Triadendarstellung des Chern-Simons-Zustands der

Quantengravitation

Dissertation

von Robert Paternoga

zum Erlangen des Doktorgrades Dr. rer. nat.

Erster Gutachter: Prof. Dr. Dr. Robert Graham Zweiter Gutachter: Prof. Dr. Fritz Haake Dritter Gutachter: Prof. Dr. Claus Kiefer^{∗}

Disputation am 20.04.2000

Vorgelegt dem Fachbereich Physik

der Universität-GH Essen Dezember 1999

∗ Universität Freiburg i. Br.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 4

2 Klassische Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie 10 2.1 Hamiltonsche Formulierung in metrischer Darstellung . . . . . . . 10 2.2 Triadendarstellung der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Ashtekarvariablen und Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Vereinheitlichte Beschreibung von Gravitations- und Yang-Mills-

Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Kanonische Quantisierung der Gravitation 27 3.1 Operatoren und Algebra der Zwangsbedingungen . . . . . . . . . 28 3.2 Die quantisierte Einstein-Yang-Mills-Theorie . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Inneres Produkt, Hermitezität und Eichfixierung . . . . . . . . . . 32 3.4 Der Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation . . . . . . . . 35

4 Asymptotische Entwicklungen des Chern-Simons-Zustands 39 4.1 Der semiklassische Limes μ → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2 Der Limes κ → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 Große Eichtransformationen und die Cartan-Maurer-Inva-

riante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.2 Der homogene Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.3 Semiklassische 4-Geometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 Der Limes κ → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.1 Der homogene Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.2 Semiklassische 4-Geometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5 Zur Normierbarkeit des Chern-Simons-Zustands 70

6 Zusammenfassung und Diskussion 74

Mathematischer Anhang 83

A Zur Lösbarkeit der Sattelpunktsgleichung 84 A.1 Lösbarkeitsaussagen für die Sattelpunktsgleichung . . . . . . . . . 84 A.2 Divergenzfreie Triaden von Riemannschen 3-Mannigfaltigkeiten . . 97

B Der Chern-Simons-Zustand auf homogenen Mannigfaltigkeiten 103 B.1 Homogene 3-Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 B.2 Der Chern-Simons-Zustand im Grenzfall κ → ∞ . . . . . . . . . 106 B.3 Der Chern-Simons-Zustand im Grenzfall κ → 0 . . . . . . . . . . 107

B.3.1 Divergenzfreie Triaden der 3-Sphäre . . . . . . . . . . . . . 108 B.3.2 Divergenzfreie Triaden von Bianchi IX-Metriken . . . . . . 114

C Nicht-flache 4-Geometrien im Limes κ → 0 118

D Definition der Einstein-Triade 122

Literaturverzeichnis 124

Danksagung 127

Kapitel 1

Einleitung

Eine konsistente Formulierung der Quantengravitation gilt seit nunmehr fast vier Jahrzehnten als eines der fundamentalsten Probleme der theoretischen Physik. Im Laufe der Zeit haben sich hierbei im wesentlichen zwei verschiedene Zugänge zur Quantisierung der Gravitation etabliert, die heute weitgehend unabhängig voneinander existieren: Zum einen gibt es die String- und Superstringtheorien [1, 2], die allerdings mit einem drastischen Umbruch des physikalischen Weltbildes verbunden sind - zum anderen besteht eine wichtige, vergleichsweise konservative Idee in einer kanonischen Quantisierung der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Erste Ansätze zur kanonischen Quantisierung der Gravitation enstanden Anfang der sechziger Jahre [3, 4], wobei ursprünglich die metrische Darstellung der klassischen Einsteinschen Relativitätstheorie als Ausgangspunkt diente. Diese naheliegende Darstellung, in der die Komponenten der 3-Metrik raumartiger Hyperflächen konstanter Zeit als Konfigurationsraumvariablen fungierten, erwies sich jedoch bald als relativ ungünstig; insbesondere nahmen die Zwangsbedingungen der Gravitation in den metrischen Variablen eine komplizierte, nichtpolynomiale Form an, so daß sich eine explizite Angabe von Quantenzuständen als schwierig erwies.

Einen neuen Anstoß erhielt die kanonische Quantisierung der Gravitation vor gut einem Jahrzehnt über Ashtekars Entdeckung einer alternativen Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie [5, 6]. In dieser Ashtekar-Darstellung spielten komplexe Eichfelder einer lokalen Eichgruppe die Rolle der fundamentalen Variablen, womit die Gravitationstheorie eine bemerkenswerte Analogie zur Yang-Mills-Theorie aufwies [5]. Einige der aus der Yang-Mills-Theorie bekannten Ideen und Konzepte ließen sich deshalb unmittelbar auf die Gravitationstheorie übertragen, was viele neue Ergebnisse und Einsichten zur Folge hatte: So konnte beispielsweise die für die Yang-Mills-Theorie erst kurz zuvor entwickelte Loop-Darstellung [7] auch für die Allgemeine Relativitätstheorie formuliert werden [5, 8, 9]. Dies offenbarte einen überraschenden Zusammenhang zwischen der Gravitations- und der Knotentheorie [8, 10], denn Quantenzustände der Gravitation ergaben sich in der Loop-Darstellung als spezielle Knoteninvarianten geschlossener Kurven auf der räumlichen 3-Mannigfaltigkeit. Im Rahmen diskretisierter Modelle der Gravitation, der sogenannten Quanten-Spin-Netzwerke [11, 12], erhielt die Loop-Darstellung später sogar ein mathematisch rigoroses Fundament.

Die Entdeckung der Ashtekarvariablen lieferte weiterhin eine einfache, polynomiale Form für die Zwangsbedingungen der Quantengravitation, womit erstmals eine explizite Angabe exakter Quantenzustände möglich wurde. Insbesondere fand man den Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation [13, 14], dessen Loop-Darstellung in engem Zusammenhang mit der sogenannten Kauffman-Klammer stand [15]. Später konnten in Verbindung mit der Knotentheorie weitere, kompliziertere Wellenfunktionale des Gravitationsfeldes konstruiert werden [16, 17]; allerdings blieb der Chern-Simons-Zustand die einzige Lösung der quantisierten Einsteingleichungen mit einem wohldefinierten semiklassischen Limes^{1} [17, 19], und wurde deshalb fortan viel diskutiert.

In den letzten Jahren hat die Untersuchung des Chern-Simons-Zustands in der Ashtekar-Darstellung jedoch zunehmend an Bedeutung verloren, unter anderem wohl nicht zuletzt deshalb, weil die physikalische Signifikanz dieses Wellenfunktionals in den komplex definierten Ashtekarvariablen nur schwierig einzuschätzen war: Zur physikalischen Interpretation mußten komplizierte Realitätsbedingungen implementiert werden, was sich auf quantenmechanischem Niveau als äußerst schwierig erwies.

Zwar wurden in der Vergangenheit auch reelle Alternativen zur komplexen Ashtekartheorie diskutiert [20, 21], deren Existenz im wesentlichen darauf zurückzuführen war, daß in der Definition des gravitativen Eichfeldes ein von Immirzi [22] gefundener Parameter noch frei gewählt werden konnte - allerdings ergaben sich für nichttriviale Wahlen dieses Parameters sehr viel kompliziertere Zwangsbedingungen der Quantengravitation [20], für die der Chern-Simons-Zustand keine Lösung mehr darstellte.

Eine vergleichsweise naheliegende Möglichkeit, das Problem der Realitätsbedingungen in der Ashtekartheorie zu umgehen, fand hingegen bis heute kaum Beachtung: Gelingt es, den Chern-Simons-Zustand in der Ashtekar-Darstellung über eine geeignete Transformation in die metrische Darstellung zu überführen, so vereinfacht dies die semiklassische Interpretation des Wellenfunktionals erheblich, denn die physikalische Bedeutung der metrischen Variablen ist offensichtlich.

1Diese Aussage gilt strenggenommen nur für eine nichttriviale kosmologische Konstante:

Der semiklassische Chern-Simons-Zustand im Fall verschwindender kosmologischer Konstante wurde von Ezawa untersucht, wobei sich herausstellte, daß die über diesen Zustand beschriebenen semiklassischen Raumzeit-4-Mannigfaltigkeiten im allgemeinen verschiedene Pathologien aufweisen [18].

Ferner bietet die metrische Darstellung auch zur Aufklärung der Hilbertraumstruktur der Quantengravitation einen sehr viel günstigeren Ausgangspunkt als die komplexe Ashtekar-Darstellung.

Es ist deshalb durchaus interessant, sich mit der Frage zu beschäftigen, wie die Ashtekar- und die metrische Darstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie explizit zusammenhängen, und welche Form der Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation in den metrischen Variablen annimmt.

Mit diesem nichttrivialen Problem haben wir uns bereits in früheren Arbeiten beschäftigt [23, 24, 25], wobei es zweckmäßig war, sich zunächst auf einfache, endlichdimensionale Modelle des Universums zu beschränken. Hierzu haben wir in [23, 24, 25] konkret Raumzeit-4-Mannigfaltigkeiten betrachtet, für welche die raumartigen Hyperflächen konstanter Zeit homogene 3-Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ IX waren.^{2}

Für solche homogenen Modelle konnte der Zusammenhang zwischen der Ashtekar- und der metrischen Darstellung der Gravitationstheorie sowohl klassisch, wie auch quantenmechanisch aufgeklärt werden. Als Zwischenstufe spielte hierbei die mit der metrischen Darstellung unmittelbar verwandte Triadendarstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie eine wesentliche Rolle: Die Triadenfelder der räumlichen 3-Mannigfaltigkeit zeigten kanonische Vertauschungsrelationen mit den komplexen Ashtekarvariablen, so daß sich der wesentliche, nichttriviale Transformationsschritt des Darstellungswechsels über eine mehrdimensionale Fouriertransformation ergab, die entlang komplex verallgemeinerter Integrationsmannigfaltigkeiten auszuführen war. Verschiedene, topologisch inäquivalente Wahlen dieser Integrationskonturen lieferten für das Bianchi IX-Modell mit kosmologischem Term linear unabhängige Quantenzustände in der Triadendarstellung, die alle durch Rücktransformation ein und desselben Chern-Simons-Zustands in der Ashtekar-Darstellung hervorgingen.

Es konnte gezeigt werden, daß diese Wellenfunktionen unterschiedliche, für den Quantenzustand des Universums vorgeschlagene Randbedingungen erfüllten: Insbesondere fanden wir einen Zustand, der die ”keine-Grenzen-Bedingung“ von Hartle und Hawking [26, 27, 28] befriedigte, eine weitere Lösung entsprach der Vilenkinschen Vorstellung [29, 30] von der Wellenfunktion des Universums.

Aus diesen Resultaten für das homogene Bianchi IX-Modell ergab sich nun die naheliegende Vermutung, daß auch für die volle, inhomogene Quantengravitation der aus der Ashtekartheorie bekannte Chern-Simons-Zustand mit Hilfe analoger Methoden in die Triadendarstellung überführbar sein sollte - die ausführliche Untersuchung und Diskussion dieser Problemstellung wird der wesentliche Gegenstand der vorliegenden Arbeit sein.

2Homogene 3-Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ IX sind kompakt und besitzen eine triviale Topologie. Im isotropen Grenzfall gehen sie gerade in die maximalsymmetrische 3-Sphäre über, die Klasse der Bianchi IX-Mannigfaltigkeiten enthält aber auch anisotrope Verallgemeinerungen der 3-Sphäre.

Wir werden uns hierzu mit einem sehr allgemein gehaltenen Modell des Universums beschäftigen, in dem die über die Allgemeine Relativitätstheorie bestimmte Raumzeit-4-Mannigfaltigkeit raumartige, dreidimensionale Hyperflächen konstanter Zeit besitzt, für welche im weiteren keine besonderen Symmetrien angenommen werden sollen. Aus technischen Gründen wird es aber angebracht sein, sich auf unberandete, kompakte räumliche 3-Mannigfaltigkeiten zu beschränken. In einfachster Verallgemeinerung des homogenen Bianchi IX-Modells mag man sich hierunter beispielsweise eine deformierte Sphäre mit trivialer Topologie vorstellen:

Abbildung 1.1: Kompakte, inhomogene Riemannsche Mannigfaltigkeit mit trivialer Topologie.

Die dieser Arbeit zugrunde liegende Theorie wird aber auch räumliche Mannigfaltigkeiten mit nichttrivialer Topologie berücksichtigen, wie zum Beispiel eine dreidimensionale Verallgemeinerung des in Abbildung 1.2 dargestellten deformierten 2-Torus.

Den Einfluß weiterer Materiefelder auf die Raumzeit-4-Mannigfaltigkeit werden wir in unserem Modell zwar nicht mit einbeziehen können, dafür soll aber die Möglichkeit eines kosmologischen Terms in Betracht gezogen werden, was aktuellen kosmologischen Meßdaten zufolge als plausibler Ansatz erscheint: Nach neueren Erkenntnissen ist die kosmologische Konstante nicht nur von Null verschieden - sie bestimmt sogar etwa zwei Drittel der Energiedichte unseres Universums [31, 32].

Abbildung 1.2: Kompakte, inhomogene Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichttrivialer Topologie.

Im Rahmen des hier skizzierten Modells werden wir uns in Kapitel 2 zunächst auf klassischem Niveau der Frage zuwenden, wie die Triadendarstellung und die Ashtekar-Darstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie explizit zusammenhängen. Dabei wird in Anlehnung an die historische Entwicklung die metrische Darstellung der Einsteinschen Gravitationstheorie den Ausgangspunkt unserer Untersuchungen bilden. In den Abschnitten 2.2 und 2.3 werden wir nacheinander die Triadendarstellung und die Ashtekar-Darstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie einführen, wobei wir die komplexen Ashtekareichfelder weniger als fundamentale Variablen des Darstellungsraums, sondern vielmehr als nützliche mathematische Hilfsgrößen verstehen wollen. Über einen Vergleich zwischen der Gravitationstheorie und der Yang-Mills-Theorie soll desweiteren die eichtheoretische Bedeutung der Ashtekarvariablen besonders betont werden, denn diese wird im weiteren Verlauf der Arbeit noch eine wichtige Rolle spielen.

Den wesentlichen Gegenstand des dritten Kapitels wird eine kanonische Quantisierung der Gravitation in der Triadendarstellung bilden. Hier soll unter anderem die Algebra der Zwangsoperatoren der Quantengravitation, wie auch ihre Verallgemeinerung auf eine quantisierte Einstein-Yang-Mills-Theorie untersucht werden. In Abschnitt 3.3 definieren wir ein eichfixiertes, inneres Produkt auf dem Raum der Wellenfunktionale, und in Abschnitt 3.4 interessiert uns dann besonders der quantenmechanische Zusammenhang zwischen der Triadendarstellung und der Ashtekar-Darstellung der Gravitationstheorie; dieser wird uns anschließend erlauben, den Chern-Simons-Zustand in der Triadendarstellung über ein komplexes Funktionalintegral auszudrücken.

Die semiklassische Entwicklung und Interpretation des Chern-Simons-Zustands in der Triadendarstellung steht dann im Mittelpunkt des vierten Kapitels. Mit Hilfe der Laplaceschen Sattelpunktsmethode werden wir das komplexe Funktionalintegral in verschiedenen asymptotischen Bereichen entwickeln, und die semiklassischen 4-Geometrien diskutieren, die über das Chern-Simons-Wellenfunk-tional beschrieben werden. Ferner soll der Chern-Simons-Zustand in Restriktion auf homogene 3-Mannigfaltigkeiten ausgewertet, und das Resultat mit früheren Ergebnissen aus der Untersuchung homogener Modelle verglichen werden. In einem eigenständigen Abschnitt wird uns weiterhin das nichttriviale Verhalten des Chern-Simons-Zustands unter großen Eichtransformationen der Triade interessieren.

In Kapitel 5 werden wir unter Verwendung des in Abschnitt 3.3 entwickelten physikalischen inneren Produkts die Normierbarkeit des Chern-Simons-Zustands untersuchen.

Schließlich sollen im sechsten und letzten Kapitel die erhaltenen Ergebnisse diskutiert und zusammengefaßt werden, wobei wir auch die Verbindung zu aktuellen kosmologischen Meßdaten darlegen wollen.

Verschiedene mathematische und technische Probleme, die sich im Verlauf dieser Arbeit ergeben, werden in vier separaten Anhängen behandelt. Von besonderer Wichtigkeit sind hierbei die Resultate aus Anhang A, die im Nachhinein die Konsistenz der Entwicklungen in Kapitel 4 belegen. Weiterhin werden wir uns im Anhang B etwas ausführlicher mit der Auswertung des Chern-Simons-Zustands auf homogenen 3-Mannigfaltigkeiten beschäftigen, und in den Anhängen C und D kurz einige technische Details diskutieren, die aus dem Hauptteil der Arbeit ausgelagert worden sind.

Klassische Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie

In diesem Kapitel wollen wir zunächst eine klassische, Hamiltonsche Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie diskutieren, die später in Kapitel 3 den Ausgangspunkt einer kanonischen Quantisierung der Gravitation bilden wird. Hierbei sollen vor allem die in dieser Arbeit verwendeten Vorzeichen- und Notationskonventionen eingeführt werden, ein weiteres Ziel dieses Kapitels wird aber auch in der Aufklärung des expliziten Zusammenhangs zwischen der metrischen Darstellung und der Ashtekardarstellung der Gravitationstheorie bestehen. Ferner werden wir die Ashtekartheorie der Gravitation unter eichtheoretischen Gesichtspunkten mit der Yang-Mills-Theorie äußerer Eichfelder vergleichen.

2.1 Hamiltonsche Formulierung in metrischer Darstellung

Die klassische Allgemeine Relativitätstheorie läßt sich über ein Variationsprinzip aus dem Wirkungsfunktional [33, 34]

S = \frac{1}{γ} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} dt ∫_{M_{3}}d^{3}x N\sqrt{h} (^{4}R − 2Λ) + \frac{2}{γ} ∫_{M_{3}}d^{3}x \sqrt{h} K |_{t_{1}}^{t_{2}}  (2.1)

ableiten, wobei γ := 16πG die Newtonsche Gravitationskonstante G enthält, und M_{3}(t) eine Schar räumlicher 3-Mannigfaltigkeiten bezeichnet, die man nach zeitartiger Foliation der Raumzeit-4-Mannigfaltigkeit M_{4} als Hyperflächen konstanter Zeit t erhält. Wir werden annehmen, daß die räumlichen Hyperflächen M_{3}(t) unberandet und kompakt sind; ferner seien sie mit positiv definiten 3-Metriken h(t) belegt, die bezüglich eines beliebig gewählten Koordinatensystems {x^{i}} in der Form^{1}

h(t) = h_{ij}(x, t) dx^{i} ⊗ dx^{j}  (2.2)

dargestellt werden können. Hierzu erhält man das positive Volumenelement der Riemannschen 3-Mannigfaltigkeiten (M_{3}, h) als^{2}

dV = \sqrt{h} d^{3}x > 0 mit h := det(h_{ij}) > 0 .  (2.3)

Die 3-Metriken h hängen über die nach Arnowitt, Deser und Misner benannte ADM-Aufspaltung [3],

g = g_{μν} dx^{μ} ⊗ dx^{ν} = −N^{2}dt ⊗ dt + h_{ij} (dx^{i} + N^{i}dt) ⊗ (dx^{j} + N^{j}dt) , (2.4)

mit der 4-Metrik g zusammen, wobei der 3-Skalar N auch Verlaufsfunktion, und der 3-Vektor N⃗ = N^{i}∂_{i} Verschiebungsvektor heißen. Für t_{2} > t_{1} sei N > 0 gewählt, so daß das Volumen der 4-Mannigfaltigkeit

∫_{t_{1}}^{t_{2}} dt ∫_{M_{3}}d^{3}x N \sqrt{h}  (2.5)

positiv ist. Die Größe ^{4}R in (2.1) ist der vierdimensionale Krümmungsskalar nach Vorzeichenkonvention von Misner, Thorne und Wheeler [33], und Λ bezeichnet eine mögliche kosmologische Konstante. Den 3-Skalar K im Oberflächenterm von (2.1) erhält man durch Verjüngung des extrinsischen Krümmungstensors

K_{ij} = \frac{1}{2N} (∇_{i}N_{j} + ∇_{j}N_{i} − ḣ_{ij})  (2.6)

mit der inversen 3-Metrik h^{ij}, wobei ∇_{i} die Riemannsche, kovariante Ableitung bezüglich der 3-Metrik h bedeutet, und räumliche Indizes i, j, … mit Hilfe von h^{ij}, h_{ij} erhöht und erniedrigt werden.

1Hierbei bezeichnet d das äußere Differential. Da die Koordinaten x^{i} Skalare sind, bilden ihre äußeren Differentiale dx^{i} eine Basis der 1-Formen auf M_{3}, so daß kovariante Tensoren höherer Stufe wie zum Beispiel h nach Tensorprodukten dieser Basis-1-Formen entwickelt werden können. Im Gegensatz zu dx^{i} wird dx^{i} einfach eine differentielle, skalare Änderung der Koordinaten x^{i} bezeichnen.

2Wegen \sqrt{h} > 0 ist d^{3}x hier und im folgenden eine positive, orientierte skalare Dichte vom Gewicht −1, die sich unter Koordinatentransformationen mit dem Betrag der Jacobideterminante des Koordinatenwechsels transformiert.

Der extrinsische Krümmungstensor (2.6) beschreibt die Einbettung der räumlichen 3-Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) in die Raumzeit-4-Mannigfaltigkeit (M_{4}, g). Mit Hilfe der Gauß- und Codazzigleichungen [35] läßt sich der Krümmungsskalar ^{4}R der Raumzeit auch über den Krümmungsskalar R von (M_{3}, h) und die extrinsische Krümmung K_{ij} ausdrücken. Dies liefert für die Wirkung (2.1) den Ausdruck

S = \frac{1}{γ} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} dt ∫_{M_{3}}d^{3}x N [K_{ij} G̃^{ijkℓ} K_{kℓ} + \sqrt{h} (R − 2Λ)] =: ∫_{t_{1}}^{t_{2}} dt L ,  (2.7)

wobei sich der Oberflächenterm in (2.1) vollständig weghebt, und aus (2.7) nun unmittelbar ein Lagrangefunktional L abgelesen werden kann. Die Größe^{3}

G̃^{ijkℓ} = \frac{\sqrt{h}}{2} (h^{ik}h^{jℓ} + h^{iℓ}h^{jk} − 2 h^{ij}h^{kℓ})  (2.8)

definiert eine Metrik auf dem von den Feldern h_{ij} aufgespannten Konfigurationsraum und heißt auch Supermetrik. Variiert man die Wirkung S nach N, N^{i} und h_{ij}, wobei die Felder h_{ij} an den zeitartigen Rändern von M_{4} festzuhalten sind, so ergeben sich zehn Gleichungen, die völlig äquivalent zu den zehn Einsteingleichungen der Gravitation sind. Das Lagrangefunktional gemäß (2.7) liefert somit eine zur klassischen Einsteinschen Relativitätstheorie gleichwertige Beschreibung des Gravitationsfeldes.

Über eine Legendretransformation bezüglich ḣ_{ij} gelangt man zum Hamiltonfunktional der Gravitation, das ein Funktional der Konfigurationsraumvariablen h_{ij} und der kanonisch konjugierten Impulse

π̃^{ij} := \frac{δL}{δḣ_{ij}} = −\frac{1}{γ} G̃^{ijkℓ} K_{kℓ}  (2.9)

ist. Die Impulse π̃^{ij} sind die Komponenten einer symmetrischen, orientierten Tensordichte vom Gewicht +1. Für das Hamiltonfunktional ergibt sich explizit

3Hier und im folgenden bezeichnen wir Tensordichten von positivem Gewicht +1 mit einer oberen Tilde, und entsprechend Tensordichten vom Gewicht −1 mit einer unteren Tilde. Sämtliche auftretende Tensordichten sind orientiert, transformieren sich also mit dem Betrag der Jacobideterminante des Koordinatenwechsels.

H = ∫_{M_{3}}d^{3}x (NH̃_{0}^{ADM} + N_{i} H̃^{i})  (2.10)

mit

H̃_{0}^{ADM} = γ · π̃^{ij}G̃_{ijkℓ} π̃^{kℓ} + \frac{\sqrt{h}}{γ} (2Λ − R) ,  (2.11)

H̃^{i} = −2 ∇_{j}π̃^{ij} .  (2.12)

Hierbei ist G̃_{ijkℓ} in (2.11) die zu (2.8) inverse Supermetrik,

G̃_{ijkℓ} = \frac{1}{2\sqrt{h}} (h_{ik}h_{jℓ} + h_{iℓ}h_{jk} − h_{ij}h_{kℓ}) ,  (2.13)

G̃_{ijkℓ} G̃^{kℓmn} = \frac{1}{2} (δ_{i}^{m}δ_{j}^{n} + δ_{i}^{n}δ_{j}^{m}) .  (2.14)

Die Felder N und N_{i} sind keine dynamischen Variablen, da das Lagrangefunktional gemäß (2.7) unabhängig von Ṅ, Ṅ_{i} ist. Sie spielen stattdessen die Rolle von Lagrangeschen Multiplikatoren: Über die Lagrangeschen Gleichungen bezüglich N und N_{i} folgen die vier Zwangsbedingungen

−\frac{δL}{δN} = \frac{δH}{δN} = H̃_{0}^{ADM} ! = 0 ,  (2.15)

−\frac{δL}{δN_{i}} = \frac{δH}{δN_{i}} = H̃^{i} ! = 0 .  (2.16)

Die erste dieser Gleichungen nennt man Hamiltonsche Zwangsbedingung, die drei Gleichungen (2.16) heißen Diffeomorphismus-Zwangsbedingungen; alle vier Gleichungen zusammen implizieren die Invarianz des Hamiltonschen Systems (2.10) unter zeitlichen und räumlichen Koordinatentransformationen auf der Raumzeit-4-Mannigfaltigkeit M_{4}.

Die dynamischen Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie erhält man als Hamiltonsche Gleichungen bezüglich h_{ij} und π̃^{ij},

ḣ_{ij} = −{H, h_{ij}} , ˙ π̃^{ij} = −{H, π̃^{ij}} ,  (2.17)

mit der kanonischen Poisson-Klammer^{4}

\{h_{ij}(x), π̃^{kℓ}(y)\} = \frac{1}{2} (δ_{i}^{k}δ_{j}^{ℓ} + δ_{i}^{ℓ}δ_{j}^{k}) δ^{3}(x − y) .  (2.18)

Das Hamiltonfunktional (2.10) mit symplektischer Struktur (2.18) ist formal völlig äquivalent zur Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie und bietet einen guten Ausgangspunkt zur kanonischen Quantisierung der Gravitation. In den letzten Jahren hat sich jedoch gezeigt, daß es zur Quantisierung günstiger ist, von der hier formulierten metrischen Darstellung der Gravitation zu einer Triadendarstellung überzugehen, was im nächsten Abschnitt geschehen soll.

2.2 Triadendarstellung der Gravitation

Wir wollen nun das Hamiltonsche System (2.10) auf einen erweiterten Phasenraum umschreiben, der anschließend über geeignete Zwangsbedingungen wieder einzuschränken ist. Dies mag zunächst als unnötige Verkomplizierung der Theorie erscheinen, wird aber unter anderem den Vorteil haben, daß die resultierenden neuen Konfigurationsraumvariablen über einen unbeschränkten Fundamentalbereich variieren dürfen, was bei der im letzten Abschnitt diskutierten metrischen Darstellung nicht der Fall ist: Die Komponenten h_{ij} des metrischen Tensors h müssen eine positive, symmetrische Matrix bilden.

Anstelle der 3-Metrik h seien nun drei verschiedene, bezüglich h orthonormale Triaden-1-Formen e_{a} = e_{ia} dx^{i} mit a ∈ {1, 2, 3} betrachtet, die also

e_{ia} h^{ij} e_{jb} ≡ e_{ia} e^{i}_{b} ! = δ_{ab}  (2.19)

erfüllen sollen. Dann läßt sich umgekehrt die 3-Metrik mit Hilfe der Triaden-1-Formen über

h = e_{a} ⊗ e_{a} ⇔ h_{ij} = e_{ia} e_{ja}  (2.20)

darstellen, wobei für beliebige, lokal linear unabhängige^{5} 1-Formen e_{a} die Symmetrie und Positivität von (h_{ij}) sichergestellt ist.

4Hierbei ist δ^{3}(x) die orientierte Deltafunktion auf M_{3} mit ∫ d^{3}x δ^{3}(x) = +1. Da sich d^{3}x wie eine positive, orientierte Dichte vom Gewicht −1 unter Koordinatenwechseln transformiert, muß δ^{3}(x) eine positive, orientierte skalare Dichte vom Gewicht +1 sein.

5Linear abhängige Felder e_{a}, die entartete 3-Metriken h beschreiben, werden wir immer nur als Grenzfall linear unabhängiger Triaden diskutieren.

Die kontravarianten Komponenten der Triadenvektoren e⃗_{a} = e^{i}_{a} ∂_{i} wurden in Gleichung (2.19) bereits implizit eingeführt, von besonderer Bedeutung werden desweiteren die Komponenten

ẽ^{i}_{a} = \sqrt{h} · e^{i}_{a}  (2.21)

der dichtegewichteten Triadenvektoren sein. Sämtliche Beschreibungen der Triade lassen sich äquivalent ineinander umrechnen. Die geometrische Bedeutung der Triadenfelder e⃗_{a} einer Riemannschen 3-Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) zeigt die Abbildung 2.1.

P  e⃗_{2}  e⃗_{1}  (M_{3}, h)

Abbildung 2.1: Geometrische Bedeutung der Triadenfelder e⃗_{a} einer Riemannschen 3-Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) am Punkt P. Aus darstellungstechnischen Gründen kann hier nur das lokale, orthonormale Zweibein einer Riemannschen 2-Mannigfaltigkeit gezeigt werden. Offensichtlich sind die Vektorfelder e⃗_{a} an jedem Punkt P nur bis auf eine beliebige, räumliche Drehung festgelegt.

Betrachten wir nun den von den Felder ẽ^{i}_{a} aufgespannten Konfigurationsraum, so läßt sich dieser formal zu einem abstrakten Phasenraum fortsetzen, indem wir zu ẽ^{i}_{a} kanonisch konjugierte Impulse p_{ia} mit der Poisson-Klammer

{ẽ^{i}_{a}(x), p_{jb}(y)} = δ_{j}^{i} δ_{ab} δ^{3}(x − y)  (2.22)

einführen. Die Impulse p_{ia} sind dann 1-Formen auf M_{3}. Mit Hilfe der Identifizierungen

h · h^{ij} = ẽ^{i}_{a} ẽ^{j}_{a} , K_{ij} = \frac{γ}{2} e_{ja} p_{ia}  (2.23)

und (2.9) läßt sich die metrische, symplektische Algebra (2.18) auch auf dem von ẽ^{i}_{a}, p_{ia} aufgespannten Phasenraum mit symplektischer Struktur (2.22) darstellen, wenn man sich auf die Zwangsfläche

J̃_{a} := ε_{abc} ẽ^{i}_{b} p_{ic} ! = 0  (2.24)

einschränkt, auf der K_{ij} und π̃^{ij} symmetrische Felder sind. Hierbei bezeichnet ε_{abc} in (2.24) die Komponenten des O(3)-kovarianten Levi-Cevitta-Tensors. Mißt ε(e_{a}) ∈ {±1} die Orientierung der Triade e_{a}, so besteht der folgende Zusammenhang zwischen den Komponenten des Levi-Cevitta-Tensors und dem Levi-Cevitta-Symbol:^{6}

ε_{abc} = ε(e_{a}) · [abc] .  (2.25)

Die drei Zwangsbedingungen (2.24) wollen wir im folgenden Gauß-Bedingungen nennen. Sie beschreiben geometrisch die Invarianz der Theorie unter lokalen, räumlichen Drehungen der Triade e_{a}, die als zusätzliche Eichfreiheitsgrade in (2.20), (2.23) beim Übergang von der metrischen Darstellung zur Triadendarstellung auftreten. Der Ursprung dieser neuen Eichfreiheitsgrade ist auch aus der Abbildung 2.1 ersichtlich.

Genauer betrachtet sichern die Zwangsbedingungen (2.24) allerdings nur die Invarianz unter speziellen, SO(3)-Eichtransformationen der Triade, während Spiegelungen der Triade als gesonderte, diskrete Symmetrien zu behandeln sind. Hierzu ist es zweckmäßig, einen Paritätsoperator P zu definieren, der die fundamentalen Phasenraumvariablen ẽ^{i}_{a}, p_{ia} global in ihr negatives überführt. Die klassische Allgemeine Relativitätstheorie ist offensichtlich paritätsinvariant, was man in der metrischen Darstellung unmittelbar sieht. In der Triadendarstellung müssen wir deshalb die Paritätssymmetrie als separate Symmetrie fordern, was vor allem bei der Quantisierung der Theorie zu berücksichtigen sein wird.

Unter Verwendung der Gleichungen (2.9) und (2.23) lassen sich H̃_{0}^{ADM} und H̃_{i} aus (2.11), (2.12) nun auf die Triadendarstellung umrechnen, wenn wir gleichzeitig die Zwangsbedingung (2.24) fordern. Es ergibt sich

6Das Levi-Cevitta-Symbol [abc] ist vollständig antisymmetrisch in a, b, c definiert, und über [123] := +1 normiert. Wie [abc] verhalten sich auch die Komponenten ε_{abc} des Levi-Cevitta-Tensors bezüglich Variationen der Triade einfach wie Konstanten, da sich die Orientierung ε(e_{a})

unter infinitesimalen Störungen von e_{a} nicht ändern kann.

H̃_{0}^{ADM} = −\frac{γ}{4} ε̃^{ijk} ε_{abc} e_{ia} p_{jb} p_{kc} + \frac{\sqrt{h}}{γ} (2Λ − R) ,  (2.26)

H̃_{i} = ∂_{j}(ẽ^{j}_{a} p_{ia}) − ẽ^{j}_{a}∂_{i} p_{ja} ,  (2.27)

wobei Terme proportional zu J̃_{a} weggelassen wurden.^{7} In (2.26) erscheint hier zum ersten Mal die Größe

ε̃^{ijk} := \sqrt{h} ε_{abc} e^{i}_{a} e^{j}_{b} e^{k}_{c} ,  (2.28)

die eine in i, j, k vollständig antisymmetrische Tensordichte vom Gewicht +1 darstellt.^{8}

Zur expliziten Umrechnung auf die Triadendarstellung benötigt man in (2.26) noch den Krümmungsskalar R als Funktion der Triade. Hierzu ist es nützlich, den Riemannschen Spin-Zusammenhang

ω_{ia} := −\frac{1}{2} ε_{abc} e_{jb}∇_{i} e^{j}_{c}  (2.29)

als SO(3)-Eichfeld einzuführen, womit sich eine Riemannsche, SO(3)-kovariante Ableitung D_{i} definieren läßt, die für beliebige 3-Vektoren v⃗ = v^{i} ∂_{i} = v_{a} e⃗_{a} über

e_{ja}∇_{i} v^{j} = D_{i}v_{a} := ∂_{i}v_{a} + ε_{abc} ω_{ib} v_{c}  (2.30)

mit der Riemannschen kovarianten Ableitung ∇_{i} zusammenhängt. Mit Hilfe der SO(3)-kovarianten Krümmung von ω_{ia},

F_{ija} := ∂_{i}ω_{ja} − ∂_{j}ω_{ia} + ε_{abc} ω_{ib} ω_{jc} ,  (2.31)

ε̃_{ijk} := \frac{1}{\sqrt{h}} ε_{abc} e_{ia} e_{jb} e_{kc}

7Dies entspricht formal einer Umdefinition der Lagrangeschen Parameter Ω_{a} im Hamiltonfunktional (2.33), die aber ohnehin beliebig gewählt werden dürfen.

8Entsprechend definieren wir als antisymmetrische Tensordichte vom Gewicht −1. In einem fest vorgegebenen Koordinatensystem {x^{i}} gilt einfach ε̃^{ijk} = +[ijk] oder ε̃^{ijk} = −[ijk] mit dem Levi-Cevitta-Symbol [ijk], wobei sich das Vorzeichen unter Koordinatentransformationen mit negativer Jacobideterminante, nicht aber unter Paritätstransformationen P ändert. Die Größe ε̃^{ijk} ist also räumlich konstant und vertauscht deshalb mit räumlichen Ableitungen ∂_{i}.

erhält man dann für die Hamiltonsche Zwangsbedingung in der Triadendarstellung

H̃_{0}^{ADM} = −\frac{γ}{4} ε̃^{ijk}ε_{abc} e_{ia} p_{jb} p_{kc} + \frac{1}{γ} e_{ia} ε̃^{ijk}F_{jka} + \frac{2Λ}{γ} \sqrt{h} .  (2.32)

Das resultierende Hamiltonfunktional der Gravitation

H = ∫ d^{3}x (NH̃_{0}^{ADM} + N^{i}H̃_{i} + Ω_{a}J̃_{a})  (2.33)

mit symplektischer Struktur (2.22) und den Phasenraumfunktionalen H̃_{0}^{ADM}, H̃_{i} und J̃_{a} gemäß (2.32), (2.27) und (2.24) ist klassisch strikt äquivalent zur metrischen Darstellung (2.10), (2.18), wenn wir zusätzlich noch die Paritätsinvarianz der Theorie fordern.

Diese Triadendarstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie bietet bereits einen besseren Ausgangspunkt zur Quantisierung der Gravitation als die metrische Darstellung gemäß Abschnitt 2.1; eine noch günstigere Darstellung erhalten wir aber nach Einführung spezieller Hilfsfelder, der sogenannten Ashtekarvariablen.

