gegebenem reellen Spin-Zusammen\-hang 
$\Aia$ mit \re{A.49}, \re{A.50}
nur von der Wahl der Anfangstriade $\vd_a |_{P_0}$ am Punkt $P_0$ abhängen, 
sind sie bis auf eine globale, räumlich konstante Drehung sogar eindeutig bestimmt.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Der Chern-Simons-Zustand auf homogenen Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten}
\label{AnhB}
\kopf{Anhang B: Homogene 3-Mannigfaltigkeiten}
\thispagestyle{empty}

Im Rahmen dieses Anhangs soll der semiklassische Chern-Simons-Zustand für
homogene 3-Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ ausgewertet werden. Dafür
überlegen wir  uns im Abschnitt \ref{AnhB.1} zunächst, 
wie man Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten
allgemeingültig beschreiben kann. Im Abschnitt \ref{AnhB.2} 
soll dann die Berechnung des asymptotischen Chern-Simons-Zustands im
Grenzfall $\ku$ für beliebige Bianchi-Metriken erfolgen. Unter
Einschränkung auf Bianchi IX-Metriken werden wir uns desweiteren 
in Abschnitt \ref{AnhB.3} mit der 
Konstruktion divergenzfreier Triaden und der Auswertung des Zustands \re{4.68} im Limes
$\kn$ beschäftigen.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Homogene 3-Mannigfaltigkeiten}
\label{AnhB.1}

Eine Riemannsche 3-Mannigfaltigkeit $(\Mx , \hh )$ heißt \emph{homogen}, wenn es drei
verschiedene,
lokal linear unabhängige Diffeomorphismen-Vektorfelder $\vx$ gibt, welche die 3-Metrik
$\hh$ forminvariant lassen:\footnote{Der Ableitungsoperator $\cL_{\vx}$ heißt
Lie-Ableitung bezüglich des Vektorfeldes $\vx$. Er bildet Tensoren auf Tensoren gleicher
Stufe ab und ist \emph{unabhängig} von der 3-Metrik $\hh$ definiert. Die Lie-Ableitung
beschreibt anschaulich die infinitesimale Änderung eines
Tensorfeldes unter einer Translation in $\vx$-Richtung.}

\begin{equation}
  \label{eq:B.1}
  \cL_{\vx} \, \hh = \bA{ \xi^k \pa_k h_{i j} +h_{k j} \, \pa_i \xi^k +h_{i k} \, \pa_j \xi^k} \bd x^i
  \otimes \bd x^j = \bnu \ .
\end{equation}
\\
Alle Punkte der Mannigfaltigkeit $( \Mx , \hh )$ sind dann geometrisch gleichwertig.
Die Gleichung \re{B.1} ist äquivalent zur sogenannten \emph{Killing-Gleichung},

\begin{equation}
  \label{eq:B.2}
  \na_i \,  \xi_j + \na_j \,  \xi_i = 0 \ ,
\end{equation}
\\
Lösungen $\vx$ von \re{B.1} oder \re{B.2} heißen deshalb auch \emph{Killing-Vektoren}
der 3-Metrik $\hh$.\footnote{Die Gleichungen \re{B.1}, \re{B.2} erlauben in drei
Dimensionen bis zu sechs \emph{global} linear unabhängige Killing-Felder. 
Mannigfaltigkeiten $(\Mx , \hh )$ mit sechs Killing-Feldern 
heißen maximalsymmetrisch; sie sind
homogen und \emph{isotrop}.}


Die Gesamtheit aller Killing-Vektorfelder bildet wegen

\begin{equation}
  \label{eq:B.3}
  \bB{ \cL_{\vx} \, , \, \cL_{\vy} } = \cL_{\bB{\vx \, , \, \vy}}
\end{equation}
\\
eine \emph{Gruppe}: Der Kommutator von zwei Killing-Vektoren $\vx$ und $\vy$ ist mit
\re{B.1}, \re{B.3} wieder ein Killing-Vektor, muß also mit räumlich konstanten
Entwicklungskoeffizienten in einer Basis aller Killing-Vektoren
darstellbar sein. 

Gibt es drei lokal linear unabhängige, auf $\Mx$ also \emph{transitiv} operierende 
Killing-Vektorfelder  $\vx_a , \, a \in \{1,2,3 \},$
mit \emph{geschlossener} Algebra

\begin{equation}
  \label{eq:B.4}
  \bB{ \vx_a \, , \, \vx_b } = [a b c] \, \hat m_{c d} \, \vx_d \ ,
\end{equation}
\\
so heißt die Riemannsche Mannigfaltigkeit $( \Mx , \hh )$ \emph{Bianchi-homogen}.\footnote{
Es gibt durchaus homogene Mannigfaltigkeiten, die \emph{nicht} Bianchi-homogen sind:
Die Gruppe der Killing-Vektorfelder wird im allgmeinen nicht notwendig eine 
dreiparametrige Untergruppe zulassen, die transitiv auf $\Mx$ operiert. Diese spezielle
Situation tritt aber nur im Rahmen des Kantowski-Sachs-Modells \cite{KanSa} auf, das eine
gesonderte Diskussion erfordert.}    
Im folgenden wollen wir uns auf die Diskussion dieser großen Klasse von
homogenen Mannigfaltigkeiten beschränken. 

Die räumlich konstante Strukturmatrix $\hat \bm $ in \re{B.4} ist für eine gegebene,
homogene Mannigfaltigkeit nicht eindeutig bestimmt: Gehen wir zu neuen
Killing-Vektoren

\begin{equation}
  \label{eq:B.5}
 \vxs = U_{a b} \, \vx_b
\end{equation}
\\
mit einer räumlich konstanten, invertierbaren Matrix $\bLa$ über, 
was auch einer Reparametrisierung
der Gruppe \re{B.4} entspricht, so bilden die $\vxs$ ebenfalls eine geschlossene
Algebra mit der neuen Strukturmatrix $\hat \bm'$, die folgendermaßen mit $\hat \bm$
zusammenhängt:

\vspace{3 cm}

\begin{equation}
  \label{eq:B.6}
  \hat \bm' = \det  \bLa \, ( \bLa^{-1} ) \,\!^{\tr} \!\! \cdot \hat \bm \cdot \bLa^{-1} \ .
\end{equation}
\\
Strukturmatrizen, die über \re{B.6} zusammenhängen, faßt man zu Äquivalenzklassen
desselben Bianchi-Typs zusammen; die unterschiedlichen möglichen Äquivalenzklassen
wurden von Bianchi in neun verschiedene Typen klassifiziert \cite{Ryan1, Ryan2}. Ferner 
unterscheidet man zwischen Bianchi A- und Bianchi B-Metriken, je nachdem ob
die Strukturmatrix $\hat \bm$ symmetrisch ist oder nicht. 

Zur Beschreibung Bianchi-homogener Mannigfaltigkeiten ist es zweckmäßig,
drei \emph{invariante} Vektorfelder $\vi_a, a \in \{1,2,3 \},$ einzuführen, die

\begin{equation}
  \label{eq:B.7}
  \cL_{\vx_a} \, \vi_b \equiv \bB{ \vx_a \, , \, \vi_b } \eex \vec 0
\end{equation}
\\
für alle drei Killing-Vektoren $\vx_a$ erfüllen sollen. Die zu $\vi_a$ dualen 1-Formen
$\bi_a$ sind dann wegen \re{B.1} ebenfalls invariant und befriedigen.

