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Dissertation angenommen durch: Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg, Fachbereich Mathematik, 2006-03-30
BetreuerIn: Prof. Dr. Gerlind Plonka-Hoch , Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg, Fachbereich Mathematik
GutachterIn: Prof. Dr. Gerlind Plonka-Hoch , Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg, Fachbereich Mathematik
GutachterIn: Prof. Dr. Reinhold Schneider , Christian-Albrechts-Universität zu Kiel, Technische Fakultät, Institut für Informatik
Schlüsselwörter in Englisch: Wavelet, Spline, Intervall, biorthogonal
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Abstrakt in Deutsch
Die Theorie der Wavelets wird bereits seit mehr als zwanzig Jahren
intensiv bearbeitet und weiterentwickelt. Analog zur Fourieranalysis
betrachtet man die kontinuierliche Wavelettransformation und die
diskrete Waveletentwicklung geeigneter Funktionen. Bei der die
Entwicklung von Funktionen bzgl. einer Waveletbasis lassen sich an den
resultierenden Waveletkoeffizienten eine Vielzahl von Eigenschaften der
Funktion ablesen. Dabei können neben dem Raum der quadratintegrablen
Funktionen durch geeignete Skalierung auch Sobolev- und Besovräume
charakterisiert werden. Des Weiteren erlaubt die Waveletentwicklung
anhand der Koeffizienten eine Zerlegung und Rekonstruktion von
Funktionen, wobei zwischen hochfrequenten und niedrigfrequenten
Anteilen der Funktion unterschieden werden kann. Die Waveletentwicklung
einer quadratintegrablen Funktion eignet sich wegen ihrer günstigen
Eigenschaften wie Lokalität und Multi-Skalen-Struktur für die Anwendung
in verschiedensten Bereichen der angewandten Mathematik, Numerik und
den Ingenieurwissenschaften. In der angewandten Mathematik werden
Wavelets unter anderem zur Behandlung von Operatorgleichungen, in der
Statistik und in der geometrischen Modellierung benutzt. Die
vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Konstruktion von
biorthogonalen Spline-Waveletbasen auf dem Intervall. Dabei spielt vor
allen Dingen die Konstruktion geeigneter biorthogonaler
Multiresolutionen eine zentrale Rolle. Als Grundlaga wird hier eine
bekannte Multiresolution für die reele Aches gewählt. Für das Intervall
wird als primale Multiresoultion die bekannte Schoenberg-Splinebasis
mit äquidistanten Knoten und Vielfachheiten der Knoten an den
Intervallrändern gewählt. Die Hauptaufgabe liegt nunmehr in der
Konstruktion einer geeigneten dualen Multiresolution. Die
Randskalierungsfunktionen werden so konstruiert, dass sie die volle
polynomiale Approximationsgüte haben. Dabei sind außerdem die Träger
der Randfunktionen zu den Rändern hin geschachtelt. Durch das
Erfülltsein von geeigneten Jackson- und Bernsteinabschätzungen wird
garantiert, dass die resultierenden Waveletbasen stabil sind. Dabei
erfolgt die Konstruktion der Wavelets mit Hilfe der bekannten Methoder
stabilen Vervollständigung. Die Kondition der abgeleiteten
Transformationsmatrizen ist wesentlich attratktiver, als die vorheriger
Konstruktionen. Ebenso sind die sich ergebenden Rieszschranken weit
günstiger. Auch die Kondition von Steifigkeitsmatrizen, wie sie bei
Problemem aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen
auftreten, ist für die betrachteten Beispiele weit günstiger. Dabei
spielt vor allen Dingen der vergleichsweise kleine Träger der
Randwavelets und die Schachtelung von deren Träger eine wesentliche
Rolle.
Abstrakt in Englisch
Based on the family of biorthogonal pairs of scaling functions
consisting of cardinal B-splines and compactly supported dual
generators on the whole real line, as presented by Cohen, Daubechies
and Feauveau, we are concerned with the construction of a new
biorthogonal multiresolution analysis on the interval, such that the
corresponding wavelet bases realize any desired order of moment
condition on the interval. In contrast to previous approaches we choose
the well-established Schoenberg spline basis on the interval with
equidistant knots for primal multiresolution which has already been
used by Chui and Quak to construct semiorthogonal spline bases on the
interval. After giving an overview of the concrete construction, we
discuss the favorable properties of the constructed basis functions.
The subsequent construction of the associated wavelets relies on the
known method of stable completions, which has been presented by Dahmen,
Kunoth and Urban as a helpful tool in constructing wavelet bases on the
interval. Due to the fact, that we use all inner scaling functions, we
use a high number of inner wavelets, so that the number of constructed
boundary wavelets is very low, compared to former approaches. This is
also true for the related wavelet basis with homogeneous or
complementary boundary conditions. In view of applications, there are
two interesting questions. Firstly, we investigate the condition number
of the corresponding wavelet transforms. Secondly, we treat the
stiffness matrix of the Laplace operator concerning to our basis and
show, that its condition number is much better than the condition
number in other approaches.
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