2.3 Ashtekarvariablen und Eichtheorie

Betrachtet man die Hamiltonsche Zwangsbedingung (2.32) in Verbindung mit (2.31) genauer, so fällt auf, daß der kinetische Term und der nicht-Abelsche Beitrag vom Krümmungsterm strukturgleich sind. Man kann daher versuchen, diese beiden Terme einheitlich als nicht-Abelschen Beitrag eines neuen Eichfeldes A_{ia} zu erhalten, das wir als Linearkombination des Riemannschen Spin-Zusammenhangs ω_{ia} und der Impulse p_{ia} ansetzen wollen. Tatsächlich gibt es genau zwei Möglichkeiten der Definition eines solchen Eichfeldes:

A_{ia} = ω_{ia} ± \frac{iγ}{2} p_{ia} .  (2.34)

Die Felder A_{ia} heißen Ashtekarvariablen; sie wurden von Ashtekar [5, 6, 36] erstmals zur klassischen und quantenmechanischen Beschreibung der Gravitation verwendet.^{9}

9Auf die Bedeutung und Wahl des Vorzeichens in der Definition der Ashtekarvariablen (2.34)

werden wir später noch zu sprechen kommen. Zunächst wollen wir das Vorzeichen offen lassen und beide Möglichkeiten parallel diskutieren. Ein Doppelzeichen in den folgenden Gleichungen bezieht sich dann immer auf die Vorzeichenkonvention in (2.34).

Da sich A_{ia} unter SO(3)-Eichtransformationen inhomogen wie ein Eichfeld transformiert, können wir die SO(3)-kovariante Feldstärke

F_{ija} := ∂_{i}A_{ja} − ∂_{j}A_{ia} + ε_{abc} A_{ib} A_{jc}  (2.35)

definieren, mit der sich H̃_{0}^{ADM} aus (2.32) folgendermaßen schreiben läßt:

H̃_{0}^{ADM} = \frac{1}{γ} e_{ia} ε̃^{ijk}F_{jka} + \frac{2Λ}{γ} \sqrt{h} ∓ i ∂_{j} (e^{j}_{a}J̃_{a})

=: H̃_{0} ∓ i ∂_{j} (e^{j}_{a}J̃_{a}) .  (2.36)

Auch die Zwangsbedingungen H̃_{i} und J̃_{a} gemäß (2.27) und (2.24) lassen sich über

H̃_{i} = ±\frac{2i}{γ} [ ẽ^{j}_{a}∂_{i}A_{ja} − ẽ^{j}_{a}∂_{j}A_{ia} − A_{ia}∂_{j}ẽ^{j}_{a} ] ,  (2.37)

J̃_{a} = ±\frac{2i}{γ} D_{j}ẽ^{j}_{a} := ±\frac{2i}{γ} [ ∂_{j}ẽ^{j}_{a} + ε_{abc} A_{jb} ẽ^{j}_{c} ]  (2.38)

vollständig in den Ashtekarvariablen ausdrücken. Bemerkenswert ist ferner die Tatsache, daß die Ashtekarvariablen A_{ia} mit ẽ^{i}_{a} bis auf einen Vorfaktor ±\frac{iγ}{2} kanonische Vertauschungsrelationen erfüllen:

\{ẽ^{i}_{a}(x), A_{jb}(y)\} = ±\frac{iγ}{2} δ_{j}^{i} δ_{ab} δ^{3}(x − y) , \{A_{ia}(x), A_{jb}(y)\} = 0 . (2.39)

Während die erste Poisson-Klammer direkt aus der Definition (2.34) folgt, ist die Vetauschungseigenschaft der A_{ia} untereinander nichttrivial und die Konsequenz einer speziellen Darstellungsmöglichkeit des Riemannschen Spin-Zusammenhangs ω_{ia}:

ω_{ia} = \frac{δΦ}{δẽ^{i}_{a}}  mit Φ := −\frac{1}{2} ∫ d^{3}x ε̃^{ijk} e_{ia}∂_{j} e_{ka} .  (2.40)

Über (2.36), (2.37) und (2.38) läßt sich das Hamiltonfunktional der Gravitation (2.33) auch in den neuen Phasenraumvariablen ẽ^{i}_{a}, A_{ia} mit symplektischer Struktur (2.39) schreiben. Wir finden

H = ∫_{M_{3}}d^{3}x [ NH̃_{0} + N^{i}H̃_{i} + (Ω_{a} ± i e^{j}_{a}∂_{j}N) J̃_{a} ] ,  (2.41)

wobei die Variation von H nach den reellen Lagrange-Parametern N, N^{i} und Ω_{a} immer noch die Zwangsbedingungen

H̃_{0}^{ADM} ! = 0 , H̃_{i} ! = 0 , J̃_{a} ! = 0  (2.42)

liefert, die in Verbindung mit (2.36) desweiteren H̃_{0} = 0 implizieren. Das Hamiltonsche System (2.39), (2.41) mit H̃_{0}, H̃_{i}, J̃_{a} aus (2.36), (2.37), (2.38) ist klassisch streng äquivalent zur Allgemeinen Relativitätstheorie, obwohl die zu ẽ^{i}_{a} konjugierten Impulse A_{ia} und die Hamiltonsche Zwangsbedingung H̃_{0} nun komplex sind: Verwendet man (2.34), um sich zu ẽ^{i}_{a}, A_{ia} die Impulse p_{ia} zu beschaffen, so liefert (2.41) mit der Poisson-Klammer (2.39) für ẽ^{i}_{a}, p_{ia} dieselben klassischen Bewegungsgleichungen wie (2.33) mit der Poisson-Klammer (2.22). Realitätsbedingungen sind nur für die Anfangswerte der klassischen Evolution zu fordern. Die Realitätseigenschaft bleibt dann während der Evolution automatisch erhalten, was nach Rücktransformation auf den {ẽ^{i}_{a}, p_{ia}}-Phasenraum offensichtlich ist.

Im weiteren Verlauf der Diskussion werden die Felder

G̃_{Λ,a}^{i} := \frac{1}{2} ε̃^{ijk} F_{jka} + \frac{Λ}{3} ẽ^{i}_{a}  (2.43)

von besonderer Bedeutung sein. Sie zeigen eine bemerkenswerte Analogie zum dreidimensionalen Einsteintensor mit kosmologischem Term,^{10}

G̃_{Λ,a}^{i} = \frac{1}{2} ε̃^{ijk} F_{jka} + \frac{Λ}{3} ẽ^{i}_{a} ≡ (G_{j}^{i} + \frac{Λ}{3} δ_{j}^{i}) ẽ_{a}^{j} ,  (2.44)

der bekanntlich dadurch ausgezeichnet ist, daß er die drei Bianchi-Identitäten

D_{i} G̃_{Λ,a}^{i} ≡ 0  (2.45)

10Hierbei sind die Größen G_{j}^{i} die Komponenten des üblichen, dreidimensionalen Einsteintensors

G_{j}^{i} = R_{j}^{i} − \frac{1}{2}R δ_{j}^{i} , wobei R_{j}^{i} die Komponenten des dreidimensionalen Riccitensors bezeichnet.

erfüllt. Ebenso befriedigt G̃_{Λ,a}^{i} gemäß (2.43) auf der Zwangsfläche J̃_{a} = 0 die entsprechenden Gleichungen

D_{i} G̃_{Λ,a}^{i} = 0 ,  (2.46)

weswegen wir G̃_{Λ,a}^{i} auch als die Komponenten eines verallgemeinerten Einsteintensors mit kosmologischem Term bezeichnen werden.^{11} Interessanterweise lassen sich sämtliche Zwangsbedingungen H̃_{0}, H̃_{i} und J̃_{a} in Termen von G̃_{Λ,a}^{i} ausdrücken:

H̃_{0} ≡ \frac{2}{γ} e_{ia} G̃_{Λ,a}^{i} = 0 ,  (2.47)

H̃_{i} ≡ ±\frac{2i}{γ} ε̃_{ijk} ẽ^{j}_{a} G̃_{Λ,a}^{k} − A_{ia}J̃_{a} = 0 ,  (2.48)

J̃_{a} ≡ ±\frac{6i}{γΛ} D_{i} G̃_{Λ,a}^{i} = 0 .  (2.49)

Wir können also alle Zwangsbedingungen (2.47)-(2.49) der Gravitation erfüllen, indem wir uns auf den nichttrivialen Unterraum

G̃_{Λ,a}^{i} ! = 0  (2.50)

des Phasenraums einschränken. Die Bedingungen (2.50) bilden ein selbstkonsistentes Gleichungssystem, denn der Unterraum (2.50) bleibt unter Zeitevolution erhalten, wie man mit Hilfe der Poisson-Klammern

{∫ d^{3}x NH̃_{0}, ∫ d^{3}y λ_{ia} G̃_{Λ,a}^{i}}

= ±\frac{i}{2} ∫ d^{3}z \frac{N}{\sqrt{h}} (e_{ia} e_{jb} − 2 e_{ib} e_{ja}) ε̃^{jkℓ} D_{k}λ_{ℓb} G̃_{Λ,a}^{i} ,  (2.51)

11Im allgemeinen handelt es sich hierbei jedoch weder um den dreidimensionalen Einsteintensor, noch um die räumlichen Komponenten des vierdimensionalen Einsteintensors, sondern um einen neuen, ausgezeichneten Krümmungstensor des komplexen Spin-Zusammenhangs A_{ia}.

Dieser stellt aber insofern eine Verallgemeinerung des üblichen Einsteintensors mit kosmologischem Term (2.44) dar, als daß er im Spezialfall A_{ia} = ω_{ia} in den Tensor (2.44) übergeht.

{∫ d^{3}x N^{i}H̃_{i}, ∫ d^{3}y λ_{ia} G̃_{Λ,a}^{i}} = ∫ d^{3}z (N^{j}∂_{j}λ_{ia} + λ_{ja}∂_{i}N^{j}) G̃_{Λ,a}^{i} , (2.52)

{∫ d^{3}x Ω_{a} J̃_{a}, ∫ d^{3}y λ_{ib} G̃_{Λ,b}^{i}} = ∫ d^{3}z ε_{abc} Ω_{a} λ_{ib} G̃_{Λ,c}^{i} ,  (2.53)

sieht, die

{H, G̃_{Λ,a}^{i}} = 0  (2.54)

für G̃_{Λ,a}^{i} = 0 implizieren. Ferner vertauschen die neun Felder G̃_{Λ,a}^{i} bezüglich der Poisson-Klammer (2.39) untereinander. Der Unterraum (2.50) wird uns bei der Quantisierung der Gravitation in Kapitel 3 noch weiter beschäftigen.

In der Darstellung (2.47)-(2.49) fällt auf, daß sich sämtliche Zwangsbedingungen H̃_{0}, H̃_{i}, J̃_{a} als Funktionen kovarianter Krümmungen und kovarianter Ableitungen bezüglich des Eichfeldes A_{ia} ergeben. Die Ashtekartheorie konstituiert somit eine besondere Darstellung der Gravitationstheorie als Eichtheorie eines Eichfeldes A_{ia} mit konjugierter Feldstärke ẽ^{i}_{a}. Es ist instruktiv, diese Eichtheorie mit der Yang-Mills-Theorie äußerer Eichsymmetrien zu vergleichen, was im nächsten Unterkapitel geschehen soll.

2.4 Vereinheitlichte Beschreibung von Gravitations- und Yang-Mills-Feldern

Der Standard-Zusatzterm eines äußeren Yang-Mills-Eichfeldes zum Wirkungsfunktional der Gravitation (2.1) lautet [37]

S_{Y M} = −\frac{1}{4} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} dt ∫_{M_{3}}d^{3}x N \sqrt{h} F^{μνα} F_{μνα} ,  (2.55)

wobei α die verschiedenen Generatoren der Yang-Mills-Eichgruppe numeriert, und

F_{μνα} = ∂_{μ}A_{να} − ∂_{ν}A_{μα} + C_{αβγ} A_{μβ} A_{νγ}  (2.56)

die eichkovariante Feldstärke ist. Die Strukturkoeffizienten C_{αβγ} der lokalen Eichgruppe seien vollständig antisymmetrisch in α, β, γ gewählt. Führt man die in Kapitel 2.1 diskutierte ADM-Raumzeit-Aufspaltung im Wirkungsfunktional auch für die Yang-Mills-Felder durch, so liefert eine anschließende Legendretransformation bezüglich Ȧ_{iα} das folgende Gesamt-Hamiltonfunktional der Einstein-Yang-Mills-Theorie:

H_{ges} = ∫_{M_{3}}d^{3}x [ NH̃_{ges,0} + N^{i}H̃_{ges,i} + (Ω_{a} ± i e^{i}_{a}∂_{i}N) J̃_{a} − A_{0α}J̃_{α} ] . (2.57)

Hierbei ist

H̃_{ges,0} = H̃_{0} + \frac{1}{2\sqrt{h}} h_{ij} (Ẽ^{i}_{α} Ẽ^{j}_{α} + B̃^{i}_{α} B̃^{j}_{α}) ,  (2.58)

H̃_{ges,i} = H̃_{i} + Ẽ^{j}_{α}∂_{i}A_{jα} − Ẽ^{j}_{α}∂_{j}A_{iα} − A_{iα}∂_{j}Ẽ^{j}_{α} ,  (2.59)

J̃_{α} = D_{i}Ẽ^{i}_{α} := ∂_{i}Ẽ^{i}_{α} + C_{αβγ} A_{iβ} Ẽ^{i}_{γ} .  (2.60)

Die Magnetfelder B̃^{i}_{α} sind über

B̃^{i}_{α} := \frac{1}{2} ε̃^{ijk} F_{jkα} ,  (2.61)

die elektrischen Feldstärken Ẽ^{i}_{α} als kanonisch konjugierte Impulse zum Eichfeld A_{iα} definiert:

Ẽ^{i}_{α} := \frac{δL_{ges}}{δȦ_{iα}} = N\sqrt{h} F^{i0}_{α} .  (2.62)

Die symplektische Struktur (2.39) ist auf dem um die Felder A_{iα}, Ẽ^{i}_{α} erweiterten Phasenraum über die kanonische Poisson-Klammer

{A_{iα}(x), Ẽ^{j}_{β}(y)} = δ_{i}^{j} δ_{αβ} δ^{3}(x − y)  (2.63)

fortzusetzen. Vergleicht man die Beiträge von Gravitations- und Yang-Mills-Feldern zum Gesamt-Hamiltonfunktional (2.57), so fällt zunächst eine bemerkenswerte Strukturäquivalenz zwischen J̃_{a} gemäß (2.38) und den Yang-Mills-Gauß-Bedingungen J̃_{α} aus (2.60) auf. Auch in ihrer geometrischen Bedeutung sind die Zwangsbedingungen J̃_{a} und J̃_{α} stark verwandt: Beide generieren Eichtransformationen der jeweiligen Eichgruppe. Dies rechtfertigt im Nachhinein die schon in Abschnitt 2.2 eingeführte Bezeichnung ”Gauß-Bedingungen“ für die Zwangsbedingungen J̃_{a} der Gravitationstheorie. Betrachten wir weiterhin den Beitrag des Yang-Mills-Feldes zu den Diffeomorphismen in (2.59), so unterscheidet sich dieser nur im Vorfaktor vom gravitativen Beitrag (2.37). Dieser Unterschied ist aber ausschließlich auf die verschiedenen Poisson-Klammern (2.39) und (2.63) zurückzuführen, weshalb Gravitations- und Yang-Mills-Felder effektiv völlig äquivalente Beiträge zu den Diffeomorphismen leisten.

Lediglich im Beitrag zur Hamiltonschen Zwangsbedingung unterscheiden sich die beiden Felder: Führt man analog zu (2.61) ein ”Magnetfeld“

b̃^{i}_{a} := \frac{1}{2} ε̃^{ijk}F_{jka}  (2.64)

auch für die Gravitation ein, so läßt sich H̃_{0} aus (2.47) auf die Form

H̃_{0} = \frac{2}{γ\sqrt{h}} h_{ij} (ẽ^{i}_{a} b̃^{j}_{a} + \frac{Λ}{3} ẽ^{i}_{a} ẽ^{j}_{a})  (2.65)

umschreiben. Im direkten Vergleich mit dem Yang-Mills-Beitrag zur Gesamt-Hamilton-Zwangsbedingung (2.58) ist dieser gravitative Beitrag zwar ebenfalls bilinear in ẽ^{i} _{a}, b̃^{i} _{a}, aber nur erster Ordnung in b̃^{i} _{a}. Dieser wesentliche Unterschied zwischen Ashtekar- und Yang-Mills-Theorie ist offensichtlich darauf zurückzuführen, daß das gravitative Wirkungsfunktional (2.1) im Gegensatz zum Yang-Mills-Beitrag (2.55) nur linear in der Krümmung der Eichfelder ist.

Ferner unterscheiden sich die beiden Eichtheorien in dem zugrunde liegenden Phasenraum: Im Gegensatz zu den Yang-Mills-Eichfeldern A_{iα} dürfen die Ashtekar-Eichfelder A_{ia} komplex sein, was auch die unterschiedlichen symplektischen Strukturen (2.39) und (2.63) erklärt.

Trotz dieser formalen Unterschiede zwischen Ashtekar- und Yang-Mills-Theorie ist es gerade die Formulierung der Gravitation als Eichtheorie, die uns in Kapitel 3.4 erlauben wird, eine exakte Lösung der quantisierten Einsteingleichungen anzugeben.

Zum Abschluß dieser bisher ausschließlich klassischen Betrachtungen sei noch eine bemerkenswerte Verallgemeinerung des in (2.43) definierten Tensors G̃_{Λ,a}^{i} erwähnt, die sich bei der Beschreibung externer Yang-Mills-Felder als nützlich erweist. Definieren wir für ein Yang-Mills-Feld die Hilfsgrößen^{12}

˜T̃ ^{ij} := \frac{1}{2} (i Ẽ^{i}_{α} ± B̃^{i}_{α}) (i Ẽ^{j}_{α} ∓ B̃^{j}_{α}) ,  (2.66)

wobei sich die Wahl des Vorzeichens auf die Definition (2.34) der Ashtekarvariablen bezieht, so ergeben sich analog zu (2.47), (2.48) folgende Darstellungen für H̃_{ges,0} und H̃_{ges,i}:

H̃_{ges,0} = \frac{2}{γ} e_{ia} [ G̃_{Λ,a}^{i} − \frac{γ}{2\sqrt{h}} e_{ja}˜T̃ ^{ij} ] ,  (2.67)

H̃_{ges,i} = ±\frac{2i}{γ} ε̃_{ijk} ẽ^{j}_{a} [ G̃_{Λ,a}^{k} − \frac{γ}{2\sqrt{h}} e_{ℓa}˜T̃ ^{kℓ} ] − A_{ia}J̃_{a} − A_{iα}J̃_{α} .  (2.68)

Fordert man in Verallgemeinerung von (2.50)

G̃_{Λ,a}^{i} ! = \frac{γ}{2\sqrt{h}} e_{ja}˜T̃ ^{ij}  ⇔  ẽ^{j}_{a} G̃_{Λ,a}^{i} = \frac{γ}{2} ˜ T̃ ^{ij}  (2.69)

in Verbindung mit

J̃_{a} ! = 0 , J̃_{α} ! = 0 ,  (2.70)

so sind alle Zwangsbedingungen der Einstein-Yang-Mills-Theorie automatisch erfüllt, und bleiben wie in (2.54) sogar unter Zeitevolution erhalten. Über Lösungen von (2.69) und (2.70) erhalten wir also spezielle klassische Lösungen der Einstein-Yang-Mills-Theorie.

Vergleichen wir die Forderungen (2.69) mit den üblichen, dreidimensionalen Einsteingleichungen

G̃_{Λ,a}^{i} = \frac{γ\sqrt{h}}{2} e_{ja} T^{ij} ,  (2.71)

wobei T^{ij} die räumlichen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors für Yang-Mills-Felder bezeichnet, so zeigen die Gleichungen (2.69) und (2.71) eine überraschende Strukturäquivalenz: Die Tensordichte ˜ T̃ ^{ij} gemäß (2.66) scheint hierbei in (2.69) formal die Rolle des Energie-Impuls-Tensors T^{ij} in (2.71) zu übernehmen - insbesondere stimmen dann die Kopplungsfaktoren \frac{γ}{2} = 8πG in (2.69) und (2.71) exakt überein. Diese Analogie ist umso erstaunlicher, als daß zum einen die Größen ˜ T̃ ^{ij} keineswegs den Energie-Impuls-Tensor eines Yang-Mills-Feldes bezeichnen, und da es sich zum anderen bei den Gleichungen (2.69) und (2.71) um grundsätzlich verschiedene Aussagen handelt.

12Die Felder ˜ T̃ ^{ij} sind die Komponenten einer kontravarianten Tensordichte zweiter Stufe vom Gewicht +2; dieses spezielle Gewicht sei hier durch eine Doppeltilde angedeutet.

Abschließend sei noch bemerkt, daß die Gleichungen (2.69), (2.70) vollständig in einen gravitativen und einen Yang-Mills-Anteil entkoppeln, was Anlaß zu expliziten, klassischen Lösungen des Systems (2.69), (2.70) gibt, die jedoch komplexen Yang-Mills-Feldern entsprechen und deshalb schwierig physikalisch zu interpretieren sind - wir wollen uns deshalb an dieser Stelle nicht weiter mit den Lösungen des Gleichungssystems (2.69), (2.70) und der Interpretation des zugehörigen Lösungsraumes beschäftigen, sondern uns stattdessen im nächsten Kapitel der Quantisierung der Gravitation zuwenden.

Kanonische Quantisierung der Gravitation

Wir wollen nun die kanonische, symplektische Algebra (2.22) der fundamentalen Phasenraumvariablen ẽ^{i}_{a} und p_{ia} auf einem Hilbertraum von Wellenfunktionalen |Ψ⟩ darstellen. Da die Triadenfelder ẽ^{i}_{a} leichter geometrisch zu interpretieren sind als ihre kanonisch konjugierten Impulse p_{ia}, und außerdem schon in der klassischen Formulierung der Gravitation als eigentliche Konfigurationsraumvariablen auftraten, werden wir die Quantisierung zunächst in der ẽ^{i}_{a}-Darstellung durchführen. Zur Realisierung der kanonischen Operatoralgebra

[ ẽ^{i}_{a}(x), p_{jb}(y) ] = ih̄ δ_{j}^{i} δ_{ab} δ^{3}(x − y)  (3.1)

haben wir dann

p_{ia}(x) = −ih̄ \frac{δ}{δẽ^{i}_{a}(x)}  (3.2)

zu wählen, wobei p_{ia} auf Wellenfunktionale Ψ[ẽ^{i}_{a}] wirkt, die den Darstellungsraum aufspannen. Im Abschnitt 3.3 werden wir ein inneres Produkt definieren, das diesen Darstellungsraum zum Hilbertraum erweitert.

Aus (3.2) erhält man sofort die den Ashtekarvariablen (2.34) zugeordneten Quantenoperatoren

A_{ia}(x) = ω_{ia}(x) ± \frac{γh̄}{2} \frac{δ}{δẽ^{i}_{a}(x)} ,  (3.3)

die mit ẽ^{i}_{a} zu (2.39) analoge Vertauschungsrelationen erfüllen. Die Zwangsbedingungen H̃_{0}, H̃_{i} und J̃_{a} der klassischen Gravitationstheorie sollen nun über die Diracsche Methode in die Quantentheorie der Gravitation implementiert werden.

3.1 Operatoren und Algebra der Zwangsbedingungen

Für die Quantisierung eines klassischen Hamiltonschen Systems mit Zwangsbedingungen kann die Diracsche Methode [38] verwendet werden, wenn sämtliche Zwangsbedingungen primär sind, also unter dem Hamiltonschen Fluß erhalten bleiben. Dabei wird zu jeder Zwangsbedingung ein quantenmechanischer Operator definiert, wobei die Quantisierung so durchzuführen ist, daß die Algebra dieser Operatoren schließt^{1}; andernfalls würden über die Kommutatoren der primären Zwangsoperatoren neue, sekundäre Zwangsbedingungen entstehen. Dann können die Zwangsbedingungen auf dem Darstellungsraum implementiert werden, indem man fordert, daß sämtliche zugeordnete Operatoren das Wellenfunktional |Ψ⟩ annihilieren.

Wir werden nun Darstellungsoperatoren zu den Zwangsobservablen H̃_{0}, H̃_{i} und J̃_{a} der klassischen Gravitationstheorie definieren und zeigen, daß ihre Algebra geschlossen ist. Dann folgt aus der quantenmechanischen Algebra über den semiklassischen Limes automatisch eine strukturgleiche Poisson-Algebra der klassischen Zwangsobservablen. Die klassische Algebra der Zwangsbedingungen ist deshalb ebenfalls abgeschlossen, und hätte auch schon in Kapitel 2 diskutiert werden können. Weiterhin impliziert der Abschluß der klassischen Poisson-Algebra über (2.41) direkt die Zeiterhaltung der klassischen Zwangsobservablen, die folglich vom primären Typ sind - der quantenmechanische Abschluß der Algebra der Zwangsoperatoren sichert somit im Nachhinein gleichzeitig die Anwendbarkeit der Diracschen Methode.

Zur expliziten Angabe der quantisierten Operatoren H̃_{0}, H̃_{i} und J̃_{a} in der ẽ^{i}_{a}- Darstellung wählen wir nun die in (2.47)-(2.49) angedeutete Faktorordnung, wobei für A_{ia} die Operatoren (3.3) einzusetzen sind. Durch Nachrechnen verifiziert man leicht, daß hiermit die Darstellungen (2.37) und (2.38) für die Diffeomorphismen H̃_{i} und die Gauß-Bedingungen J̃_{a} auch quantenmechanisch gültig bleiben. Für die Algebra der Quantenoperatoren ergibt sich nach einiger Rechnung explizit das folgende Resultat:

1Dies setzt natürlich voraus, daß die entsprechende klassische Poisson-Algebra ebenfalls abgeschlossen ist.

[ ∫ d^{3}x φ_{a} J̃_{a}, ∫ d^{3}y ψ_{b} J̃_{b} ] = ih̄ ∫ d^{3}z ε_{abc} φ_{a} ψ_{b} J̃_{c} ,  (3.4)

[ ∫ d^{3}x N^{i}H̃_{i}, ∫ d^{3}y φ_{a} J̃_{a} ] = ih̄ ∫ d^{3}z N^{i}∂_{i}φ_{a} J̃_{a} ,  (3.5)

[ ∫ d^{3}x N^{i}H̃_{i}, ∫ d^{3}y M^{j}H̃_{j} ] = ih̄ ∫ d^{3}z (N^{i}∂_{i}M^{j} − M^{i}∂_{i}N^{j}) H̃_{j} ,  (3.6)

[ ∫ d^{3}x φ_{a} J̃_{a}, ∫ d^{3}y NH̃_{0} ] = 0 ,  (3.7)

[ ∫ d^{3}x N^{i}H̃_{i}, ∫ d^{3}y NH̃_{0} ] = ih̄ ∫ d^{3}z N^{i}∂_{i}N H̃_{0} ,  (3.8)

[ ∫ d^{3}x NH̃_{0}, ∫ d^{3}y MH̃_{0} ] = ih̄ ∫ d^{3}z (N∂_{i}M −M∂_{i}N) h^{ij}(H̃_{j} +A_{ja} J̃_{a}) . (3.9)

In der von uns gewählten Faktorordnung schließt die Algebra der quantisierten Operatorn H̃_{0}, H̃_{i}, J̃_{a} also ohne Quantenkorrekturen.

Definieren wir den bereits in Abschnitt 2.2 erwähnten Paritätsoperator P quantenmechanisch in naheliegender Weise über seine Wirkung

P Ψ[ẽ^{i}_{a}] = Ψ[−ẽ^{i}_{a}]  (3.10)

auf Wellenfunktionale Ψ[ẽ^{i}_{a}], so transformieren sich die Operatoren H̃_{0} und H̃_{i} gerade, und die J̃_{a} ungerade unter Paritätstransformationen. Auch unter Hinzunahme des Paritätsoperators P bleibt die resultierende Algebra der quantenmechanischen Operatoren H̃_{0}, H̃_{i}, J̃_{a} und P deshalb abgeschlossen.

Eichinvariante Wellenfunktionale Ψ[ẽ^{i}_{a}] müssen nun die sieben funktionalen Zwangsbedingungen

H̃_{0} Ψ ! = 0 ,  (3.11)

H̃_{i} Ψ ! = 0 ,  (3.12)

J̃_{a} Ψ ! = 0 ,  (3.13)

sowie die diskrete Paritätsforderung

P Ψ ! = Ψ  (3.14)

befriedigen. Die Zwangsbedingung (3.11) heißt auch Wheeler-DeWitt-Gleichung der Quantengravitation.

Die physikalische Interpretation dieser fundamentalen Gleichungen der Quantengravitation ergibt sich direkt aus ihrer klassischen Bedeutung: Die Bedingungen (3.11) und (3.12) sichern die Invarianz des Quantenzustands Ψ unter zeitlichen und räumlichen Koordinatentransformationen, die Forderungen (3.13) implizieren zusammen mit (3.14) die Invarianz von Ψ unter beliebigen räumlichen O(3)-Eichtransformationen der Triade.

Die Kommutatoren der Operatoralgebra (3.4)-(3.8) lassen sich ebenfalls sehr schön geometrisch interpretieren: Die Operatoren J̃_{a} liefern gemäß (3.4) eine Darstellung der lokalen Drehgruppe SO(3), die H̃_{i} stellen gemäß (3.6) die universelle Diffeomorphismengruppe der Lie-Ableitung dar.^{2} In (3.5) und (3.8) wirken die Diffeomorphismen über die Lie-Ableitung auf die Parameterfelder φ_{a} und N, nicht aber auf J̃_{a} und H̃_{0}, die in diesem Sinne diffeomorphismuskovariante Größen sind. Gemäß (3.7) ist ferner der Operator H̃_{0} der Hamiltonschen Zwangsbedingung SO(3)-invariant.

Lediglich der letzte Kommutator (3.9) läßt sich nicht ohne weiteres geometrisch interpretieren, es ist aber bemerkenswert, daß eine zu (3.9) strukurgleiche Erweiterung für die quantisierte Einstein-Yang-Mills-Theorie existiert. Zur Erläuterung dieser Aussage werden wir im nächsten Unterkapitel auch im Rahmen der Quantentheorie noch einmal kurz auf die in Kapitel 2.4 diskutierte Einstein-Yang-Mills-Theorie zurückkommen.

3.2 Die quantisierte Einstein-Yang-Mills-Theo-rie

Zur kanonischen Quantisierung der in Kapitel 2.4 klassisch formulierten Einstein-Yang-Mills-Theorie müssen wir den Darstellungsraum der Quantengravitation auf Yang-Mills-Felder erweitern. Im Gegensatz zur Gravitationstheorie spielen in der üblichen Yang-Mills-Theorie die Eichfelder A_{iα} die Rolle der natürlichen Konfigurationsraumvariablen, so daß es naheliegend ist, den von den Wellenfunktionalen Ψ[ẽ^{i}_{a}, A_{iα}] aufgespannten Darstellungsraum zu betrachten. Für die zu A_{iα} kanonisch konjugierten Impulse p_{ia} ergibt sich dann die Operatordarstellung

2Die Lie-Ableitung und ihre Gruppeneigenschaft werden im Anhang B.1 im Zusammenhang mit homogenen 3-Mannigfaltigkeiten diskutiert.

Ẽ^{i}_{α}(x) = −ih̄ \frac{δ}{δA_{iα}(x)} .  (3.15)

Wählen wir die Faktorordnung der quantisierten Operatoren H̃_{ges,0}, H̃_{ges,i} und J̃_{α} wie in (2.58)-(2.60), so ergibt sich auch für die quantisierte Einstein-Yang-Mills-Theorie wieder die Operatoralgebra (3.4)-(3.8), wobei die dort auftretenden Operatoren H̃_{0} und H̃_{i} einfach durch ihre Yang-Mills-Erweiterungen H̃_{ges,0} und H̃_{ges,i} zu ersetzen sind. Neu hinzu kommen die Vertauschungseigenschaften mit den Yang-Mills-Gauß-Bedingungen J̃_{α}, wofür sich folgendes ergibt:^{3}

[ ∫ d^{3}x φ_{α} J̃_{α}, ∫ d^{3}y ψ_{β} J̃_{β} ] = ih̄ ∫ d^{3}z C_{αβγ} φ_{α} ψ_{β} J̃_{γ} ,  (3.16)

[ ∫ d^{3}x φ_{α} J̃_{α}, ∫ d^{3}y ψ_{b} J̃_{b} ] = 0 ,  (3.17)

[ ∫ d^{3}x N^{i}H̃_{ges,i} ∫ d^{3}y φ_{α} J̃_{α} ] = ih̄ ∫ d^{3}z N^{i}∂_{i}φ_{α} J̃_{α} ,  (3.18)

[ ∫ d^{3}x φ_{α} J̃_{α}, ∫ d^{3}y NH̃_{ges,0} ] = 0 .  (3.19)

Die geometrische Bedeutung dieser Kommutatoren ist offensichtlich: Über (3.16) stellen die Generatoren J̃_{α} der lokalen Yang-Mills-Eichtransformationen die Algebra der Eichgruppe dar, wegen (3.17) ergibt sich die Einstein-Yang-Mills-Eich-gruppe als direktes Produkt der beiden Untergruppen. Die J̃_{α} sind gemäß (3.18), (3.19) diffeomorphismuskovariante Operatoren, welche die Hamiltonsche Zwangsbedingung H̃_{ges,0} invariant lassen.

Für die einzige noch ausstehende Vertauschungsrelation von H̃_{ges,0} mit sich selbst finden wir das Resultat

3Die entsprechende klassische Poisson-Algebra der Zwangsbedingungen einer Einstein-Yang-Mills-Theorie wurde bereits von Ashtekar in [5] angegeben.

[ ∫ d^{3}x NH̃_{ges,0}, ∫ d^{3}y MH̃_{ges,0} ]

= ih̄ ∫ d^{3}z (N∂_{i}M − M∂_{i}N) h^{ij} (H̃_{ges,j} + A_{ja} J̃_{a} + A_{jα} J̃_{α}) ,  (3.20)

was eine direkte Verallgemeinerung von (3.9) darstellt. Insbesondere gehen in (3.20) Gravitations- und Yang-Mills-Theorie als gleichwertige Eichtheorien ein, was aufgrund der in Kapitel 2.4 dargestellten, strukturell unterschiedlichen Feldbeiträge zu H̃_{ges,0} sehr überraschend ist. Bemerkenswert ist an dem Ergebnis (3.20) weiterhin die Tatsache, daß man aufgrund der Abhängigkeit des Yang-Mills-Beitrags (2.58) von der 3-Metrik h wohl eigentlich einen Wechselwirkungsterm zwischen Gravitations- und Yang-Mills-Feld erwartet hätte; dieser bleibt aber klassisch wie auch quantenmechanisch aus. Der Kommutator der Hamiltonschen Zwangsbedingung mit sich selbst zeigt also eine erstaunliche Universalität, womit wir auch die Struktur des rein gravitativen Resultats (3.9) nun besser verstehen.

Ferner sei noch betont, daß die Operatoralgebra der quantisierten Einstein-Yang-Mills-Theorie in der angegeben Faktorordnung ohne Quantenkorrekturen schließt, so daß auch hier sämtliche Zwangsbedingungen im Diracschen Sinne implementiert werden können. Betrachtet man die Vertauschungsrelationen (3.4)- (3.8), (3.16)-(3.20) der Quantenoperatoren H̃_{ges,0}, H̃_{ges,i}, J̃_{a} und J̃_{α} genauer, so fällt auf, daß hier die Gravitations- und die Yang-Mills-Theorie in einer algebraisch vereinheitlichten Form beschrieben werden.

Mit diesen Bemerkungen wollen wir die Diskussion von Yang-Mills-Feldern nun aber beenden - das Studium der vollen, quantisierten Einstein-Yang-Mills-Theorie würde weit über den Rahmen dieser Arbeit hinausführen. Im folgenden werden wir uns ausschließlich den Problemen der quantisierten Gravitationstheorie zuwenden.

3.3 Inneres Produkt, Hermitezität und Eichfixierung

Um von einer Quantentheorie der Gravitation sprechen zu können, genügt es nicht, einen Darstellungsraum und eine geschlossene Operatoralgebra anzugeben; wir benötigen ferner ein inneres Produkt, das den Darstellungsraum der Wellenfunktionale zum Hilbertraum erhebt, und bezüglich dessen die Operatoren H̃_{0}, H̃_{i} und J̃_{a} hermitesch sind. Ein derartiges inneres Produkt über dem vollen Darstellungsraum wollen wir als kinematisches Produkt bezeichnen [39]. Tatsächlich interessieren wir uns aber effektiv nur für einen Unterraum des Darstellungsraums, der von den eichinvarianten physikalischen Zuständen Ψ mit (3.11)-(3.14) aufgespannt wird. Zum Auffinden eines physikalischen Produkts auf diesem Unterraum gibt es ein Standardverfahren, das Faddeev-Popov-Kalkül [40], das angibt, wie man durch Eichfixierung des kinematischen Produkts zu einem effektiven, inneren Produkt auf dem Unterraum physikalischer Zustände gelangen kann. Auf das Problem der Eichfixierung werden wir in der zweiten Hälfte dieses Abschnitts zu sprechen kommen, zunächst soll uns aber das kinematische Produkt und die Frage nach der Hermitezität der Operatoren H̃_{0}, H̃_{i} und J̃_{a} interessieren.