\begin{equation}
  \label{eq:B.8}
  \forall \vx_a : \ \cL_{\vx_a} \, \bi_b =\bA{ \xi^i \pa_i \, \im_{j a} + \im_{i a} \, \pa_j \xi^i } \bd x^j 
 = \bnu \ .
\end{equation}
\\
Eine Entwicklung der 3-Metrik $\hh$ nach Tensorprodukten der invarianten Basis 
liefert in Verbindung mit \re{B.1} und \re{B.8} 
räumlich \emph{konstante} Entwicklungskoeffizienten, die
wir durch geeignete Wahl der Lösungen von \re{B.7}, \re{B.8} auf $\de_{a b}$
normieren können:

\begin{equation}
  \label{eq:B.9}
  \hh = \de_{a b} \, \bi_a \otimes \bi_b \ .
\end{equation}
\\
In dieser Normierung sind die invarianten Vektorfelder $\vi_a$ also gleichzeitig
spezielle \emph{Triadenfelder} zur 3-Metrik $\hh$, und bis auf globale Drehungen eindeutig
bestimmt. Mit Hilfe von \re{B.4}, \re{B.7} kann man zeigen, daß die invarianten
Vektorfelder $\vi_a$ wie die Killing-Felder eine geschlossene Algebra bilden,

\begin{equation}
  \label{eq:B.10}
  \bB{ \vi_a \, , \, \vi_b } = \eabc \, m_{c d} \, \vi_d \ ,
\end{equation}
\\
wobei die Strukturmatrix $\bm$ im Sinne von \re{B.6} vom selben Bianchi-Typ
ist wie die Strukturmatrix $\hat \bm$ der Killing-Vektoren. Die invarianten 
Triaden-1-Formen $\bi_a$ erfüllen entsprechend

\begin{equation}
  \label{eq:B.11}
  \bd \, \bi_a = - \fr{1}{2} \, m_{b a} \, \ep_{b c d} \, \bi_c \wedge \bi_d \ .
\end{equation}
\\
Mit unserer Definition des Levi-Cevitta-Tensors in \re{2.24+} transformiert sich die
Strukturmatrix $\bm$ unter O(3)-Eichtransformationen der Triade $\vi_a$ wie ein
O(3)-kovarianter Tensor zweiter Stufe, für Bianchi A-Mannigfaltigkeiten können wir deshalb
die Matrix $\bm$ über Transformationen der Form \re{B.6} sogar \emph{diagonal} wählen. 

Wir wollen nun das hier dargestellte Kalkül zur Beschreibung Bianchi-homo\-ge\-ner
3-Mannigfaltigkeiten auf die explizite Berechnung geometrischer Größen 
anwenden, und hierüber den Chern-Simons-Zustand \re{4.21} im Limes $\ku$
auswerten.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Der Chern-Simons-Zustand im Grenzfall \- $\ku$}
\label{AnhB.2}

Zur Berechnung des semiklassischen Chern-Simons-Zustands \re{4.21} im Grenzfall
$\ku$ benötigen wir den Krümmungsskalar $R$ und den Wert des 
Chern-Simons-Funktionals
$\So$ zum Riemannschen Spin-Zusammenhang $\om_{i a}$. Für Bianchi-homogene
3-Mannigfaltigkeiten können wir diese rein geometrischen, Diffeomor\-phis\-mus-invarianten
Größen mit Hilfe der invarianten Triade $\vi_a$ aus Abschnitt \ref{AnhB.1} \emph{ohne} Bezug
auf ein spezielles Koordinatensystem ausrechnen:

Die  1-Formen $\bom_a = \om_{i a} \, \bd  x^i$ des Riemannschen Spin-Zusammenhangs
gemäß \re{2.29} erfüllen das \emph{Dreibein-Postulat}\footnote{
In der Differentialgeometrie heißt die Gleichung \re{B.20} auch \emph{Cartan-Gleichung}
zur Bestimmung der Zusammenhangs-1-Formen $\bom_{a b} = - \, \eabc \, \bom_c$ .}

\begin{equation}
  \label{eq:B.20}
  \bd \, \bi_a + \eabc \, \bom_b \wedge \bi_c = \bnu \ .
\end{equation}
\\
Unter Verwendung von \re{B.11} liefert \re{B.20} für Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten
eindeutig den Ausdruck

\begin{equation}
  \label{eq:B.21}
  \bom_a = \fr{1}{2} \, m_{b b} \, \bi_a - m_{a b} \, \bi_b
\end{equation}
\\
für den Riemannschen Spin-Zusammenhang, die Eichfelder $\bom_a$ lassen  sich somit 
mit räumlich konstanten Entwicklungskoeffizienten in der invarianten Triade 
$\bi_a$ ausdrücken.
Mit \re{B.21} können deshalb die Krümmungs-2-Formen

\begin{equation}
  \label{eq:B.22}
  \bF_a = 2 \, \bd \bom_a + \eabc \, \bom_b \wedge \bom_c
\end{equation}
\\
und die Chern-Simons-3-Form

\begin{equation}
  \label{eq:B.23}
  \bs = \bom_a \wedge \bd \bom_a + \fr{1}{3} \ \eabc \, \bom_a \wedge \bom_b \wedge
  \bom_c
\end{equation}
\\
unter nochmaliger Verwendung von \re{B.11} nach  Keilprodukten
der Triaden-1-Formen $\bi_a$ entwickelt werden.
Aus den Größen \re{B.22} und \re{B.23} erhalten wir dann den Krümmungsskalar $R$ und
das Chern-Simons-Funktional $\So$ über\footnote{
In \re{B.24} bezeichnet $( \cdot | \cdot )$ die natürliche Kontraktion zwischen kontravarianten
und kovarianten Tensoren; insbesondere gilt
$( \,\bi_a \,|\, \vi_b \,) = \de_{a b}$.}

\begin{equation}
  \label{eq:B.24}
  R = - \, \eabc \, (\, \bF_a \, | \, \vi_b \otimes \vi_c \, ) 
\end{equation}
\\
und
\begin{equation}
  \label{eq:B.25}
  \So = \bint  \bs \ .
\end{equation}
\\
Das Integral einer 3-Form in \re{B.25} läßt sich hierbei über die Beziehung

\begin{equation}
  \label{eq:B.26}
  \fr{1}{6} \, \eabc \bint  \bi_a \wedge \bi_b \wedge \bi_c = V
\end{equation}
\\
mit dem Volumen $V$ aus \re{4.3} auswerten. Dies liefert die expliziten Ausdrücke

\begin{equation}
  \label{eq:B.27}
  R = \Tr \,\bm^2 -2 \, \Tr  \, \bm^{\tr} \bm + \fr{1}{2} \, \Tr^2 \,\bm \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:B.28}
  \So = V \bB{ - \Tr \, \bm^2 \bm^{\tr} \! + \fr{1}{6} \, \Tr \, \bm \bA{ \Tr \,\bm^2 \! +
  2 \, \Tr \, \bm^{\tr} \bm } -2 \, \det \bm } \ ,
\end{equation}
\\
mit denen sich der Chern-Simons-Zustand \re{4.21} für Bianchi-homogene
3-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten allein als Funktion des Volumens $V$ und der 
Strukturmatrix $\bm$ ausdrücken läßt. Als Resultat erhalten wir den in 
Abschnitt \ref{Kap4.2.2} angegebenen Zustand \re{4.42}.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Der Chern-Simons-Zustand im Grenzfall \- $\kn$}
\label{AnhB.3}

In Restriktion auf Bianchi IX-homogene 3-Mannigfaltigkeiten soll 
weiterhin der Chern-Simons-Zustand \re{4.68} 
im Limes $\kn$ ausgewertet werden. Hierfür be\-nö\-ti\-gen wir in
expliziter Form
divergenzfreie Triaden homogener Bianchi IX-Metriken, die im Abschnitt \ref{AnhB.3.2}
konstruiert werden sollen. Ausgangspunkt der Konstruktion werden dabei 
die divergenzfreien
Triaden der 3-Sphäre $S^3$ sein, weshalb wir uns  im folgenden
Abschnitt \ref{AnhB.3.1} zunächst etwas ausführlicher mit der 
Herkunft und Bedeutung der divergenzfreien
Triaden dieser \emph{isotropen} Bian\-chi~IX-Man\-nigfaltigkeit befassen wollen.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection{Divergenzfreie Triaden der 3-Sphäre}
\label{AnhB.3.1}

