Becker, Markus

Konforme Gradientenvektorfelder auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten

Abstract

We consider Lorentz manifolds which carry a conformal gradient field with at least one zero. All such manifolds are necessarily locally conformally flat. If in addition the manifold is developable and the image of a development map is great enough one can describe the global conformal type by a 3-regular graph provided with two additional datas. We get this conformal invariants using certain conformal development maps into the projective standard quadric. All conformal diffeomorphisms of this projective quadric are nothing else than the projectivities of the ambient real projective space which preserve the quadric. In the proofs we often use this fact. As a by-product of a general existence theorem we give an infinite number of locally conformally flat Lorentz metrics on the differentiable manifold R^n which are in pairs not conformally equivalent.

In der Arbeit werden Lorentz-Mannigfaltigkeiten betrachtet, die ein konformes Gradientenfeld mit mindestens einer Nullstelle tragen. Diese Mannigfaltigkeiten sind notwendig lokal konform flach. Falls die Mannigfaltigkeit zusätzlich abwickelbar ist und für eine Abwicklung der Bildbereich genügend groß ist, kann man den globalen konformen Typ durch einen 3-regulären Graphen mit zwei zusätzlichen Daten beschreiben. Diese konformen Invarianten werden mit Hilfe gewisser Abwicklungen gewonnen. Von der Tatsache, daß die konformen Diffeomorphismen der projektiven Standardquadrik nichts anderes sind als die Projektivitäten, die diese Quadrik invariant lassen, wird in den Beweisen oft Gebrauch gemacht. Mit Hilfe eines allgemeinen Existenzsatzes geben wir unendlich viele lokal konform flache Lorentz-Metriken auf der differenzierbaren Mannigfaltigkeit R^n an, die paarweise nicht konform äquivalent sind.