Zur Diskussion der Hermitezität ist es zweckmäßig, anstelle des komplex definierten Operators H̃_{0} den Operator H̃_{0}^{ADM} zu betrachten, der über (2.36) mit H̃_{0} verknüpft ist. Mit Hilfe von (3.4)-(3.9) überzeugt man sich leicht davon, daß die Operatoren H̃_{0}^{ADM}, H̃_{i} und J̃_{a} ebenfalls eine geschlossene Algebra bilden, und daß sich der Unterraum der physikalischen Zustände durch die Substitution H̃_{0} ↦ H̃_{0}^{ADM} nicht ändert. Die Kommutatoren der von H̃_{0}^{ADM}, H̃_{i} und J̃_{a} gebildeten Algebra sind allerdings kompliziert und sollen hier nicht explizit angegeben werden.

Wir finden, daß die Operatoren H̃_{0}^{ADM}, H̃_{i} und J̃_{a} formal hermitesch bezüglich des kinematischen Produkts

⟨Ψ_{1}|Ψ_{2}⟩ = ∫ D^{9}[ẽ^{i}_{a}] h^{[}^{−3/2} Ψ_{1}^{∗}[ẽ^{i}_{a}] · Ψ_{2}[ẽ^{i}_{a}]  (3.21)

sind^{4}, wobei h^{[} das Raumprodukt der Determinante h(x) der 3-Metrik bezeichnet:

h^{[} := ∏_{x∈M_{3}} h(x) .  (3.22)

Das nichttriviale Integrationsgewicht in (3.21) läßt sich eliminieren, indem man im Konfigurationsraum einen Koordinatenwechsel von den Variablen ẽ^{i}_{a} zu den Komponenten e_{ia} der Triaden-1-Formen vornimmt:

⟨Ψ_{1}|Ψ_{2}⟩ = ∫ D^{9}[e_{ia}]Ψ_{1}^{∗}[e_{ia}] · Ψ_{2}[e_{ia}] .  (3.23)

4Für die Hermitezität der Operatoren H̃_{i} benötigt man dabei folgende Eigenschaft der Feldoperatoren:

[ p_{ia}(x), ∂_{k}ẽ^{j}_{b}(x) ] = −ih̄ δ_{i}^{j} δ_{ab} ∂_{k}δ^{3}(0) ! = 0 .

Das Verschwinden dieses Kommutators ist nicht selbstverständlich, es gibt aber Argumente [41], warum dies für eine entsprechend regularisierte Feldtheorie möglich sein sollte.

Im kinematischen Produkt (3.21), (3.23) sind zwar die zu ẽ^{i}_{a} kanonisch konjugierten Impulse p_{ia} nicht hermitesch, dafür aber die Impulsoperatoren

p̃_{a}^{i} := ε̃^{ijk} ε_{abc} e_{jb} p_{kc} ≡ −ih̄ \frac{δ}{δe_{ia}} ,  (3.24)

die sich zu e_{ia} kanonisch konjugiert verhalten.^{5}

Im Rahmen des Faddeev-Popov-Kalküls kann nun zum kinematischen, inneren Produkt (3.23) ein eichfixiertes, physikalisches Produkt auf dem Unterraum der physikalischen Zustände konstruiert werden. Hierzu ist für jede Eichsymmetrie der Theorie eine Eichbedingung zu wählen, wobei darauf zu achten ist, daß jeder Punkt des Konfigurationsraumes durch Eichtransformationen in einen eichäquivalenten Punkt überführt werden kann, der die geforderte Eichbedingung befriedigt. Für die Gauß-Bedingungen J̃_{a} bieten sich die Eichbedingungen

χ̃_{a} = ∂_{i}ẽ^{i}_{a} ! = 0 ,  (3.25)

für die Diffeomorphismen H̃_{i} die harmonische Eichung

χ̃^{j} = ∂_{i} (\sqrt{h} h^{ij}) ! = 0  (3.26)

an. Diese führen auf das vorläufige innere Produkt^{6}

⟨⟨Ψ_{1}||Ψ_{2}⟩⟩ = ⟨Ψ_{1}| δ^{3}[χ̃_{a}] · δ^{3}[χ̃^{i}] · |J_{G} J_{D}| |Ψ_{2}⟩  (3.27)

mit

J_{G} := Det \{\frac{i}{h̄} [ J̃_{a}(x), χ̃_{b}(y) ]\} , J_{D} := Det \{\frac{i}{h̄} [ H̃_{i}(x), χ̃^{j}(y) ]\} . (3.28)

Die hierbei auftretenden Faddeev-Popov-Funktionaldeterminanten J_{G} und J_{D} gemäß (3.28) sind allerdings sehr kompliziert zu berechnen, weshalb wir es hier bei den formalen Ausdrücken bewenden lassen wollen.

5Tatsächlich wäre es unter dem Gesichtspunkt der Hermitezität naheliegender gewesen, die Quantisierung der Gravitation in der e_{ia}-Darstellung durchzuführen. Die Vorteile der hierzu völlig äquivalenten ẽ^{i}_{a}-Darstellung werden im nächsten Abschnitt 3.4 noch offensichtlich werden.

6Die Faddeev-Popov-Determinante zu den in (3.25) und (3.26) getroffenen Eichbedingungen faktorisiert in einen Gauß- und einen Diffeomorphismen-Anteil J_{G} und J_{D}, da die χ̃_{a} Diffeomorphismus-, und die χ̃^{i} SO(3)-invariant sind.

Das Ergebnis (3.27) ist soweit unabhängig von der speziellen Wahl der Eichbedingungen χ̃_{a} und χ̃_{j}, da die Operatoren J̃_{a} und H̃_{i} Ableitungsoperatoren erster Ordnung auf dem Konfigurationsraum sind: Für solche Operatoren garantiert das Faddeev-Popov-Kalkül ein eindeutiges, eichfixiertes inneres Produkt [40]. Ein besonderes Problem hat man hingegen bei der noch ausstehenden Zeiteichung bezüglich der Hamiltonschen Zwangsbedingung. Wählt man zu H̃_{0}^{ADM} eine beliebige Eichbedingung χ̃, so ist die Faddeev-Popov-Funktionaldeterminante

J_{H} := Det \{\frac{i}{h̄} [ H̃_{0}^{ADM}(x), χ̃(y) ]\}  (3.29)

noch von erster Ordnung in den Impulsoperatoren p_{ia}; im vollständig eichfixierten Skalarprodukt

⟨⟨Ψ_{1}||Ψ_{2}⟩⟩_{phys} = ⟨⟨Ψ_{1}|| δ[χ̃] · |J_{H}| ||Ψ_{2}⟩⟩

= ⟨Ψ_{1}| δ^{3}[χ̃_{a}] · δ^{3}[χ̃^{i}] · δ[χ̃] · |J_{G} J_{D} J_{H}| |Ψ_{2}⟩  (3.30)

wirkt J_{H} deshalb noch über erste Funktionalableitungen auf die Wellenfunktionale ⟨Ψ_{1}| und |Ψ_{2}⟩, wobei insbesondere die Betragsbildung in (3.30) Schwierigkeiten bereitet [39]. Dabei liefern verschiedene Wahlen von χ̃ inäquivalente physikalische innere Produkte (3.30), so daß a priori tatsächlich unklar ist, wie das vollständig eichfixierte innere Produkt der Quantengravitation auszusehen hat.

In Kapitel 5 werden wir versuchsweise eine besonders naheliegende Wahl der Eichbedingung χ̃ diskutieren, und die resultierende ”physikalische Norm“ eines speziellen, exakten Quantenzustands berechnen, der im folgenden Abschnitt konstruiert werden soll.

3.4 Der Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation

Zur Herleitung einer speziellen Lösung der Zwangsbedingungen (3.11)-(3.14) der Quantengravitation können wir versuchen, das restriktivere Gleichungssystem

G̃_{Λ,a}^{i} Ψ ! = 0  (3.31)

zu lösen, das die quantenmechanische Verallgemeinerung von (2.50) darstellt. Wegen (2.47)-(2.49) erfüllt dann jede Lösung Ψ von (3.31) automatisch die sieben Zwangsbedingungen (3.11)-(3.13), während die Paritätsforderung (3.14) noch gesondert zu untersuchen bleibt. Wie ihr klassisches Pendant (2.50) bilden die Gleichungen (3.31) ein selbstkonsistentes System, denn die Operatoren G̃_{Λ,a}^{i} vertauschen untereinander und bilden mit dem quantisierten Hamiltonfunktional H gemäß (2.41) eine geschlossene Algebra.

Als Lösungsansatz für das Gleichungssystem (3.31) bietet sich zunächst eine Ähnlichkeitstransformation

Ψ[ẽ^{i}_{a}] = exp [ ∓\frac{2Φ}{γh̄} ] · Ψ′[ẽ^{i}_{a}]  (3.32)

mit Φ aus (2.40) an, die den inhomogenen Term ω_{ia} der Ashtekar-Operatoren A_{ia} in (3.3) eliminiert:

exp [ ±\frac{2Φ}{γh̄} ] · A_{ia} · exp [ ∓\frac{2Φ}{γh̄} ] = ±\frac{γh̄}{2} \frac{δ}{δẽ^{i}_{a}} .  (3.33)

Dann nimmt das Gleichungssystem (3.31) die folgende explizite Form an:

[ ε̃^{ijk} (±\frac{γh̄}{2} ∂_{j} \frac{δ}{δẽ^{k}_{a}} + \frac{γ^{2}h̄^{2}}{8} ε_{abc} \frac{δ^{2}}{δẽ^{j}_{b}δẽ^{k}_{c}} ) + \frac{Λ}{3} ẽ^{i}_{a} ] · Ψ′ = 0 .  (3.34)

Im zweiten Lösungsschritt betrachten wir nun eine verallgemeinerte Fouriertransformation,

Ψ′[ẽ^{i}_{a}] = ∫ ; Γ D^{9}[A_{ia}] exp [ ±\frac{2}{γh̄} ∫ d^{3}x A_{ia} ẽ^{i}_{a} ] · Ψ̂[A_{ia}] ,  (3.35)

wobei die von ẽ^{i}_{a} unabhängige, komplexe Integrationsmannigfaltigkeit Γ so gewählt sei, daß das Funktionalintegral (3.35) existiert, und partielle Integrationen bezüglich A_{ia} in (3.35) keine Randterme liefern. Dann transformieren sich die fundamentalen Phasenraumoperatoren A_{ia} und ẽ^{i}_{a} gemäß

±\frac{γh̄}{2} \frac{δΨ′}{δẽ^{i}_{a}} ↦ A_{ia} Ψ̂ ,  (3.36)
ẽ^{i}_{a} Ψ′ ↦ ∓\frac{γh̄}{2} \frac{δΨ̂}{δA_{ia}} ,  (3.37)

und das fouriertransformierte Gleichungssystem (3.34) ergibt sich zu

[ ε̃^{ijk} F_{jka} ∓ \frac{γh̄Λ}{3} \frac{δ}{δA_{ia}} ] · Ψ̂ = 0 .  (3.38)

Die allgemeine Lösung von (3.38) ist der Chern-Simons-Zustand [13, 14]

Ψ̂_{CS}[A_{ia}] = N · exp [ ±\frac{3}{γh̄Λ} S_{CS}[A_{ia}] ] ,  (3.39)

wobei S_{CS}[A_{ia}] das Chern-Simons-Funktional des Ashtekar-Spin-Zusammenhangs A_{ia} bezeichnet,

S_{CS}[A_{ia}] := ∫ d^{3}x ε̃^{ijk} (A_{ia}∂_{j}A_{ka} + \frac{1}{3} ε_{abc} A_{ia} A_{jb} A_{kc}) ,  (3.40)

und N ein freier Normierungsfaktor ist.

Über (3.35) und (3.32) läßt sich der Chern-Simons-Zustand (3.39) von der Ashtekar-Darstellung zurück auf die Triaden-Darstellung transformieren, womit sich die folgende Funktionalintegraldarstellung für den Chern-Simons-Zustand Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] ergibt:

Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] = N ·∫ ; Γ D^{9}[A_{ia}] exp [ ±\frac{1}{γh̄} (∫ d^{3}x ε̃^{ijk}e_{ia}D_{j}e_{ka} + \frac{3}{Λ} S_{CS}[A_{ia}])] . (3.41)

Überraschenderweise fügen sich dabei der Beitrag von der Ähnlichkeitstransformation (3.32) und der Fourierterm aus (3.35) genau zum ersten, explizit SO(3)- eichinvarianten Term im Exponenten von (3.41) zusammen, wenn man zur Umschreibung des Fourierterms in (3.35) den Zusammenhang

ẽ^{i}_{a} = \frac{1}{2} ε̃^{ijk} ε_{abc} e_{jb} e_{kc}  (3.42)

zwischen ẽ^{i}_{a} und e_{ia} verwendet. Die Gauß- und Diffeomorphismus-Invarianz des Quantenzustands Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] läßt sich somit direkt aus der Integraldarstellung (3.41) ablesen. Ferner verifiziert man mit Hilfe der Definition des quantenmechanischen Paritätsoperators P aus (3.10) leicht, daß auch die Paritätsforderung (3.14) vom Wellenfunktional Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] befriedigt wird.

Für den Normierungsfaktor N in (3.41) müssen wir die Eigenschaft

\frac{δN}{δẽ^{i}_{a}} ! = 0  (3.43)

fordern, was aber nicht zwangsläufig eine völlige Unabhängigkeit von ẽ^{i}_{a} impliziert: Tatsächlich kann N noch über topologische Invarianten der räumlichen 3-Mannigfaltigkeit von der Triade abhängen - eine Freiheit, von der wir später noch Gebrauch machen werden.

Zu diskutieren bleibt die Bedeutung und Wahl der komplexen Integrationsmannigfaltigkeit Γ für das Funktionalintegral in (3.41). Damit Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] gemäß (3.41) wirklich eine Lösung des Gleichungssystems (3.31) ist, sollten wir Γ so wählen, daß der Integrand von (3.41) an den Rändern von Γ exponentiell verschwindet; dies sichert die Existenz des Integrals, außerdem liefern dann partielle Integrationen bezüglich A_{ia} keine Randterme. Da das asymptotische Verhalten des Exponenten in (3.41) vom Chern-Simons-Funktional S_{CS}[A_{ia}] bestimmt wird, während eine Abhängigkeit von der Triade ẽ^{i}_{a} nur über den subdominanten Fourierterm vorliegt, sollte es möglich sein, die Integrationsfläche Γ unabhängig von der Triade ẽ^{i}_{a} zu konstruieren, was für die Umrechnungen (3.36), (3.37) eine notwendige Voraussetzung war.

Existieren verschiedene, topologisch inäquivalente Wahlen von Γ mit den geforderten Eigenschaften, so entsprechen diese linear unabhängigen Zuständen Ψ_{CS}[ẽ^{i} _{a}] in der ẽ^{i} _{a}-Darstellung, die alle über (3.41) aus ein und demselben Chern-Simons-Zustand Ψ̂_{CS}[A_{ia}] in der Ashtekar-Darstellung hervorgehen. Dieses bemerkenswerte Phänomen der Vervielfachung des Quantenzustands beim Darstellungswechsel (3.35) ist bereits aus der Diskussion Bianchi IX-homogener Modelle in [23, 24, 25] wohlbekannt.

Für die folgende Diskussion werden wir die Existenz geeigneter Integrationsmannigfaltigkeiten Γ voraussetzen - eine explizite Angabe ist im Fall der vollen, inhomogenen Feldtheorie wohl leider nicht möglich: Schon im Rahmen einfacher, Bianchi IX-homogener Modelle erwies sich die Diskussion der entsprechenden komplexen Integrationskonturen als äußerst kompliziert. Trotzdem können wir zumindest eine implizite Konstruktionsvorschrift für Γ angeben, und aus der Integraldarstellung (3.41) in vielen asymptotischen Grenzfällen interessante Informationen extrahieren, was Gegenstand des nächsten Kapitels sein soll.

Asymptotische Entwicklungen des Chern-Simons-Zustands

In diesem Kapitel wollen wir versuchen, den in Abschnitt 3.4 gefundenen Chern-Simons-Zustand der Gravitation (3.41) in Abhängigkeit von der Triade ẽ^{i}_{a} auszuwerten und physikalisch zu interpretieren. Eine explizite analytische Berechnung des Funktionalintegrals in (3.41) ist dabei sehr kompliziert, und sicherlich - wenn überhaupt - nur teilweise möglich: Schon in homogenen Modellen vom Bianchi-Typ IX konnte das entsprechende, endlichdimensionale Integral nicht vollständig analytisch behandelt werden.

Wir wollen uns deshalb im Rahmen dieser Arbeit ausschließlich auf asymptotische Entwicklungen des Funktionalintegrals in (3.41) beschränken, wobei als wesentliches mathematisches Hilfsmittel die Laplacesche Sattelpunktsmethode zum Einsatz kommen wird.

Um einen Überblick über die verschiedenen asymptotischen Entwicklungsmöglichkeiten zu bekommen ist es hilfreich, sich zunächst die für die Gravitationstheorie relevanten Längenskalen zu überlegen:

Die fundamentalen Naturkonstanten γ und h̄ definieren die sogenannte Planck-Länge

a_{P l} := \sqrt{γh̄} ,  (4.1)

die eine untere Schranke für die Gültigkeit der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie darstellt. Die kosmologische Konstante Λ hat dieselbe Dimension wie der Krümmungsskalar R, weshalb

a_{Λ} := \sqrt{\frac{3}{Λ}}  (4.2)

eine weitere Längenskala der Theorie konstituiert. Schließlich tragen auch die 3-Metrik h und die Triadenfelder e_{a} eine globale Längeneinheit, die man über das Volumen V der 3-Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) als

a_{cos} := ^{3} \sqrt{V}  mit V = ∫_{M_{3}}d^{3}x \sqrt{h}  (4.3)

erhält. Diese kosmologische Längenskala ist ein Maß für die globale Ausdehnung der räumlichen 3-Mannigfaltigkeit.

Mit Hilfe der fundamentalen Längenskalen (4.1)-(4.3) seien nun die beiden dimensionslosen, positiven Parameter

κ := (\frac{a_{cos}}{a_{Λ}} )^{2} = \frac{Λ}{3} a_{cos}^{2} , μ := (\frac{a_{cos}}{a_{P l}} )^{2} = \frac{a_{cos}^{2}}{γh̄} ,  (4.4)

definiert, die im folgenden die Rolle von Entwicklungsparametern spielen werden. Ferner reskalieren wir die Triadenfelder über

e_{ia} = a_{cos} e′_{ia} , ẽ^{i}_{a} = a_{cos}^{2} ẽ′^{i}_{a} ,  (4.5)

wobei e′_{ia} und ẽ′^{i}_{a} dimensionslose Felder sind. Unter Verwendung der Definitionen (4.4) und (4.5) kann man den Chern-Simons-Zustand (3.41) nun vollständig in dimensionslosen Größen ausdrücken:^{1}

Ψ_{CS} = N ·∫ ; Γ D^{9}[A_{ia}] exp [ ±μ (∫ d^{3}x ε̃^{ijk}e′_{ia}D_{j}e′_{ka} + \frac{1}{κ} S_{CS}[A_{ia}]) ] . (4.6)

Im Limes μ → ∞ bei festem κ und e′_{ia} ergibt sich hiermit offensichtlich eine Gaußsche Sattelpunktsform für das Funktionalintegral, so daß der Chern-Simons-Zustand (4.6) in diesem Grenzfall mit Hilfe der Laplaceschen Sattelpunktsmethode ausgewertet werden kann.

4.1 Der semiklassische Limes μ → ∞

Die Diskussion des Limes μ → ∞ für den Chern-Simons-Zustand (4.6) ist physikalisch sehr interessant, denn gemäß (4.4) handelt es sich hierbei gerade um den Grenzfall a_{cos} ≫ a_{P l}, wo die kosmologische Längenskala a_{cos} der räumlichen 3-Geometrie groß im Verhältnis zur Planck-Skala ist. Außer in unmittelbarer Umgebung des Urknalls ist die Annahme dieser Längenverhältnisse gut gerechtfertigt. Gleichzeitig entspricht der Grenzfall μ → ∞ wegen (4.4) dem formalen Limes h̄ → 0, weswegen wir ihn im weiteren auch als semiklassischen Limes bezeichnen werden.

1Die Ashtekarvariablen A_{ia} tragen per definitionem keine Dimension.

Die Anwendung der Laplaceschen Methode auf das Funktionalintegral (4.6) liefert im Limes μ → ∞ bis auf einen konstanten Vorfaktor das asymptotische Resultat

Ψ_{CS} ∝^{μ → ∞} N · Det^{−1/2}[ μ \frac{δ^{2}F}{δA_{ia}(x)δA_{jb}(y)} ] · exp [ ± μF ]  (4.7)

mit

F := ∫ d^{3}x ε̃^{ijk}e′_{ia}D_{j}e′_{ka} + \frac{1}{κ} S_{CS}[A_{ia}] .  (4.8)

Hierbei ist der Ausdruck (4.7) an Sattelpunkten des Exponenten F auszuwerten, für A_{ia} ist also eine Lösung der Sattelpunktsgleichung

\frac{δF}{δA_{ia}} ! = 0  ⇔  \frac{1}{2} ε̃^{ijk}F_{jka} ! = −κ · ẽ′^{i}_{a}  (4.9)

einzusetzen.

In (4.9) erkennen wir das klassische Gleichungssystem (2.50) wieder, was nicht überraschend ist, da der Chern-Simons-Zustand gerade als Lösung der Gleichungen (3.31) konstruiert wurde, welche im semiklassischen Limes in (2.50) übergehen.

Die Sattelpunktsgleichung (4.9) läßt sich auch expliziter in der Form

ε̃^{ijk} (∂_{j}A_{ka} + \frac{1}{2} ε_{abc} A_{jb} A_{kc}) = −\frac{Λ}{3} ẽ^{i}_{a}  (4.10)

schreiben; sie bestimmt zu vorgegebenem ẽ^{i}_{a} und Λ diejenigen Sattelpunktsfelder A_{ia}, die über den semiklassischen Ausdruck (4.7) Beiträge zum Funktionalintegral (4.6) liefern können. Da die Komponenten ẽ^{i}_{a} der Triadenfelder bereits die Information über die lokalen Diffeomorphismus- und SO(3)-Eichfreiheitsgrade enthalten, haben die Lösungen A_{ia} der Sattelpunktsgleichung (4.10) bei vorgegebenen Feldern ẽ^{i}_{a} keine Eichfreiheit: Fixieren wir eine Eichung für ẽ^{i}_{a}, so impliziert dies über (4.10) automatisch auch eine Eichfixierung für die Sattelpunktslösungen A_{ia}. Wir erwarten deshalb, daß die neun Gleichungen (4.10) zu gegebenem Λ und ẽ^{i}_{a} ein diskretes, endliches Lösungsspektrum für die neun Sattelpunktsfelder A_{ia} liefern.

Auf die allgemeinen Lösbarkeitseigenschaften des nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungssystems (4.10) gehen wir im Anhang A.1 noch genauer ein.

Die Lösungen A_{ia} der Sattelpunktsgleichung werden aufgrund der Nichtlinearität von (4.10) in der Regel komplex sein, was uns an dieser Stelle aber keineswegs stört: Auch komplexe Sattelpunkte können von der komplexen Integrationskontur Γ problemlos durchlaufen werden, so daß diese durchaus einen sinnvollen asymptotischen Sattelpunktsbeitrag zum Funktionalintegral (4.6) liefern; außerdem wurden die Ashtekarvariablen in (2.34) bereits klassisch als komplexe Felder eingeführt.

Die Anzahl der verschiedenen Sattelpunktslösungen von (4.10) wird im allgemeinen von der Topologie der 3-Mannigfaltigkeit M_{3} abhängen: Bei Einschränkung auf Bianchi IX-homogene Mannigfaltigkeiten mit S^{3}-Topologie besitzt das Gleichungssystem (4.10) fünf verschiedene Lösungen, was aus früheren Untersuchungen [42, 23] bekannt ist. Diese Lösungen sollten sich zumindest für kleine, inhomogene Störungen der 3-Metrik perturbativ fortsetzen lassen, wobei die Lösungszahl erhalten bleibt.^{2} Im Gegensatz hierzu finden wir für flache 3-Mannig-faltigkeiten mit T^{3}-Topologie, die über das Bianchi I-Modell beschrieben werden, nur zwei Lösungen der entsprechenden Sattelpunktsgleichung. Für andere Topologien können sich noch andere Lösungszahlen ergeben. Im Kapitel 4.2 werden wir sehen, daß die Sattelpunktsgleichung (4.10) aber stets mindestens zwei verschiedene Lösungen besitzt, die unabhängig von der Topologie der räumlichen Mannigfaltigkeit M_{3} existieren.

Jede Sattelpunktslösung A_{ia} von (4.10) liefert über (4.7) einen möglichen, semiklassischen Sattelpunktsbeitrag zum Funktionalintegral (4.6) im Limes μ → ∞. Unter Eichtransformationen der Triade ẽ^{i}_{a} transformiert sich eine feste Sattelpunktslösung A_{ia} inhomogen wie ein SO(3)-Eichfeld, denn (4.10) ist eine Diffeomorphismus- und SO(3)-kovariante Feldgleichung. Der semiklassische Beitrag (4.7) zum Chern-Simons-Zustand (4.6) ist damit eichinvariant, wie es auch sein muß, denn Ψ_{CS} wurde als eichinvarianter Quantenzustand konstruiert. Folglich kann zur Berechnung des semiklassischen Wellenfunktionals noch jede gewünschte Eichbedingung für die Triade gefordert werden.

Jeder mögliche, semiklassische Sattelpunktsbeitrag kann zum dominanten Beitrag im Funktionalintegral (4.6) erhoben werden, indem man die Integrationskontur Γ geeignet wählt. Daher ist die Anzahl der verschiedenen Sattelpunktslösungen von (4.10) gleichzeitig auch die Anzahl der linear unabhängigen, semiklassischen Wellenfunktionale Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}], die durch asymptotische Auswertung des Integrals (4.6) über topologisch inäquivalente Integrationsbereiche Γ erhalten werden können.

2Diese störungstheoretische Aussage wird im Anhang A.1 unter der Einschränkung R ≠ 2Λ für den Krümmungsskalar R bewiesen.

Wählt man für einen gegebenen Sattelpunkt A_{ia}[ẽ^{i}_{a}, Λ] zur analytischen Auswertung des Funktionalintegrals (4.6) die Integrationsmannigfaltigkeit Γ implizit als Fläche steilsten Anstiegs von ∓ℜF, so erfüllt Γ die Voraussetzungen aus Abschnitt 3.4,^{3} und definiert somit einen exakten Quantenzustand. Aufgrund dieser Identifizierungsmöglichkeit stimmt die Zahl der verschiedenen Sattelpunktslösungen von (4.10) auch mit der Zahl der linear unabhängigen, exakten Quantenzustände Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] überein, die durch geeignete Fouriertransformation aus ein und demselben Chern-Simons-Zustand (3.39) in der A_{ia}-Darstellung generiert werden.

Resümierend erhalten wir also unter Verwendung ausgewählter, topologisch inäquivalenter Integrationsbereiche Γ in (4.6) verschiedene, linear unabhängige Quantenzustände der Gravitation in der ẽ^{i}_{a}-Darstellung, wobei die Anzahl der Zustände noch von der Topologie der räumlichen Mannigfaltigkeit M_{3} abhängen kann. Für beliebige Topologien von M_{3} sollten jedoch stets mindestens zwei linear unabhängige Chern-Simons-Zustände in der Triadendarstellung existieren.

Um zu expliziteren Ausdrücken für die möglichen semiklassischen Chern-Si-mons-Wellenfunktionale Ψ_{CS}[ẽ^{i} _{a}] im Limes μ → ∞ zu gelangen, werden wir im weiteren Verlauf dieses Kapitels versuchen, die Sattelpunktsgleichung (4.10) analytisch zu lösen. Aufgrund der komplizierten, nichtlinearen Struktur dieser Gleichung sind ihre Lösungen in voller Allgemeinheit leider nicht zugänglich, weshalb wir uns auf asymptotische Lösungen in den beiden Grenzfällen κ → ∞ und κ → 0 beschränken werden.

4.2 Der Limes κ → ∞

Im Rahmen des semiklassischen Limes μ → ∞ läßt sich die Sattelpunktsgleichung (4.10) für große Parameter κ asymptotisch lösen, womit eine analytische Auswertung des Chern-Simons-Zustands (4.6) in diesem Grenzfall möglich wird. Der Limes μ → ∞, κ → ∞ läßt sich physikalisch realisieren, indem man für die drei fundamentalen Längenskalen (4.1)-(4.3) die Relationen a_{cos} ≫ a_{Λ}, a_{P l} annimmt, also bei festem Λ > 0 hinreichend große räumliche 3-Mannigfaltigkeiten (M_{3}, h) betrachtet.

Zur Herleitung von asymptotischen Sattelpunktslösungen schreiben wir die Sattelpunktsgleichung (4.10) in der Form

3Die Topologie von Γ wird sich dabei unter kleinen Deformationen der Triade ẽ^{i}_{a} nicht ändern, da ẽ^{i}_{a} nur in subdominanter Weise das Verhalten des Exponenten F bestimmt.

ε̃^{ijk} (∂_{j}A_{ka} + \frac{1}{2} ε_{abc} A_{jb} A_{kc}) = − κ · ẽ′^{i}_{a} ,  (4.11)

und machen für A_{ia} den Entwicklungsansatz

A_{ia} ∼^{κ → ∞} \sqrt{κ} · c_{ia}^{(0)} + O(κ^{0}) ,  (4.12)

wobei die Koeffizienten c_{ia}^{(0)} allein eine Funktion von ẽ′^{i}_{a} sein sollen. Unter dem Ansatz (4.12) dominiert der nicht-Abelsche Term in (4.11) asymptotisch den Abelschen Krümmungsbeitrag, so daß in führender Ordnung des Entwicklungsparameters κ die Gleichung

\frac{1}{2} ε̃^{ijk}ε_{abc} c_{jb}^{(0)} c_{kc}^{(0)} = − ẽ′^{i}_{a}  (4.13)

zu lösen bleibt. Wegen (3.42) liefert (4.13) unmittelbar die beiden Lösungen

c_{ia}^{(0)} = ± i e′_{ia} ,  (4.14)

womit die asymptotische Sattelpunktslösung A_{ia} aus (4.12) die Form

A_{ia} ∼^{κ → ∞} ± i \sqrt{\frac{Λ}{3}} · e_{ia} + O(κ^{0})  (4.15)

annimmt. Hierbei ist zu betonen, daß die Wahl des Vorzeichens in (4.14), (4.15) unabhängig von der Definition der Ashtekarvariablen in Gleichung (2.34) erfolgen kann. Für beide Vorzeichenwahlen in (2.34) gibt es also jeweils zwei verschiedene Sattelpunktslösungen. Um möglichen Verwirrungen in diesem Zusammenhang vorzubeugen, werden wir im folgenden exemplarisch nur noch eine Sattelpunktslösung betrachten, die der Wahl des oberen Vorzeichens in (4.14) und (4.15) entspricht. Die analogen Resultate für die andere Sattelpunktslösung kann man dann jederzeit über eine komplexe Konjugation erhalten.

Die Entwicklung (4.15) läßt sich über den erweiterten Ansatz

A_{ia} ∼^{κ → ∞} ∑_{n=0}^{∞} c_{ia}^{(n)} · κ^{(1−n)/2}  (4.16)

im Sinne einer asymptotischen Reihe fortführen, wobei sich interessanterweise sämtliche Entwicklungskoeffizienten analytisch berechnen lassen: In jeder Entwicklungsordnung von κ enthält der nicht-Abelsche Term in (4.11) den unbekannten Koeffizienten c_{ia}^{(n)}, während der nichtlokale Term aus niedrigeren Ordnungen bekannt ist. Die Bestimmungsgleichungen für die Entwicklungskoeffizienten sind damit lokal und linear in c_{ia}^{(n)}, und lassen sich deshalb explizit analytisch lösen.

Für die ersten Entwicklungsglieder ergibt sich dabei:

A_{ia} ∼^{κ → ∞} \underbrace{i \sqrt{\frac{Λ}{3}} e_{ia}}_{O(κ^{1/2})} + \underbrace{ω_{ia}}_{O(κ^{0})} + \underbrace{i \sqrt{\frac{3}{Λ}} (\frac{R}{4} e_{ia} − e_{ja} R_{i}^{j})}_{O(κ^{−1/2})} +O(κ^{−1}) .  (4.17)

Mit dem Ergebnis (4.17) können wir nun den asymptotischen Sattelpunktsbeitrag (4.7) zum Chern-Simons-Zustand (4.6) berechnen, indem wir den Vorfaktor der Gaußschen Fluktuationen und den Exponenten F am Sattelpunkt (4.17) auswerten. Für den Gaußschen Vorfaktor findet man

Det^{−1/2} [ μ \frac{δ^{2}F}{δA_{ia}(x)δA_{jb}(y)} ] ∝^{κ → ∞} h^{[}^{−3/4}  (4.18)

mit h^{[} aus (3.22), wobei ein von γ, h̄ und Λ abhängiger Vorfaktor in dem Proportionalitätszeichen von (4.18) absorbiert wurde. Der semiklassische Exponent F gemäß (4.8) nimmt asymptotisch die folgende Form an:

F ∼^{κ → ∞} \frac{1}{γh̄μ} [ i \sqrt{\frac{3}{Λ}} ∫ d^{3}x \sqrt{h} (\frac{4Λ}{3} − R) + \frac{3}{Λ} S_{CS}[ω_{ia}] ] + O(κ^{−3/2}) . (4.19)

Die ersten beiden Terme in (4.19) sind von den Ordnungen O(κ^{1/2}) und O(κ^{−1/2}), und stammen vom ersten und dritten Entwicklungsglied der asymptotischen Reihe (4.17); sie bestimmen die semiklassische Wirkung

S ∼^{κ → ∞} ± \frac{1}{γ} \sqrt{\frac{3}{Λ}} ∫ d^{3}x \sqrt{h} (\frac{4Λ}{3} − R)  (4.20)

des Chern-Simons-Zustands im Limes κ → ∞, die eine bemerkenswerte formale Ähnlichkeit zum Wirkungsfunktional der Gravitation (2.1) aufweist.

Der Entwicklungsterm, der vom Riemannschen Spin-Zusammenhang ω_{ia} in (4.17) herrührt, wird überraschenderweise vollständig vom Beitrag der Ähnlichkeitstransformation (3.32) kompensiert, weshalb in (4.19) ein Beitrag von der Ordnung O(κ^{0}) fehlt.

Der dritte Term in (4.19) ist von der Ordnung O(κ^{−1}), der zugehörige Entwicklungsterm des Sattelpunktsfeldes A_{ia} ist kompliziert und wurde in der Sattelpunktsentwicklung (4.17) der Übersichtlichkeit halber nicht angegeben. Dieser Beitrag zum Exponenten F hat erstaunlicherweise wieder die Form eines Chern-Simons-Funktionals (3.40), bei dem allerdings die komplexen Ashtekarfelder A_{ia} durch den reellen, Riemannschen Spin-Zusammenhang ω_{ia} ersetzt sind.

Fügt man die Ergebnisse (4.18) und (4.19) über (4.7) zusammen, so ergibt sich für den semiklassischen Chern-Simons-Zustand im Limes κ → ∞ explizit:

Ψ_{CS} ∝_{μ → ∞}^{κ → ∞}N h^{[}^{−3/4} exp[±\frac{1}{γh̄}(i \sqrt{\frac{3}{Λ}} ∫ d^{3}x \sqrt{h} (\frac{4Λ}{3} − R)+ \frac{3}{Λ} S_{CS}[ω_{ia}])] . (4.21)

Wählt man in (4.17) den zweiten, konjugiert komplexen Sattelpunkt A_{ia}^{∗}, so ergibt sich anstelle von (4.21) das asymptotische Wellenfunktional Ψ_{CS}^{∗}.

Wie wir in Kapitel 5 noch genauer ausführen werden, trägt der Zustand (4.21) einen Strom mit festem Vorzeichen in der h(x)-Richtung des Konfigurationsraumes, der für Ψ_{CS}^{∗} durch sein negatives ersetzt ist. Diese Eigenschaft erinnert stark an die Vilenkinsche Vorstellung von der Wellenfunktion des Universums [29, 30].

Ferner ist bemerkenswert, daß das Resultat (4.21) unabhängig von der Topologie der 3-Mannigfaltigkeit M_{3} ist. Für jede Riemannsche 3-Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) mit hinreichend großem Skalenparameter a_{cos} liegen deshalb über Ψ_{CS} und Ψ_{CS}^{∗} stets mindestens zwei unabhängige Wellenfunktionale der Quantengravitation vor, die beide aus dem Chern-Simons-Zustand (3.39) in der Ashtekar-Darstellung hervorgehen.

In der Form (4.21) sieht man explizit die Invarianz von Ψ_{CS} unter beliebigen Diffeomorphismen und unter SO(3)-Eichtransformationen, die kontinuierlich mit der Identität verbunden sind. Allerdings ist S_{CS}[ω_{ia}] nicht invariant bezüglich großer SO(3)-Eichtransformationen mit nichttrivialer Windungszahl. Auf dieses Phänomen wollen wir im nächsten Abschnitt genauer eingehen, und anschließend den Vorfaktor N des Chern-Simons-Zustands (4.21) so wählen, daß Ψ_{CS} trotzdem eichinvariant auch unter großen Eichtransformationen der Triade ist.