Eine geometrisch sehr anschauliche Beschreibung der 3-Sphäre $S^3$ erhält
man über ihre Einbettung in den euklidischen Raum $\RRt^4$: In sphärischen
Koordinaten $\{r, \Ch , \th , \ph \}$ gemäß

\begin{equation}
  \label{eq:B.34}
  \RR^4  \owns \vr = r \bA{
    \begin{array}{c}
    \sin \Ch  \sin \th  \cos \ph \\
    \sin \Ch  \sin \th  \sin \ph \\
    \sin \Ch  \cos \th \\
    \cos \Ch
    \end{array}}
\end{equation}
\\
mit
\begin{equation}
  \label{eq:B.34.1}
  r \geq 0 \quad , \quad 0 \leq \Ch , \th \leq \pi \quad , \quad 0 \leq \ph \leq 2 \pi
\end{equation}
\\
wird die 3-Sphäre mit Radius $a$ einfach durch die Hyperfläche $r \eex a$ beschrieben.
Die 3-Metrik $\hh$ auf dieser Hyperfläche gewinnt man leicht durch Transformation der
euklidischen 4-Metrik auf die Kugelkoordinaten \re{B.34}:\footnote{
Das Symbol "`$\hh$"' war bisher der Bezeichung des \emph{kovarianten} metrischen
Tensors auf $\Mx$ vorbehalten. Im gegenwärtigen Zusammenhang ist es günstiger,
den metrischen Tensor in \emph{kontravarianter} Form anzugeben, wofür wir der
Einfachheit halber das gleiche Symbol verwenden wollen. }

\begin{equation}
  \label{eq:B.34+}
  \hh = \frac{1}{a^2} \bB{\pa_{\chi}^2 + \frac{1}{\sin^2 \Ch} \bA{\pa_{\th}^2 + \frac{1}{\sin^2 \th}
   \  \pa_{\ph}^2}} \ .
\end{equation}
\\
Die 3-Sphäre ist offensichtlich invariant unter beliebigen Drehungen im $\RRt^4$, und
besitzt deshalb sechs Killing-Vektorfelder, welche die Algebra der sechsparame\-tri\-gen
Symmetriegruppe SO(4) darstellen. Zur expliziten Konstruktion dieser Kil\-ling-Fel\-der
auf $S^3$ betrachten wir zunächst eine Darstellung der SO(4) auf dem Vektorraum $\RRt^4$,
wo die Generatoren infinitesimaler Drehungen durch antisymmetrische 
$( 4 \times 4 )$-Matrizen $\bX$ darzustellen sind. Definieren wir die sechs Basisgeneratoren
speziell über

\begin{eqnarray}
  \label{eq:B.36}
  & 
   \bX^{\pm}_1 := \frac{1}{2} \bA{
      \begin{array}{rrrr}
         0 &0& 0  &+1\\
         0 & 0 &\mp 1& 0\\
         0 &\pm 1& 0& 0\\
         -1 &0& 0& 0
      \end{array}} \quad , \quad 
   \bX^{\pm}_2 := \frac{1}{2} \bA{
      \begin{array}{rrrr}
         0 &0&\pm 1 & 0\\
         0 & 0 &0&+1\\
         \mp1 &0& 0& 0\\
         0&- 1& 0& 0
      \end{array}} & , \nonumber \\[ .5 cm] 
  &
   \bX^{\pm}_3 := \frac{1}{2} \bA{
      \begin{array}{rrrr}
         0 &\mp1& 0  & 0\\
         \pm 1 & 0 &0& 0\\
         0 &0& 0& +1\\
         0 &0& -1& 0
      \end{array}} \ ,&   
\end{eqnarray}
\\
so erfüllen die Matrizen $\bX^{\pm}_a$ die Algebra

\begin{equation}
  \label{eq:B.37}
  \bB{ \bX^{\pm}_a , \bX^{\pm}_b } =\pm \,  [a b c ] \ \bX^{\pm}_c \quad , \quad
  \bB{ \bX^{+}_a , \bX^{-}_b } = \bnu \ .
\end{equation}
\\
Die Drehgruppe SO(4) faktorisiert also in das direkte Produkt von zwei dreidimensionalen
Drehgruppen SO(3),\footnote{
Eine analoge Aussage kennt man für die Lorentzgruppe SO(1,3) über $\CC \ $, was
beispielsweise in \cite{SexUr} genauer ausgeführt wird. Es ist
gerade diese Faktorisierungseigenschaft der Lorentzgruppe, die eine Formulierung
der Gravitation als Eichtheorie in den Ashtekarvariablen $\Aia$ erlaubt.}

\begin{equation}
  \label{eq:B.38}
  \mbox{SO(4)} \cong \mbox{SO(3)} \times \mbox{SO(3)} \ .
\end{equation}
\\
Jede infinitesimale Drehung im $\RRt^4$ überführt einen Punkt $\vr \in S^3$ in
einen benachbarten Punkt ${\vr}' \in S^3$ und definiert somit ein Vektorfeld
$\vx$ auf der 3-Sphäre $r=a$. Für die in \re{B.36} angegebenen Generatoren $\bX^{\pm}_a$
überlegt man sich dabei leicht, daß die in diesem Sinne zugeordneten Vektorfelder
$\vxpm{a}$ nirgends entarten, denn jede der Matrizen $\bX^{\pm}_a$ ist invertierbar.
Außerdem konstituieren sowohl die $\vxp{a}$, wie auch die $\vxm{a}$, jeweils
drei lokal \emph{linear unabhängige} Vektorfelder auf $S^3$.\footnote{
Das entsprechende Argument kann \emph{nicht} zur Definition regulärer Vektorfelder
auf der 2-Sphäre $S^2$ verwendet werden, da es keine antisymmetrischen, invertierbaren
$(3 \times 3)$-Matrizen gibt.}

Der explizite Zusammenhang zwischen einer antisymmetrischen $(4 \times 4)$-Matrix
$\bX$ und dem zugeordneten Killing-Vektorfeld $\vx$ ergibt sich aus der
Forderung

\begin{equation}
  \label{eq:B.39}
  \forall \, \vr \in S^3 : \quad \ u ( \vr + \epsilon \, \bX \cdot \vr)
  \eex u (\vr ) - \epsilon \, \bB{\vx \, , u (\vr )} + \cO ( \epsilon^2 )
\end{equation}
\\
für beliebige Skalarfelder $u$ auf $S^3$. Für die spezielle Wahl der Basisgeneratoren
$\bX^{\pm}_a$ gemäß \re{B.36} erhält man hierüber die sechs Vektorfelder $\vxpm{a}$
als

\begin{eqnarray}
  \label{eq:B.40}
  \bA{
    \begin{array}{c}
     \vxpm{1}\\[\xx]
     \vxpm{2}\\[\xx]
     \vxpm{3}
    \end{array}}
 & = &
 - \frac{1}{2} \bA{
    \begin{array}{ccc}
      \sin \th  \cos \ph & \cot \Ch  \cos \th  \cos \ph &
      \cot \Ch  \csc \th  \sin \ph \\[\xx]
      \sin \th  \sin \ph & \cot \Ch  \cos \th  \sin \ph &
      \cot \Ch  \csc \th  \cos \ph \\[\xx]
      \cos \th & - \cot \Ch  \sin \th & 0
    \end{array}} 
  \cdot \bA{
    \begin{array}{c}
      \pa_{\chi} \\[\xx]
      \pa_{\th}\\[\xx]
      \pa_{\ph}
     \end{array}} 
 \nonumber \\[1 cm]
  & & \pm \frac{1}{2} \bA{
    \begin{array}{ccc}
      0 & \ \ \sin \ph & \cot \th  \cos \ph \\[\xx]
      0 & \!\! - \cos \ph & \cot \th  \sin \ph \\[\xx]
      0 & 0 & -1
    \end{array}}
 \cdot \bA{
   \begin{array}{c}
     \pa_{\chi} \\[\xx]
     \pa_{\th}  \\[\xx]
     \pa_{\ph} 
   \end{array}}
  \ .
\end{eqnarray}
\\
Die $\vxpm{a}$ sind per constructionem Killing-Vektorfelder auf $S^3$,

\begin{equation}
  \label{eq:B.41}
  \cL_{\vx^+_a} \, \hh = \bnu \quad , \quad \cL_{\vx^{-}_a} \, \hh = \bnu \ , 
\end{equation}
\\
und erfüllen die SO(4)-Algebra \re{B.37} der $\bX^{\pm}_a$:

\begin{equation}
  \label{eq:B.42}
  \bB{ \vxpm{a} \, , \, \vxpm{b} \, } = \pm \, [ a b c ] \  \vxpm{c} \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:B.43}
  \bB{ \vxp{a} \, , \, \vxm{b} \, } = \vec 0 \ .
\end{equation}
\\
Aus \re{B.43} entnehmen wir in Verbindung mit \re{B.7}, daß die Felder $\vxm{a}$
\emph{invariante} Vektorfelder bezüglich der Killing-Vektoren $\vxp{a}$ sind; dieselbe
Ausage gilt auch umgekehrt. Entwickeln wir also die 3-Metrik $\hh$ aus \re{B.34+} in den
Feldern $\vxp{a}$ oder $\vxm{a}$, so müssen die Entwicklungskoeffizienten
räumlich konstant sein. Tatsächlich finden wir durch explizite Rechnung

\begin{equation}
  \label{eq:B.44}
  \frac{4}{a^2} \ \vxp{a} \otimes \vxp{a} = \hh 
  = \frac{4}{a^2} \ \vxm{a} \otimes \vxm{a} \ ,
\end{equation}
\\
die Felder $\vip_a \,$ und $\vim_a \,$ mit

\begin{equation}
  \label{eq:B.45}
  \vipm_a  \, := \frac{2}{a} \ \vxpm{a}
\end{equation}
\\
sind also jeweils invariante \emph{Triadenfelder} der 3-Sphäre $r=a$.

