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eine Untersuchung zu linearen Gleichungssystemen in der Sekundarstufe I
Dissertation angenommen durch: Gerhard-Mercator-Universität
Duisburg, Fakultät für Naturwissenschaften, Institut für Mathematik,
2002-09-09
BetreuerIn: Prof. Dr. Günter Törner , Gerhard-Mercator-Universität Duisburg, Fakultät für Naturwissenschaften, Institut für Mathematik
BetreuerIn: Prof. Dr. Erkki Pehkonen , University of Turku, Department of Teacher Education
GutachterIn: Prof. Dr. Günter Törner , Gerhard-Mercator-Universität Duisburg, Fakultät für Naturwissenschaften, Institut für Mathematik
GutachterIn: Prof. Dr. Erkki Pehkonen , University of Turku, Department of Teacher Education
Schlüsselwörter in Deutsch: Vernetzungen im
Mathematikunterricht, Kategorien der Vernetzung, kognitive Netzwerke,
deklaratives Wissen, konzeptuelles Verständnis, lineare
Gleichungssysteme, Curriculumsrahmen, vernetztes Denken,
fachsystematische Vernetzung, Modellvernetzung
Schlüsselwörter in Englisch: connections, mathematics education,
network categories, cognitive networks, deklarative knowledge, concept
mapping, mind mapping, sets of two equations in straight form,
curricular frames
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Abstrakt in Deutsch
Mathematikleistungen deutscher Schüler weisen im Bereich des
konzeptuellen Verständnisses und vernetzten Denkens Defizite auf, wie
die TIMS-Studie zeigt und die PISA-Studie bestätigt. Eine Untersuchung
zu Vernetzungen im Mathematikunterricht erscheint vor diesem
Hintergrund nicht nur sinnvoll, sondern auch notwendig.
Ziel der Arbeit ist die Verfolgung von Vernetzungen bei ihrer
Übertragung durch Lehr- und Lernprozesse aus dem Unterrichtsstoff
Mathematik auf die kognitive Ebene von Schülern zwecks Lokalisierung
und Präzisierung von Defiziten.
Die Arbeit gliedert sich in einen theoretischen Teil und eine
empirische Untersuchung.
Im ersten Teil wird zunächst ein Überblick über das Forschungsthema
Vernetzung in der fachdidaktischen Diskussion gegeben. Für den Begriff
'Vernetzung', der bislang wenig präzisiert wurde, erfolgt dann eine
begriffliche Fundierung speziell für den Fokus 'Vernetzungen im
Mathematikunterricht'. Es wird herauskristallisiert, dass vernetzten
Systemen eine Graphenstruktur zugrunde liegt, wobei Vernetzungen durch
Kantenmengen von Graphen und damit durch Relationen mathematisch
modelliert werden. Eine Kategorisierung von relevanten Vernetzungen für
den Mathematikunterricht wird herausgearbeitet. Ferner wird auf
Vernetzungen in Lehr- und Lernprozessen eingegangen. Es werden Theorien
und Modelle vorgestellt, die zur Beschreibung der Genese, Speicherung
und Aktivierung von Vernetzungen dienlich sind und vor dem Hintergrund
dieser theoretischen Basis einige Anmerkungen zu Vernetzungen der
einzelnen Kategorien zusammengetragen. Das Modell der Curriculumsrahmen
wird als Ansatz zur Spezifizierung von Vernetzungen in Lehr- und
Lernprozessen mit seinen Grenzen und Möglichkeiten diskutiert. Es
dient, zusammen mit der graphischen Modellierung von Vernetzungen, als
Hilfsmittel für die empirische Untersuchung.
Die empirische Untersuchung fokussiert fachsystematische Vernetzungen
sowie Modellvernetzungen (i.e. bestimmte anwendungsbezogene
Vernetzungen) zum speziellen Unterrichtsthema der linearen
Gleichungssysteme in der Sekundarstufe I, wobei die Curriculumsrahmen
als Kontrollinstanzen zur Verfolgung von Vernetzungen mathematischer
Objekte in Lehr- und Lernprozessen dienen. Folgenden Fragen wird im
Einzelnen nachgegangen:
1. Welche fachsystematischen Vernetzungen und welche Modellvernetzungen
sind zum betrachteten Thema in den drei Curriculumsrahmen zu finden?