4.2.1 Große Eichtransformationen und die Cartan-Mau-rer-Invariante

Betrachten wir zum Riemannschen Spin-Zusammenhang ω_{ia} das Verhalten des Chern-Simons-Funktionals

S_{CS}[ω_{ia}] = ∫ d^{3}x ε̃^{ijk} (ω_{ia} ∂_{j}ω_{ka} + \frac{1}{3} ε_{abc} ω_{ia} ω_{jb} ω_{kc})  (4.22)

unter beliebigen SO(3)-Eichtransformationen der Triade

e_{ia} ↦ Ω_{ab} e_{ib} , Ω ∈ SO(3) ,  (4.23)

so ist S_{CS}[ω_{ia}] im allgemeinen nicht invariant unter (4.23). Stattdessen ergibt sich das Transformationsverhalten

S_{CS}[ω_{ia}] ↦ S_{CS}[ω_{ia}] + \frac{1}{6} I(Ω)  (4.24)

mit^{4}

I(Ω) := ∫ d^{3}x ε̃^{ijk} Tr [ Ω^{T}∂_{i}Ω · Ω^{T}∂_{j}Ω · Ω^{T}∂_{k}Ω ] .  (4.25)

Die Größe I(Ω) heißt Cartan-Maurer-Invariante der SO(3)-Drehgruppe, und hängt offensichtlich nur von der Drehmatrix Ω, nicht aber explizit von der Triade oder 3-Metrik ab. Man kann zeigen [43], daß I(Ω) eine quantisierte, topologische Invariante ist, deren Wert auf ganzzahlige Vielfache einer festen Zahl I_{0} eingeschränkt ist:

I(Ω) = I_{0} · w(Ω) , w(Ω) ∈ –^{/} –^{/} .  (4.26)

Die ganze Zahl w(Ω) heißt in diesem Zusammenhang auch Windungszahl der Drehung Ω; der Wert der Größe I_{0} hängt nur von der Topologie der 3-Mannig-faltigkeit M_{3} ab, und hat beispielsweise für Mannigfaltigkeiten mit S^{3}-Topologie den Wert I_{0} = 96 π^{2}.

Für Drehungen Ω mit lokal hinreichend kleinem Drehwinkel verschwindet die Windungszahl w(Ω), und damit auch I(Ω). Unter solchen Drehungen ist S_{CS}[ω_{ia}] invariant. Größere Eichtransformationen können jedoch zu einer Verdrehung der Triade mit nichttrivialer Windungszahl w(Ω) führen, was wir im folgenden geometrisch erläutern wollen.

4In (4.25) bezeichnet ”Tr“ die übliche Spur auf dem Raum der (3x3)-Matrizen, und Ω^{T} die transponierte Matrix zu Ω = (Ω_{ab}).

Hierzu betrachten wir das Triadenvektorfeld e⃗_{3} einer Riemannschen 3-Mannig-faltigkeit (M_{3}, h) entlang einer globalen, geschlossenen Kurve C ⊂ M_{3}, die der Einfachheit halber kreisförmig dargestellt sei:

e⃗_{3}  C  E_{3}

Abbildung 4.1: Das Triadenvektorfeld e⃗_{3} einer Riemannschen 3-Mannigfal-tigkeit (M_{3}, h) entlang einer globalen, geschlossenen Kurve C ⊂ M_{3}.

Wie in Abbildung 4.1 dargestellt, spannt das Vektorfeld e⃗_{3} entlang der Kurve C eine zweidimensionale Fläche auf, die wir mit E_{3} bezeichnen wollen. Unter hinreichend kleinen, lokalen Drehungen von e⃗_{3} um den Tangentialvektor der Kurve C deformiert sich die Fläche E_{3}, wobei ihre Topologie jedoch erhalten bleibt. Diese Situation ist in der Graphik 4.2 veranschaulicht.

E_{3}  C  e⃗_{3}

Abbildung 4.2: Das Triadenvektorfeld e⃗_{3} aus Abbildung 4.1 wurde kontinuierlich um den Tangentialvektor der Kurve C verdreht.

Erst für große Drehungen, die entlang der Kurve C nicht kontinuierlich auf die identische Abbildung Ω = 1 zurückgeführt werden können, ändert sich auch die Topologie von E_{3}, in unserem Beispiel in die Topologie eines doppelt verwundenen Möbiusbandes:

e⃗_{3}  C  E_{3}

Abbildung 4.3: Toplogisch nichttriviale Drehung des Triadenvektorfeldes e⃗_{3} aus Abbildung 4.1 um den Tangentialvektor der Kurve C.

Der Übergang von der Triade in Abbildung 4.1 zur Triade in Abbildung 4.3 entspricht anschaulich gerade einer Drehung mit Windungszahl, unter der S_{CS}[ω_{ia}] um einen diskreten, additiven Beitrag gemäß (4.24) anwächst.

Für einen konstanten Vorfaktor N würde sich bei einer solchen Eichtransformation auch der Wert des asymptotischen Chern-Simons-Zustands (4.21) ändern, was ein Widerspruch zur geforderten SO(3)-Eichinvarianz des Quantenzustands der Gravitation wäre.^{5} Wie schon in Kapitel 3.4 ausgeführt, muß der Vorfaktor N des Chern-Simons-Zustands aber nicht zwangsläufig unabhängig von der Triade gewählt werden; im Rahmen der Forderung (3.43) genügt es, wenn sich N unter infinitesimalen Deformationen der Triade nicht ändert. Wählen wir beispielsweise

N ∝ exp [ ∓ \frac{I(Ω̂)}{2γh̄Λ} ] ,  (4.27)

5Diese Problematik tritt auch bei der Quantisierung von Yang-Mills-Theorien auf, wo sie einen üblicherweise auf die Definition des sogenannten Θ-Winkels führt [5, 43]. Im Rahmen der Gravitationstheorie läßt sich die Einführung dieser relativ unschönen Hilfsgröße jedoch durch einen einfachen Trick vermeiden.

wobei Ω̂ diejenige Drehmatrix ist, die eine beliebige Triade e⃗_{a} in eine fest ausgezeichnete Triade überführt, so ist N bezüglich kleiner Variationen der Triade e⃗_{a} konstant. Folglich gilt (3.43), und Ψ_{CS} bleibt auch mit N aus (4.27) ein exakter Quantenzustand. Da der Vorfaktor (4.27) aber gerade so gewählt ist, daß er den inhomogenen Beitrag von (4.24) vollständig kompensiert, ist Ψ_{CS} bei dieser Wahl von N auch unter großen Eichtransformationen mit nichttrivialer Windungszahl invariant.

Zur expliziten Definition der Drehmatrix Ω̂ in (4.27) eignet sich als ausgezeichnete Triade beispielsweise die in Anhang D diskutierte Einstein-Triade g⃗_{a}.

Mit der Wahl (4.27) stellt Ψ_{CS} gemäß (4.21) also nun einen semiklassischen Quantenzustand der Gravitation im Limes μ → ∞, κ → ∞ dar, der alle geforderten Eichsymmetrien exakt befriedigt. Im nächsten Abschnitt soll dieser Quantenzustand einmal exemplarisch für spezielle, homogene 3-Mannigfaltigkei-ten (M_{3}, h) berechnet werden.

4.2.2 Der homogene Grenzfall

Es soll nun der semiklassische Chern-Simons-Zustand (4.21) im Limes κ → ∞ für homogene 3-Geometrien h ausgewertet, und das Resultat mit früheren Ergebnissen aus der Diskussion homogener kosmologischer Modelle verglichen werden. Dabei werden wir uns auf die Klasse der Bianchi-homogenen 3-Mannigfaltigkeiten beschränken, die im Anhang B.1 definiert und beschrieben werden; hier wird auch gezeigt, daß für homogene Mannigfaltigkeiten dieses Typs stets eine bezüglich der Homogenitätsgruppe invariante Triade e⃗_{a} = i⃗_{a} gefunden werden kann. Die über

[ i⃗_{a}, i⃗_{b}] = ε_{abc} m_{cd} i⃗_{d}  (4.28)

implizit definierte Strukturmatrix m ist für die invariante Triade räumlich konstant, und gemäß Anhang B.2 lassen sich sämtliche für den Zustand (4.21) benötigten geometrischen Größen allein durch m und das Volumen V der homogenen 3-Mannigfaltigkeit ausdrücken. Für die explizite Angabe des resultierenden Zustands (4.21) ist es dabei zweckmäßig, zur Strukturmatrix m die skaleninvariante Matrix

M = a_{cos} · m  (4.29)

einzuführen. Dann finden wir als Wert des Chern-Simons-Zustands (4.21) für homogene Mannigfaltigkeiten beliebigen Bianchi-Typs:

Ψ_{CS} ∼_{μ → ∞}^{κ → ∞} N h^{[}^{−3/4} exp [ ± μ(4i\sqrt{κ} − \frac{i}{\sqrt{κ}} [ TrM^{2} − 2 TrM^{T}M + \frac{1}{2} Tr^{2}M ]

−\frac{1}{κ} [ TrM^{2}M^{T}− \frac{1}{6} TrM (TrM^{2}+ 2 TrM^{T}M )+ 2 det M ] )] . (4.30)

Der Exponent von (4.30) ist ausschließlich in dimensionslosen Größen ausgedrückt, und erlaubt ein direktes Ablesen der κ-Ordnung der verschiedenen Entwicklungsbeiträge.

Wir wollen des Resultat (4.30) nun weiterhin auf Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ IX spezialisieren, die durch eine symmetrische, positive Strukturmatrix m beschrieben werden können. Zum Vergleich mit früheren Arbeiten definieren wir die positive, dimensionslose Konstante^{6}

V := \frac{V}{8} det m ,  (4.31)

und schreiben M in der Form

M = 2 ^{3} \sqrt{V} · e2β ,  (4.32)

wobei β eine spurlose Matrix ist, die durch geeignete SO(3)-Eichtransformationen stets diagonalisiert werden kann.^{7} In dem reskalierten Parameter κ′ := V^{−2/3} ·κ/4 erhalten wir dann aus (4.30) für Bianchi IX-Geometrien den folgenden Wert des semiklassischen Chern-Simons-Zustands

Ψ_{CS} ∼_{μ → ∞}^{κ → ∞} N h^{[}^{−3/4} exp [ ± \frac{24V}{γh̄Λ}(4i\sqrt{κ′}^{3} − i \sqrt{κ′} [ Tr e−2β − \frac{1}{2} Tr e4β ]

−\frac{1}{2} [ Tr e6β − Tr e2β · Tr e−2β + 7 ] )] , (4.33)

6Der Wert von V kann hierbei noch von einer eventuell nichttrivialen Kompaktifizierung der 3-Mannigfaltigkeit M_{3} abhängen. Im Rahmen der Arbeit [23] wurde V = 4 π^{2} angenommen, eine rein geometrische Konstruktion der 3-Sphäre als Hyperfläche des R^{|} ^{4} im Anhang B.3.1 liefert hingegen für das dimensionslose ”Volumen“ V einen Wert von V = 2 π^{2}.

7Siehe hierzu auch Anhang B.1.

wobei ferner die Identität

Tr e2β · Tr e4β = Tr e6β + Tr e2β · Tr e−2β − 3  (4.34)

verwendet wurde. Bis auf den Vorfaktor der Gaußschen Fluktuationen stimmt der Zustand (4.33) mit dem semiklassischen Zustand des Bianchi IX-Modells in [23] überein: Zum expliziten Vergleich ist der Parameter κ in [23] mit κ′ in (4.33) zu identifizieren, und V = 4 π^{2} zu wählen. Ferner wurde im Rahmen von [23] die Newtonsche Gravitationskonstante G gleich Eins, also γ = 16π gesetzt. Unter Berücksichtigung dieser Übersetzungsregeln hat der Exponent von (4.33) exakt dieselbe Form wie in (5.18) aus [23], wobei die freien Vorzeichen noch passend zu wählen sind.

Mit den semiklassischen Exponenten des Quantenzustands stimmt auch die semiklassische Evolution in beiden Beschreibungen überein, was physikalisch sinnvoll ist. Allerdings ergeben sich unterschiedliche Amplituden des semiklassischen Chern-Simons-Zustands, da wir es quantenmechanisch mit zwei grundlegend verschiedenen Zugängen zur Beschreibung homogener 3-Metriken zu tun haben:

Während in [23] von vornherein nur Bianchi IX-homogene, räumliche 3-Man-nigfaltigkeiten zugelassen wurden, was einem endlichdimensionalen Konfigurationsraum entspricht, behandeln wir im Rahmen dieser Arbeit die inhomogene Feldtheorie über einem unendlichdimensionalen Konfigurationsraum, der Bianchi IX-homogene 3-Metriken als Unterraum enthält. Werten wir den inhomogenen Chern-Simons-Zustand (4.21) für Bianchi IX-homogene 3-Geometrien aus, so entspricht dies hier einer Berechnung sehr spezieller Funktionswerte des Wellenfunktionals; die entsprechende Rechnung für das homogene Modell in [23] führt dagegen zu einer vollständigen Kenntnis der Wellenfunktion.

Als weiteren Spezialfall der Formel (4.30) wollen wir noch ihre Restriktion auf flache, also Bianchi I-homogene 3-Mannigfaltigkeiten angeben. Für flache 3-Geometrien verschwindet die Strukturmatrix m der invarianten Triade i⃗_{a}, und damit auch M gemäß (4.29), so daß sich (4.30) zu

Ψ_{CS} ∼_{μ → ∞}^{κ → ∞} N h^{[}^{−3/4} exp [ ± 4iμ \sqrt{κ} ]

= N h^{[}^{−3/4} exp [ ± \frac{4i}{γh̄} \sqrt{\frac{Λ}{3}} · ∫_{M_{3}}d^{3}x \sqrt{h} ]  (4.35)

vereinfacht. In diesem Fall hängt der Wert des Chern-Simons-Zustands im Limes κ → ∞ also nur noch vom Volumen der 3-Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) ab - ein Ergebnis, das man auch direkt aus dem allgemeinen, inhomogenen Resultat (4.21) erhält, indem man dort die Größen R und S_{CS}[ω_{ia}] einfach gleich Null setzt.

4.2.3 Semiklassische 4-Geometrien

Als nächstes wollen wir die semiklassischen Trajektorien diskutieren, die über den Chern-Simons-Zustand (4.21) im Limes μ → ∞, κ → ∞ beschrieben werden. Hierfür benötigen wir zunächst die klassische Evolutionsgleichung

˙ẽ^{i}_{a} = − {H, ẽ^{i}_{a}}  (4.36)

für die Triade ẽ^{i}_{a}, wobei für H das Hamiltonfunktional der Gravitation (2.41) einzusetzen ist. Nach Berechnung der Poisson-Klammer über (2.39) hängt die rechte Seite von (4.36) noch von den zu ẽ^{i}_{a} kanonisch konjugierten Impulsen p_{ia} ab. Diese erhalten wir im Rahmen der Hamilton-Jacobi-Theorie aus der semiklassischen Wirkung S des Wellenfunktionals Ψ_{CS},

Ψ_{CS} ∼^{μ → ∞} A · exp [ \frac{i}{h̄} S ] ,  (4.37)

denn S löst im semiklassischen Limes die Hamilton-Jacobi-Gleichung der Gravitation, so daß sich die Impulse p_{ia} aus

p_{ia} = \frac{δS}{δẽ^{i}_{a}}  (4.38)

ergeben [44]. Setzen wir die Impulsfunktionale (4.38) in die Evolutionsgleichung (4.36) ein, so können wir zu jeder Anfangstriade ẽ^{i}_{a}(0) eine semiklassische Trajektorie ẽ^{i}_{a}(t) berechnen, die allerdings noch von der Wahl der Lagrangeschen Multiplikatoren N, N^{i} und Ω_{a} im Hamiltonfunktional (2.41) abhängt: Verschiedene Multiplikatoren liefern verschiedene Trajektorien im Konfigurationsraum zur selben Anfangstriade ẽ^{i}_{a}(0). Tatsächlich interessieren wir uns aber nicht explizit für die semiklassischen Trajektorien im Raum der Triaden, sondern für die effektiven 4-Geometrien g, die über (2.20) und (2.4) zu jeder semiklassischen Trajektorie ẽ^{i}_{a}(t) konstruiert werden können, und die unabhängig von der Wahl der Lagrangeschen Multiplikatoren N, N^{i} und Ω_{a} sind. In der folgenden Diskussion können wir deshalb ohne Beschränkung der Allgemeinheit einfach

N = 1 , N^{i} = 0 , Ω_{a} = 0  (4.39)

wählen.

Aus der Evolutionsgleichung (4.36) wird dann

˙ẽ^{i}_{a} = ± i ε̃^{ijk} D_{j}e_{ka} = −\frac{γ}{2} ε̃^{ijk} ε_{abc} p_{jb} e_{kc} ,  (4.40)

was über (3.42) auch äquivalent zu

ė_{ia} = −\frac{γ}{2} p_{ia}  (4.41)

ist. Die Impulse (4.38) erhalten wir im Limes κ → ∞ aus der semiklassischen Wirkung (4.20) des Chern-Simons-Zustands,

p_{ia} ∼^{κ → ∞} ± \frac{2}{γ} [ \sqrt{\frac{Λ}{3}} e_{ia} + \sqrt{\frac{3}{Λ}} (\frac{R}{4} e_{ia} − R^{j}_{i} e_{ja}) ] ;  (4.42)

dasselbe Resultat ergibt sich auch direkt aus der asymptotischen Entwicklung von A_{ia} gemäß (4.17) in Verbindung mit (2.34).

Einsetzen von (4.42) in (4.40) liefert schließlich eine explizite Bestimmungsgleichung für die semiklassischen Trajektorien im Limes κ → ∞:

∓ ˙ ẽ^{i}_{a} ∼^{κ → ∞} 2 \sqrt{\frac{Λ}{3}} ẽ^{i}_{a} + \sqrt{\frac{3}{Λ}} G^{i}_{j} ẽ^{j}_{a} .  (4.43)

Die Evolutionsgleichung (4.43) transformiert sich offensichtlich O(3)-kovariant unter Eichtransformationen der Triade ẽ^{i}_{a}, weshalb man unter Verwendung der Beziehungen (2.20) und (3.42) sogar eine effektive Entwicklungsgleichung für die Komponenten h_{ij} der 3-Metrik angeben kann:

∓ ḣ_{ij} ∼^{κ → ∞} 2 \sqrt{\frac{Λ}{3}} h_{ij} + \sqrt{\frac{3}{Λ}} (\frac{R}{2} h_{ij} − 2 R_{ij}) .  (4.44)

Betrachten wir im folgenden die Wahl des unteren Vorzeichens^{8} in (4.44), so durchläuft die 3-Metrik h eine typische DeSitter-Evolution:

Für große κ wird der Krümmungsterm in (4.44) vom ersten Term dominiert, so daß wir als asymptotische Lösung

h_{ij}(x, t) ∼^{t → ∞} h_{ij}^{(∞)}(x) · exp [ 2 \sqrt{\frac{Λ}{3}} · t ]  (4.45)

erhalten. Hierbei ist h_{ij}^{(∞)}(x) ein freies Integrationsfeld, das die im allgemeinen inhomogene, anisotrope 3-Metrik h^{(∞)} im Limes t → ∞ beschreibt.

Der Ausdruck (4.45) stellt eine selbstkonsistente, semiklassische Lösung dar, denn im Limes t → ∞ divergiert das Volumen der 3-Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) exponentiell, womit auch κ gemäß (4.4), (4.3) beliebig groß wird. Dies rechtfertigt im Nachhinein, warum wir uns widerspruchsfrei auf den Grenzfall κ ≫ 1 beschränken, und insbesondere den Krümmungsterm in (4.44) vernachlässigen dürfen. Erst bei kleineren, endlichen Zeiten t liefert der Krümmungsterm in (4.44) Korrekturen zur asymptotischen Lösung (4.45); für noch kleinere Zeiten bricht die Näherung κ ≫ 1 schließlich zusammen, und wir müßten zu exakten Lösungen der Sattelpunktsgleichung (4.10) übergehen, um in diesem Bereich noch Aussagen über die semiklassische Evolution der 3-Metrik machen zu können.

Zur asymptotischen Lösung (4.45) erhalten wir über (2.4) die semiklassische 4-Geometrie im Limes t → ∞:

g ∼^{t → ∞} − dt ⊗ dt + exp [ 2 \sqrt{\frac{Λ}{3}} · t ] · h_{ij}^{(∞)}(x) dx^{i} ⊗ dx^{j} .  (4.46)

Eine graphische Darstellung dieser verallgemeinerten DeSitter-Geometrie zeigt die Abbildung 4.4 auf der folgenden Seite.

Aus der Abbildung 4.4 erkennt man, daß eine beliebig herausgegriffene Untermannigfaltigkeit der räumlichen Hyperfläche mit fest vorgegebener Längenskala a ≪ a_{cos} im Verlauf der Zeit t immer homogener wird. Diese asymptotische Homogenität ist eine wohlbekannte Eigenschaft aller inflationären Modelle des Universums [34], zu denen auch die im Rahmen dieser Arbeit diskutierte Gravitationstheorie mit positivem kosmologischen Term zählt.

8Dies entspricht auch der Wahl des oberen Vorzeichens für den zu (4.21) konjugiert komplexen Zustand ΨCS^{∗}.

Kapitel 4: Asymptotische Entwicklungen 56

(M_{3}, h)(t_{0}) t  t → ∞ a a  (M_{4}, g)

Abbildung 4.4: Geometrische Veranschaulichung einer verallgemeinerten DeSitter-4-Geometrie. Die räumlichen 3-Mannigfaltigkeiten (M_{3}, h)(t) sind durch eindimensionale Kurven repräsentiert, und Inhomogenitäten der 3-Me-triken h(t) durch leichte Deformationen dieser Kurven angedeutet. Die resultierende Raumzeit-Mannigfaltigkeit (M_{4}, g) mit der 4-Metrik g aus (4.46) entspricht dann einer Riemannschen 2-Mannigfaltigkeit, die hier in den dreidimensionalen Minkowskiraum eingebettet worden ist. Von den raumartigen Randmannigfaltigkeiten ist jeweils ein Kurvenstück vergrößert dargestellt, das Raumausschnitte derselben Längenskala a repräsentiert.

Mit der semiklassischen Interpretation des Chern-Simons-Zustands (4.6) im Limes κ → ∞ wollen wir die Diskussion des Grenzfalls κ → ∞ nun beenden, und uns anderen asymptotischen Entwicklungen des Wellenfunktionals Ψ_{CS} zuwenden.

4.3 Der Limes κ → 0

Neben dem in Abschnitt 4.2 behandelten Grenzfall μ → ∞, κ → ∞ gibt es ein weiteres asymptotisches Regime, das eine analytische Auswertung des Funktionalintegrals in (4.6) erlaubt: Im Rahmen des semiklassischen Limes μ → ∞ kann die Sattelpunktsgleichung (4.9) nicht nur für große κ, sondern auch im entgegengesetzten Grenzfall κ → 0 asymptotisch gelöst werden, womit wir uns in diesem Unterkapitel beschäftigen wollen.

Der Limes μ → ∞, κ → 0 impliziert über (4.4) die Bedingung a_{Λ} ≫ a_{cos} ≫ a_{P l} an die drei fundamentalen Längenskalen der Gravitationstheorie, was physikalisch dem Grenzfall verschwindender kosmologischer Konstante innerhalb des semiklassischen Limes a_{cos} ≫ a_{P l} entspricht. Da ein Quantenzustand der Gravitation für Λ = 0 bisher nur in einer mathematisch recht unbefriedigen Form vorliegt^{9}, lohnt es sich, diesen Grenzfall genauer zu studieren.

Um zu Lösungen der semiklassischen Sattelpunktsgleichung

\frac{1}{2} ε̃^{ijk} F_{jka} = − κ ẽ′^{i}_{a}  (4.47)

im Limes κ → 0 zu gelangen, versuchen wir einen asymptotischen Entwicklungsansatz der Form

A_{ia} ∼^{κ → 0} ∑_{n=0}^{∞} C_{ia}^{(n)} · κ^{n} ,  (4.48)

wobei die Entwicklungskoeffizienten C_{ia}^{(n)} nur von den reskalierten Triadenfeldern ẽ′^{i}_{a} abhängen sollen. Dieser Ansatz ist deshalb naheliegend, weil die Lösungen der Sattelpunktsgleichung (4.47) im Limes κ → 0 zumindest im Rahmen Bianchi IXhomogener Modelle endlich bleiben [23, 24, 42]. Die asymptotische Reihe (4.48) liefert nach Einsetzen in (4.47) in führender Ordnung des Entwicklungsparameters κ die Gleichung

ε̃^{ijk} (∂_{j}C_{ka}^{(0)} + \frac{1}{2} ε_{abc} C_{jb}^{(0)} C_{kc}^{(0)}) = 0  (4.49)

für die niedrigsten Entwicklungskoeffizienten C_{ia}^{(0)}. Als Lösung von (4.49) ist C_{ia}^{(0)} somit ein flaches Eichfeld, das durch beliebige SO(3)-Eichtransformationen aus der trivialen Lösung C_{ia}^{(0)} = 0 hervorgeht:^{10}

9Ein Quantenzustand der Gravitation mit verschwindender kosmologischer Konstante wurde zwar in der Literatur mehrfach angegeben [41, 45], jedoch liefern die bisher verwendeten Integraldarstellungen zwangsläufig divergente Ausdrücke für den Quantenzustand.

C_{ia}^{(0)} = −\frac{1}{2} ε_{abc} Ω_{db} ∂_{i} Ω_{dc} mit Ω ∈ SO(3) .  (4.50)

Die allgemeine Lösung (4.50) von (4.49) hängt hierbei noch von einer beliebigen, ortsabhängigen Drehmatrix Ω ab, die über die Fredholmsche Alternative^{11} erst in der nächsten Entwicklungsordnung

ε̃^{ijk} (∂_{j} C_{ka}^{(1)} + ε_{abc} C_{jb}^{(0)} C_{kc}^{(1)}) = − ẽ′^{i}_{a}  (4.51)

der Sattelpunktsgleichung (4.47) festgelegt wird: Die linke Seite von (4.51) läßt sich zu einer kovarianten Ableitung D_{i}^{(0)} bezüglich des Eichfeldes C_{ia}^{(0)} zusammenfassen, womit die Gleichung (4.51) die Form

ε̃^{ijk} D_{j}^{(0)} C_{ka}^{(1)} = − ẽ′^{i}_{a}  (4.52)

annimmt. Operieren wir mit D_{i}^{(0)} von links auf (4.52), so wird die linke Seite proportional zur Krümmung des Eichfeldes C_{ia}^{(0)}, verschwindet also wegen (4.49). Die resultierende rechte Seite verschwindet im allgemeinen hingegen nicht, und liefert deshalb drei nichttriviale Integrabilitätsbedingungen

D_{i}^{(0)}ẽ^{i}_{a} = ∂_{i}ẽ^{i}_{a} + ε_{abc} C_{ib}^{(0)} ẽ^{i}_{c} ! = 0 .  (4.53)

Die drei Gleichungen (4.53) sind zusätzliche Forderungen an die niedrigsten Entwicklungskoeffizienten C_{ia}^{(0)} aus (4.50).

Setzen wir die allgemeine Lösung (4.50) in die Integrabilitätsbedingungen (4.53) ein, so ergibt sich explizit

∂_{i} (Ω_{ab} ẽ^{i}_{b}) ! = 0 ,  (4.54)

10Tatsächlich dürfen wir in (4.50) sogar Ω ∈ O(3) zulassen, da sich ein zusätzliches Minuszeichen von Ω in (4.50) nicht bemerkbar macht.

11Die Anwendbarkeit der Fredholmschen Alternative rechtfertigt sich im Nachhinein zumindest für 3-Mannigfaltigkeiten mit

∀x ∈ M_{3} : R(x) ≠ 0 über die im Anhang A.1 diskutierten Lösbarkeitsaussagen für die Sattelpunktsgleichung (4.47).

was die freien Parameterfelder Ω_{ab} der asymptotischen Sattelpunktslösung (4.50) im Limes κ → 0 festlegt. Erst über die Forderung (4.54) erhalten die Sattelpunktsfelder A_{ia} für κ → 0 eine explizite Abhängigkeit von der Triade ẽ^{i}_{a}.

Mit Ω gemäß (4.54) haben nun die speziellen Triadenvektorfelder

d⃗_{a} := Ω_{ab} e⃗_{b}  (4.55)

die geometrisch interessante Eigenschaft der Divergenzfreiheit:

∇· d⃗_{a} = \frac{1}{\sqrt{h}} ∂_{i} d̃^{i}_{a} = \frac{1}{\sqrt{h}} ∂_{i} (Ω_{ab} ẽ^{i}_{b}) = 0 .  (4.56)

Umgekehrt können wir auch sagen, daß gerade divergenzfreie Triaden d⃗_{a} der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) über (4.55) und (4.50) die verschiedenen möglichen Lösungen A_{ia} der Sattelpunktsgleichung (4.47) im Limes κ → 0 parametrisieren.

Zu jeder divergenzfreien Triade d⃗_{a} kennen wir dabei zunächst nur den führenden Term C_{ia}^{(0)} der asymptotischen Reihe (4.48). Die übrigen Entwicklungskoeffizienten C_{ia}^{(n)}, n ≥ 1, lassen sich hierzu aber im Prinzip eindeutig berechnen, indem wir die asymptotische Entwicklung (4.48) um κ = 0 systematisch fortführen; sie ergeben sich als Lösungen von linearen, partiellen Differentialgleichungen zum Randwertproblem der kompakten Mannigfaltigkeit M_{3}.^{12} Leider sind die höheren Entwicklungskoeffizienten C_{ia}^{(n)}, n ≥ 1, jedoch im allgemeinen nicht analytisch zugänglich, weshalb wir uns an dieser Stelle mit der Kenntnis des führenden Entwicklungsterms C_{ia}^{(0)} begnügen wollen.

Im weiteren soll der semiklassische Sattelpunktsbeitrag zum Chern-Simons-Zustand (4.6) im Limes κ → 0 für die verschiedenen möglichen Sattelpunktslösungen unter Verwendung der Formel (4.7) berechnet werden. Zur Auswertung des semiklassischen Exponenten F aus (4.8) entwickeln wir zunächst S_{CS}[A_{ia}] gemäß (3.40) bis zur linearen Ordnung in κ, und erhalten

S_{CS}[A_{ia}] ∼^{κ → 0} \frac{1}{6} I(Ω) + O(κ^{2}) .  (4.57)

Hierbei ist I(Ω) die Cartan-Maurer-Invariante (4.25) derjenigen Drehmatrix Ω, die gemäß (4.55) eine beliebig vorgegebene Triade e⃗_{a} in eine fest gewählte, divergenzfreie Triade d⃗_{a} überführt. Der in κ lineare Beitrag zu (4.57) enthält die Krümmung des Eichfeldes C_{ia}^{(0)} und verschwindet wegen (4.49). Mit (4.57) und (4.50) hat der semiklassische Exponent (4.8) die folgende asymptotische Form im Limes κ → 0:

12Für eine mathematische Diskussion derartiger Entwicklungen sei nochmals auf Anhang A.1 verwiesen.

F ∼^{κ → 0} \frac{I(Ω)}{6 κ} + ∫ d^{3}x ε̃^{ijk} (Ω_{ab} e′_{ib}) ∂_{j} (Ω_{ac} e′_{kc}) + O(κ) .  (4.58)

Der Amplitudenvorfaktor der Gaußschen Fluktuationen in (4.7) ergibt sich mit Ω aus (4.54) zu

A : = Det^{−1/2} [ μ \frac{δ^{2}F}{δA_{ia}(x)δA_{jb}(y)} ]

∝^{κ → 0} Det^{−1/2}[ ε̃^{ijk} Ω_{ca}(x) ∂_{k} (Ω_{cb}(x) δ^{3}(x − y)) ] ;  (4.59)

auf eine analytische Auswertung dieser komplizierten, nichtlokalen Funktionaldeterminante soll an dieser Stelle verzichtet werden.

Unter Berücksichtigung unserer Definition des Vorfaktors N in (4.27) liefert nun der Sattelpunkt (4.50) über (4.7) den folgenden semiklassischen Sattelpunktsbeitrag zum Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation im Limes κ → 0:

Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] ∼_{μ → ∞}^{κ → 0} A · exp [ ±\frac{1}{γh̄} (\frac{I(Ω) − I(Ω̂)}{2Λ} + ∫ d^{3}x ε̃^{ijk} (Ω_{ab} e_{ib}) ∂_{j} (Ω_{ac} e_{kc})) ]

mit ∂_{i} (Ω_{ab} ẽ^{i}_{b}) ! = 0 .  (4.60)

Zur Vereinfachung des ersten Terms im Exponenten von (4.60) verwenden wir die Funktionalrelation

I (Ω_{1}· Ω_{2}) = I (Ω_{1}) + I (Ω_{2})  (4.61)

für die Cartan-Maurer-Invariante, womit sich

I(Ω) − I(Ω̂) = I(Ω · Ω̂^{T})  (4.62)

ergibt. Hierbei ist Ω · Ω̂^{T} eine Drehmatrix, welche die im Anhang D definierte Einstein-Triade g⃗_{a} in eine ausgezeichnete, divergenzfreie Triade d⃗_{a} überführt. Die über (4.26) definierte Windungszahl dieser Drehmatrix können wir der Einfachheit halber auch als Windungszahl der divergenzfreien Triade d⃗_{a} bezüglich der Einstein-Triade g⃗_{a} interpretieren,^{13}

I(Ω · Ω̂^{T}) =: I_{0} · ŵ(d⃗_{a}) .  (4.63)

Mit Hilfe von (4.55) und (4.63) können wir dann den Sattelpunktsbeitrag (4.60) auch alternativ in der Form

Ψ_{CS} ∼_{μ → ∞}^{κ → 0} A · exp [ ±\frac{1}{γh̄} (\frac{I_{0} ŵ(d⃗_{a})}{2Λ} + ∫ d^{3}x ε̃^{ijk} d_{ia} ∂_{j} d_{ka}) ]  (4.64)

schreiben, wobei d⃗_{a} eine beliebige, fest gewählte divergenzfreie Triade der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) ist. Auf diese Weise hängt der Zustand (4.64) nicht mehr explizit von der beliebigen Triade e⃗_{a}, sondern nur noch von der 3-Metrik h ab, zu der d⃗_{a} eine divergenzfreie Triade ist. An der Darstellung (4.64) erkennen wir somit implizit die SO(3)-Invarianz dieses semiklassischen Sattelpunktsbeitrags zum Chern-Simons-Zustand unter beliebigen, kleinen und großen Eichtransformationen der Triade e⃗_{a}. Es ist bemerkenswert, daß durch eine einheitliche Wahl des Vorfaktors N in (4.27) die Eichinvarianz des Chern-Simons-Zustands unter beliebigen SO(3)-Eichtransformationen sowohl im Limes κ → ∞, wie auch im Limes κ → 0 sichergestellt wird.

Die Existenz von divergenzfreien Triaden Riemannscher 3-Mannigfaltigkeiten (M_{3}, h) bleibt in diesem Zusammenhang allerdings noch zu diskutieren - mit diesem nichttrivialen Problem beschäftigen wir uns im Anhang A.2. Dabei stellt sich heraus, daß wir im allgemeinen sogar mit einer diskreten Anzahl verschiedener divergenzfreier Triaden rechnen müssen, die durch räumlich inhomogene Drehungen Ω auseinander hervorgehen, und deshalb verschiedene, linear unabhängige semiklassische Sattelpunktsbeiträge (4.64) zum Chern-Simons-Zustand im Limes κ → 0 liefern.

Im nächsten Abschnitt werden wir versuchen, mit Hilfe divergenzfreier Triaden Bianchi-homogener 3-Geometrien den Zustand (4.64) für diese spezielle Klasse räumlicher Mannigfaltigkeiten explizit auszuwerten.

13Die Größe ŵ(d⃗_{a}) ist tatsächlich allein ein Funktional der divergenzfreien Triade d⃗_{a}, denn mit d⃗_{a} kennt man auch die 3-Metrik h, und damit die Einstein-Triade g⃗_{a}.

4.3.1 Der homogene Grenzfall

Zur Berechnung des semiklassischen Chern-Simons-Zustands (4.64) im Grenzfall κ → 0 benötigen wir divergenzfreie Triaden d⃗_{a} der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M_{3}, h), die im allgemeinen nur schwierig explizit angegeben werden können. Allerdings ist für homogene 3-Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ A mindestens eine divergenzfreie Triade stets bekannt, was zunächst gezeigt werden soll.

Hierzu betrachten wir wieder die bereits in (4.28) definierte Strukturmatrix m der invarianten Triade i⃗_{a} dieser homogenen Mannigfaltigkeiten, die in einer Koordinatenbasis {x^{i}} auch explizit in der folgenden Form geschrieben werden kann:

m_{ab} = −\frac{1}{\sqrt{h}} ε̃^{ijk} ı_{ia} ∂_{j} ı_{kb} .  (4.65)

Über (3.42) erhält man hieraus für den schiefsymmetrischen Anteil von m_{ab}

ε_{abc} m_{bc} = \frac{1}{\sqrt{h}} ∂_{i} ĩ^{i}_{a} ≡ ∇· i⃗_{a} ,  (4.66)

die Triadenfelder i⃗_{a} sind also genau dann divergenzfrei, wenn m_{ab} aus (4.65) symmetrisch in a und b ist.^{14} Da für Bianchi A-homogene Mannigfaltigkeiten die Strukturmatrix m per definitionem symmetrisch ist, liefert hier die invariante Triade i⃗_{a} also automatisch eine spezielle, divergenzfreie Triade

d⃗_{a}^{(0)} := i⃗_{a} .  (4.67)

Im Anhang D zeigen wir, daß für Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten die Einstein-Triade g⃗_{a} durch eine räumlich konstante Drehung aus der invarianten Triade i⃗_{a} hervorgeht. Deshalb gilt für die in (4.63) eingeführte Windungszahl der invarianten, divergenzfreien Triade (4.67) Bianchi A-homogener Mannigfaltigkeiten:

ŵ(d⃗_{a}^{(0)}) = 0 .  (4.68)

Ein möglicher Sattelpunktswert des Chern-Simons-Zustands der Gravitation wird im Limes κ → 0 für diese Klasse von 3-Metriken folglich

14Diese Aussage gilt auch für beliebige Triaden e⃗_{a} inhomogener Mannigfaltigkeiten (M_{3}, h), für die über (4.65) ebenfalls eine Strukturmatrix m definiert werden kann. Im Unterschied zu homogenen Mannigfaltigkeiten kann diese Strukturmatrix jedoch nicht räumlich konstant gewählt werden.