Wegen \re{B.42} besitzen diese Triadenfelder eine \emph{symmetrische} Strukturmatrix $\bm$,
womit über \re{4.71} direkt die Divergenzfreiheit der sechs Vektorfelder $\vipm_a \,$
folgt:

\begin{equation}
  \label{eq:B.46}
  \vn \cdot \vipm_a = 0 \ .
\end{equation}
\\
Ferner sind die Vektorfelder $\vip_a \,$ und $\vim_a \,$ gemäß \re{B.44}, \re{B.45} Triaden zur
\emph{selben} 3-Metrik $\hh$ der 3-Sphäre $S^3$; sie müssen also durch eine
ortsabhängige Drehung ineinander übergehen:

\begin{equation}
  \label{eq:B.47}
  \exists \, \cOm \in \mbox{O(3)} : \quad \vip_a = \Om_{a b} \, \vim_b \ .
\end{equation}
\\
Zur expliziten Berechnung dieser Drehmatrix $\cOm$ ist es zweckmäßig, vom
bisher verwendeten
sphärischen Koordinatensystem $\{ \Ch, \th , \ph \}$ der 3-Sphäre $S^3$ 
zu neuen Koordinaten,
den \emph{Eulerwinkeln} $\{ \ps , \tth , \phi \}$ überzugehen. Auf den geometrischen
und gruppentheoretischen Hintergrund dieses Koordinatenwechsels wollen wir
im folgenden kurz eingehen.

Die 3-Sphäre $S^3$ ist isomorph zur Gruppenmannigfaltigkeit der Gruppe SU(2),
denn diese ist wie $S^3$ dreidimensional, kompakt und einfach
zusammenhängend. Üblicherweise parametrisiert man die Gruppenelemente der
SU(2) über einen euklidischen 3-Vektor $\vec \al$ mit $| \vec \al | \leq 2 \pi$, wobei
alle Vektoren $\vec \al$ mit $| \vec \al | = 2 \pi$ zu identifizieren sind, und zum
selben Gruppenelement gehören. Über die Beziehung

\begin{equation}
  \label{eq:B.48}
  \vec \al \eex -2 \, \Ch \bA{
    \begin{array}{c}
      \sin \th \cos \ph \\
      \sin \th \sin \ph \\
      \cos \th
    \end{array}}
\end{equation}
\\
können wir folglich konsistent Gruppenelemente der SU(2) zum Parameter $\vec \al$ mit
Punkten $(\Ch , \th , \ph )$ der 3-Sphäre identifizieren. 

Den Drehvektor $\vec \al$ parametrisiert man für die Drehgruppe SO(3)\footnote{
Für die Gruppe SO(3) sind die Antipoden der 2-Sphäre $| \vec \al | = \pi$ zu
identifizieren, woraus ebenfalls eine kompakte, aber nicht mehr einfach zusammenhängende
Gruppenmannigfaltigkeit resultiert.}
mit $| \vec \al | \leq \pi$ gerne über die Eulerwinkel $\{ \ps , \tth , \phi \}$, die man für
$\cOm \in$ SO(3) implizit über die Forderung

\begin{equation}
  \label{eq:B.49-}
  \cOm ( \vec \al ) \eex \bEM ( \ps , \tth , \phi )
\end{equation}
\\
erhält. Hierbei ist die Eulermatrix $\bEM ( \ps , \tth , \phi )$ in \re{B.49-}
folgendermaßen definiert:

\begin{equation}
  \label{eq:B.49}
 \!  \bEM \! : = \!
  \bA{
    \begin{array}{ccc}
      \cos \ps &  - \sin \ps & 0\\
      \sin \ps & \cos \ps & 0\\
      0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
  } \! \cdot \!
  \bA{
    \begin{array}{ccc}
       1 & 0 & 0\\
       0& \cos \tth & - \sin \tth \\
       0& \sin \tth & \cos \tth
    \end{array}
  } \! \cdot \!
  \bA{
    \begin{array}{ccc}
       \cos \phi & - \sin \phi & 0\\
       \sin \phi & \cos \phi & 0\\
       0 & 0 & 1
    \end{array}
  }  .
\end{equation}
\\
Auf den Winkelbereichen

\begin{equation}
  \label{eq:B.50}
  0 \leq \tth \leq \pi \quad , \quad - \pi \leq \ps , \phi \leq \pi
\end{equation}
\\
liefert \re{B.49-} einen eindeutigen, invertierbaren Zusammenhang zwischen den Eulerwinkeln
$\{ \ps , \tth , \phi \}$ und dem Drehvektor $\vec \al$ mit $| \vec \al | \leq \pi$. Durch
doppelte Überdeckung der Drehgruppe SO(3) in der Form

\begin{equation}
  \label{eq:B.51}
  0 \leq \tth \leq \pi \ \ , \ \ - 2 \pi \leq \ps -\phi \leq  2 \pi \ \ ,
  \ \ - 2 \pi \leq \ps + \phi \leq 2 \pi
\end{equation}
\\
kann dieser Zusammenhang für 3-Vektoren $\vec \al$ mit 
$| \vec \al | \leq 2 \pi $ fortgesetzt werden, womit die Eulerwinkel auch zur 
Parametrisierung der Gruppe SU(2) verwendet werden können. Die zur
Parametrisierung der Gruppen SO(3) und SU(2) verwendeten Variationsbereiche
der Winkel $\ps$ und $\phi$ sind in Abbildung B.1 dargestellt:

\vspace{-.5 cm}

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\textwidth}
\begin{picture}(1,.62)(0,0)
   \put(0.255,0.44){SU(2)}
   \put(.625,0.51){SO(3)}
   \put(.785,.27){$\ps$}
   \put(.47,.58){$\phi$}
   \put(.745 ,.27){$ 2 \pi$}
   \put(.23 ,.27){$-2 \pi$}
   \put(.465,.53){$ 2 \pi$}
   \put(.435,.065){$-2 \pi$}
   \put(0.2,0){
   \leavevmode
   \epsfxsize=.6 \unitlength
   \epsffile{Euler.eps}}
\end{picture}
\end{center}

\vspace{-1.5 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
   \begin{minipage}[h]{.9 \textwidth}
   \caption{\small{
Variationsbereiche der Eulerwinkel $\ps$ und $\phi$ zur Parametrisierung der Gruppen
SU(2) und SO(3).}}
\label{AbbB.1}
    \end{minipage}
  \end{center}
\end{figure}

\newpage




Über die Gleichungen \re{B.48} und \re{B.49-} erhalten wir nach einiger Rechnung
den Zusammenhang

\begin{equation}
  \label{eq:B.52}
  \cos \Ch = \cos \frac{\tth}{2} \, \cos \frac{\ps + \phi}{2} \ , \
  \cot \th = - \cot \frac{\tth}{2} \, \sin \frac{\ps + \phi}{2} \ , \
  \ph = \pi - \frac{\ps - \phi}{2} 
\end{equation}
\\
zwischen den Eulerwinkeln und den Kugelkoordinaten, der auf den Bereichen \re{B.34.1}
und \re{B.51} invertierbar ist.

