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Dissertation angenommen durch: Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg, Fachbereich Mathematik, 2005-08-03
BetreuerIn: Prof. Dr. Martin Rumpf , Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, Institut für Numerische Simulation
GutachterIn: Prof. Dr. rer. nat. Gerlind Plonka-Hoch , Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg, Fachbereich Mathematik
GutachterIn: Prof. Dr. rer. nat. Ulrich Dierkes , Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg, Fachbereich Mathematik
Schlüsselwörter in Deutsch: anisotrop, Willmore, Gradientenfluss, Flächenverarbeitung, Restaurierung, Rekonstruktion, Modellierung
Schlüsselwörter in Englisch: anisotropic, Willmore, gradient flow, surface processing, restauration, reconstruction, modeling
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Abstrakt in Deutsch
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit anisotropen Krümmungsflüssen
zweidimensionaler parametrischer Flächen sowie deren Anwendung in der
Flächenglättung und der Flächenrestaurierung. Im Wesentlichen wird der
so genannte anisotrope mittlere Krümmungsfluss (AMKF) sowie der
anisotrope Willmore-Fluss behandelt. Diese Flüsse stellen
Verallgemeinerungen des klassischen mittleren Krümmungsflusses bzw. des
klassischen Willmore-Flusses dar. Die Anisotropien der betrachteten
Krümmungsflüsse werden induziert durch positive, 1-homogene und konvexe
Funktionen, welche sich als Stützfunktionen von konvexen Körpern, so
genannten Wulff-Shapes, auffassen lassen. Als Verfahren vierter
Differenzierbarkeitsordnung in den Flächenkoordinaten erlaubt der
anisotrope Willmore-Fluss neben der Vorgabe von Randwerten für die
Position des Randes auch die Vorgabe von Flächennormalen auf dem Rand
eines betrachteten Flächenstückes. Damit stellt er sich als ein
geeignetes Verfahren zur Rekonstruktion von teilweise zerstörten
Flächen heraus. In der vorliegenden Arbeit wird eine Diskretisierung
des anisotropen Willmore-Flusses angegeben, bei der die auftretende
Evolutionsgleichung vierter Ordnung in zwei schwache Gleichungen erster
Ordnung zerlegt wird, welche dann mittels linearer Finiter Elemente
diskretisiert werden. Dabei wird insbesondere auf die vorher behandelte
Diskretisierung des AMKF zurückgegriffen. Der diskrete AMKF wird
verwendet, um ein Glättungsverfahren für Flächen mit kristallinen
Kanten zu entwickeln. Weiterhin werden Modifikationen des diskreten
AMKF zur Flächenmodellierung eingesetzt. Im Einzelnen werden Verfahren
zur künstlichen Alterung und zur virtuellen Gravur von diskreten
Oberflächen vorgestellt. Darüberhinaus wird ein auf dem isotropen
mittleren Krümmungsfluss basiertes Subdivision-Verfahren angegeben.
Schließlich wird sowohl der isotrope als auch der ansisotrope
Willmore-Fluss zur Restaurierung von partiell zerstörten triangulierten
Flächen eingesetzt.
Abstrakt in Englisch
The presented dissertation is concerned with anisotropic curvature
motion of two-dimensional parametric surfaces as well as their
application in surface fairing and surface restauration. Mainly the so
called anisotropic mean curvature motion (AMCM) and the anisotropic
Willmore-flow are being treated. These flows are generalizations of the
classical mean curvature flow and the classical Willmore-flow,
respectively. The anisotropies are induced by positive, 1-homogenous
and convex functions, which can be regarded as support functions of
convex bodies, so called Wulff-shapes. Being a method of fourth order
of differentiation in the surface coordinates, the anisotropic
Willmore-flow allows the prescription of boundary values for the
position of the boundary itself as well as for the surface normals on
the boundary of a surface patch under consideration. Hence it is an
appropriate method for the reconstruction of partially destroyed
surfaces. In this work a numerical scheme for the anisotropic
Willmore-flow is presented, which is based on an operator splitting of
the fourth order evolution equation into two weak equations of first
order of differentiation, which is discretized using linear finite
elements in space. In particular the discretization of the AMCM turns
out to be one of these equations. Based on the AMCM a method for the
fairing of surfaces with crystalline edges is developed. Modifications
of the discrete AMCM are also used for surface modeling purposes.
Schemes for the artificial aging and for virtual engraving of surfaces
are presented. Further on a subdivision scheme based on the isotropic
mean curvature motion is introduced. Finally, the isotropic as well as
the anisotropic Willmore-flow is employed for the restauration of
partially destroyed triangulated surfaces.
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