Ψ_{CS}^{(0)} ∼_{μ → ∞}^{κ → 0} A · exp [ ∓\frac{V}{γh̄} · Tr m ] ,  (4.69)

wobei wir das Ergebnis (4.68) und die explizite Definition der Strukturmatrix m aus (4.65) in (4.64) eingesetzt haben.

Betrachten wir insbesondere flache räumliche Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ I, so verschwindet die Strukturmatrix m und damit der Exponent von (4.69). In diesem Zusammenhang kann man auch zeigen, daß der Exponent von Ψ_{CS} in (4.35), der im Grenzfall κ → ∞ für Bianchi I-homogene 3-Metriken berechnet wurde, für beliebige Werte des Parameters κ gültig bleibt. Allerdings kennen wir den Vorfaktor der Gaußschen Fluktuationen nur im Grenzfall großer κ, so daß wir den vollständigen semiklassischen Chern-Simons-Zustand selbst im einfachsten Spezialfall flacher 3-Geometrien nicht explizit angeben können.

Zum Vergleich mit früheren Arbeiten interessieren uns ferner wieder speziell die homogenen Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ IX. Die Strukturmatrix m der zugehörigen invarianten Triade kann mit Hilfe der in Anhang B.3.2 definierten Skalenparameter a_{d}, d ∈ {1, 2, 3}, alternativ zu (4.29), (4.32) auch in der Form

m = 2 · diag [ \frac{a_{1}}{a_{2} a_{3}} , \frac{a_{2}}{a_{3} a_{1}} , \frac{a_{3}}{a_{1} a_{2}} ]  (4.70)

parametrisiert werden. Für das Volumen der 3-Mannigfaltigkeit erhalten wir dann über (4.31)

V = V a_{1} a_{2} a_{3} ,  (4.71)

und der Chern-Simons-Sattelpunktsbeitrag (4.69) der invarianten Triade i⃗_{a} = d⃗_{a}^{(0)} ergibt sich zu

Ψ_{CS}^{(0)} ∝_{μ → ∞}^{κ → 0} exp [ ∓\frac{2V}{γh̄} (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) ] .  (4.72)

Der Zustand (4.72) ist aus dem Studium Bianchi IX-homogener Modelle in [23, 42] wohlbekannt, wo er auch als ”Wurmloch-Zustand“ bezeichnet wird. Zum expliziten Vergleich von (4.72) mit dem entsprechenden Zustand (2.18) aus [23] haben wir γ = 16 π, V = 4 π^{2} und a_{d} = a e^{β_{d}} zu setzen; außerdem entspricht die Vorzeichenkonvention in [23] der oberen Wahl des Vorzeichens in der Definition der Ashtekarvariablen (2.34).

Zusätzlich zur invarianten, divergenzfreien Triade d⃗_{a}^{(0)} gemäß (4.67) konstruieren wir im Anhang B.3.2 vier weitere divergenzfreie Triaden d⃗_{a}^{(α)}, α ∈ {1, 2, 3, 4}, Bianchi IX-homogener Mannigfaltigkeiten, die Anlaß zu vier zusätzlichen, möglichen Sattelpunktsbeiträgen zum Chern-Simons-Zustand im Limes κ → 0 geben. Ein spezieller Sattelpunktswert ergibt sich zur Triade d⃗_{a}^{(4)} aus (B.57), (B.58) als

Ψ_{CS}^{(4)} ∝_{μ → ∞}^{κ → 0} Ψ_{CS}^{(0)} · exp [ ±\frac{4V}{γh̄} (−\frac{6}{Λ} + a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{1}) ] .  (4.73)

Er ist aus [23, 42] auch als ”Hartle-Hawking-Zustand“ bekannt, und stimmt unter den oben angegebenen Identifizierungen mit dem Zustand (5.47) aus [23] überein. Ersetzt man in (4.73) zwei der drei Skalenparameter a_{d} durch ihr negatives, so gelangt man zu drei weiteren Sattelpunktswerten, die den drei divergenzfreien Triaden d⃗_{a}^{(α)}, α ∈ {1, 2, 3}, aus Anhang B.3.2 entsprechen. Diese Zustände wurden in den Arbeiten [23, 42] auch als ”unsymmetrische Zustände“ bezeichnet.

Resümierend können wir also alle aus der Diskussion Bianchi IX-homogener Modelle bekannten Quantenzustände rekonstruieren, wenn wir den allgemein inhomogenen Quantenzustand (4.64) für spezielle divergenzfreie Triaden dieser Klasse von Mannigfaltigkeiten auswerten. Die Ergebnisse unterscheiden sich nur im Amplitudenvorfaktor der Gaußschen Fluktuationen, der im inhomogenen Fall aus einer komplizierten Funktionaldeterminante (4.59) besteht. Diese wurde hier nicht explizit berechnet und in (4.72) und (4.73) auch nicht weiter angegeben, was durch die Proportionalitätszeichen in diesen beiden Formeln angedeutet werden soll.

Im folgenden Abschnitt wollen wir uns nun mit der semiklassischen Interpretation des Chern-Simons-Zustands im Limes κ → 0 beschäftigen, wobei wir insbesondere auf die Bianchi IX-homogenen Sattelpunktswerte (4.72) und (4.73) eingehen werden.

4.3.2 Semiklassische 4-Geometrien

Analog zu Abschnitt 4.2.3 können wir auch im Limes κ → 0 wieder nach den semiklassischen 4-Geometrien fragen, die über den asymptotischen Chern-Simons-Zustand (4.64) generiert werden. Im Gegensatz zum Grenzfall κ → ∞ ergibt sich für κ → 0 jedoch das Problem, daß der Exponent des Zustands (4.64) reell ist, weswegen wir es im Sinne von (4.37) mit einer imaginären, semiklassischen Wirkung S zu tun haben. Um trotzdem zu einer reellen Zeitentwicklung für die 3-Metrik h zu gelangen, versuchen wir im Limes κ → 0 einen von Hawking [26] vorgeschlagenen Interpretationsansatz in der imaginären Zeit

τ := ∓ i t ,  t ∈ R^{|} .  (4.74)

Die über (2.4) gegebene Raumzeit-4-Metrik g ergibt sich hierbei als positiv definit, die ursprünglich Lorentzsche Signatur von g wird also über die Wick-Rotation (4.74) in eine euklidische Signatur konvertiert.

In der imaginären Zeit τ erhalten wir aus der Evolutionsgleichung (4.40) für den semiklassischen Zustand (4.64)

\frac{d}{dτ} d̃^{i}_{a} = −ε̃^{ijk} ∂_{j}d_{ka} ,  (4.75)

wobei d⃗_{a} eine fest gewählte, divergenzfreie Triade der räumlichen Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) ist, die den Sattelpunktsbeitrag (4.64) charakterisiert. Die Eichbedingung

∂_{i} d̃^{i}_{a} ! = 0  (4.76)

bleibt unter der semiklassischen Evolution (4.75) offensichtlich automatisch erhalten.

Mit Hilfe der Beziehungen (2.29) und (3.42) können wir aus (4.75) auch eine Entwicklungsgleichung für die Felder d_{ia} gewinnen,

\frac{d}{dτ} d_{ia} = ω_{ia} ,  (4.77)

wobei ω_{ia} der Riemannsche Spin-Zusammenhang (2.29) der divergenzfreien Triade d⃗_{a} ist.

Für stationäre Lösungen von (4.77) gilt offensichtlich ω_{ia} ≡ 0, die 3-Metrik wird in diesem Fall also flach. Aufgrund unserer trivialen Wahl der Lagrangeschen Multiplikatoren N, N^{i} und Ω_{a} in (4.39) ist damit die 4-Mannigfaltigkeit (M_{4}, g) im stationären Fall ebenfalls flach und lokal isometrisch zum R^{|} ^{4}.

Zur Konstruktion weiterer, spezieller Lösungen von (4.77) können wir einen Ansatz der Form

d_{ia}(x, τ) = τ · d′_{ia}(x)  (4.78)

versuchen, der die Gleichung

d′_{ia} = ω_{ia}  (4.79)

für die Felder d′_{ia} impliziert. Der Riccitensor der 3-Geometrie ergibt sich hiermit zu

R_{j}^{i} = \frac{2}{τ^{2}} δ_{j}^{i} ,  (4.80)

die Triade d⃗_{a} muß also eine divergenzfreie Triade der 3-Sphäre mit Radius τ sein. Für das Linienelement der semiklassischen 4-Geometrie g gemäß (2.4) folgt deshalb

ds^{2} = dτ^{2} + τ^{2} dΩ_{3}^{2} ,  (4.81)

wobei dΩ_{3}^{2} das Linienelement der Einheits-3-Sphäre bezeichnet. Wie die stationäre Lösung beschreibt (4.81) also eine lokal flache, zum R^{|} ^{4} isometrische 4-Mannigfaltigkeit (M_{4}, g). Wählt man zur Integration von (4.77) als Anfangs-3-Geometrie eine 3-Sphäre mit beliebigem Radius, so spielt die 4-Metrik (4.81) die Rolle einer exakten Lösung dieser semiklassischen Evolutionsgleichung.

Im folgenden wollen wir zumindest im Rahmen Bianchi IX-homogener Anfangs-3-Geometrien studieren, wie sich die Lösung (4.81) anisotrop verallgemeinert. Hierzu haben wir in die Evolutionsgleichung (4.75) eine der fünf divergenzfreien Triaden d⃗_{a}^{(α)}, α ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, Bianchi IX-homogener Mannigfaltigkeiten einzusetzen, die im Anhang B.3.2 explizit konstruiert und angegeben werden. Jede dieser fünf Triaden wird zur selben Anfangs-3-Geometrie im allgemeinen verschiedene semiklassische 4-Geometrien liefern.

Betrachten wir zunächst die Evolution der invarianten, divergenzfreien Triade d⃗_{a}^{(0)} = i⃗_{a} mit der Strukturmatrix (4.70), so ergibt sich aus (4.75) das folgende Differentialgleichungssystem erster Ordnung für die drei Skalenparameter a_{d} der Bianchi IX-Metrik:

\frac{1}{2} \frac{d}{dτ} (a_{1} a_{2}) = a_{3} , \frac{1}{2} \frac{d}{dτ} (a_{2} a_{3}) = a_{1} , \frac{1}{2} \frac{d}{dτ} (a_{3} a_{1}) = a_{2} .  (4.82)

Diese semiklassischen Evolutionsgleichungen des Wurmloch-Zustands (4.72) wurden bereits im Rahmen des homogenen Bianchi IX-Modells gut untersucht [42]. Man überlegt sich relativ leicht, daß sämtliche Lösungen von (4.82) für τ → ∞ existieren, wobei sie die asymptotische Form

a_{d}(τ) ∼^{τ → ∞} τ  (4.83)

annehmen. Für große imaginäre Zeiten τ werden die Bianchi IX-Geometrien also insbesondere isotrop, die 4-Metrik wird flach und ist asymptotisch durch das Linienelement (4.81) gegeben. Zur geometrischen Veranschaulichung dieser speziellen 4-Geometrien ist in Abbildung 4.5 eine konkrete Lösung von (4.82) in einem Einbettungsraum dargestellt. Diese ”Wurmloch-Geometrie“ hat dem Zustand (4.72) ursprünglich seinen Namen gegeben.

(M_{3}, h)(τ_{0}) τ τ → ∞(M_{4}, g)

Abbildung 4.5: Geometrische Veranschaulichung der Wurmloch-Geometrie über eine Einbettung in den flachen Minkowskiraum. Die räumlichen Bianchi IX-Geometrien h(τ) sind durch eindimensionale Ellipsen repräsentiert. Die Entwicklung der Anisotropie kann am Verhältnis der zugehörigen Halbachsen abgelesen werden, das dem Verhältnis zweier Skalenparameter a_{d} der Bianchi IX-Geometrie entspricht.

Als zweites Beispiel sei die divergenzfreie Triade d⃗_{a}^{(4)} Bianchi IX-homogener 3-Geometrien aus Anhang B.3.2 betrachtet, die den Hartle-Hawking-Sattelpunkts-beitrag (4.73) zum Chern-Simons-Zustand liefert. Hierfür ergeben sich mit (4.75) die semiklassischen Evolutionsgleichungen

\frac{1}{2} \frac{d}{dτ} (a_{1} a_{2}) = a_{3} − a_{1} − a_{2} ,  (4.84)

sowie zwei weitere Gleichungen, die man durch zyklische Permutation der drei Skalenparameter a_{d} in (4.84) erhält. Für die Lösungen dieses Differentialgleichungssystems kann man zeigen [42], daß die drei Skalenparameter a_{d} bei anwachsender imaginärer Zeit τ simultan verschwinden. Definieren wir den zughörigen Zeitpunkt als τ = 0, so gilt für das asymptotische Verhalten der Lösungen von (4.84)

a_{d}(τ) ∼^{τ → 0} τ ,  (4.85)

und in unmittelbarer Umgebung von τ = 0 wird die 3-Metrik isotrop.^{15} Das asymptotische Linienelement der 4-Metrik im Limes τ → 0 ist also wiederum durch (4.81) gegeben. Ein Repräsentant der Lösungen von (4.84) ist in der folgenden Abbildung 4.6 gezeigt.

(M_{3}, h)(τ_{0}) (M_{4}, g) τ = 0 τ

Abbildung 4.6: Einbettung der semiklassischen 4-Geometrie des Hartle-Haw-king-Zustands Ψ_{CS}^{(4)} in den flachen euklidischen Raum. Wie in Abbildung 4.5 sind die Bianchi IX-3-Mannigfaltigkeiten als Ellipsen mit Halbachsen a_{d} dargestellt. Bei τ = 0 entartet zwar die räumliche 3-Geometrie, die 4-Geometrie ist dort aber trotzdem regulär und kompakt.

15Bei der hier getroffenen Wahl des Zeitnullpunktes τ = 0 wird die Raumzeit-4-Mannigfal-tigkeit offenbar über negative imaginäre Zeiten τ < 0 parametrisiert.

Fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen, so stellen wir fest, daß die spezielle Lösung (4.81) der allgemeinen Evolutionsgleichung (4.75) für die diskutierten semiklassischen Trajektorien Bianchi IX-homogener 3-Geometrien^{16} die Rolle eines Attraktors spielt: Im Fall der ”Wurmloch“-Evolution (4.82) gilt dies im Limes τ → ∞, für die ”Hartle-Hawking“-Evolution (4.84) im Limes τ → 0.^{17} Man mag daher vermuten, daß es sich hierbei vielleicht um eine universelle Eigenschaft der semiklassischen 4-Geometrien im Grenzfall Λ = 0 handelt; so könnte es auch für allgemeine, inhomogene Anfangs-3-Metriken stets divergenzfreie Triaden geben, deren Zeitentwicklung gemäß (4.75) zu asymptotisch flachen 4-Metriken im Limes a_{cos} → ∞, oder aber asymptotisch kompakten 4-Mannigfaltigkeiten ohne weiteren Rand bei a_{cos} = 0 führt. Das zweite dieser Kriterien wurde von Hartle und Hawking [26, 27, 28] in der Tat als universelle Randbedingung für den Quantenzustand der Gravitation vorgeschlagen.

Über das allgemeine Verhalten der Lösungen von (4.75) können wir zwar aufgrund der komplizierten, nichtlinearen Struktur dieses Gleichungssystems wenig sagen, allerdings gibt es schon im Rahmen Bianchi A-homogener 3-Mannigfal-tigkeiten Gegenargumente zu beiden Randbedingungen: Im Anhang C diskutieren wir die semiklassischen 4-Geometrien zu Anfangs-3-Geometrien vom Bianchi-Typ VI_{−1}, wobei wir die Evolution der invarianten, divergenzfreien Triaden dieser homogenen 3-Mannigfaltigkeiten untersuchen. Wir finden, daß die zugehörige semiklassische 4-Geometrie nirgends flach ist, ferner ergeben sich die vorgegebenen Anfangs-3-Geometrien nicht als Rand von kompakten, semiklassischen 4-Mannigfaltigkeiten.

Im Gegensatz zum homogenen Bianchi IX-Modell scheint also der inhomogene Chern-Simons-Zustand der Gravitation für Λ = 0 im allgemeinen weder die Bedingung asymptotischer Flachheit bei großen Skalen a_{cos}, noch die von Hartle und Hawking vorgeschlagene ”keine-Grenzen-Bedingung“ für a_{cos} → 0 zu befriedigen.

Es ist allerdings zu bemerken, daß wir im Anhang C die Evolution einer speziellen divergenzfreien Triade studieren; es wäre denkbar, daß es andere, nichttriviale Triaden d⃗_{a} gibt, deren semiklassische Evolution zur Befriedigung einer der genannten Randbedingungen führt. Ferner handelt es sich bei dem in Anhang C diskutierten Beispiel um eine 3-Mannigfaltigkeit mit nichtrivialer Topologie. Bei Restriktion auf Mannigfaltigkeiten mit trivialer S^{3}-Topologie wäre die Erfüllung einer der beiden Randbedingungen im Prinzip noch denkbar - zur Widerlegung dieser These müßte ein inhomogenes Gegenbeispiel konstruiert werden, was nicht weiter verfolgt worden ist.

16Die den divergenzfreien Triaden d⃗_{a}^{(α)}, α ∈ {1, 2, 3}, zugeordneten 4-Geometrien wurden hier nicht diskutiert. Sie sind aus dem Studium des homogenen Bianchi IX-Modells ebenfalls bekannt [42], scheinen aber physikalisch nicht weiter relevant zu sein.

17Im isotropen Grenzfall a_{1} = a_{2} = a_{3} unterscheiden sich die Evolutionsgleichungen (4.82)

und (4.84) tatsächlich nur im Vorzeichen von τ, und die ”Attraktormetrik“ (4.81) wird in beiden Fällen zur exakten Lösung.

Zur Normierbarkeit des Chern-Simons-Zustands

In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Frage der Normierbarkeit des Chern-Simons-Zustands (3.41) der Quantengravitation beschäftigen. Bereits in dem Abschnitt 3.3 wurde das physikalische, innere Produkt (3.30) eingeführt, das für eichinvariante Wellenfunktionale Ψ[ẽ^{i}_{a}] mit (3.11)-(3.14) einen Hilbertraum definiert. Bezüglich dieses Produkts soll im weiteren die Normierbarkeit des Quantenzustands (3.41) untersucht werden.

Bei der Herleitung des physikalischen Produkts (3.30) wurde die Eichbedingung χ̃ zur Fixierung der Zeit-Reparameterisierungsinvarianz noch offen gelassen; tatsächlich hängt das effektive physikalische Produkt aber stark von der Wahl dieser Eichbedingung ab, und es ist durchaus denkbar, daß der Quantenzustand Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] bezüglich mancher der resultierenden möglichen Produkte normierbar ist, bezüglich anderer hingegen nicht.

Untersuchen wir also die physikalische Norm des Chern-Simons-Zustands (3.41) für eine fest getroffene Wahl der Eichbedingung χ̃, so erhalten wir keineswegs eine strenge Aussage über die Normierbarkeit von Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}]. Allerdings können wir zumindest für oder gegen die Normierbarkeit von Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] argumentieren, indem wir für χ̃ eine physikalisch besonders naheliegende Wahl treffen, was im folgenden geschehen soll.

Hierfür betrachten wir eine fest gewählte, positive skalare Dichte υ̃(x) vom Gewicht +1 auf der räumlichen Mannigfaltigkeit M_{3}, die gemäß

∫_{M_{3}}d^{3}x υ̃(x) ! = 1  (5.1)

normiert sei, und ferner einen beliebigen Längenparameter a_{χ}.^{1} Über die Eichbedingung

χ̃[ẽ^{i}_{a}] := \sqrt{h} − a_{χ}^{3} · υ̃ ! = 0  (5.2)

schränken wir uns dann auf 3-Metriken h mit gegebener Volumenform a_{χ}^{3} · υ̃ ein. Insbesondere impliziert die Eichbedingung (5.2), daß die metrische Längenskala a_{cos} gemäß (4.3) mit der vorgegebenen Längenskala a_{χ} übereinzustimmen hat. Räumliche 3-Geometrien h mit (5.2) haben nur noch zwei lokale, physikalische Freiheitsgrade, für die der Quantenzustand Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] auszuwerten bleibt.

Mit dem physikalischen inneren Produkt ⟨⟨·||·⟩⟩_{phys} aus (3.30) hängt die physikalische ”Norm“

||Ψ_{CS}||_{phys}^{2} := ⟨⟨Ψ_{CS}||Ψ_{CS}⟩⟩_{phys}  (5.3)

des Chern-Simons-Zustands (3.41) über die Eichbedingung χ̃ offensichtlich noch von a_{χ} und υ̃(x) ab. Wir werden deshalb den Grenzwert

||Ψ_{CS}||_{∞}^{2} := lim_{aχ→∞} ||Ψ_{CS}||_{phys}^{2}  (5.4)

betrachten, der sich als eine von υ̃(x) unabhängige Größe erweisen wird. Zur Berechnung der physikalischen Norm (5.4) benötigen wir den Faddeev-Popov-Kommutator zwischen H̃_{0}^{ADM} aus (2.36) und χ̃ gemäß (5.2), der sich, im Gegensatz zu J_{G} und J_{D} in (3.28), überraschenderweise relativ einfach berechnen läßt: Es ergibt sich

\frac{i}{h̄} [ H̃_{0}^{ADM}(x), χ̃(y) ] = \frac{γ}{4} δ^{3}(x − y) · j̃(x)  (5.5)

mit

j̃(x) := \frac{ih̄}{2} [ e_{ia}(x) \frac{δ}{δe_{ia}(x)} + \frac{δ}{δe_{ia}(x)} e_{ia}(x) ] ,  (5.6)

woraus man für die Faddeev-Popov-Funktionaldeterminante J_{H} aus (3.29) den Ausdruck

1Für υ̃(x) kann man beispielsweise die Volumenform einer maximalsymmetrischen 3-Metrik auf M_{3} wählen.

J_{H} = ∏_{x∈M_{3}} \frac{γ}{4} · j̃(x)  (5.7)

gewinnt. In Wirkung auf ein Wellenfunktional Ψ[ẽ^{i}_{a}] mißt der hermitesche Operator j̃(x) aus (5.6) die Stromdichte von Ψ[ẽ^{i}_{a}] in der h(x)-Richtung des Konfigurationsraumes, und J_{H} aus (5.7) entsprechend das Raumprodukt dieser Stromdichte.

Für große kosmologische Skalen a_{cos} = a_{χ} können wir das Chern-Simons-Wellenfunktional (3.41) durch den asymptotischen Zustand (4.21) ersetzen, und erhalten bis auf einen divergenten Vorfaktor

J_{H} · Ψ_{CS} |_{χ̃=0} ∝^{aχ → ∞} h^{[}^{1/2}· Ψ_{CS} .  (5.8)

Das Raumprodukt der Stromdichte von Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] in h(x)-Richtung hat also im Limes a_{χ} → ∞ ein festes Vorzeichen, so daß in diesem Sinne die übliche Betragsbildung der Faddeev-Popov-Determinante in (3.30) entfallen kann. Für die physikalische Norm (5.3) des Chern-Simons-Zustands folgt soweit

||Ψ_{CS}||_{phys}^{2} ∝^{aχ → ∞} ∫ D^{9}[e_{ia}] h^{[}^{1/2} |J_{G} · J_{D}| · δ^{3}[χ̃_{a}] δ^{3}[χ̃^{i}] δ[χ̃] · |Ψ_{CS}|^{2} . (5.9)

Mit dem in (4.27) definierten Normierungsfaktor N gilt nun für das Betragsquadrat des Chern-Simons-Zustands Ψ_{CS} aus (4.21):

|Ψ_{CS}|^{2} ∝^{aχ → ∞} h^{[}^{−3/2} · exp [ ∓\frac{6}{γh̄Λ} (\frac{I(Ω̂)}{6} − S_{CS}[ω_{ia}]) ] .  (5.10)

Der Exponent von |Ψ_{CS}|^{2} ist also Diffeomorphismus-invariant, und wegen (4.24) auch invariant unter beliebigen SO(3)-Eichtransformationen der Triade. Ferner ist bekannt, daß S_{CS}[ω_{ia}] ein konforminvariantes Funktional ist: Unter lokalen Skalentransformationen

e_{ia} ↦ e^{ζ(x)} · e_{ia}  (5.11)

ändert sich der Wert von S_{CS}[ω_{ia}] nicht. Die Konforminvarianz gilt auch für die Cartan-Maurer-Invariante I(Ω̂), da diese eine topologische Invariante ist, und damit für den gesamten Exponenten von (5.10).

Da wir gerade durch Skalentransformationen der Form (5.11) die Volumenform \sqrt{h} einer beliebigen Triade e_{ia} in eine vorgegebene Volumenform a_{χ}·υ̃ überführen können, ist der Wert des Exponenten von (5.10) bei χ̃ = 0 unabhängig von der Wahl der Größen υ̃ und a_{χ} in (5.2).

Seien nun weiterhin β_{+}(x) und β_{−}(x) zwei SO(3)- und konforminvariante Funktionale von e_{ia}, durch die wir jedes SO(3)-, konform- und Diffeomorphismusinvariante Funktional der Triade ausdrücken können. Dann hängt insbesondere der Exponent in (5.10) allein von den Feldern β_{±}(x) ab,

\frac{1}{6} I(Ω̂) − S_{CS}[ω_{ia}] =: Ŝ_{CS}[β_{±}] ,  (5.12)

und das Normierungsintegral (5.9) nimmt in den neuen Integrationsvariablen β_{±} die Form

||Ψ_{CS}||_{∞}^{2} ∝ ∫ D^{2}[β_{±}] W [β_{±}] exp [ ∓\frac{6}{γh̄Λ} Ŝ_{CS}[β_{±}] ]  (5.13)

an, wobei der Limes a_{χ} → ∞ bereits ausgeführt wurde.^{2} In das Integrationsgewicht W [β_{±}] gehen dabei sowohl die Faddeev-Popov-Determinanten J_{G} und J_{D} aus (3.28), wie auch die spezielle Wahl der Felder β_{±}(x) ein.

Für die in diesem Kapitel vorgeschlagene Eichbedingung χ̃ zur Fixierung des physikalischen, inneren Produkts der Quantengravitation finden wir hiermit das folgende, bemerkenswerte Resultat:

Die mit dem Chern-Simons-Zustand (3.41) assoziierte ”Wahrscheinlichkeitsdichte“ ergibt sich über (5.12), (5.13) als Exponentialfunktion des Chern-Simons-Funktionals S_{CS}[ω_{ia}] vom Riemannschen Spin-Zusammenhang ω_{ia}. Diese Dichte ist Diffeomorphismus- und Gauß-invariant, und ferner sogar konforminvariant. Leider gibt sie aber nicht Anlaß zu einem endlichen Normierungsintegral (5.13): Da das Funktional S_{CS}[ω_{ia}] nach oben und unten unbeschränkt ist, gibt es stets β_{±}-Richtungen im Konfigurationsraum, in denen der Integrand von (5.13) exponentiell anwächst. Falls dieses divergente Verhalten nicht gerade über das Integrationsgewicht W [β_{±}] in (5.13) überkompensiert wird, müssen wir folgern, daß es sich beim Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation (3.41) aller Voraussicht nach um einen nicht-normierbaren Quantenzustand handelt.

2Eine eventuell im Integranden von (5.9) verbleibende Potenz von h^{[} wird unter der Eichbedingung (5.2) unabhängig von der Triade, und kann deshalb vor das Funktionalintegral gezogen werden.

Zusammenfassung und Diskussion

Das wesentliche Ziel dieser Arbeit bestand in der Herleitung und anschließenden Diskussion einer Triadendarstellung des aus der Ashtekar-Theorie schon seit längerem bekannten Chern-Simons-Zustands der Quantengravitation. Die intensive Untersuchung dieses speziellen Wellenfunktionals ist deshalb von besonderem Interesse, weil es sich hierbei um eine der wenigen exakten Lösungen aller Zwangsbedingungen der quantisierten Gravitationstheorie handelt, die man bis heute gefunden hat. Tatsächlich liefert der Chern-Simons-Zustand die einzige bekannte Lösung, die weiterhin einen wohldefinierten semiklassischen Limes besitzt, in dem reguläre, nicht-entartete 4-Geometrien beschrieben werden. Ferner besteht über diesen Zustand eine wichtige Verbindung zwischen der Gravitationstheorie und der topologischen Feldtheorie [15, 46], denn das Wellenfunktional Ψ̂_{CS}(A_{ia}) gemäß (3.39) ist in den Ashtekarvariablen A_{ia} völlig unabhängig von metrischen Konzepten auf der 3-Mannigfaltigkeit M_{3} definiert, und hängt deshalb bei gegebenen Feldern A_{ia} nur von der Topologie der 3-Mannigfaltigkeit M_{3} ab.

Die physikalische Interpretation des Chern-Simons-Zustands hat in der Vergangenheit allerdings große Probleme bereitet, da die geometrische Bedeutung des komplex definierten Ashtekar-Spin-Zusammenhangs a priori unklar war: Hier mußten erst noch komplizierte Realitätsbedingungen implementiert werden, bevor aus dem Zustand Ψ̂_{CS}(A_{ia}) ein physikalischer Sinn extrahiert werden konnte. Desweiteren erwiesen sich die komplexen Konfigurationsraumvariablen A_{ia} auch bei der Definition eines physikalischen inneren Produkts auf dem Raum der Wellenfunktionale Ψ̂_{CS}(A_{ia}) als nicht besonders zweckmäßig.^{1}

1In diesem Zusammenhang wurde von Kodama [14] vorgeschlagen, die Normierbarkeitsforderung für Quantenzustände der Gravitation in der metrischen Darstellung durch eine Holomorphie-Bedingung in der Ashtekar-Darstellung zu ersetzen. Die Äquivalenz dieser beiden Forderungen ist aber keineswegs offensichtlich.

Diese beiden Schwierigkeiten der Ashtekar-Darstellung lassen sich jedoch dadurch umgehen, daß man einen Darstellungswechsel auf die zu A_{ia} kanonisch konjugierten Triadenfelder ẽ^{i}_{a} vornimmt: Die physikalische Bedeutung der Felder ẽ^{i}_{a} ist dann offensichtlich, und auch das innere Produkt ergibt sich in der ẽ^{i}_{a}-Darstellung auf ganz natürliche Art und Weise.

Eine vordringliche Aufgabe dieser Arbeit bestand deshalb in der Aufklärung des expliziten Zusammenhangs zwischen der Ashtekar-Darstellung und der Triadendarstellung der Gravitationstheorie, womit wir uns in Kapitel 2 zunächst auf klassischem Niveau ausführlich beschäftigt haben. Hier wurde auch auf die metrische Darstellung der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie eingegangen, die in trivialer Weise aus der Triadendarstellung hervorgeht; ferner haben wir die eichtheoretische Bedeutung der Ashtekarvariablen über einen direkten Vergleich zwischen Gravitations- und Yang-Mills-Theorie in Abschnitt 2.4 hervorgehoben.

Anschließend wurde in Kapitel 3 eine kanonische Quantisierung der Gravitation in der Triadendarstellung durchgeführt. Im Sinne der Diracschen Methode [38] wurden für die Zwangsbedingungen H̃_{0}, H̃_{i} und J̃_{a} der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie Operatordarstellungen auf dem Raum der Wellenfunktionale Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] angegeben, wobei über eine spezielle Wahl der Faktorordnung ein Abschluß der Operatoralgebra ohne Quantenkorrekturen erzielt werden konnte. Die in (2.47)-(2.49) gewählte Operatorordnung für die Observablen H̃_{0}, H̃_{i} und J̃_{a} ist neu, und wurde in dieser Form noch nicht in der Literatur untersucht.

Die geometrische Bedeutung der Zwangsbedingungen H̃_{0}, H̃_{i}, J̃_{a} und der hiervon erzeugten Operatoralgebra haben wir in Abschnitt 3.1 diskutiert; ferner wurde die Universalität der hierbei auftretenden algebraischen Strukturen über einen Vergleich mit der quantisierten Einstein-Yang-Mills-Theorie in Abschnitt 3.2 herausgearbeitet.

Desweiteren konnte in natürlicher Weise ein kinematisches, inneres Produkt auf dem Raum der Wellenfunktionale Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] aufgefunden werden, bezüglich dessen die Zwangsoperatoren H̃_{0}^{ADM}, H̃_{i} und J̃_{a} formal hermitesch sind. Über eine Eichfixierungsprozedur nach Faddeev und Popov [40] entstand hieraus das vollständig eichfixierte, physikalische innere Produkt (3.30), wobei die Eichbedingung χ̃ zur Fixierung der Zeit-Reparameterisierungsinvarianz erst später in Kapitel 5 festgelegt wurde.

Im Rahmen der in Kapitel 3 formulierten Quantentheorie haben wir den Chern-Simons-Zustand der Gravitation in der Triadendarstellung konstruiert, und gezeigt, daß es sich hierbei um eine exakte Lösung sämtlicher Zwangsbedingungen der Quantengravitation handelt. Hierbei fiel auf, daß sich der Chern-Simons-Zustand formal als Lösung des Gleichungssystems (3.31) ergab, welches das quantenmechanische Pendant zum klassischen, selbstkonsistenten Gleichungssystem (2.50) darstellte. Schon in Kapitel 2 konnte eine gewisse Analogie zwischen den Gleichungen (2.50) und den dreidimensionalen Einsteingleichungen mit kosmologischem Term festgestellt werden, was effektiv eine besondere geometrische Auszeichnung für den Chern-Simons-Zustand der Gravitation implizierte.

Zur Konstruktion der Triadendarstellung des Chern-Simons-Zustands in Abschnitt 3.4 benötigten wir die quantenmechanische Verallgemeinerung des Zusammenhangs (2.34) zwischen der Ashtekar- und Triadendarstellung der Allgemeinen Relativitätstheorie, welche sich über die folgenden beiden Transformationsschritte ergab:

(i) Eine Ähnlichkeitstransformation (3.32) mit dem Funktional Φ aus (2.40), und

(ii) eine Fouriertransformation (3.35), wobei es wesentlich war, die Integrationsmannigfaltigkeit Γ des Fourierintegrals komplex zu verallgemeinern.

Bei dieser Vorgehensweise spielten die Ashtekarvariablen A_{ia} lediglich die Rolle nützlicher mathematischer Hilfsfelder; die hierfür üblicherweise zu fordernden Realitätsbedingungen wurden im Schritt (ii) formal durch eine geeignete Wahl der komplexen Integrationsmannigfaltigkeit Γ in (3.35) ersetzt.

Über die Transformationen (i) und (ii) erhielten wir für den Chern-Simons-Zustand in der Triadendarstellung eine neuartige, komplexe Funktionalintegraldarstellung (3.41), die bisher nur in Restriktion auf Bianchi IX-homogene Modelle diskutiert worden ist [23, 25, 42], als inhomogenes Resultat aber bis heute unveröffentlicht blieb.

Die komplizierte Integrationsmannigfaltigkeit Γ in (3.41) konnte dabei allerdings nur implizit angegeben werden; ferner erschien eine analytische Auswertung des Funktionalintegrals in (3.41) nicht untersuchenswert, da die vollständige Berechnung der entsprechenden gewöhnlichen Integrale schon im Rahmen Bianchi IX-homogener Modelle nicht möglich war [23, 42].

Trotzdem eignete sich die Triadendarstellung (3.41) aber gut zur semiklassischen Diskussion des Chern-Simons-Zustands, denn im semiklassischen Limes konnten sämtliche Funktionalintegrale mit Hilfe der Laplaceschen Sattelpunktsmethode asymptotisch entwickelt werden, womit wir uns in Kapitel 4 ausführlich beschäftigt haben. Hierbei erwies es sich als zweckmäßig, über (4.4) dimensionslose, positive Entwicklungsparameter μ und κ einzuführen: Der formale semiklassische Limes h̄ → 0 entsprach dann dem Grenzfall μ → ∞, und κ konstituierte einen zusätzlichen Parameter, dessen Wert von der kosmologischen Konstanten Λ und der kosmologischen Längenskala a_{cos} der räumlichen 3-Geometrie abhing.

Im Abschnitt 4.1 haben wir zunächst den allgemeinen semiklassischen Limes μ → ∞ betrachtet, der auf ein Gaußsches Sattelpunktsintegral (4.6) führte, und unter Anwendung der Laplaceschen Methode Sattelpunktsbeiträge der Form (4.7) zum Funktionalintegral (3.41) lieferte. Zur Berechnung der semiklassischen Sattelpunktsbeiträge mußten dabei Lösungen der Sattelpunktsgleichung (4.10) aufgefunden, und in den asymptotischen Ausdruck (4.7) eingesetzt werden. Da es sich bei der Sattelpunktsgleichung (4.10) um ein kompliziertes, nichtlineares System partieller Differentialgleichungen handelte, war die allgemeine Existenz von Lösungen nicht selbstverständlich - diesem Problem haben wir deshalb einen eigenen mathematischen Anhang A.1 gewidmet, wo die Lösbarkeit von (4.10) für eine große Klasse von Parameterfeldern ẽ^{i}_{a}(x) und Λ bewiesen werden konnte.