Die in \re{B.40} angegebenen Killing-Vektoren $\vxpm{a}$ der 3-Shpäre rechnen
sich unter der Transformation \re{B.52} nun folgendermaßen auf die Eulerwinkel
$\{ \ps , \tth , \phi \}$ um:

\begin{equation}
  \label{eq:B.53}
    \bA{\begin{array}{c}
      \vxp{1} \\[\yy]
      \vxp{2} \\[\yy]
      \vxp{3} 
    \end{array}}
 = \frac{1}{\sin \tth}
    \bA{\begin{array}{ccc}
       - \sin \ps \cos \tth & \cos \ps \sin \tth & \sin \ps \\[\yy]
       \cos \ps \cos \tth & \sin \ps \sin \tth &  -\cos \ps \\[\yy]
       \sin \tth & 0 & 0
    \end{array}}
 \cdot 
    \bA{\begin{array}{c}
       \pa_{\ps} \\[\yy]
       \pa_{\tth} \\[\yy]
       \pa_{\phi}
    \end{array}} \ ,
\end{equation}
\\
\begin{equation}
  \label{eq:B.53+}
    \bA{\begin{array}{c}
      \vxm{1} \\[\yy]
      \vxm{2} \\[\yy]
      \vxm{3} 
    \end{array}}
 = \frac{1}{\sin \tth}
    \bA{\begin{array}{ccc}
       \sin \phi & \cos \phi \sin \tth & - \sin \phi \cos \tth \\[\yy]
       \cos \phi & - \sin \phi \sin \tth & -  \cos \phi \cos \tth \\[\yy]
       0 & 0 & \sin \tth
    \end{array}}
 \cdot 
    \bA{\begin{array}{c}
       \pa_{\ps} \\[\yy]
       \pa_{\tth} \\[\yy]
       \pa_{\phi}
    \end{array}} \ .
\end{equation}
\\[.7 cm]
In dieser Form läßt sich die Drehmatrix $\cOm$ aus \re{B.47} verhältnismäßig
leicht berechnen, wobei sich das bemerkenswerte Resultat

\begin{equation}
  \label{eq:B.54}
  \vip_a = E_{a b} ( \ps ,\tth , \phi ) \  \vim_b
\end{equation}
\\
mit der Eulermatrix $\bEM ( \ps , \tth ,\phi )$ aus \re{B.49} ergibt. Wegen 
$\bEM ( \ps , \tth , \phi ) \in$ SO(3)
besitzen die Triadenfelder $\vip_a \,$ und $\vim_a \,$ also insbesondere die gleiche
Orientierung. Definieren wir die Triadenfelder $\vipm_a \,$ im folgenden als \emph{positiv}
orientiert,

\begin{equation}
  \label{eq:B.54+}
  \ep ( \bi^+_a ) = \ep ( \bi^-_a ) := +1 \ ,
\end{equation}
\\
so folgt mit \re{B.42}, \re{B.43} und unserer Definition des Levi-Cevitta-Tensors in \re{2.24+}:

\begin{equation}
  \label{eq:B.55}
  \bB{ \vipm_a  \, , \, \vipm_b \, } = \pm \, \frac{2}{a} \ \eabc  \ \vipm_c \quad ,
  \quad \bB{ \vip_a  \, , \, \vim_b \, } = \vec 0 \ .
\end{equation}
\\
Mit Hilfe der invarianten, divergenzfreien Triaden $\vip_a \,$ und $\vim_a \,$ sollen
nun im näch\-sten Abschnitt divergenzfreie Triaden \emph{anisotroper} Bianchi IX-Geometrien
konstruiert werden, wobei im wesentlichen der Zusammenhang
\re{B.54} als Ausgangspunkt dienen wird.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection{Divergenzfreie Triaden von Bianchi IX-Metriken}
\label{AnhB.3.2}


Die 3-Metriken beliebiger, anisotroper Bianchi IX-Mannigfaltigkeiten 
$( \Mx , \hh)$
lassen sich in Verallgemeinerung von \re{B.44}, \re{B.45} in der Form

\begin{equation}
  \label{eq:B.56}
  \hh = \vi_a \otimes \vi_a \qquad \mbox{mit} \qquad \vi_a = 
  \mbe{a b} \ \vip_b
\end{equation}
\\
parametrisieren, wobei $\bbe{}$ eine spurlose, räumlich konstante $( 3 \times 3)$-Matrix
ist, die ohne Beschränkung der Allgemeinheit diagonal gewählt werden darf:

\begin{equation}
  \label{eq:B.57}
  \bbe{} = \diag \bB{ \be_1 , \be_2 , \be_3 } \quad , \quad \sum_{d=1}^3 \, \be_d = 0 \ .
\end{equation}
\\
Wegen \re{B.43} besitzt die 3-Metrik \re{B.56} drei linear unabhängige
Killing-Vektor\-fel\-der $\vxm{a}$ mit SO(3)-Algebra, womit die Bianchi IX-Homogenität
dieser Metrik offensichtlich ist; weitere Killing-Vektoren gibt es im allgemeinen 
nicht.\footnote{
Eine Sonderrolle spielt natürlich die 3-Sphäre $S^3$ mit $\bbe{} = \bnu$: Wie im 
letzten Abschnitt ausgeführt, läßt diese drei zusätzliche Killing-Felder $\vx_{a}^+$ zu.
Ferner besitzen  Bianchi IX-Metriken mit zwei identischen $\be_d$-Werten, die
sogenannten \emph{Berger-Metriken}, einen vierten Killing-Vektor, der sich im Fall
$\be_1 = \be_2$ beispielsweise zu $\vx_{3}^+$ ergibt.}

Die in \re{B.56} angegebene Triade $\vi_a$ ist als \emph{invariante} Triade einer
Bianchi A-homogenen Mannigfaltigkeit automatisch divergenzfrei, und in den 
Skalenparametern

\begin{equation}
  \label{eq:B.57+}
  a_d : = a \, e^{\be_d}
\end{equation}
\\
ergibt sich als Strukturmatrix $\bm$ das im Unterkapitel \ref{Kap4.3.1} 
angegebene Resultat \re{B.59}.
Ferner finden wir unter Verwendung von \re{B.40}, \re{B.45} 
für das Volumen $V$ der Bianchi IX-Mannigfaltigkeit \re{B.56} 

\begin{equation}
  \label{eq:B.60}
  V = \idx \sh = \cV \, a_1 \, a_2 \, a_3
\end{equation}
\\
mit
\begin{equation}
  \label{eq:B.60+} 
  \cV =  \int\limits_{0}^{\pi} \dd \Ch \sin^2 \Ch \int\limits_{0}^{\pi} \dd \th \sin \th
  \int\limits_{0}^{2 \pi} \dd \ph = 2 \, \pi^2 \ ,
\end{equation}
\\
womit die invariante, divergenzfreie Triade $\vd^{\, (0)}_a := \vi_a$ den Sattelpunktsbeitrag
\re{4.75} zum semiklassischen Chern-Simons-Zustand \re{4.68} im Limes $\kn$ liefert.

Wir sind nun an weiteren, divergenzfreien Triaden $\vec d_a$ Bianchi~IX-homogener 
3-Mannigfaltigkeiten und ihren zugeordneten Sattelpunktsbeiträgen zum
Chern-Simons-Zustand \re{4.68} interessiert. Hierfür versuchen wir in Verallgemeinerung
von \re{B.54} einen Ansatz der Form

\begin{equation}
  \label{eq:B.63}
  \vd_a = E_{b a} \, O_{b c} \, \vi_c \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\bO \in$ SO(3) eine räumlich konstante Drehmatrix sein soll. Dieser Ansatz liefert
zumindest im isotropen Grenzfall $\bbe{} = \bnu$ über die Wahl  $\bO = \bEi$ eine zweite
divergenzfreie Triade $\vim_a \,$. Im anisotropen Fall impliziert die Forderung der
Divergenzfreiheit von $\vd_a$ aus \re{B.63} die drei Bedingungen

\begin{equation}
  \label{eq:B.64}
  \vn \cdot \vd_a = O_{b c} \, \bB{ \vi_c \, , E_{b a}} \eex 0
\end{equation}
\\
an die Drehmatrix $\bO$, die über \re{B.56} auch in der Form

\begin{equation}
  \label{eq:B.65}
  O_{b c} \, \mbe{c d} \, \bB{ \vip_{d} \, , E_{b a}} = 0
\end{equation}
\\
geschrieben werden können. Zur weiteren Vereinfachung von \re{B.65} benötigen
wir die Richtungsableitungen der Eulermatrix $\bEM ( \ps , \tth ,\phi )$ in Richtung
der Vektorfelder $\vip_a \,$. Diese erhält man am einfachsten, indem man die Beziehung
\re{B.54} mit $\vip_c \,$ kommutiert, was unter Verwendung von \re{B.55}, \re{B.54}
das explizite Resultat

\begin{equation}
  \label{eq:B.66}
  \bB{ \vip_c \, , E_{a b} } = \frac{2}{a} \ \ep_{c a d} \, E_{d \, b}
\end{equation}
\\
liefert. Hiermit ergeben sich aus \re{B.65} die drei Forderungen

\begin{equation}
  \label{eq:B.67}
  \ep_{a b d} \, O_{b c} \, \mbe{c d} \eex 0 \ ,
\end{equation}
\\
die Drehmatrix $\bO$ ist also so zu bestimmen, daß für diagonale, positive Matrizen
$\ebex$ die Matrix $\bO \cdot \ebex$ \emph{symmetrisch} ist. Über elementare
Rechungen kann man zeigen, daß dies genau für die vier SO(3)-Wurzeln der 
Einheitsmatrix

\begin{eqnarray}
  \label{eq:B.68}
  & 
  \bO^{(1)} = \diag \bB{+1,-1,-1} \ , \quad
  \bO^{(2)} = \diag \bB{-1,+1,-1} \ ,  
  & \nonumber \\[.5 cm]
  &
  \bO^{(3)} = \diag \bB{-1,-1,+1} \ , \quad 
  \bO^{(4)} = \diag \bB{+1,+1,+1} \ ,
\end{eqnarray}
\\
erfüllt werden kann.