2. Welche Veränderungen der Vernetzungen treten bei der Übertragung aus
dem Rahmen des intendierten Curriculums über den Rahmen des
implementierten Curriculums hin zum Rahmen des erreichten Curriculums
auf?
Die Ergebnisse zeigen, dass Vernetzungen aus dem Rahmen des
intendierten Curriculums, wie es sich in Schulbüchern widerspiegelt,
nahezu unverändert, translationsartig in den Rahmen des implementierten
Curriculums übertragen werden: Lehrer unterrichten in enger Anlehnung
an das Schulbuch. Der weitere Übergang vom implementierten zum
erreichten Curriculum erweist sich als filterartig; von der im
Unterricht dargestellten Beziehungshaltigkeit der Thematik geht vieles
verloren. Am besten beherrscht werden von den Schülern die Anbindungen
von Lösungsalgorithmen an Aufgaben, sowie einfache fachsystematische
Vernetzungen gemäß Oberbegriff-Unterbegriff-Relationen. Die Kenntnis
verschiedener Repräsentationen mathematischer Objekte ist hingegen
mangelhaft. Sind im deklarativen Wissen der Schüler um Vernetzungen
bereits erhebliche Mängel zu verzeichnen, so gelingt der dynamische
Umgang mit diesem Wissen beim Problemlösen selbst den wenigen Schülern,
die es haben, nur zum geringen Teil. Diese Ergebnisse entsprechen dabei
durchaus den von den Lehrern angegebenen Einschätzungen bzgl. zu
erwartender Schülerleistungen.
Die Untersuchungsergebnisse liefern Hinweise für Ansätze zu einer
möglichen Verbesserung des Mathematikunterrichts im Hinblick auf einen
erfolgreicheren Aufbau von Vernetzungen im Schülerwissen.
Abstrakt in Englisch
According to the TIMS-Study students in Germany show great deficits in
problem solving abilities according to a lack of flexibility in
thinking in mathematical networks. However, there exists hardly
information about the exact lacks and the reasons of the deficits.
The aim of the study in this dissertation thesis was to investigate how
a mathematical network as it is presented in textbooks is transformed
when carried over into students' minds during teaching and learning
processes.
The thesis subdivides into a theoretical part and the presentation of
the empirical investigation.
The theoretical part gives first an overview on the didactical
discussion to the topic of connections in mathematics education. It
follows a conceptual foundation of mathematical networks and their
different aspects, pointing out that the underlying structure of a
network is a graph, whose vertices represent mathematical objects and
nonmathematical components related to these, and whose edges represent
existing relations on them. According to the different sorts of
relations, network categories with relevance for mathematics education
in school are defined. Further, some theories and models describing
aspects of genesis, memorizing and recalling connections are presented
and information with regard to the different network categories defined
above are brought out. The model of curricular frames is discussed as
an approach to specify connections in teaching and learning processes;
it serves, together with the modelling of connections as graphs, as
aids for the empirical investigation.
The empirical study particularly focuses on the topic 'sets of two
equations in straight form' in middle grade classes and restricts on
the investigation of some network relations according to subject
systematics and a special relation according to the application of
mathematical objects, the model relation. The main research questions
are: 1. Which relations according to subject systematics and which
model relations to the topic focused on are part of curricular frames?
2. Which network transformations result in teaching and learning
processes, on the way from the frame of the intended curriculum into
the frame of the implemented curriculum and further in the frame of the
achieved curriculum? The results show that connections as they are
presented in text books are nearly unchanged translated into the frame
of the implemented curriculum:
teachers follow almost exactly the textbook in their lessons. On the
further transfer of the implemented network into students' minds many
connections are filtered out: the mainly learned connections by
students are part of the links according to subject systematics (links
between problems and solving algorithms, linkages according to a
subconcept-superconcept relation), model links are hardly
known. Students show great difficulties, when they have to use
connections in problem solving processes. The study reveals the
incompleteness of the transfer of implemented networks into students'
minds. Moreover, the missing relations in the achieved networks are
pointed out. The results of the study provide useful
information for a possible improvement of teaching and learning
processes with respect to the different sorts of connections.
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