Neben diesen Existenzaussagen waren wir aber weiterhin an expliziten Lösungen der Sattelpunktsgleichung (4.10) interessiert, um die Sattelpunktswerte (4.7) des semiklassischen Chern-Simons-Zustands angeben, und physikalisch interpretieren zu können. Hierfür haben wir in den Abschnitten 4.2 und 4.3 die Grenzfälle κ → ∞ und κ → 0 studiert, in denen sich das Gleichungssystem (4.10) jeweils erheblich vereinfachte und mit analytischen Methoden behandelt werden konnte. Während wir in Kapitel 4 aus rein technischen Gründen auf diese beiden Grenzfälle hingeführt wurden, ist es an dieser Stelle angebracht, die physikalische Relevanz der Parameterbereiche κ ≪ 1 und κ ≫ 1 anhand aktueller kosmologischer Meßdaten zu beurteilen:

In den letzten Jahren haben sich aus kosmologischen Beobachtungen zunehmend Hinweise darauf ergeben, daß die kosmologische Konstante Λ, die lange Zeit als unmeßbar kleine Größe galt, einen von Null verschiedenen Wert haben muß.^{2} Tatsächlich kennt man heute zumindest die Größenordnung von Λ ziemlich genau, wobei die kosmologische Konstante allerdings nicht direkt, sondern nur in Form des dimensionslosen Parameters

Ω_{Λ} := \frac{Λ c^{2}}{3 H_{0}^{2}}  (6.1)

gemessen werden kann. Hierbei bezeichnet H_{0} den Wert der Hubble-Konstanten

H_{0} := \frac{ȧ_{cos}}{a_{cos}} |_{t=t_{0}}  (6.2)

zum heutigen Zeitpunkt t_{0}, und c die Lichtgeschwindigkeit.^{3} Aktuelle Meßdaten liefern gemäß Lineweaver, Perlmutter et al. [31, 32, 49] für den Parameter Ω_{Λ} und die Hubble-Konstante H_{0} Werte von^{4}

2Hier ist in erster Linie eine im Rahmen des kosmologischen Standardmodells nicht mehr erklärbare Diskrepanz in den Meßdaten für das Alter des Universums zu nennen: Offensichtlich gibt es Objekte im Universum, die gemäß des Standardmodells mit verschwindender kosmologischer Konstante älter sind als das Universum selbst [47, 48]. Dieser Widerspruch läßt sich erst dann auflösen, wenn man kosmologische Modelle mit Λ > 0 betrachtet.

3Im Rahmen dieser Arbeit wurde bisher stets in Einheiten mit c = 1 gearbeitet, für die Angabe experimenteller Meßwerte ist es hier aber günstiger, ein kosmologisches Einheitensystem zu verwenden.

Ω_{Λ} ≈ 0, 62 und H_{0} ≈ 73 \frac{km}{s Mpc} .  (6.3)

Über den Zusammenhang (6.1) kommt deshalb die mit der kosmologischen Konstanten Λ assoziierte Längenskala a_{Λ} aus (4.2) in der Größenordnung

a_{Λ} ≈ 16 Gly  (6.4)

zu liegen. Ferner entnimmt man aus den Veröffentlichungen [31, 32, 49] das Alter t_{0} des Universums zu

t_{0} ≈ 14 Gy ,  (6.5)

so daß sich für die kosmologische Längenskala a_{cos}(t_{0}) des heute sichtbaren Universums etwa ein Wert von

a_{cos}(t_{0}) ≈ c t_{0} ≈ 14 Gly  (6.6)

ergibt. Bemerkenswerterweise liegt der über die Gleichung (4.4) eingeführte Parameter κ somit für das heutige Universum in guter Näherung in der Größenordnung Eins:

κ_{0} ≈ 0, 76 .  (6.7)

Über das Studium der Grenzfälle κ ≫ 1 und κ ≪ 1 in den Abschnitten 4.2 und 4.3 können wir also lediglich Aussagen über die Entwicklung unseres Universums in einer Spät- oder Frühphase machen; zum heutigen Zeitpunkt befinden wir uns bezüglich des Parameters κ gerade in einer Übergangsphase, und zur semiklassischen Untersuchung des Chern-Simons-Zustands bei κ = κ_{0} müßten wir die Lösungen der Sattelpunktsgleichung (4.10) in einem nur schwer zugänglichen Parameterbereich diskutieren, was nicht weiter verfolgt worden ist.

Nichtsdestotrotz ist aber gerade auch die Untersuchung der Früh- und Spätphase unseres Universums durchaus von Interesse, was die Betrachtung der Parameterbereiche κ ≪ 1 und κ ≫ 1 in Kapitel 4 im Nachhinein sogar physikalisch rechtfertigt.

4Hierbei ist 1 Parsec eine kosmologische Längeneinheit mit 1 pc ≈ 3, 26 ly.

Die semiklassische Analyse des Chern-Simons-Zustands im Grenzfall κ ≫ 1, der physikalisch der Situation a_{cos} ≫ a_{Λ} entspricht, lieferte in Abschnitt 4.2 den expliziten analytischen Ausdruck (4.21) für das asymptotische Wellenfunktional, wobei ein zweiter, zu (4.21) konjugiert komplexer Sattelpunktsbeitrag zum Funktionalintegral (3.41) ebenfalls möglich war. Hier hing es von der Wahl der Integrationsmannigfaltigkeit Γ in (3.41) ab, welche effektive Linearkombination dieser beiden Sattelpunktsbeiträge den asymptotischen Chern-Simons-Zustand im Limes κ → ∞ beschrieb. Über zwei geeignete, topologisch inäquivalente Wahlen von Γ konnten wir damit in diesem Limes stets mindestens zwei linear unabhängige Zustände in der Triadendarstellung finden, die beide aus ein und demselben Chern-Simons-Zustand (3.39) in der Ashtekar-Darstellung hervorgingen.

Es fiel auf, daß der Sattelpunktsbeitrag Ψ_{CS} gemäß (4.21), wie auch der konjugiert komplexe Zustand Ψ_{CS}^{∗}, stark an die Vilenkinsche Vorstellung [29, 30] vom Wellenfunktional des Universums erinnern: Mit dem in (5.6) definierten Stromoperator j̃(x) ergab sich das asymptotische Resultat (5.8), womit die Ströme von Ψ_{CS} und Ψ_{CS}^{∗} aus (4.21) in der h(x)-Richtung des Konfigurationsraumes ein festes Vorzeichen haben. Deshalb beschreibt der Zustand (4.21) für die Wahl des unteren Vorzeichens in der Definition (2.34) der Ashtekarvariablen ausschließlich expandierende, der hierzu konjugiert komplexe Zustand hingegen kollabierende Universen.^{5} Dasselbe Resultat erhielten wir in Abschnitt 4.2.3 auch über eine direkte Untersuchung der von diesen beiden Zuständen beschriebenen semiklassischen Raumzeit-Geometrien, wofür sich asymptotisch jeweils verallgemeinerte DeSitter-4-Geometrien mit einem entsprechenden Expansionsverhalten ergaben.

Der für beliebige Riemannsche 3-Mannigfaltigkeiten (M_{3}, h) gültige Ausdruck (4.21) für den asymptotischen Chern-Simons-Zustand im Limes κ → ∞ wurde in Abschnitt 4.2.2 für Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten ausgewertet, was uns auf das geschlossene Ergebnis (4.30) führte. Im Spezialfall Bianchi IX-homogener 3-Metriken konnten die Ergebnisse früherer Arbeiten [23, 42] rekonstruiert werden, wobei lediglich ein Unterschied im Amplitudenvorfaktor des Wellenfunktionals auftrat. Diese scheinbare Diskrepanz konnte aber über die inäquivalenten Quantisierungsvorschriften in den verschiedenen Zugängen zur Beschreibung Bianchi IX-homogener Mannigfaltigkeiten geklärt werden.

Die Auswertung des semiklassischen Chern-Simons-Zustands im Limes κ → 0 lieferte im Abschnitt 4.3 implizit definierte Sattelpunktsbeiträge der Form (4.64), welche über die divergenzfreien Triaden d⃗_{a} der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) charakterisiert werden konnten. In diesem Zusammenhang trat die Frage nach der Existenz divergenzfreier Triaden Riemannscher 3-Mannigfaltigkeiten auf, die im Anhang A.2 für eine große Klasse von 3-Geometrien beantwortet wurde.

5Die umgekehrte Aussage gilt für die Wahl des oberen Vorzeichens in der Definition (2.34).

Für den asymptotischen Zustand (4.64) im Grenzfall κ → 0 spielte der Begriff der Windungszahl eine große Rolle, der im Abschnitt 4.2.1 zunächst für SO(3)-Drehmatrizen Ω eingeführt, und später über die Definition (4.63) auch auf Triadenfelder e⃗_{a} übertragen wurde. Mit Hilfe einer geeigneten Definition des Vorfaktors N von Ψ_{CS} in (4.27) konnten wir erreichen, daß der Chern-Simons-Zustand sowohl im Limes κ → ∞, wie auch im Limes κ → 0, eichinvariant unter SO(3)-Eichtransformationen mit beliebiger Windungszahl wurde; die Verwendung des in diesem Zusammenhang oft eingeführten Θ-Winkels [5, 43] konnte auf diese Weise vermieden werden.

Das Wellenfunktional Ψ_{CS} gemäß (4.64), das formal auch die Rolle des semiklassischen Quantenzustands der Gravitation im Fall Λ = 0 spielt, wurde im Abschnitt 4.3.1 auf Bianchi A-homogene 3-Mannigfaltigkeiten eingeschränkt. Hierbei ergab sich für einen möglichen Sattelpunktsbeitrag das explizite Resultat (4.69), das in Restriktion auf Bianchi IX-Mannigfaltigkeiten auch als ”Wurmloch-Zustand“ bekannt ist [23, 42]. Wie bereits in früheren Arbeiten gezeigt wurde, erfüllen die über den ”Wurmloch-Zustand“ beschriebenen semiklassischen 4-Geometrien die Randbedingung asymptotischer Flachheit bei großen Längenskalen a_{cos}.

Mit Hilfe einer geeigneten Konstruktion in Anhang B konnten für Bianchi IXhomogene Mannigfaltigkeiten vier weitere Sattelpunktsbeiträge zum Funktionalintegral (3.41) angegeben werden, die den vier divergenzfreien Triaden d⃗_{a}^{(α)}, α ∈ {1, 2, 3, 4}, gemäß (B.57), (B.58) entsprachen. Diese Sattelpunktswerte sind aus dem Studium Bianchi IX-homogener Modelle wohlbekannt [23, 42]; insbesondere erfüllt der Zustand Ψ_{CS}^{(4)} aus (4.73) die von Hartle und Hawking [26, 27, 28] vorgeschlagene ”keine-Grenzen-Bedingung“ für a_{cos} → 0.

Schon aus dem Studium des nicht-diagonalen Bianchi IX-Modells in [25, 50] ist allerdings bekannt, daß die vier Sattelpunktsbeiträge Ψ_{CS}^{(α)}, α ∈ {1, 2, 3, 4}, aus Symmetriegründen stets nur gleichzeitig auftreten können. Die Integrationsmannigfaltigkeit Γ in (3.41) muß also so gewählt werden, daß entweder keines, oder alle der vier entsprechenden Sattelpunktsfelder zum Funktionalintegral (3.41) beitragen. In Verbindung mit dem Zustand Ψ_{CS}^{(0)} aus (4.72) finden wir somit nur zwei linear unabhängige Werte des Chern-Simons-Zustands für Bianchi IX-homogene 3-Mannigfaltigkeiten.

Dieses Resultat läßt sich auch mit den Ergebnissen aus Anhang B.3.2 verstehen, denn hier wurde gezeigt, daß die vier divergenzfreien Triaden d⃗_{a}^{(α)}, α ∈ {1, 2, 3, 4}, welche die semiklassischen Sattelpunktsbeiträge Ψ_{CS}^{(α)}, α ∈ {1, 2, 3, 4}, zum Chern-Simons-Zustand liefern, durch SO(3)-Eichtransformationen mit trivialer Windungszahl auseinander hervorgehen, und deshalb topologisch gleichwertig sind.

Wie oben bereits erwähnt, erfüllen die über den ”Wurmloch-Zustand“ (4.72) und den ”Hartle-Hawking-Zustand“ (4.73) generierten semiklassischen 4-Geo-metrien für Anfangs-3-Geometrien vom Bianchi-Typ IX einfache asymptotische Randbedingungen. Hierbei scheint es sich jedoch nicht um das allgemeine semiklassische Verhalten des Chern-Simons-Zustands im Limes κ → 0 zu handeln: Im Anhang C haben wir gezeigt, daß beispielsweise homogene Anfangs-3-Geometrien vom Bianchi-Typ VI_{−1} weder die Randbedingung asymptotischer Flachheit bei großen Skalen, noch die ”keine-Grenzen-Bedingung“ von Hartle und Hawking befriedigen. Es bleibt daher fraglich, ob eine dieser beiden Randbedingungen vom inhomogenen Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation allgemeingültig erfüllt werden kann.

Ziehen wir das Resümée aus den in Kapitel 4 gefundenen Ergebnissen, so liegt die Vermutung nahe, daß man in der Triadendarstellung der Quantengravitation zwei linear unabhängige Wellenfunktionale Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] finden kann, die beide aus dem Chern-Simons-Zustand Ψ̂_{CS}(A_{ia}) in der Ashtekar-Darstellung hervorgehen: Zum einen finden wir dieses Resultat für beliebige Riemannsche 3-Mannigfaltig-keiten im Limes κ → ∞, ferner existieren zumindest für leicht deformierte Bianchi IX-Metriken im Limes κ → 0 ebenfalls gerade zwei linear unabhängige Werte von Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}]. Es wäre interessant, diese Hypothese anhand weiterer ausgesuchter Beispiele zu untersuchen, oder durch Angabe zweier topologisch inäquivalenter Integrationsmannigfaltigkeiten Γ sogar explizit zu beweisen.

Zum Abschluß dieser Arbeit haben wir uns in Kapitel 5 schließlich mit der Frage der Normierbarkeit des Chern-Simons-Zustands in der Triadendarstellung beschäftigt. Unter Verwendung des vollständig eichfixierten, physikalischen inneren Produkts (3.30) und einer naheliegenden Wahl für die Eichbedingung χ̃ zur Hamiltonschen Zwangsbedingung H̃_{0} wurde die physikalische ”Norm“ dieses Zustands berechnet, was uns auf das formale Resultat (5.13) führte.

Diesem Ergebnis zufolge ist die mit Ψ_{CS}[ẽ^{i}_{a}] assoziierte ”Wahrscheinlichkeitsdichte“ im wesentlichen durch die Exponentialfunktion des Chern-Simons-Funk-tionals S_{CS}[ω_{ia}] zum Riemannschen Spin-Zusammenhang ω_{ia} bestimmt. Da das Funktional S_{CS}[ω_{ia}] offensichtlich nach oben und unten unbeschränkt ist, ergibt sich hieraus die Konsequenz, daß es sich beim Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation um einen nicht-normierbaren Zustand zu handeln scheint.

Es sei an dieser Stelle nun dem Leser überlassen, ob dieses negative Resultat ausreicht, das Chern-Simons-Wellenfunktional als physikalischen Quantenzustand zu verwerfen. Hierbei sollte jedoch berücksichtigt werden, daß das zur Untersuchung der Normierbarkeit verwendete innere physikalische Produkt noch stark von der Wahl der Eichbedingung χ̃ abhängt, wie wir in Kapitel 5 ausgeführt haben - andere Wahlen von χ̃, oder auch alternative Vorschläge zur Definition des eichfixierten Skalarprodukts, könnten im Prinzip auch zu einer positiven Normierbarkeitsaussage für den Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation führen.^{6} Ferner beachte man bei einer Beurteilung dieser problematischen Frage, daß der Chern-Simons-Zustand in der Triadendarstellung gemäß unserer Untersuchungen in Kapitel 4 eine überaus sinnvolle semiklassische Interpretation zuläßt.

Selbst wenn sich der Chern-Simons-Zustand der Quantengravitation auch endgültig als nicht-normierbar erweisen sollte, wäre es deshalb vielleicht lohnenswert, ganz auf eine Normierbarkeitsforderung des Quantenzustands zu verzichten, und im Rahmen der Gravitationstheorie - jenseits der konventionellen quantenmechanischen Deutung - über alternative Interpretationsmöglichkeiten des Wellenfunktionals nachzudenken.

6In einem anderen Zugang zur Definition des physikalischen inneren Produkts haben Smolin und Soo [19] beispielsweise vorgeschlagen, das Chern-Simons-Funktional (3.40) selbst als kosmologische Zeitvariable zu interpretieren. Dies scheint zumindest im Rahmen einer euklidischen Version der Allgemeinen Relativitätstheorie das mit dem Chern-Simons-Zustand assoziierte Normierbarkeitsproblem zu lösen.

Mathematischer Anhang Anhang A

Zur Lösbarkeit der Sattelpunktsgleichung

Im vierten Kapitel haben wir gesehen, daß die Lösungen der Sattelpunktsgleichung (4.10) die semiklassische Form (4.7) des Chern-Simons-Zustands (3.41) in der Triadendarstellung bestimmen. Es ist daher wichtig, sich mit den allgemeinen Lösbarkeitseigenschaften des nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungssystems (4.10) zu beschäftigen, was im Abschnitt A.1 dieses Anhangs geschehen soll.

Im Anschluß daran soll im Abschnitt A.2 gezeigt werden, daß man mit Hilfe von Lösungen der Sattelpunktsgleichung (4.10) im Limes κ → 0 divergenzfreie Triaden d⃗_{a} Riemannscher 3-Mannigfaltigkeiten (M_{3}, h) konstruieren kann; wie bereits in Kapitel 4.3 ausgeführt, parametrisieren diese gerade den semiklassischen Chern-Simons-Zustand (4.64) im Grenzfall κ → 0.

A.1 Lösbarkeitsaussagen für die Sattelpunktsgleichung

Zur Diskussion der Lösbarkeit des nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungssystems

G̃_{Λ,a}^{i} ≡ ε̃^{ijk} (∂_{j}A_{ka} + \frac{1}{2} ε_{abc} A_{jb} A_{kc}) + \frac{Λ}{3} ẽ^{i}_{a} ! = 0  (A.1)

auf der kompakten, räumlichen Mannigfaltigkeit M_{3} ist es nicht besonders zweckmäßig, das System in der Form (A.1) zu studieren: Wollen wir Methoden aus der Theorie partieller Differentialgleichungen [51] verwenden, so stört uns der führende Ableitungsterm in (A.1), denn bei der Rotation des Feldes A_{ia} handelt es sich um einen nicht-elliptischen Ableitungsoperator, der bei einer störungstheoretischen Analyse des Gleichungssystems (A.1) keine Lösbarkeitsaussagen liefern kann.

Wir werden deshalb schrittweise versuchen, aus (A.1) ein neues Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung abzuleiten, derart, daß in führender Ableitungsordnung ein elliptischer Operator entsteht, und eine eindeutige, störungstheoretische Entwicklung der Lösungen A_{ia} begründet werden kann.

In diesem Zusammenhang ist es angebracht, die gesuchten Eichfelder A_{ia} durch andere, günstigere Felder zu ersetzen, womit wir uns zuächst befassen wollen.

Wie bereits aus Kapitel 2.3 bekannt ist, implizieren die Gleichungen (A.1) über (2.49) für Λ ≠ 0 die drei Gauß-Bedingungen (2.38),

∓\frac{iγ}{2} J̃_{a} = D_{i}ẽ^{i}_{a} ≡ ∂_{i}ẽ^{i}_{a} + ε_{abc} A_{ib} ẽ^{i}_{c} = 0 ,  (A.2)

die folglich für Lösungen A_{ia} von (A.1) automatisch erfüllt sind. Die Gleichungen (A.2) lassen sich in den zu A_{ia} äquivalenten Feldern

A_{ij} := A_{ia} e_{ja}  (A.3)

auch in der Form

ε̃^{ijk} A_{jk} = ε̃^{ijk} ω_{jk}  mit ω_{ij} := ω_{ia} e_{ja}  (A.4)

schreiben. Für Lösungen von (A.1) ergibt sich also eine Übereinstimmung der schiefsymmetrischen Anteile des Ashtekar-Spin-Zusammenhangs A_{ij} und des Riemann-Spin-Zusammenhangs ω_{ij}, womit die Differenz

K_{ij} := ω_{ij} − A_{ij} ≡ (ω_{ia} − A_{ia}) · e_{ja}  (A.5)

symmetrisch in i und j ist. Die Größen K_{ij} sind als Differenz von zwei Eichfeldern die Komponenten eines kovarianten Tensors zweiter Stufe, der gemäß (2.23) und (2.34) über eine Wick-Rotation mit der semiklassischen, extrinsischen Krümmung K_{ij} verknüpft ist:

K_{ij} = ± i K_{ij} .  (A.6)

Rechnen wir nun das Differentialgleichungssystem (A.1) über (A.5) auf die neuen, symmetrischen Felder K_{ij} um, so ergibt sich

G̃_{Λ,j}^{i} := G̃_{Λ,a}^{i} · e_{ja} ≡ G̃_{Λ,j}^{i} + ^{∗}K̃ _{j}^{i} − ε̃^{ikℓ} ∇_{k} K_{ℓj} ! = 0 .  (A.7)

Hierbei ist

∗K̃ _{j}^{i} := \frac{\sqrt{h}}{2} ε̃^{imn} ε̃_{jkℓ} K_{m}^{k} K_{n}^{ℓ}  (A.8)

die dichtegewichtete, klassische Adjunkte der Matrix (K_{j}^{i}), und mit G̃_{Λ,a}^{i} aus (2.44) bezeichnet

G̃_{Λ,j}^{i} = G̃_{Λ,a}^{i} · e_{ja}  (A.9)

den dichtegewichteten Einsteintensor mit kosmologischem Term.

Wie man zeigen kann, sind die neun Gleichungen (A.7) nicht unabhängig: Die drei Gauß-Bedingungen (A.2) nehmen in den symmetrischen Feldern K_{ij} die Form

J̃_{a} = ±\frac{2 i}{γ} ε̃^{ijk} e_{ia} K_{jk} ≡ 0  (A.10)

an, sind also identisch erfüllt. Über die Beziehung (2.49) folgen hiermit drei verallgemeinerte Bianchi-Identitäten für den Tensor G̃_{Λ,j}^{i} aus (A.7),

∇_{i} G̃_{Λ}^{ij} − \frac{1}{\sqrt{h}} ε̃^{jkℓ} K_{kn} G̃_{Λ,ℓ}^{n} ≡ 0 ,  (A.11)

die sich auch direkt algebraisch nachrechnen lassen. Das partielle Differentialgleichungssystem (A.7) konstituiert somit nur sechs unabhängige Gleichungen für die sechs gesuchten Felder K_{ij}.

Als Pendant zu den Beziehungen (2.47) und (2.48) aus Kapitel 2.3 ergeben sich nun spezielle Implikationen für die Lösungen K_{ij} von (A.7), die in der weiteren Diskussion von Bedeutung sein werden:

Über die Spur von (A.7) entsteht eine rein algebraische Gleichung

H̃_{0}^{ADM} = \frac{2}{γ} G̃_{Λ,i}^{i} ≡ \frac{\sqrt{h}}{γ} (K^{2} − K_{j}^{i} K_{i}^{j} + 2Λ − R) = 0  (A.12)

mit

K := K_{i}^{i} ,  (A.13)

die sich über die Beziehungen (A.6) und (2.9) als die Hamiltonsche Zwangsbedingung (2.11) erweist. Ferner finden wir als schiefsymmetrischen Anteil von (A.7) drei Gleichungen, die linear in den gesuchten Feldern K_{ij} sind:

H̃_{i} = ∓\frac{2i\sqrt{h}}{γ} ε̃_{ijk} G̃_{Λ}^{jk} ≡ ±\frac{2i\sqrt{h}}{γ} (∇_{j}K_{i}^{j} − ∇_{i}K) = 0 .  (A.14)

Nach Umrechnung von K_{ij} auf die zu h_{ij} kanonisch konjugierten Impulse π̃^{ij} über (A.6) und (2.9) erkennen wir in den Gleichungen (A.14) die Diffeomorphismus-Zwangsbedingungen (2.12) wieder.

Bemerkenswert ist nun die Tatsache, daß uns die Gleichungen (A.14) Informationen über die Divergenz der gesuchten Tensorfelder K_{ij} liefern, während ferner mit (A.7) auch eine Aussage über die Rotation von K_{ij} vorliegt. Im Sinne der allgemeinen Beziehung

Δ = grad div − rot rot  (A.15)

können wir deshalb versuchen, zu (A.7) und (A.14) Differentialgleichungen zweiter Ordnung zu konstruieren, die in führender Ableitungsordnung den elliptischen Laplace-Beltrami-Operator Δ enthalten.

In dieser Absicht betrachten wir konkret das folgende Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung,

Δ_{ij} := ε̃_{jmn} ∇_{i} G̃_{Λ}^{mn} − ε̃_{imn} h^{mk} ∇_{k} G̃_{Λ,j}^{n} + \frac{1}{2} ε̃_{ijk} ∇_{n} G̃_{Λ}^{nk} ! = 0 ,  (A.16)

das für Lösungen von (A.7) offensichtlich erfüllt ist. Der erste Term in (A.16) ist gemäß (A.14) proportional zum Gradienten der Diffeomorphismen H̃_{j}, der zweite Term ist die kovariante Rotation des Tensors G̃_{Λ,j}^{i}. Unter Verwendung der Beziehungen (A.14) und (A.15) heben sich die in beiden Termen auftretenden Beiträge proportional zum Gradienten der Divergenz von K_{ij} gegeneinander auf. In führender Ableitungsordnung bleiben deshalb nur noch die Hessesche Ableitungsmatrix der Spur K von K_{ij} aus dem ersten Term, und der Laplace-Beltrami-Operator von K_{ij} aus dem zweiten Term in (A.16) übrig.

Der dritte Beitrag in (A.16) enthält gemäß (A.11) nur Ableitungen erster Ordnung von K_{ij}, und hat folglich keinen Einfluß auf die Ableitungsterme zweiter Ordnung. Er dient in erster Linie dazu, einen möglichst einfachen Ausdruck für den schiefsymmetrischen Anteil von Δ_{ij} zu erhalten, der sich nur unter Verwendung von (A.16) und (A.12) zu

ε̃^{ijk} Δ_{jk} = \frac{γ}{2} h^{ij} ∇_{j}H̃_{0}^{ADM}  (A.17)

ergibt. Man rechnet leicht nach, daß der Operator Δ_{ij} außerdem per definitionem spurlos ist: Die Gleichung

h^{ij}Δ_{ij} ≡ 0  (A.18)

ist für symmetrische Felder K_{ij} eine algebraische Identität.

Wegen (A.17) ist es nun hinreichend, anstelle von (A.16) das Gleichungsystem

Δ_{(ij)} := \frac{1}{2} (Δ_{ij} + Δ_{ji}) ! = 0 , H̃_{0}^{ADM} ! = 0 ,  (A.19)

zu betrachten, das wegen (A.18) insgesamt nur sechs unabhängige Gleichungen für die sechs Felder K_{ij} konstituiert. Jede Lösung von (A.19) befriedigt dann automatisch auch das volle Gleichungssystem (A.16).

Für den symmetrischen Anteil von Δ_{ij} finden wir explizit^{1}

Δ_{(ij)} = ∇_{i}∇_{j} K − ΔK_{ij} − ε̃_{(ikℓ} h^{kn} ∇_{n} ^{∗}K̃ _{j)}^{ℓ} − C_{(ij)}
+ 3 R_{(ik} K_{j)}^{k} − \frac{1}{2} R K_{ij} − K R_{ij} − h_{ij} K_{kℓ} G^{kℓ} ,  (A.20)

wobei im Beitrag nullter Ordnung der Tensor

C_{ij} := \frac{1}{\sqrt{h}} h_{ik} ε̃^{kℓm} ∇_{ℓ} (R_{mj} − \frac{1}{4} R h_{mj})  (A.21)

auftritt.^{2}

1Die über die runden Klammern angedeuteten Symmetrisierungen beziehen sich dabei stets nur auf die Indizes i und j.

2Dieser Tensor ist aus der Differentialgeometrie auch als Cotton-Tensor bekannt.

Zur weiteren Analyse des Gleichungssystems (A.19) im Rahmen der Theorie partieller Differentialgleichungen wollen wir nun die Hamiltonsche Zwangsbedingung explizit lösen, um so zu fünf effektiven Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die fünf verbleibenden Feldfreiheitsgrade zu gelangen.

Wir zerlegen die symmetrische (3×3)-Matrix (K_{j}^{i}) hierzu in ihre SO(3)-irredu-ziblen Anteile, also eine spurlose, symmetrische Matrix (P_{j}^{i}) und einen Beitrag proportional zur Spur K:

K_{j}^{i} = \frac{1}{3} K δ_{j}^{i} + P_{j}^{i}  mit P_{i}^{i} = 0 .  (A.22)

Die Hamiltonsche Zwangsbedingung (A.12) nimmt dann die Form

\frac{2}{3} K^{2} − P_{j}^{i} P_{i}^{j} = R − 2Λ  (A.23)

an, und beschreibt an jedem Punkt der räumlichen Mannigfaltigkeit M_{3} einen fünfdimensionalen Hyperboloiden in dem sechsdimensionalen, von K und P_{j}^{i} aufgespannten Raum. Damit dieser Hyperboloid nirgends entartet, sollten wir uns im weiteren auf den Fall

∀x ∈ M_{3} :  R(x) ≠ 2Λ  (A.24)

beschränken.^{3} Unter der Voraussetzung (A.24) kann dann die lokal fünfdimensionale Lösungsmannigfaltigkeit der Hamiltonschen Zwangsbedingung (A.23) über eine stereographische Projektion parametrisiert werden, wofür wir die auf der folgenden Seite in Abbildung A.1 dargestellte geometrische Konstruktion verwenden wollen.

Hierbei betrachten wir zunächst den Spezialfall R > 2Λ, und finden als spezielle, ausgezeichnete Lösung der Hamiltonschen Zwangsbedingung (A.23)

(P_{j}^{i}, K) = − \sqrt{\frac{3}{2}} · (0, \sqrt{R − 2Λ}) .  (A.25)

3Obwohl es sich bei der Bedingung (A.24) um eine nichttriviale Restriktion der Parameter ẽ^{i}_{a} und Λ des Differentialgleichungssystems (A.1) handelt, erlaubt sie dennoch die Diskussion vieler physikalisch interessanter Fälle: Sie ist insbesondere für eine vorgegebene, reguläre 3-Geometrie stets erfüllt, wenn wir die kosmologische Konstante Λ hinreichend groß wählen. Ferner erfassen wir im Fall verschwindender kosmologischer Konstante beispielsweise alle Riemannschen 3-Mannigfaltigkeiten mit positiver Skalarkrümmung R, wie etwa leicht deformierte 3-Sphären.

Diese Lösung entspricht dem Punkt O in der Abbildung A.1. Für einen beliebigen Punkt P des Hyperboloiden in Abbildung A.1 mit den Koordinaten (P_{j}^{i}, K) konstruieren wir nun eine Gerade durch die Punkte P und O, welche die P_{j}^{i}- Hyperebene in genau einem Punkt Q mit den Koordinaten (Q_{j}^{i}, 0) schneidet. Die Koordinaten Q_{j}^{i} des Punktes Q bilden wie P_{j}^{i} eine symmetrische, spurlose (3 × 3)-Matrix, und repräsentieren somit fünf unabhängige Parameter, mit denen wir jeden Punkt P des Hyperboloiden (A.23) beschreiben können.

TrQ^{2} ^{↘} 1  ^{TrQ^{2} ^{↘} 1}^{TrQ^{2} ^{↗} 1}  ^{TrQ^{2} ^{↗} 1} O Q P^{TrQ^{2} → ∞}^{TrQ^{2} = 0}  H̃_{0}^{ADM} = 0 H̃_{0}^{ADM} = 0 P_{j}^{i} TrQ^{2} < 1 TrQ^{2} > 1  K

Abbildung A.1: Stereographische Projektion zur Parametrisierung der Hamiltonschen Zwangsbedingung H̃_{0}^{ADM} = 0 im Fall R > 2Λ.

Elementare geometrische Überlegungen liefern so für die Lösungen K_{j}^{i} der Hamiltonschen Zwangsbedingung die explizite Parametrisierung

K_{j}^{i} = \frac{\sqrt{R − 2Λ}}{1 − Tr Q^{2}} [ \frac{1 + Tr Q^{2}}{\sqrt{6}} δ_{j}^{i} + 2Q_{j}^{i} ] ,  (A.26)

wobei Q = (Q_{j}^{i}) eine beliebige symmetrische, spurlose Matrix mit

Tr Q^{2} ≠ 1  (A.27)

ist. Die gebrochen rationale Parametrisierung (A.26) von K_{j}^{i} ist analytisch in Q_{j}^{i}, und kann sogar zur Beschreibung der im allgemeinen komplexen Lösung K_{j}^{i} der Hamiltonschen Zwangsbedingung (A.12) verwendet werden, wenn wir für Q komplexe spurlose, symmetrische Matrizen mit (A.27) zulassen. Für Tr Q^{2} = 1 liefert die stereographische Projektion aus Abbildung A.1 kein Urbild P, weshalb solche Matrizen über (A.27) aus dem Definitionsbereich von Q herausgenommen wurden. Unendliche Matrizen sind zu identifizieren und parametrisieren den Punkt O in Abbildung A.1.

Im folgenden werden wir uns auf die Diskussion reeller Matrizen Q beschränken, die für R > 2Λ über (A.26) reelle Felder K_{j}^{i} beschreiben.^{4} Dann gilt

Tr Q^{2} ≥ 0 ,  (A.28)

und der Bereich 0 ≤ Tr Q^{2} < 1 parametrisiert die obere Schale des Hyperboloiden in Abbildung A.1, während über Tr Q^{2} > 1 die untere Schale beschrieben wird.

In entsprechender Weise erhält man für reelle Matrizen Q im Fall R < 2Λ über die Darstellung (A.26) imaginäre Felder K_{j}^{i}.^{5}

Setzen wir die allgemeine, gebrochen rationale Parametrisierung (A.26) in das Differentialgleichungssystem (A.20) ein, so entstehen fünf effektive nichtlineare, partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die fünf Felder Q_{j}^{i}. Die Lösbarkeit dieses Differentialgleichungssystems bleibt zu diskutieren, was nun im Rahmen einer störungstheoretischen Analyse geschehen soll.

Zu diesem Zweck betrachten wir eine spezielle Lösung Q̄_{j}^{i} des Gleichungssystems (A.20), (A.26), die beispielsweise durch entsprechende Übersetzung der in Kapitel 4 gefundenen Lösungen der Sattelpunktsgleichung (A.1) gewonnen werden kann. Dann bleibt zu zeigen, daß sich die Lösung Q̄_{j}^{i} unter einer infinitesimalen Störung der Parameter ẽ^{i}_{a} und Λ in (A.20), (A.26) eindeutig fortsetzen läßt. Für die gestörte Lösung machen wir deshalb den Ansatz

Q_{j}^{i} = Q̄_{j}^{i} + ϵ · Q′_{j}^{i} + O(ϵ^{2}) ,  (A.29)

und linearisieren das Gleichungssystem (A.20), (A.26) um die Hintergundlösung Q̄_{j}^{i}, womit sich der gesuchte Korrekturterm Q′_{j}^{i} als Lösung eines linearen Differentialgleichungssystems zweiter Ordnung ergibt.

4Dies entspricht über (A.3), (A.5) auch reellen Ashtekarvariablen A_{ia}.

5Diese übersetzen sich gemäß (A.6) in reelle extrinsische Krümmungen K_{ij}, und über (A.3), (A.5) in komplexe Ashtekarvariablen A_{ia}.

An dieser Stelle kann nun auf die Theorie linearer partieller Differentialgleichungen zurückgegriffen werden: Falls gezeigt werden kann, daß das um Q̄_{j}^{i} linearisierte Gleichungssystem (A.20), (A.26) in führender Ableitungsordnung der Korrekturfelder Q′_{j}^{i} elliptisch ist, so ist eine störungstheoretische Entwicklung der Lösungen Q_{j}^{i} möglich.

Zum Beweis der Elliptizität entwickeln wir zunächst die allgemeine Lösung (A.26) der Hamiltonschen Zwangsbedingung über den Störungsansatz (A.29) nach ϵ, und erhalten

K_{j}^{i} = K̄_{j}^{i} + ϵ · K′_{j}^{i} + O(ϵ^{2}) ,  (A.30)

mit

K′_{j}^{i} = \frac{2 \sqrt{R − 2Λ}}{(1 − TrQ̄^{2})^{2}} [ 2 Q̄^{mn} (\frac{1}{\sqrt{6}} δ_{j}^{i} + Q̄_{j}^{i}) Q′_{mn} + (1 − TrQ̄^{2}) Q′_{j}^{i} ] . (A.31)

Für den Differentialoperator Δ_{(ij)} aus (A.20) ergibt sich hiermit in erster Ordnung des Störparameters ϵ

Δ′_{(ij)} ≐ \frac{2 \sqrt{R − 2Λ}}{(1 − TrQ̄^{2})^{2}} [ \sqrt{6} Q̄^{mn} ∂_{ij}^{2} Q′_{mn} − 2 Q̄^{mn} (\frac{1}{\sqrt{6}} h_{ij} + Q̄_{ij}) Δ Q′_{mn}

− (1 − TrQ̄^{2}) ΔQ′_{ij} ] ,  (A.32)

wobei der Punkt über dem Gleichheitszeichen andeutet, daß nur die führenden räumlichen Ableitungsterme von Q′_{ij} in (A.32) berücksichtigt wurden.