Über den Ansatz \re{B.63} finden wir also zusätzlich zu $\vd^{\, (0)}_a = \vi_a$ \emph{vier}
weitere divergenzfreie Triaden der Bianchi IX-Metrik \re{B.56}:

\begin{equation}
  \label{eq:B.69}
  \vd^{\, (\al)}_a = E_{b a} \, \Oa{b c} \  \vi_c \quad , \quad \al \in \{1,2,3,4 \} \ .
\end{equation}
\\
Unter Verwendung der Formel \re{4.68} können nun die den divergenzfreien Triaden
$\vd^{\, (\al)}_a , \al \in \{1,2,3,4 \},$ zugeordneten Sattelpunktsbeiträge zum
Chern-Simons-Zustand im Limes $\kn$ berechnet werden. Dabei ist es zweckmäßig,
die Rechnung nicht in einer Koordinatenbasis, sondern in der anholonomen
Vektorbasis $\vip_a \,$ durchzuführen, wo sämtliche auftretenden Ortsableitungen mit
Hilfe von \re{B.66} eliminiert werden können. Für die Cartan-Maurer-Invarianten \re{4.25}
der Drehmatrizen

\begin{equation}
  \label{eq:B.70}
  \Om^{(\al)}_{a b} = E_{c a} \, \Oa{c b}
\end{equation}
\\
finden wir dann insbesondere

\begin{equation}
  \label{eq:B.71}
  I ( \cOm^{(\al)}  ) = - \, 96 \, \pi^2 \ ,
\end{equation}
\\
mit \re{4.26} und $I_0 = 96 \, \pi^2$ besitzen die Triaden $\vd^{\, (\al)}_a , \al \in \{1,2,3,4 \},$
also relativ zur invarianten Triade $\vi_a$ die Windungszahl $-1$, während die relative 
Windungszahl der $\vd^{\, (\al)}_a$ untereinander verschwindet. Wie in Anhang \ref{AnhD}
gezeigt wird, ist die invariante Triade $\vi_a$ mit 
diagonaler Strukturmatrix \re{B.59} gleichzeitig
die \emph{ Einstein-Triade} zur Metrik \re{B.56}, so daß sich auch für die \emph{absolute} 
Windungszahl der $\vd^{\, (\al)}_a$ gemäß \re{4.67} das Resultat

\begin{equation}
  \label{eq:B.72}
  \hat w ( \vd^{\, (\al)}_a ) = -1 \quad , \quad \al \in \{1,2,3,4 \} \ ,
\end{equation}
\\
ergibt. Setzen wir nun beispielsweise die Triade $\vd^{\, (4)}_a$ in die Formel 
\re{4.68} ein, so finden wir als speziellen Sattelpunktsbeitrag zum 
Chern-Simons-Zustand im Limes $\kn$ 

\begin{equation}
  \label{eq:B.73}
  \PC^{(4)} \!  \pr{\kn}{\mi} \! \exp \bB{ \mp \frac{2 \cV}{\ga \hb} \bA{ \frac{12}{\La} +
  a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - 2 \bA{a_1 \, a_2 + a_2 \, a_3 + a_3 \, a_1 }}} \, .
\end{equation}
\\
Analoge Ergebnisse erhält man für die divergenzfreien Triaden 
$\vd^{\, (\al)}_a , \al \in \{1,2,3 \}$, indem man in \re{B.73} die formale Substitution
$a_d \mapsto - a_d$ für zwei der drei Skalenparameter $a_d$ durchführt.
Für homogene Mannigfaltigkeiten vom Bian\-chi-Typ~IX finden wir zusammen mit \re{4.75}
also insgesamt \emph{fünf} verschiedene semiklassische Sattelpunktsbeiträge 
$\PC^{(\al)} \, , \al \in \{0, \dots ,4 \},$ zum Chern-Simons-Zustand der Gravitation im
Limes $\kn$, die auf die Existenz der \emph{fünf} verschiedenen divergenzfreien Triaden
$\vd^{\, (\al)}_a , \al \in \{0, \dots ,4 \},$ zurückzuführen sind.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{Nicht-flache 4-Geometrien im Limes $\kn$}
\label{AnhC}
\kopf{Anhang C: Nicht-flache 4-Geometrien im Limes $\kn$}
\thispagestyle{empty}


In diesem Teil des Anhangs sollen spezielle Lösungen der semiklassischen
Evolutionsgleichung \re{4.81} angeben werden, für welche die zugeordneten 
Raumzeit-4-Geometrien weder
die Randbedingung asymptotischer Flachheit bei großen Skalen $a_{\co}$, noch die von
Hartle und Hawking vorgeschlagene "`keine-Grenzen-Bedingung"' befriedigen.

Zu diesem Zweck sei mit räumlich
konstanten Skalenparametern $a_d$ die folgende Klasse von Anfangs-3-Geometrien
betrachtet:

\begin{equation}
  \label{eq:C.1}
  \hh = \vi_a \otimes \vi_a \ , 
\end{equation}
\\
wobei
\begin{equation}
  \label{eq:C.2}
  \vi_1 := \frac{1}{a_1} \, \pa_1 \quad , \quad
  \vi_2 := \frac{1}{a_2} \, \pa_2 \quad , \quad
  \vi_3 := \frac{1}{a_3} \bA{\pa_3 + x^2 \, \pa_1 + x^1 \, \pa_2 } \ .
\end{equation}
\\
Die Triade $\vi_a$ definieren wir als \emph{positiv} orientiert, die \emph{geschlossene}
Algebra der $\vi_a$ liefert die über \re{4.70} definierte, räumlich konstante
Strukturmatrix

\begin{equation}
  \label{eq:C.3}
  \bm = \diag \bB{ \, \frac{a_1}{a_2 \, a_3} \, , \, - \, \frac{a_2}{a_3 \, a_1} \, , \, 0 \,} \ .
\end{equation}
\\
Offensichtlich ist 
die 3-Metrik $\hh$ aus \re{C.1} also \emph{homogen}, im Sinne der
Klassifizierung nach Bianchi handelt es sich um eine 3-Mannigfaltigkeit
vom Bian\-chi-Typ~$\mbox{VI}_{-1}$. Mit der Symmetrieeigenschaft der 
Strukturmatrix $\bm$ aus \re{C.3} folgt sofort die Divergenzfreiheit der invarianten
Triade $\vi_a$,

\begin{equation}
  \label{eq:C.4}
  \vn \cdot \vi_a = 0 \ ;
\end{equation}
\\
ferner erhalten wir die Killing-Vektoren $\vx_a$ der 3-Metrik $\hh$ als Lösungen von \re{B.7}
zu

\vspace{-.5 cm}

\begin{equation}
  \label{eq:C.5}
  \vx_1 = \cosh x^3 \, \pa_1 + \sinh x^3 \, \pa_2 \quad , \quad
  \vx_2 = \sinh x^3 \, \pa_1 + \cosh x^3 \, \pa_2 \quad , \quad
  \vx_3 = \pa_3 \ .
\end{equation}
\\
Durch eine geeignete Kompaktifizierung der räumlichen Mannigfaltigkeit $\Mx$ in den 
$\vx_a$-Rich\-tun\-gen können
wir zu einer topologisch nichttrivialen 3-\-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $( \Mx , \hh )$ mit 
\emph{endlichem}
Volumen

\begin{equation}
\label{eq:C.6}
V = \cV \, a_1 \, a_2 \, a_3
\end{equation}
\\
gelangen,\footnote{Die auf diese Weise erhaltene kompakte, Riemannsche 
3-\-Man\-nig\-fal\-tig\-keit hat dann die Topologie von $S^1 \times T^2$.} 
wobei $\cV > 0$ eine positive, dimensionslose Konstante ist, deren Wert
von der speziellen Wahl der Kompaktifizierung abhängt.