Im weiteren untersuchen wir die Wirkung des Differentialoperators Δ′_{(ij)} aus (A.32) auf eine beliebige, aber fest gewählte Fouriermode des gesuchten Feldes Q′_{ij},

Q′_{ij}(x) = Q̂_{ij}(k) · e^{i k_{ℓ}x^{ℓ}} ,  (A.33)

und erhalten hierüber das sogenannte Symbol [51] des Differentialoperators Δ′_{(ij)} zum Wellenzahlvektor k:

σ_{ij} (Δ′_{(mn)}; k) : = −\frac{2 \sqrt{R − 2Λ}}{(1 − TrQ̄^{2})^{2}} [ \sqrt{6} k_{i} k_{j} Q̄^{mn} Q̂_{mn} − |k|^{2} · ((1 − TrQ̄^{2}) Q̂_{ij}

+\frac{2}{\sqrt{6}} Q̄^{mn} (h_{ij} + \sqrt{6} Q̄_{ij}) Q̂_{mn} ) ] . (A.34)

Kann nun gezeigt werden, daß das Symbol σ des Operators Δ′_{(ij)} für beliebige k ≠ 0 bezüglich Q̂_{ij} invertierbar ist, so ist der Operator Δ′_{(ij)} elliptisch, und die störungstheoretische Entwicklung von Lösungen des Differentialgleichungssystems (A.20), (A.26) ist gerechtfertigt.

Es bleibt also zu beweisen, daß das in Q̂_{ij} lineare Gleichungssystem

σ_{ij} (Δ′_{(mn)}; k) ! = 0  (A.35)

für beliebige k ≠ 0 nur die triviale Lösung Q̂_{ij} = 0 besitzt. Für die explizite Form des Gleichungssystems (A.35) finden wir

\sqrt{6} q n_{i} n_{j} = \frac{2}{\sqrt{6}} q (h_{ij} + \sqrt{6} Q̄_{ij}) + (1 − TrQ̄^{2}) Q̂_{ij} ,  (A.36)

wobei zur Abkürzung die Größe

q := Q̄^{mn} Q̂_{mn}  (A.37)

eingeführt wurde, und

n := \frac{k}{|k|}  (A.38)

nun ein beliebiger Einheitsvektor ist. Über eine Verjüngung der Gleichung (A.36) mit Q̄^{ij} folgt für Lösung Q̂_{ij} von (A.36) die notwendige Bedingung

q · (1 + TrQ̄^{2} − \sqrt{6} Q̄^{ij} n_{i} n_{j}) ! = 0 .  (A.39)

Können wir also die Aussage

1 + TrQ̄^{2} = \sqrt{6} Q̄^{ij} n_{i} n_{j}  (A.40)

zum Widerspruch führen, so folgt mit (A.39), daß q gemäß (A.37) verschwinden muß, und dies impliziert weiterhin über (A.36) die Aussage Q̂_{ij} = 0, womit die Trivialität des Kerns von σ bewiesen wäre. Zum Abschluß der Beweisführung bleibt also lediglich die Lösbarkeit der Gleichung (A.40) zu widerlegen.

Hierzu verwenden wir zunächst die für beliebige reelle, symmetrische Matrizen (Q̄_{j}^{i}) gültige Ungleichung

n^{i}n_{i} = 1  ⇒  Q̄_{j}^{i} n^{j} n_{i} ≤ max_{i=1}^{3} \left\{{ \atop Q̄_{i}}\right\} ,  (A.41)

wobei Q̄_{i} die reellen Eigenwerte der Matrix Q̄ = (Q̄_{j}^{i}) bezeichnet. Mit (A.41) impliziert (A.40) die notwendige Relation

1 + ∑_{i=1}^{3} Q̄_{i}^{2} ! ≤ \sqrt{6} max_{i=1}^{3} \left\{{ \atop Q̄_{i}}\right\}  (A.42)

für die Eigenwerte Q̄_{i} der Matrix Q̄. Nun handelt es sich bei Q̄ um eine spurlose Matrix, folglich gilt

∑_{i=1}^{3} Q̄_{i} = 0 ,  (A.43)

so daß wir die Eigenwerte Q̄_{j} allgemeingültig beispielsweise in der Form

Q̄_{j} = \sqrt{\frac{2}{3}} ϱ cos (η + \frac{2πj}{3} ) , j ∈ \{1, 2, 3\} ,  (A.44)

parametrisieren können, wobei die Parameter ϱ und η über den Bereichen

ϱ ≥ 0 , 0 ≤ η < 2π  (A.45)

variieren. Hiermit erhalten wir

TrQ̄^{2} = ϱ^{2} ,  (A.46)

und über die Beschränktheit der Kosinusfunktion folgt aus (A.42) die Ungleichung

1 + ϱ^{2} ! ≤ 2ϱ ⇔ (1 − ϱ)^{2} ! ≤ 0 ,  (A.47)

die offensichtlich nur für ϱ = 1 erfüllt werden kann; andererseits handelt es sich wegen (A.46) und (A.27) bei der Stelle ϱ = 1 aber gerade um die Koordinatensingularität der stereographischen Projektion (A.26), also um einen Wert, der aus dem Definitionsbereich von ϱ herausgenommen werden muß. Damit ist gezeigt, daß (A.47) für symmetrische, spurlose Matrizen Q̄ mit TrQ̄^{2} ≠ 1 nicht erfüllt werden kann, womit auch die Gleichung (A.40) schließlich zum Widerspruch geführt worden ist.

Zusammenfassend haben wir also bewiesen, daß der Operator Δ′_{(ij)} gemäß (A.32) ein elliptisches Symbol σ hat, womit das um die Lösung Q̄ linearisierte Differentialgleichungssystem (A.20), (A.26) ebenfalls elliptisch ist, und eine störungstheoretische Berechnung des Korrekturterms Q′ erlaubt.

Der Vollständigkeit halber sei an dieser Stelle bemerkt, daß im Rahmen einer rigorosen Existenz- und Eindeutigkeitsaussage für den Korrekturterm Q′ die Trivialität des Kerns von Δ′_{(ij)} nicht nur in führender Ableitungsordnung (A.32), sondern unter Berücksichtigung aller Ableitungsordnungen bewiesen werden müßte. Wir wollen die hier gezeigte Elliptizität des Operators Δ′_{ij} in führender Ableitungsordnung aber als entscheidenden Hinweis darauf deuten, daß diese technisch sehr viel aufwendigere Beweisführung im Prinzip ohne weitere Einschränkungen an die Parameterfelder ẽ^{i}_{a} und Λ möglich sein sollte.

Als Konsequenz können wir dann jede Lösung des Gleichungssystems (A.19), und damit auch jede Lösung der Sattelpunktsgleichung (A.1), störungstheoretisch fortsetzen, solange nur die in (A.24) getroffene Voraussetzung erfüllt bleibt.

In Verbindung mit den aus Kapitel 4 bereits bekannten Lösungen der Sattelpunktsgleichung (A.1) gewinnen wir somit die folgenden Lösbarkeitsaussagen für das nichtlineare, partielle Differentialgleichungssystem (A.1):

Für große kosmologische Konstanten Λ kennen wir über (4.17) zu jeder 3-Metrik h zwei asymptotische, komplexe Sattelpunktslösungen A_{ia} und A_{ia}^{∗}. Gerade im Grenzfall hinreichend großer Λ ist nun aber mit Sicherheit die Ungleichung R < 2Λ, und damit insbesondere (A.24) erfüllt, denn auf einer gegebenen, kompakten Mannigfaltigkeit M_{3} ist der stetige Krümmungsskalar R(x) eine beschränkte Funktion. Damit können wir die beiden in (4.17) gefundenen Sattelpunktslösungen mindestens solange für abnehmendes Λ störungstheoretisch fortsetzen, bis die Ungleichung R < 2Λ an einer Stelle x ∈ M_{3} verletzt ist.

Bei noch kleineren kosmologischen Konstanten Λ erwarten wir Bifurkationen in den beiden Lösungszweigen, wie sie beispielsweise aus der Diskussion Bianchi IX-homogener 3-Mannigfaltigkeiten bereits bekannt sind: Im Rahmen dieser homogenen Modelle kennt man das Verhalten der Sattelpunktslösungen von (A.1) sehr genau [23, 42]; die hierbei explizit auftretenden Bifurkationen geben insbesondere Anlaß zur Definition einer Kaustik im Konfigurationsraum der 3-Metriken [23, 42]. Das allgemeine Bifurkationsverhalten der Lösungen von (A.1) im inhomogenen Fall ist hingegen sehr viel schwieriger zu diskutieren, und soll an dieser Stelle nicht weiter untersucht werden.

Im Grenzfall verschwindender kosmologischer Konstante Λ kennen wir explizite Lösungen von (A.1), (A.2) nur für spezielle, Bianchi A-homogene 3-Mannigfaltig-keiten (M_{3}, h): Lösen wir die Gleichungen (A.1), (A.2) für e⃗_{a} = i⃗_{a}, wobei i⃗_{a} die invariante, divergenzfreie Triade der Bianchi A-Metrik ist, so ergibt sich für eine der Sattelpunktslösungen einfach A_{ia} = 0. Diese Aussage ergibt sich aus (4.50) und (4.54) in Verbindung mit der Tatsache, daß die in diesen Gleichungen auftretende Drehmatrix Ω hier einfach räumlich konstant gewählt werden kann.

Für Bianchi A-Mannigfaltigkeiten mit R ≠ 0 kann die Lösung A_{ia} = 0 der Gleichungen (A.1), (A.2) offensichtlich solange unter inhomogenen Störungen der 3-Metrik h fortgesetzt werden, bis der Krümmungsskalar R(x) zum ersten Mal an einer Stelle x ∈ M_{3} verschwindet. Außerdem existiert diese Lösung auch für Λ ≠ 0 weiter, wenn wir uns nur auf hinreichend kleine Λ mit R − 2Λ ≠ 0 beschränken.

Im Spezialfall Bianchi IX-homogener 3-Mannigfaltigkeiten können wir sogar vier weitere, explizite Lösungen der Sattelpunktsgleichung (A.1), (A.2) angeben, die sich über (4.50) aus den vier im Anhang B.3.2 konstruierten divergenzfreien Triaden (B.58) ergeben. Diese homogenen Mannigfaltigkeiten besitzen zusammen mit A_{ia} = 0 also insgesamt fünf Sattelpunktslösungen, die sich bei inhomogener Deformation der Bianchi IX-Metrik störungstheoretisch fortsetzen lassen, solange der Krümmungsskalar R(x) lokal positiv bleibt.

Ferner ergibt sich hier die zusätzliche Aussage, daß diese fünf Lösungen von (A.1), (A.2) unter der Nebenbedingung R(x) > 0 reell bleiben:

Die fünf Ausgangssattelpunkte Bianchi IX-homogener Mannigfaltigkeiten sind zunächst alle reell, und hiermit verifiziert man leicht, daß für R > 0 die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung zur Bestimmung des Korrekturterms Q′_{j}^{i} aus (A.29) nicht nur in führender Ableitungsordnung (A.32), sondern sogar in allen Ordnungen reelle Koeffizienten haben. Deshalb findet man als Lösungen dieser Gleichungen reelle Felder Q′_{j}^{i}, womit sich über (A.29), (A.26), (A.5) und (A.3) auch reelle Lösungen A_{ia} der gestörten Sattelpunktsgleichung (A.1), (A.2) ergeben.

Im folgenden Abschnitt soll nun gezeigt werden, wie man mit Hilfe solcher reellen Lösungen von (A.1), (A.2) im Limes κ → 0 divergenzfreie Triaden Riemannscher 3-Mannigfaltigkeiten konstruieren kann.

A.2 Divergenzfreie Triaden von Riemannschen 3-Mannigfaltigkeiten

Im Anhang A.1 haben wir gezeigt, daß man für eine große Klasse von Riemannschen 3-Geometrien flache Eichfelder A_{ia} mit

F_{ija} = 0  (A.48)

finden kann, die ferner die drei Gauß-Bedingungen

D_{i}ẽ^{i}_{a} = 0  (A.49)

für eine vorgegebene Triade e⃗_{a} von (M_{3}, h) erfüllen. Insbesondere existieren für deformierte Bianchi IX-Geometrien fünf reelle Eichfelder mit diesen Eigenschaften, solange lokal R > 0 gilt. Für Bianchi A-Mannigfaltigkeiten mit R ≠ 0 finden wir zumindest ein Eichfeld A_{ia} mit (A.48), (A.49), das ebenfalls reell ist, und für kleine Störungen der 3-Metrik weiterexistiert. Es soll nun gezeigt werden, in welcher Weise solche flachen, reellen Eichfelder A_{ia} mit (A.49) die Konstruktion einer divergenzfreien Triade von (M_{3}, h) erlauben.

Hierzu fixieren wir an einem ausgewählten Punkt P_{0} der 3-Mannigfaltigkeit M_{3} drei beliebige Vektoren d⃗_{a}|_{P_{0}}, a ∈ {1, 2, 3}, die bezüglich der 3-Metrik h orthonormal seien. Für diese drei Vektoren am Punkt P_{0} betrachten wir dann einen parallelen Transport mit dem flachen Spin-Zusammenhang A_{ia} entlang beliebiger Kurven C ⊂ M_{3}, und beweisen für den Transportprozeß mit A_{ia} die folgenden Eigenschaften:

(i) Für einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten M_{3} ist das Ergebnis des Transportes von P_{0} nach P_{1} unabhängig von der Wahl des Transportweges C.

(ii) Der Transport mit A_{ia} ist metrisch, erhält also insbesondere die Othonormalität von Anfangsvektoren.

(iii) Mit der Eigenschaft (A.49) des Spin-Zusammenhangs A_{ia} sind die im Sinne von (i) erzeugten Vektorfelder auf M_{3} divergenzfrei.

Dann folgt, daß der parallele Transport der orthonormalen Anfangsvektoren d⃗_{a}|_{P_{0}} für einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten M_{3} ein wohldefiniertes, divergenzfreies Triadenfeld d⃗_{a}(x) auf M_{3} liefert.

Zum Beweis der ersten Aussage (i) betrachten wir einen beliebigen Anfangsvektor v⃗|_{P_{0}} = v_{0,a} e⃗_{a} am Punkt P_{0}, wobei e⃗_{a} dasjenige Triadenfeld ist, für das die Gleichungen (A.48) und (A.49) gelöst wurden. Ferner sei

C_{0} : x^{i} = f^{i}(u) , 0 ≤ u ≤ 1 ,  (A.50)

eine Kurve, welche die Punkte P_{0} und P_{1} verbindet.^{6} Die Transportgleichung für den parallelen Transport mit A_{ia},

\frac{Dv_{a}}{Du} := \frac{∂f^{i}}{∂u} D_{i}v_{a} = \frac{∂v_{a}}{∂u} + ε_{abc} \frac{∂f^{i}}{∂u} A_{ib} v_{c} ! = 0 ,  (A.51)

liefert dann zum Anfangswertproblem v_{a}(0) ! = v_{0,a} eindeutig ein Vektorfeld v_{a}(u) entlang der Kurve C_{0}, das in Abbildung A.2 dargestellt ist:

C_{0} u = 0  u = 1 P_{0}  P_{1} v⃗|_{P_{0}} = v⃗(0)  v⃗(1) = v⃗|_{P_{1}} v⃗(u)

Abbildung A.2: Paralleler Transport eines Anfangsvektors v⃗|_{P_{0}} von P_{0} nach P_{1} entlang der Kurve C_{0}.

Wir interessieren uns nun dafür, wie der resultierende Vektor v⃗|_{P_{1}} = v⃗(1) am Punkt P_{1} von der Wahl der Kurve C_{0} abhängt.

Zur konkreten Untersuchung dieser Abhängigkeit betrachten wir eine Kurvenschar C_{s}, 0 ≤ s ≤ 1, mit einheitlicher Orientierung, wobei jede einzelne Kurve C_{s} zu festem Parameter s die Punkte P_{0} und P_{1} verbinden soll. Ferner falle die Randkurve zu s = 0 mit C_{0} aus (A.50) zusammen. Eine solche Kurvenschar ist in Abbildung A.3 dargestellt.

6Die hier und im folgenden verwendete Beweisführung ist sehr analog zu [52], wo gezeigt wird, daß das Ergebnis des Riemannschen parallelen Transportes für flache Riemannsche Mannigfaltigkeiten unabhängig von der Wahl der Transportkurve ist.

C_{0} u = 0  u = 1 P_{0}  P_{1} v⃗(0, 0)  v⃗(1, 1) v⃗(1, 0) M_{2} C_{1} C_{s}

Abbildung A.3: Darstellung einer Kurvenschar Cs, welche die Punkte P_{0} und P_{1} verbindet. Der parallele Transport eines Anfangsvektors v⃗|_{P_{0}} = v⃗(0, 0) von P_{0} nach P_{1} liefert entlang der Randkurven C_{0} und C_{1} im allgemeinen verschiedene Endvektoren v⃗(1, 0) und v⃗(1, 1) am Punkt P_{1}.

Die Parametrisierung von C_{s} wählen wir weiterhin explizit in der Form

C_{s} : x^{i} = f^{i}(u, s) ; 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ s ≤ 1 .  (A.52)

Durch parallelen Transport von v⃗|_{P_{0}} entlang der Kurven C_{s} erhalten wir ein Vektorfeld v_{a}(u, s) auf der über (A.52) parametrisierten 2-Mannigfaltigkeit M_{2}, das bis auf den Punkt P_{1} überall auf M_{2} wohldefiniert ist. Die Vektoren v⃗|_{P_{1}}, die man über parallelen Transport von v⃗|_{P_{0}} entlang der beiden Randkurven C_{0} und C_{1} erhält, werden im allgemeinen verschieden sein; ihre Differenz werden wir im folgenden mit

Δv_{a} := v_{a}(1, 1) − v_{a}(1, 0)  (A.53)

bezeichnen.

Als Hilfsgröße sei ferner ein zweites Vektorfeld w⃗(u, s) auf M_{2} eingeführt, das zum beliebigen Anfangsvektor w⃗|_{P_{1}} = w_{1,a} e⃗_{a} am Punkt P_{1} durch parallelen Transport entlang der Kurven −C_{s} entsteht. Für die beiden Vektorfelder v_{a}(u, s) und w_{a}(u, s) gilt dann per constructionem:

\frac{Dv_{a}}{Du} = 0 ⇒ \frac{D^{2}v_{a}}{DsDu} = 0 ,  \frac{Dw_{a}}{Du} = 0 .  (A.54)

Zusätzlich erhält man die Aussagen

\frac{Dv_{a}}{Ds} |_{u=0} = 0 , \frac{Dw_{a}}{Ds} |_{u=1} = 0 ,  (A.55)

indem man die Transportgleichung (A.51) in Verbindung mit den Eigenschaften

\frac{∂f^{i}}{∂s} |_{u=0} = \frac{∂f^{i}}{∂s} |_{u=1} = 0  (A.56)

von f^{i} aus (A.52) ausnutzt.

Betrachten wir nun die skalare Größe

Δv_{a} · w_{1,a} = ∫_{0}^{1} ds \frac{∂}{∂s} (v_{a} w_{a}) |_{u=1} = ∫_{0}^{1} ds \frac{D}{Ds} (v_{a} w_{a}) |_{u=1} ,  (A.57)

so läßt sich diese folgendermaßen umschreiben:

Δv_{a} · w_{1,a} =^{(A.55)} ∫_{0}^{1} ds \frac{Dv_{a}}{Ds} · w_{a} |_{u=1} =^{(A.55)} ∫_{0}^{1} du ∫_{0}^{1} ds \frac{D}{Du} (w_{a} · \frac{Dv_{a}}{Ds} )

=^{(A.54)} ∫_{0}^{1} du ∫_{0}^{1} ds w_{a} · \frac{D^{2}v_{a}}{DuDs} .  (A.58)

Über (A.51) rechnen wir ferner für die zweiten kovarianten Ableitungen von v_{a}(u, s) die Vertauschungseigenschaft

\frac{D^{2}v_{a}}{DuDs} − \frac{D^{2}v_{a}}{DsDu} = ε_{abc} \frac{∂f^{i}}{∂u} \frac{∂f^{j}}{∂s} F_{ijb} v_{c}  (A.59)

nach, so daß wir aus (A.58) mit (A.54) schließlich das Ergebnis

Δv_{a} · w_{1,a} = ∫_{0}^{1} du ∫_{0}^{1} ds \frac{∂f^{i}}{∂u} \frac{∂f^{j}}{∂s} ε_{abc} w_{a} F_{ijb} v_{c}  (A.60)

erhalten. Für flache Eichfelder A_{ia} gemäß (A.48) verschwindet also der Skalar Δv_{a} · w_{1,a}. Nun können wir den Anfangsvektor w_{1,a} des Vektorfeldes w_{a}(u, v) am Punkt P_{1} aber beliebig vorgeben, womit wir die entscheidende Aussage

Δv_{a} = 0  (A.61)

erhalten: Das Ergebnis des parallelen Transportes von v⃗|_{P_{0}} zum Punkt P_{1} hängt für flache Eichfelder A_{ia} offensichtlich nicht von der Wahl der Transportkurve C_{s} ab. Auf einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten liefert der parallele Transport eines beliebigen Anfangsvektors v⃗|_{P_{0}} somit ein global wohldefiniertes Vektorfeld v⃗(x) auf M_{3}, das ferner per constructionem die Gleichungen

D_{i}v_{a} ≡ 0  (A.62)

befriedigt. Hiermit ist die oben behauptete Aussage (i) bewiesen.

Um die Gültigkeit der zweiten Aussage (ii) zu zeigen, betrachten wir zwei verschiedene, über parallelen Transport gewonnene Vektorfelder v⃗(x) und w⃗(x), die beide gemäß (A.62) bezüglich des Spin-Zusammenhangs A_{ia} kovariant konstant sind. Dann gilt

∂_{i} (v⃗ · w⃗) ≡ D_{i} (v_{a} w_{a}) = \underbrace{D_{i}v_{a}}_{0} w_{a} + v_{a} \underbrace{D_{i}w_{a}}_{0} = 0 ,  (A.63)

das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektorfeldern v⃗ und w⃗ bleibt also unter parallelem Transport mit A_{ia} erhalten, womit der Transportprozeß metrisch ist.

Die Divergenzfreiheit (iii) eines durch parallelen Transport erhaltenen Vektorfeldes v⃗(x) ergibt sich direkt aus (A.62) und (A.49):

\sqrt{h} (∇· v⃗) ≡ ∂_{i} (\sqrt{h} v^{i}) = D_{i} (v_{a} ẽ^{i}_{a}) = \underbrace{D_{i}v_{a}}_{0} ẽ^{i}_{a} + v_{a} \underbrace{D_{i}ẽ^{i}_{a}}_{0} = 0 . (A.64)

Wählen wir also, wie zu Beginn dieses Abschnitts vorgeschlagen, für den Anfangsvektor v⃗|_{P_{0}} des parallelen Transportes sukzessive drei orthonormale Vektoren d⃗_{a}|_{P_{0}}, a ∈ {1, 2, 3}, so erhalten wir auf einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten M_{3} drei global wohldefinierte Triadenvektorfelder d⃗_{a}(x), die zudem divergenzfrei sind. Da diese Triadenfelder bei gegebenem reellen Spin-Zusammen-hang A_{ia} mit (A.48), (A.49) nur von der Wahl der Anfangstriade d⃗_{a}|_{P_{0}} am Punkt P_{0} abhängen, sind sie bis auf eine globale, räumlich konstante Drehung sogar eindeutig bestimmt.

Anhang B

Der Chern-Simons-Zustand auf homogenen Mannigfaltigkeiten

Im Rahmen dieses Anhangs soll der semiklassische Chern-Simons-Zustand für homogene 3-Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ ausgewertet werden. Dafür überlegen wir uns im Abschnitt B.1 zunächst, wie man Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten allgemeingültig beschreiben kann. Im Abschnitt B.2 soll dann die Berechnung des asymptotischen Chern-Simons-Zustands im Grenzfall κ → ∞ für beliebige Bianchi-Metriken erfolgen. Unter Einschränkung auf Bianchi IX-Metriken werden wir uns desweiteren in Abschnitt B.3 mit der Konstruktion divergenzfreier Triaden und der Auswertung des Zustands (4.64) im Limes κ → 0 beschäftigen.

B.1 Homogene 3-Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche 3-Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) heißt homogen, wenn es drei verschiedene, lokal linear unabhängige Diffeomorphismen-Vektorfelder ξ⃗ gibt, welche die 3-Metrik h forminvariant lassen:^{1}

Lξ⃗ h = (ξ^{k}∂_{k}h_{ij} + h_{kj} ∂_{i}ξ^{k} + h_{ik} ∂_{j}ξ^{k}) dx^{i} ⊗ dx^{j} = 0 .  (B.1)

Alle Punkte der Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) sind dann geometrisch gleichwertig. Die Gleichung (B.1) ist äquivalent zur sogenannten Killing-Gleichung,

1Der Ableitungsoperator Lξ⃗ heißt Lie-Ableitung bezüglich des Vektorfeldes ξ⃗. Er bildet Tensoren auf Tensoren gleicher Stufe ab und ist unabhängig von der 3-Metrik h definiert. Die Lie-Ableitung beschreibt anschaulich die infinitesimale Änderung eines Tensorfeldes unter einer Translation in ξ⃗-Richtung.

∇_{i} ξ_{j} + ∇_{j} ξ_{i} = 0 ,  (B.2)

Lösungen ξ⃗ von (B.1) oder (B.2) heißen deshalb auch Killing-Vektoren der 3-Metrik h.^{2}

Die Gesamtheit aller Killing-Vektorfelder bildet wegen

[ Lξ⃗ , Lη⃗ ] = L_{[ ξ⃗, η⃗]}  (B.3)

eine Gruppe: Der Kommutator von zwei Killing-Vektoren ξ⃗ und η⃗ ist mit (B.1), (B.3) wieder ein Killing-Vektor, muß also mit räumlich konstanten Entwicklungskoeffizienten in einer Basis aller Killing-Vektoren darstellbar sein.

Gibt es drei lokal linear unabhängige, auf M_{3} also transitiv operierende Killing-Vektorfelder ξ⃗_{a}, a ∈ {1, 2, 3}, mit geschlossener Algebra

[ ξ⃗_{a} , ξ⃗_{b} ] = [abc] m̂_{cd} ξ⃗_{d} ,  (B.4)

so heißt die Riemannsche Mannigfaltigkeit (M_{3}, h) Bianchi-homogen.^{3} Im folgenden wollen wir uns auf die Diskussion dieser großen Klasse von homogenen Mannigfaltigkeiten beschränken.

Die räumlich konstante Strukturmatrix m̂ in (B.4) ist für eine gegebene, homogene Mannigfaltigkeit nicht eindeutig bestimmt: Gehen wir zu neuen Killing-Vektoren

ξ⃗_{a}′ = U_{ab} ξ⃗_{b}  (B.5)

mit einer räumlich konstanten, invertierbaren Matrix U über, was auch einer Reparametrisierung der Gruppe (B.4) entspricht, so bilden die ξ⃗_{a}′ ebenfalls eine geschlossene Algebra mit der neuen Strukturmatrix m̂′, die folgendermaßen mit m̂ zusammenhängt:

2Die Gleichungen (B.1), (B.2) erlauben in drei Dimensionen bis zu sechs global linear unabhängige Killing-Felder. Mannigfaltigkeiten (M_{3}, h) mit sechs Killing-Feldern heißen maximalsymmetrisch; sie sind homogen und isotrop.

3Es gibt durchaus homogene Mannigfaltigkeiten, die nicht Bianchi-homogen sind: Die Gruppe der Killing-Vektorfelder wird im allgmeinen nicht notwendig eine dreiparametrige Untergruppe zulassen, die transitiv auf M_{3} operiert. Diese spezielle Situation tritt aber nur im Rahmen des Kantowski-Sachs-Modells [53] auf, das eine gesonderte Diskussion erfordert.

m̂′ = det U (U^{−1})^{T}· m̂ · U^{−1} .  (B.6)

Strukturmatrizen, die über (B.6) zusammenhängen, faßt man zu Äquivalenzklassen desselben Bianchi-Typs zusammen; die unterschiedlichen möglichen Äquivalenzklassen wurden von Bianchi in neun verschiedene Typen klassifiziert [54, 55]. Ferner unterscheidet man zwischen Bianchi A- und Bianchi B-Metriken, je nachdem ob die Strukturmatrix m̂ symmetrisch ist oder nicht.

Zur Beschreibung Bianchi-homogener Mannigfaltigkeiten ist es zweckmäßig, drei invariante Vektorfelder i⃗_{a}, a ∈ {1, 2, 3}, einzuführen, die

Lξ⃗_{a} i⃗_{b} ≡ [ ξ⃗_{a} , i⃗_{b} ] ! = 0  (B.7)

für alle drei Killing-Vektoren ξ⃗_{a} erfüllen sollen. Die zu i⃗_{a} dualen 1-Formen ı_{a} sind dann wegen (B.1) ebenfalls invariant und befriedigen.

∀ξ⃗_{a} : Lξ⃗_{a} ı_{b} = (ξ^{i}∂_{i} ı_{ja} + ı_{ia} ∂_{j}ξ^{i}) dx^{j} = 0 .  (B.8)

Eine Entwicklung der 3-Metrik h nach Tensorprodukten der invarianten Basis liefert in Verbindung mit (B.1) und (B.8) räumlich konstante Entwicklungskoeffizienten, die wir durch geeignete Wahl der Lösungen von (B.7), (B.8) auf δ_{ab} normieren können:

h = δ_{ab} ı_{a} ⊗ ı_{b} .  (B.9)

In dieser Normierung sind die invarianten Vektorfelder i⃗_{a} also gleichzeitig spezielle Triadenfelder zur 3-Metrik h, und bis auf globale Drehungen eindeutig bestimmt. Mit Hilfe von (B.4), (B.7) kann man zeigen, daß die invarianten Vektorfelder i⃗_{a} wie die Killing-Felder eine geschlossene Algebra bilden,

[ i⃗_{a} , i⃗_{b}] = ε_{abc} m_{cd} i⃗_{d} ,  (B.10)

wobei die Strukturmatrix m im Sinne von (B.6) vom selben Bianchi-Typ ist wie die Strukturmatrix m̂ der Killing-Vektoren. Die invarianten Triaden-1-Formen ı_{a} erfüllen entsprechend

d ı_{a} = −\frac{1}{2} m_{ba} ε_{bcd} ı_{c} ∧ ı_{d} .  (B.11)

Mit unserer Definition des Levi-Cevitta-Tensors in (2.25) transformiert sich die Strukturmatrix m unter O(3)-Eichtransformationen der Triade i⃗_{a} wie ein O(3)- kovarianter Tensor zweiter Stufe, für Bianchi A-Mannigfaltigkeiten können wir deshalb die Matrix m über Transformationen der Form (B.6) sogar diagonal wählen.

Wir wollen nun das hier dargestellte Kalkül zur Beschreibung Bianchi-homo-gener 3-Mannigfaltigkeiten auf die explizite Berechnung geometrischer Größen anwenden, und hierüber den Chern-Simons-Zustand (4.21) im Limes κ → ∞ auswerten.

B.2 Der Chern-Simons-Zustand im Grenzfall κ → ∞

Zur Berechnung des semiklassischen Chern-Simons-Zustands (4.21) im Grenzfall κ → ∞ benötigen wir den Krümmungsskalar R und den Wert des Chern-Simons-Funktionals S_{CS}[ω_{ia}] zum Riemannschen Spin-Zusammenhang ω_{ia}. Für Bianchihomogene 3-Mannigfaltigkeiten können wir diese rein geometrischen, Diffeomorphismus-invarianten Größen mit Hilfe der invarianten Triade i⃗_{a} aus Abschnitt B.1 ohne Bezug auf ein spezielles Koordinatensystem ausrechnen:

Die 1-Formen ω_{a} = ω_{ia} dx^{i} des Riemannschen Spin-Zusammenhangs gemäß (2.29) erfüllen das Dreibein-Postulat^{4}

d ı_{a} + ε_{abc} ω_{b} ∧ ı_{c} = 0 .  (B.12)

Unter Verwendung von (B.11) liefert (B.12) für Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten eindeutig den Ausdruck

ω_{a} = \frac{1}{2} m_{bb} ı_{a} − m_{ab} ı_{b}  (B.13)

für den Riemannschen Spin-Zusammenhang, die Eichfelder ω_{a} lassen sich somit mit räumlich konstanten Entwicklungskoeffizienten in der invarianten Triade ı_{a} ausdrücken. Mit (B.13) können deshalb die Krümmungs-2-Formen

F_{a} = 2 dω_{a} + ε_{abc} ω_{b} ∧ ω_{c}  (B.14)

4In der Differentialgeometrie heißt die Gleichung (B.12) auch Cartan-Gleichung zur Bestimmung der Zusammenhangs-1-Formen ω_{ab} = − ε_{abc} ω_{c} .

und die Chern-Simons-3-Form

S_{CS} = ω_{a} ∧ dω_{a} + \frac{1}{3} ε_{abc} ω_{a} ∧ ω_{b} ∧ ω_{c}  (B.15)

unter nochmaliger Verwendung von (B.11) nach Keilprodukten der Triaden-1-Formen ı_{a} entwickelt werden. Aus den Größen (B.14) und (B.15) erhalten wir dann den Krümmungsskalar R und das Chern-Simons-Funktional S_{CS}[ω_{ia}] über^{5}

R = − ε_{abc} ( F_{a} | i⃗_{b} ⊗ i⃗_{c})  (B.16)

und

S_{CS}[ω_{ia}] = ∫∫ S_{CS} .  (B.17)

Das Integral einer 3-Form in (B.17) läßt sich hierbei über die Beziehung

\frac{1}{6} ε_{abc} ∫∫ ı_{a} ∧ ı_{b} ∧ ı_{c} = V  (B.18)

mit dem Volumen V aus (4.3) auswerten. Dies liefert die expliziten Ausdrücke

R = Tr m^{2} − 2 Tr m^{T}m + \frac{1}{2} Tr^{2} m ,  (B.19)

S_{CS}[ω_{ia}] = V [ −Tr m^{2}m^{T}+ \frac{1}{6} Tr m (Tr m^{2}+ 2 Tr m^{T}m) − 2 det m ] , (B.20)

mit denen sich der Chern-Simons-Zustand (4.21) für Bianchi-homogene 3-Man-nigfaltigkeiten allein als Funktion des Volumens V und der Strukturmatrix m ausdrücken läßt. Als Resultat erhalten wir den in Abschnitt 4.2.2 angegebenen Zustand (4.30).

B.3 Der Chern-Simons-Zustand im Grenzfall κ → 0

In Restriktion auf Bianchi IX-homogene 3-Mannigfaltigkeiten soll weiterhin der Chern-Simons-Zustand (4.64) im Limes κ → 0 ausgewertet werden. Hierfür benötigen wir in expliziter Form divergenzfreie Triaden homogener Bianchi IX-Metriken, die im Abschnitt B.3.2 konstruiert werden sollen. Ausgangspunkt der Konstruktion werden dabei die divergenzfreien Triaden der 3-Sphäre S^{3} sein, weshalb wir uns im folgenden Abschnitt B.3.1 zunächst etwas ausführlicher mit der Herkunft und Bedeutung der divergenzfreien Triaden dieser isotropen Bianchi IX-Mannigfaltigkeit befassen wollen.

5In (B.16) bezeichnet (·|·) die natürliche Kontraktion zwischen kontravarianten und kovarianten Tensoren; insbesondere gilt ( ı_{a} | i⃗_{b}) = δ_{ab}.

B.3.1 Divergenzfreie Triaden der 3-Sphäre

Eine geometrisch sehr anschauliche Beschreibung der 3-Sphäre S^{3} erhält man über ihre Einbettung in den euklidischen Raum R^{|} ^{4}: In sphärischen Koordinaten {r, χ, ϑ, φ} gemäß

R^{|} ^{4} ∋ ^{⇀} r = r ( \begin{matrix}sin χ sin ϑ cos φ \\ sin χ sin ϑ sin φ \\ sin χ cos ϑ \\ cos & χ \end{matrix} )  (B.21)

mit

r ≥ 0 , 0 ≤ χ, ϑ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2π  (B.22)

wird die 3-Sphäre mit Radius a einfach durch die Hyperfläche r ! = a beschrieben. Die 3-Metrik h auf dieser Hyperfläche gewinnt man leicht durch Transformation der euklidischen 4-Metrik auf die Kugelkoordinaten (B.21):^{6}

h = \frac{1}{a^{2}} [ ∂_{χ}^{2} + \frac{1}{sin^{2} χ} (∂_{ϑ}^{2} + \frac{1}{sin^{2} ϑ} ∂_{φ}^{2}) ] .  (B.23)

Die 3-Sphäre ist offensichtlich invariant unter beliebigen Drehungen im R^{|} ^{4}, und besitzt deshalb sechs Killing-Vektorfelder, welche die Algebra der sechsparametrigen Symmetriegruppe SO(4) darstellen. Zur expliziten Konstruktion dieser Killing-Felder auf S^{3} betrachten wir zunächst eine Darstellung der SO(4) auf dem Vektorraum R^{|} ^{4}, wo die Generatoren infinitesimaler Drehungen durch antisymmetrische (4 × 4)-Matrizen X darzustellen sind. Definieren wir die sechs Basisgeneratoren speziell über

6Das Symbol ”h“ war bisher der Bezeichung des kovarianten metrischen Tensors auf M_{3} vorbehalten. Im gegenwärtigen Zusammenhang ist es günstiger, den metrischen Tensor in kontravarianter Form anzugeben, wofür wir der Einfachheit halber das gleiche Symbol verwenden wollen.

X_{1}^{±} := \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & +1 \\ 0 & 0 & ∓1 & 0 \\ 0 & ±1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , X_{2}^{±} := \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & 0 & ±1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & +1 \\ ∓1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) ,

X_{3}^{±} := \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & ∓1 & 0 & 0 \\ ±1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & +1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \end{matrix} ) ,  (B.24)

so erfüllen die Matrizen X_{a}^{±} die Algebra

[ X_{a}^{±}, X_{b}^{±} ] = ± [abc] X_{c}^{±} , [ X_{a}^{+}, X_{b}^{−} ] = 0 .  (B.25)

Die Drehgruppe SO(4) faktorisiert also in das direkte Produkt von zwei dreidimensionalen Drehgruppen SO(3),^{7}

SO(4) ≅ SO(3) × SO(3) .  (B.26)

Jede infinitesimale Drehung im R^{|} ^{4} überführt einen Punkt ^{⇀} r ∈ S^{3} in einen benachbarten Punkt ^{⇀} r′ ∈ S^{3} und definiert somit ein Vektorfeld ξ⃗ auf der 3-Sphäre r = a. Für die in (B.24) angegebenen Generatoren X_{a}^{±} überlegt man sich dabei leicht, daß die in diesem Sinne zugeordneten Vektorfelder ξ⃗^{±}_{a} nirgends entarten, denn jede der Matrizen X_{a}^{±} ist invertierbar. Außerdem konstituieren sowohl die ξ⃗^{+}_{a}, wie auch die ξ⃗^{−}_{a}, jeweils drei lokal linear unabhängige Vektorfelder auf S^{3}.^{8}

Der explizite Zusammenhang zwischen einer antisymmetrischen (4 × 4)-Matrix X und dem zugeordneten Killing-Vektorfeld ξ⃗ ergibt sich aus der Forderung

∀^{⇀} r ∈ S^{3} : u(^{⇀} r + ϵ X ·^{⇀} r) ! = u(^{⇀} r) − ϵ [ ξ⃗, u(^{⇀} r) ] + O(ϵ^{2})  (B.27)

für beliebige Skalarfelder u auf S^{3}. Für die spezielle Wahl der Basisgeneratoren X_{a}^{±} gemäß (B.24) erhält man hierüber die sechs Vektorfelder ξ⃗^{±}_{a} als

7Eine analoge Aussage kennt man für die Lorentzgruppe SO(1,3) über C^{|} , was beispielsweise in [56] genauer ausgeführt wird. Es ist gerade diese Faktorisierungseigenschaft der Lorentzgruppe, die eine Formulierung der Gravitation als Eichtheorie in den Ashtekarvariablen A_{ia} erlaubt.

8Das entsprechende Argument kann nicht zur Definition regulärer Vektorfelder auf der 2-Sphäre S^{2} verwendet werden, da es keine antisymmetrischen, invertierbaren (3 × 3)-Matrizen gibt.

( \begin{matrix}ξ⃗ & ± & 1 \\ ξ⃗ & ± & 2 \\ ξ⃗ & ± & 3 \end{matrix} ) = −\frac{1}{2} ( \begin{matrix}sin ϑ cos φ & cot χ cos ϑ cos φ & cot χ csc ϑ sin φ \\ sin ϑ sin φ & cot χ cos ϑ sin φ & cot χ csc ϑ cos φ \\ cos ϑ & − cot χ sin ϑ & 0 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}∂_{χ} \\ ∂_{ϑ} \\ ∂_{φ} \end{matrix} )

±\frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & sin φ & cot ϑ cos φ \\ 0 & − cos φ & cot ϑ sin φ \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}∂_{χ} \\ ∂_{ϑ} \\ ∂_{φ} \end{matrix} ) .  (B.28)

Die ξ⃗^{±}_{a} sind per constructionem Killing-Vektorfelder auf S^{3},

Lξ⃗_{a}^{+} h = 0 , Lξ⃗_{a}^{−} h = 0 ,  (B.29)

und erfüllen die SO(4)-Algebra (B.25) der X_{a}^{±}:

[ ξ⃗^{±}_{a} , ξ⃗^{±}_{b} ] = ± [abc] ξ⃗^{±}_{c} ,  (B.30)

[ ξ⃗^{+}_{a} , ξ⃗^{−}_{b} ] = 0 .  (B.31)

Aus (B.31) entnehmen wir in Verbindung mit (B.7), daß die Felder ξ⃗^{−}_{a} invariante Vektorfelder bezüglich der Killing-Vektoren ξ⃗^{+}_{a} sind; dieselbe Ausage gilt auch umgekehrt. Entwickeln wir also die 3-Metrik h aus (B.23) in den Feldern ξ⃗^{+}_{a} oder ξ⃗^{−}_{a}, so müssen die Entwicklungskoeffizienten räumlich konstant sein. Tatsächlich finden wir durch explizite Rechnung

\frac{4}{a^{2}} ξ⃗^{+}_{a} ⊗ ξ⃗^{+}_{a} = h = \frac{4}{a^{2}} ξ⃗^{−}_{a} ⊗ ξ⃗^{−}_{a} ,  (B.32)

die Felder i⃗^{+}_{a} und i⃗^{−}_{a} mit

i⃗^{±}_{a} := \frac{2}{a} ξ⃗^{±}_{a}  (B.33)

sind also jeweils invariante Triadenfelder der 3-Sphäre r = a.

Wegen (B.30) besitzen diese Triadenfelder eine symmetrische Strukturmatrix m, womit über (4.66) direkt die Divergenzfreiheit der sechs Vektorfelder i⃗^{±}_{a} folgt:

∇· i⃗^{±}_{a} = 0 .  (B.34)

Ferner sind die Vektorfelder i⃗^{+}_{a} und i⃗^{−}_{a} gemäß (B.32), (B.33) Triaden zur selben 3-Metrik h der 3-Sphäre S^{3}; sie müssen also durch eine ortsabhängige Drehung ineinander übergehen:

∃ Ω ∈ O(3) : i⃗^{+}_{a} = Ω_{ab} i⃗^{−}_{b} .  (B.35)

Zur expliziten Berechnung dieser Drehmatrix Ω ist es zweckmäßig, vom bisher verwendeten sphärischen Koordinatensystem {χ, ϑ, φ} der 3-Sphäre S^{3} zu neuen Koordinaten, den Eulerwinkeln {ψ, θ, ϕ} überzugehen. Auf den geometrischen und gruppentheoretischen Hintergrund dieses Koordinatenwechsels wollen wir im folgenden kurz eingehen.

Die 3-Sphäre S^{3} ist isomorph zur Gruppenmannigfaltigkeit der Gruppe SU(2), denn diese ist wie S^{3} dreidimensional, kompakt und einfach zusammenhängend. Üblicherweise parametrisiert man die Gruppenelemente der SU(2) über einen euklidischen 3-Vektor α⃗ mit |α⃗| ≤ 2π, wobei alle Vektoren α⃗ mit |α⃗| = 2π zu identifizieren sind, und zum selben Gruppenelement gehören. Über die Beziehung

α⃗ ! = −2 χ ( \begin{matrix}sin ϑ cos φ \\ sin ϑ sin φ \\ cos ϑ \end{matrix} )  (B.36)

können wir folglich konsistent Gruppenelemente der SU(2) zum Parameter α⃗ mit Punkten (χ, ϑ, φ) der 3-Sphäre identifizieren.

Den Drehvektor α⃗ parametrisiert man für die Drehgruppe SO(3)^{9} mit |α⃗| ≤ π gerne über die Eulerwinkel {ψ, θ, ϕ}, die man für Ω ∈ SO(3) implizit über die Forderung

Ω(α⃗) ! = E(ψ, θ, ϕ)  (B.37)

erhält. Hierbei ist die Eulermatrix E(ψ, θ, ϕ) in (B.37) folgendermaßen definiert:

9Für die Gruppe SO(3) sind die Antipoden der 2-Sphäre |α⃗| = π zu identifizieren, woraus ebenfalls eine kompakte, aber nicht mehr einfach zusammenhängende Gruppenmannigfaltigkeit resultiert.

E:=( \begin{matrix}cos ψ & − sin ψ & 0 \\ sin ψ & cos ψ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )·( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos θ & − sin θ \\ 0 & sin θ & cos θ \end{matrix} )·( \begin{matrix}cos ϕ & − sin ϕ & 0 \\ sin ϕ & cos ϕ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) . (B.38)

Auf den Winkelbereichen

0 ≤ θ ≤ π , −π ≤ ψ, ϕ ≤ π  (B.39)

liefert (B.37) einen eindeutigen, invertierbaren Zusammenhang zwischen den Eulerwinkeln {ψ, θ, ϕ} und dem Drehvektor α⃗ mit |α⃗| ≤ π. Durch doppelte Überdeckung der Drehgruppe SO(3) in der Form

0 ≤ θ ≤ π , −2π ≤ ψ − ϕ ≤ 2π , −2π ≤ ψ + ϕ ≤ 2π  (B.40)

kann dieser Zusammenhang für 3-Vektoren α⃗ mit |α⃗| ≤ 2π fortgesetzt werden, womit die Eulerwinkel auch zur Parametrisierung der Gruppe SU(2) verwendet werden können. Die zur Parametrisierung der Gruppen SO(3) und SU(2) verwendeten Variationsbereiche der Winkel ψ und ϕ sind in Abbildung B.1 dargestellt:

SU(2)  SO(3)  ψ ϕ  2π −2π  2π −2π

Abbildung B.1: Variationsbereiche der Eulerwinkel ψ und ϕ zur Parametrisierung der Gruppen SU(2) und SO(3).

Über die Gleichungen (B.36) und (B.37) erhalten wir nach einiger Rechnung den Zusammenhang

cos χ = cos \frac{θ}{2} cos \frac{ψ + ϕ}{2} , cot ϑ = − cot \frac{θ}{2} sin \frac{ψ + ϕ}{2} , φ = π − \frac{ψ − ϕ}{2} (B.41)

zwischen den Eulerwinkeln und den Kugelkoordinaten, der auf den Bereichen (B.22) und (B.40) invertierbar ist.

Die in (B.28) angegebenen Killing-Vektoren ξ⃗^{±}_{a} der 3-Shpäre rechnen sich unter der Transformation (B.41) nun folgendermaßen auf die Eulerwinkel {ψ, θ, ϕ} um:

( \begin{matrix}ξ⃗ & + & 1 \\ ξ⃗ & + & 2 \\ ξ⃗ & + & 3 \end{matrix} ) = \frac{1}{sin θ} ( \begin{matrix}− sin ψ cos θ & cos ψ sin θ & sin ψ \\ cos ψ cos θ & sin ψ sin θ & − cos ψ \\ sin θ & 0 & 0 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}∂_{ψ} \\ ∂_{θ} \\ ∂_{ϕ} \end{matrix} ) , (B.42)

( \begin{matrix}ξ⃗ & − & 1 \\ ξ⃗ & − & 2 \\ ξ⃗ & − & 3 \end{matrix} ) = \frac{1}{sin θ} ( \begin{matrix}sin ϕ & cos ϕ sin θ & − sin ϕ cos θ \\ cos ϕ & − sin ϕ sin θ & − cos ϕ cos θ \\ 0 & 0 & sin θ \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}∂_{ψ} \\ ∂_{θ} \\ ∂_{ϕ} \end{matrix} ) .  (B.43)

In dieser Form läßt sich die Drehmatrix Ω aus (B.35) verhältnismäßig leicht berechnen, wobei sich das bemerkenswerte Resultat

i⃗^{+}_{a} = E_{ab}(ψ, θ, ϕ) i⃗^{−}_{b}  (B.44)

mit der Eulermatrix E(ψ, θ, ϕ) aus (B.38) ergibt. Wegen E(ψ, θ, ϕ) ∈ SO(3) besitzen die Triadenfelder i⃗^{+}_{a} und i⃗^{−}_{a} also insbesondere die gleiche Orientierung. Definieren wir die Triadenfelder i⃗^{±}_{a} im folgenden als positiv orientiert,

ε(ı_{a}^{+}) = ε(ı_{a}^{−}) := +1 ,  (B.45)

so folgt mit (B.30), (B.31) und unserer Definition des Levi-Cevitta-Tensors in (2.25):

[ i⃗^{±}_{a} , i⃗^{±}_{b} ] = ± \frac{2}{a} ε_{abc} i⃗^{±}_{c} , [ i⃗^{+}_{a} , i⃗^{−}_{b} ] = 0 .  (B.46)

Mit Hilfe der invarianten, divergenzfreien Triaden i⃗^{+}_{a} und i⃗^{−}_{a} sollen nun im nächsten Abschnitt divergenzfreie Triaden anisotroper Bianchi IX-Geometrien konstruiert werden, wobei im wesentlichen der Zusammenhang (B.44) als Ausgangspunkt dienen wird.

B.3.2 Divergenzfreie Triaden von Bianchi IX-Metriken

Die 3-Metriken beliebiger, anisotroper Bianchi IX-Mannigfaltigkeiten (M_{3}, h) lassen sich in Verallgemeinerung von (B.32), (B.33) in der Form

h = i⃗_{a} ⊗ i⃗_{a} mit i⃗_{a} = (e^{β})_{ab} i⃗^{+}_{b}  (B.47)

parametrisieren, wobei β eine spurlose, räumlich konstante (3×3)-Matrix ist, die ohne Beschränkung der Allgemeinheit diagonal gewählt werden darf:

β = diag [ β_{1}, β_{2}, β_{3} ] , ∑_{d=1}^{3} β_{d} = 0 .  (B.48)

Wegen (B.31) besitzt die 3-Metrik (B.47) drei linear unabhängige Killing-Vektor-felder ξ⃗^{−}_{a} mit SO(3)-Algebra, womit die Bianchi IX-Homogenität dieser Metrik offensichtlich ist; weitere Killing-Vektoren gibt es im allgemeinen nicht.^{10}

Die in (B.47) angegebene Triade i⃗_{a} ist als invariante Triade einer Bianchi Ahomogenen Mannigfaltigkeit automatisch divergenzfrei, und in den Skalenparametern

a_{d} := a e^{β_{d}}  (B.49)

ergibt sich als Strukturmatrix m das im Unterkapitel 4.3.1 angegebene Resultat (4.70). Ferner finden wir unter Verwendung von (B.28), (B.33) für das Volumen V der Bianchi IX-Mannigfaltigkeit (B.47)

V = ∫ d^{3}x \sqrt{h} = V a_{1} a_{2} a_{3}  (B.50)

10Eine Sonderrolle spielt natürlich die 3-Sphäre S^{3} mit β = 0: Wie im letzten Abschnitt ausgeführt, läßt diese drei zusätzliche Killing-Felder ξ⃗_{a}^{+} zu. Ferner besitzen Bianchi IX-Metriken mit zwei identischen β_{d}-Werten, die sogenannten Berger-Metriken, einen vierten Killing-Vektor, der sich im Fall β_{1} = β_{2} beispielsweise zu ξ⃗_{3}^{+} ergibt.

mit

V = ∫_{0}^{π} dχ sin^{2} χ ∫_{0}^{π} dϑ sin ϑ ∫_{0}^{2π}dφ = 2 π^{2} ,  (B.51)

womit die invariante, divergenzfreie Triade d⃗_{a}^{(0)} := i⃗_{a} den Sattelpunktsbeitrag (4.72) zum semiklassischen Chern-Simons-Zustand (4.64) im Limes κ → 0 liefert.

Wir sind nun an weiteren, divergenzfreien Triaden d⃗_{a} Bianchi IX-homogener 3-Mannigfaltigkeiten und ihren zugeordneten Sattelpunktsbeiträgen zum Chern-Simons-Zustand (4.64) interessiert. Hierfür versuchen wir in Verallgemeinerung von (B.44) einen Ansatz der Form

d⃗_{a} = E_{ba} O_{bc} i⃗_{c} ,  (B.52)

wobei O ∈ SO(3) eine räumlich konstante Drehmatrix sein soll. Dieser Ansatz liefert zumindest im isotropen Grenzfall β = 0 über die Wahl O = 1 eine zweite divergenzfreie Triade i⃗^{−}_{a}. Im anisotropen Fall impliziert die Forderung der Divergenzfreiheit von d⃗_{a} aus (B.52) die drei Bedingungen

∇· d⃗_{a} = O_{bc} [ i⃗_{c} , E_{ba}] ! = 0  (B.53)

an die Drehmatrix O, die über (B.47) auch in der Form

O_{bc} (e^{β})_{cd} [ i⃗^{+}_{d} , E_{ba} ] = 0  (B.54)

geschrieben werden können. Zur weiteren Vereinfachung von (B.54) benötigen wir die Richtungsableitungen der Eulermatrix E(ψ, θ, ϕ) in Richtung der Vektorfelder i⃗^{+}_{a}. Diese erhält man am einfachsten, indem man die Beziehung (B.44) mit i⃗^{+}_{c} kommutiert, was unter Verwendung von (B.46), (B.44) das explizite Resultat

[ i⃗^{+}_{c} , E_{ab} ] = \frac{2}{a} ε_{cad} E_{d b}  (B.55)

liefert. Hiermit ergeben sich aus (B.54) die drei Forderungen

ε_{abd} O_{bc} (e^{β})_{cd} ! = 0 ,  (B.56)

die Drehmatrix O ist also so zu bestimmen, daß für diagonale, positive Matrizen e^{β} die Matrix O · e^{β} symmetrisch ist. Über elementare Rechungen kann man zeigen, daß dies genau für die vier SO(3)-Wurzeln der Einheitsmatrix

O^{(1)} = diag [ +1, −1, −1 ] , O^{(2)} = diag [ −1, +1, −1 ] ,
O^{(3)} = diag [ −1, −1, +1 ] , O^{(4)} = diag [ +1, +1, +1 ] ,  (B.57)

erfüllt werden kann.

Über den Ansatz (B.52) finden wir also zusätzlich zu d⃗_{a}^{(0)} = i⃗_{a} vier weitere divergenzfreie Triaden der Bianchi IX-Metrik (B.47):

d⃗_{a}^{(α)} = E_{ba} O^{(α)}_{bc} i⃗_{c} , α ∈ {1, 2, 3, 4} .  (B.58)

Unter Verwendung der Formel (4.64) können nun die den divergenzfreien Triaden d⃗_{a}^{(α)}, α ∈ {1, 2, 3, 4}, zugeordneten Sattelpunktsbeiträge zum Chern-Simons-Zustand im Limes κ → 0 berechnet werden. Dabei ist es zweckmäßig, die Rechnung nicht in einer Koordinatenbasis, sondern in der anholonomen Vektorbasis i⃗^{+}_{a} durchzuführen, wo sämtliche auftretenden Ortsableitungen mit Hilfe von (B.55) eliminiert werden können. Für die Cartan-Maurer-Invarianten (4.25) der Drehmatrizen

Ω_{ab}^{(α)} = E_{ca} O^{(α)}_{cb}  (B.59)

finden wir dann insbesondere

I(Ω^{(α)}) = − 96 π^{2} ,  (B.60)

mit (4.26) und I_{0} = 96 π^{2} besitzen die Triaden d⃗_{a}^{(α)}, α ∈ {1, 2, 3, 4}, also relativ zur invarianten Triade i⃗_{a} die Windungszahl −1, während die relative Windungszahl der d⃗_{a}^{(α)} untereinander verschwindet. Wie in Anhang D gezeigt wird, ist die invariante Triade i⃗_{a} mit diagonaler Strukturmatrix (4.70) gleichzeitig die Einstein-Triade zur Metrik (B.47), so daß sich auch für die absolute Windungszahl der d⃗_{a}^{(α)} gemäß (4.63) das Resultat

ŵ(d⃗_{a}^{(α)}) = −1 , α ∈ {1, 2, 3, 4} ,  (B.61)

ergibt. Setzen wir nun beispielsweise die Triade d⃗_{a}^{(4)} in die Formel (4.64) ein, so finden wir als speziellen Sattelpunktsbeitrag zum Chern-Simons-Zustand im Limes κ → 0

Ψ_{CS}^{(4)} ∝_{μ → ∞}^{κ → 0} exp [ ∓\frac{2V}{γh̄} (\frac{12}{Λ} + a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} − 2 (a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{1})) ] . (B.62)

Analoge Ergebnisse erhält man für die divergenzfreien Triaden d⃗_{a}^{(α)}, α ∈ {1, 2, 3}, indem man in (B.62) die formale Substitution a_{d} ↦ −a_{d} für zwei der drei Skalenparameter a_{d} durchführt. Für homogene Mannigfaltigkeiten vom Bianchi-Typ IX finden wir zusammen mit (4.72) also insgesamt fünf verschiedene semiklassische Sattelpunktsbeiträge Ψ_{CS}^{(α)} , α ∈ {0, …, 4}, zum Chern-Simons-Zustand der Gravitation im Limes κ → 0, die auf die Existenz der fünf verschiedenen divergenzfreien Triaden d⃗_{a}^{(α)}, α ∈ {0, …, 4}, zurückzuführen sind.

Anhang C

Nicht-flache 4-Geometrien im Limes κ → 0

In diesem Teil des Anhangs sollen spezielle Lösungen der semiklassischen Evolutionsgleichung (4.75) angeben werden, für welche die zugeordneten Raumzeit-4-Geometrien weder die Randbedingung asymptotischer Flachheit bei großen Skalen a_{cos}, noch die von Hartle und Hawking vorgeschlagene ”keine-Grenzen-Bedingung“ befriedigen.

Zu diesem Zweck sei mit räumlich konstanten Skalenparametern a_{d} die folgende Klasse von Anfangs-3-Geometrien betrachtet:

h = i⃗_{a} ⊗ i⃗_{a} ,  (C.1)

wobei

i⃗_{1} := \frac{1}{a_{1}} ∂_{1} , i⃗_{2} := \frac{1}{a_{2}} ∂_{2} , i⃗_{3} := \frac{1}{a_{3}} (∂_{3} + x^{2} ∂_{1} + x^{1} ∂_{2}) .  (C.2)

Die Triade i⃗_{a} definieren wir als positiv orientiert, die geschlossene Algebra der i⃗_{a} liefert die über (4.65) definierte, räumlich konstante Strukturmatrix

m = diag [ \frac{a_{1}}{a_{2} a_{3}} , − \frac{a_{2}}{a_{3} a_{1}} , 0 ] .  (C.3)

Offensichtlich ist die 3-Metrik h aus (C.1) also homogen, im Sinne der Klassifizierung nach Bianchi handelt es sich um eine 3-Mannigfaltigkeit vom Bianchi-Typ VI_{−1}. Mit der Symmetrieeigenschaft der Strukturmatrix m aus (C.3) folgt sofort die Divergenzfreiheit der invarianten Triade i⃗_{a},

Anhang C: Nicht-flache 4-Geometrien im Limes κ → 0 119

∇· i⃗_{a} = 0 ;  (C.4)

ferner erhalten wir die Killing-Vektoren ξ⃗_{a} der 3-Metrik h als Lösungen von (B.7) zu

ξ⃗_{1} = cosh x^{3} ∂_{1} + sinh x^{3} ∂_{2} , ξ⃗_{2} = sinh x^{3} ∂_{1} + cosh x^{3} ∂_{2} , ξ⃗_{3} = ∂_{3} . (C.5)

Durch eine geeignete Kompaktifizierung der räumlichen Mannigfaltigkeit M_{3} in den ξ⃗_{a}-Richtungen können wir zu einer topologisch nichttrivialen 3-Mannigfaltig-keit (M_{3}, h) mit endlichem Volumen

V = V a_{1} a_{2} a_{3}  (C.6)

gelangen,^{1} wobei V > 0 eine positive, dimensionslose Konstante ist, deren Wert von der speziellen Wahl der Kompaktifizierung abhängt.

Zur Anfangs-3-Metrik (C.1) soll nun die 4-Geometrie berechnet werden, die über den semiklassischen Chern-Simons-Zustand (4.64) im Limes κ → 0 generiert wird. Hierbei ist es zweckmäßig, in der zu lösenden semiklassischen Evolutionsgleichung (4.75) zunächst eine beliebige Verlaufsfunktion N zuzulassen, womit das Differentialgleichungssystem (4.75) die folgende Form annimmt:

\frac{d}{dτ} d̃^{i}_{a} = −N ε̃^{ijk} ∂_{j} d_{ka} .  (C.7)

Setzen wir die invariante, divergenzfreie Triade i⃗_{a} aus (C.2) in (C.7) ein, so erhalten wir in Analogie zu (4.82) das Gleichungssystem

\frac{d}{dτ} (a_{1} a_{2}) = N a_{3} , \frac{d}{dτ} (a_{2} a_{3}) = −N a_{1} , \frac{d}{dτ} (a_{3} a_{1}) = 0  (C.8)

für die drei Skalenparameter a_{d}, das in den neuen Variablen

σ_{1} = a_{2} a_{3} , σ_{2} = a_{3} a_{1} , σ_{3} = a_{1} a_{2}  (C.9)

und mit der Verlaufsfunktion

1Die auf diese Weise erhaltene kompakte, Riemannsche 3-Mannigfaltigkeit hat dann die Topologie von S^{1} × T^{2}.

N = \frac{1}{2} (σ_{1} σ_{2} σ_{3})^{−1/2}  (C.10)

leicht integriert werden kann: Die allgemeine Lösung von (C.8) lautet

σ_{1}(τ) = \sqrt{τ_{0} + τ} , σ_{2}(τ) = \sqrt{τ_{0} − τ} , σ_{3}(τ) ≡ σ_{3} = const. , (C.11)

wobei als Integrationskonstanten die Parameter τ_{0} > 0 und σ_{3} ≥ 0 auftreten. Die dritte Integrationsvariable in (C.8) wurde über die spezielle Forderung

σ_{1}(0) ! = σ_{2}(0)  (C.12)

in einer entsprechenden Wahl des Zeitnullpunkts τ = 0 absorbiert.

Um nun zu zeigen, daß die über die Lösung (C.11) beschriebenen 4-Geometrien nicht flach sind, genügt es nicht, etwa die Skalarkrümmung ^{4}R oder den vierdimensionalen Einsteintensor zu berechnen, denn diese Größen verschwinden aufgrund der vierdimensionalen Einsteingleichungen für Λ = 0 im semiklassischen Limes μ → ∞ identisch. Im folgenden müssen wir deshalb nichttriviale Komponenten des vierdimensionalen Riemanntensors, wie zum Beispiel die Größen 4R^{0i}_{0j}, diskutieren. Für die Wahl N^{i} = 0 des Verschiebungsvektors liefern die Gauß- und Codazzi-Gleichungen [35] hierfür

4R^{0i}_{0j} = −\frac{1}{N} K̇_{j}^{i} + K_{k}^{i} K_{j}^{k} ,  (C.13)

wobei K_{j}^{i} die Komponenten des extrinsischen Krümmungstensors gemäß (2.6) bezeichnet. Unter Verwendung der anholonomen Basis i⃗_{a} gemäß (C.2) können wir die räumlichen Indizes in (C.13) auch in Triadenindizes konvertieren, und anstelle von (C.13) die Größen

4R^{0}_{a0b} ≡ ı_{ia} ı^{j}_{b} ^{4}R^{0i}_{0j} =: R_{ab}  (C.14)

untersuchen. Für diese speziellen Komponenten des Riemanntensors liefert die Triade i⃗_{a} aus (C.2) eine diagonale Matrix (R_{ab}) mit den Diagonalelementen

R_{d} = −\frac{1}{Na_{d}} \frac{d}{dτ} (\frac{1}{N} \frac{da_{d}}{dτ} ) , d ∈ \{1, 2, 3\} .  (C.15)

Über die Evolutionsgleichungen (C.8) lassen sich die τ-Ableitungen in (C.15) explizit eliminieren, woraus beispielsweise für R_{3} die Formel

R_{3} = \frac{σ_{1} σ_{2} σ_{3}}{2} (\frac{1}{σ_{1}^{2}} + \frac{1}{σ_{2}^{2}} )^{2}  (C.16)

resultiert, die weiterhin nach Einsetzen der allgemeinen Lösung (C.11) das einfache Resultat

R_{3} = σ_{3} τ_{0}^{2} (τ_{0}^{2} − τ^{2})^{−3/2} > 0 ,  (C.17)

liefert. Wir haben somit eine Komponente des vierdimensionalen Riemanntensors gefunden, die nirgendwo auf M_{4} verschwindet, und die an den zeitartigen Rändern τ → ±τ_{0} von M_{4} sogar gegen Unendlich strebt. Die über die Lösungen (C.11) beschriebenen semiklassischen 4-Metriken sind für σ_{3} ≠ 0 also nirgends flach.

Ferner kann eine beliebige Anfangs-3-Geometrie der Form (C.1) mit τ = τ̂, |τ̂| < τ_{0} , sowohl für τ > τ̂, wie auch für τ < τ̂, nicht durch eine kompakte 4-Geometrie aufgefüllt werden: An den zeitartigen Rändern τ → ±τ_{0} von M_{4} entartet die räumliche 3-Metrik derart, daß der vierdimensionale Riemanntensor gemäß (C.17) divergiert, womit bei τ → ±τ_{0} nichttriviale Ränder der Riemannschen 4-Mannigfaltigkeit (M_{4}, g) vorliegen.

Für Anfangs-3-Geometrien der Klasse (C.1) liefern die Lösungen der semiklassischen Evolutionsgleichung (4.75) also 4-Geometrien, die weder die Randbedingung asymptotischer Flachheit, noch die von Hartle und Hawking vorgeschlagene ”keine-Grenzen-Bedingung“ befriedigen. Es ist allerdings zu betonen, daß wir im Rahmen dieses Anhangs nur die Evolution der invarianten divergenzfreien Triade studiert haben; prinzipiell ist es noch denkbar, daß andere, nichttriviale divergenzfreie Triaden der 3-Metrik (C.1) existieren, deren zugeordnete 4-Geometrien eine der beiden Randbedingungen erfüllen.

Anhang D

Definition der Einstein-Triade

Zur Definition der absoluten Windungszahl einer Triade e⃗_{a} in Abschnitt 4.2.1 benötigen wir eine ausgezeichnete, SO(3)-eichfixierte Triade g⃗_{a} der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M_{3}, h), die in diesem Anhang eingeführt werden soll. Hierzu betrachten wir das Eigenwertproblem des Einsteintensors,

G^{i}_{j} v^{j} ! = λ v^{i} ,  (D.1)

das in einem gegebenen Koordinatensystem {x^{i}} analytisch lösbar ist. Die drei Eigenfelder wollen wir im weiteren mit λ_{a}(x), a ∈ {1, 2, 3} , die Komponenten der drei Eigenvektoren mit v^{i}_{a}(x) bezeichnen. Da das Gleichungssystem (D.1) Diffeomorphismus-kovariant ist, sind die Eigenfelder λ_{a} Skalarfelder, und die Eigenvektoren

v⃗_{a} = v^{i}_{a} ∂_{i}  (D.2)

Vektorfelder auf der räumlichen Mannigfaltigkeit M_{3}. Ferner ist bekannt, daß der Einsteintensor bezüglich der 3-Metrik h symmetrisch ist, weshalb die Eigenfelder λ_{a} reell, und die Eigenvektoren v⃗_{a} paarweise orthogonal sind:

v⃗_{a} · v⃗_{b} = 0 für a ≠ b .  (D.3)

Die normierten Eigenvektoren

g⃗_{a} := \frac{v⃗_{a}}{|v⃗_{a}|}  (D.4)

konstituieren deshalb eine spezielle, geometrisch ausgezeichnete Triade zur 3-Metrik h, die wir als Einstein-Triade bezeichnen wollen.^{1} Die Einstein-Triade g⃗_{a} ist über (D.4), (D.1) praktisch eindeutig festgelegt - für jedes der drei Vektorfelder g⃗_{a} bleibt lediglich ein globales Vorzeichen unbestimmt, von dem aber die Definition (4.63) der absoluten Windungszahl einer Triade e⃗_{a} nicht abhängt.

Für Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten ergibt sich ein besonders einfaches Ergebnis für die Einstein-Triade g⃗_{a}: Entwickelt man in (D.1) den Einsteintensor und die gesuchten Eigenvektoren v⃗ in der invarianten Triade i⃗_{a}, so ergibt sich im Rahmen des in Anhang B verwendeten Kalküls das Eigenwertproblem

G_{ab} v_{b} = λ v_{a}  (D.5)

mit

G_{ab} = m_{ca} m_{cb} − \frac{1}{4} m_{cc} m_{dd} δ_{ab} + \frac{1}{2} ε_{acd} ε_{bfg} m_{cf} m_{dg} .  (D.6)

Hierbei bezeichnet (m_{ab}) wie in Anhang B.1 die räumlich konstante Strukturmatrix der invarianten Triade i⃗_{a}. Damit sind die Komponenten G_{ab} des Einsteintensors gemäß (D.6) ebenfalls räumlich konstant, und die Eigenvektoren v⃗ ergeben sich als Linearkombinationen der invarianten Triadenvektoren i⃗_{a} mit ortsunabhängigen Entwicklungskoeffizienten v_{a}.^{2} Normiert man diese Eigenvektoren auf die Länge Eins, so gilt offenbar

g⃗_{a} = Ω_{ab} i⃗_{b} ,  (D.7)

wobei Ω eine globale Drehmatrix ist.

Für Bianchi-homogene Mannigfaltigkeiten unterscheidet sich die Einstein-Tri-ade von einer invarianten Triade also höchstens um eine räumlich konstante Drehung, folglich kann im homogenen Fall äquivalent auch die invariante Triade zur Berechnung der absoluten Windungszahl (4.63) herangezogen werden.

Außerdem stimmt für homogene Bianchi A-Mannigfaltigkeiten die invariante Triade mit der Einstein-Triade sogar exakt überein, falls die Strukturmatrix (m_{ab}) diagonal gewählt ist, denn dann liegt auch der Einsteintensor gemäß (D.6) automatisch in Diagonalform vor.

1Tatsächlich ergibt sich dieselbe Triade g⃗_{a} aus einer Diagonalisierung des Riccitensors oder des Einsteintensors mit kosmologischem Term, allerdings mit anderen Eigenfeldern λ′_{a}.

2Auch die Eigenfelder λ sind im homogenen Fall offensichtlich räumlich konstant.

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Danksagung

Zum Abschluß dieser Arbeit möchte ich mich zunächst sehr herzlich bei Herrn Prof. Dr. Dr. Robert Graham für die freundliche und intensive Betreuung dieser Doktorarbeit bedanken. In zahlreichen interessanten - und oftmals ungewöhnlich langen - persönlichen Gesprächen konnte er mir ganz wesentlich bei der Beantwortung vieler wichtiger Fragen weiterhelfen.

Ferner gilt mein besonderer Dank Herrn Prof. Dr. Uwe Abresch von der Ruhr-Universität Bochum, der sich unter starkem persönlichen Engagement mit den mathematischen Problemen dieser Arbeit auseinandergesetzt hat. Von ihm stammen die wesentlichen Anregungen zu den Beweisführungen im Anhang A; weiterhin stand er für die Klärung mathematischer Fragen aller Art stets zur Verfügung, was zu einer intensiven Zusammenarbeit und vielen Diskussionen mit ihm geführt hat.

Ich danke auch Herrn Prof. Dr. Fritz Haake für seine freundliche Bereitschaft zur Übernahme des zweiten Gutachtens, wodurch mir einige persönliche Unannehmlichkeiten erspart geblieben sind.

Mein formeller Dank gilt weiterhin der Deutschen Forschungsgemeinschaft für die finanzielle Förderung des Projekts ”Quantenfluktuationen der Gravitation“ über den Sonderforschungsbereich ”Unordnung und große Fluktuationen“, in dessen Rahmen diese Dissertation entstanden ist.

Schließlich danke ich Herrn Stefan Köster für die freundliche Leihgabe seines Laptops, und Herrn Marian Kelc, der mir bei der Lösung zahlreicher Softwareprobleme geholfen hat.

Diese Doktorarbeit entstand unter schwierigen gesundheitlichen und persönlichen Umständen. Mein ausgesprochener Dank gilt in dieser Hinsicht dem Ärzteteam des St. Agatha-Krankenhauses in Köln-Niehl um Frau Dr. Kütemeyer, hierbei insbesondere Frau Dr. Klüwer, sowie meiner Hippotherapeutin Frau Dr. Sachs.

Auch an dieser Stelle sei nochmals meinem Doktorvater Robert Graham gedankt, der stets ein bemerkenswertes Verständnis und viel Geduld für meine persönliche Situation zeigen konnte, und mir einen ungewöhnlichen Arbeitsfreiraum zur Verfügung gestellt hat. Nur durch sein persönliches Engagement konnte ich diese Arbeit zu Ende führen.

Desweiteren bin ich Frau Ira Terwyen sehr dankbar, die mir in vielerlei Hinsicht sehr geholfen hat.

Abschließend danke ich von Herzen meiner Schwester Sabrina und meinen Eltern für ihr Verständnis und ihre mentale Unterstützung in einer harten Zeit.