Zur Anfangs-3-Metrik \re{C.1} soll nun die  4-Geometrie berechnet
werden, die über den semiklassischen Chern-Simons-Zustand \re{4.68} im Limes
$\kn$ generiert wird. Hierbei ist es zweckmäßig, in der zu lösenden semiklassischen
Evolutionsgleichung \re{4.81} zunächst eine \emph{beliebige} Verlaufsfunktion $N$ zuzulassen,
womit das Differentialgleichungssystem \re{4.81} die folgende Form annimmt:

\begin{equation}
  \label{eq:C.7}
  \frac{\dd}{\dd \tau} \, \di{i}{a} = -N \, \eijk \, \pa_j \, d_{k a} \ .
\end{equation}
\\
Setzen wir die invariante, divergenzfreie Triade $\vi_a$ aus \re{C.2} in \re{C.7} ein,
so erhalten wir in Analogie zu \re{4.88} das Gleichungssystem

\begin{equation}
  \label{eq:C.8}
  \frac{\dd}{\dd \tau} \bA{a_1 \, a_2} =N \, a_3 \quad , \quad
  \frac{\dd}{\dd \tau} \bA{a_2 \, a_3} = - N \, a_1 \quad , \quad
  \frac{\dd}{\dd \tau} \bA{a_3 \, a_1} = 0
\end{equation}
\\
für die drei Skalenparameter $a_d$, das in den neuen Variablen

\begin{equation}
  \label{eq:C.9}
  \si_1 = a_2 \, a_3 \quad , \quad \si_2 = a_3 \, a_1 \quad , \quad \si_3 = a_1 \, a_2
\end{equation}
\\
und mit der Verlaufsfunktion

\begin{equation}
  \label{eq:C.10}
  N = \fr{1}{2} \, \bA{ \si_1 \, \si_2 \, \si_3 }^{- 1/2}
\end{equation}
\\
leicht integriert werden kann: Die allgemeine Lösung von \re{C.8} lautet

\begin{equation}
  \label{eq:C.11}
  \si_1 ( \tau ) = \sqrt{\tau_0 + \tau} \quad , \quad
  \si_2 ( \tau ) = \sqrt{\tau_0 - \tau} \quad , \quad
  \si_3 ( \tau ) \equiv \si_3 = const. \ ,
\end{equation}
\\
wobei als Integrationskonstanten die Parameter $\tau_0 > 0$ und $\si_3 \geq 0$ auftreten.
Die dritte Integrationsvariable in \re{C.8} wurde über die spezielle Forderung

\begin{equation}
  \label{eq:C.11+}
  \si_1 (0) \eex \si_2 (0)
\end{equation}
\\
in einer entsprechenden Wahl des Zeitnullpunkts $\tau = 0$ absorbiert.
 
Um nun zu zeigen, daß die über die Lösung \re{C.11} beschriebenen 4-Geometrien
\emph{nicht} flach sind, genügt es nicht, etwa die Skalarkrümmung $\Rt$ oder den
vierdimensionalen Einsteintensor zu berechnen, denn diese Größen verschwinden
aufgrund  der vierdimensionalen Einsteingleichungen für $\La = 0$ im
semiklassischen Limes $\mi$ identisch. Im folgenden müssen wir  deshalb nichttriviale
Komponenten des vierdimensionalen Riemanntensors, wie zum Beispiel die
Größen $\Rt^{0 i} \,\!_{0 j}$, diskutieren. Für die Wahl 
$N^i = 0$ des Verschiebungsvektors liefern die Gauß- und Codazzi-Gleichungen
\cite{Rasch} hierfür 

\begin{equation}
  \label{eq:C.12}
  \Rt^{0 i} \,\!_{0 j} = - \frac{1}{N} \, \dot K^{i}_{\ j} + K^i_{\ k} \, K^k_{\ j} \ ,
\end{equation}
\\
wobei $K^i_{\ j}$ die Komponenten des extrinsischen Krümmungstensors gemäß
\re{2.5} bezeichnet. Unter Verwendung der anholonomen Basis $\vi_a$ gemäß 
\re{C.2} können
wir die räumlichen Indizes in \re{C.12} auch in Triadenindizes konvertieren, und
anstelle von \re{C.12} die Größen

\begin{equation}
  \label{eq:C.13}
  \Rt^0\,\!_{a  0  b} \equiv \im_{i a} \, \im^{\, j}\,\!_{b} \, \Rt^{0 i} \,\!_{0 j} =: \cR_{a b}
\end{equation}
\\
untersuchen. Für diese speziellen Komponenten des Riemanntensors liefert
die Triade $\vi_a$ aus \re{C.2} eine \emph{diagonale}
Matrix $( \cR_{a b} )$ mit den Diagonalelementen

\begin{equation}
  \label{eq:C.14}
  \cR_{d} = - \frac{1}{N  a_d} \, \frac{\dd}{\dd \tau} \bA{ \frac{1}{N} \, 
  \frac{\dd a_d}{\dd \tau} } \quad , \quad d \in \{1,2,3 \} \ . 
\end{equation}
\\
Über die Evolutionsgleichungen \re{C.8} lassen sich die $\tau$-Ableitungen in \re{C.14}
explizit eliminieren, woraus beispielsweise für $\cR_{3}$ die Formel

\begin{equation}
  \label{eq:C.15}
  \cR_{3} = \frac{\si_1 \, \si_2 \, \si_3}{2} \bA{\frac{1}{\si_1^2}+\frac{1}{\si_2^2}}^2
\end{equation}
\\
resultiert, die weiterhin nach Einsetzen der allgemeinen Lösung \re{C.11} 
das einfache Resultat

\begin{equation}
  \label{eq:C.16}
  \cR_{3} = \si_3 \, \tau_0^2 \bA{\tau_0^2 - \tau^2}^{- 3/2} > 0 \ ,
\end{equation}
\\
liefert.
Wir haben somit eine Komponente des vierdimensionalen Riemanntensors gefunden,
die nirgendwo auf $\Mt$ verschwindet, und die 
an den zeitartigen Rändern $\tau \to \pm \tau_0$
von $\Mt$ sogar gegen Unendlich strebt. Die über die Lösungen \re{C.11} beschriebenen
semiklassischen 4-Metriken sind für $\si_3 \not= 0$ also \emph{nirgends} flach.

Ferner kann eine beliebige  Anfangs-3-Geometrie der Form \re{C.1} mit
$\tau = \hat \tau ,$\- $ |\hat  \tau | < \tau_0 \, ,$  
sowohl für $\tau > \hat \tau$, wie
auch für $\tau < \hat \tau$, \emph{nicht} 
durch eine kompakte 4-Geometrie aufgefüllt werden: 
An den zeitartigen Rändern 
$\tau \to \pm \tau_0$ von $\Mt$ entartet die räumliche 3-Metrik derart, daß der
vierdimensionale Riemanntensor gemäß \re{C.16} \emph{divergiert}, womit bei
$\tau \to \pm \tau_0$ nichttriviale Ränder der Riemannschen
4-Mannigfaltigkeit $( \Mt ,\bg )$ vorliegen.

Für Anfangs-3-Geometrien der Klasse \re{C.1} liefern die Lösungen der semiklassischen 
Evolutionsgleichung \re{4.81} also  4-Geometrien, die weder die Randbedingung
asymptotischer Flachheit, noch die von Hartle und Hawking vorgeschlagene
"`keine-Grenzen-Bedingung"' befriedigen. Es ist allerdings zu betonen, daß wir im
Rahmen dieses Anhangs nur die Evolution der \emph{invarianten} divergenzfreien
Triade studiert haben; prinzipiell ist es noch denkbar, daß andere, nichttriviale divergenzfreie
Triaden der 3-Metrik \re{C.1} existieren, deren zugeordnete 4-Geometrien eine
der beiden Randbedingungen erfüllen. 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Definition der Einstein-Triade}
\label{AnhD}
\kopf{Anhang D: Definition der Einstein-Triade}
\thispagestyle{empty}


Zur Definition der \emph{absoluten} Windungszahl einer 
Triade $\ve_a$ in Abschnitt \ref{Kap4.2.1} benötigen wir eine ausgezeichnete,
SO(3)-\emph{eichfixierte} Triade $\vg_a$ der Riemannschen Mannigfaltigkeit
$( \Mx , \hh )$, die in diesem Anhang eingeführt werden soll.
Hierzu betrachten wir das Eigenwertproblem des Einsteintensors,

\begin{equation}
  \label{eq:D.1}
  G^i \,\!_{j} \, v^j \eex \la \, v^i \ ,
\end{equation}
\\
das in einem gegebenen Koordinatensystem $\{ x^i \}$ analytisch lösbar ist. Die
drei Eigenfelder wollen wir im weiteren mit $\la_a (x) ,\, a \in \{1,2,3 \}\, ,$ die Komponenten
der drei Eigenvektoren mit $v^i \,\!_{a} (x)$ bezeichnen. Da das Gleichungssystem \re{D.1}
Diffeomorphismus-kovariant ist, sind die Eigenfelder $\la_a$ 
Skalarfelder, und die Eigenvektoren

\begin{equation}
  \label{eq:D.2}
  \vec v_a = v^i \,\!_{a} \, \pa_i
\end{equation}
\\
Vektorfelder auf der räumlichen Mannigfaltigkeit $\Mx$. Ferner ist bekannt, daß der
Einsteintensor bezüglich der 3-Metrik $\hh$ \emph{symmetrisch} ist, weshalb die
Eigenfelder $\la_a$ reell, und die Eigenvektoren $\vec v_a$ paarweise orthogonal sind:

\begin{equation}
  \label{eq:D.3}
  \vec v_a \cdot \vec v_b = 0 \qquad \mbox{für} \qquad a \not= b \ .
\end{equation}
\\
Die normierten Eigenvektoren

\begin{equation}
  \label{eq:D.4}
  \vg_a := \frac{\vec v_a}{| \vec v_a  |}
\end{equation}
\\
konstituieren deshalb eine spezielle, geometrisch ausgezeichnete \emph{Triade} zur
3-Metrik $\hh$, die wir als \emph{Einstein-Triade} bezeichnen wollen.\footnote{
Tatsächlich ergibt sich dieselbe Triade $\vg_a$ aus einer Diagonalisierung des Riccitensors
oder des Einsteintensors mit kosmologischem Term, allerdings mit anderen Eigenfeldern
$\la'_a$.}
Die Einstein-Triade $\vg_a$ ist über \re{D.4}, \re{D.1} praktisch eindeutig festgelegt -
für jedes der drei Vektorfelder $\vg_a$ bleibt lediglich ein globales Vorzeichen
unbestimmt, von dem aber die Definition \re{4.67} der absoluten Windungszahl 
einer Triade $\vec e_a$ nicht abhängt.

Für Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten ergibt sich ein besonders einfaches
Ergebnis für die Einstein-Triade $\vg_a$:
Entwickelt man in \re{D.1} den Einsteintensor und die gesuchten Eigenvektoren  $\vec v$
in der invarianten Triade $\vi_a$, so ergibt sich im Rahmen des in Anhang \ref{AnhB}
verwendeten Kalküls das Eigenwertproblem

\begin{equation}
  \label{eq:D.5}
  G_{a b} \, v_b = \la \, v_a
\end{equation}
\\
mit
\begin{equation}
  \label{eq:D.6}
  G_{a b}=m_{c a} \, m_{c b} - \fr{1}{4} \, m_{c c} \, m_{d d} \, \de_{a b}
  + \fr{1}{2} \, \ep_{a c d} \, \ep_{b f g} \, m_{c f} \, m_{d g} \ .
\end{equation}
\\
Hierbei bezeichnet $(m_{a b})$ wie in Anhang \ref{AnhB.1} die
räumlich konstante Strukturmatrix der invarianten Triade $\vi_a$. 
Damit sind die Komponenten
$G_{a b}$ des Einsteintensors gemäß \re{D.6}  ebenfalls 
räumlich konstant, und die Eigenvektoren $\vec v$ ergeben sich
als Linearkombinationen der invarianten Triadenvektoren $\vi_a$ mit \emph{ortsunabhängigen}
Entwicklungskoeffizienten $v_a$.\footnote{
Auch die Eigenfelder $\la$ sind im homogenen Fall offensichtlich räumlich konstant.} 
Normiert man diese Eigenvektoren auf die Länge Eins, so gilt offenbar

\begin{equation}
  \label{eq:D.7}
  \vg_a = \Om_{a b} \, \vi_b \ ,
\end{equation}
\\
wobei $\cOm$ eine \emph{globale} Drehmatrix ist. 

Für Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten unterscheidet sich die Ein\-stein-\-Tri\-ade von
einer invarianten Triade also höchstens um eine räumlich konstante Drehung, folglich kann
im homogenen Fall äquivalent auch die invariante Triade zur Berechnung
der absoluten Windungszahl \re{4.67} herangezogen werden.

Außerdem stimmt für homogene Bianchi A-Mannigfaltigkeiten die invariante Triade
mit der Einstein-Triade sogar exakt überein, 
falls die Strukturmatrix $(m_{a b})$ \emph{diagonal} gewählt ist, denn dann 
liegt auch der Einsteintensor
gemäß \re{D.6} automatisch in Diagonalform vor.



\end{appendix}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Literaturverzeichnis deklarieren und generieren


\newpage
\label{Literatur}
\kopf{Literaturverzeichnis}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\\[.5 cm] Literaturverzeichnis}

\begin{thebibliography}{99}
 \thispagestyle{empty}

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\end{thebibliography}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Danksagung

\newpage
\chapter*{Danksagung}
\kopf{Danksagung}
\thispagestyle{empty}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\\[0 cm] Danksagung}


Zum Abschluß dieser Arbeit möchte ich mich zu\-nächst sehr 
herzlich bei Herrn Prof.~Dr.~Dr. Robert
Graham für die freundliche und intensive Betreuung dieser Doktorarbeit bedanken.
In zahlreichen interessanten - und oftmals ungewöhnlich langen - per\-sön\-li\-chen
Ge\-sprä\-chen konnte er mir ganz wesentlich bei der Beantwortung vieler wichtiger
Fragen weiterhelfen.

Ferner gilt mein besonderer Dank Herrn Prof.~Dr.~Uwe Abresch von der 
Ruhr-\-Uni\-ver\-si\-tät Bochum, der sich unter starkem per\-sön\-li\-chen 
Engagement mit den
mathematischen Problemen dieser Arbeit auseinandergesetzt hat. Von ihm stammen die
wesentlichen Anregungen zu den Be\-weis\-füh\-run\-gen im Anhang \ref{AnhA};
weiterhin stand er für die Klä\-rung mathematischer Fragen aller Art stets zur Ver\-fü\-gung,
was zu einer intensiven Zusammenarbeit und vielen Diskussionen mit ihm 
ge\-führt hat.  

Ich danke auch Herrn Prof.~Dr.~Fritz Haake für seine freundliche Bereitschaft
zur Über\-nah\-me des zweiten Gutachtens, wodurch mir einige per\-sön\-li\-che 
Unannehmlichkeiten erspart geblieben sind.

Mein formeller Dank gilt weiterhin der Deutschen Forschungsgemeinschaft für die
finanzielle För\-de\-rung des Projekts "`Quantenfluktuationen der Gravitation"' 
über den Sonderforschungsbereich "`Unordnung und große Fluktuationen"', in dessen
Rahmen diese Dissertation entstanden ist.

Schließlich danke ich Herrn Stefan Köster für die freundliche Leihgabe seines Laptops,
und Herrn Marian Kelc, der mir bei der Lö\-sung zahlreicher Softwareprobleme geholfen
hat.

\vspace{.5 cm}

\begin{center}
 $\underline{\mbox{\hspace{5 cm}}}$
\end{center}

\vspace{.5 cm}

\noindent
Diese Doktorarbeit entstand unter schwierigen gesundheitlichen und per\-sön\-lichen
Um\-stän\-den. Mein ausgesprochener Dank gilt in dieser Hinsicht dem Ärz\-te\-team des
St.~Aga\-tha-\-Kran\-ken\-hau\-ses in Köln-\-Niehl um Frau Dr.~Kü\-te\-mey\-er, 
hierbei insbesondere
Frau Dr.~Klü\-wer,  sowie meiner Hippotherapeutin Frau Dr.~Sachs.

Auch an dieser Stelle sei nochmals meinem Doktorvater
Robert Graham gedankt, 
der stets ein bemerkenswertes Ver\-ständ\-nis und viel Geduld
für meine per\-sön\-li\-che Situation
zeigen konnte, und mir einen un\-ge\-wöhn\-li\-chen Arbeitsfreiraum zur 
Ver\-fü\-gung gestellt
hat. Nur durch sein per\-sön\-li\-ches Engagement konnte ich diese Arbeit zu Ende füh\-ren.

Desweiteren bin ich Frau Ira Terwyen sehr dankbar,
die mir in vielerlei Hinsicht sehr geholfen hat.  
  
Abschließend danke ich von Herzen meiner Schwe\-ster Sabrina und
meinen Eltern für ihr Ver\-ständ\-nis und ihre mentale Un\-ter\-stüt\-zung in 
einer harten Zeit.

 
\end{document}

